දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනය තීරණය කිරීම. දෛශික වල හරස් නිෂ්පාදනය. දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්

අර්ථ දැක්වීම. දෛශික a (multiplicand) සහ collinear නොවන දෛශිකය (multiplicand) වල දෛශික ගුණය තුන්වන දෛශික c (නිෂ්පාදනය) වේ, එය පහත පරිදි ගොඩනගා ඇත:

1) එහි මාපාංකය සංඛ්‍යාත්මක වේ ප්රදේශයට සමාන වේරූපයේ සමාන්තර චලිතය. 155), දෛශික මත ගොඩනගා ඇත, එනම් එය සඳහන් සමාන්තර චලිතයේ තලයට ලම්බක දිශාවට සමාන වේ;

3) මෙම අවස්ථාවෙහිදී, c දෛශිකයේ දිශාව තෝරා ගනු ලැබේ (හැකි ඒවා දෙකකින්) එවිට c දෛශික දකුණු අත පද්ධතියක් සාදයි (§ 110).

තනතුර: හෝ

අර්ථ දැක්වීමට එකතු කිරීම. දෛශික ඛණ්ඩක නම්, රූපය (කොන්දේසි සහිතව) සමාන්තර චලිතයක් ලෙස සලකන විට, ශුන්‍ය ප්‍රදේශයක් පැවරීම ස්වාභාවිකය. එබැවින්, collinear දෛශිකවල දෛශික ගුණය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන ලෙස සැලකේ.

ශුන්‍ය දෛශිකය ඕනෑම දිශාවකට පැවරිය හැකි බැවින්, මෙම ගිවිසුම අර්ථ දැක්වීමේ 2 සහ 3 ඡේදවලට පටහැනි නොවේ.

සටහන 1. "දෛශික නිෂ්පාදනය" යන යෙදුමේ පළමු වචනයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ ක්‍රියාවෙහි ප්‍රතිඵලය දෛශිකයක් බවයි (අදිශ නිෂ්පාදනයකට ප්‍රතිවිරුද්ධව; cf. § 104, remark 1).

උදාහරණ 1. නිවැරදි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ප්‍රධාන දෛශික ඇති දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න (රූපය 156).

1. ප්‍රධාන දෛශිකවල දිග එක් පරිමාණ ඒකකයකට සමාන වන බැවින්, සමාන්තර චලිතයේ (හතරැස්) ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව එකකට සමාන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ දෛශික නිෂ්පාදනයේ මාපාංකය එකකට සමාන බවයි.

2. තලයට ලම්බක අක්ෂයක් වන බැවින්, අපේක්ෂිත දෛශික නිෂ්පාදිතය දෛශික k දෛශික collinear වේ; සහ ඒ දෙකටම මාපාංක 1 ඇති බැවින්, අපේක්ෂිත දෛශික නිෂ්පාදනය k හෝ -k ට සමාන වේ.

3. මෙම විය හැකි දෛශික දෙකෙන්, පළමු එක තෝරාගත යුතුය, මන්ද දෛශික k දකුණත් පද්ධතියක් (සහ දෛශික වම් අත ද) සාදයි.

උදාහරණ 2. හරස් නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න

විසඳුමක්. උදාහරණ 1 හි මෙන්, දෛශිකය k හෝ -k ට සමාන බව අපි නිගමනය කරමු. නමුත් දැන් අපි -k තෝරාගත යුතුයි, මන්ද දෛශික දකුණු අත පද්ධතියක් සාදනු ලබන බැවින් (සහ දෛශික වම් අතක් සාදයි). ඒ නිසා,

උදාහරණ 3. දෛශික වල දිග පිළිවෙලින් 80 සහ 50 cm ට සමාන වන අතර 30 ° ක කෝණයක් සාදයි. මීටරය දිග ඒකකය ලෙස ගෙන, දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න a

විසඳුමක්. දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක වර්ගඵලය සමාන වේ අපේක්ෂිත දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සමාන වේ

උදාහරණ 4. දිග ඒකකය ලෙස සෙන්ටිමීටර ගනිමින් එම දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න.

විසඳුමක්. දෛශික මත ඉදිකර ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය සමාන බැවින්, දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සෙන්ටිමීටර 2000 ට සමාන වේ, i.e.

උදාහරණ 3 සහ 4 සංසන්දනය කිරීමෙන් දෛශිකයේ දිග රඳා පවතින්නේ සාධකවල දිග මත පමණක් නොව දිග ඒකකයේ තේරීම මත බව පැහැදිලිය.

දෛශික නිෂ්පාදනයක භෞතික අර්ථය.දෛශික නිෂ්පාදනයෙන් නියෝජනය වන බොහෝ භෞතික ප්‍රමාණවලින්, අපි සලකා බලන්නේ බලයේ මොහොත පමණි.

A යනු බලය යොදන ලක්ෂ්‍යය වේ. O ලක්ෂ්‍යයට සාපේක්ෂව බලයේ මොහොත දෛශික නිෂ්පාදනයක් ලෙස හැඳින්වේ. මෙම දෛශික නිෂ්පාදනයේ මාපාංකය සංඛ්‍යාත්මකව සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සමාන වන බැවින් (රූපය 157), එවිට මොහොතේ මාපාංකය පාදයේ සහ උසෙහි ගුණිතයට සමාන වේ, එනම් O ලක්ෂ්‍යයේ සිට බලය ක්‍රියා කරන සරල රේඛාව දක්වා ඇති දුරින් බලය ගුණ කරනු ලැබේ.

යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී සමතුලිතතාවය සඳහා බව ඔප්පු වේ ඝණශරීරයට යොදන බලවේග නියෝජනය කරන දෛශික එකතුව ශුන්‍යයට සමාන වීම පමණක් නොව, බල අවස්ථා වල එකතුව ද අවශ්‍ය වේ. සියලුම බලවේග එක් තලයකට සමාන්තර වන අවස්ථාවක, අවස්ථා නියෝජනය කරන දෛශික එකතු කිරීම ඒවායේ විශාලත්වය එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය. නමුත් බලවේගවල අත්තනෝමතික දිශාවන් සමඟ, එවැනි ප්රතිස්ථාපනයක් කළ නොහැකි ය. මෙයට අනුකූලව, දෛශික නිෂ්පාදනය නිශ්චිතවම දෛශිකයක් ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති අතර, අංකයක් ලෙස නොවේ.

අර්ථ දැක්වීම (x 1 , x 2 , ... , x n) n තාත්වික සංඛ්‍යා වල ඇණවුම් කළ එකතුවක් ලෙස හැඳින්වේ. n-මාන දෛශිකය, සහ අංක x i (i = ) - සංරචක,හෝ ඛණ්ඩාංක,

උදාහරණයක්. උදාහරණයක් ලෙස, යම් මෝටර් රථ කම්හලකට 50 ක් නිෂ්පාදනය කිරීමට අවශ්‍ය නම් මගී මෝටර් රථ, ට්‍රක් රථ 100 ක්, බස් රථ 10 ක්, මෝටර් රථ සඳහා අමතර කොටස් 50 ක් සහ ට්‍රක් රථ සහ බස් රථ සඳහා කට්ටල 150 ක්, එවිට මෙම බලාගාරයේ නිෂ්පාදන වැඩසටහන දෛශික ස්වරූපයෙන් ලිවිය හැකිය (50, 100, 10, 50, 150) සංරචක පහක්.

අංකනය. දෛශික තද කුඩා අකුරු වලින් හෝ ඉහලින් තීරුවක් හෝ ඊතලයක් සහිත අකුරු වලින් දැක්වේ, උදා. ඒහෝ. දෛශික දෙක හැඳින්වේ සමාන, ඒවාට සමාන සංරචක සංඛ්යාවක් තිබේ නම් සහ ඒවායේ අනුරූප සංරචක සමාන වේ.

දෛශික සංරචක මාරු කළ නොහැක, උදාහරණයක් ලෙස, (3, 2, 5, 0, 1)සහ (2, 3, 5, 0, 1) විවිධ දෛශික.
දෛශික මත මෙහෙයුම්.වැඩය x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) තාත්වික අංකයකින්λ දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

ප්රමාණයx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) සහ y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

දෛශික අවකාශය.එන් -මාන දෛශික අවකාශය ආර් n යනු තාත්වික සංඛ්‍යා සහ එකතු කිරීම මගින් ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම් නිර්වචනය කරන සියලුම n-මාන දෛශික සමූහයක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

ආර්ථික නිදර්ශනය. n-මාන දෛශික අවකාශයේ ආර්ථික නිදර්ශනය: භාණ්ඩ අවකාශය (භාණ්ඩ) යටතේ භාණ්ඩයම් ස්ථානයක නිශ්චිත වේලාවක විකිණීමට ඇති යම් භාණ්ඩයක් හෝ සේවාවක් අපට වැටහෙනු ඇත. පවතින භාණ්ඩවල n සීමිත සංඛ්‍යාවක් ඇතැයි සිතමු; පාරිභෝගිකයා විසින් මිලදී ගන්නා ලද එක් එක් ප්රමාණයන් භාණ්ඩ කට්ටලයක් මගින් සංලක්ෂිත වේ

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

එහිදී x i යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ පාරිභෝගිකයා විසින් මිලදී ගන්නා ලද i-th භාණ්ඩයේ ප්‍රමාණයයි. සියලුම භාණ්ඩවල අත්තනෝමතික බෙදීමේ දේපල ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු, එවිට ඒ සෑම එකක්ම ඕනෑම සෘණ නොවන ප්‍රමාණයක් මිලදී ගත හැකිය. එවිට හැකි සියලුම භාණ්ඩ කට්ටල භාණ්ඩ අවකාශයේ දෛශික වේ C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

රේඛීය ස්වාධීනත්වය. පද්ධති ඊ 1 , ඊ 2 , ... , ඊ m n-මාන දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී, එවැනි සංඛ්යා තිබේ නම්λ 1, λ 2, ..., එම් , එයින් අවම වශයෙන් එකක් ශුන්‍ය නොවන අතර සමානාත්මතාවයλ 1 ඊ 1 + λ 2 ඊ 2 +... + λ එම් ඊ m = 0; එසේ නොමැති නම් මෙම පද්ධතියදෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව ස්වාධීන, එනම්, දක්වා ඇති සමානාත්මතාවය හැකි වන්නේ සියල්ල සිදු වූ විට පමණි . ජ්යාමිතික අර්ථය රේඛීය යැපීමතුළ දෛශික ආර් 3, අධ්‍යක්ෂණය කරන ලද කොටස් ලෙස අර්ථකථනය කර, පහත ප්‍රමේයයන් පැහැදිලි කරන්න.

ප්රමේයය 1. එක් දෛශිකයකින් සමන්විත පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින්නේ මෙම දෛශිකය ශුන්‍ය නම් සහ පමණි.

ප්රමේයය 2. දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, ඒවා collinear (සමාන්තර) වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

ප්රමේයය 3 . දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, ඒවා coplanar (එකම තලයේ පිහිටා තිබීම) අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

වාහකවල වම් සහ දකුණු ත්‍රිත්ව. කොප්ලැනර් නොවන දෛශික ත්‍රිත්ව a, b, cකියලා හරි, ඔවුන්ගේ පොදු සම්භවයෙන් නිරීක්ෂකයා දෛශිකයන්ගේ කෙළවර මඟ හරින්නේ නම් a, b, cලබා දී ඇති අනුපිළිවෙලෙහි දක්ෂිණාවර්තව සිදු වන බව පෙනේ. නොඑසේ නම් a, b, c -තුනක් ඉතිරි කළා. දෛශික ත්‍රිත්ව දකුණු (හෝ වම්) ලෙස හැඳින්වේ ඒකමයි දිශානුගත.

පදනම සහ ඛණ්ඩාංක. ට්රොයිකා ඊ 1, ඊ 2 , ඊකොප්ලැනර් නොවන දෛශික 3 ක් ඇත ආර් 3 ලෙස හැඳින්වේ පදනම, සහ දෛශික ම ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 - මූලික. ඕනෑම දෛශිකයක් ඒපාදක දෛශික බවට අනන්‍ය ලෙස විස්තාරණය කළ හැකිය, එනම් ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කෙරේ

ඒ= x 1 ඊ 1+x2 ඊ 2 + x 3 ඊ 3, (1.1)

ප්‍රසාරණයේ (1.1) සංඛ්‍යා x 1 , x 2 , x 3 ලෙස හැඳින්වේ ඛණ්ඩාංකඒපදනම තුළ ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 සහ නම් කර ඇත ඒ(x 1, x 2, x 3).

විකලාංග පදනම. දෛශික නම් ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 යුගල වශයෙන් ලම්බක වන අතර ඒවායේ එක් එක් දිග එකකට සමාන වේ, එවිට පදනම ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග, සහ ඛණ්ඩාංක x 1 , x 2 , x 3 - සෘජුකෝණාස්රාකාර.විකලාංග පදනමක පාදක දෛශික මගින් දක්වනු ලැබේ i, j, k.

අපි එය අභ්‍යවකාශයේදී උපකල්පනය කරමු ආර් 3 කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංකවල නිවැරදි පද්ධතිය තෝරා ඇත (0, i, j, k}.

දෛශික කලා කෘති. දෛශික කලා කෘති ඒදෛශිකයට බීදෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ c, පහත සඳහන් කොන්දේසි තුන මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:

1. දෛශික දිග cදෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ ඒසහ බී, i.e.
c= |a||b|පව් ( ඒ^බී).

2. දෛශිකය cඑක් එක් දෛශිකයට ලම්බකව ඒසහ බී.

3. දෛශික ඒ, බීසහ c, දක්වා ඇති අනුපිළිවෙලට ගෙන, නිවැරදි ත්‍රිත්ව සාදන්න.

හරස් නිෂ්පාදනයක් සඳහා cතනතුර හඳුන්වා දෙනු ලැබේ c =[ab] හෝ
c = a × බී.

දෛශික නම් ඒසහ බීකෝලිනියර් වේ, පසුව පව් ( a^b) = 0 සහ [ ab] = 0, විශේෂයෙන්ම, [ aa] = 0. ඒකක දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදන: [ ij]=k, [jk] = මම, [කි]=j.

දෛශික නම් ඒසහ බීපදනමෙහි දක්වා ඇත i, j, kඛණ්ඩාංක ඒ(a 1, a 2, a 3), බී(b 1, b 2, b 3), එවිට

මිශ්ර කෑල්ලක්. දෛශික දෙකක දෛශික ගුණය නම් ඒසහ බීතුන්වන දෛශිකයෙන් පරිමාණයෙන් ගුණ කරයි c,එවිට දෛශික තුනක එවැනි නිෂ්පාදනයක් ලෙස හැඳින්වේ මිශ්ර වැඩසහ සංකේතය මගින් පෙන්නුම් කෙරේ ඒ b c.

දෛශික නම් a, bසහ cපදනම තුළ i, j, kඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත
ඒ(a 1, a 2, a 3), බී(b 1, b 2, b 3) c(c 1, c 2, c 3), එවිට

.

මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයට සරල ජ්‍යාමිතික අර්ථකථනයක් ඇත - එය අදිශයක් වන අතර එය ලබා දී ඇති දෛශික තුනක් මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාවට සමාන නිරපේක්ෂ අගයකි.

දෛශික නිවැරදි ත්‍රිත්ව සාදයි නම්, ඒවායේ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය පෙන්නුම් කරන ලද පරිමාවට සමාන ධන අංකයකි; එය තුනක් නම් a, b, c -වම්, පසුව a b c<0 и V = - a b c, එබැවින් V =|a b c|.

පළමු පරිච්ඡේදයේ ගැටළු වලදී හමු වූ දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක නිවැරදි විකලාංග පදනමකට සාපේක්ෂව ලබා දී ඇතැයි උපකල්පනය කෙරේ. ඒකක දෛශික සහ දෛශික දෛශිකය ඒ,සංකේතය මගින් පෙන්වා ඇත ඒඕ. සංකේතය ආර්=OMලක්ෂ්‍ය M හි අරය දෛශිකයෙන් දක්වනු ලැබේ, සංකේත a, AB හෝ|අ|, | AB|දෛශික මොඩියුලයන් දක්වා ඇත ඒසහ AB.

උදාහරණයක් 1.2. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න ඒ= 2එම්+4nසහ බී= m-n, කොහෙද එම්සහ n-ඒකක දෛශික සහ කෝණය අතර එම්සහ n 120 o ට සමාන වේ.

විසඳුමක්. අපට ඇත්තේ: cos φ = ab/ab ab =(2එම්+4n) (m-n) = 2එම් 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ඒ 2 = (2එම්+4n) (2එම්+4n) =
= 4එම් 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, එනම් a = . b = ; බී 2 =
= (m-n)(m-n) = එම් 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, එනම් b = . අවසාන වශයෙන් අපට ඇත්තේ: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

උදාහරණය 1.3.වාහකයන් දැන ගැනීම AB(-3,-2.6) සහ ක්රි.පූ.(-2,4,4), ABC ත්‍රිකෝණයේ උන්නතාංශයේ දිග ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. ABC ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය S මගින් දැක්වීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
S = 1/2 BC ක්රි.ව. ඉන්පසු AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, එනම් දෛශිකය ඒ.සී.ඛණ්ඩාංක ඇත
. .

උදාහරණයක් 1.4 . දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත ඒ(11,10,2) සහ බී(4,0,3). ඒකක දෛශිකය සොයන්න c,වාහකයන්ට විකලාංග ඒසහ බීසහ දෛශික ත්‍රිත්ව අනුපිළිවෙලට යොමු කරන ලෙස a, b, cනිවැරදි විය.

විසඳුමක්.අපි දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක දක්වන්නෙමු c x, y, z අනුව දී ඇති නිවැරදි විකලාංග පදනමක් සම්බන්ධයෙන්.

මන්දයත් c ⊥ a, c ⊥බී, එම ca= 0,cb= 0. ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, c = 1 සහ a b c >0.

සඳහා සමීකරණ පද්ධතියක් අප සතුව ඇත x,y,z සොයා ගැනීම: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

පද්ධතියේ පළමු සහ දෙවන සමීකරණ වලින් අපි z = -4/3 x, y = -5/6 x ලබා ගනිමු. තුන්වන සමීකරණයට y සහ z ආදේශ කිරීම, අපට ඇත්තේ: x 2 = 36/125, කොහෙන්ද
x =± . කොන්දේසිය භාවිතා කිරීම a b c > 0, අපි අසමානතාවය ලබා ගනිමු

z සහ y සඳහා වන ප්‍රකාශන සැලකිල්ලට ගනිමින්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ඇතිවන අසමානතාවය අපි නැවත ලියන්නෙමු: 625/6 x > 0, එයින් ඇඟවෙන්නේ x>0 යන්නයි. ඉතින්, x = , y = - , z =- .

ඒකක දෛශිකය- මෙය දෛශිකය, නිරපේක්ෂ වටිනාකම(මොඩියුලස්) එයින් එකකට සමාන වේ. ඒකක දෛශිකයක් දැක්වීමට, අපි උපස්ක්‍රිප්ට් e භාවිතා කරන්නෙමු, එබැවින්, දෛශිකයක් ලබා දෙන්නේ නම් ඒ, එවිට එහි ඒකක දෛශිකය දෛශිකය වනු ඇත ඒ e. මෙම ඒකක දෛශිකය දෛශිකයේ දිශාවටම යොමු කෙරේ ඒ, සහ එහි මොඩියුලය එකකට සමාන වේ, එනම් a e = 1.

පැහැදිලිවම, ඒ= a ඒඉ (අ - දෛශික මොඩියුලය ඒ). මෙය දෛශිකයකින් අදිශයක් ගුණ කිරීමේ ක්‍රියාව සිදු කරන රීතියෙන් අනුගමනය කරයි.

ඒකක දෛශිකබොහෝ විට සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියක ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ සම්බන්ධ වේ (විශේෂයෙන්, කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අක්ෂ සමඟ). මේවායේ දිශාවන් දෛශිකඅනුරූප අක්ෂයන්හි දිශාවන් සමග සමපාත වන අතර, ඒවායේ මූලාරම්භය බොහෝ විට සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියේ මූලාරම්භය සමඟ සංයුක්ත වේ.

ඒක මතක් කරන්නම් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඅභ්‍යවකාශයේදී, ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ලෙස හැඳින්වෙන ලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වන අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක අක්ෂ ත්‍රිත්වයක් සම්ප්‍රදායිකව හැඳින්වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සාමාන්‍යයෙන් X, Y, Z අක්ෂර වලින් දක්වනු ලබන අතර ඒවා පිළිවෙලින් abscissa අක්ෂය, ordinate axis සහ applicate axis ලෙස හැඳින්වේ. ඩෙකාට් විසින්ම භාවිතා කළේ එක් අක්ෂයක් පමණක් වන අතර, එහි අබ්සිසාස් සැලසුම් කර ඇත. භාවිතයේ කුසලතාව පද්ධතිඅක්ෂය ඔහුගේ සිසුන්ට අයත් වේ. එබැවින් වැකිය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඓතිහාසිකව වැරදියි. කතා කිරීම වඩා හොඳය සෘජුකෝණාස්රාකාර සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියහෝ විකලාංග ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය. කෙසේ වෙතත්, අපි සම්ප්‍රදායන් වෙනස් නොකරන අතර අනාගතයේදී අපි Cartesian සහ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර (orthogonal) ඛණ්ඩාංක පද්ධති එක හා සමාන යැයි උපකල්පනය කරමු.

ඒකක දෛශිකය, X අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ මම, ඒකක දෛශිකය, Y අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ j, ඒ ඒකක දෛශිකය, Z අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ කේ. දෛශික මම, j, කේයනුවෙන් හැඳින්වේ orts(රූපය 12, වම්), ඔවුන් තනි මොඩියුල ඇත, එනම්
i = 1, j = 1, k = 1.

අක්ෂ සහ ඒකක දෛශික සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියසමහර අවස්ථාවලදී ඔවුන්ට විවිධ නම් සහ තනතුරු ඇත. මේ අනුව, abscissa අක්ෂය X ස්පර්ශක අක්ෂය ලෙස හැඳින්විය හැකි අතර එහි ඒකක දෛශිකය දක්වනු ලැබේ. τ (ග්‍රීක කුඩා අකුර tau), ordinate axis යනු සාමාන්‍ය අක්ෂයයි, එහි ඒකක ඒකකය දක්වනු ලැබේ n, යෙදුම් අක්ෂය ද්විසාමාන්‍ය අක්ෂය වේ, එහි ඒකක දෛශිකය දක්වනු ලැබේ බී. සාරය එලෙසම පවතී නම් නම් වෙනස් කරන්නේ ඇයි?

කාරණය නම්, උදාහරණයක් ලෙස, යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී, ශරීර චලනය අධ්‍යයනය කිරීමේදී, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය බොහෝ විට භාවිතා වේ. එබැවින්, ඛණ්ඩාංක පද්ධතියම නිශ්චල නම් සහ චලනය වන වස්තුවක ඛණ්ඩාංක වෙනස් වීම මෙම ස්ථාවර පද්ධතිය තුළ නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ නම්, සාමාන්යයෙන් අක්ෂ X, Y, Z සහ ඒවායේ ඒකක දෛශිකපිළිවෙලින් මම, j, කේ.

නමුත් බොහෝ විට, වස්තුවක් යම් වක්ර මාර්ගයක් ඔස්සේ ගමන් කරන විට (උදාහරණයක් ලෙස, රවුමක), එය සලකා බැලීම වඩාත් පහසු වේ යාන්ත්රික ක්රියාවලීන්මෙම වස්තුව සමඟ චලනය වන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක. එවැනි චලනය වන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සඳහා අක්ෂවල වෙනත් නම් සහ ඒවායේ ඒකක දෛශික භාවිතා වේ. ඒක එහෙමම තමයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, X අක්ෂය දැනට මෙම වස්තුව පිහිටා ඇති ස්ථානයේ ගමන් පථයට ස්පර්ශක ලෙස යොමු කෙරේ. එවිට මෙම අක්ෂය තවදුරටත් X අක්ෂය ලෙස හඳුන්වනු නොලැබේ, නමුත් ස්පර්ශක අක්ෂය, සහ එහි ඒකක දෛශිකය තවදුරටත් නම් නොකෙරේ. මම, ඒ τ . Y අක්ෂය ගමන් පථයේ වක්‍ර අරය දිගේ යොමු කෙරේ (රවුමක චලිතයේදී - රවුමේ මැදට). තවද අරය ස්පර්ශකයට ලම්බක වන බැවින්, අක්ෂය සාමාන්‍ය අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ (ලම්බක සහ සාමාන්‍ය යනු එකම දෙයකි). මෙම අක්ෂයේ ඒකක දෛශිකය තවදුරටත් සඳහන් නොවේ j, ඒ n. තුන්වන අක්ෂය (කලින් Z) පෙර දෙකට ලම්බක වේ. මෙය ඔර්ත් එකක් සහිත ද්වීසාමාන්‍යයකි බී(රූපය 12, දකුණ). මාර්ගය වන විට, මෙම නඩුවේ එවැනි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියබොහෝ විට "ස්වාභාවික" හෝ ස්වභාවික ලෙස හැඳින්වේ.

මෙම පාඩමේදී අපි දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් දෙකක් දෙස බලමු: දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයසහ දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් (අවශ්‍ය අය සඳහා ක්ෂණික සබැඳිය). එය කමක් නැත, සමහර විට එය සම්පූර්ණ සතුට සඳහා, අමතරව සිදු වේ දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය, වැඩි වැඩියෙන් අවශ්ය වේ. මෙය දෛශික ඇබ්බැහි වීමකි. අපි විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය කැලයට ඇතුල් වන බව පෙනෙන්නට තිබේ. මේක වැරදියි. උසස් ගණිතයේ මෙම කොටසේ පිනොචියෝ සඳහා ප්‍රමාණවත් තරම් හැර සාමාන්‍යයෙන් කුඩා ලී ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, ද්රව්යය ඉතා පොදු සහ සරලයි - එකම දේට වඩා සංකීර්ණ නොවේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය, සාමාන්‍ය කාර්යයන් පවා අඩු වනු ඇත. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේ ප්‍රධානතම දෙය නම්, බොහෝ දෙනෙකුට ඒත්තු ගැන්වෙනු ඇති හෝ දැනටමත් ඒත්තු ගෙන ඇති පරිදි, ගණනය කිරීම් වලදී වැරදි සිදු නොකිරීමයි. මන්ත්‍රයක් මෙන් නැවත නැවත කරන්න, එවිට ඔබ සතුටු වනු ඇත =)

ක්ෂිතිජයේ අකුණු ගහනවා වගේ දෛශික කොහේ හරි ඈතින් දිදුලනවා නම්, කමක් නැහැ, පාඩමෙන් පටන් ගන්න ඩමි සඳහා දෛශිකනැවත ලබා ගැනීමට හෝ නැවත ලබා ගැනීමට මූලික දැනුමදෛශික ගැන. වඩාත් සුදානම් වූ පාඨකයන්ට තොරතුරු වරණාත්මකව දැනගත හැකිය; බොහෝ විට දක්නට ලැබෙන වඩාත්ම සම්පූර්ණ උදාහරණ එකතුව එකතු කිරීමට මම උත්සාහ කළෙමි. ප්රායෝගික වැඩ

ඔබ වහාම සතුටු වන්නේ කුමක් ද? මම පොඩි කාලෙ බෝල දෙක තුනක්වත් සරදම් කරන්න පුළුවන්. එය හොඳින් ක්‍රියාත්මක විය. අපි සලකා බලනු ඇති බැවින්, දැන් ඔබට කිසිසේත්ම හොර රහසේ කිරීමට සිදු නොවනු ඇත අවකාශීය දෛශික පමණි, සහ ඛණ්ඩාංක දෙකක් සහිත පැතලි දෛශික ඉතිරි වනු ඇත. ඇයි? මෙම ක්‍රියාවන් උපත ලැබුවේ එලෙසයි - දෛශිකවල දෛශිකය සහ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය නිර්වචනය කර ත්‍රිමාන අවකාශයේ ක්‍රියා කරයි. එය දැනටමත් පහසුයි!

මෙම මෙහෙයුම, අදිශ නිෂ්පාදනය මෙන්ම, ඇතුළත් වේ දෛශික දෙකක්. මේවා නොදිරන අකුරු වේවා.

ක්‍රියාව ම ය මගින් දක්වා ඇතපහත ආකාරයෙන්: . වෙනත් විකල්ප ඇත, නමුත් මම දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය මේ ආකාරයෙන්, හරස්කඩ සහිත හතරැස් වරහන් තුළ දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි.

සහ වහාම ප්රශ්නය: ඇතුලේ නම් දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයදෛශික දෙකක් සම්බන්ධ වන අතර මෙහි දෛශික දෙකක් ද ගුණ කරනු ලැබේ කුමක්ද වෙනස? පැහැදිලි වෙනස නම්, ප්‍රථමයෙන්ම, ප්‍රතිඵලයේ:

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතයේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ:

දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලය VECTOR වේ: , එනම් අපි දෛශික ගුණ කර නැවත දෛශිකයක් ලබා ගනිමු. සංවෘත සමාජය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහෙයුමේ නම පැමිණෙන්නේ මෙයයි. විවිධ ආකාරයෙන් අධ්යාපනික සාහිත්යයතනතුරු ද වෙනස් විය හැක, මම ලිපිය භාවිතා කරමි.

හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම

පළමුව පින්තූරයක් සමඟ අර්ථ දැක්වීමක් ඇත, පසුව අදහස්.

අර්ථ දැක්වීම: දෛශික නිෂ්පාදනය collinear නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, VECTOR ලෙස හැඳින්වේ, දිගසංඛ්යාත්මකව වන සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන වේ, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇත; දෛශිකය වාහකයන්ට විකලාංග, සහ පදනමට නිවැරදි දිශානතියක් ඇති වන පරිදි මෙහෙයවනු ලැබේ:

අපි නිර්වචනය බිඳ දමමු, මෙහි රසවත් දේවල් බොහොමයක් තිබේ!

එබැවින්, පහත සඳහන් වැදගත් කරුණු ඉස්මතු කළ හැකිය:

1) නිර්වචනය අනුව රතු ඊතල මගින් දැක්වෙන මුල් දෛශික collinear නොවේ. කොලිනියර් දෛශික පිළිබඳ කාරණය මඳ වේලාවකට පසුව සලකා බැලීම සුදුසුය.

2) දෛශික ගනු ලැබේ දැඩි ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති අනුපිළිවෙලකට: – "a" "be" මගින් ගුණ කරයි, "a" සමඟ "වෙන්න" නොවේ. දෛශික ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලයනිල් පැහැයෙන් දැක්වෙන VECTOR වේ. දෛශික ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් ගුණ කළහොත්, අපි දිගට සමාන දෛශිකයක් සහ දිශාවට ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට (රාස්ප්බෙරි වර්ණය) ලබා ගනිමු. එනම් සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ .

3) දැන් අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. මෙය ඉතා වැදගත් කරුණකි! නිල් දෛශිකයේ LENGTH (සහ, ඒ අනුව, තද රතු දෛශිකය) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ. රූපයේ, මෙම සමාන්තර චලිතය කළු පැහැයෙන් යුක්ත වේ.

සටහන : චිත්‍රය ක්‍රමානුරූප වන අතර, ස්වාභාවිකවම, දෛශික නිෂ්පාදනයේ නාමික දිග සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සමාන නොවේ.

අපි එකක් මතක තියාගමු ජ්යාමිතික සූත්ර: සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය යාබද පැතිවල ගුණිතයට සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයිනයට සමාන වේ.. එබැවින්, ඉහත කරුණු මත පදනම්ව, දෛශික නිෂ්පාදනයක LENGTH ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය වලංගු වේ:

සූත්‍රය දෛශිකයේ LENGTH ගැන මිස දෛශිකය ගැන නොවන බව මම අවධාරණය කරමි. ප්‍රායෝගික අර්ථය කුමක්ද? එහි තේරුම නම්, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේ ගැටළු වලදී, සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය බොහෝ විට දෛශික නිෂ්පාදනයක් යන සංකල්පය හරහා සොයා ගන්නා බවයි:

අපි දෙවන වැදගත් සූත්‍රය ලබා ගනිමු. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය (රතු තිත් රේඛාව) එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි. එබැවින්, දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක ප්රදේශය (රතු සෙවන) සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

4) අඩු නොවේ වැදගත් කරුණක්දෛශිකය දෛශිකයට විකලාංග වේ, එනම් . ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කරන ලද දෛශිකය (raspberry arrow) ද මුල් දෛශික වලට විකලාංග වේ.

5) දෛශිකය එසේ යොමු කර ඇත පදනමඑයට තිබෙනවා හරිදිශානතිය. ගැන පාඩමේ නව පදනමකට මාරුවීමමම ප්‍රමාණවත් තරම් විස්තරාත්මකව කතා කළා ගුවන් යානා දිශානතිය, සහ දැන් අපි අවකාශ දිශානතිය යනු කුමක්දැයි සොයා බලමු. මම ඔබේ ඇඟිලි මත පැහැදිලි කරන්නම් දකුණු අත . මානසිකව ඒකාබද්ධ කරන්න දබර ඇඟිල්ල දෛශිකය සමඟ සහ මැද ඇඟිල්ලදෛශිකය සමඟ. මුදු ඇඟිල්ල සහ කුඩා ඇඟිල්ලඑය ඔබේ අත්ලට ඔබන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් මාපටැඟිල්ල - දෛශික නිෂ්පාදනය ඉහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය දකුණට නැඹුරු පදනමකි (එය රූපයේ මෙයයි). දැන් දෛශික වෙනස් කරන්න ( දර්ශකය සහ මැද ඇඟිලි ) සමහර ස්ථානවල, ප්රතිඵලයක් ලෙස මාපටැඟිල්ල හැරෙනු ඇත, සහ දෛශික නිෂ්පාදනය දැනටමත් පහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය ද දකුණට නැඹුරු වූ පදනමකි. ඔබට ප්‍රශ්නයක් තිබිය හැකිය: වම් දිශානතිය ඇත්තේ කුමන පදනමද? එකම ඇඟිලි වලට "පවරන්න" වම් අතදෛශික, සහ අවකාශයේ වම් පදනම සහ වම් දිශානතිය ලබා ගන්න (මෙම අවස්ථාවේදී, මාපටැඟිල්ල පහළ දෛශිකයේ දිශාවට පිහිටා ඇත). සංකේතාත්මකව කතා කරන්නේ නම්, මෙම පාදයන් විවිධ දිශාවලට අවකාශය "ඇඹරීමට" හෝ දිශානත කරයි. තවද මෙම සංකල්පය දුරස්ථ හෝ වියුක්ත දෙයක් ලෙස නොසැලකිය යුතුය - නිදසුනක් ලෙස, අවකාශයේ දිශානතිය වඩාත් සාමාන්‍ය දර්පණය මගින් වෙනස් කරනු ලබන අතර, ඔබ “පරිවර්තනය කරන ලද වස්තුව පෙනෙන වීදුරුවෙන් ඉවතට ඇද ගන්නේ නම්” එය එසේ වනු ඇත. සාමාන්ය නඩුව"මුල්" සමඟ ඒකාබද්ධ කළ නොහැක. මාර්ගය වන විට, දර්පණය දක්වා ඇඟිලි තුනක් අල්ලාගෙන පරාවර්තනය විශ්ලේෂණය කරන්න ;-)

...ඔයා දැන් දන්න එක කොච්චර හොදද දකුණට සහ වමට නැඹුරුපදනම්, මන්දයත් දිශානතියේ වෙනසක් ගැන සමහර කථිකාචාර්යවරුන්ගේ ප්‍රකාශ බියජනක ය =)

කොලිනියර් දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය

නිර්වචනය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත, දෛශික collinear වූ විට කුමක් සිදුවේද යන්න සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත. දෛශික කෝලිනියර් නම්, ඒවා එක් සරල රේඛාවක් මත තැබිය හැකි අතර අපගේ සමාන්තර චලිතය ද එක් සරල රේඛාවකට “නැමෙයි”. ගණිතඥයන් පවසන පරිදි එවැනි ප්රදේශයක්, පිරිහෙනවාසමාන්තර චලිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ. සූත්‍රයෙන් එයම පහත දැක්වේ - ශුන්‍යයේ හෝ අංශක 180 ක සයින් ශුන්‍යයට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ ප්‍රදේශය ශුන්‍ය බවයි

මේ අනුව, නම්, එසේ නම් . නිශ්චිතවම කිවහොත්, දෛශික නිෂ්පාදනයම ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වේ, නමුත් ප්‍රායෝගිකව මෙය බොහෝ විට නොසලකා හරින අතර එය සරලව ශුන්‍යයට සමාන බව ලියා ඇත.

විශේෂ අවස්ථාවක්- දෛශිකයක දෛශික නිෂ්පාදනයක් තමා සමඟම:

දෛශික නිෂ්පාදනය භාවිතා කරමින්, ඔබට ත්‍රිමාණ දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය පරීක්ෂා කළ හැකි අතර, අපි මෙම ගැටළුව අනෙක් ඒවා අතර විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

විසඳුම් සඳහා ප්රායෝගික උදාහරණඅවශ්ය විය හැක ත්රිකෝණමිතික වගුවඑයින් සයින වල අගයන් සොයා ගැනීමට.

හොඳයි, අපි ගින්න දල්වමු:

උදාහරණ 1

a) නම් දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න

b) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය සොයන්න

විසඳුමක්: නෑ, මේක ටයිප් එකක් නෙවෙයි, මම හිතාමතාම වගන්තිවල මුල් දත්ත ඒ විදියටම හැදුවා. විසඳුම් සැලසුම් කිරීම වෙනස් වනු ඇති නිසා!

අ) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය දිගදෛශිකය (හරස් නිෂ්පාදන). අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර:

ඔබෙන් දිග ගැන විමසුවේ නම්, පිළිතුරේ අපි මානය - ඒකක දක්වන්නෙමු.

b) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය හතරැස්දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතය. මෙම සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිගට සමාන වේ:

පිළිතුර:

පිළිතුර කිසිසේත් දෛශික නිෂ්පාදනය ගැන කතා නොකරන බව කරුණාවෙන් සලකන්න; අපගෙන් විමසන ලදී රූපයේ ප්රදේශය, ඒ අනුව, මානය වර්ග ඒකක වේ.

අපි සෑම විටම කොන්දේසිය අනුව සොයා ගත යුතු දේ දෙස බලන අතර, මේ මත පදනම්ව, අපි සකස් කරමු පැහැදිලිවපිළිතුර. එය වාක්‍ය වාදයක් සේ පෙනෙන්නට ඇත, නමුත් ගුරුවරුන් අතර වචනාර්ථවාදීන් ඕනෑ තරම් සිටින අතර, පැවරුම සංශෝධනය සඳහා ආපසු යැවීමට හොඳ අවස්ථාවක් ඇත. මෙය විශේෂයෙන් දුරදිග යන ප්‍රහේලිකාවක් නොවූවත් - පිළිතුර වැරදි නම්, පුද්ගලයාට නොතේරෙන හැඟීමක් ඇති වේ. සරල දේවල්සහ/හෝ කාර්යයේ සාරය තේරුම් ගෙන නැත. උසස් ගණිතය සහ අනෙකුත් විෂයයන් වලදී ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීමේදී මෙම කරුණ සැමවිටම පාලනය කර ගත යුතුය.

"en" විශාල අකුර ගියේ කොහේද? ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, එය විසඳුමට අතිරේකව සම්බන්ධ කළ හැකි නමුත්, ඇතුල්වීම කෙටි කිරීම සඳහා, මම මෙය නොකළෙමි. සෑම කෙනෙකුම එය තේරුම් ගෙන එකම දෙය සඳහා තනතුරක් වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.

සඳහා ජනප්රිය උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය:

උදාහරණ 2

දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයන්න

දෛශික නිෂ්පාදිතය හරහා ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ සූත්රය නිර්වචනයට අදහස් දැක්වීම්වල දක්වා ඇත. විසඳුම සහ පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.

ප්‍රායෝගිකව, කාර්යය ඇත්තෙන්ම ඉතා සුලභ ය; ත්‍රිකෝණ සාමාන්‍යයෙන් ඔබට වධ හිංසා කළ හැකිය.

වෙනත් ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට අවශ්ය වනු ඇත:

දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ

අපි දැනටමත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ සමහර ගුණාංග සලකා බලා ඇත, කෙසේ වෙතත්, මම ඒවා මෙම ලැයිස්තුවට ඇතුළත් කරමි.

අත්තනෝමතික දෛශික සහ අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා සඳහා, පහත ගුණාංග:

1) වෙනත් තොරතුරු මූලාශ්රවලදී, මෙම අයිතමය සාමාන්යයෙන් ගුණාංගවල උද්දීපනය නොකෙරේ, නමුත් එය ප්රායෝගිකව ඉතා වැදගත් වේ. ඒ නිසා වෙන්න දෙන්න.

2) - දේපල ද ඉහත සාකච්ඡා කර ඇත, සමහර විට එය හැඳින්වේ ප්‍රතිප්‍රවාහකත්වය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දෛශික අනුපිළිවෙල වැදගත් වේ.

3) - ආශ්රිත හෝ ආශ්රිතදෛශික නිෂ්පාදන නීති. නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනයෙන් පිටත පහසුවෙන් ගෙන යා හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන් එහි කළ යුත්තේ කුමක්ද?

4) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේදෛශික නිෂ්පාදන නීති. වරහන් විවෘත කිරීමේදී ද ගැටළු නොමැත.

නිරූපණය කිරීම සඳහා, අපි කෙටි උදාහරණයක් බලමු:

උදාහරණය 3

නම් සොයන්න

විසඳුමක්:කොන්දේසිය නැවතත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. අපි අපේ කුඩා පින්තාරු කරමු:

(1) ආශ්‍රිත නීතිවලට අනුව, අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ විෂය පථයෙන් පිටත නියතයන් ගනිමු.

(2) අපි මොඩියුලයෙන් පිටත නියතය ගනිමු, සහ මොඩියුලය අඩු ලකුණ "කනවා". දිග සෘණ විය නොහැක.

(3) ඉතිරිය පැහැදිලිය.

පිළිතුර:

ගින්නට තවත් දර එකතු කිරීමට කාලයයි:

උදාහරණය 4

දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්න

විසඳුමක්: සූත්‍රය භාවිතා කර ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය සොයන්න . අල්ලා ගැනීම නම් "tse" සහ "de" දෛශික දෛශික එකතුවක් ලෙස ඉදිරිපත් කිරීමයි. මෙහි ඇල්ගොරිතම සම්මත වන අතර පාඩමේ අංක 3 සහ 4 උදාහරණ තරමක් සිහිපත් කරයි. දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි විසඳුම අදියර තුනකට බෙදන්නෙමු:

1) පළමු පියවරේදී, අපි දෛශික නිෂ්පාදනය හරහා දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කරමු, ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකයක් අනුව දෛශිකයක් ප්‍රකාශ කරමු. දිග ගැන තවම වචනයක් නැත!

(1) දෛශිකවල ප්‍රකාශන ආදේශ කරන්න.

(2) බෙදා හැරීමේ නීති භාවිතා කරමින්, අපි බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව වරහන් විවෘත කරමු.

(3) ආශ්‍රිත නීති භාවිතා කරමින්, අපි සියලු නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනවලින් ඔබ්බට ගෙන යන්නෙමු. කුඩා අත්දැකීමක් සමඟින්, පියවර 2 සහ 3 එකවර සිදු කළ හැකිය.

(4) මනරම් ගුණය නිසා පළමු සහ අවසාන පද ශුන්‍යයට (ශුන්‍ය දෛශිකය) සමාන වේ. දෙවන වාරයේදී අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-ප්‍රවාහක ගුණය භාවිතා කරමු:

(5) අපි සමාන කොන්දේසි ඉදිරිපත් කරමු.

එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, දෛශිකය දෛශිකයක් හරහා ප්‍රකාශ කිරීමට හැකි විය, එය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට අවශ්‍ය විය:

2) දෙවන පියවරේදී, අපට අවශ්ය දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගනී. මෙම ක්රියාවඋදාහරණ 3 මතක් කරයි:

3) අවශ්‍ය ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය සොයන්න:

විසඳුමේ අදියර 2-3 එක පේළියක ලියන්න තිබුණා.

පිළිතුර:

සලකා බැලූ ගැටළුව තරමක් පොදු ය පරීක්ෂණ, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:

උදාහරණ 5

නම් සොයන්න

පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුමක් සහ පිළිතුර. පෙර උදාහරණ අධ්‍යයනය කිරීමේදී ඔබ කෙතරම් අවධානයෙන් සිටියාදැයි බලමු ;-)

ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය

, විකලාංග පදනමකින් දක්වා ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:

සූත්‍රය ඇත්තෙන්ම සරලයි: නිර්ණායකයේ ඉහළ පේළියේ අපි ඛණ්ඩාංක දෛශික ලියන්නෙමු, දෙවන සහ තුන්වන පේළිවල අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක “තබමු” සහ අපි තබමු. දැඩි පිළිවෙළකට- පළමුව "ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක, පසුව "ද්විත්ව-ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක. දෛශික වෙනත් අනුපිළිවෙලකට ගුණ කළ යුතු නම්, පේළි මාරු කළ යුතුය:

උදාහරණ 10

පහත අභ්‍යවකාශ දෛශික ඛණ්ඩක ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න:
ඒ)
බී)

විසඳුමක්: චෙක්පත මෙම පාඩමේ එක් ප්‍රකාශයක් මත පදනම් වේ: දෛශික ඛණ්ඩක නම්, ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්‍යයට සමාන වේ (ශුන්‍ය දෛශිකය): .

අ) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න:

මේ අනුව, දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ.

b) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න:

පිළිතුර: a) collinear නොවේ, b)

මෙන්න, සමහර විට, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය පිළිබඳ සියලු මූලික තොරතුරු වේ.

දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය භාවිතා කරන ගැටළු කිහිපයක් ඇති බැවින් මෙම කොටස ඉතා විශාල නොවනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම දෙයක්ම අර්ථ දැක්වීම, ජ්යාමිතික අර්ථය සහ ක්රියාකාරී සූත්ර කිහිපයක් මත රඳා පවතී.

දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් දෛශික තුනක ගුණිතයකි:

එබැවින් ඔවුන් දුම්රියක් මෙන් පෙළ ගැසී සිටි අතර හඳුනා ගැනීමට බලා සිටිය නොහැක.

පළමුව, නැවතත්, අර්ථ දැක්වීමක් සහ පින්තූරයක්:

අර්ථ දැක්වීම: මිශ්ර වැඩ coplanar නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, නමින් සමාන්තර නල පරිමාව, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති අතර, පදනම නිවැරදි නම් "+" ලකුණකින් සහ පදනම වම් පස නම් "-" ලකුණකින් සමන්විත වේ.

අපි චිත්රය කරමු. අපට නොපෙනෙන රේඛා තිත් රේඛා වලින් ඇඳ ඇත:

අපි අර්ථ දැක්වීමට කිමිදෙමු:

2) දෛශික ගනු ලැබේ නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට, එනම්, නිෂ්පාදනයේ දෛශික නැවත සකස් කිරීම, ඔබ අනුමාන කළ හැකි පරිදි, ප්රතිවිපාක නොමැතිව සිදු නොවේ.

3) ජ්යාමිතික අර්ථය ගැන අදහස් දැක්වීමට පෙර, මම පැහැදිලි කරුණක් සටහන් කරමි: දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය NUMBER වේ: . අධ්‍යාපන සාහිත්‍යයේ, සැලසුම තරමක් වෙනස් විය හැකිය; මම මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි , සහ ගණනය කිරීම් වල ප්‍රතිඵලය "pe" අකුරින්.

A-priory මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය සමාන්තර පයිප්පයේ පරිමාවයි, දෛශික මත ගොඩනගා ඇත (රූපය රතු දෛශික සහ කළු රේඛා වලින් ඇඳ ඇත). එනම්, එම සංඛ්‍යාව ලබා දී ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාවට සමාන වේ.

සටහන : චිත්‍රය ක්‍රමානුකූලයි.

4) පදනම සහ අවකාශයේ දිශානතිය පිළිබඳ සංකල්පය ගැන නැවත කරදර නොවන්න. අවසාන කොටසෙහි තේරුම නම් පරිමාවට අඩු ලකුණක් එකතු කළ හැකි බවයි. සරල වචන වලින්, මිශ්ර නිෂ්පාදනය සෘණ විය හැක:.

නිර්වචනයෙන් සෘජුවම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නලයක පරිමාව ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය අනුගමනය කරයි.

මෙම ලිපියෙන් අපි දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයේ සංකල්පය දෙස සමීපව බලමු. අපි අවශ්‍ය නිර්වචන ලබා දෙන්නෙමු, දෛශික නිෂ්පාදනයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා සූත්‍රයක් ලියන්නෙමු, එහි ගුණාංග ලැයිස්තුගත කර සාධාරණීකරණය කරන්නෙමු. මෙයින් පසු, අපි දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය මත වාසය කරන අතර විවිධ සාමාන්ය උදාහරණ සඳහා විසඳුම් සලකා බලමු.

පිටු සංචලනය.

හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම.

දෛශික නිෂ්පාදනයක් නිර්වචනය කිරීමට පෙර, ත්‍රිමාන අවකාශයේ ඇණවුම් කළ දෛශික ත්‍රිත්වයක දිශානතිය තේරුම් ගනිමු.

අපි දෛශික එක ලක්ෂයකින් සැලසුම් කරමු. දෛශිකයේ දිශාව අනුව, තුන දකුණට හෝ වමට විය හැක. දෛශිකයේ සිට කෙටිම හැරීම කෙසේ දැයි දෛශිකයේ කෙළවරේ සිට බලමු. කෙටිම භ්‍රමණය සිදුවන්නේ වාමාවර්තව නම්, දෛශික ත්‍රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ හරි, එසේ නොමැතිනම් - අත්හැරියා.

දැන් අපි collinear නොවන දෛශික දෙකක් ගනිමු සහ . අපි දෛශික සහ A ලක්ෂ්‍යයෙන් සැලසුම් කරමු. සහ සහ යන දෙකටම ලම්බකව දෛශිකයක් ගොඩනඟමු. පැහැදිලිවම, දෛශිකයක් තැනීමේදී, අපට කරුණු දෙකක් කළ හැකිය, එය එක් දිශාවකට හෝ ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට ලබා දෙයි (උදාහරණය බලන්න).

දෛශිකයේ දිශාව අනුව, ඇණවුම් කළ දෛශික ත්‍රිත්ව දකුණු අත හෝ වම් අත විය හැක.

මෙය අපව දෛශික නිෂ්පාදනයක නිර්වචනයට සමීප කරයි. එය ත්‍රිමාන අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති දෛශික දෙකක් සඳහා දෙනු ලැබේ.

අර්ථ දැක්වීම.

දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයසහ, හි නිශ්චිතව දක්වා ඇත සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියත්‍රිමාණ අවකාශයේ ඛණ්ඩාංක දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ

දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය සහ ලෙස දැක්වේ.

දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක.

දැන් අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ දෙවන අර්ථ දැක්වීම ලබා දෙන්නෙමු, එමඟින් ඔබට ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සහ එහි ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.

අර්ථ දැක්වීම.

ත්රිමාණ අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනයක් සහ දෛශිකයකි , ඛණ්ඩාංක දෛශික කොහෙද.

මෙම නිර්වචනය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් අපට හරස් නිෂ්පාදනය ලබා දෙයි.

හරස් නිෂ්පාදනය නිර්ණායකයක් ලෙස නිරූපණය කිරීම පහසුය හතරැස් අනුකෘතියතෙවන අනුපිළිවෙල, එහි පළමු පේළිය ඒකක දෛශික වේ, දෙවන පේළියේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වේ, සහ තුන්වන පේළියේ දී ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වේ:

අපි මෙම නිර්ණායකය පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍යවලට පුළුල් කළහොත්, ඛණ්ඩාංකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් අපි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු (අවශ්‍ය නම්, ලිපිය බලන්න):

දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක ආකෘතිය මෙම ලිපියේ පළමු ඡේදයේ දක්වා ඇති නිර්වචනය සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම අනුකූල වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. එපමණක් නොව, හරස් නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ මෙම අර්ථ දැක්වීම් දෙක සමාන වේ. ලිපියේ අවසානයේ ලැයිස්තුගත කර ඇති පොතෙහි මෙම කරුණ පිළිබඳ සාක්ෂි ඔබට දැක ගත හැකිය.

දෛශික නිෂ්පාදනයක ගුණ.

ඛණ්ඩාංකවල ඇති දෛශික නිෂ්පාදනය න්‍යාසයේ නිර්ණායකයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බැවින්, පහත කරුණු පහසුවෙන් පදනම මත සාධාරණීකරණය කළ හැක. හරස් නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග:

උදාහරණයක් ලෙස, අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-සංක්‍රමණ ගුණය ඔප්පු කරමු.

A-priory සහ . පේළි දෙකක් මාරු කළහොත් න්‍යාසයක නිර්ණායකයේ අගය ආපසු හැරෙන බව අපි දනිමු, එබැවින්, , දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-සන්නිවේදක ගුණය සනාථ කරයි.

දෛශික නිෂ්පාදන - උදාහරණ සහ විසඳුම්.

ප්‍රධාන වශයෙන් ගැටලු වර්ග තුනක් තිබේ.

පළමු වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇති අතර, ඔබ දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගත යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, සූත්රය භාවිතා වේ .

උදාහරණයක්.

දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සහ , දන්නේ නම් සොයන්න .

විසඳුමක්.

දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සහ දෛශිකවල දිග වල ගුණිතයට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණයේ සයින් විසින් නිර්වචනයෙන් අපි දනිමු. .

පිළිතුර:

.

දෙවන වර්ගයේ ගැටළු දෛශික ඛණ්ඩාංකවලට සම්බන්ධ වන අතර, දෛශික නිෂ්පාදනය, එහි දිග හෝ වෙනත් ඕනෑම දෙයක් ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක හරහා සොයනු ලැබේ. සහ .

මෙහි බොහෝ විභවයන් තිබේ විවිධ විකල්ප. උදාහරණයක් ලෙස, දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක නොව සහ නියම කළ හැක, නමුත් ඒවායේ ප්‍රසාරණය සම්බන්ධීකරණ දෛශිකකාරුණික සහ , හෝ දෛශික සහ ඒවායේ ආරම්භක සහ අවසාන ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක මගින් නියම කළ හැක.

සාමාන්ය උදාහරණ දෙස බලමු.

උදාහරණයක්.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත . ඔවුන්ගේ හරස් නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.

දෙවන නිර්වචනයට අනුව, ඛණ්ඩාංකවල ඇති දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනය මෙසේ ලියා ඇත:

දෛශික නිෂ්පාදනය නිර්ණායකයට අනුව ලියා ඇත්නම් අපි එම ප්‍රතිඵලයටම පැමිණෙන්නෙමු

පිළිතුර:

.

උදාහරණයක්.

දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න සහ , හතරැස් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඒකක දෛශික කොහෙද.

විසඳුමක්.

මුලින්ම අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු දී ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක.

දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක ඇති බැවින් සහ පිළිවෙලින් (අවශ්‍ය නම්, සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශිකයක ලිපි ඛණ්ඩාංක බලන්න), එවිට දෛශික නිෂ්පාදනයක දෙවන අර්ථ දැක්වීම අනුව අප සතුව ඇත.

එනම් දෛශික නිෂ්පාදනයයි දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඛණ්ඩාංක ඇත.

දෛශික නිෂ්පාදනයක දිග එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලය ලෙස අපි සොයා ගනිමු (අපි මෙම සූත්‍රය ලබා ගත්තේ දෛශිකයක දිග සෙවීමේ කොටසේ දෛශිකයක දිග සඳහා ය):

පිළිතුර:

.

උදාහරණයක්.

සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, ලක්ෂ්ය තුනක ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත. ලම්බකව සහ ඒ සමගම යම් දෛශිකයක් සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.

දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක ඇති සහ පිළිවෙලින් (ලකුණු ඛණ්ඩාංක හරහා දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමේ ලිපිය බලන්න). අපි දෛශිකවල දෛශික ගුණය සොයා ගන්නේ නම් සහ , නිර්වචනය අනුව එය ට සහ යන දෙකටම ලම්බක දෛශිකයකි, එනම් එය අපගේ ගැටලුවට විසඳුමකි. අපි එයාව හොයාගමු

පිළිතුර:

- ලම්බක දෛශික වලින් එකක්.

තුන්වන වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කිරීමේ කුසලතාව පරීක්ෂා කරනු ලැබේ. ගුණාංග යෙදීමෙන් පසු, අනුරූප සූත්ර යොදනු ලැබේ.

උදාහරණයක්.

දෛශික සහ ලම්බක වන අතර ඒවායේ දිග පිළිවෙලින් 3 සහ 4 වේ. හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න .

විසඳුමක්.

දෛශික නිෂ්පාදනයක බෙදා හැරීමේ ගුණය අනුව, අපට ලිවිය හැකිය

සංයෝජන ගුණය හේතුවෙන්, අපි අවසාන ප්‍රකාශනයේ දෛශික නිෂ්පාදනවල ලකුණෙන් සංඛ්‍යාත්මක සංගුණක ඉවත් කරමු:

දෛශික නිෂ්පාදන සහ ශුන්‍යයට සමාන වේ, සිට සහ , ඉන්පසු .

දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රති-ප්‍රවාහක බැවින්, එවිට .

එබැවින්, දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි සමානාත්මතාවයට පැමිණියෙමු .

කොන්දේසිය අනුව, දෛශික සහ ලම්බක වේ, එනම්, ඒවා අතර කෝණය සමාන වේ. එනම්, අවශ්ය දිග සොයා ගැනීමට සියලු දත්ත අප සතුව ඇත

පිළිතුර:

.

දෛශික නිෂ්පාදනයක ජ්‍යාමිතික අර්ථය.

නිර්වචනය අනුව, දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග වේ . සහ ජ්යාමිතිය පාඨමාලාවෙන් උසස් පාසලත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ත්‍රිකෝණයේ පැති දෙකේ දිග සහ ඒවා අතර ඇති කෝණයේ සයින්වල ගුණිතයෙන් අඩකට සමාන බව අපි දනිමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග දෛශික පැති වන ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය මෙන් දෙගුණයකට සමාන වන අතර ඒවා එක් ලක්ෂ්‍යයකින් සැලසුම් කර ඇත්නම්. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සහ පැති සහිත සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශයට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය සමාන වේ. දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථය මෙයයි.