ඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදනය. හරස් නිෂ්පාදන - අර්ථ දැක්වීම්, ගුණ, සූත්ර, උදාහරණ සහ විසඳුම්
මෙම පාඩමේදී අපි දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් දෙකක් දෙස බලමු: දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයසහ දෛශික මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් (අවශ්ය අය සඳහා ක්ෂණික සබැඳිය). එය කමක් නැත, සමහර විට එය සම්පූර්ණ සතුට සඳහා, අමතරව සිදු වේ දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය, වැඩි වැඩියෙන් අවශ්ය වේ. මෙය දෛශික ඇබ්බැහි වීමකි. අපි විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය කැලයට ඇතුල් වන බව පෙනෙන්නට තිබේ. මේක වැරදියි. උසස් ගණිතයේ මෙම කොටසේ පිනොචියෝ සඳහා ප්රමාණවත් තරම් හැර සාමාන්යයෙන් කුඩා ලී ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, ද්රව්යය ඉතා පොදු සහ සරලයි - එකම දේට වඩා සංකීර්ණ නොවේ පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්, සාමාන්ය කාර්යයන් පවා අඩු වනු ඇත. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතියේ ප්‍රධානතම දෙය නම්, බොහෝ දෙනෙකුට ඒත්තු ගැන්වෙනු ඇති හෝ දැනටමත් ඒත්තු ගොස් ඇති පරිදි, ගණනය කිරීම් වලදී වැරදි සිදු නොකිරීමයි. මන්ත්‍රයක් මෙන් නැවත නැවත කරන්න, එවිට ඔබ සතුටු වනු ඇත =)
ක්ෂිතිජයේ අකුණු ගහනවා වගේ දෛශික කොහේ හරි ඈතින් දිදුලනවා නම්, කමක් නැහැ, පාඩමෙන් පටන් ගන්න ඩමි සඳහා දෛශිකනැවත ලබා ගැනීමට හෝ නැවත ලබා ගැනීමට මූලික දැනුමදෛශික ගැන. වඩාත් සුදානම් වූ පාඨකයන්ට තොරතුරු තෝරා බේරා දැනගත හැකිය; බොහෝ විට දක්නට ලැබෙන වඩාත්ම සම්පූර්ණ උදාහරණ එකතුව එකතු කිරීමට මම උත්සාහ කළෙමි. ප්රායෝගික වැඩ
ඔබ වහාම සතුටු වන්නේ කුමක්ද? මම පොඩි කාලේ මට බෝල දෙක තුනක් පවා ජුගුල් කරන්න පුළුවන්. එය හොඳින් ක්‍රියාත්මක විය. අපි සලකා බලනු ඇති බැවින්, දැන් ඔබට කිසිසේත්ම හොර රහසේ කිරීමට සිදු නොවනු ඇත අවකාශීය දෛශික පමණි, සහ ඛණ්ඩාංක දෙකක් සහිත පැතලි දෛශික ඉතිරි වනු ඇත. ඇයි? මෙම ක්රියාවන් උපත ලැබුවේ කෙසේද - දෛශිකය සහ මිශ්ර වැඩදෛශික නිර්වචනය කර ත්‍රිමාන අවකාශයේ ක්රියා කරයි. එය දැනටමත් පහසුයි!
මෙම මෙහෙයුම, අදිශ නිෂ්පාදනය මෙන්ම, ඇතුළත් වේ දෛශික දෙකක්. මේවා නොදිරන අකුරු වේවා.
ක්‍රියාව ම ය මගින් දක්වා ඇතපහත ආකාරයෙන්: . වෙනත් විකල්ප ඇත, නමුත් මම දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය මේ ආකාරයෙන්, හරස්කඩ සහිත හතරැස් වරහන් තුළ දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි.
සහ වහාම ප්රශ්නය: ඇතුලේ නම් දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයදෛශික දෙකක් සම්බන්ධ වන අතර මෙහි දෛශික දෙකක් ද ගුණ කරනු ලැබේ කුමක්ද වෙනස? පැහැදිලි වෙනස නම්, ප්‍රථමයෙන්ම, ප්‍රතිඵලයේ:
දෛශිකවල අදිශ ගුණිතයේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ:
දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලය VECTOR වේ: , එනම් අපි දෛශික ගුණ කර නැවත දෛශිකයක් ලබා ගනිමු. සංවෘත සමාජය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහෙයුමේ නම පැමිණෙන්නේ මෙයයි. විවිධ ආකාරයෙන් අධ්යාපනික සාහිත්යයතනතුරු ද වෙනස් විය හැක, මම ලිපිය භාවිතා කරමි.
හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම
පළමුව පින්තූරයක් සමඟ අර්ථ දැක්වීමක් ඇත, පසුව අදහස්.
අර්ථ දැක්වීම: දෛශික නිෂ්පාදනය collinear නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, VECTOR ලෙස හැඳින්වේ, දිගසංඛ්යාත්මකව වන සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන වේ, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇත; දෛශිකය වාහකයන්ට විකලාංග, සහ පදනමට නිවැරදි දිශානතියක් ඇති වන පරිදි මෙහෙයවනු ලැබේ: 
අපි අර්ථ දැක්වීම කෑල්ලෙන් බිඳ දමමු, මෙහි රසවත් දේවල් බොහොමයක් තිබේ!
එබැවින්, පහත සඳහන් වැදගත් කරුණු ඉස්මතු කළ හැකිය:
1) නිර්වචනය අනුව රතු ඊතල මගින් දැක්වෙන මුල් දෛශික collinear නොවේ. කොලීනියර් දෛශික සම්බන්ධයෙන් මඳ වේලාවකට පසුව සලකා බැලීම සුදුසුය.
2) දෛශික ගනු ලැබේ දැඩි ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති අනුපිළිවෙලකට: – "a" "be" මගින් ගුණ කරයි, "a" සමඟ "වෙන්න" නොවේ. දෛශික ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලයනිල් පැහැයෙන් දැක්වෙන VECTOR වේ. දෛශික ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් ගුණ කළහොත්, අපි දිගට සමාන දෛශිකයක් සහ දිශාවට ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට (රාස්ප්බෙරි වර්ණය) ලබා ගනිමු. එනම් සමානාත්මතාවය සත්ය වේ 
.
3) දැන් අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. මෙය ඉතා වැදගත් කරුණකි! නිල් දෛශිකයේ LENGTH (සහ, ඒ අනුව, තද රතු දෛශිකය) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ. රූපයේ, මෙම සමාන්තර චලිතය කළු පැහැයෙන් යුක්ත වේ.
සටහන : චිත්රය ක්‍රමානුරූප වන අතර, ස්වාභාවිකවම, දෛශික නිෂ්පාදනයේ නාමික දිග සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන නොවේ.
අපි එකක් මතක තියාගමු ජ්යාමිතික සූත්ර: සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය යාබද පැතිවල ගුණිතයට සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයිනයට සමාන වේ.. එබැවින්, ඉහත කරුණු මත පදනම්ව, දෛශික නිෂ්පාදනයක LENGTH ගණනය කිරීමේ සූත්රය වලංගු වේ:
සූත්රය දෛශිකයේ LENGTH ගැන මිස දෛශිකය ගැන නොවන බව මම අවධාරණය කරමි. ප්රායෝගික අර්ථය කුමක්ද? එහි තේරුම නම්, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලදී, සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය බොහෝ විට දෛශික නිෂ්පාදනයක් යන සංකල්පය හරහා සොයා ගන්නා බවයි:
අපි දෙවන වැදගත් සූත්රය ලබා ගනිමු. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය (රතු තිත් රේඛාව) එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි. එබැවින්, දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක ප්රදේශය (රතු සෙවන) සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:
4) අඩු නොවේ වැදගත් කරුණක්දෛශිකය දෛශිකයට විකලාංග වේ, එනම් 
. ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කරන ලද දෛශිකය (raspberry arrow) ද මුල් දෛශික වලට විකලාංග වේ.
5) දෛශිකය එසේ යොමු කර ඇත පදනමඑයට තිබෙනවා හරිදිශානතිය. ගැන පාඩමේ නව පදනමකට මාරුවීමමම ප්රමාණවත් තරම් විස්තරාත්මකව කතා කළා ගුවන් යානා දිශානතිය, සහ දැන් අපි අවකාශ දිශානතිය යනු කුමක්දැයි සොයා බලමු. මම ඔබේ ඇඟිලි මත පැහැදිලි කරන්නම් දකුණු අත . මානසිකව ඒකාබද්ධ කරන්න දබර ඇඟිල්ල දෛශිකය සමඟ සහ මැද ඇඟිල්ලදෛශිකය සමඟ. මුදු ඇඟිල්ල සහ කුඩා ඇඟිල්ලඑය ඔබේ අත්ලට ඔබන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් මාපටැඟිල්ල - දෛශික නිෂ්පාදනය ඉහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය දකුණට නැඹුරු පදනමකි (එය රූපයේ මෙයයි). දැන් දෛශික වෙනස් කරන්න ( දර්ශකය සහ මැද ඇඟිලි ) සමහර ස්ථානවල, ප්රතිඵලයක් ලෙස මාපටැඟිල්ල හැරෙනු ඇත, සහ දෛශික නිෂ්පාදනය දැනටමත් පහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය ද දකුණට නැඹුරු වූ පදනමකි. ඔබට ප්‍රශ්නයක් තිබිය හැකිය: වම් දිශානතිය ඇත්තේ කුමන පදනමද? එකම ඇඟිලි වලට "පවරන්න" වම් අතදෛශික, සහ අවකාශයේ වම් පදනම සහ වම් දිශානතිය ලබා ගන්න (මෙම අවස්ථාවේදී, මාපටැඟිල්ල පහළ දෛශිකයේ දිශාවට පිහිටා ඇත). සංකේතාත්මකව කතා කරන්නේ නම්, මෙම පාදයන් විවිධ දිශාවලට අවකාශය "ඇඹරීමට" හෝ දිශානත කරයි. තවද මෙම සංකල්පය දුරස්ථ හෝ වියුක්ත දෙයක් ලෙස නොසැලකිය යුතුය - නිදසුනක් ලෙස, අවකාශයේ දිශානතිය වඩාත් සාමාන්ය දර්පණය මගින් වෙනස් කරනු ලබන අතර, ඔබ “පරිවර්තනය කරන ලද වස්තුව පෙනෙන වීදුරුවෙන් ඉවතට ඇද ගන්නේ නම්” එය එසේ වනු ඇත. සාමාන්ය නඩුව"මුල්" සමඟ ඒකාබද්ධ කළ නොහැක. මාර්ගය වන විට, දර්පණය දක්වා ඇඟිලි තුනක් අල්ලාගෙන පරාවර්තනය විශ්ලේෂණය කරන්න ;-)
...ඔයා දැන් දන්න එක කොච්චර හොඳද දකුණට සහ වමට නැඹුරුපදනම්, මන්දයත් දිශානතියේ වෙනසක් ගැන සමහර කථිකාචාර්යවරුන්ගේ ප්‍රකාශ බියජනක ය =)
කොලිනියර් දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය
නිර්වචනය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත, දෛශික collinear වූ විට කුමක් සිදුවේද යන්න සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත. දෛශික කෝලිනියර් නම්, ඒවා එක් සරල රේඛාවක් මත තැබිය හැකි අතර අපගේ සමාන්තර චලිතය ද එක් සරල රේඛාවකට “නැමෙයි”. ගණිතඥයන් පවසන පරිදි එවැනි ප්රදේශයක්, පිරිහෙනවාසමාන්තර චලිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ. සූත්‍රයෙන් එයම පහත දැක්වේ - ශුන්‍යයේ හෝ අංශක 180 ක සයින් ශුන්‍යයට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ ප්රදේශය ශුන්ය බවයි
මේ අනුව, නම්, එසේ නම් 
. නිශ්චිතවම කිවහොත්, දෛශික නිෂ්පාදනයම ශුන්ය දෛශිකයට සමාන වේ, නමුත් ප්රායෝගිකව මෙය බොහෝ විට නොසලකා හරින අතර එය සරලව ශුන්‍යයට සමාන බව ලියා ඇත.
විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ දෛශිකයක හරස් නිෂ්පාදනයයි:
දෛශික නිෂ්පාදනය භාවිතා කරමින්, ඔබට ත්‍රිමාණ දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය පරීක්ෂා කළ හැකි අතර, අපි මෙම ගැටළුව අනෙක් ඒවා අතර විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.
විසඳුම් සඳහා ප්රායෝගික උදාහරණඅවශ්ය විය හැක ත්රිකෝණමිතික වගුවඑයින් සයින වල අගයන් සොයා ගැනීමට.
හොඳයි, අපි ගින්න දල්වමු:
උදාහරණ 1
a) නම් දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න 
b) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සොයන්න 
විසඳුමක්: නෑ, මේක ටයිප් එකක් නෙවෙයි, මම හිතාමතාම වගන්තිවල මුල් දත්ත ඒ විදියටම හැදුවා. විසඳුම් සැලසුම් කිරීම වෙනස් වනු ඇති නිසා!
අ) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය දිගදෛශික (හරස් නිෂ්පාදන). අනුරූප සූත්රය අනුව:
පිළිතුර:
ඔබෙන් දිග ගැන විමසුවේ නම්, පිළිතුරේ අපි මානය - ඒකක දක්වන්නෙමු.
b) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය හතරැස්දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතය. මෙම සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිගට සමාන වේ:
පිළිතුර:
පිළිතුර කිසිසේත් දෛශික නිෂ්පාදනය ගැන කතා නොකරන බව කරුණාවෙන් සලකන්න; අපගෙන් විමසන ලදී රූපයේ ප්රදේශය, ඒ අනුව, මානය වර්ග ඒකක වේ.
අපි සෑම විටම කොන්දේසිය අනුව සොයා ගත යුතු දේ දෙස බලන අතර, මේ මත පදනම්ව, අපි සකස් කරමු පැහැදිලිවපිළිතුර. එය වාක්‍ය වාදයක් සේ පෙනෙන්නට ඇත, නමුත් ගුරුවරුන් අතර වචනාර්ථවාදීන් ඕනෑ තරම් සිටින අතර, පැවරුම සංශෝධනය සඳහා ආපසු යැවීමට හොඳ අවස්ථාවක් ඇත. මෙය විශේෂයෙන් දුරදිග යන ප්‍රහේලිකාවක් නොවූවත් - පිළිතුර වැරදි නම්, පුද්ගලයාට නොතේරෙන හැඟීමක් ඇති වේ. සරල දේවල්සහ/හෝ කාර්යයේ සාරය තේරුම් ගෙන නැත. උසස් ගණිතය සහ අනෙකුත් විෂයයන් වලදී ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීමේදී මෙම කරුණ සැමවිටම පාලනය කර ගත යුතුය.
"en" විශාල අකුර ගියේ කොහේද? ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, එය විසඳුමට අතිරේකව සම්බන්ධ කළ හැකි නමුත්, ඇතුල්වීම කෙටි කිරීම සඳහා, මම මෙය නොකළෙමි. සෑම කෙනෙකුම එය තේරුම් ගෙන එකම දෙය සඳහා තනතුරක් වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.
සඳහා ජනප්රිය උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය:
උදාහරණය 2
දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයන්න 
දෛශික නිෂ්පාදිතය හරහා ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ සූත්රය නිර්වචනයට අදහස් දැක්වීම්වල දක්වා ඇත. විසඳුම සහ පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.
ප්රායෝගිකව, කාර්යය ඇත්තෙන්ම ඉතා සුලභ ය; ත්‍රිකෝණ සාමාන්යයෙන් ඔබට වධ හිංසා කළ හැකිය.
වෙනත් ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට අවශ්ය වනු ඇත:
දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ
අපි දැනටමත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ සමහර ගුණාංග සලකා බලා ඇත, කෙසේ වෙතත්, මම ඒවා මෙම ලැයිස්තුවට ඇතුළත් කරමි.
අත්තනෝමතික දෛශික සහ අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා සඳහා, පහත ගුණාංග:
1) වෙනත් තොරතුරු මූලාශ්රවලදී, මෙම අයිතමය සාමාන්යයෙන් ගුණාංගවල උද්දීපනය නොකෙරේ, නමුත් එය ප්රායෝගිකව ඉතා වැදගත් වේ. ඒ නිසා වෙන්න දෙන්න.
2) 
- දේපල ද ඉහත සාකච්ඡා කර ඇත, සමහර විට එය හැඳින්වේ ප්‍රතිප්‍රවාහකත්වය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දෛශික අනුපිළිවෙල වැදගත් වේ.
3) - ආශ්රිත හෝ ආශ්රිතදෛශික නිෂ්පාදන නීති. නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනයෙන් පිටත පහසුවෙන් ගෙන යා හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන් එහි කළ යුත්තේ කුමක්ද?
4) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේදෛශික නිෂ්පාදන නීති. වරහන් විවෘත කිරීමේදී ද ගැටළු නොමැත.
නිරූපණය කිරීම සඳහා, අපි කෙටි උදාහරණයක් බලමු:
උදාහරණය 3
නම් සොයන්න 
විසඳුමක්:කොන්දේසිය නැවතත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. අපි අපේ කුඩා පින්තාරු කරමු: 
(1) ආශ්රිත නීතිවලට අනුව, අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ විෂය පථයෙන් පිටත නියතයන් ගනිමු.
(2) අපි මොඩියුලයෙන් පිටත නියතය ගෙන යන අතර, මොඩියුලය අඩු ලකුණ "කනවා". දිග සෘණ විය නොහැක.
(3) ඉතිරිය පැහැදිලිය.
පිළිතුර: 
ගින්නට තවත් දර එකතු කිරීමට කාලයයි:
උදාහරණය 4
දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්න 
විසඳුමක්: සූත්රය භාවිතා කර ත්‍රිකෝණයේ ප්රදේශය සොයන්න 
. අල්ලා ගැනීම නම් "tse" සහ "de" දෛශික දෛශික එකතුවක් ලෙස ඉදිරිපත් කිරීමයි. මෙහි ඇල්ගොරිතම සම්මත වන අතර පාඩමේ අංක 3 සහ 4 උදාහරණ තරමක් සිහිපත් කරයි. දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි විසඳුම අදියර තුනකට බෙදන්නෙමු:
1) පළමු පියවරේදී, අපි දෛශික නිෂ්පාදනය හරහා දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කරමු, ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකයක් අනුව දෛශිකයක් ප්‍රකාශ කරමු. දිග ගැන තවම වචනයක් නැත!
(1) දෛශිකවල ප්‍රකාශන ආදේශ කරන්න.
(2) බෙදා හැරීමේ නීති භාවිතා කරමින්, අපි බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව වරහන් විවෘත කරමු.
(3) ආශ්රිත නීති භාවිතා කරමින්, අපි සියලු නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනවලින් ඔබ්බට ගෙන යන්නෙමු. කුඩා අත්දැකීමක් සමඟින්, පියවර 2 සහ 3 එකවර සිදු කළ හැකිය.
(4) මනරම් ගුණය නිසා පළමු සහ අවසාන පද ශුන්‍යයට (ශුන්ය දෛශිකය) සමාන වේ. දෙවන වාරයේදී අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-ප්‍රවාහක ගුණය භාවිතා කරමු:
(5) අපි සමාන කොන්දේසි ඉදිරිපත් කරමු.
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, දෛශිකය දෛශිකයක් හරහා ප්‍රකාශ කිරීමට හැකි විය, එය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට අවශ්ය විය: 
2) දෙවන පියවරේදී, අපට අවශ්ය දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගනී. මෙම ක්රියාවඋදාහරණ 3 මතක් කරයි: 
3) අවශ්ය ත්‍රිකෝණයේ ප්රදේශය සොයන්න: 
විසඳුමේ අදියර 2-3 එක පේළියක ලියන්න තිබුණා.
පිළිතුර:
සලකා බැලූ ගැටළුව තරමක් පොදු ය පරීක්ෂණ, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:
උදාහරණ 5
නම් සොයන්න
පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුමක් සහ පිළිතුර. පෙර උදාහරණ අධ්‍යයනය කිරීමේදී ඔබ කෙතරම් අවධානයෙන් සිටියාදැයි බලමු ;-)
ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය
, විකලාංග පදනමකින් දක්වා ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:
සූත්රය ඇත්තෙන්ම සරලයි: නිර්ණායකයේ ඉහළ පේළියේ අපි ඛණ්ඩාංක දෛශික ලියන්නෙමු, දෙවන සහ තුන්වන පේළිවල අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක “තබමු” සහ අපි තබමු. දැඩි පිළිවෙළකට- පළමුව "ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක, පසුව "ද්විත්ව-ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක. දෛශික වෙනත් අනුපිළිවෙලකට ගුණ කළ යුතු නම්, පේළි මාරු කළ යුතුය: 
උදාහරණ 10
පහත අභ්‍යවකාශ දෛශික ඛණ්ඩක ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න:
ඒ)
බී) 
විසඳුමක්: චෙක්පත මෙම පාඩමේ එක් ප්‍රකාශයක් මත පදනම් වේ: දෛශික ඛණ්ඩක නම්, ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්‍යයට සමාන වේ (ශුන්ය දෛශිකය): 
.
අ) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න: 
මේ අනුව, දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ.
b) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න: 
පිළිතුර: a) collinear නොවේ, b)
මෙන්න, සමහර විට, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය පිළිබඳ සියලු මූලික තොරතුරු වේ.
දෛශික මිශ්ර නිෂ්පාදිතය භාවිතා කරන ගැටළු කිහිපයක් ඇති බැවින් මෙම කොටස ඉතා විශාල නොවනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම දෙයක්ම අර්ථ දැක්වීම, ජ්යාමිතික අර්ථය සහ ක්රියාකාරී සූත්ර කිහිපයක් මත රඳා පවතී.
දෛශිකවල මිශ්ර නිෂ්පාදිතය නිෂ්පාදනය වේ දෛශික තුනක්
:
එබැවින් ඔවුන් දුම්රියක් මෙන් පෙළ ගැසී සිටි අතර හඳුනා ගැනීමට බලා සිටිය නොහැක.
පළමුව, නැවතත්, අර්ථ දැක්වීමක් සහ පින්තූරයක්:
අර්ථ දැක්වීම: මිශ්ර වැඩ coplanar නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, නමින් සමාන්තර නල පරිමාව, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති අතර, පදනම නිවැරදි නම් "+" ලකුණකින් සහ පදනම වම් පස නම් "-" ලකුණකින් සමන්විත වේ.
අපි චිත්රය කරමු. අපට නොපෙනෙන රේඛා තිත් රේඛා වලින් ඇඳ ඇත: 
අපි අර්ථ දැක්වීමට කිමිදෙමු:
2) දෛශික ගනු ලැබේ නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට, එනම්, නිෂ්පාදනයේ දෛශික නැවත සකස් කිරීම, ඔබ අනුමාන කළ හැකි පරිදි, ප්රතිවිපාක නොමැතිව සිදු නොවේ.
3) ජ්යාමිතික අර්ථය ගැන අදහස් දැක්වීමට පෙර, මම පැහැදිලි කරුණක් සටහන් කරමි: දෛශිකවල මිශ්ර නිෂ්පාදිතය NUMBER වේ: . අධ්‍යාපන සාහිත්‍යයේ, සැලසුම තරමක් වෙනස් විය හැකිය; මම මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි , සහ ගණනය කිරීම් වල ප්‍රතිඵලය "pe" අකුරින්.
A-priory මිශ්ර නිෂ්පාදිතය සමාන්තර පයිප්පයේ පරිමාවයි, දෛශික මත ගොඩනගා ඇත (රූපය රතු දෛශික සහ කළු රේඛා වලින් ඇඳ ඇත). එනම්, එම සංඛ්‍යාව ලබා දී ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාවට සමාන වේ.
සටහන : චිත්රය ක්‍රමානුකූලයි.
4) පදනම සහ අවකාශයේ දිශානතිය පිළිබඳ සංකල්පය ගැන නැවත කරදර නොවන්න. අවසාන කොටසෙහි තේරුම නම් පරිමාවට අඩු ලකුණක් එකතු කළ හැකි බවයි. සරල වචන වලින්, මිශ්ර නිෂ්පාදනය සෘණ විය හැක:.
නිර්වචනයෙන් සෘජුවම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නලයක පරිමාව ගණනය කිරීමේ සූත්රය අනුගමනය කරයි.
අවසාන වශයෙන්, මම මෙම විශාල හා දිගුකාලීන අපේක්ෂිත මාතෘකාවට අත තැබුවෙමි. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය. පළමුව, මෙම උසස් ගණිත අංශය ගැන ටිකක් ... නිසැකව ම ඔබට දැන් බොහෝ සිද්ධාන්ත, ඒවායේ සාක්ෂි, චිත්ර ආදිය සහිත පාසල් ජ්යාමිතික පාඨමාලාවක් මතක ඇති. සැඟවිය යුතු දේ, සිසුන්ගෙන් සැලකිය යුතු ප්‍රමාණයකට ආදරය නොකරන සහ බොහෝ විට අපැහැදිලි විෂයයකි. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය, අමුතු තරම්, වඩාත් රසවත් හා ප්‍රවේශ විය හැකි බව පෙනේ. "විශ්ලේෂණාත්මක" යන විශේෂණ පදයේ තේරුම කුමක්ද? ක්ලිච් කරන ලද ගණිතමය වාක්‍ය ඛණ්ඩ දෙකක් වහාම මතකයට එයි: “චිත්රක විසඳුම් ක්රමය” සහ “විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම් ක්රමය.” චිත්රක ක්රමය , ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රස්තාර සහ ඇඳීම් ඉදිකිරීම සමඟ සම්බන්ධ වේ. විශ්ලේෂණාත්මකඑකම ක්රමයගැටළු විසඳීම ඇතුළත් වේ ප්රධාන වශයෙන්වීජීය මෙහෙයුම් හරහා. මේ සම්බන්ධයෙන්, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු සියල්ලම පාහේ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම සරල සහ විනිවිද පෙනෙන ය; බොහෝ විට අවශ්ය සූත්ර ප්රවේශමෙන් යෙදීම ප්රමාණවත් වේ - සහ පිළිතුර සූදානම්! නැත, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට චිත්ර ඇඳීමකින් තොරව මෙය කිරීමට නොහැකි වනු ඇත, ඊට අමතරව, ද්රව්ය පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, මම ඒවා අවශ්‍යතාවයෙන් ඔබ්බට උපුටා දැක්වීමට උත්සාහ කරමි.
ජ්යාමිතිය පිළිබඳ අලුතින් විවෘත කරන ලද පාඩම් මාලාව න්‍යායාත්මකව සම්පූර්ණ යැයි මවාපාන්නේ නැත; එය ප්රායෝගික ගැටලු විසඳීම කෙරෙහි අවධානය යොමු කරයි. මම මගේ දේශනවලට ඇතුළත් කරන්නේ මගේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් ප්රායෝගිකව වැදගත් දේ පමණයි. ඔබට කිසියම් උපවගන්තියක් සම්බන්ධයෙන් වඩාත් සම්පූර්ණ උපකාර අවශ්ය නම්, පහත සඳහන් තරමක් ප්‍රවේශ විය හැකි සාහිත්‍ය මම නිර්දේශ කරමි:
1) විහිළුවක් නැති, පරම්පරා කිහිපයක් හුරුපුරුදු දෙයක්: ජ්යාමිතිය පිළිබඳ පාසල් පෙළපොත, කතුවරුන් - එල්.එස්. Atanasyan සහ සමාගම. මෙම පාසල් ලොකර් කාමර එල්ලීම දැනටමත් 20 (!) නැවත මුද්‍රණය කර ඇත, එය ඇත්ත වශයෙන්ම සීමාව නොවේ.
2) ජ්යාමිතිය වෙළුම් 2 කින්. කතුවරුන් එල්.එස්. Atanasyan, Bazylev V.T.. මේ සඳහා සාහිත්යය උසස් පාසල, ඔබට අවශ්ය වනු ඇත පළමු වෙළුම. කලාතුරකින් හමු වූ කාර්යයන් මගේ ඇස්වලින් ඉවත් විය හැකිය, සහ නිබන්ධනයමිල කළ නොහැකි ආධාර ලබා දෙනු ඇත.
පොත් දෙකම අන්තර්ජාලයෙන් නොමිලේ බාගත හැකිය. ඊට අමතරව, ඔබට මගේ ලේඛනාගාරය භාවිතා කළ හැකිය සූදානම් කළ විසඳුම්, පිටුවෙන් සොයා ගත හැක උසස් ගණිතයේ උදාහරණ බාගන්න.
මෙවලම් අතර, මම නැවතත් මගේම සංවර්ධනය යෝජනා කරමි - මෘදුකාංග පැකේජයවිශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය තුළ, එය ජීවිතය බෙහෙවින් සරල කරන අතර බොහෝ කාලයක් ඉතිරි කරයි.
මූලික ජ්යාමිතික සංකල්ප සහ සංඛ්‍යා පාඨකයා හුරුපුරුදු යැයි උපකල්පනය කෙරේ: ලක්ෂ්යය, රේඛාව, තලය, ත්‍රිකෝණය, සමාන්තර චලිතය, සමාන්තර නල, ඝනක යනාදිය. සමහර න්‍යායන් මතක තබා ගැනීම සුදුසුය, අවම වශයෙන් පයිතගරස් ප්‍රමේයය, පුනරාවර්තකයන්ට ආයුබෝවන්)
දැන් අපි අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු: දෛශික සංකල්පය, දෛශික සමඟ ක්රියා, දෛශික ඛණ්ඩාංක. මම තවදුරටත් කියවීමට නිර්දේශ කරමි වැදගත්ම ලිපිය දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය, සහ ද දෛශික සහ දෛශික මිශ්ර නිෂ්පාදිතය. දේශීය කාර්යයක් - මේ සම්බන්ධයෙන් කොටසක් බෙදීම - ද අතිරික්ත නොවේ. ඉහත තොරතුරු මත පදනම්ව, ඔබට ප්රගුණ කළ හැකිය තලයක රේඛාවක සමීකරණයසමග විසඳුම් සඳහා සරලම උදාහරණ, ඉඩ ලබා දෙනු ඇත ජ්යාමිතිය ගැටළු විසඳීමට ඉගෙන ගන්න. පහත සඳහන් ලිපි ද ප්රයෝජනවත් වේ: අභ්යවකාශයේ තලයක සමීකරණය, අවකාශයේ රේඛාවක සමීකරණ, සරල රේඛාවක් සහ තලයක් මත මූලික ගැටළු, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතියේ අනෙකුත් කොටස්. ස්වාභාවිකවම, සම්මත කාර්යයන් මාර්ගයේ සලකා බලනු ඇත.
දෛශික සංකල්පය. නිදහස් දෛශිකය
පළමුව, දෛශිකයේ පාසල් අර්ථ දැක්වීම නැවත කියමු. දෛශිකයකියලා අධ්යක්ෂණය කළාඑහි ආරම්භය සහ අවසානය දක්වා ඇති කොටස:
තුල මේ අවස්ථාවේ දීකොටසේ ආරම්භය ලක්ෂ්යය වේ, කොටසේ අවසානය ලක්ෂ්යය වේ. දෛශිකය විසින්ම දක්වනු ලැබේ. දිශාවඅත්‍යවශ්‍ය වේ, ඔබ ඊතලය කොටසේ අනෙක් කෙළවරට ගෙන ගියහොත්, ඔබට දෛශිකයක් ලැබේ, මෙය දැනටමත් වේ සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් දෛශිකය. භෞතික ශරීරයක චලනය සමඟ දෛශික සංකල්පය හඳුනා ගැනීම පහසුය: ඔබ එකඟ විය යුතුය, ආයතනයක දොරට ඇතුළු වීම හෝ ආයතනයක දොරවල් හැර යාම සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් දේවල් වේ.
ගුවන් යානයක හෝ අවකාශයේ තනි කරුණු ඊනියා ලෙස සලකා බැලීම පහසුය ශුන්ය දෛශිකය. එවැනි දෛශිකයක් සඳහා, අවසානය සහ ආරම්භය සමපාත වේ.
!!! සටහන: මෙහිදී සහ තවදුරටත්, දෛශික එකම තලයක පිහිටා ඇති බව උපකල්පනය කළ හැකිය, නැතහොත් ඒවා අභ්යවකාශයේ පිහිටා ඇති බව උපකල්පනය කළ හැකිය - ඉදිරිපත් කරන ලද ද්රව්යයේ සාරය තලය සහ අවකාශය යන දෙකටම වලංගු වේ.
තනතුරු:බොහෝ දෙනෙක් වහාම තනතුරේ ඊතලයක් නොමැතිව සැරයටිය දුටු අතර ඉහළින් ඊතලයක් ද ඇති බව පැවසූහ! ඇත්ත, ඔබට එය ඊතලයකින් ලිවිය හැකිය: , නමුත් එය ද හැකි ය මම අනාගතයේදී භාවිතා කරන ප්‍රවේශය. ඇයි? පෙනෙන විදිහට, මෙම පුරුද්ද ප්රායෝගික හේතූන් මත වර්ධනය විය; පාසලේ සහ විශ්ව විද්‍යාලයේ මගේ වෙඩික්කරුවන් වෙනස් ප්‍රමාණයේ සහ රළු විය. අධ්යාපනික සාහිත්‍යයේ, සමහර විට ඔවුන් කියුනිෆෝම් ලිවීමට කිසිසේත්ම කරදර වන්නේ නැත, නමුත් තද අකුරින් අකුරු උද්දීපනය කරයි: , එමඟින් මෙය දෛශිකයක් බව ඇඟවුම් කරයි.
එය ශෛලීය විය, දැන් දෛශික ලිවීමේ ක්‍රම ගැන:
1) දෛශික විශාල ලතින් අක්ෂර දෙකකින් ලිවිය හැකිය: 
සහ යනාදි. මෙම අවස්ථාවේ දී, පළමු ලිපිය අනිවාර්යයෙන්දෛශිකයේ ආරම්භක ලක්ෂ්යය ද දෙවන අකුරෙන් දෛශිකයේ අවසාන ලක්ෂ්යය ද දක්වයි.
2) දෛශික කුඩා ලතින් අකුරින් ද ලියා ඇත:
විශේෂයෙන්ම, අපගේ දෛශිකය කුඩා ලතින් අකුරකින් කෙටිකතාව සඳහා නැවත නම් කළ හැක.
දිගහෝ මොඩියුලයශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක් කොටසේ දිග ලෙස හැඳින්වේ. ශුන්ය දෛශිකයේ දිග ශුන්ය වේ. තාර්කික.
දෛශිකයේ දිග මාපාංක ලකුණෙන් දැක්වේ: ,
දෛශිකයක දිග සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි අපි ඉගෙන ගනිමු (නැතහොත් අපි එය නැවත කරන්නෙමු, කවුරුන්ද යන්න මත පදනම්ව) ටිකක් පසුව.
මෙය සියලුම පාසල් සිසුන්ට හුරුපුරුදු වාහකයන් පිළිබඳ මූලික තොරතුරු විය. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය තුළ, ඊනියා නිදහස් දෛශිකය.
සරලව කිව්වොත් - දෛශිකය ඕනෑම ස්ථානයක සිට සැලසුම් කළ හැක:
එවැනි දෛශික සමාන ලෙස හැඳින්වීමට අපි පුරුදු වී සිටිමු (සමාන දෛශිකවල නිර්වචනය පහත දැක්වේ), නමුත් තනිකරම ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, ඒවා එකම දෛශිකය හෝ නිදහස් දෛශිකය. නිදහස් ඇයි? මක්නිසාද යත් ගැටළු විසඳීමේදී, ඔබට අවශ්ය ගුවන් යානයේ හෝ අවකාශයේ ඕනෑම ස්ථානයකට මෙම හෝ එම දෛශිකය “ඇමිණීමට” හැකිය. මෙය ඉතා සිසිල් විශේෂාංගයකි! අත්තනෝමතික දිග සහ දිශාව ඇති දෛශිකයක් සිතන්න - එය අසීමිත වාර ගණනක් “ක්ලෝන” කළ හැකි අතර අභ්යවකාශයේ ඕනෑම ස්ථානයක, ඇත්ත වශයෙන්ම, එය සෑම තැනකම පවතී. එහෙම ශිෂ්‍යයෙක් කියනවා: හැම කථිකාචාර්යවරයෙක්ම දෛශිකයට මගුලක් දෙනවා. සියල්ලට පසු, එය හුදෙක් මායාකාරී රිද්මයක් නොවේ, සෑම දෙයක්ම ගණිතමය වශයෙන් නිවැරදියි - දෛශිකය එහි ද ඇමිණිය හැකිය. නමුත් ප්‍රීති වීමට ඉක්මන් නොවන්න, බොහෝ විට දුක් විඳින්නේ සිසුන්ම ය =)
ඒ නිසා, නිදහස් දෛශිකය- මෙය පොකුරක් සමාන දිශානුගත කොටස්. දෛශිකයේ පාසල් අර්ථ දැක්වීම, ඡේදයේ ආරම්භයේ දී ලබා දී ඇත: "අධ්යක්ෂණය කරන ලද කොටස දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ..." විශේෂිතතලයේ හෝ අවකාශයේ නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයකට බැඳී ඇති, දී ඇති කට්ටලයකින් ලබාගත් අධ්‍යක්ෂිත කොටසකි.
භෞතික විද්යාවේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, නිදහස් දෛශිකයක් පිළිබඳ සංකල්පය සාමාන්යයෙන් වැරදි වන අතර, දෛශිකයේ යෙදීම් ලක්ෂ්යය වැදගත් වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, මගේ මෝඩ ආදර්ශය වර්ධනය කිරීමට ප්රමාණවත් තරම් නාසය හෝ නළල මත එකම බලයේ සෘජු පහරක් විවිධ ප්රතිවිපාකවලට තුඩු දෙයි. කෙසේ වුවද, නිදහස්දෛශික vyshmat පාඨමාලාවේ ද දක්නට ලැබේ (එතනට යන්න එපා :)).
දෛශික සමඟ ක්රියා. දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය
පාසල් ජ්යාමිතිය පාඨමාලාවක් දෛශික සමඟ ක්රියා සහ නීති ගණනාවක් ආවරණය කරයි: ත්‍රිකෝණ රීතියට අනුව එකතු කිරීම, සමාන්තර චලිත රීතියට අනුව එකතු කිරීම, දෛශික වෙනස රීතිය, දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම, පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්දෛශික ආදිය.ආරම්භක ලක්ෂ්යයක් ලෙස, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු විසඳීම සඳහා විශේෂයෙන් අදාළ වන නීති දෙකක් අපි නැවත කියමු.
ත්‍රිකෝණ රීතිය භාවිතා කරමින් දෛශික එකතු කිරීමේ රීතිය
අත්තනෝමතික ශුන්ය නොවන දෛශික දෙකක් සහ: 
ඔබ මෙම දෛශිකවල එකතුව සොයා ගත යුතුය. සියලුම දෛශික නිදහස් ලෙස සලකනු ලබන නිසා, අපි දෛශිකය වෙන් කරමු අවසානයදෛශිකය: 
දෛශික එකතුව දෛශිකය වේ. රීතිය පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, එයට භෞතික අර්ථයක් තැබීම සුදුසුය: සමහර ශරීරය දෛශිකය දිගේ ගමන් කිරීමට ඉඩ දෙන්න, පසුව දෛශිකය දිගේ. එවිට දෛශික එකතුව යනු පිටවීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ආරම්භයත් පැමිණීමේ ලක්ෂ්‍යයේ අවසානයත් සමඟ ඇති වන මාර්ගයේ දෛශිකයයි. ඕනෑම දෛශික ගණනක එකතුවක් සඳහා සමාන රීතියක් සකස් කර ඇත. ඔවුන් පවසන පරිදි, ශරීරයට සිග්සැග් එකක් දිගේ ඉතා නැඹුරු විය හැකිය, නැතහොත් ස්වයංක්‍රීය නියමු මත - එකතුවේ ප්රතිඵලයක් වන දෛශිකය දිගේ.
මාර්ගය වන විට, දෛශිකය සිට කල් දැමුවහොත් පටන් ගත්තාදෛශිකය, එවිට අපට සමාන අගයක් ලැබේ සමාන්තර චලිත රීතියදෛශික එකතු කිරීම.
පළමුව, දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය ගැන. දෛශික දෙක හැඳින්වේ collinear, ඔවුන් එකම රේඛාවක හෝ සමාන්තර රේඛා මත වැතිර සිටී නම්. දළ වශයෙන් කිවහොත්, අපි සමාන්තර දෛශික ගැන කතා කරමු. නමුත් ඒවා සම්බන්ධයෙන්, "කොලීනියර්" යන විශේෂණය සෑම විටම භාවිතා වේ.
කොලිනියර් දෛශික දෙකක් සිතන්න. මෙම දෛශිකවල ඊතල එකම දිශාවකට යොමු කර ඇත්නම්, එවැනි දෛශික ලෙස හැඳින්වේ සම අධ්යක්ෂණය කළා. ඊතල විවිධ දිශාවලට යොමු කරන්නේ නම්, දෛශික වනු ඇත ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන්.
තනතුරු:දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය සාමාන්ය සමාන්තර සංකේතය සමඟ ලියා ඇත: , විස්තර කළ හැකි අතර: (දෛශික සම-අධ්යක්ෂණය වේ) හෝ (දෛශික ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ).
වැඩයඅංකයක් මත ශුන්ය නොවන දෛශිකයක් යනු දිග ට සමාන වන දෛශිකයක් වන අතර දෛශික සහ සම-දිශාව සහ ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස යොමු කෙරේ.
දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීමේ රීතිය පින්තූරයක් ආධාරයෙන් තේරුම් ගැනීමට පහසුය: 
අපි එය වඩාත් විස්තරාත්මකව බලමු:
1) දිශාව. ගුණකය සෘණ නම්, දෛශිකය දිශාව වෙනස් කරයිවිරුද්ධ පැත්තට.
2) දිග. ගුණකය තුළ අඩංගු වන්නේ නම් හෝ , එවිට දෛශිකයේ දිග අඩු වේ. ඉතින්, දෛශිකයේ දිග දෛශිකයේ දිගෙන් අඩකි. ගුණකයේ මාපාංකය එකකට වඩා වැඩි නම්, දෛශිකයේ දිග වැඩි වේනියම වේලාවට.
3) කරුණාකර එය සටහන් කරන්න සියලුම දෛශික collinear වේ, එක් දෛශිකයක් තවත් හරහා ප්‍රකාශ වන අතර, උදාහරණයක් ලෙස, . ප්‍රතිලෝමයත් ඇත්ත: එක් දෛශිකයක් තවත් දෛශිකයක් හරහා ප්‍රකාශ කළ හැකි නම්, එවැනි දෛශික අනිවාර්යයෙන්ම collinear වේ. මේ අනුව: අපි දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කළහොත් අපට collinear ලැබේ(මුල් පිටපතට සාපේක්ෂව) දෛශිකය.
4) දෛශික සම අධ්යක්ෂණය කර ඇත. දෛශික සහ සම අධ්යක්ෂණය ද වේ. පළමු කාණ්ඩයේ ඕනෑම දෛශිකයක් දෙවන කාණ්ඩයේ ඕනෑම දෛශිකයකට සාපේක්ෂව ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ.
කුමන දෛශික සමානද?
දෛශික දෙකක් එකම දිශාවකින් සහ එකම දිගකින් යුක්ත නම් සමාන වේ. සම දිශානතිය යනු දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය බව සලකන්න. අපි කීවොත් නිර්වචනය සාවද්‍ය (අතිරික්ත) වනු ඇත: "දෛශික දෙකක් ඛණ්ඩක, සම දිශානතිය සහ එකම දිග නම් සමාන වේ."
නිදහස් දෛශික සංකල්පයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, පෙර ඡේදයේ සාකච්ඡා කළ පරිදි සමාන දෛශික එකම දෛශිකය වේ.
දෛශිකය ගුවන් යානයේ සහ අභ්යවකාශයේ සම්බන්ධීකරණය කරයි
පළමු කරුණ වන්නේ යානයේ ඇති දෛශික සලකා බැලීමයි. අපි Cartesian නියෝජනය කරමු සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක සහ ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයෙන් අපි කල් දමමු තනිදෛශික සහ:
දෛශික සහ විකලාංග. විකලාංග = ලම්බක. ඔබ සෙමින් නියමයන්ට හුරු වන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි: සමාන්තරභාවය සහ ලම්බකත්වය වෙනුවට, අපි පිළිවෙලින් වචන භාවිතා කරමු සහසම්බන්ධතාවයසහ විකලාංගත්වය.
තනතුර:දෛශිකවල විකලාංගත්වය සාමාන්ය ලම්බක සංකේතය සමඟ ලියා ඇත, උදාහරණයක් ලෙස: .
සලකා බලනු ලබන දෛශික ලෙස හැඳින්වේ සම්බන්ධීකරණ දෛශිකහෝ orts. මෙම දෛශික සෑදේ පදනමමතුපිටින්. පදනම කුමක්ද, මම හිතන්නේ, බොහෝ දෙනෙකුට සහජයෙන්ම පැහැදිලිය විස්තරාත්මක තොරතුරුලිපියෙන් සොයාගත හැකිය දෛශිකවල රේඛීය (නොවන) යැපීම. දෛශික පදනමසරල වචන වලින් කිවහොත්, ඛණ්ඩාංකවල පදනම සහ සම්භවය සමස්ත පද්ධතියම නිර්වචනය කරයි - මෙය සම්පූර්ණ හා පොහොසත් ජ්යාමිතික ජීවිතයක් උනු කරන පදනමකි.
සමහර විට ඉදිකරන ලද පදනම ලෙස හැඳින්වේ විකලාංගතලයේ පදනම: "ඕර්තෝ" - ඛණ්ඩාංක දෛශික විකලාංග බැවින්, "සාමාන්‍යකරණය" යන විශේෂණයෙන් ඒකකය අදහස් වේ, i.e. පාදක දෛශිකවල දිග එකකට සමාන වේ.
තනතුර:පදනම සාමාන්යයෙන් වරහන් තුළ ලියා ඇත, එහි ඇතුළත දැඩි අනුපිළිවෙලින්පදනම් දෛශික ලැයිස්තුගත කර ඇත, උදාහරණයක් ලෙස: . සම්බන්ධීකරණ දෛශික එය තහනම්යනැවත සකස් කරන්න.
ඕනෑමගුවන් යානා දෛශිකය එකම මාර්ගයප්රකාශිත: 
, කොහෙද - අංකයනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ දෛශික ඛණ්ඩාංකමෙම පදනම තුළ. සහ ප්රකාශනයම 
කියලා දෛශික වියෝජනයපදනම අනුව .
රාත්‍රී භෝජන සංග්‍රහය:
හෝඩියේ පළමු අකුරෙන් පටන් ගනිමු: . දෛශිකයක් පදනමක් බවට වියෝජනය කිරීමේදී, දැන් සාකච්ඡා කළ ඒවා භාවිතා කරන බව චිත්‍රයෙන් පැහැදිලිව පෙන්වයි:
1) දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීමේ රීතිය: සහ ;
2) ත්‍රිකෝණ රීතියට අනුව දෛශික එකතු කිරීම: .
දැන් යානයේ වෙනත් ඕනෑම ස්ථානයක සිට දෛශිකය මානසිකව සැලසුම් කරන්න. ඔහුගේ දිරාපත්වීම "අවස්ථාවකින් තොරව" ඔහු පසුපස යන බව ඉතා පැහැදිලිය. මෙන්න එයයි, දෛශිකයේ නිදහස - දෛශිකය "සියල්ල තමා සමඟ රැගෙන යයි." මෙම ගුණාංගය, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම දෛශිකයක් සඳහා සත්ය වේ. පදනම (නිදහස්) දෛශික මූලාරම්භයෙන් සැලසුම් කළ යුතු නැති බව විහිළුවකි; එකක් ඇද ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, පහළ වමේ සහ අනෙක ඉහළ දකුණේ, කිසිවක් වෙනස් නොවනු ඇත! ඇත්ත, ඔබ මෙය කිරීමට අවශ්ය නැත, මන්ද ගුරුවරයා ද මුල් පිටපත පෙන්වනු ඇති අතර ඔබට අනපේක්ෂිත ස්ථානයක “ණය” ලබා දෙනු ඇත.
දෛශික දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ නියමය හරියටම නිරූපණය කරයි, දෛශිකය පාදක දෛශිකය සමඟ සම දිශානුගත වේ, දෛශිකය පාදක දෛශිකයට ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ. මෙම දෛශික සඳහා, ඛණ්ඩාංක වලින් එකක් ශුන්‍යයට සමාන වේ; ඔබට එය ඉතා සූක්ෂම ලෙස ලිවිය හැකිය:
සහ පාදක දෛශික, මාර්ගය වන විට, මේ වගේ ය: (ඇත්ත වශයෙන්ම, ඒවා තමන් හරහා ප්‍රකාශ වේ).
සහ අවසාන වශයෙන්: , . මාර්ගය වන විට, දෛශික අඩු කිරීම යනු කුමක්ද, සහ මම අඩු කිරීමේ රීතිය ගැන කතා නොකළේ මන්ද? රේඛීය වීජ ගණිතයේ කොතැනක හෝ මට මතක නැත, අඩු කිරීම බව මම සටහන් කළෙමි විශේෂ අවස්ථාවක්ඊට අමතරව. මේ අනුව, "de" සහ "e" දෛශිකවල ප්‍රසාරණයන් එකතුවක් ලෙස පහසුවෙන් ලියා ඇත: , 
. නියමයන් නැවත සකස් කර ත්‍රිකෝණ රීතියට අනුව පැරණි දෛශික එකතු කිරීම මෙම අවස්ථා වලදී කෙතරම් හොඳින් ක්රියා කරයිද යන්න චිත්‍රයේ බලන්න.
පෝරමයේ සලකා බලන ලද වියෝජනය 
සමහර විට දෛශික වියෝජනය ලෙස හැඳින්වේ ort පද්ධතිය තුළ(එනම් ඒකක දෛශික පද්ධතියක). නමුත් දෛශිකයක් ලිවීමට ඇති එකම මාර්ගය මෙය නොවේ; පහත විකල්පය පොදු වේ:
හෝ සමාන ලකුණක් සමඟ:
පාදක දෛශික පහත පරිදි ලියා ඇත: සහ
එනම්, දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වරහන් තුළ දක්වා ඇත. ප්රායෝගික ගැටළු වලදී අංකන විකල්ප තුනම භාවිතා වේ.
මම කතා කළ යුතුද යන්න සැක කළ නමුත් මම එය කෙසේ හෝ කියමි: දෛශික ඛණ්ඩාංක නැවත සකස් කළ නොහැක. දැඩි ලෙස පළමු ස්ථානයේඒකක දෛශිකයට අනුරූප වන ඛණ්ඩාංකය අපි ලියන්නෙමු, දැඩි ලෙස දෙවන ස්ථානයේඒකක දෛශිකයට අනුරූප වන ඛණ්ඩාංකය අපි ලියන්නෙමු. ඇත්ත වශයෙන්ම, සහ වෙනස් දෛශික දෙකක් වේ.
අපි ගුවන් යානයේ ඛණ්ඩාංක හදුනාගත්තා. දැන් අපි ත්‍රිමාන අවකාශයේ දෛශික දෙස බලමු, මෙහි සෑම දෙයක්ම පාහේ සමාන වේ! එය තවත් එක් ඛණ්ඩාංකයක් එකතු කරනු ඇත. ත්‍රිමාණ චිත්ර ඇඳීම දුෂ්කර ය, එබැවින් මම එක් දෛශිකයකට සීමා කරමි, එය සරල බව සඳහා මම මූලාරම්භයෙන් වෙන් කරමි: 
ඕනෑමත්‍රිමාණ අභ්‍යවකාශ දෛශිකය එකම මාර්ගයවිකලාංග පදනමක් මත පුළුල් කරන්න: 
, මෙම පදනමේ දෛශිකයේ (අංකය) ඛණ්ඩාංක කොහෙද.
පින්තූරයෙන් උදාහරණයක්: 
. අපි බලමු මෙහි දෛශික නියමයන් ක්රියා කරන ආකාරය. පළමුව, දෛශිකය අංකයකින් ගුණ කිරීම: (රතු ඊතලය), (කොළ ඊතලය) සහ (රාස්ප්බෙරි ඊතලය). දෙවනුව, මෙන්න කිහිපයක් එකතු කිරීමේ උදාහරණයක්, මෙම නඩුවේ තුනක්, දෛශික: . එකතුව දෛශිකය පිටත්වීමේ ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයෙන් (දෛශිකයේ ආරම්භයේ) ආරම්භ වන අතර අවසාන පැමිණීමේ ලක්ෂ්‍යයෙන් (දෛශිකයේ අවසානය) අවසන් වේ.
ත්‍රිමාණ අවකාශයේ සියලුම දෛශික ස්වාභාවිකවම නිදහස් ය; දෛශිකය වෙනත් ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකින් මානසිකව පසෙකට දැමීමට උත්සාහ කරන්න, එවිට එහි වියෝජනය “එය සමඟ පවතිනු ඇති” බව ඔබට වැටහෙනු ඇත.
ලිඛිතව අමතරව, පැතලි නඩුවට සමානයි 
වරහන් සහිත අනුවාද බහුලව භාවිතා වේ: එක්කෝ .
ප්රසාරණය එකක් (හෝ දෙකක්) අස්ථානගත වී ඇත්නම් සම්බන්ධීකරණ දෛශික, එවිට ශුන්ය ඔවුන්ගේ ස්ථානයේ තබා ඇත. උදාහරණ:
දෛශිකය (සූක්ෂම ලෙස 
) - අපි ලියමු ;
දෛශිකය (සූක්ෂම ලෙස 
) - අපි ලියමු ;
දෛශිකය (සූක්ෂම ලෙස 
) - අපි ලියමු.
පාදක දෛශික පහත පරිදි ලියා ඇත:
මෙය, සමහර විට, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු විසඳීම සඳහා අවශ්ය සියලු අවම න්යායික දැනුම වේ. නියමයන් සහ නිර්වචන බොහොමයක් තිබිය හැක, එබැවින් මම නිර්දේශ කරන්නේ ඩමි නැවත කියවා තේරුම් ගන්නා ලෙසයි මෙම තොරතුරුනැවතත්. තවද තොරතුරු වඩා හොඳින් උකහා ගැනීම සඳහා ඕනෑම පාඨකයෙකුට කලින් කලට මූලික පාඩම වෙත යොමු කිරීම ප්රයෝජනවත් වනු ඇත. Colinearity, orthogonality, orthonormal පදනම, දෛශික විසංයෝජනය - මෙම සහ වෙනත් සංකල්ප අනාගතයේදී බොහෝ විට භාවිතා කරනු ඇත. ජ්යාමිතිය පිළිබඳ න්යායික පරීක්ෂණය හෝ කථනය සමත් වීමට වෙබ් අඩවියේ ඇති ද්රව්ය ප්රමාණවත් නොවන බව මම සටහන් කරමි, මන්ද මම සියලු ප්‍රමේයයන් (සහ සාක්ෂි නොමැතිව) ප්රවේශමෙන් සංකේතනය කරන බැවිනි - ඉදිරිපත් කිරීමේ විද්‍යාත්මක විලාසයට හානියක් වන නමුත් ඔබේ අවබෝධයේ වාසිය විෂය පිළිබඳ. සවිස්තරාත්මක න්යායික තොරතුරු ලබා ගැනීම සඳහා, කරුණාකර මහාචාර්ය අටනාසියන්ට හිස නමන්න.
අපි ප්රායෝගික කොටස වෙත යමු:
විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ සරලම ගැටළු.
ඛණ්ඩාංකවල දෛශික සමඟ ක්රියා
සම්පුර්ණයෙන්ම ස්වයංක්‍රීයව සලකා බලනු ලබන කාර්යයන් සහ සූත්ර විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීම ඉතා යෝග්‍ය වේ. කටපාඩම් කරනවා, විශේෂයෙන් මතක තබා ගන්න එපා, ඔවුන් තමන්ව මතක තබා ගනු ඇත =) මෙය ඉතා වැදගත් වේ, මන්ද සරලම දේ මූලික උදාහරණවිශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ අනෙකුත් ගැටළු පදනම් වී ඇති අතර, එය වියදම් කිරීම කරදරකාරී වනු ඇත අමතර කාලයඋකස් ආහාරයට ගැනීම සඳහා. ඔබේ කමිසයේ ඉහළ බොත්තම් බොත්තම් කිරීමට අවශ්ය නැත; බොහෝ දේ ඔබට පාසලේ සිට හුරුපුරුදුය.
ද්රව්යයේ ඉදිරිපත් කිරීම සමාන්තර පාඨමාලාවක් අනුගමනය කරනු ඇත - ගුවන් යානය සහ අවකාශය සඳහා. සියලු සූත්ර ... ඔබම දකිනු ඇත යන හේතුව නිසා.
ලකුණු දෙකකින් දෛශිකයක් සොයා ගන්නේ කෙසේද?
තලයේ ලකුණු දෙකක් ලබා දී ඇත්නම්, දෛශිකයට පහත ඛණ්ඩාංක ඇත: 
අවකාශයේ ස්ථාන දෙකක් ලබා දී ඇත්නම්, දෛශිකයට පහත ඛණ්ඩාංක ඇත:
එනම්, දෛශිකයේ අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින්ඔබ අනුරූප ඛණ්ඩාංක අඩු කළ යුතුය දෛශිකයේ ආරම්භය.
අභ්යාස:එකම කරුණු සඳහා, දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා සූත්ර ලියන්න. පාඩම අවසානයේ සූත්ර.
උදාහරණ 1
ගුවන් යානයේ ලකුණු දෙකක් ලබා දී ඇත සහ . දෛශික ඛණ්ඩාංක සොයන්න
විසඳුමක්:සුදුසු සූත්රය අනුව:
විකල්පයක් ලෙස, පහත ප්‍රවේශය භාවිතා කළ හැකිය:
සෞන්දර්යය මෙය තීරණය කරනු ඇත:
පුද්ගලිකව, මම පටිගත කිරීමේ පළමු අනුවාදයට පුරුදු වී සිටිමි.
පිළිතුර:
කොන්දේසියට අනුව, චිත්රයක් තැනීම අවශ්ය නොවීය (එය විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතියේ ගැටළු සඳහා සාමාන්ය වේ), නමුත් ඩමි සඳහා සමහර කරුණු පැහැදිලි කිරීම සඳහා, මම කම්මැලි නොවනු ඇත: 
ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම තේරුම් ගත යුතුයි ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංක සහ දෛශික ඛණ්ඩාංක අතර වෙනස:
ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංක- මේවා සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක සාමාන්ය ඛණ්ඩාංක වේ. මම හිතන්නේ 5-6 ශ්‍රේණියේ සිට ඛණ්ඩාංක තලයක ලකුණු සැලසුම් කරන්නේ කෙසේදැයි හැමෝම දන්නවා. සෑම ලක්ෂයකටම ගුවන් යානයේ දැඩි ස්ථානයක් ඇති අතර, ඒවා ඕනෑම තැනකට ගෙන යා නොහැක.
දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක- මෙම නඩුවේ පදනම අනුව එහි ප්රසාරණය මෙයයි. ඕනෑම දෛශිකයක් නොමිලේ, අවශ්ය නම්, අපට එය ගුවන් යානයේ වෙනත් ස්ථානයක සිට පහසුවෙන් ගෙන යා හැකිය. දෛශික සඳහා ඔබට අක්ෂ හෝ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් තැනීමට අවශ්ය නොවන බව සිත්ගන්නා කරුණකි; ඔබට අවශ්ය වන්නේ පදනමක් පමණි, මේ අවස්ථාවේ දී යානයේ විකලාංග පදනමක්.
ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක සහ දෛශික ඛණ්ඩාංකවල වාර්තා සමාන බව පෙනේ: , සහ ඛණ්ඩාංකවල අර්ථයනියත වශයෙන්ම විවිධ, සහ ඔබ මෙම වෙනස හොඳින් දැන සිටිය යුතුය. මෙම වෙනස, ඇත්ත වශයෙන්ම, අවකාශය සඳහා ද අදාළ වේ.
නෝනාවරුනි, මහත්වරුනි, අපි අපේ දෑත් පුරවමු:
උදාහරණය 2
අ) ලකුණු සහ ලබා දී ඇත. දෛශික සොයන්න සහ .
b) ලකුණු ලබා දී ඇත 
සහ . දෛශික සොයන්න සහ .
ඇ) ලකුණු සහ ලබා දී ඇත. දෛශික සොයන්න සහ .
ඈ) ලකුණු ලබා දී ඇත. දෛශික සොයන්න 
.
සමහර විට එය ප්රමාණවත්ය. මේවා ඔබට තනිවම තීරණය කිරීමට උදාහරණ වේ, ඒවා නොසලකා හැරීමට උත්සාහ නොකරන්න, එය ගෙවනු ඇත ;-). චිත්ර ඇඳීමට අවශ්ය නැත. පාඩම අවසානයේ විසඳුම් සහ පිළිතුරු.
විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය ගැටළු විසඳීමේදී වැදගත් වන්නේ කුමක්ද?ප්‍රවීණ “දෙක එකතු කළ දෙක ශුන්‍යයට සමාන” වැරදීමකින් වැළකීම සඳහා අතිශයින්ම ප්‍රවේශම් වීම වැදගත් වේ. මගෙන් කොතනක හරි වැරැද්දක් උනා නම් වහාම සමාව ඉල්ලනවා =)
කොටසක දිග සොයා ගන්නේ කෙසේද?
දිග, දැනටමත් සටහන් කර ඇති පරිදි, මාපාංක ලකුණෙන් දැක්වේ.
තලයේ ලකුණු දෙකක් ලබා දී ඇත්නම් සහ , සූත්රය භාවිතයෙන් කොටසේ දිග ගණනය කළ හැකිය.
අවකාශයේ ලකුණු දෙකක් ලබා දී ඇත්නම්, සූත්රය භාවිතයෙන් කොටසේ දිග ගණනය කළ හැකිය
සටහන: අනුරූප ඛණ්ඩාංක මාරු කළහොත් සූත්ර නිවැරදි වනු ඇත: සහ , නමුත් පළමු විකල්පය වඩා සම්මත වේ
උදාහරණය 3
විසඳුමක්:සුදුසු සූත්රය අනුව:
පිළිතුර: 
පැහැදිලිකම සඳහා, මම චිත්රයක් සාදන්නෙමි 
රේඛා ඛණ්ඩය - මෙය දෛශිකයක් නොවේ, සහ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට එය ඕනෑම තැනකට ගෙන යා නොහැක. ඊට අමතරව, ඔබ පරිමාණයට අඳින්නේ නම්: 1 ඒකකය. = 1 cm (නෝට්බුක් සෛල දෙකක්), එවිට ලැබෙන පිළිතුර කොටසෙහි දිග සෘජුව මැනීමෙන් නිත්‍ය පාලකයෙකු සමඟ පරීක්ෂා කළ හැකිය.
ඔව්, විසඳුම කෙටියි, නමුත් එහි තවත් යුවලක් ඇත වැදගත් කරුණුමම පැහැදිලි කිරීමට කැමති බව:
පළමුව, පිළිතුරෙහි අපි මානය තබමු: "ඒකක". කොන්දේසිය එය කුමක්ද, මිලිමීටර, සෙන්ටිමීටර, මීටර් හෝ කිලෝමීටර් නොකියයි. එබැවින්, ගණිතමය වශයෙන් නිවැරදි විසඳුමක් වනුයේ සාමාන්ය සූත්රයයි: "ඒකක" - "ඒකක" ලෙස කෙටියෙන්.
දෙවනුව, අපි නැවත කියමු පාසල් ද්රව්ය, සලකා බැලූ ගැටලුව සඳහා පමණක් නොව ප්රයෝජනවත් වේ:
අවධානය යොමු කරන්න වැදගත් තාක්ෂණය – මූලයට යටින් ගුණකය ඉවත් කිරීම. ගණනය කිරීම් වල ප්‍රති result ලයක් ලෙස, අපට ප්‍රති result ලයක් ඇති අතර හොඳ ගණිතමය විලාසය මූලයට යටින් (හැකි නම්) සාධකය ඉවත් කිරීම ඇතුළත් වේ. වඩාත් විස්තරාත්මකව, ක්රියාවලිය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: 
. ඇත්ත වශයෙන්ම, පිළිතුර එලෙසම තැබීම වරදක් නොවනු ඇත - නමුත් එය නිසැකවම ගුරුවරයාගේ පාර්ශවයෙන් විවාද කිරීම සඳහා අඩුපාඩුවක් සහ බර තර්කයක් වනු ඇත.
මෙන්න වෙනත් පොදු අවස්ථා: 
බොහෝ විට මූලයේ ප්රමාණවත් වේ විශාල සංඛ්යාවක්, උදාහරණ වශයෙන් . එවැනි අවස්ථාවලදී කුමක් කළ යුතුද? කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරමින්, අංකය 4: න් බෙදිය හැකිද යන්න අපි පරීක්ෂා කරමු. ඔව්, එය සම්පූර්ණයෙන්ම බෙදී ඇත, මෙසේ: 
. නැත්නම් සමහර විට අංකය නැවත 4 න් බෙදිය හැකිද? . මේ අනුව: 
. අංකයේ අවසාන ඉලක්කම් ඔත්තේ ය, එබැවින් තුන්වන වරට 4 න් බෙදීම පැහැදිලිවම ක්රියා නොකරනු ඇත. අපි නවයෙන් බෙදීමට උත්සාහ කරමු: . ප්රතිඵලයක් වශයෙන්:
සූදානම්.
නිගමනය:මුල යටතේ අපට සමස්තයක් ලෙස උකහා ගත නොහැකි සංඛ්යාවක් ලැබෙන්නේ නම්, අපි මූලයට යටින් සාධකය ඉවත් කිරීමට උත්සාහ කරමු - කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරමින් අංකය බෙදිය හැකිද යන්න පරීක්ෂා කරන්න: 4, 9, 16, 25, 36, 49, ආදිය.
විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී, මූලයන් බොහෝ විට හමු වේ; ගුරුවරයාගේ අදහස් මත පදනම්ව ඔබේ විසඳුම් අවසන් කිරීමේදී අඩු ශ්‍රේණියක් සහ අනවශ්‍ය ගැටළු මඟහරවා ගැනීම සඳහා සෑම විටම මූලයට යටින් සාධක උපුටා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න.
වර්ග කිරීමේ මූලයන් සහ වෙනත් බලයන් ද නැවත කියමු: 
උපාධි සමඟ ක්රියා සඳහා රීති සාමාන්ය දැක්මවීජ ගණිතය පිළිබඳ පාසල් පෙළපොතකින් සොයාගත හැකිය, නමුත් මම හිතන්නේ ලබා දී ඇති උදාහරණ වලින්, සෑම දෙයක්ම හෝ සියල්ලම පාහේ දැනටමත් පැහැදිලිය.
අභ්යවකාශයේ කොටසක් සමඟ ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යය:
උදාහරණය 4
ලකුණු සහ ලබා දී ඇත. කොටසේ දිග සොයන්න.
විසඳුම සහ පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.
දෛශිකයක දිග සොයා ගන්නේ කෙසේද?
තල දෛශිකයක් ලබා දෙන්නේ නම්, එහි දිග සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ.
අභ්‍යවකාශ දෛශිකයක් ලබා දෙන්නේ නම්, එහි දිග සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ 
.
ඒකක දෛශිකය- මෙය දෛශිකය, නිරපේක්ෂ වටිනාකම(මොඩියුලස්) එයින් එකකට සමාන වේ. ඒකක දෛශිකයක් දැක්වීමට, අපි උපස්ක්‍රිප්ට් e භාවිතා කරන්නෙමු, එබැවින්, දෛශිකයක් ලබා දෙන්නේ නම් ඒ, එවිට එහි ඒකක දෛශිකය දෛශිකය වනු ඇත ඒ e. මෙම ඒකක දෛශිකය දෛශිකයේ දිශාවටම යොමු කෙරේ ඒ, සහ එහි මොඩියුලය එකකට සමාන වේ, එනම් a e = 1.
පැහැදිලිවම, ඒ= a ඒඉ (අ - දෛශික මොඩියුලය ඒ). මෙහෙයුම සිදු කරනු ලබන රීතියෙන් මෙය අනුගමනය කෙරේ දෛශිකයකින් අදිශයක් ගුණ කිරීම.
ඒකක දෛශිකබොහෝ විට සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියක ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ සම්බන්ධ වේ (විශේෂයෙන්, කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අක්ෂ සමඟ). මේවායේ දිශාවන් දෛශිකඅනුරූප අක්ෂයන්හි දිශාවන් සමග සමපාත වන අතර, ඒවායේ මූලාරම්භය බොහෝ විට සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියේ මූලාරම්භය සමඟ සංයුක්ත වේ.
ඒක මතක් කරන්නම් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඅභ්‍යවකාශයේදී, ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ලෙස හැඳින්වෙන ලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වන අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක අක්ෂ ත්‍රිත්වයක් සම්ප්‍රදායිකව හැඳින්වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සාමාන්යයෙන් X, Y, Z අක්ෂර වලින් දක්වනු ලබන අතර ඒවා පිළිවෙලින් abscissa අක්ෂය, ordinate axis සහ applicate axis ලෙස හැඳින්වේ. ඩෙකාට් විසින්ම භාවිතා කළේ එක් අක්ෂයක් පමණක් වන අතර, එහි අබ්සිසාස් සැලසුම් කර ඇත. භාවිතයේ කුසලතාව පද්ධතිඅක්ෂය ඔහුගේ සිසුන්ට අයත් වේ. එබැවින් වැකිය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඓතිහාසිකව වැරදියි. කතා කිරීම වඩා හොඳය සෘජුකෝණාස්රාකාර සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියහෝ විකලාංග ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය. කෙසේ වෙතත්, අපි සම්ප්‍රදායන් වෙනස් නොකරන අතර අනාගතයේදී අපි Cartesian සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර (orthogonal) ඛණ්ඩාංක පද්ධති එක හා සමාන යැයි උපකල්පනය කරමු.
ඒකක දෛශිකය, X අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ මම, ඒකක දෛශිකය, Y අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ j, ඒ ඒකක දෛශිකය, Z අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ කේ. දෛශික මම, j, කේයනුවෙන් හැඳින්වේ orts(රූපය 12, වම්), ඔවුන් තනි මොඩියුල ඇත, එනම්
i = 1, j = 1, k = 1.
අක්ෂ සහ ඒකක දෛශික සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියසමහර අවස්ථාවලදී ඔවුන්ට විවිධ නම් සහ තනතුරු ඇත. මේ අනුව, abscissa අක්ෂය X ස්පර්ශක අක්ෂය ලෙස හැඳින්විය හැකි අතර එහි ඒකක දෛශිකය දක්වනු ලැබේ. τ (ග්‍රීක කුඩා අකුර tau), ordinate axis යනු සාමාන්ය අක්ෂයයි, එහි ඒකක ඒකකය දක්වනු ලැබේ n, යෙදුම් අක්ෂය ද්විසාමාන්‍ය අක්ෂය වේ, එහි ඒකක දෛශිකය දක්වනු ලැබේ බී. සාරය එලෙසම පවතී නම් නම් වෙනස් කරන්නේ ඇයි?
කාරණය නම්, උදාහරණයක් ලෙස, යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී, ශරීර චලනය අධ්‍යයනය කිරීමේදී, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය බොහෝ විට භාවිතා වේ. එබැවින්, ඛණ්ඩාංක පද්ධතියම නිශ්චල නම් සහ චලනය වන වස්තුවක ඛණ්ඩාංක වෙනස් වීම මෙම ස්ථාවර පද්ධතිය තුළ නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ නම්, සාමාන්යයෙන් අක්ෂ X, Y, Z සහ ඒවායේ ඒකක දෛශිකපිළිවෙලින් මම, j, කේ.
නමුත් බොහෝ විට, වස්තුවක් යම් වක්‍ර මාර්ගයක් ඔස්සේ ගමන් කරන විට (උදාහරණයක් ලෙස, රවුමක), එය සලකා බැලීම වඩාත් පහසු වේ යාන්ත්රික ක්රියාවලීන්මෙම වස්තුව සමඟ චලනය වන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක. එවැනි චලනය වන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සඳහා අක්ෂවල වෙනත් නම් සහ ඒවායේ ඒකක දෛශික භාවිතා වේ. ඒක එහෙමම තමයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, X අක්ෂය දැනට මෙම වස්තුව පිහිටා ඇති ස්ථානයේ ගමන් පථයට ස්පර්ශක ලෙස යොමු කෙරේ. එවිට මෙම අක්ෂය තවදුරටත් X අක්ෂය ලෙස හඳුන්වනු නොලැබේ, නමුත් ස්පර්ශක අක්ෂය, සහ එහි ඒකක දෛශිකය තවදුරටත් නම් නොකෙරේ. මම, ඒ τ . Y අක්ෂය ගමන් පථයේ වක්‍ර අරය දිගේ යොමු කෙරේ (රවුමක චලිතයේදී - රවුමේ මැදට). තවද අරය ස්පර්ශකයට ලම්බක වන බැවින්, අක්ෂය සාමාන්ය අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ (ලම්බක සහ සාමාන්ය යනු එකම දෙයකි). මෙම අක්ෂයේ ඒකක දෛශිකය තවදුරටත් සඳහන් නොවේ j, ඒ n. තුන්වන අක්ෂය (කලින් Z) පෙර දෙකට ලම්බක වේ. මෙය ඔර්ත් එකක් සහිත ද්වීසාමාන්‍යයකි බී(රූපය 12, දකුණ). මාර්ගය වන විට, මෙම නඩුවේ එවැනි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියබොහෝ විට "ස්වාභාවික" හෝ ස්වභාවික ලෙස හැඳින්වේ.
7.1 හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම
තුන්වන දෛශිකයේ c අග සිට පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවන දෛශිකය b දක්වා කෙටිම හැරීම පෙනෙන්නේ නම්, දක්වන ලද අනුපිළිවෙලට ගත් a, b සහ c නොවන coplanar දෛශික තුනක් දකුණු අත ත්රිත්ව සාදයි. වාමාවර්තව, සහ දක්ෂිණාවර්තව නම් වම් අත ත්රිත්ව (පය. 16 බලන්න).
දෛශික a සහ b දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනය දෛශික c ලෙස හැඳින්වේ, එනම්:
1. දෛශික a සහ b සඳහා ලම්බකව, එනම් c ^ a සහ c ^ බී ;
2. දෛශික a සහ මත ඉදිකර ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන දිගක් ඇතබීපැතිවල මෙන් (රූපය 17 බලන්න), i.e.
3. දෛශික a, b සහ c දකුණු අත ත්රිත්ව සාදයි.
හරස් නිෂ්පාදනය x b හෝ [a,b] ලෙස දැක්වේ. ඒකක දෛශික අතර පහත සම්බන්ධතා දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් මම සෘජුවම අනුගමනය කරමි, jසහ කේ(රූපය 18 බලන්න):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.
උදාහරණයක් ලෙස, අපි ඔප්පු කරමු i xj =k.
1) k ^ i, k ^ j ;
2) |k |=1, නමුත් | i x j| = |i | |ජේ | sin(90°)=1;
3) දෛශික i, j සහ කේනිවැරදි ත්රිත්ව සාදන්න (රූපය 16 බලන්න).
7.2 හරස් නිෂ්පාදනයක ගුණාංග
1. සාධක නැවත සකස් කරන විට, දෛශික නිෂ්පාදන ලකුණ වෙනස් වේ, i.e. සහ xb =(b xa) (රූපය 19 බලන්න).
දෛශික a xb සහ b xa collinear වේ, එකම මොඩියුල ඇත (සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය නොවෙනස්ව පවතී), නමුත් ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ (ත්රිත්ව a, b, a xb සහ a, b, b x a ප්රතිවිරුද්ධ දිශානතිය). එනම් axb = -(b xa).
2. දෛශික නිෂ්පාදනයට අදිශ සාධකයට සාපේක්ෂව ඒකාබද්ධ ගුණයක් ඇත, එනම් l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).
l >0 ඉඩ දෙන්න. දෛශික l (a xb) දෛශික a සහ b සඳහා ලම්බක වේ. දෛශිකය ( එල් a)x බීදෛශික a සහ සඳහා ලම්බක වේ බී(දෛශික a, එල්නමුත් එකම ගුවන් යානයක සැතපෙන්න). මෙයින් අදහස් කරන්නේ දෛශික බවයි එල්(axb) සහ ( එල් a)x බී collinear. ඔවුන්ගේ දිශාවන් සමපාත වන බව පැහැදිලිය. ඒවාට සමාන දිගක් ඇත:
ඒක තමයි එල්(a xb)= එල් xb. සඳහා සමාන ආකාරයකින් ඔප්පු කර ඇත එල්<0.
3. ශුන්ය නොවන දෛශික දෙකක් a සහ බී collinear වේ නම් සහ ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්ය දෛශිකයට සමාන නම් පමණි, එනම් a ||b<=>සහ xb =0.
විශේෂයෙන්ම, i *i =j *j =k *k =0 .
4. දෛශික නිෂ්පාදනයට බෙදාහැරීමේ ගුණය ඇත:
(a+b) xc = a xc + බී xs.
සාක්ෂි නොමැතිව අපි පිළිගන්නෙමු.
7.3 ඛණ්ඩාංක අනුව හරස් නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කිරීම
අපි දෛශික i හි හරස් නිෂ්පාදන වගුව භාවිතා කරන්නෙමු, jසහ කේ:
පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවැන්න දක්වා කෙටිම මාර්ගයේ දිශාව ඊතලයේ දිශාවට සමපාත වේ නම්, නිෂ්පාදිතය තුන්වන දෛශිකයට සමාන වේ; එය සමපාත නොවන්නේ නම්, තුන්වන දෛශිකය සෘණ ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ.
a =a x i +a y දෛශික දෙකක් දෙන්න j+a z කේසහ b =b x මම+b y j+b z කේ. මෙම දෛශික බහුපද ලෙස ගුණ කිරීමෙන් (දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ අනුව) දෛශික ගුණය සොයා ගනිමු:
ලැබෙන සූත්රය ඊටත් වඩා කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:
සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත (7.1) පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය අනුව තුන්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීමේ ප්‍රසාරණයට අනුරූප වන බැවින් සමානාත්මතාවය (7.2) මතක තබා ගැනීම පහසුය.
7.4 හරස් නිෂ්පාදනයේ සමහර යෙදුම්
දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය ස්ථාපිත කිරීම
සමාන්තර චලිතයක සහ ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම
දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය අනුව ඒසහ බී |a xb | =|අ | * |b |sin g, i.e. S යුගල = |a x b |. තවද, එබැවින්, D S =1/2|a x b |.
ලක්ෂ්යයක් ගැන බලයේ මොහොත තීරණය කිරීම
A ලක්ෂ්‍යයේ බලයක් යොදන්න F = ABඑයට යන්න දෙන්න ගැන- අවකාශයේ යම් ස්ථානයක් (රූපය 20 බලන්න).
එය භෞතික විද්‍යාවෙන් දන්නා කරුණකි බලයේ මොහොත එෆ් කාරණයට සාපේක්ෂව ගැනදෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ එම්,ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ගැනසහ:
1) ලකුණු හරහා ගමන් කරන තලයට ලම්බකව O, A, B;
2) සංඛ්‍යාත්මකව එක් අතකට බලයේ ගුණිතයට සමාන වේ
3) OA සහ A B දෛශික සමඟ දකුණු ත්රිත්ව සාදයි.
එබැවින්, M = OA x F.
රේඛීය භ්‍රමණ වේගය සොයා ගැනීම
වේගය vකෝණික ප්‍රවේගයෙන් භ්‍රමණය වන දෘඩ සිරුරක ලක්ෂ්යය M wස්ථාවර අක්ෂයක් වටා, Euler's සූත්රය v =w xr මගින් තීරණය වේ, එහිදී r =OM, O යනු අක්ෂයේ යම් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයකි (රූපය 21 බලන්න).
