sinx cosx x ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න. x බලයට සහ ඝාතීය ශ්‍රිතයට e හි ව්යුත්පන්නය
ඔබ නිර්වචනය අනුගමනය කරන්නේ නම්, ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය යනු ශ්රිතයේ වර්ධක අනුපාතයේ සීමාවයි. yතර්ක වර්ධකයට Δ x:
සෑම දෙයක්ම පැහැදිලි බව පෙනේ. නමුත් ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීමට මෙම සූත්රය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන්න f(x) = x 2 + (2x+ 3) · ඊ xපව් x. ඔබ සෑම දෙයක්ම නිර්වචනය අනුව කරන්නේ නම්, ගණනය කිරීම් වල පිටු කිහිපයකට පසු ඔබ සරලව නින්දට වැටෙනු ඇත. එමනිසා, සරල හා වඩා ඵලදායී ක්රම තිබේ.
ආරම්භ කිරීම සඳහා, සමස්ත විවිධ ශ්‍රිත වලින් අපට ඊනියා ප්‍රාථමික ශ්‍රිත වෙන්කර හඳුනාගත හැකි බව අපි සටහන් කරමු. මේවා සාපේක්ෂව සරල ප්‍රකාශන වන අතර, ඒවායේ ව්යුත්පන්නයන් දිගු කාලයක් ගණනය කර වගුගත කර ඇත. එවැනි කාර්යයන් මතක තබා ගැනීම තරමක් පහසුය - ඒවායේ ව්යුත්පන්නයන් සමඟ.
මූලික ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න
මූලික කාර්යයන් පහත ලැයිස්තුගත කර ඇත. මෙම ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්නයන් හදවතින්ම දැනගත යුතුය. එපමණක්ද නොව, ඒවා කටපාඩම් කිරීම කිසිසේත් අපහසු නැත - ඒවා මූලික වන්නේ එබැවිනි.
ඉතින්, ව්යුත්පන්න මූලික කාර්යයන්:
| නම | කාර්යය | ව්යුත්පන්න |
| ස්ථාවර | f(x) = සී, සී ∈ ආර් | 0 (ඔව්, බිංදුව!) |
| තාර්කික ඝාතකයා සමඟ බලය | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| සයිනස් | f(x) = පව් x | cos x |
| කොසයින් | f(x) = cos x | - පව් x(සයින් අඩු වීම) |
| ස්පර්ශක | f(x) = tg x | 1/කොස් 2 x |
| කෝටැන්ජන්ට් | f(x) = ctg x | - 1/පව් 2 x |
| ස්වභාවික ලඝුගණකය | f(x) = ලඝු-සටහන x | 1/x |
| අත්තනෝමතික ලඝුගණකය | f(x) = ලඝු-සටහන ඒ x | 1/(x ln ඒ) |
| ඝාතීය ශ්රිතය | f(x) = ඊ x | ඊ x(කිසිවක් වෙනස් වී නැත) |
මූලික ශ්‍රිතයක් අත්තනෝමතික නියතයකින් ගුණ කළහොත්, නව ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ද පහසුවෙන් ගණනය කෙරේ:
(සී · f)’ = සී · f ’.
සාමාන්යයෙන්, නියතයන් ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය. උදාහරණ වශයෙන්:
(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
පැහැදිලිවම, මූලික ශ්‍රිත එකිනෙක එකතු කළ හැකිය, ගුණ කළ හැකිය, බෙදිය හැකිය - සහ තවත් බොහෝ දේ. නව ශ්‍රිතයන් දිස්වන්නේ එලෙසය, තවදුරටත් විශේෂයෙන් ප්‍රාථමික නොවේ, නමුත් සම්බන්ධව වෙනස් කළ හැකිය ඇතැම් නීති. මෙම නීති පහත සාකච්ඡා කෙරේ.
එකතුව සහ වෙනසෙහි ව්යුත්පන්නය
කාර්යයන් ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න f(x) සහ g(x), එහි ව්යුත්පන්නයන් අප දන්නා කරුණකි. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට ඉහත සාකච්ඡා කළ මූලික කාර්යයන් ගත හැකිය. එවිට ඔබට මෙම ශ්‍රිතවල එකතුවේ සහ වෙනසෙහි ව්යුත්පන්නය සොයාගත හැක:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
ඉතින්, ශ්‍රිත දෙකක එකතුවේ (වෙනස) ව්යුත්පන්නය ව්‍යුත්පන්නවල එකතුවට (වෙනස) සමාන වේ. තවත් කොන්දේසි තිබිය හැක. උදාහරණ වශයෙන්, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
හරියටම කිවහොත්, වීජ ගණිතයේ "අඩු කිරීම" පිළිබඳ සංකල්පයක් නොමැත. "සෘණ මූලද්රව්යය" පිළිබඳ සංකල්පයක් තිබේ. එබැවින් වෙනස f − gඑකතුවක් ලෙස නැවත ලිවිය හැක f+ (-1) g, පසුව ඉතිරිව ඇත්තේ එක් සූත්‍රයක් පමණි - එකතුවේ ව්යුත්පන්නය.
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
කාර්යය f(x) යනු මූලික ශ්‍රිත දෙකක එකතුවකි, එබැවින්:
f ’(x) = (x 2 + පව් x)’ = (x 2)' + (පව් x)’ = 2x+ cos x;
අපි කාර්යය සඳහා සමානව තර්ක කරමු g(x) දැනටමත් ඇත්තේ පද තුනක් පමණි (වීජ ගණිතයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
පිළිතුර:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය
ගණිතය යනු තාර්කික විද්‍යාවකි, එබැවින් බොහෝ අය විශ්වාස කරන්නේ එකතුවක ව්යුත්පන්නය ව්යුත්පන්න එකතුවට සමාන නම්, එවිට නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය වර්ජනය">ව්‍යුත්පන්නවල නිෂ්පාදනයට සමානයි. නමුත් ඔබව අනාථ කරන්න! නිෂ්පාදනයක ව්යුත්පන්නය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ. එනම්:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
සූත්රය සරලයි, නමුත් එය බොහෝ විට අමතක වේ. පාසල් සිසුන් පමණක් නොව සිසුන් ද වේ. එහි ප්රතිඵලය වන්නේ වැරදි ලෙස ගැටලු විසඳා ගැනීමයි.
කාර්ය. ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න සොයන්න: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x- 7) · ඊ x .
කාර්යය f(x) යනු මූලික ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයකි, එබැවින් සියල්ල සරල ය:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) පිරිවැය x + x 3 (කොස් x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- පව් x) = x 2 (කොස් 3 x − xපව් x)
කාර්යය g(x) පළමු සාධකය ටිකක් සංකීර්ණයි, නමුත් සාමාන්ය යෝජනා ක්රමයමෙය වෙනස් නොවේ. පැහැදිලිවම, ශ්රිතයේ පළමු සාධකය g(x) යනු බහුපදයක් වන අතර එහි ව්යුත්පන්නය යනු එකතුවේ ව්‍යුත්පන්නයයි. අපිට තියෙනවා:
g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · ඊ x)’ = (x 2 + 7x- 7)' · ඊ x + (x 2 + 7x− 7) · ( ඊ x)’ = (2x+ 7) · ඊ x + (x 2 + 7x- 7) · ඊ x = ඊ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ඊ x = x(x+ 9) · ඊ x .
පිළිතුර:
f ’(x) = x 2 (කොස් 3 x − xපව් x);
g ’(x) = x(x+ 9) · ඊ
x
.
ඒ බව කරුණාවෙන් සලකන්න අවසාන පියවරව්යුත්පන්නය සාධකකරණය කර ඇත. විධිමත් ලෙස, මෙය සිදු කිරීම අවශ්ය නොවේ, නමුත් බොහෝ ව්යුත්පන්නයන් තමන්ගේම මත ගණනය නොකෙරේ, නමුත් කාර්යය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා. මෙයින් අදහස් වන්නේ තව දුරටත් ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වන අතර, එහි සංඥා තීරණය කරනු ලැබේ, සහ එසේ ය. එවැනි අවස්ථාවක් සඳහා, ප්‍රකාශනයක් සාධකකරණය කිරීම වඩා හොඳය.
කාර්යයන් දෙකක් තිබේ නම් f(x) සහ g(x), සහ g(x) අපි උනන්දුවක් දක්වන කට්ටලයේ ≠ 0, අපට නිර්වචනය කළ හැකිය නව ලක්ෂණය h(x) = f(x)/g(x) එවැනි කාර්යයක් සඳහා ඔබට ව්යුත්පන්නය ද සොයාගත හැකිය:
දුර්වල නැහැ නේද? අවාසිය පැමිණියේ කොහෙන්ද? ඇයි g 2? සහ මේ වගේ! මෙය වඩාත්ම එකකි සංකීර්ණ සූත්ර- බෝතලයක් නොමැතිව ඔබට එය හඳුනාගත නොහැක. එබැවින්, එය අධ්යයනය කිරීම වඩා හොඳය නිශ්චිත උදාහරණ.
කාර්ය. ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න සොයන්න:
එක් එක් කොටසෙහි සංඛ්‍යා සහ හරයෙහි මූලික ශ්‍රිත අඩංගු වේ, එබැවින් අපට අවශ්ය වන්නේ ප්‍රාග්ධනයේ ව්යුත්පන්න සඳහා සූත්රය පමණි:
සම්ප්‍රදායට අනුව, අපි සංඛ්‍යාව සාධකකරණය කරමු - මෙය පිළිතුර බෙහෙවින් සරල කරයි:
සංකීර්ණ කාර්යයක් යනු කිලෝමීටර භාගයක් දිග සූත්‍රයක් අවශ්ය නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, එය ශ්රිතය ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ f(x) = පව් xසහ විචල්‍යය ප්රතිස්ථාපනය කරන්න x, කියන්න, මත x 2 + ln x. එය සාර්ථක වනු ඇත f(x) = පව් ( x 2 + ln x) - මෙය සංකීර්ණ කාර්යයකි. එයට ව්යුත්පන්නයක් ද ඇත, නමුත් ඉහත සාකච්ඡා කර ඇති රීති භාවිතයෙන් එය සොයා ගැනීමට නොහැකි වනු ඇත.
මම කළ යුත්තේ කුමක් ද? එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සඳහා විචල්‍යයක් සහ සූත්‍රයක් ප්රතිස්ථාපනය කිරීම උපකාරී වේ:
f ’(x) = f ’(ටී) · ටී', නම් xමගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ ටී(x).
රීතියක් ලෙස, මෙම සූත්රය අවබෝධ කර ගැනීමේදී ඇති වන තත්ත්වය, ඛණ්ඩයේ ව්‍යුත්පන්නයට වඩා කණගාටුදායක ය. එබැවින්, නිශ්චිත උදාහරණ සමඟ එය පැහැදිලි කිරීම ද වඩා හොඳය විස්තරාත්මක සටහනසෑම පියවරක්ම.
කාර්ය. ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න සොයන්න: f(x) = ඊ 2x + 3 ; g(x) = පව් ( x 2 + ln x)
ශ්රිතයේ නම් බව සලකන්න f(x) ප්රකාශනය වෙනුවට 2 x+ 3 පහසු වනු ඇත x, එවිට අපට මූලික ශ්‍රිතයක් ලැබේ f(x) = ඊ x. එබැවින්, අපි ආදේශකයක් කරන්නෙමු: ඉඩ 2 x + 3 = ටී, f(x) = f(ටී) = ඊ ටී. අපි සූත්රය භාවිතා කරමින් සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න සොයන්නෙමු:
f ’(x) = f ’(ටී) · ටී ’ = (ඊ ටී)’ · ටී ’ = ඊ ටී · ටී ’
දැන් - අවධානය! අපි ප්‍රතිලෝම ප්රතිස්ථාපනය සිදු කරන්නෙමු: ටී = 2x+ 3. අපට ලැබෙන්නේ:
f ’(x) = ඊ ටී · ටී ’ = ඊ 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ඊ 2x+ 3 2 = 2 ඊ 2x + 3
දැන් අපි කාර්යය දෙස බලමු g(x) පැහැදිලිවම එය ප්රතිස්ථාපනය කළ යුතුය x 2 + ln x = ටී. අපිට තියෙනවා:
g ’(x) = g ’(ටී) · ටී’ = (පව් ටී)’ · ටී’ = cos ටී · ටී ’
ආපසු ආදේශ කිරීම: ටී = x 2 + ln x. ඉන්පසු:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
එච්චරයි! අවසාන ප්‍රකාශයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, සම්පූර්ණ ගැටලුව ව්යුත්පන්න එකතුව ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කර ඇත.
පිළිතුර:
f ’(x) = 2 · ඊ
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
බොහෝ විට මගේ පාඩම් වල, "ව්යුත්පන්න" යන යෙදුම වෙනුවට මම "ප්‍රාථමික" යන වචනය භාවිතා කරමි. උදාහරණයක් ලෙස, මුදලෙන් ප්‍රාථමිකයක් එකතුවට සමානයිආඝාත. එය වඩා පැහැදිලිද? හොඳයි, ඒක හොඳයි.
මේ අනුව, ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීම ඉහත සාකච්ඡා කළ නීතිවලට අනුව මෙම පහරවල් වලින් මිදීම දක්වා පැමිණේ. පරිදි අවසාන උදාහරණයතාර්කික ඝාතකයක් සමඟ ව්යුත්පන්න බලය වෙත ආපසු යමු:
(x n)’ = n · x n − 1
චරිතය තුළ එය දන්නේ ස්වල්ප දෙනෙක් පමණි nහොඳින් ක්රියා කළ හැකිය භාගික අංකයක්. උදාහරණයක් ලෙස, මූල වේ x 0.5 මූලයට යටින් විසිතුරු දෙයක් තිබේ නම් කුමක් කළ යුතුද? නැවතත්, ප්රතිඵලය සංකීර්ණ කාර්යයක් වනු ඇත - ඔවුන් එවැනි ඉදිකිරීම් ලබා දීමට කැමතියි පරීක්ෂණසහ විභාග.
කාර්ය. ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
පළමුව, තාර්කික ඝාතකයක් සහිත බලයක් ලෙස මූලය නැවත ලියමු:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
දැන් අපි ආදේශකයක් කරන්නෙමු: ඉඩ දෙන්න x 2 + 8x − 7 = ටී. අපි සූත්රය භාවිතා කරමින් ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
f ’(x) = f ’(ටී) · ටී ’ = (ටී 0.5)' · ටී= 0.5 · ටී-0.5 · ටී ’.
අපි ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කරමු: ටී = x 2 + 8x− 7. අපට ඇත්තේ:
f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) -0.5 · ( x 2 + 8x- 7)' = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
අවසාන වශයෙන්, මූලයන් වෙත ආපසු:
ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම- වඩාත්ම එකක් වැදගත් මෙහෙයුම්වී අවකල ගණනය. පහත දැක්වෙන්නේ සරල ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීම සඳහා වන වගුවකි. තව සංකීර්ණ නීතිඅවකලනය, වෙනත් පාඩම් බලන්න: - ඝාතීය සහ ලඝුගණක ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න වගුව
සරල ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න
1. සංඛ්‍යාවක ව්යුත්පන්නය ශුන්ය වේс´ = 0
උදාහරණයක්:
5´ = 0
පැහැදිලි කිරීම:
ව්යුත්පන්නය මඟින් ශ්‍රිතයක තර්කය වෙනස් වන විට එහි අගය වෙනස් වන වේගය පෙන්වයි. කිසිදු කොන්දේසියක් යටතේ අංකය කිසිදු ආකාරයකින් වෙනස් නොවන බැවින්, එහි වෙනස් වීමේ අනුපාතය සෑම විටම ශුන්ය වේ.
2. විචල්‍යයක ව්‍යුත්පන්නයඑකකට සමානයි
x´ = 1
පැහැදිලි කිරීම:
තර්කයේ (x) එක් එක් වර්ධකයක් සමඟ, ශ්රිතයේ අගය (ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලය) එකම ප්‍රමාණයකින් වැඩි වේ. මේ අනුව, y = x ශ්රිතයේ අගය වෙනස් වීමේ අනුපාතය හරියටම තර්කයේ අගය වෙනස් වීමේ අනුපාතයට සමාන වේ.
3. විචල්‍යයක සහ සාධකයක ව්යුත්පන්නය මෙම සාධකයට සමාන වේ
сx´ = с
උදාහරණයක්:
(3x) = 3
(2x) = 2
පැහැදිලි කිරීම:
තුල මේ අවස්ථාවේ දී, ශ්‍රිත තර්කය වෙනස් වන සෑම අවස්ථාවකම ( x) එහි අගය (y) වැඩි වේ සමගවරක්. මේ අනුව, තර්කයේ වෙනස් වීමේ අනුපාතයට සාපේක්ෂව ශ්‍රිත අගය වෙනස් වීමේ අනුපාතය හරියටම අගයට සමාන වේ සමග.
එය අනුගමනය කරන්නේ කොහෙන්ද
(cx + b)" = c
එනම් අවකලනයයි රේඛීය ශ්රිතය y=kx+b යනු සරල රේඛාවේ (k) බෑවුමට සමාන වේ.
4. විචල්‍යයක මොඩියුල ව්‍යුත්පන්නයමෙම විචල්‍යයේ ප්‍රමාණයට එහි මාපාංකයට සමාන වේ
|x|"= x / |x| x ≠ 0 ලෙස සපයා ඇත
පැහැදිලි කිරීම:
විචල්‍යයක ව්යුත්පන්නය (සූත්රය 2 බලන්න) ඒකීයත්වයට සමාන බැවින්, මොඩියුලයේ ව්යුත්පන්නය වෙනස් වන්නේ ප්‍රභව ලක්ෂ්‍යය තරණය කිරීමේදී ශ්රිතයේ වෙනස් වීමේ වේගයේ අගය ප්‍රතිවිරුද්ධ අගයට වෙනස් වන විට පමණි (ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමට උත්සාහ කරන්න. ශ්රිතයේ y = |x| සහ ඔබම බලන්න.මෙය හරියටම අගය කුමක්ද සහ x / |x| ප්රකාශනය ලබා දෙයි. x විට< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - එකක්. එනම්, කවදාද යන්නයි සෘණ අගයන්විචල්‍ය x, තර්කයේ එක් එක් වැඩිවීම සමඟ, ශ්රිතයේ අගය හරියටම එකම අගයකින් අඩු වන අතර ධනාත්මක ඒවා සඳහා, ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව, එය වැඩි වේ, නමුත් හරියටම එකම අගයකින්.
5. බලයකට විචල්‍යයක ව්‍යුත්පන්නයමෙම බලයේ සංඛ්‍යාවක ගුණිතයට සමාන වන අතර එකකින් අඩු කරන ලද බලයට විචල්‍යයකි
(x c)"= cx c-1, x c සහ cx c-1 අර්ථ දක්වා ඇති අතර c ≠ 0
උදාහරණයක්:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
සූත්රය මතක තබා ගැනීමට:
විචල්‍යයේ උපාධිය සාධකයක් ලෙස පහළට ගෙන යන්න, ඉන්පසු උපාධිය එකකින් අඩු කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, x 2 සඳහා - දෙක x ට වඩා ඉදිරියෙන් සිටි අතර, පසුව අඩු කළ බලය (2-1 = 1) සරලව අපට 2x ලබා දුන්නේය. x 3 සඳහාද එයම සිදු විය - අපි ත්‍රිත්ව “පහළට ගෙනයමු”, එය එකකින් අඩු කර ඝනකයක් වෙනුවට අපට චතුරස්රයක් ඇත, එනම් 3x 2. ටිකක් "විද්‍යාත්මක නොවන" නමුත් මතක තබා ගැනීමට ඉතා පහසුය.
6.කොටසක ව්යුත්පන්නය 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
උදාහරණයක්:
මක්නිසාද යත්, කොටසක් සෘණ බලයක් දක්වා ඉහළ නැංවීමක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බැවිනි
(1/x)" = (x -1)", එවිට ඔබට ව්යුත්පන්න වගුවේ 5 වන රීතියෙන් සූත්රය යෙදිය හැක.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. කොටසක ව්යුත්පන්නය අත්තනෝමතික උපාධියේ විචල්‍යයක් සමඟහරයෙහි
(1 / x c)" = - c / x c+1
උදාහරණයක්:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. මූලයේ ව්යුත්පන්නය( යටතේ ඇති විචල්‍යයේ ව්යුත්පන්නය වර්ගමුලය)
(√x)" = 1 / (2√x)හෝ 1/2 x -1/2
උදාහරණයක්:
(√x)" = (x 1/2)" යන්නෙන් අදහස් වන්නේ ඔබට 5 රීතියෙන් සූත්රය යෙදිය හැකි බවයි
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. අත්තනෝමතික උපාධියක මූලය යටතේ විචල්‍යයක ව්යුත්පන්නය
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
සයින් - sin(x) හි ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්‍රයේ සාධනය සහ ව්යුත්පන්නයක් ඉදිරිපත් කෙරේ. sin 2x, sine වර්ග සහ cubed වල ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමේ උදාහරණ. nth order sine හි ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්‍රයේ ව්යුත්පන්නය.
x හි සයින් වෙතින් x විචල්‍යයට අදාළ ව්යුත්පන්නය x හි කෝසයිනයට සමාන වේ:
(sin x)′ = cos x.
සාක්ෂි
සයින් ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්රය ව්යුත්පන්න කිරීම සඳහා, අපි ව්‍යුත්පන්නයේ අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කරමු:
.
මෙම සීමාව සොයා ගැනීමට නම්, අපි එය දන්නා නීති, දේපල සහ රීති වලට අඩු කරන ආකාරයට ප්රකාශනය පරිවර්තනය කළ යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා අපි ගුණාංග හතරක් දැන සිටිය යුතුය.
1)
පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ තේරුම:
(1)
;
2)
කොසයින් කාර්යයේ අඛණ්ඩතාව:
(2)
;
3)
ත්‍රිකෝණමිතික සූත්ර. අපට පහත සූත්රය අවශ්ය වනු ඇත:
(3)
;
4)
දේපල සීමා කරන්න:
නම් සහ, එසේ නම්
(4)
.
අපි මේ නීති අපේ සීමාවට අදාළ කරමු. මුලින්ම අපි වීජීය ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු
.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා අපි සූත්රය යොදන්නෙමු
(3)
.
අපේ නඩුවේ
; . ඉන්පසු
;
;
;
.
දැන් අපි ආදේශනය කරමු. හිදී , . අපි පළමු එක අයදුම් කරමු පුදුම සීමාව (1):
.
අපි එකම ආදේශනය කර අඛණ්ඩතාවයේ ගුණය භාවිතා කරමු (2):
.
ඉහත ගණනය කර ඇති සීමාවන් පවතින බැවින්, අපි දේපල යොදන්නෙමු (4):
.
සයින් ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්රය ඔප්පු කර ඇත.
උදාහරණ
අපි සලකා බලමු සරල උදාහරණසයින් අඩංගු ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීම. හි ව්යුත්පන්නයන් අපි සොයා ගනිමු පහත සඳහන් කාර්යයන්:
y = sin 2x; y = sin 2 xසහ y = sin 3 x.
උදාහරණ 1
හි ව්යුත්පන්නය සොයන්න sin 2x.
විසඳුමක්
පළමුව, සරලම කොටසෙහි ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
අපි අයදුම් කරන්නෙමු.
.
මෙතන .
පිළිතුර
(sin 2x)′ = 2 cos 2x.
උදාහරණ 2
සයින් වර්ග වල ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
y = sin 2 x.
විසඳුමක්
මුල් කාර්යය වඩාත් තේරුම්ගත හැකි ආකාරයෙන් නැවත ලියමු:
.
සරලම කොටසෙහි ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
.
අපි සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්රය යොදන්නෙමු.
.
මෙතන .
ඔබට ත්‍රිකෝණමිතිය සූත්‍රවලින් එකක් යෙදිය හැක. ඉන්පසු
.
පිළිතුර
උදාහරණය 3
සයින් කියුබ් හි ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
y = sin 3 x.
ඉහළ ඇණවුම් ව්යුත්පන්න
හි ව්යුත්පන්නය බව සලකන්න පාපය xපළමු අනුපිළිවෙල සයින් හරහා පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැක:
.
සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න සඳහා සූත්රය භාවිතා කර දෙවන පෙළ ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
.
මෙතන .
දැන් අපට එම වෙනස දැකිය හැකිය පාපය xවිසින් එහි තර්කය වැඩි කිරීමට හේතු වේ. එවිට n වන අනුපිළිවෙල ව්‍යුත්පන්නයට පෝරමය ඇත:
(5)
.
අපි ක්‍රමය භාවිතා කර මෙය ඔප්පු කරමු ගණිතමය ප්රේරණය.
සඳහා සූත්රය (5) වලංගු බව අපි දැනටමත් පරීක්ෂා කර ඇත.
සූත්රය (5) යම් අගයක් සඳහා වලංගු යැයි උපකල්පනය කරමු. සූත්රය (5) සෑහීමකට පත්වන බව මෙයින් පෙනී යන බව අපි ඔප්පු කරමු.
අපි සූත්රය (5) ලියන්නෙමු:
.
සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් අවකලනය කිරීම සඳහා රීතිය භාවිතයෙන් අපි මෙම සමීකරණය වෙන්කර හඳුනා ගනිමු:
.
මෙතන .
ඉතින් අපි සොයාගත්තා:
.
අපි ආදේශ කරන්නේ නම්, මෙම සූත්රය පෝරමය (5) ගනී.
සූත්රය ඔප්පු කර ඇත.
දිනය: 05/10/2015
ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
අවකලනය කිරීමේ නීති.
ඕනෑම ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නයක් සොයා ගැනීමට, ඔබ ප්‍රගුණ කළ යුත්තේ සංකල්ප තුනක් පමණි:
2. අවකලනය පිළිබඳ නීති.
3. සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය.
හරියටම ඒ පිළිවෙලට. එය ඉඟියකි.)
ඇත්ත වශයෙන්ම, සාමාන්යයෙන් ව්යුත්පන්නයන් ගැන අදහසක් තිබීම සතුටක් වනු ඇත). ව්යුත්පන්නයක් යනු කුමක්ද සහ ව්යුත්පන්න වගුව සමඟ වැඩ කරන්නේ කෙසේද යන්න පෙර පාඩමේදී පැහැදිලිව විස්තර කර ඇත. මෙහිදී අපි අවකලනය කිරීමේ නීති සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු.
අවකලනය යනු ව්යුත්පන්න සෙවීමේ මෙහෙයුමයි. මෙම පදය පිටුපස සැඟවුණු කිසිවක් නැත. එම. ප්රකාශනයන් "ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න"සහ "කර්තව්යයක් වෙනස් කරන්න"- එය එසේමය.
ප්රකාශනය "විභේදනයේ නීති"ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට යොමු කරයි අංක ගණිත මෙහෙයුම් වලින්.මෙම අවබෝධය ඔබේ හිසෙහි ව්යාකූලත්වය වළක්වා ගැනීමට බොහෝ සෙයින් උපකාරී වේ.
අපි සියලු, සියලු, සියලු අංක ගණිත මෙහෙයුම් අවධානය යොමු කර මතක තබා ගනිමු. ඒවායින් හතරක් ඇත). එකතු කිරීම (එකතුව), අඩු කිරීම (වෙනස), ගුණ කිරීම (නිෂ්පාදනය) සහ බෙදීම (කොටස්). මෙන්න ඒවා, අවකලනය කිරීමේ නීති:
තහඩුව පෙන්වයි පහනීති රීති සිව්අංක ගණිත මෙහෙයුම්. මම කෙටියෙන් වෙනස් වී නැත.) එය රීතිය 3 හි මූලික ප්‍රතිවිපාකයක් බව පමණි. නමුත් එය ස්වාධීන සූත්‍රයක් ලෙස ලිවීමට (සහ මතක තබා ගන්න!) එය කොතරම් ජනප්‍රියද යත්.
තනතුරු යටතේ යූසහ වීසමහර (සම්පූර්ණයෙන්ම ඕනෑම!) කාර්යයන් ඇඟවුම් කර ඇත U(x)සහ V(x)
අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු. පළමුව - සරලම ඒවා.
y=sinx - x 2 ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
මෙන්න අපි තියෙනවා වෙනසමූලික කාර්යයන් දෙකක්. අපි රීතිය 2 යොදන්නෙමු. sinx යනු ශ්‍රිතයක් යැයි අපි උපකල්පනය කරමු යූ, සහ x 2 යනු ශ්‍රිතයයි වී.අපිට තියෙනවා සෑම අයිතියක්ලියන්න:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
එය වඩා හොඳයි, හරිද?) ඉතිරිව ඇත්තේ සයින් සහ x හි ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීමයි. මේ සඳහා ව්යුත්පන්න වගුවක් ඇත. අපි වගුවේ අපට අවශ්ය කාර්යයන් සොයන්නෙමු ( sinxසහ x 2), ඔවුන් සතුව ඇති ව්යුත්පන්නයන් දෙස බලා පිළිතුර ලියන්න:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
ඒක තමයි. එකතුව අවකලනයේ 1 රීතිය හරියටම සමාන වේ.
අපට කොන්දේසි කිහිපයක් තිබේ නම් කුමක් කළ යුතුද? ප්‍රශ්නයක් නැහැ.) අපි ශ්රිතය නියම වලට කඩන අතර අනෙක් ඒවායින් ස්වාධීනව එක් එක් පදයේ ව්යුත්පන්න සොයන්නෙමු. උදාහරණ වශයෙන්:
y=sinx - x 2 +cosx - x +3 ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
අපි නිර්භීතව ලියන්නෙමු:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
පාඩම අවසානයේ මම වෙනස් කිරීමේදී ජීවිතය පහසු කර ගැනීමට උපදෙස් දෙන්නෙමි.)
1. අවකලනය කිරීමට පෙර, මුල් කාර්යය සරල කිරීමට හැකි දැයි බලන්න.
2. සංකීර්ණ උදාහරණ වලදී, අපි සියලු වරහන් සහ ඉරි සහිත විසඳුම විස්තරාත්මකව විස්තර කරමු.
3. හරයේ නියත සංඛ්‍යාවක් සහිත භාග විභේදනය කිරීමේදී, අපි බෙදීම ගුණ කිරීමකට හරවා 4 රීතිය භාවිතා කරමු.
ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න සෙවීම අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ. ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම උසස් ගණිතයේ බහුලව දක්නට ලැබෙන ගැටලුවකි. ඔබට විවිධ ආකාරවලින් කතා කළ හැකිය: ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න, ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්න, ශ්‍රිතයක් වෙන් කරන්න, ව්යුත්පන්න ගන්න, නමුත් මේ සියල්ල එකම සංකල්ප වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම ගැටලුවේ එක් අංගයක් පමණක් වන සංකීර්ණ කාර්යයන් ඇත. අපගේ වෙබ් අඩවියේ සේවාවේදී ඔබට ප්‍රාථමික සහ යන දෙකෙන්ම අන්තර්ජාලය හරහා ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමට අවස්ථාව තිබේ සංකීර්ණ කාර්යයන්, විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුමක් නොමැති. අපගේ සේවාවේ ඔන්ලයින් ව්යුත්පන්නය ඕනෑම ගණිතමය ශ්‍රිතයකින් සොයාගත හැකිය, වෙනත් සේවාවන් ඔබට විසඳිය නොහැකි වඩාත් සංකීර්ණ එකක් වුවද. තවද ලැබෙන පිළිතුර සෑම විටම 100% නිවැරදි වන අතර දෝෂ ඉවත් කරයි. විශේෂිත උදාහරණ භාවිතා කරමින් අපගේ වෙබ් අඩවියේ ව්යුත්පන්නයක් සොයා ගැනීමේ ක්රියාවලිය සිදුවන ආකාරය ඔබට දැක ගත හැකිය. උදාහරණ විසඳුම් බොත්තමේ දකුණු පසින් පිහිටා ඇත. උදාහරණ ලැයිස්තුවෙන් ඕනෑම කාර්යයක් තෝරන්න, එය ස්වයංක්රීයව ක්රියාකාරී ක්ෂේත්රයට ඇතුල් කරනු ඇත, ඉන්පසු "විසඳුම" බොත්තම ක්ලික් කරන්න. ඔබට පියවරෙන් පියවර විසඳුමක් පෙනෙනු ඇත, ඔබේ ව්යුත්පන්නය ඒ ආකාරයෙන්ම සොයා ගනු ඇත. අන්තර්ජාලය හරහා ව්යුත්පන්න විසඳීමේ වාසි. ව්යුත්පන්න සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබ දැන සිටියත්, ක්රියාවලිය සඳහා බොහෝ කාලයක් හා වෑයමක් ගත හැකිය. සේවා වෙබ් අඩවිය සැලසුම් කර ඇත්තේ ඔබට වැරදීමක් සිදු විය හැකි වෙහෙසකර සහ දිගු ගණනය කිරීම් වලින් ඔබව ගලවා ගැනීමටය. නිශ්චිත කාර්යය ඇතුළත් කිරීමෙන් පසු "විසඳුම" බොත්තමේ එක් ක්ලික් කිරීමකින් අපි අන්තර්ජාලය හරහා ව්යුත්පන්න ගණනය කරමු. ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට සහ එය නිවැරදි බව තහවුරු කර ගැනීමට තම කුසලතා පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය අය සඳහා ද මෙම වෙබ් අඩවිය පරිපූර්ණ වේ. ස්වාධීන තීරණයනැත්නම් ඒකෙ කරපු වැරැද්දක් හොයන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ ඔබේ පිළිතුර සබැඳි සේවාවේ ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලය සමඟ සැසඳිය යුතුය. ඔබට අවශ්ය ශ්රිතය සොයා ගැනීමට බොහෝ කාලයක් ගතවන ව්යුත්පන්න වගු භාවිතා කිරීමට අවශ්ය නැතිනම්, ව්යුත්පන්න වගු වෙනුවට අපගේ සේවාව භාවිතා කර ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න. අනෙකුත් සමාන සේවාවන් සමඟ සැසඳීමේදී අපගේ වෙබ් අඩවියේ ප්රධාන වාසි වන්නේ ගණනය කිරීම ඉතා ඉක්මනින් සිදු වේ (සාමාන්යයෙන් තත්පර 5 ක්) සහ ඔබ ඒ සඳහා කිසිවක් ගෙවීමට අවශ්ය නොවේ - සේවාව සම්පූර්ණයෙන්ම නොමිලේ. ඔබට ලියාපදිංචි වීමට, විද්‍යුත් තැපෑල ඇතුළත් කිරීමට හෝ ඔබේ පුද්ගලික දත්ත ඇතුළත් කිරීමට අවශ්ය නොවේ. ඔබ කළ යුතු සියල්ල ඇතුල් කරන්න ලබා දී ඇති කාර්යයසහ "විසඳුම" බොත්තම ක්ලික් කරන්න. ව්යුත්පන්නයක් යනු කුමක්ද. ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණිතයේ සහ මූලික සංකල්පයකි ගණිතමය විශ්ලේෂණය. මෙම ක්‍රියාවලියේ ප්‍රතිලෝමය වන්නේ අනුකලනය, එනම් දන්නා ව්‍යුත්පන්නයකින් ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීමයි. එය සරලව කිවහොත්, අවකලනය යනු ශ්‍රිතයක් මත ක්‍රියාවක් වන අතර ව්යුත්පන්න යනු එවැනි ක්‍රියාවක ප්‍රතිඵලයකි. නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීම සඳහා, තර්කය x සංඛ්‍යාත්මක අගයකින් ප්රතිස්ථාපනය කර ප්රකාශනය ඇගයීමට ලක් කෙරේ. ව්යුත්පන්නය ශ්‍රිතයට ඉහලින් දකුණු පස ඉහල කෙළවරේ ඇති ප්‍රාථමිකයක් මගින් දැක්වේ. ආඝාතය නිශ්චිත කාර්යයක තනතුරක් ද විය හැකිය. ප්‍රාථමික ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට ව්යුත්පන්න වගුව දැන ගැනීමට හෝ සෑම විටම එය අතේ තබා ගැනීමට අවශ්ය වනු ඇත, එය එතරම් පහසු නොවිය හැකි අතර, අවකලනය කිරීමේ නීති ද දැන සිටිය යුතුය, එබැවින් ව්යුත්පන්නය ඇති අපගේ සේවාව භාවිතා කිරීම අපි නිර්දේශ කරමු මාර්ගගතව ගණනය කර ඇත, ඔබට මේ සඳහා සපයා ඇති ක්ෂේත්‍රයේ ශ්රිතය ඇතුළත් කිරීමට අවශ්ය වේ . තර්කය x විචල්‍යය විය යුතුය, මන්ද එය සම්බන්ධයෙන් අවකලනය සිදු කෙරේ. ඔබට දෙවන ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීමට අවශ්ය නම්, ඔබට ලැබෙන පිළිතුර වෙනස් කළ හැකිය. අන්තර්ජාලය හරහා ව්යුත්පන්න ගණනය කරන්නේ කෙසේද? මූලික ශ්‍රිත සඳහා ව්යුත්පන්න වගු බොහෝ කලකට පෙර නිර්මාණය කර ඇති අතර ඔබට ඒවා පහසුවෙන් සොයා ගත හැක, එබැවින් ප්‍රාථමික (සරල) ගණිත ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීම තරමක් සරල කාරණයකි. කෙසේ වෙතත්, ඔබට සංකීර්ණ ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වූ විට, මෙය තවදුරටත් සුළුපටු කාර්යයක් නොවන අතර ඒ සඳහා විශාල උත්සාහයක් සහ කාලයක් අවශ්ය වේ. ඔබ අපගේ භාවිතා කරන්නේ නම් ඔබට තේරුමක් නැති සහ දිගු ගණනය කිරීම් වලින් මිදිය හැකිය මාර්ගගත සේවාව. එයට ස්තූතියි, ව්යුත්පන්නය තත්පර කිහිපයකින් ගණනය කරනු ලැබේ.
