ඛණ්ඩාංක පදනමක් තුළ දෛශිකයක වියෝජනය. දෛශිකයක් පදනමක් බවට වියෝජනය කිරීම

දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ රේඛීය ස්වාධීනත්වය.
දෛශික පදනම. Affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය

ශ්රවණාගාරයේ චොකලට් සහිත කරත්තයක් ඇති අතර, අද දින සෑම අමුත්තෙක්ම මිහිරි යුවලක් ලැබෙනු ඇත - රේඛීය වීජ ගණිතය සමඟ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය. මෙම ලිපියෙන් උසස් ගණිතයේ කොටස් දෙකක් එකවර ස්පර්ශ වන අතර, ඒවා එක එතුමක සහජීවනයෙන් පවතින ආකාරය අපි බලමු. විවේකයක් ගන්න, Twix එකක් කන්න! ... අපරාදේ, මොන විකාර ද. කෙසේ වෙතත්, හරි, මම ලකුණු නොලබන්නෙමි, අවසානයේ, ඔබ ඉගෙනීම කෙරෙහි ධනාත්මක ආකල්පයක් තිබිය යුතුය.

දෛශිකවල රේඛීය යැපීම, රේඛීය දෛශික ස්වාධීනත්වය, දෛශික පදනමසහ අනෙකුත් පද වලට ජ්‍යාමිතික අර්ථකථනයක් පමණක් නොව, සියල්ලටත් වඩා වීජීය අර්ථයක් ඇත. රේඛීය වීජ ගණිතයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් "දෛශිකය" යන සංකල්පය සැමවිටම අපට ගුවන් යානයක හෝ අභ්‍යවකාශයේ නිරූපණය කළ හැකි "සාමාන්‍ය" දෛශිකය නොවේ. ඔබට සාක්ෂි සඳහා වැඩි දුරක් බැලීමට අවශ්‍ය නැත, පංචමාන අවකාශයේ දෛශිකයක් ඇඳීමට උත්සාහ කරන්න . නැත්නම් මම Gismeteo වෙත ගිය කාලගුණ දෛශිකය: පිළිවෙලින් උෂ්ණත්වය සහ වායුගෝලීය පීඩනය. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශික අවකාශයේ ගුණාංගවල දෘෂ්ටි කෝණයෙන් උදාහරණය වැරදියි, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, මෙම පරාමිතීන් දෛශිකයක් ලෙස විධිමත් කිරීම කිසිවෙකු තහනම් නොකරයි. සරත් සෘතුවේ හුස්ම ...

නැහැ, මම ඔබට න්‍යාය, රේඛීය දෛශික අවකාශයන් එපා කරන්නේ නැහැ, කාර්යය වන්නේ තේරුම් ගන්නවාඅර්ථ දැක්වීම් සහ ප්‍රමේය. නව නියමයන් (රේඛීය යැපීම, ස්වාධීනත්වය, රේඛීය සංයෝජනය, පදනම, ආදිය) වීජීය දෘෂ්ටි කෝණයෙන් සියලුම දෛශික සඳහා අදාළ වේ, නමුත් ජ්යාමිතික උදාහරණ ලබා දෙනු ඇත. මේ අනුව, සෑම දෙයක්ම සරල, ප්රවේශ විය හැකි සහ පැහැදිලි ය. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලට අමතරව, අපි සාමාන්ය වීජ ගණිත ගැටළු කිහිපයක් ද සලකා බලමු. ද්රව්යය ප්රගුණ කිරීම සඳහා, පාඩම් සමඟ ඔබ හුරුපුරුදු වීම යෝග්ය වේ ඩමි සඳහා දෛශිකසහ නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

ගුවන් යානා දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ ස්වාධීනත්වය.
ප්ලේන් පදනම සහ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය

ඔබගේ ගුවන් යානය සලකා බලන්න පරිගණක මේසය(මේසයක්, ඇඳ අසල මේසයක්, බිම, සිවිලිම, ඔබ කැමති ඕනෑම දෙයක්). කාර්යය පහත ක්‍රියා වලින් සමන්විත වනු ඇත:

1) ගුවන් යානා පදනම තෝරන්න. දළ වශයෙන් කිවහොත්, මේස පුවරුවක දිගක් සහ පළලක් ඇත, එබැවින් පදනම තැනීම සඳහා දෛශික දෙකක් අවශ්‍ය වන බව වටහා ගත හැකිය. එක් දෛශිකයක් පැහැදිලිවම ප්‍රමාණවත් නොවේ, දෛශික තුනක් ඕනෑවට වඩා වැඩිය.

2) තෝරාගත් පදනම මත පදනම්ව සකසන්න සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය(ඛණ්ඩාංක ජාලය) මේසය මත ඇති සියලුම වස්තූන් සඳහා ඛණ්ඩාංක පැවරීමට.

පුදුම වෙන්න එපා, මුලින්ම පැහැදිලි කිරීම් ඇඟිලි මත වනු ඇත. එපමණක්ද නොව, ඔබේ මත. කරුණාකර තබන්න දබර ඇඟිල්ලවම් අතඔහු මොනිටරය දෙස බලන පරිදි මේසයේ කෙළවරේ. මෙය දෛශිකයක් වනු ඇත. දැන් තියන්න කුඩා ඇඟිල්ල දකුණු අත මේසයේ කෙළවරේ එකම ආකාරයකින් - එය මොනිටරයේ තිරය වෙත යොමු කරනු ලැබේ. මෙය දෛශිකයක් වනු ඇත. සිනාසෙන්න, ඔබ විශිෂ්ටයි! දෛශික ගැන අපට කුමක් කිව හැකිද? දත්ත දෛශික collinear, ඒ කියන්නේ රේඛීයඑකිනෙකා හරහා ප්රකාශිත:
, හොඳයි, හෝ අනෙක් අතට: , ශුන්‍යයට වඩා යම් සංඛ්‍යාවක් වෙනස් වන්නේ කොහිද?

ඔබට මෙම ක්‍රියාවෙහි පින්තූරයක් පන්තියේ දැකිය හැකිය. ඩමි සඳහා දෛශික, එහිදී මම දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ රීතිය පැහැදිලි කළෙමි.

ඔබේ ඇඟිලි පරිගණක මේසයේ තලයේ පදනම සකසයිද? පැහැදිලිවම නැහැ. කොලිනියර් දෛශික හරහා එහා මෙහා ගමන් කරයි තනියමදිශාව, සහ ගුවන් යානයක දිග සහ පළල ඇත.

එවැනි දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී.

යොමුව: "රේඛීය", "රේඛීය" යන වචන වලින් අදහස් කරන්නේ ගණිතමය සමීකරණ සහ ප්‍රකාශනවල වර්ග, කැට, වෙනත් බල, ලඝුගණක, සයිනස් යනාදිය නොමැති බවයි. ඇත්තේ රේඛීය (1 වන උපාධිය) ප්‍රකාශන සහ පරායත්තතා පමණි.

ගුවන් යානා දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පවතීනම් සහ ඒවා collinear නම් පමණි.

අංශක 0 හෝ 180 හැර වෙනත් ඕනෑම කෝණයක් ඔවුන් අතර ඇති පරිදි මේසය මත ඔබේ ඇඟිලි හරස් කරන්න. ගුවන් යානා දෛශික දෙකක්රේඛීය නැතරඳා පවතී නම් සහ ඒවා collinear නොවේ නම් පමණි. එබැවින්, පදනම ලබා ගනී. විවිධ දිගින් යුත් ලම්බක නොවන දෛශික සමඟ පදනම “ඇලවී” ඇති බව ලැජ්ජාවට පත් විය යුතු නැත. එහි ඉදිකිරීම් සඳහා අංශක 90 ක කෝණයක් පමණක් සුදුසු නොවන අතර සමාන දිග ඒකක දෛශික පමණක් නොවන බව ඉතා ඉක්මනින් අපට පෙනෙනු ඇත.

ඕනෑමගුවන් යානා දෛශිකය එකම මාර්ගයපදනම අනුව පුළුල් වේ:
, සැබෑ සංඛ්යා කොහෙද. අංක කැඳවනු ලැබේ දෛශික ඛණ්ඩාංකමෙම පදනම තුළ.

කියලත් කියනවා දෛශිකයලෙස ඉදිරිපත් කර ඇත රේඛීය සංයෝජනයපදනම් දෛශික. එනම්, ප්රකාශනය ලෙස හැඳින්වේ දෛශික වියෝජනයපදනම අනුවහෝ රේඛීය සංයෝජනයපදනම් දෛශික.

උදාහරණයක් ලෙස, තලයේ විකලාංග පදනමක් ඔස්සේ දෛශිකය දිරාපත් වී ඇති බව අපට පැවසිය හැකිය, නැතහොත් එය දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය වන බව අපට පැවසිය හැකිය.

අපි සකස් කරමු පදනම අර්ථ දැක්වීමවිධිමත් ලෙස: ගුවන් යානයේ පදනමරේඛීය ස්වාධීන (කොලීනියර් නොවන) දෛශික යුගලයක් ලෙස හැඳින්වේ, , එහි ඕනෑමතල දෛශිකයක් යනු පදනම් දෛශිකවල රේඛීය සංයෝගයකි.

නිර්වචනයේ අත්‍යවශ්‍ය කරුණක් වන්නේ දෛශික ගන්නා බවයි නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට. පදනම් - මේවා සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් පදනම් දෙකක්! ඔවුන් පවසන පරිදි, ඔබේ දකුණු අතේ කුඩා ඇඟිල්ල වෙනුවට ඔබේ වම් අතේ කුඩා ඇඟිල්ල ප්රතිස්ථාපනය කළ නොහැකිය.

අපි පදනම හදුනාගෙන ඇත, නමුත් ඛණ්ඩාංක ජාලයක් සැකසීමට සහ ඔබේ පරිගණක මේසයේ ඇති එක් එක් අයිතමයට ඛණ්ඩාංක පැවරීම ප්රමාණවත් නොවේ. ඇයි මදිද? වාහකයන් නිදහස් වන අතර මුළු ගුවන් යානය පුරාම සැරිසරයි. එසේනම් සති අන්තයක ඉතිරි වී ඇති මේසය මත ඇති කුඩා අපිරිසිදු ස්ථාන සඳහා ඔබ ඛණ්ඩාංක පවරන්නේ කෙසේද? ආරම්භක ලක්ෂ්යයක් අවශ්ය වේ. එවැනි සන්ධිස්ථානයක් සෑම කෙනෙකුටම හුරුපුරුදු කරුණකි - ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය. ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තේරුම් ගනිමු:

මම "පාසල්" පද්ධතියෙන් පටන් ගන්නම්. දැනටමත් හඳුන්වාදීමේ පාඩමෙහි ඩමි සඳහා දෛශිකමම සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය සහ විකලාංග පදනම අතර යම් යම් වෙනස්කම් ඉස්මතු කළෙමි. මෙන්න සම්මත පින්තූරය:

ඔවුන් ගැන කතා කරන විට සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය, එවිට බොහෝ විට ඔවුන් අදහස් කරන්නේ මූලාරම්භය, සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ සහ අක්ෂ දිගේ පරිමාණය. “සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය” සෙවුම් යන්ත්‍රයකට ටයිප් කිරීමට උත්සාහ කරන්න, 5-6 ශ්‍රේණියේ සිට හුරුපුරුදු ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සහ ගුවන් යානයක ලකුණු කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳව බොහෝ මූලාශ්‍ර ඔබට කියනු ඇති බව ඔබට පෙනෙනු ඇත.

අනෙක් අතට, එය පෙනේ සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක සම්පූර්ණයෙන්ම තීරණය කළ හැක්කේ විකලාංග පදනමක් මගිනි. එය බොහෝ දුරට සත්‍යයකි. වාක්‍ය ඛණ්ඩය මෙසේය.

සම්භවය, සහ විකලාංගපදනම සකසා ඇත කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර තල ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය . එනම්, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියයි නියත වශයෙන්මතනි ලක්ෂ්‍යයකින් සහ විකලාංග දෛශික ඒකක දෙකකින් අර්ථ දැක්වේ. මා ඉහත දක්වා ඇති චිත්‍රය ඔබට පෙනෙන්නේ එබැවිනි - ජ්‍යාමිතික ගැටළු වලදී, දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ දෙකම බොහෝ විට (නමුත් සෑම විටම නොවේ) අඳිනු ලැබේ.

ලක්ෂ්‍යයක් (සම්භවයක්) සහ විකලාංග පදනමක් භාවිතා කිරීම සෑම කෙනෙකුටම වැටහෙන බව මම සිතමි ගුවන් යානයේ ඕනෑම ලක්ෂයක් සහ ගුවන් යානයේ ඕනෑම දෛශිකයක්ඛණ්ඩාංක පැවරිය හැක. සංකේතාත්මකව කිවහොත්, "ගුවන් යානයක ඇති සෑම දෙයක්ම අංකනය කළ හැකිය."

ඛණ්ඩාංක දෛශික ඒකක වීමට අවශ්‍යද? නැත, ඔවුන්ට අත්තනෝමතික ශුන්‍ය නොවන දිගක් තිබිය හැක. අත්තනෝමතික ශුන්‍ය නොවන දිගකින් යුත් ලක්ෂ්‍යයක් සහ විකලාංග දෛශික දෙකක් සලකා බලන්න:

එවැනි පදනමක් ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග. දෛශික සමඟ ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ඛණ්ඩාංක ජාලයකින් අර්ථ දක්වා ඇති අතර, තලයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක්, ඕනෑම දෛශිකයකට එහි ඛණ්ඩාංක යම් පදනමක් තුළ ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, හෝ. පැහැදිලි අපහසුතාවය වන්නේ ඛණ්ඩාංක දෛශිකයි වී සාමාන්ය නඩුව එකමුතුකම හැර වෙනත් දිග ඇත. දිග එකමුතුකමට සමාන නම්, සුපුරුදු විකලාංග පදනම ලබා ගනී.

! සටහන : විකලාංග පදනමින් මෙන්ම පහතින් තලයේ සහ අභ්‍යවකාශයේ ඇෆයින් පාදවල අක්ෂ දිගේ ඒකක සලකනු ලැබේ. කොන්දේසි සහිත. නිදසුනක් ලෙස, x-අක්ෂය දිගේ එක් ඒකකයක සෙන්ටිමීටර 4 ක් ද, ඕඩිනේට් අක්ෂය දිගේ එක් ඒකකයක සෙන්ටිමීටර 2 ක් ද අඩංගු වේ. මෙම තොරතුරු අවශ්ය නම්, "සම්මත නොවන" ඛණ්ඩාංක "අපගේ සුපුරුදු සෙන්ටිමීටර" බවට පරිවර්තනය කිරීමට ප්රමාණවත් වේ.

දෙවන ප්‍රශ්නය, ඇත්ත වශයෙන්ම දැනටමත් පිළිතුරු දී ඇත, පදනම් දෛශික අතර කෝණය අංශක 90 ට සමාන විය යුතුද? නැත! නිර්වචනයේ සඳහන් පරිදි, පදනම් දෛශික විය යුතුය collinear නොවන පමණි. ඒ අනුව, කෝණය අංශක 0 සහ 180 හැර ඕනෑම දෙයක් විය හැකිය.

ගුවන් යානයේ ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ සම්භවය, සහ collinear නොවනදෛශික, , කට්ටලය affine plane ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය :

සමහර විට එවැනි සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියක් ලෙස හැඳින්වේ ආනතපද්ධති. උදාහරණ ලෙස, ඇඳීම ලකුණු සහ දෛශික පෙන්වයි:

ඔබ තේරුම් ගත් පරිදි, ඇෆයින් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඊටත් වඩා අඩු පහසු ය; පාඩමේ දෙවන කොටසේ අප සාකච්ඡා කළ දෛශික සහ කොටස්වල දිග සඳහා වන සූත්‍ර එහි ක්‍රියා නොකරයි. ඩමි සඳහා දෛශික, සම්බන්ධ බොහෝ රසවත් සූත්ර දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය. නමුත් දෛශික එකතු කිරීම සහ දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සඳහා වන නීති, මෙම සම්බන්ධතාවයේ කොටසක් බෙදීමේ සූත්‍ර මෙන්ම අපි ඉක්මනින් සලකා බලන වෙනත් ගැටළු වර්ග වලංගු වේ.

තවද නිගමනය වන්නේ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක වඩාත් පහසු විශේෂ අවස්ථාව වන්නේ Cartesian සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියයි. ඒ නිසා ඔබ බොහෝ විට ඇයව දැකීමට සිදු වේ, මගේ ආදරණීය. ...කෙසේ වෙතත්, මේ ජීවිතයේ සෑම දෙයක්ම සාපේක්ෂයි - ආනත කෝණයක් ඇති බොහෝ අවස්ථා තිබේ (හෝ වෙනත් එකක්, උදාහරණයක් ලෙස, ධ්රැවීය) සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය. මානව හිතවාදීන් එවැනි පද්ධති වලට කැමති විය හැකිය =)

අපි ප්‍රායෝගික කොටස වෙත යමු. මෙම පාඩමේ ඇති සියලුම ගැටළු සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට සහ සාමාන්‍ය affine නඩුව සඳහා වලංගු වේ. මෙහි සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත; සියලුම ද්රව්ය පාසල් දරුවෙකුට පවා ප්රවේශ විය හැකිය.

තල වාහකවල සහසම්බන්ධතාවය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

සාමාන්‍ය දෙයක්. ගුවන් යානා දෛශික දෙකක් සඳහා collinear විය, ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේඅත්යවශ්යයෙන්ම, මෙය පැහැදිලි සම්බන්ධතාවයේ ඛණ්ඩාංක-ඛණ්ඩාංක විස්තර කිරීමකි.

උදාහරණ 1

a) දෛශික collinear ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න .
ආ) දෛශික පදනමක් සාදයිද? ?

විසඳුමක්:
a) දෛශික සඳහා තිබේදැයි අපි සොයා බලමු සමානුපාතික සංගුණකය, සමානතා තෘප්තිමත් වන පරිදි:

මෙම රීතිය යෙදීමේ "foppish" අනුවාදය ගැන මම අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට කියමි, එය ප්රායෝගිකව හොඳින් ක්රියා කරයි. අදහස නම් වහාම සමානුපාතය සාදා එය නිවැරදි දැයි බැලීමයි:

දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල අනුපාතවලින් සමානුපාතිකයක් සාදන්න:

අපි කෙටි කරමු:
, එබැවින් අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වේ, එබැවින්,

සම්බන්ධතාවය වෙනත් ආකාරයකින් සිදු කළ හැකිය; මෙය සමාන විකල්පයකි:

ස්වයං පරීක්ෂාව සඳහා, ඔබට collinear දෛශික එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වන බව භාවිතා කළ හැකිය. තුල මේ අවස්ථාවේ දීසමානාත්මතා ඇත . දෛශික සමඟ මූලික මෙහෙයුම් හරහා ඒවායේ වලංගු භාවය පහසුවෙන් තහවුරු කර ගත හැක:

b) තල දෛශික දෙකක් collinear (රේඛීයව ස්වාධීන) නොවේ නම් පදනමක් සාදයි. සහසම්බන්ධතාවය සඳහා අපි දෛශික පරීක්ෂා කරමු . අපි පද්ධතියක් නිර්මාණය කරමු:

පළමු සමීකරණයෙන් එය අනුගමනය කරයි, දෙවන සමීකරණයෙන් එය අනුගමනය කරයි, එනම් පද්ධතිය නොගැලපේ(විසඳුම් නැත). මේ අනුව, දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික නොවේ.

නිගමනය: දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර පදනමක් සාදයි.

විසඳුමේ සරල අනුවාදයක් මේ වගේ ය:

දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක වලින් සමානුපාතිකයක් කරමු :
, එනම් මෙම දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර පදනමක් සාදයි.

සාමාන්යයෙන් මෙම විකල්පය සමාලෝචකයින් විසින් ප්රතික්ෂේප නොකෙරේ, නමුත් සමහර ඛණ්ඩාංක ශුන්යයට සමාන වන අවස්ථාවලදී ගැටළුවක් පැන නගී. මෙවැනි: . හෝ මේ වගේ: . හෝ මේ වගේ: . මෙහි සමානුපාතිකව වැඩ කරන්නේ කෙසේද? (ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට බිංදුවෙන් බෙදිය නොහැක). මම සරල කළ විසඳුම "foppish" ලෙස හැඳින්වූයේ මේ හේතුව නිසා ය.

පිළිතුර: a) , b) ආකෘතිය.

කුඩා නිර්මාණාත්මක උදාහරණයක්සදහා ස්වාධීන තීරණය:

උදාහරණ 2

දෛශික යනු පරාමිතියේ කුමන අගයකද? ඒවා කෝලිනියර් වේවිද?

නියැදි විසඳුමෙහි, පරාමිතිය සමානුපාතිකය හරහා සොයාගත හැකිය.

ප්‍රියමනාපයක් ඇත වීජීය ක්රමයසහසම්බන්ධතාවය සඳහා දෛශික පරීක්ෂා කිරීම අපි අපගේ දැනුම ක්‍රමවත් කර පස්වන කරුණ ලෙස මෙය එකතු කරමු:

තල දෛශික දෙකක් සඳහා පහත ප්‍රකාශ සමාන වේ:

2) දෛශික පදනමක් සාදයි;
3) දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ;

+ 5) මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවේ.

පිළිවෙලින්, පහත ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ සමාන වේ:
1) දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී;
2) දෛශික පදනමක් සාදන්නේ නැත;
3) දෛශික ඛණ්ඩක වේ;
4) දෛශික එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ හැක;
+ 5) මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

ඔබ මුහුණ දී ඇති සියලුම නියමයන් සහ ප්‍රකාශයන් මේ වන විට ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇති බව මම සැබවින්ම බලාපොරොත්තු වෙමි.

නව, පස්වන කරුණ දෙස සමීපව බලමු: ගුවන් යානා දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ ඛණ්ඩාංක නම් පමණි:. මෙම විශේෂාංගය යෙදීම සඳහා, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට හැකි විය යුතුය නිර්ණායක සොයා ගන්න.

අපි තීරණය කරමුදෙවන ආකාරයෙන් උදාහරණ 1:

a) අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සෑදූ නිර්ණායකය ගණනය කරමු :
, එනම් මෙම දෛශික collinear බවයි.

b) තල දෛශික දෙකක් collinear (රේඛීයව ස්වාධීන) නොවේ නම් පදනමක් සාදයි. දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සෑදූ නිර්ණායකය ගණනය කරමු :
, එනම් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර පදනමක් සාදයි.

පිළිතුර: a) , b) ආකෘතිය.

එය සමානුපාතික විසඳුමකට වඩා සංයුක්ත හා ලස්සනයි.

සලකා බැලූ ද්රව්යයේ උපකාරයෙන්, දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය පමණක් නොව, කොටස් සහ සරල රේඛා වල සමාන්තර බව ඔප්පු කිරීමට ද හැකිය. නිශ්චිත ජ්යාමිතික හැඩතල සමඟ ගැටළු කිහිපයක් සලකා බලමු.

උදාහරණය 3

චතුරස්‍රයක සිරස් ලබා දී ඇත. චතුරස්රයක් සමාන්තර චලිතයක් බව ඔප්පු කරන්න.

සාක්ෂි: විසඳුම තනිකරම විශ්ලේෂණාත්මක වන බැවින් ගැටලුව තුළ චිත්‍රයක් නිර්මාණය කිරීම අවශ්‍ය නොවේ. සමාන්තර චලිතයක අර්ථ දැක්වීම මතක තබා ගනිමු:
සමාන්තර චලිතය ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයක් ලෙස හැඳින්වේ.

එබැවින්, ඔප්පු කිරීම අවශ්ය වේ:
1) ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමාන්තරකරණය සහ;
2) ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමාන්තරකරණය සහ.

අපි ඔප්පු කරන්නේ:

1) දෛශික සොයන්න:

2) දෛශික සොයන්න:

ප්රතිඵලය එකම දෛශිකය ("පාසලට අනුව" - සමාන දෛශික). සහසම්බන්ධතාවය තරමක් පැහැදිලිය, නමුත් විධිවිධානය සමඟ තීරණය පැහැදිලිව විධිමත් කිරීම වඩා හොඳය. දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ගණනය කරමු:
, එයින් අදහස් වන්නේ මෙම දෛශික collinear වන අතර, .

නිගමනය: චතුරස්‍රයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වේ, එයින් අදහස් වන්නේ එය අර්ථ දැක්වීම අනුව සමාන්තර චලිතයක් බවයි. Q.E.D.

වඩා හොඳ සහ විවිධ සංඛ්යා:

උදාහරණය 4

චතුරස්‍රයක සිරස් ලබා දී ඇත. චතුරස්රයක් trapezoid බව ඔප්පු කරන්න.

සාධනය වඩාත් දැඩි ලෙස සකස් කිරීම සඳහා, trapezoid හි නිර්වචනය ලබා ගැනීම වඩා හොඳය, නමුත් එය පෙනෙන්නේ කෙසේද යන්න මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත්ය.

මෙය ඔබ විසින්ම විසඳා ගත යුතු කාර්යයකි. සම්පූර්ණ විසඳුමපාඩම අවසානයේ.

දැන් යානයේ සිට අභ්‍යවකාශයට සෙමින් ගමන් කිරීමට කාලයයි.

අභ්‍යවකාශ දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

රීතිය බෙහෙවින් සමාන ය. අභ්‍යවකාශ දෛශික දෙකක් collinear වීමට නම්, ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ..

උදාහරණ 5

පහත අභ්‍යවකාශ දෛශික collinear ද යන්න සොයා බලන්න:

ඒ) ;
බී)
V)

විසඳුමක්:
අ) දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක සඳහා සමානුපාතික සංගුණකයක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කර බලමු:

පද්ධතියට විසඳුමක් නැත, එයින් අදහස් වන්නේ දෛශික collinear නොවන බවයි.

"සරල" යනු සමානුපාතිකය පරීක්ෂා කිරීමෙන් විධිමත් කර ඇත. මේ අවස්ථාවේ දී:
- අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික නොවේ, එයින් අදහස් වන්නේ දෛශික ඛණ්ඩාංක නොවන බවයි.

පිළිතුර:දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ.

b-c) මේවා ස්වාධීන තීරණයක් සඳහා කරුණු වේ. එය ක්රම දෙකකින් උත්සාහ කරන්න.

තුන්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයක් හරහා සහසම්බන්ධතාවය සඳහා අවකාශීය දෛශික පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ක්‍රමයක් තිබේ, මෙම ක්රමයලිපියෙහි ආවරණය කර ඇත දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය.

ප්ලේන් නඩුවට සමානව, අවකාශීය කොටස් සහ සරල රේඛා සමාන්තරකරණය අධ්යයනය කිරීම සඳහා සලකා බැලූ මෙවලම් භාවිතා කළ හැකිය.

දෙවන කොටසට සාදරයෙන් පිළිගනිමු:

ත්‍රිමාණ අවකාශයේ දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ ස්වාධීනත්වය.
අවකාශීය පදනම සහ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය

ගුවන් යානයේ අප විසින් පරීක්ෂා කරන ලද බොහෝ රටා අවකාශය සඳහා වලංගු වේ. මම න්‍යාය සටහන් අවම කිරීමට උත්සාහ කළෙමි සිංහයාගේ කොටසතොරතුරු දැනටමත් හපලා ඇත. කෙසේ වෙතත්, නව නියමයන් සහ සංකල්ප දිස්වනු ඇති බැවින්, ඔබ හඳුන්වාදීමේ කොටස ප්රවේශමෙන් කියවන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි.

දැන්, පරිගණක මේසයේ තලය වෙනුවට, අපි ත්රිමාණ අවකාශය ගවේෂණය කරන්නෙමු. පළමුව, අපි එහි පදනම නිර්මාණය කරමු. කවුරුහරි දැන් ගෘහස්ථව, යමෙක් එළිමහනේ, නමුත් ඕනෑම අවස්ථාවක, අපට මාන තුනෙන් ගැලවිය නොහැක: පළල, දිග සහ උස. එබැවින්, පදනමක් තැනීම සඳහා, අවකාශීය දෛශික තුනක් අවශ්ය වනු ඇත. දෛශික එකක් හෝ දෙකක් ප්රමාණවත් නොවේ, සිව්වැන්න අතිරික්තය.

නැවතත් අපි අපේ ඇඟිලි මත උණුසුම් කරමු. කරුණාකර ඔබේ අත ඉහළට ඔසවා විවිධ දිශාවලට විහිදුවන්න මාපටැඟිල්ල, දර්ශකය සහ මැද ඇඟිල්ල . මේවා දෛශික වනු ඇත, ඔවුන් විවිධ දිශාවන් දෙස බලයි, ඔවුන් සතුව ඇත විවිධ දිගසහ ඔවුන් අතර විවිධ කෝණ ඇත. සුභ පැතුම්, ත්රිමාණ අවකාශයේ පදනම සූදානම්! මාර්ගය වන විට, ඔබ ඔබේ ඇඟිලි කෙතරම් තදින් ඇඹරුවද, මෙය ගුරුවරුන්ට පෙන්වීමට අවශ්‍ය නැත, නමුත් අර්ථ දැක්වීම් වලින් ගැලවීමක් නොමැත =)

ඊළඟට අපි අහමු වැදගත් ප්රශ්නයක්, ඕනෑම දෛශික තුනක් ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනමක් ඇති කරයිද?? කරුණාකර පරිගණක මේසයේ ඉහළට ඇඟිලි තුනක් තදින් ඔබන්න. සිදුවුයේ කුමක් ද? දෛශික තුනක් එකම තලයක පිහිටා ඇති අතර, දළ වශයෙන් කථා කිරීම, අපට එක් මානයන් අහිමි වී ඇත - උස. එවැනි දෛශික වේ coplanarසහ, ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම නිර්මාණය වී නැති බව ඉතා පැහැදිලිය.

කොප්ලැනර් දෛශික එකම තලයක වැතිරීමට අවශ්‍ය නොවන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, ඒවා සමාන්තර තලවල විය හැකිය (මෙය ඔබේ ඇඟිලිවලින් නොකරන්න, මෙය කළේ සැල්වදෝර් ඩාලි පමණි =)).

අර්ථ දැක්වීම: දෛශික ලෙස හැඳින්වේ coplanar, ඔවුන් සමාන්තර වන ගුවන් යානයක් තිබේ නම්. එවැනි තලයක් නොමැති නම්, දෛශික කොප්ලැනර් නොවන බව මෙහි එකතු කිරීම තර්කානුකූල ය.

කොප්ලැනර් දෛශික තුනක් සෑම විටම රේඛීයව රඳා පවතී, එනම්, ඒවා එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ. සරල බව සඳහා, ඔවුන් එකම තලයක වැතිර සිටින බව අපි නැවත සිතමු. පළමුව, දෛශික යනු coplanar පමණක් නොවේ, ඒවා collinear ද විය හැකිය, එවිට ඕනෑම දෛශිකයක් ඕනෑම දෛශිකයක් හරහා ප්‍රකාශ කළ හැකිය. දෙවන අවස්ථාවේ දී, උදාහරණයක් ලෙස, දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ නම්, තුන්වන දෛශිකය ඒවා හරහා අද්විතීය ආකාරයකින් ප්‍රකාශ වේ: (සහ පෙර කොටසේ ඇති ද්‍රව්‍ය වලින් අනුමාන කිරීමට පහසු වන්නේ මන්ද).

ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය ය: කොප්ලැනර් නොවන දෛශික තුනක් සෑම විටම රේඛීයව ස්වාධීන වේ, එනම්, ඔවුන් එකිනෙකා හරහා කිසිදු ආකාරයකින් ප්රකාශ නොවේ. තවද, පැහැදිලිවම, ත්‍රිමාණ අවකාශයේ පදනම සෑදිය හැක්කේ එවැනි දෛශිකවලට පමණි.

අර්ථ දැක්වීම: ත්රිමාණ අවකාශයේ පදනමරේඛීය ස්වාධීන (කොප්ලැනර් නොවන) දෛශික ත්‍රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ, නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට ගෙන ඇත, සහ අවකාශයේ ඕනෑම දෛශිකයක් එකම මාර්ගයලබා දී ඇති පදනමක් මත දිරාපත් වේ, මෙම පදනමේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක කොහෙද

දෛශිකය ආකෘතියෙන් නිරූපණය වන බව අපට පැවසිය හැකි බව මම ඔබට මතක් කරමි රේඛීය සංයෝජනයපදනම් දෛශික.

ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් පිළිබඳ සංකල්පය තලයේ නඩුවට සමාන ආකාරයකින් හඳුන්වා දෙනු ලැබේ; එක් ලක්ෂයක් සහ ඕනෑම රේඛීය තුනක් ස්වාධීන දෛශික:

සම්භවය, සහ coplanar නොවනදෛශික, නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට ගෙන ඇත, කට්ටලය ත්‍රිමාන අවකාශයේ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය :

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඛණ්ඩාංක ජාලය "ආනත" සහ අපහසු වේ, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, ඉදිකරන ලද ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය අපට ඉඩ සලසයි. නියත වශයෙන්මඕනෑම දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සහ අවකාශයේ ඕනෑම ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න. ගුවන් යානයකට සමානව, මම දැනටමත් සඳහන් කර ඇති සමහර සූත්‍ර අභ්‍යවකාශයේ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ක්‍රියා නොකරනු ඇත.

හැමෝම අනුමාන කරන පරිදි, affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක වඩාත්ම හුරුපුරුදු සහ පහසු විශේෂ අවස්ථාව වන්නේ සෘජුකෝණාස්රාකාර අවකාශ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය:

අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස හැඳින්වේ සම්භවය, සහ විකලාංගපදනම සකසා ඇත කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර අවකාශ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය . හුරුපුරුදු පින්තූරය:

ප්‍රායෝගික කාර්යයන් වෙත යාමට පෙර, අපි නැවත තොරතුරු ක්‍රමවත් කරමු:

සදහා දෛශික තුනක් space පහත ප්‍රකාශ සමාන වේ:
1) දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වේ;
2) දෛශික පදනමක් සාදයි;
3) දෛශික coplanar නොවේ;
4) දෛශික එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ නොහැක;
5) මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.

ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ තේරුම් ගත හැකි යැයි මම සිතමි.

අභ්‍යවකාශ දෛශිකවල රේඛීය යැපීම/ස්වාධීනත්වය සාම්ප්‍රදායිකව නිර්ණායකයක් භාවිතයෙන් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ (ලක්ෂ්‍යය 5). ඉතිරි ප්‍රායෝගික කර්තව්‍යයන් ප්‍රකාශිත වීජීය ස්වභාවයකින් යුක්ත වේ. ජ්‍යාමිතික සැරයටිය එල්ලා රේඛීය වීජ ගණිතයේ බේස්බෝල් පිත්ත භාවිතා කිරීමට කාලයයි.

අවකාශයේ දෛශික තුනක්ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ පමණක් නම් coplanar වේ: .

කුඩා තාක්ෂණික සූක්ෂ්මතාවයක් වෙත ඔබේ අවධානය යොමු කිරීමට මම කැමතියි: දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක තීරු වල පමණක් නොව පේළි වලද ලිවිය හැකිය (නිශ්චය කිරීමේ අගය මේ නිසා වෙනස් නොවේ - නිර්ණායකවල ගුණාංග බලන්න). නමුත් සමහර ප්‍රායෝගික ගැටළු විසඳීම සඳහා එය වඩාත් ප්‍රයෝජනවත් වන බැවින් තීරු වල එය වඩා හොඳය.

නිර්ණායක ගණනය කිරීමේ ක්‍රම ටිකක් අමතක වී ඇති හෝ ඒවා ගැන එතරම් අවබෝධයක් නොමැති පාඨකයින් සඳහා, මම මගේ පැරණිතම පාඩම් වලින් එකක් නිර්දේශ කරමි: නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

උදාහරණ 6

පහත දෛශික ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම වේද යන්න පරීක්ෂා කරන්න:

විසඳුමක්: ඇත්ත වශයෙන්ම, සම්පූර්ණ විසඳුම නිර්ණායකය ගණනය කිරීමට පැමිණේ.

අ) දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සෑදූ නිර්ණායකය ගණනය කරමු (පළමු පේළියේ නිර්ණායකය අනාවරණය වේ):

, එයින් අදහස් වන්නේ දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන (coplanar නොවේ) සහ ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම සාදයි.

පිළිතුර: මෙම දෛශික පදනමක් සාදයි

ආ) මෙය ස්වාධීන තීරණයක් සඳහා වන කරුණකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

හමුවන්න සහ නිර්මාණාත්මක කාර්යයන්:

උදාහරණ 7

දෛශික කොප්ලැනර් වන්නේ පරාමිතියේ කුමන අගයකින්ද?

විසඳුමක්: දෛශික coplanar වන්නේ මෙම දෛශික වල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ පමණි:

මූලික වශයෙන්, ඔබ නිර්ණායකයක් සමඟ සමීකරණයක් විසඳිය යුතුය. අපි ජර්බෝස් මත සරුංගල් වැනි ශුන්‍ය මත පහළට ඇද දමමු - දෙවන පේළියේ නිර්ණායකය විවෘත කර වහාම අවාසි ඉවත් කිරීම වඩාත් සුදුසුය:

අපි තවදුරටත් සරල කිරීම් සිදු කර කාරණය සරලම රේඛීය සමීකරණයට අඩු කරන්නෙමු:

පිළිතුර: හිදී

මෙහි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය; මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට ලැබෙන අගය මුල් නිර්ණායකයට ආදේශ කර එය තහවුරු කර ගත යුතුය. , එය නැවත විවෘත කිරීම.

අවසාන වශයෙන්, අපි තවත් සාමාන්‍ය ගැටලුවක් සලකා බලමු, එය වඩාත් වීජීය ස්වභාවයක් වන අතර සම්ප්‍රදායිකව රේඛීය වීජ ගණිත පාඨමාලාවකට ඇතුළත් වේ. එය කෙතරම් සුලභද යත්, එය තමන්ගේම මාතෘකාවට සුදුසු ය:

ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම දෛශික 3ක් බව ඔප්පු කරන්න
සහ මෙම පදනමින් 4 වන දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න

උදාහරණ 8

දෛශික ලබා දී ඇත. දෛශික ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනමක් ඇති බව පෙන්වන්න සහ මෙම පදනමේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

විසඳුමක්: පළමුව, අපි කොන්දේසිය සමඟ කටයුතු කරමු. කොන්දේසිය අනුව, දෛශික හතරක් ලබා දී ඇති අතර, ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඒවාට දැනටමත් යම් පදනමකින් ඛණ්ඩාංක ඇත. මෙම පදනම කුමක්ද යන්න අපට උනන්දුවක් නොදක්වයි. පහත සඳහන් කරුණ සිත්ගන්නා කරුණකි: දෛශික තුනක් නව පදනමක් සෑදිය හැකිය. පළමු අදියර නිදසුන් 6 හි විසඳුම සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම සමපාත වේ; දෛශික සැබවින්ම රේඛීයව ස්වාධීන දැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය වේ:

දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ගණනය කරමු:

, එනම් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම සාදයි.

! වැදගත් : දෛශික ඛණ්ඩාංක අනිවාර්යයෙන්ලියන්න තීරු බවටනිර්ණායකය, නූල්වලින් නොවේ. එසේ නොමැති නම්, තවදුරටත් විසඳුම් ඇල්ගොරිතමයේ ව්යාකූලත්වයක් ඇති වනු ඇත.

L. 2-1 දෛශික වීජ ගණිතයේ මූලික සංකල්ප. දෛශික මත රේඛීය මෙහෙයුම්.

පදනම අනුව දෛශිකයක් වියෝජනය කිරීම.

දෛශික වීජ ගණිතයේ මූලික සංකල්ප

දෛශිකයක් යනු එකම දිග සහ දිශාව ඇති සියලුම අධ්‍යක්ෂණය කරන ලද කොටස් සමූහයකි.
.

දේපළ:

දෛශික මත රේඛීය මෙහෙයුම්

1.

සමාන්තර චලිත රීතිය:

සමග ummahදෛශික දෙකක් සහ දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ , ඔවුන්ගේ පොදු සම්භවයෙන් පැමිණ දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක විකර්ණයක් වීම සහ දෙපැත්තෙන්ම.

බහුඅස්ර රීතිය:

ඕනෑම දෛශික ගණනක එකතුව සෑදීමට, ඔබ දෛශිකයේ 1 වන වාරය අවසානයේ 2 වන ආරම්භය, 2 අවසානයේ - 3 හි ආරම්භය යනාදිය තැබිය යුතුය. ප්රතිඵලය වසා දමන දෛශිකය කැඩුණු රේඛාව, එකතුව වේ. එහි ආරම්භය 1 වන ආරම්භය සමග සමපාත වන අතර එහි අවසානය අන්තිම අවසානය සමග සමපාත වේ.

දේපළ:

2.

දෛශිකයක නිෂ්පාදනයක් අංකයකට , කොන්දේසි සපුරාලන දෛශිකයකි:
.

දේපළ:

3.

වෙනස අනුවදෛශික සහ දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ , දෛශිකයේ එකතුවට සමාන වේ සහ දෛශිකයට විරුද්ධ දෛශිකය , i.e.
.

- ප්රතිවිරුද්ධ මූලද්රව්යයේ නියමය (දෛශිකය).

දෛශිකයක් පදනමක් බවට වියෝජනය කිරීම

දෛශික එකතුව අද්විතීය ආකාරයකින් තීරණය වේ
(නමුත් පමණි ) ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාකාරිත්වය, දෛශිකයක් සංරචක කිහිපයකට වියෝජනය කිරීම අපැහැදිලි ය: එය නොපැහැදිලි කිරීම සඳහා, අදාළ දෛශිකය දිරාපත් වී ඇති දිශාවන් සඳහන් කිරීම අවශ්‍ය වේ, නැතහොත්, ඔවුන් පවසන පරිදි, එය දැක්විය යුතුය. පදනම.

පදනම නිර්ණය කිරීමේදී, දෛශිකවල කෝප්ලැනරිටි නොවන සහ කෝලිනේරියර් නොවන අවශ්යතාව අත්යවශ්ය වේ. මෙම අවශ්‍යතාවයේ අර්ථය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ රේඛීය ස්වාධීනත්වය පිළිබඳ සංකල්පය සලකා බැලීම අවශ්‍ය වේ.

පෝරමයේ අත්තනෝමතික ප්රකාශනයක්: , ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය සංයෝජනයදෛශික
.

දෛශික කිහිපයක රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස හැඳින්වේ සුළු සුළුය, එහි සියලුම සංගුණක ශුන්‍යයට සමාන නම්.

දෛශික
යනුවෙන් හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී, ශුන්‍යයට සමාන මෙම දෛශිකවල සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් තිබේ නම්:
(1), සපයා ඇත
. සමානාත්මතාවය (1) සැමට පමණක් පවතී නම්
එකවර ශුන්‍යයට සමාන වේ, පසුව ශුන්‍ය නොවන දෛශික
කැමැත්ත රේඛීයව ස්වාධීන.

ඔප්පු කිරීමට පහසුය: ඕනෑම collinear දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පවතින අතර ඕනෑම collinear නොවන දෛශික දෙකක් රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

පළමු ප්‍රකාශයෙන් ඔප්පු කිරීම ආරම්භ කරමු.

වාහකයන්ට ඉඩ දෙන්න සහ collinear. ඒවා රේඛීයව රඳා පවතින බව අපි පෙන්වමු. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඒවා collinear නම්, ඒවා එකිනෙකට වෙනස් වන්නේ සංඛ්‍යාත්මක සාධකයකින් පමණි, i.e.
, එහෙයින්
. ප්රතිඵලය වන රේඛීය සංයෝජනය පැහැදිලිවම සුළු නොවන අතර "0" ට සමාන වන බැවින්, පසුව දෛශික සහ රේඛීයව රඳා පවතී.

අපි දැන් collinear නොවන දෛශික දෙකක් සලකා බලමු සහ . ඒවා රේඛීයව ස්වාධීන බව අපි ඔප්පු කරමු. අපි සාක්‍ෂි ගොඩනගන්නේ පරස්පරතාවයෙනි.

අපි හිතමු ඒවා රේඛීයව යැපෙනවා කියලා. එවිට සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් තිබිය යුතුය
. අපි එහෙම මවාපාමු
, ඉන්පසු
. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් සමානාත්මතාවය යනු දෛශික බවයි සහ අපගේ මුල් උපකල්පනයට පටහැනිව collinear වේ.

ඒ හා සමානව අපට ඔප්පු කළ හැකිය: ඕනෑම coplanar දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පවතින අතර ඕනෑම coplanar නොවන දෛශික දෙකක් රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

පදනම පිළිබඳ සංකල්පයට සහ දෛශිකයක් නිශ්චිත පදනමකින් දිරාපත් වීමේ ගැටලුව වෙත ආපසු යාමෙන් අපට එය පැවසිය හැකිය. තලයේ සහ අභ්‍යවකාශයේ පදනම රේඛීය ස්වාධීන දෛශික සමූහයකින් සෑදී ඇත.මෙම පදනම පිළිබඳ සංකල්පය පොදු ය, මන්ද එය ඕනෑම මානයක අවකාශයකට අදාළ වේ.

වැනි ප්රකාශනය:
, දෛශික වියෝජනය ලෙස හැඳින්වේ දෛශික මගින් ,…,.

අපි ත්රිමාණ අවකාශයේ පදනමක් සලකා බලන්නේ නම්, දෛශිකයේ වියෝජනය පදනම අනුව
කැමැත්ත
, කොහෙද
-දෛශික ඛණ්ඩාංක.

කිසියම් පදනමක් තුළ අත්තනෝමතික දෛශිකයක් දිරාපත් කිරීමේ ගැටලුවේ දී එය ඉතා වැදගත් වේ පහත ප්රකාශය: ඕනෑම දෛශිකයක්දී ඇති පදනමක් තුළ අද්විතීය ලෙස පුළුල් කළ හැකිය
. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඛණ්ඩාංක
ඕනෑම දෛශිකයක් සඳහා පදනමට සාපේක්ෂව
නිසැකව තීරණය වේ.

අභ්‍යවකාශයේ සහ තලයේ පදනමක් හඳුන්වා දීමෙන් අපට එක් එක් දෛශිකය පැවරීමට ඉඩ සලසයි ඇණවුම් කළ ත්‍රිත්ව (යුගල) සංඛ්‍යා - එහි ඛණ්ඩාංක. ජ්‍යාමිතික වස්තූන් සහ සංඛ්‍යා අතර සම්බන්ධතාවයක් ඇති කර ගැනීමට අපට ඉඩ සලසන මෙම ඉතා වැදගත් ප්‍රති result ලය, භෞතික වස්තූන්ගේ පිහිටීම සහ චලනය විශ්ලේෂණාත්මකව විස්තර කිරීමට සහ අධ්‍යයනය කිරීමට හැකි වේ.

ලක්ෂ්‍යයක සහ පදනමක කට්ටලය ලෙස හැඳින්වේ සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය.

පදනම සාදන දෛශික ඒකක සහ යුගල වශයෙන් ලම්බක නම්, ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර,සහ පදනම විකලාංග.

L. 2-2 දෛශික නිෂ්පාදන

දෛශිකයක් පදනමක් බවට වියෝජනය කිරීම

දෛශිකයක් සලකා බලන්න
, එහි ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත:
.

- දෛශික සංරචක පාදක දෛශිකවල දිශාවන් ඔස්සේ
.

පෝරමයේ ප්රකාශනය
දෛශික වියෝජනය ලෙස හැඳින්වේ පදනම අනුව
.

ඒ හා සමාන ආකාරයකින් අපට දිරාපත් විය හැක පදනම අනුව
දෛශිකය
:

.

සලකා බලනු ලබන දෛශිකය විසින් සාදන ලද කෝණවල කෝසයින් පදනම් දෛශික සමඟ
යනුවෙන් හැඳින්වේ දිශා කොසයින

;
;
.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය.

දෛශික දෙකක තිත් නිෂ්පාදනය සහ යනු මෙම දෛශිකවල මොඩියුලයේ ගුණිතය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයට සමාන අංකයකි

දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය මෙම දෛශික වලින් එකක මාපාංකයේ ගුණිතය සහ අනෙක් දෛශිකයේ විකලාංග ප්‍රක්ෂේපනය පළමු දිශාවට සැලකිය හැක.
.

දේපළ:

දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක දන්නේ නම්
සහ
, පසුව, දෛශික පදනම බවට දිරාපත් කර ඇත
:
සහ
, අපි සොයා ගනිමු

, නිසා
,
, එම

.

.

දෛශික සඳහා කොන්දේසිය ලම්බක විය යුතුය:
.

රෙක්ටර් වල සහසම්බන්ධතාවය සඳහා කොන්දේසි:
.

දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය

හෝ

දෛශිකයෙන් දෛශික නිෂ්පාදනය දෛශිකයට එවැනි දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ
, කොන්දේසි සපුරාලන:

දේපළ:

සලකා බලන වීජීය ගුණාංග අපට විශ්ලේෂණාත්මක ප්‍රකාශනයක් සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි දෛශික නිෂ්පාදනයවිකලාංග පදනමේ ඇති සංරචක දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක හරහා.

ලබා දී ඇත:
සහ
.

නිසා ,
,
,
,
,
,
, එම

. මෙම සූත්‍රය තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකයක ස්වරූපයෙන් වඩාත් කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:

.

දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්

දෛශික තුනක මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් ,සහ දෛශික නිෂ්පාදනයට සමාන අංකය වේ
, දෛශිකයෙන් අදිශය ගුණ කරයි .

පහත සමානාත්මතාවය සත්ය වේ:
, එබැවින් මිශ්ර භාණ්ඩය ලියා ඇත
.

නිර්වචනයෙන් පහත පරිදි, දෛශික තුනක මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලය සංඛ්‍යාවකි. මෙම අංකයට පැහැදිලි ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත:

මිශ්ර නිෂ්පාදන මොඩියුලය
පොදු සම්භවයක් දක්වා අඩු කරන ලද දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාවට සමාන වේ ,සහ .

මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක ගුණ:

දෛශික නම් ,,විකලාංග පදනමකින් නිශ්චිතව දක්වා ඇත
එහි ඛණ්ඩාංක සමඟ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ

.

ඇත්ත වශයෙන්ම, නම්
, එම

;
;
, ඉන්පසු
.

දෛශික නම් ,,coplanar වේ, පසුව දෛශික නිෂ්පාදනය
දෛශිකයට ලම්බකව . සහ අනෙක් අතට, නම්
, එවිට parallelepiped පරිමාව ශුන්ය වන අතර, මෙය කළ හැක්කේ දෛශික coplanar (රේඛීයව රඳා පවතී) නම් පමණි.

මේ අනුව, දෛශික තුනක් coplanar වේ නම් සහ ඒවායේ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය ශුන්‍ය නම් පමණි.

දෛශික කලනය සහ එහි යෙදීම් වල විශාල වැදගත්කමක්දී ඇති දෛශිකයක සංරචක ලෙස හැඳින්වෙන දෛශික කිහිපයක එකතුවක් ලෙස දී ඇති දෛශිකයක් නියෝජනය කිරීම සමන්විත වන වියෝජන කාර්යයක් ඇත.

දෛශිකය. සාමාන්‍යයෙන් අසීමිත විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් ඇති මෙම ගැටළුව, අපි සංරචක දෛශිකවල සමහර මූලද්‍රව්‍ය සඳහන් කළහොත් සම්පූර්ණයෙන්ම නිර්වචනය වේ.

2. වියෝජනය පිළිබඳ උදාහරණ.

දිරාපත් වීමේ ඉතා පොදු අවස්ථා කිහිපයක් අපි සලකා බලමු.

1. ලබා දී ඇති දෛශිකයක් c සංඝටක දෛශික දෙකකට වියෝජනය කරන්න, ඉන් එකක්, උදාහරණයක් ලෙස a, විශාලත්වය සහ දිශාවෙන් ලබා දී ඇත.

දෛශික දෙකක් අතර වෙනස තීරණය කිරීම සඳහා ගැටළුව පැමිණේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශික c දෛශිකයේ සංරචක නම්, සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් විය යුතුය.

මෙතැන් සිට දෙවන සංරචක දෛශිකය තීරණය වේ

2. දී ඇති දෛශිකය c කොටස් දෙකකට වියෝජනය කරන්න, ඉන් එකක් දී ඇති තලයක පිහිටා තිබිය යුතු අතර දෙවැන්න ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක් මත පිහිටා තිබිය යුතුය a.

සංරචක දෛශික තීරණය කිරීම සඳහා, අපි දෛශිකය c ගෙන යන අතර එහි ආරම්භය තලය සමඟ ලබා දී ඇති සරල රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සමඟ සමපාත වේ (ලක්ෂ්‍යය O - රූපය 18 බලන්න). දෛශික c (ලක්ෂ්යය C) අවසානයේ සිට අපි සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු

තලය සමඟ ඡේදනය (B යනු ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය), ඉන්පසු C ලක්ෂ්‍යයේ සිට අපි සමාන්තරව සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු

දෛශික සහ අපේක්ෂිත ඒවා වනු ඇත, එනම් ස්වාභාවිකවම, සෘජු රේඛාව a සහ තලය සමාන්තර නොවේ නම්, පෙන්නුම් කරන ලද ප්රසාරණය විය හැකිය.

3. coplanar දෛශික තුනක් ලබා දී ඇත, a, b සහ c, සහ දෛශික collinear නොවේ. දෛශික c දෛශික බවට වියෝජනය කිරීම අවශ්ය වේ

අපි ලබා දී ඇති දෛශික තුනම O ලක්ෂ්‍යයකට ගෙන එමු. එවිට ඒවායේ coplanarity නිසා ඒවා එකම තලයක පිහිටයි. මෙම දෛශිකය c විකර්ණයක් ලෙස භාවිතා කරමින්, අපි සමාන්තර චලිතයක් සාදනු ඇත, එහි පැති දෛශිකවල ක්‍රියාකාරී රේඛාවලට සමාන්තර වේ (රූපය 19). මෙම ඉදිකිරීම සෑම විටම කළ හැකි (දෛශික collinear නොවේ නම්) සහ අද්විතීය වේ. රූපයෙන්. 19 එය පැහැදිලිය

අවකාශයේ පදනමඅභ්‍යවකාශයේ ඇති අනෙකුත් සියලුම දෛශික පදනමට ඇතුළත් කර ඇති දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි දෛශික පද්ධතියක් ඔවුන් හඳුන්වයි.
ප්රායෝගිකව, මේ සියල්ල ඉතා සරලව ක්රියාත්මක වේ. පදනම, රීතියක් ලෙස, ගුවන් යානයක හෝ අභ්‍යවකාශයේ පරීක්ෂා කරනු ලබන අතර, මේ සඳහා ඔබ දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත දෙවන, තෙවන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය සොයා ගත යුතුය. පහත ක්‍රමානුකූලව ලියා ඇත දෛශික පදනමක් ඇති කොන්දේසි යටතේ

දක්වා දෛශිකය b පාදක දෛශික බවට පුළුල් කරන්න
e,e...,e[n] දෛශික වල රේඛීය සංයෝජනය e,e...,e[n] සමාන වන x, ..., x[n] සංගුණක සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. දෛශිකය බී:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෛශික සමීකරණය පද්ධතියට පරිවර්තනය කළ යුතුය රේඛීය සමීකරණසහ විසඳුම් සොයන්න. මෙය ක්‍රියාත්මක කිරීම ද තරමක් සරල ය.
සොයාගත් සංගුණක x, ..., x[n] ලෙස හැඳින්වේ දෛශික b හි ඛණ්ඩාංක පදනමේ e,e...,e[n].
අපි මාතෘකාවේ ප්‍රායෝගික පැත්තට යමු.

දෛශිකයක් පදනම් දෛශික බවට වියෝජනය කිරීම

කාර්යය 1. දෛශික a1, a2 තලය මත පදනමක් වේද යන්න පරීක්ෂා කරන්න

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
විසඳුම: අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් නිර්ණායකයක් සාදා එය ගණනය කරමු

නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවේ, එහෙයින් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර එයින් අදහස් වන්නේ ඒවා පදනමක් සාදයි.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
විසඳුම: අපි දෛශික වලින් සෑදූ නිර්ණායකය ගණනය කරමු

නිර්ණායකය 13 ට සමාන වේ (ශුන්‍යයට සමාන නොවේ) - මෙයින් කියවෙන්නේ a1, a2 දෛශික තලයේ පදනමක් බවයි.

---=================---

අපි සලකා බලමු සාමාන්ය උදාහරණ"උසස් ගණිතය" විෂයයෙහි MAUP වැඩසටහනෙන්.

කාර්යය 2. දෛශික a1, a2, a3 ත්‍රිමාන දෛශික අවකාශයක පදනම වන බව පෙන්වන්න, මෙම පදනමට අනුව b දෛශිකය පුළුල් කරන්න (රේඛීය පද්ධතියක් විසඳන විට වීජීය සමීකරණක්‍රේමර් ක්‍රමය භාවිතා කරන්න).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
විසඳුම: පළමුව, දෛශික a1, a2, a3 පද්ධතිය සලකා බලා A matrix හි නිර්ණායකය පරීක්ෂා කරන්න

ශුන්‍ය නොවන දෛශික මත ගොඩනගා ඇත. න්‍යාසයේ එක් ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍යයක් අඩංගු වේ, එබැවින් පළමු තීරුවේ හෝ තුන්වන පේළියේ කාලසටහනක් ලෙස නිර්ණායකය ගණනය කිරීම වඩාත් සුදුසුය.

ගණනය කිරීම් වල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් බව අපට පෙනී ගියේය දෛශික a1, a2, a3 රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
නිර්වචනය අනුව, දෛශික R3 හි පදනමක් සාදයි. දෛශික b හි කාලසටහන පාදක කර ලියා ගනිමු

ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමාන වන විට දෛශික සමාන වේ.
එබැවින්, දෛශික සමීකරණයෙන් අපි රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු

අපි SLAE විසඳා ගනිමු ක්රේමර්ගේ ක්රමය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පෝරමයේ සමීකරණ පද්ධතිය ලියන්නෙමු

SLAE හි ප්‍රධාන නිර්ණායකය සෑම විටම පදනම් දෛශික වලින් සමන්විත නිර්ණායකයට සමාන වේ.

එබැවින්, ප්රායෝගිකව එය දෙවරක් ගණන් නොකෙරේ. සහායක නිර්ණායක සොයා ගැනීම සඳහා, අපි ප්‍රධාන නිර්ණායකයේ එක් එක් තීරුව වෙනුවට නිදහස් පද තීරුවක් තබමු. නිර්ණායක ත්‍රිකෝණ රීතිය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ



සොයාගත් නිර්ණායක ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍රයට ආදේශ කරමු



එබැවින්, පදනම අනුව දෛශිකයේ ප්‍රසාරණය b=-4a1+3a2-a3 ආකෘතිය ඇත. දෛශික b හි ඛණ්ඩාංක a1, a2, a3 පදනමේ (-4,3, 1) වනු ඇත.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
විසඳුම: අපි දෛශික පදනමක් සඳහා පරීක්ෂා කරමු - අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් නිර්ණායකයක් සාදා එය ගණනය කරමු

එබැවින් නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ දෛශික අවකාශයේ පදනමක් සාදයි. මෙම පදනම හරහා දෛශික b හි කාලසටහන සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි දෛශික සමීකරණය ලියන්නෙමු

සහ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට පරිවර්තනය කිරීම

අපි එය ලියා තබමු matrix සමීකරණය

ඊළඟට, ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍ර සඳහා අපි සහායක නිර්ණායක සොයා ගනිමු



අපි ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍ර යොදන්නෙමු



එබැවින් ලබා දී ඇති දෛශිකයක් b=-2a1+5a3 පදනම් දෛශික දෙකක් හරහා කාලසටහනක් ඇති අතර, පදනමේ එහි ඛණ්ඩාංක b(-2,0, 5) ට සමාන වේ.