ක්රමානුකූල සංවර්ධනය "ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය". ගණිතමය ප්රේරක ගණක යන්ත්‍රයේ ක්රමය ඔන්ලයින් ගණිතමය ප්‍රේරණ න්‍යායේ ක්රමය
MBOU ලයිසියම් "තාක්ෂණික හා ආර්ථික"
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
පැහැදිලි කිරීමේ සටහන
ගණිතමය පැතිකඩෙහි 10 වන ශ්රේණියේ සිසුන් සඳහා "ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය" ක්රමවේදය සංවර්ධනය කිරීම සම්පාදනය කරන ලදී.
මූලික අරමුණු: ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය පිළිබඳව සිසුන් දැනුවත් කිරීම සහ විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී එය යෙදිය යුතු ආකාරය ඉගැන්වීම.
ක්‍රමවේද සංවර්ධනයේදී, මූලික ගණිතයේ ප්‍රශ්න සලකා බලනු ලැබේ: බෙදීමේ ගැටළු, අනන්යතා සනාථ කිරීම, අසමානතා සනාථ කිරීම, ඔලිම්පියාඩ් තරඟවලදී ඉදිරිපත් කරන ගැටළු ඇතුළුව විවිධ මට්ටමේ සංකීර්ණත්වයේ ගැටළු යෝජනා කෙරේ.
පර්යේෂණාත්මක විද්‍යාවන්හි ප්රේරක නිගමනවල කාර්යභාරය ඉතා විශාල ය. ඔවුන් එම විධිවිධාන ලබා දෙන අතර, ඉන් පසුව අඩු කිරීම මගින් වැඩිදුර නිගමන සිදු කරනු ලැබේ. නම ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයරැවටිලිකාර ලෙස - ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම ක්රමය අඩු කරන අතර ප්රේරණය මගින් අනුමාන කරන ලද ප්‍රකාශයන් පිළිබඳ දැඩි සාක්ෂියක් ලබා දෙයි. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය ගණිතයේ විවිධ අංශ අතර සම්බන්ධතා හඳුනා ගැනීමට දායක වන අතර ශිෂ්‍යයාගේ ගණිත සංස්කෘතිය වර්ධනය කිරීමට උපකාරී වේ.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ අර්ථ දැක්වීම. සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ ප්රේරණය. අසමානතා ඔප්පු කිරීම. අනන්යතා සාධනය. බෙදීමේ ගැටළු විසඳීම. "ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය" යන මාතෘකාව මත විවිධ ගැටළු විසඳීම.
ගුරුවරයා සඳහා සාහිත්යය
1. M.L. Galitsky. වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාව පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්යයනය. - එම්. බුද්ධත්වය. 1986.
2. L.I. Zvavich. වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය. උපදේශාත්මක ද්රව්ය. එම්. ඩ්‍රෝෆා. 2001.
3. N.Ya. Vilenkin. වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණය. එම් බුද්ධත්වය. 1995.
4. Yu.V. Mikheev. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය. NGU.1995.
සිසුන් සඳහා සාහිත්යය
1. N.Ya. Vilenkin. වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණය. එම් බුද්ධත්වය. 1995.
2. Yu.V. Mikheev. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය. NGU.1995.
මූල පද
ප්රේරණය, ප්‍රත්‍යය, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය, සම්පූර්ණ ප්රේරණය, අසම්පූර්ණ ප්රේරණය, ප්රකාශනය, අනන්යතාවය, අසමානතාවය, බෙදීම.
මාතෘකාවට ඩිඩැක්ටික් උපග්රන්ථය
"ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය".
පාඩම 1
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ අර්ථ දැක්වීම.
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය නව ප්‍රතිඵල සෙවීමට සහ ඉදිරිපත් කර ඇති උපකල්පනවල සත්‍යතාව ඔප්පු කිරීමට ඉතා ඵලදායී ක්‍රමයකි. මේ ක්රමය ගණිතයට අලුත් දෙයක් නොවුනත් ඒ ගැන තියෙන උනන්දුව අඩු වෙන්නේ නැහැ. පැහැදිලි ඉදිරිපත් කිරීමකින් ප්‍රථම වතාවට, ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය 17 වැනි සියවසේදී විශිෂ්ට ප්‍රංශ විද්‍යාඥ බ්ලේස් පැස්කල් විසින් සංඛ්යා ත්‍රිකෝණයක ගුණ ඔප්පු කිරීම සඳහා යොදා ගන්නා ලද අතර එතැන් සිට එය ඔහු නමින් නම් කර ඇත. කෙසේ වෙතත්, ගණිතමය ප්රේරණය පිළිබඳ අදහස පුරාණ ග්‍රීකයන් දැන සිටියහ. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය පදනම් වී ඇත්තේ ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත වන අතර එය ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් ලෙස පිළිගැනේ. අපි උදාහරණ සමඟ ගණිතමය ප්රේරණය පිළිබඳ අදහස සලකා බලමු.
උදාහරණ #1.
චතුරස්රය ඛණ්ඩයකින් කොටස් දෙකකට බෙදා ඇත, පසුව ලැබෙන කොටස් වලින් එකක් කොටස් දෙකකට බෙදා ඇත, සහ එසේ ය. චතුරස්රය කොටස් කීයකට බෙදී ඇත්දැයි තීරණය කරන්න පීපියවර?
විසඳුමක්.
පළමු පියවරෙන් පසු, අපි, කොන්දේසිය අනුව, කොටස් 2 ක් ලබා ගනිමු. දෙවන පියවරේදී, අපි එක් කොටසක් නොවෙනස්ව තබමු, දෙවැන්න කොටස් 2 කට බෙදා කොටස් 3 ක් ලබා ගනිමු. තෙවන පියවරේදී, අපි කොටස් 2 ක් නොවෙනස්ව තබමු, තුන්වන කොටස කොටස් දෙකකට බෙදා කොටස් 4 ක් ලබා ගනිමු. සිව්වන පියවරේදී, අපි කොටස් 3 ක් නොවෙනස්ව තබමු, අවසාන කොටස කොටස් දෙකකට බෙදා කොටස් 5 ක් ලබා ගනිමු. පස්වන පියවරේදී අපට කොටස් 6 ක් ලැබේ. ඒ හරහා යෝජනාව ඉදිරිපත් කරනවා පීඅපට ලැබෙන පියවර (n+1)කොටස. නමුත් මෙම යෝජනාව ඔප්පු කළ යුතුය. ඒක හරහා අපි හිතමු වෙතචතුරස්රය කොටස් වලට බෙදා ඇත (k+1)කොටස. ඉන්පසුව (k+1)පියවර අපි වෙතකොටස් නොවෙනස්ව පවතිනු ඇත, සහ (k+1)කොටස කොටස් දෙකකට බෙදා ගන්න (k+2)කොටස්. ඔබ කැමති තාක් කල් ඔබට මේ ආකාරයෙන් තර්ක කළ හැකි බව ඔබට පෙනේ, දැන්වීම් අනන්තය. එනම්, අපගේ උපකල්පනය එයයි පීපියවර හතරැස් වලට බෙදා ඇත (n+1)කොටසක්, ඔප්පු වෙයි.
උදාහරණ #2.
මගේ ආච්චිට ජෑම් වලට බෙහෙවින් ඇලුම් කළ මිණිබිරියක් සිටි අතර, විශේෂයෙන්ම ලීටර් භාජනයක් තුළ. ඒත් ආච්චි එයාට අල්ලන්න දුන්නේ නෑ. ඒ වගේම මිනිබිරියන් ඔවුන්ගේ ආච්චිව රවට්ටන්න තීරණය කළා. ඔහු සෑම දිනකම මෙම භාජනයෙන් ලීටර් 1/10 ක් අනුභව කිරීමට තීරණය කළ අතර එය ජලය සමග හොඳින් මිශ්ර කර ඇත. ජලයෙන් අඩකින් තනුක කළ විට ජෑම් පෙනුම එලෙසම පැවතුනහොත් දින කීයකට පසු ආච්චි වංචාව සොයා ගනීවිද?
විසඳුමක්.
පසුව භාජනයේ කොපමණ පිරිසිදු ජෑම් ඉතිරි වේද යන්න සොයා බලන්න පීදින. පළමු දිනට පසුව, මිශ්රණය 9/10 ජෑම් සහ 1/10 ජලය සමන්විත වන භාජනය තුළ පවතිනු ඇත. දින දෙකකට පසු, ජලය සහ ජෑම් මිශ්‍රණයෙන් 1/10 ක් භාජනයෙන් අතුරුදහන් වී ඉතිරි වේ (මිශ්රණයේ ලීටර් 1 ක ජෑම් ලීටර් 9/10 ක්, මිශ්රණයේ ලීටර් 1/10 ක ජෑම් ලීටර් 9/100 ක් අඩංගු වේ)
9/10 - 9/100=81/100=(9/10) ජෑම් ලීටර් 2 යි. තුන්වන දින, 81/100 ජෑම් සහ 19/100 ජලය සමන්විත මිශ්රණයක් ලීටර් 1/10 භාජනයෙන් අතුරුදහන් වනු ඇත. මිශ්රණයේ ලීටර් 1 ක ජෑම් ලීටර් 81/100 ක්, මිශ්රණයේ ලීටර් 1/10 ක ජෑම් ලීටර් 81/1000 ක් ඇත. 81/100 - 81/1000=
729/1000=(9/10) ජෑම් ලීටර් 3 ක් දින 3 කට පසු ඉතිරි වන අතර ඉතිරිය ජලයෙන් ලබා ගනී. රටාවක් මතු වෙනවා. තුලින් පීබැංකුවේ ඉතිරි දින (9/10) පීමම ජෑම්. නමුත් නැවතත්, මෙය අපගේ අනුමානයකි.
ඉඩ වෙතඅත්තනෝමතික ස්වභාවික අංකයකි. ඒක හරහා අපි හිතමු වෙතබැංකුවේ දින (9/10) සිට l තදබදය දක්වා පවතිනු ඇත. බලමු තව දවසකින් ඒ කියන්නේ බැංකුවේ මොනවා වෙයිද කියලා (k+1)දින. බැංකුවෙන් අතුරුදහන් වනු ඇත 1/10lමිශ්රණයක් (9/10) වෙත එල්ජෑම් සහ ජලය. හිදී 1lමිශ්රණය වේ (9/10) වෙත එල්ජෑම්, in 1/10lමිශ්රණ (9/10) k+1 එල්තදබදය. දැන් අපට එය ආරක්ෂිතව පැවසිය හැකිය පීදින බැංකුවේ ඉතිරිව ඇත (9/10) පී එල්තදබදය. දින 6 කින් බැංකුව සතුව ඇත 531444/1000000lජෑම්, දින 7 කට පසු - 4782969/10000000lතදබදය, එනම් අඩකට වඩා අඩුය.
පිළිතුර:දින 7 කට පසු, ආච්චි වංචාව සොයා ගනු ඇත.
සලකා බැලූ ගැටළු වලට විසඳුම් සඳහා වඩාත් මූලික දේ හුදකලා කිරීමට අපි උත්සාහ කරමු. අපි ඒ සෑම එකක්ම විසඳීමට පටන් ගත්තේ වෙන වෙනම හෝ ඔවුන් පවසන පරිදි විශේෂ අවස්ථා සලකා බැලීමෙනි. ඉන්පසුව, අපගේ නිරීක්ෂණ මත පදනම්ව, අපි යම් උපකල්පන කළා P(n), ස්වභාවික මත පදනම්ව පී.
ප්රකාශය පරීක්ෂා කර ඇත, එනම් ඔප්පු විය P(1), P(2), P(3);
කියලා යෝජනා කළා P(n)සඳහා වලංගු n=kඑවිට එය ඊළඟට වලංගු වන බව නිගමනය කළා n, n=k+1.
ඉන්පසු ඔවුන් මේ වගේ දෙයක් තර්ක කළා. පී(1)හරි, පී(2)හරි, පී(3)හරි, පී(4)හරි... ඒක හරි P(n).
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය.
ප්රකාශය P(n), ස්වභාවික මත පදනම්ව පී, සියලු ස්වභාවික සඳහා වලංගු වේ පී, නම්
1) සඳහා වන ප්රකාශයේ වලංගුභාවය n=1;
2) ප්රකාශයේ වලංගුභාවය පිළිබඳ උපකල්පනයෙන් P(n)හිදී n=kයුතුය
යුක්තිය P(n)හිදී n=k+1.
ගණිතයේ දී, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය රීතියක් ලෙස, ස්වාභාවික සංඛ්යා ශ්‍රේණිය නිර්වචනය කරන ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් ලෙස තෝරාගෙන ඇති අතර, එබැවින් සාක්ෂි නොමැතිව පිළිගනු ලැබේ. ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මගින් ඔප්පු කිරීමේ ක්රමය සාමාන්‍යයෙන් ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ක්රමය ප්‍රමේය, අනන්යතා, බෙදීමේ ගැටළු විසඳීමේ අසමානතා සහ තවත් බොහෝ ගැටලු සනාථ කිරීමේදී බහුලව භාවිතා වන බව සලකන්න.
පාඩම #2
සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ ප්රේරණය.
ගණිතමය ප්රකාශයක් සීමිත වස්තු සංඛ්‍යාවකට අදාළ වන අවස්ථාවක, එය එක් එක් වස්තුව සඳහා පරීක්ෂා කිරීමෙන් ඔප්පු කළ හැක, උදාහරණයක් ලෙස, "සෑම ඉලක්කම් දෙකක ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවක්ම ප්‍රථමක සංඛ්යා දෙකක එකතුවකි." අපි සීමිත අවස්ථා සංඛ්යාවක් සඳහා ප්රකාශයක් පරීක්ෂා කරන සාධන ක්රමය සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ක්රමය සාපේක්ෂව කලාතුරකින් භාවිතා වේ, ප්‍රකාශයන් බොහෝ විට අනන්ත කට්ටල මත සලකා බලනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, "ඕනෑම ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් ප්‍රාථමික සංඛ්යා දෙකක එකතුවට සමාන වේ" යන ප්රමේයය මෙතෙක් ඔප්පු කර හෝ ප්රතික්ෂේප කර නොමැත. අපි පළමු බිලියනය සඳහා මෙම ප්රමේයය පරීක්ෂා කළත්, එය ඔප්පු කිරීමට අපව එක පියවරක්වත් සමීප කරන්නේ නැත.
ස්වාභාවික විද්‍යාවන්හි, අසම්පූර්ණ ප්රේරණය භාවිතා කරනු ලැබේ, අත්හදා බැලීම කිහිප වතාවක් පරීක්ෂා කිරීම, ප්‍රති result ලය සියලු අවස්ථාවන්ට මාරු කිරීම.
උදාහරණ #3
ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල ඝනක එකතුව සඳහා අසම්පූර්ණ ප්රේරක සූත්රය භාවිතා කරමින් අනුමාන කරන්න.
විසඳුමක්.
1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .
සාක්ෂි.
එය සැබෑ වීමට ඉඩ දෙන්න n=k.
එය සත්ය බව ඔප්පු කරමු n=k+1.
නිගමනය: ස්වාභාවික සංඛ්යා ඝනක එකතුව සඳහා වන සූත්රය ඕනෑම ස්වාභාවික සඳහා සත්ය වේ පී.
උදාහරණ #4
සමානාත්මතා සලකා බලා මෙම උදාහරණ ගෙන යන සාමාන්ය නීතිය කුමක්දැයි අනුමාන කරන්න.
විසඳුමක්.
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
උදාහරණ #5
පහත ප්‍රකාශන එකතුවක් ලෙස ලියන්න:
1) 
2) 
3)
; 4) 
.
ග්රීක අකුර "සිග්මා".
උදාහරණ #6.
ලකුණ භාවිතා කරමින් පහත එකතුව ලියන්න 
:
2) 
උදාහරණ #7.
නිෂ්පාදන ලෙස පහත ප්‍රකාශන ලියන්න:
1) 
3) 
4) 
උදාහරණ #8.
ලකුණ භාවිතයෙන් පහත කෘති ලියන්න 
(ප්රාග්ධන ග්රීක අකුර "pi")
1) 
2)
උදාහරණ #9.
බහුපදයක අගය ගණනය කිරීම 
f
(
n
)=
n
2
+
n
+11
, හිදී n=1,2,3,4.5,6,7
එය ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා යැයි උපකල්පනය කළ හැකියපීඅංකය f
(
n
)
සරල.
මෙම උපකල්පනය නිවැරදිද?
විසඳුමක්.
සෑම සාරාංශයක්ම සංඛ්‍යාවකින් බෙදිය හැකි නම්, එකතුව එම සංඛ්‍යාවෙන් බෙදිය හැකිය. 
ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා ප්‍රථමක සංඛ්යාවක් නොවේපී.
සීමිත අවස්ථා ගණනක විශ්ලේෂණය ගණිතයේ වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි: එක් හෝ තවත් ප්‍රකාශයක සාක්ෂියක් ලබා නොදී, එය තවමත් නොදන්නා නම්, මෙම ප්රකාශයේ නිවැරදි සූත්‍රගත කිරීම අනුමාන කිරීමට උපකාරී වේ. ශාන්ත පීටර්ස්බර්ග් විද්යා ඇකඩමියේ සාමාජිකයෙකු වන ගෝල්ඩ්බැච්, දෙකකින් ආරම්භ වන ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් උපරිම වශයෙන් ප්‍රාථමික තුනක එකතුවක් බවට උපකල්පනය කළේ එලෙසිනි.
පාඩම #3
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය අපට විවිධ අනන්යතා ඔප්පු කිරීමට ඉඩ සලසයි.
උදාහරණ #10.අපි හැමෝටම ඒක ඔප්පු කරමු පීඅනන්යතාව
විසඳුමක්.
දාමු 
ඒක අපි ඔප්පු කරන්න ඕන
අනන්‍යතාවයේ සත්‍යතාවයෙන් පසුව බව ඔප්පු කරමු
අනන්‍යතාවයේ සත්යය පහත දැක්වේ 
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය අනුව, සියල්ලන්ටම අනන්‍යතාවයේ සත්යය පී.
උදාහරණ #11.
අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු 
සාක්ෂි.
වාර-කාල සමානතා.
; 
. එබැවින් මෙම අනන්යතාවය සැමට සත්ය වේපී
.
පාඩම අංක 4.
ගණිතමය ප්රේරණය මගින් අනන්යතා සාධනය.
උදාහරණ #12.
අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු 
සාක්ෂි.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය යෙදීමෙන්, සමානාත්මතාවය සැමට සත්ය බව අපි ඔප්පු කළෙමු පී.
උදාහරණ #13.
අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු 
සාක්ෂි.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය යෙදීමෙන්, ඕනෑම ස්වාභාවික ප්රකාශයක් සඳහා ප්රකාශය සත්ය බව අපි ඔප්පු කළෙමු පී.
උදාහරණ #14. අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු
සාක්ෂි.
උදාහරණ #15. අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු
1)
n=1;
2) සඳහා n=k
සමානාත්මතාවය 
3) සමානාත්මතාවය පවතින බව ඔප්පු කරන්න n=k+1:
නිගමනය: අනන්යතාවය ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා වලංගු වේ පී.
උදාහරණ #16.අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු
සාක්ෂි.
අ n=1
, එවිට 
අනන්යතාවය රඳවා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න n=k.
අනන්යතාවය පවතින බව අපි ඔප්පු කරමු n=k+1.
එවිට අනන්යතාවය ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා වලංගු වේ පී.
පාඩම අංක 5.
ගණිතමය ප්රේරණය මගින් අනන්යතා සාධනය.
උදාහරණ #17.අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු
සාක්ෂි.
අ n=2
, එවිට අපි නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු: 
සමානාත්මතාවය සැබෑ වේවාn=k:
සඳහා වන ප්රකාශයේ වලංගුභාවය අපි ඔප්පු කරමු n=k+1.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය අනුව අනන්යතාවය ඔප්පු වේ.
උදාහරණ #18.
අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු 
n≥2 සඳහා.
හිදී n=2
මෙම අනන්යතාවය ඉතා සරල ආකාරයෙන් නැවත ලිවිය හැක 
සහ පැහැදිලිවම ඇත්ත.
ඉඩ දෙන්න n=kඇත්තටම
.
සඳහා වන ප්රකාශයේ වලංගුභාවය අපි ඔප්පු කරමුn=k+1, එනම් සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් වේ:.
එබැවින්, ඕනෑම ස්වාභාවික දෙයකට අනන්යතාවය සත්ය බව අපි ඔප්පු කර ඇත්තෙමු n≥2.
උදාහරණ #19. අනන්යතාවය ඔප්පු කරමු
හිදී n=1
අපි නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු: 
අපි එය උපකල්පනය කරමු n=kඅපි නිවැරදි සමානාත්මතාවය ද ලබා ගනිමු:
සමානාත්මතාවයේ වලංගු භාවය නිරීක්ෂණය කරන බව අපි ඔප්පු කරමු n=k+1:
එවිට අනන්යතාවය ඕනෑම ස්වභාවික දෙයකට වලංගු වේ පී.
පාඩම අංක 6.
බෙදීමේ ගැටළු විසඳීම.
උදාහරණ #20.ඒ බව ගණිතමය ප්‍රේරණයෙන් ඔප්පු කරන්න
විසින් බෙදනු ලැබේ 6
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
සාක්ෂි.
හිදී n=1
ලෙස බෙදීමක් ඇත6
හෝඩුවාවක් නොමැතිව, 
.
ඉඩ දෙන්න n=k
ප්රකාශනය 
බහු6.
එය කවදාදැයි අපි ඔප්පු කරමු n=k+1
ප්රකාශනය 
බහු6
.
සෑම පදයක්ම බහු වේ 6 , එබැවින් එකතුව ගුණාකාර වේ 6 .
උදාහරණ අංක 21.
මත5
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
සාක්ෂි.
හිදී n=1
ප්රකාශනය බෙදිය හැකි ය 
.
ඉඩ දෙන්න n=k
ප්රකාශනය 
ලෙස ද බෙදා ඇත5
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
හිදී n=k+1විසින් බෙදනු ලැබේ 5 .
උදාහරණ #22.
ප්‍රකාශනයක බෙදීම ඔප්පු කරන්න 
මත16.
සාක්ෂි.
හිදී n=1බහු 16 .
ඉඩ දෙන්න n=k
බහු16.
හිදී n=k+1
සියලුම නියමයන් මගින් බෙදිය හැකිය 16: පළමුවැන්න උපකල්පනය අනුව පැහැදිලිවම දෙවැන්න වන අතර තුන්වැන්න වරහන් තුළ ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් ඇත.
උදාහරණ #23.
බෙදීම ඔප්පු කරන්න 
මත676.
සාක්ෂි.
අපි මුලින්ම ඒක ඔප්පු කරමු 
විසින් බෙදනු ලැබේ 
.
හිදී n=0
.
ඉඩ දෙන්න n=k
විසින් බෙදනු ලැබේ26
.
එවිට දී n=k+1විසින් බෙදනු ලැබේ 26 .
ගැටලුවේ තත්වය තුළ සකස් කර ඇති ප්රකාශය අපි දැන් ඔප්පු කරමු.
හිදී n=1විසින් බෙදනු ලැබේ 676.
හිදී n=k
ඒක ඇත්ත 
විසින් බෙදනු ලැබේ26
2
.
හිදී n=k+1 .
පද දෙකම බෙදිය හැකිය 676 ; පළමුවැන්න නම් අපි බෙදීමේ හැකියාව ඔප්පු කර ඇති බැවිනි 26 වරහන් තුළ ප්රකාශනය වන අතර දෙවැන්න ප්රේරක උපකල්පිතයෙන් බෙදිය හැකිය.
පාඩම අංක 7.
බෙදීමේ ගැටළු විසඳීම.
උදාහරණ අංක 24.
ඔප්පු කරන්න 
විසින් බෙදනු ලැබේ5
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
සාක්ෂි.
හිදී n=1
විසින් බෙදනු ලැබේ5.
හිදී n=k
විසින් බෙදනු ලැබේ5
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
හිදී n=k+1 සෑම පදයක්ම බෙදිය හැකිය5 හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
උදාහරණ #25.
ඔප්පු කරන්න 
විසින් බෙදනු ලැබේ6
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
සාක්ෂි.
හිදී n=1
විසින් බෙදනු ලැබේ6
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
ඉඩ දෙන්න n=k
විසින් බෙදනු ලැබේ6
හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
හිදී n=k+1විසින් බෙදනු ලැබේ 6
සෑම පදයක්ම බෙදිය හැකි බැවින් ඉතිරි නැත6
ඉතිරියක් නොමැතිව: පළමු පදය, ප්රේරක උපකල්පනය අනුව, දෙවනුව, පැහැදිලිවම, තෙවනුව, මන්ද 
ඉරට්ටේ අංකය.
උදාහරණ #26.
ඔප්පු කරන්න 
බෙදන විට9
ඉතිරිය ලබා දෙයි 1
.
සාක්ෂි.
ඒක ඔප්පු කරමු 
විසින් බෙදනු ලැබේ9
.
හිදී n=1 
විසින් බෙදනු ලැබේ 9
. ඉඩ දෙන්න n=k
විසින් බෙදනු ලැබේ9
.
හිදී n=k+1විසින් බෙදනු ලැබේ 9 .
උදාහරණ අංක 27.
බෙදිය හැකි බව ඔප්පු කරන්න15 හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
සාක්ෂි.
හිදී n=1විසින් බෙදනු ලැබේ 15 .
ඉඩ දෙන්න n=kවිසින් බෙදනු ලැබේ 15 හෝඩුවාවක් නොමැතිව.
හිදී n=k+1
පළමු පදය බහු වේ15
ප්රේරක උපකල්පනය අනුව, දෙවන පදය බහු ගුණයකි15
- පැහැදිලිවම, තුන්වන වාරය බහු ගුණයකි15
, නිසා 
බහු5
(උදාහරණ අංක 21 හි ඔප්පු කර ඇත), සිව්වන සහ පස්වන පද ද ගුණාකාර වේ5
, එය පැහැදිලිය, එවිට එකතුව ගුණාකාර වේ15
.
පාඩම් අංක 8-9.
ගණිතමය ප්රේරණය මගින් අසමානතා සනාථ කිරීම
උදාහරණ #28. 
.
හිදී n=1අපිට තියනවා 
- හරි.
ඉඩ දෙන්න n=k 
සැබෑ අසමානතාවයකි.
හිදී n=k+1
එවිට අසමානතාවය ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා වලංගු වේ පී.
උදාහරණ #29.අසමානතාවය සත්ය බව ඔප්පු කරන්න 
ඕනෑම දෙයක් සඳහා පී.
හිදී n=1අපි නිවැරදි අසමානතාවය ලබා ගනිමු 4 >1.
ඉඩ දෙන්න n=kඅසමානතාවය 
.
එය කවදාදැයි අපි ඔප්පු කරමු n=k+1අසමානතාවය 
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා වෙතඅසමානතාවය නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ.
අ 
හිදී 
එවිට
උදාහරණ #30.
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා පීසහ ඕනෑම 
ඉඩ n=1 
, හරි.
අසමානතාවය පවතින බව අපි උපකල්පනය කරමු n=k: 
.
හිදී n=k+1
උදාහරණ අංක 31.අසමානතාවයේ වලංගු භාවය ඔප්පු කරන්න
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා පී.
ඕනෑම ස්වභාවික දෙයක් සඳහා අපි මුලින්ම ඔප්පු කරමු ටීඅසමානතාවය
අසමානතාවයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න 
. අපි සමාන අසමානතාවයක් ලබා ගනිමු හෝ 
; 
; - මෙම අසමානතාවය ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා පවතී ටී.
හිදී n=1මුල් අසමානතාවය සැබෑ ය 
; 
; 
.
අසමානතාවයට ඉඩ දෙන්න n=k: 
.
හිදී n=k+1 
පාඩම් අංක 10.
මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීම
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
උදාහරණ #32.බර්නූලිගේ අසමානතාවය ඔප්පු කරන්න.
අ 
, පසුව සියලු ස්වභාවික අගයන් සඳහාපී
අසමානතාවය
සාක්ෂි.
හිදී n=1
ඔප්පු වී ඇති අසමානතාවය ස්වරූපය ගනී 
සහ පැහැදිලිවම හරි. අපි හිතමු ඒක ඇත්ත කියලාn=k
, එනම්, කුමක්ද 
.
කොන්දේසිය අනුව සිට 
, එවිට 
, එබැවින් අසමානතාවය එහි කොටස් දෙකම ගුණ කළ විට එහි අර්ථය වෙනස් නොවේ 
:
නිසා 
, එතකොට අපිට ඒක ලැබෙනවා
.
එබැවින් අසමානතාවය සත්ය වේ n=1, සහ එහි සත්‍යයෙන් n=kඑය සත්ය බව සහ n=k+1.එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණය මගින්, එය සියලු ස්වභාවික සඳහා රඳවා තබා ගනී පී.
උදාහරණ වශයෙන්, 
උදාහරණ අංක 33.
සියලුම ස්වාභාවික අගයන් සොයා ගන්නපී
, අසමානතාවය සඳහා 
විසඳුමක්.
හිදී n=1අසමානතාවය හරි. හිදී n=2අසමානතාවය ද සැබෑ ය.
හිදී n=3අසමානතාවය තවදුරටත් තෘප්තිමත් නොවේ. විට පමණි n=6අසමානතාවය පවතිනුයේ, ප්රේරක පදනම සඳහා අපට ගත හැක n=6.
සමහර ස්වභාවික සඳහා අසමානතාවය සත්ය බව උපකල්පනය කරන්න වෙත:
අසමානතාවය සලකා බලන්න
අවසාන අසමානතාවය නම් 
n=1 මාතෘකාව පිළිබඳ පරීක්ෂණ කටයුතු පුනරාවර්තන ලෙස ලබා දී ඇත: n≥5 , එහිදී පී--ස්වාභාවික අංකය.
Savelyeva Ekaterina
බෙදීමේ ගැටළු විසඳීමේදී ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය මාලාවේ සාරාංශයට යෙදීම ලිපිය සලකා බලයි. අසමානතා සනාථ කිරීම සහ ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීමේ උදාහරණ සලකා බලනු ලැබේ. කාර්යය ඉදිරිපත් කිරීමකින් නිරූපණය කෙරේ.
බාගත:
පෙරදසුන:
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ විද්යා හා අධ්යාපන අමාත්යාංශය
රාජ්ය අධ්යාපන ආයතනය
ද්විතීයික පාසල අංක 618
පාඨමාලාව: වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය
ව්යාපෘති වැඩ මාතෘකාව
"ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය සහ ගැටළු විසඳීම සඳහා එහි යෙදීම"
වැඩ අවසන්: Savelyeva E, 11B පන්තිය
සුපරීක්ෂක : Makarova T.P., ගණිත ගුරුවරයා, ද්විතීයික පාසල №618
1. හැඳින්වීම.
2. බෙදීමේ ගැටළු විසඳීමේදී ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
3. ශ්රේණියේ සාරාංශයට ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීම.
4. අසමානතා සනාථ කිරීම සඳහා ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීමේ උදාහරණ.
5. ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීම.
6. භාවිතා කළ සාහිත්‍ය ලැයිස්තුව.
හැදින්වීම
අඩු කිරීමේ සහ ප්රේරක ක්රම ඕනෑම ගණිත පර්යේෂණයක පදනම වේ. තර්කනයේ අඩු කිරීමේ ක්රමය සාමාන්ය සිට විශේෂිත දක්වා තර්ක කිරීමයි, i.e. තර්කනය, එහි ආරම්භක ලක්ෂ්‍යය සාමාන්ය ප්රතිඵලය වන අතර අවසාන ලක්ෂ්‍යය විශේෂිත ප්‍රතිඵලයයි. විශේෂිත ප්‍රතිඵලවල සිට සාමාන්ය ප්‍රතිඵල දක්වා ගමන් කිරීමේදී ප්රේරණය යෙදේ, i.e. අඩු කිරීමේ ක්රමයේ ප්‍රතිවිරුද්ධයයි. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය ප්රගතිය සමඟ සැසඳිය හැක. අපි පහළම තැනින් පටන් ගනිමු, තාර්කික චින්තනයේ ප්රතිඵලයක් ලෙස අපි ඉහළම තැනට පැමිණෙමු. මිනිසා සැමවිටම ප්රගතිය සඳහා උත්සාහ කර ඇත, ඔහුගේ චින්තනය තර්කානුකූලව වර්ධනය කිරීමේ හැකියාව සඳහා, එයින් අදහස් කරන්නේ ස්වභාවධර්මය විසින්ම ඔහුට ප්රේරක ලෙස සිතීමට නියම කර ඇති බවයි. ගණිතමය ප්රේරණය ක්රමයේ යෙදීමේ ක්ෂේත්රය වර්ධනය වී ඇතත් පාසල් විෂයමාලාව තුළ ඒ සඳහා වෙන්වන්නේ සුළු කාලයකි.නමුත් ප්රේරක ලෙස සිතීමට හැකිවීම එතරම්ම වැදගත්ය. ගැටළු විසඳීමේදී සහ ප්‍රමේයයන් ඔප්පු කිරීමේදී මෙම මූලධර්මයේ යෙදීම අනෙකුත් ගණිතමය මූලධර්ම පාසල් භාවිතයේදී සලකා බැලීම හා සමාන වේ: බැහැර කරන ලද මැද, ඇතුළත් කිරීම-බැහැර කිරීම, ඩිරිච්ලට්, ආදිය. මෙම රචනයේ ගණිතයේ විවිධ අංශවල ගැටලු අඩංගු වේ. ප්රධාන මෙවලම ගණිතමය ප්රේරණය භාවිතා කිරීමේ ක්රමයයි. මෙම ක්රමයේ වැදගත්කම ගැන කතා කරමින්, A.N. Kolmogorov සඳහන් කළේ "ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය අවබෝධ කර ගැනීම සහ යෙදීමේ හැකියාව පරිණතභාවය සඳහා හොඳ නිර්ණායකයක් වන අතර එය ගණිතඥයෙකුට අත්‍යවශ්‍ය වේ." එහි පුලුල් අර්ථයෙන් ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය සමන්විත වන්නේ පුද්ගලික නිරීක්ෂණ වලින් විශ්වීය, සාමාන්ය රටාවකට හෝ සාමාන්ය සූත්‍රගත කිරීමකට සංක්රමණය වීමෙනි. මෙම අර්ථ නිරූපනයේ දී, ක්රමය, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම පර්යේෂණාත්මක ස්වභාවික විද්යාවක පර්යේෂණ පැවැත්වීමේ ප්රධාන තාක්‍ෂණය වේ.
මානව ක්රියාකාරිත්වය. සියළුම ස්වාභාවික සංඛ්යා සඳහා ප්රකාශයක් ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වූ විට එහි සරලම ආකාරයෙන් ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය (මූලධර්මය) භාවිතා වේ.
ගැටලුව 1. ඔහුගේ ලිපියේ "මම ගණිතඥයෙකු වූයේ කෙසේද" A.N. කොල්මොගොරොව් මෙසේ ලියයි: “මම ගණිතමය “සොයාගැනීමේ” ප්‍රීතිය කලින් ඉගෙන ගත්තෙමි, වයස අවුරුදු පහක් හෝ හයක් තුළ රටාව නිරීක්ෂණය කළෙමි.
1 =1 2 ,
1 + 3 = 2 2 ,
1 + 3 + 5 \u003d W 2,
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 සහ එසේ ය.
පාසල විසින් "Spring Swallows" සඟරාව ප්රකාශයට පත් කරන ලදී. එහි, මගේ සොයාගැනීම ප්රකාශයට පත් කරන ලදී ... "
මෙම සඟරාවේ කුමන ආකාරයේ සාක්ෂියක් ලබා දී ඇත්දැයි අපි නොදනිමු, නමුත් ඒ සියල්ල ආරම්භ වූයේ පුද්ගලික නිරීක්ෂණ වලින්. මෙම පාර්ශවීය සමානාත්මතාවයන් සොයා ගැනීමෙන් පසුව ඇති වූ උපකල්පනයම සූත්රයයි
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2
ලබා දී ඇති ඕනෑම අංකයක් සඳහා සත්ය වේ n = 1, 2, 3, ...
මෙම උපකල්පනය සනාථ කිරීම සඳහා, කරුණු දෙකක් තහවුරු කිරීම ප්රමාණවත්ය. පළමුව, සඳහා n = 1 (සහ n = සඳහා පවා 2, 3, 4) අපේක්ෂිත ප්රකාශය සත්ය වේ. දෙවනුව, එම ප්රකාශය සත්ය යැයි සිතන්න n = k, සහ එය සත්ය බව තහවුරු කරන්න n = k + 1:
1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2 .
එබැවින්, ඔප්පු කරනු ලබන ප්රකාශය සියලු වටිනාකම් සඳහා සත්ය වේ n: සඳහා n = 1 එය සත්යයකි (මෙය සත්‍යාපනය කර ඇත), සහ දෙවන කරුණ අනුව, සඳහා n = 2, n සඳහා කොහෙන්ද = 3 (එකම දෙවන කරුණ නිසා) ආදිය.
ගැටළුව 2. අංක 1 සහ ඕනෑම (ධන නිඛිල) සමඟ විය හැකි සියලුම සාමාන්ය භාග සලකා බලන්න
හරය: ඕනෑම දෙයක් සඳහා එය ඔප්පු කරන්න n> 3 එකතුවක් ලෙස දැක්විය හැකපී මේ ආකාරයේ විවිධ කොටස්.
විසඳුමක්, අපි මුලින්ම මෙම ප්රකාශය පරීක්ෂා කර බලමු n = 3; අපිට තියනවා:
එබැවින් මූලික ප්රකාශය සෑහීමකට පත්වේ
දැන් සිතන්න, අපට උනන්දුවක් දක්වන ප්රකාශය යම් සංඛ්යාවක් සඳහා සත්ය වේවෙත, සහ එය අනුගමනය කරන අංකයට ද එය සත්ය බව ඔප්පු කරන්නවෙත + 1. වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, නිරූපණයක් ඇතැයි සිතමු
එහි කේ නියමයන් සහ සියලුම හරයන් වෙනස් වේ. එවිට ඒකකයේ නියෝජනයක් එකතුවක් ආකාරයෙන් ලබා ගත හැකි බව අපි ඔප්පු කරමුවෙත අපේක්ෂිත වර්ගයේ + 1 භාග. භාග අඩු වන බව අපි උපකල්පනය කරමු, එනම් හරයන් (එකකයේ එකතුවෙන් නිරූපණය කිරීමේදීවෙත නියමයන්) එසේ වමේ සිට දකුණට වැඩි කරන්නටී හරයන්ගෙන් විශාලතම වේ. අපිට අවශ්ය නියෝජනය එකතුවක් විදිහට ලැබෙනවා(වෙත + 1) වන කොටස, අපි එක් භාගයක් බෙදුවහොත්, උදාහරණයක් ලෙස අවසාන එක දෙකට. මෙය කළ හැකි නිසා
ඒ නිසා
ඊට අමතරව, සියලුම කොටස් වෙනස් වේ, සිටටී විශාලතම හරය විය, සහ t + 1 > t, සහ
m(t + 1) > m.
මේ අනුව, අපි ස්ථාපිත කර ඇත:
- n = සඳහා 3 මෙම ප්රකාශය සත්යයකි;
- අප උනන්දු වන ප්රකාශය සත්ය නම්වෙත,
එවිට එය ද සත්ය වේ+ 1 දක්වා.
මෙම පදනම මත, සලකා බලන ප්රකාශය තුනෙන් ආරම්භ වන සියලුම ස්වාභාවික සංඛ්යා සඳහා සත්ය බව අපට ප්රකාශ කළ හැකිය. එපමනක් නොව, ඉහත සාධනය මගින් එක්සත්කමේ අපේක්ෂිත කොටස සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයක් ද අදහස් කෙරේ. (මේ ඇල්ගොරිතමය කුමක්ද? අංක 1 යනු පද 4, 5, 7 හි එකතුව ලෙස සිතන්න.)
පෙර පැවති ගැටළු දෙක විසඳීමේදී පියවර දෙකක් ගෙන ඇත. පළමු පියවර ලෙස හැඳින්වේපදනම induction, දෙවැන්නප්‍රේරක සංක්‍රාන්තියහෝ induction පියවරක්. දෙවන පියවර වඩාත් වැදගත් වන අතර එයට උපකල්පනයක් ඇතුළත් වේ (ප්රකාශය සත්ය වේ n = k) සහ නිගමනය (ප්රකාශය සත්ය වේ n = k + 1). p පරාමිතියම ලෙස හැඳින්වේ induction පරාමිතිය.මෙම තාර්කික යෝජනා ක්රමය (උපාංගය), පදනම සහ සංක්‍රාන්තිය යන දෙකම වලංගු වන බැවින් සලකා බලනු ලබන ප්රකාශය සියලුම ස්වාභාවික සංඛ්යා සඳහා (හෝ සියල්ල සඳහා, සමහරකින් ආරම්භ වන) සත්ය බව නිගමනය කිරීමට හැකි වේ.ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය,මත සහ ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය පදනම් වේ."induction" යන පදය පැමිණෙන්නේ ලතින් වචනයෙනිප්රේරණය (මාර්ගෝපදේශය), එයින් අදහස් කරන්නේ දී ඇති පන්තියක තනි වස්තු පිළිබඳ තනි දැනුමේ සිට දී ඇති පන්තියක සියලුම වස්තූන් පිළිබඳ සාමාන්ය නිගමනයකට මාරුවීමයි, එය දැනුමේ ප්රධාන ක්‍රමවලින් එකකි.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය, සාමාන්ය පියවර දෙකක ස්වරූපයෙන්, ප්‍රථම වරට 1654 දී බ්ලේස් පැස්කල්ගේ අංක ගණිත ත්රිකෝණය පිළිබඳ සංග්‍රහයේ පෙනී සිටි අතර, සංයෝජන ගණන (ද්වි පද සංගුණක) ගණනය කිරීමේ සරල ක්රමයක් ප්රේරණය මගින් ඔප්පු කරන ලදී. ඩී.පෝය පොතේ B. Pascal උපුටා දක්වයි, වර්ග වරහන් වලින් ලබා දී ඇති සුළු වෙනස්කම් සහිතව:
“සැලකිල්ලට භාජනය වන ප්‍රස්තුතයේ [ද්විපද සංගුණක සඳහා පැහැදිලි සූත්‍රයක්] අනන්ත විශේෂ අවස්ථා සංඛ්යාවක් අඩංගු වුවද, මම ඒ සඳහා ලෙම්මා දෙකක් මත පදනම්ව ඉතා කෙටි සාක්ෂියක් දෙන්නෙමි.
පළමු ලෙමා පවසන්නේ උපකල්පනය පදනම සඳහා සත්ය බවයි - මෙය පැහැදිලිය. [හිදීපී = 1 පැහැදිලි සූත්රය වලංගුයි...]
දෙවන lemma පහත සඳහන් දේ සඳහන් කරයි: අපගේ උපකල්පනය අත්තනෝමතික පදනමක් සඳහා [අත්තනෝමතික r සඳහා] සත්ය නම්, එය පහත පදනම සඳහා සත්ය වනු ඇත. n + 1].
මෙම ලෙම්මා දෙකෙන් අවශ්‍යයෙන්ම සියලු අගයන් සඳහා ප්‍රස්තුතයේ වලංගු භාවය ඇඟවුම් කරයිපී. ඇත්ත වශයෙන්ම, පළමු ලෙමා අනුව, එය වලංගු වේපී = 1; එබැවින්, දෙවන ලෙමා අනුව, එය වලංගු වේපී = 2; එබැවින්, නැවතත් දෙවන ලෙමා අනුව, එය වලංගු වේ n = 3 සහ වෙනත් දැන්වීම් අනන්තය.
ගැටලුව 3. හැනෝයි ප්‍රහේලිකාවේ කුළුණු කූරු තුනකින් සමන්විත වේ. එක් සැරයටියක පිරමීඩයක් ඇත (රූපය 1), විවිධ විෂ්කම්භයන් සහිත වළලු කිහිපයකින් සමන්විත වන අතර පහළ සිට ඉහළට අඩු වේ.
රූපය 1
මෙම පිරමීඩය අනෙක් දඬු වලින් එකකට මාරු කළ යුතු අතර, සෑම අවස්ථාවකදීම එක් මුද්දක් පමණක් මාරු කළ යුතු අතර විශාල මුද්ද කුඩා එක මත නොතැබිය යුතුය. එය කළ හැකිද?
විසඳුමක්. එබැවින්, අපි ප්රශ්නයට පිළිතුරු දිය යුතුය: සමන්විත පිරමීඩයක් ගෙන යා හැකිද?පී විවිධ විෂ්කම්භයන් සහිත වළලු, එක් සැරයටියක සිට තවත් එකකට, ක්රීඩාවේ නීති අනුගමනය කරමින්? දැන් ගැටලුව වන්නේ, ඔවුන් පවසන පරිදි, අප විසින් පරාමිතික කර ඇත (ස්වාභාවික අංකයකිපී), තවද එය ගණිතමය ප්රේරණය මගින් විසඳිය හැක.
- induction පදනම. n = සඳහා 1, එක් මුද්දක පිරමීඩයක් පැහැදිලිවම ඕනෑම සැරයටියකට ගෙන යා හැකි බැවින් සියල්ල පැහැදිලිය.
- induction පියවර. අපට ඕනෑම පිරමීඩයක් වළලු ගණනින් ගෙන යා හැකි යැයි සිතමු p = k.
එවිට අපට පිරමීඩය මැදින් ගෙන යා හැකි බව ඔප්පු කරමු n = k + 1.
සිට පිරමිඩය විශාලතම මත වැතිර සිටින මුදු(වෙත + 1)-th ring, අපට උපකල්පනය අනුව, වෙනත් ඕනෑම හැරීමකට මාරු විය හැක. අපි එය කරමු. චලනය නොවන(වෙත + 1) විශාලතම වළල්ල විස්ථාපන ඇල්ගොරිතම ක්රියාත්මක කිරීමට අපට බාධා නොකරනු ඇත. චලනය වූ පසුවෙත වළලු, මෙය විශාලතම චලනය කරන්න(වෙත + 1) ඉතිරි සැරයටිය මත මුද්ද. ඉන්පසුව අපි නැවතත් ප්රේරක උපකල්පනය මගින් අප දන්නා චලනය වන ඇල්ගොරිතම යොදන්නෙමුවෙත වළලු, සහ ඔවුන් සමඟ සැරයටිය වෙත ගෙන යන්න(වෙත + 1) වන වළල්ල. මේ අනුව, අපට පිරමිඩ ගෙන යා හැකි නම්වෙත වළලු, එවිට අපට පිරමිඩ චලනය කළ හැකියවෙත + 1 වළලු. එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය අනුව, පිරමීඩය චලනය කිරීමට සැමවිටම හැකි ය, සමන්විත n වළලු, එහිදී n > 1.
බෙදීමේ ගැටළු විසඳීමේදී ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතා කරමින් කෙනෙකුට ස්වභාවික සංඛ්යා බෙදීම සම්බන්ධ විවිධ ප්රකාශ ඔප්පු කළ හැක.
කාර්යය 4 . n යනු ස්වභාවික සංඛ්යාවක් නම් එම සංඛ්‍යාව ඉරට්ටේ වේ.
n=1 සඳහා අපගේ ප්රකාශය සත්ය වේ: - ඉරට්ටේ අංකයකි. එය ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් යැයි සිතමු. 2k යනු ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් බැවින් එයද එසේමය. එබැවින්, n=1 සඳහා සමානාත්මතාවය ඔප්පු වේ, සමානාත්මතාවයෙන් සමානාත්මතාවය අඩු වේ, එබැවින්, n හි සියලුම ස්වභාවික අගයන් සඳහා පවා.
කාර්යය 3. අංකය Z බව ඔප්පු කරන්න 3 + 3 - 26n - 27 අත්තනෝමතික ස්වභාවික සමග n ශේෂයක් නොමැතිව 26 2 න් බෙදිය හැකිය.
විසඳුමක්. අපි මුලින්ම ප්රේරණය මගින් 3 වන සහායක ප්රකාශයක් ඔප්පු කරමු 3n+3 1 ඉතිරියක් නොමැතිව 26 න් බෙදිය හැකිය n > 0.
- induction පදනම. n = 0 සඳහා අපට ඇත්තේ: Z 3 - 1 \u003d 26 - 26 න් බෙදන්න.
induction පියවර. 3 යැයි සිතමු 3n + 3 - 1 විට 26 න් බෙදිය හැකිය n = k, සහ මෙම නඩුවේ ප්රකාශය සත්ය වනු ඇති බව අපි ඔප්පු කරමු n = k + 1. 3 සිට
ප්රේරක උපකල්පනයෙන් අපි නිගමනය කරන්නේ අංක 3 බවයි 3k + 6 - 1 26 න් බෙදිය හැකිය.
ගැටලුවේ තත්වය තුළ සකස් කර ඇති ප්රකාශය අපි දැන් ඔප්පු කරමු. නැවතත් induction මගින්.
- induction පදනම. දී බව පැහැදිලිය n = 1 ප්රකාශය සත්ය වේ: 3 සිට 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
- induction පියවර. අපි එය උපකල්පනය කරමු n = k
ප්රකාශනය 3 3k + 3 - 26k - 27 26 න් බෙදිය හැකිය 2 ඉතිරියකින් තොරව, සහ ප්රකාශය සත්ය බව ඔප්පු කරන්න n = k + 1,
එනම් එම අංකය
26 2 න් බෙදිය හැකිය හෝඩුවාවක් නොමැතිව. අවසාන එකතුවෙහි, පද දෙකම ඉතිරි නොවී 26 න් බෙදනු ලැබේ 2 . පළමුවැන්න නම්, වරහන් තුළ ඇති ප්රකාශනය 26 න් බෙදිය හැකි බව අප ඔප්පු කර ඇති බැවිනි. දෙවැන්න, ප්රේරක කල්පිතය මගිනි. ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය අනුව, අවශ්ය ප්රකාශය සම්පූර්ණයෙන්ම ඔප්පු කර ඇත.
ශ්රේණියේ සාරාංශයට ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීම.
කාර්යය 5. සූත්රය ඔප්පු කරන්න
N යනු ස්වභාවික අංකයකි.
විසඳුමක්.
n=1 සඳහා, සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම එකකට හැරෙන අතර, එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ පළමු කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේ.
n=k සඳහා සූත්රය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න, i.e.
මෙම සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තටම එකතු කර දකුණු පැත්ත පරිවර්තනය කරමු. එතකොට අපිට ලැබෙනවා
මේ අනුව, සූත්රය n=k සඳහා සත්ය වන බැවින්, එය n=k+1 සඳහාද සත්ය බව අනුගමනය කරයි. k හි ඕනෑම ස්වාභාවික අගයක් සඳහා මෙම ප්රකාශය සත්ය වේ. එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණය පිළිබඳ මූලධර්මයේ දෙවන කොන්දේසිය ද තෘප්තිමත් වේ. සූත්රය ඔප්පු කර ඇත.
කාර්යයක් 6. පුවරුවේ අංක දෙකක් ලියා ඇත: 1.1. සංඛ්යා අතර ඒවායේ එකතුව ඇතුළත් කිරීමෙන් අපට අංක 1, 2, 1 ලැබේ. මෙම මෙහෙයුම නැවත නැවත කිරීමෙන් අපට අංක 1, 3, 2, 3, 1 ලැබේ. මෙහෙයුම් තුනකට පසුව, අංක 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. පසුව පුවරුවේ ඇති සියලුම සංඛ්‍යාවල එකතුව කුමක්ද?මෙහෙයුම් 100 ක්?
විසඳුමක්. 100ම කරන්න මෙහෙයුම් ඉතා කාලය හා කාලය ගත වනු ඇත. ඉතින්, අපි S එකතුව සඳහා යම් පොදු සූත්‍රයක් සොයා ගැනීමට උත්සාහ කළ යුතුයි n පසු සංඛ්යා මෙහෙයුම්. අපි මේසය දෙස බලමු:
ඔබ මෙහි කිසියම් රටාවක් දුටුවාද? එසේ නොමැති නම්, ඔබට තවත් එක් පියවරක් ගත හැකිය: මෙහෙයුම් හතරකින් පසුව, සංඛ්යා ඇත
1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,
එහි එකතුව S 4 82 වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට අංක ලිවිය නොහැක, නමුත් නව අංක එකතු කිරීමෙන් පසු එකතුව වෙනස් වන්නේ කෙසේදැයි වහාම කියන්න. එකතුව 5 ට සමාන වේවා. නව සංඛ්යා එකතු කළ විට එය කුමක් වේවිද? අපි සෑම නව අංකයක්ම පැරණි ඒවා දෙකේ එකතුවට බෙදමු. උදාහරණයක් ලෙස, 1, 3, 2, 3, 1 සිට අපි 1 වෙත යමු,
1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.
එනම්, සෑම පැරණි අංකයක්ම (ආන්තික ඒවා දෙක හැර) දැන් එකතුව තුන් වරක් ඇතුල් කරයි, එබැවින් නව එකතුව 3S - 2 වේ (අතුරුදහන් වූ ඒකක සැලකිල්ලට ගැනීමට 2 අඩු කරන්න). එබැවින් එස් 5 = 3S 4 - 2 = 244, සහ පොදුවේ
පොදු සූත්රය යනු කුමක්ද? එය ඒකක දෙකක අඩු කිරීම සඳහා නොවේ නම්, සෑම අවස්ථාවකම එකතුව තුන් ගුණයකින් වැඩි වනු ඇත, ත්‍රිත්ව බලයේ (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). ඔබට දැන් පෙනෙන පරිදි අපගේ අංක තවත් එකකි. මේ අනුව, එය උපකල්පනය කළ හැකිය
දැන් අපි මෙය induction මගින් ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරමු.
induction පදනම. වගුව බලන්න (සඳහා n = 0, 1, 2, 3).
induction පියවර. අපි එහෙම මවාපාමු
අපි ඒක ඔප්පු කරමු එහෙනම් S සිට + 1 \u003d Z සිට + 1 + 1 දක්වා.
ඇත්තටම,
ඉතින්, අපේ සූත්රය ඔප්පු කර ඇත. මෙහෙයුම් සියයකට පසු, පුවරුවේ ඇති සියලුම සංඛ්යා වල එකතුව 3 ට සමාන වන බව පෙන්වයි 100 + 1.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ යෙදුමේ එක් කැපී පෙනෙන උදාහරණයක් සලකා බලන්න, එහිදී ඔබට ප්‍රථමයෙන් ස්වාභාවික පරාමිතීන් දෙකක් හඳුන්වා දිය යුතු අතර පසුව ඒවායේ එකතුව මත ප්රේරණය සිදු කළ යුතුය.
කාර්යයක් 7. එසේ නම් ඔප්පු කරන්න= 2, x 2 = 3 සහ සෑම ස්වභාවික සඳහාම n> 3
x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2,
එවිට
2 n - 1 + 1, n = 1, 2, 3, ...
විසඳුමක්. මෙම ගැටලුව තුළ ඉලක්කම්වල ආරම්භක අනුපිළිවෙල බව සලකන්න(x n) ප්රේරණය මගින් තීරණය වේ, පළමු දෙක හැර අපගේ අනුක්‍රමයේ නියමයන් ප්රේරක ලෙස ලබා දී ඇත, එනම් පෙර ඒවා හරහා. ලබා දී ඇති අනුපිළිවෙල හැඳින්වේපුනරාවර්තන, සහ අපගේ නඩුවේදී මෙම අනුපිළිවෙල තීරණය කරනු ලබන්නේ (එහි පළමු පද දෙක නියම කිරීමෙන්) අද්විතීය ආකාරයකින් ය.
induction පදනම. එය ප්රකාශ දෙකක් පරීක්ෂා කිරීමකින් සමන්විත වේ: n=1 සහ n=2.B අවස්ථා දෙකේදීම, ප්රකාශය උපකල්පනය මගින් සත්ය වේ.
induction පියවර. අපි එය සඳහා උපකල්පනය කරමු n = k - 1 සහ n = k ප්රකාශය කරනු ලැබේ, එනම්
අපි පසුව ප්රකාශය ඔප්පු කරමු n = k + 1. අපට ඇත්තේ:
x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, ඔප්පු කිරීමට නියමිතව තිබුණි.
කාර්යය 8. Fibonacci සංඛ්‍යාවල පුනරාවර්තන අනුපිළිවෙලෙහි විවිධ සාමාජිකයන් කිහිප දෙනෙකුගේ එකතුවක් ලෙස ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් නිරූපණය කළ හැකි බව ඔප්පු කරන්න:
k > 2 සඳහා.
විසඳුමක්. ඉඩ දෙන්න p - ස්වභාවික අංකය. අපි ප්රේරණය සිදු කරන්නෙමුපී.
induction පදනම. n = සඳහා ඒකකය Fibonacci අංකයක් වන බැවින් 1 ප්රකාශය සත්ය වේ.
induction පියවර. සියලුම ස්වාභාවික සංඛ්යා යම් සංඛ්‍යාවකට වඩා අඩු යැයි උපකල්පනය කරන්නපී, Fibonacci අනුපිළිවෙලෙහි විවිධ පද කිහිපයක එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක. විශාලතම Fibonacci අංකය සොයා ගන්නඑෆ් ටී, නොඉක්මවනපී; එබැවින් F t n සහ F t +1 > n.
මන්දයත්
ප්රේරක කල්පිතය අනුව, සංඛ්‍යාව p- එෆ් ටී Fibonacci අනුපිළිවෙලෙහි විවිධ සාමාජිකයින් 5 දෙනෙකුගේ එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි අතර, අවසාන අසමානතාවයෙන් පහත දැක්වෙන්නේ 8 හි එකතුවට සම්බන්ධ Fibonacci අනුක්‍රමයේ සියලුම සාමාජිකයින්ට වඩා අඩු බවයි.එෆ් ටී. එබැවින්, සංඛ්යාවේ ප්රසාරණය n = 8 + F ටී ගැටලුවේ තත්ත්වය තෘප්තිමත් කරයි.
අසමානතා සනාථ කිරීම සඳහා ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීමේ උදාහරණ.
කාර්යය 9. (බර්නූලිගේ අසමානතාවය.)එය කවදාදැයි ඔප්පු කරන්න x > -1, x 0, සහ නිඛිල සඳහා n > 2 අසමානතාවය
(1 + x) n > 1 + xn.
විසඳුමක්. අපි නැවතත් ප්රේරණය මගින් ඔප්පු කිරීම සිදු කරන්නෙමු.
1. induction පදනම. සඳහා අසමානතාවයේ වලංගු භාවය අපි තහවුරු කරමු n = 2. ඇත්ත වශයෙන්ම,
(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.
2. induction පියවර. අංකය සඳහා එය උපකල්පනය කරමු n = k ප්රකාශය සත්යයකි, එනම්
(1 + x) k > 1 + xk,
එහිදී k > 2. අපි එය n = k + 1 සඳහා ඔප්පු කරමු. අපට ඇත්තේ: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =
1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.
එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව, බර්නූලිගේ අසමානතාවය ඕනෑම දෙයකට වලංගු බව තර්ක කළ හැකිය. n > 2.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් විසඳන ලද ගැටළු වල තත්වයන් තුළ සෑම විටම නොවේ, ඔප්පු කළ යුතු සාමාන්ය නීතිය පැහැදිලිව සකස් කර ඇත. සමහර අවස්ථාවලදී, විශේෂිත අවස්ථා නිරීක්ෂණය කිරීමෙන්, මුලින්ම සොයා ගැනීම (අනුමාන කිරීම) අවශ්ය වන්නේ ඔවුන් කුමන සාමාන්ය නීතියකට මඟ පාදන්නේද යන්න සහ පසුව පමණක් ගණිතමය ප්රේරණය මගින් ප්රකාශිත කල්පිතය ඔප්පු කිරීමයි. ඊට අමතරව, ප්රේරක විචල්යය ආවරණය කළ හැකි අතර, ගැටළුව විසඳීමට පෙර, ප්රේරණය සිදු කරන්නේ කුමන පරාමිතිය මතද යන්න තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ. උදාහරණ ලෙස, පහත සඳහන් කාර්යයන් සලකා බලන්න.
ගැටලුව 10. එය ඔප්පු කරන්න
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා n > 1.
විසඳුමක්, මෙම අසමානතාවය ගණිතමය ප්රේරණය මගින් ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරමු.
ප්රේරක පදනම පහසුවෙන් සත්‍යාපනය කළ හැකිය: 1+
ප්රේරක උපකල්පනය මගින්
එය ඔප්පු කිරීමට අපට ඉතිරිව ඇත
ප්රේරක කල්පිතය භාවිතා කරමින්, අපි එය තහවුරු කරන්නෙමු
මෙම සමානාත්මතාවය ඇත්ත වශයෙන්ම සත්ය වුවද, එය අපට ගැටලුවට විසඳුමක් ලබා නොදේ.
මුල් ගැටලුවේ අවශ්ය ප්‍රමාණයට වඩා ශක්තිමත් ප්රකාශයක් ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරමු. එනම්, අපි එය ඔප්පු කරන්නෙමු
ප්රේරණය මගින් මෙම ප්රකාශය ඔප්පු කිරීම බලාපොරොත්තු රහිත බව පෙනේ.
කෙසේ වෙතත්, පී = 1 අපට තිබේ: ප්රකාශය සත්ය වේ. ප්රේරක පියවර සාධාරණීකරණය කිරීමට, එය යැයි සිතමු
ඊට පස්සේ අපි ඒක ඔප්පු කරන්නම්
ඇත්තටම,
මේ අනුව, අපි වඩාත් ප්‍රබල ප්රකාශයක් ඔප්පු කර ඇති අතර, එයින් ගැටලුවේ තත්වය තුළ ඇති ප්රකාශය වහාම පහත දැක්වේ.
මෙහි ඇති උපදේශාත්මක දෙය නම්, ගැටලුවේදී අවශ්ය ප්‍රමාණයට වඩා ප්‍රබල ප්රකාශයක් ඔප්පු කිරීමට අපට සිදු වුවද, ප්රේරක පියවරේදී අපට ප්‍රබල උපකල්පනයක් භාවිතා කළ හැකි වීමයි. ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ සෘජු යෙදුම සෑම විටම ඉලක්කය කරා නොයන බව මෙයින් පැහැදිලි වේ.
ගැටලුව විසඳීමේදී ඇති වූ තත්ත්වය හැඳින්වේනව නිපැයුම්කරුගේ විරුද්ධාභාසය.පරස්පරය නම්, කාරණයේ සාරය පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් මත පදනම් වන්නේ නම් වඩාත් සංකීර්ණ සැලසුම් වඩාත් සාර්ථක ලෙස ක්රියාත්මක කළ හැකි බවයි.
ගැටලුව 11. 2m + n - 2m බව ඔප්පු කරන්න ඕනෑම ස්වභාවික සඳහාවර්ගය.
විසඳුමක්. මෙන්න අපට විකල්ප දෙකක් තිබේ. එමනිසා, ඔබට ඊනියා ක්රියාත්මක කිරීමට උත්සාහ කළ හැකියද්විත්ව ප්රේරණය(ප්‍රේරණයක් තුළ ප්‍රේරණයක්).
අපි ප්රේරක තර්කනය සිදු කරන්නෙමුපී.
1. p අනුව induction පදනම. n = සඳහා 1 එය පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය වේ 2 ටී ~ 1 > ටී. මෙම අසමානතාවය ඔප්පු කිරීම සඳහා, අපි induction on භාවිතා කරමුටී.
ඒ) පරිමාව අනුව ප්රේරණයේ පදනම. t සඳහා = 1 ක්රියාත්මක වෙමින් පවතී
සමානාත්මතාවය, එය පිළිගත හැකි ය.
බී) ටී අනුව induction පියවර.අපි එය උපකල්පනය කරමු t = k ප්රකාශය සත්ය, එනම් 2 k ~ 1 > k. එවිට ඉහළට
එසේ වුවද ප්රකාශය සත්ය බව අපි කියමු m = k + 1.
අපිට තියනවා:
ස්වභාවික k දී.
මේ අනුව, අසමානතාවය 2 ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා සිදු කරනු ලැබේටී.
2. අයිතමය අනුව induction පියවරසමහර ස්වභාවික අංකයක් තෝරා සවි කරන්නටී. අපි එය උපකල්පනය කරමු n = I ප්රකාශය සත්ය (ස්ථාවර සඳහා t), එනම් 2 t +1 ~ 2 > t1, එවිට ප්රකාශය සත්ය වන බව ඔප්පු කරන්න n = l + 1.
අපිට තියනවා:
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහාවර්ගය.
එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව (අනුව P) ගැටලුවේ ප්රකාශය ඕනෑම කෙනෙකුට සත්ය වේපී සහ ඕනෑම ස්ථාවර සඳහාටී. මේ අනුව, මෙම අසමානතාවය ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා පවතීවර්ගය.
ගැටලුව 12. m, n සහ k ඉඩ දෙන්න ස්වභාවික සංඛ්යා වේ, සහ t > p මෙම සංඛ්යා දෙකෙන් කුමන විශාලද:
සෑම ප්රකාශනයකමවෙත වර්ග මූල සංඥා, t සහ n විකල්ප.
විසඳුමක්. අපි මුලින්ම සහායක ප්රකාශයක් ඔප්පු කරමු.
ලෙම්මා. ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා t සහ n (t > n) සහ ඍණ නොවන (අවශ්‍යයෙන්ම පූර්ණ සංඛ්‍යාව නොවේ) x අසමානතාවය
සාක්ෂි. අසමානතාවය සලකා බලන්න
වම් පැත්තේ ඇති සාධක දෙකම ධනාත්මක බැවින් මෙම අසමානතාවය සත්ය වේ. වරහන් පුළුල් කිරීම සහ පරිවර්තනය කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:
අවසාන අසමානතාවයේ කොටස් දෙකෙහිම වර්ගමූලය ගෙන, අපි ලෙමාගේ ප්රකාශය ලබා ගනිමු. ඉතින් ලෙම්මා ඔප්පු වෙනවා.
දැන් අපි ගැටලුව විසඳීමට ඉදිරියට යමු. මෙම සංඛ්යා වලින් පළමුවැන්න දක්වන්නෙමුඒ, සහ දෙවන හරහා b සිට . ඒ බව ඔප්පු කරමු ඕනෑම ස්වභාවික සඳහාවෙත. ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ සඳහා වෙන වෙනම ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය මගින් සාධනය සිදු කෙරේවෙත.
induction පදනම. k සඳහා = 1 අපට අසමානතාවය ඇත
y[t >y/n , යන කරුණ නිසා වලංගු වේ m > n. = 2, අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය ආදේශ කිරීම මගින් ඔප්පු කරන ලද lemma වෙතින් ලබා ගනී x = 0.
induction පියවර. හිතන්න, සමහරුන්ටඅසමානතාවයට a >b to සාධාරණ. ඒක ඔප්පු කරමු
ප්රේරණයේ උපකල්පනයෙන් සහ වර්ගමූලයේ ඒකාකාරී බවෙන්, අපට ඇත්තේ:
අනෙක් අතට, එය ඔප්පු කරන ලද ලෙම්මා වලින් පහත දැක්වේ
අවසාන අසමානතා දෙක ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය අනුව, ප්රකාශය සනාථ වේ.
කාර්යය 13. (Cauchy ගේ අසමානතාවය.)ඕනෑම ධන සංඛ්යාවක් සඳහා එය ඔප්පු කරන්න..., a p අසමානතාවය
විසඳුමක්. n = 2 සඳහා අසමානතාවය
අංක ගණිත මධ්යන්යය සහ ජ්යාමිතික මධ්යන්යය (සංඛ්යා දෙකක් සඳහා) දන්නා ලෙස සලකනු ලැබේ. ඉඩ n= 2, k = 1, 2, 3, ... සහ පළමුව ප්රේරණය සිදු කරන්නවෙත. මෙම ප්රේරණයේ පදනම පවතිනුයේ, අපේක්ෂිත අසමානතාවය දැනටමත් ස්ථාපිත වී ඇතැයි උපකල්පනය කිරීමෙනි n = 2, අපි එය ඔප්පු කරන්නෙමුපී = 2 . අපට ඇත (අංක දෙකක් සඳහා අසමානතාවය භාවිතා කරමින්):
එබැවින්, induction කල්පිතය මගින්
මේ අනුව, k මත ප්රේරණය කිරීමෙන්, අපි සියල්ලන්ටම අසමානතාවය ඔප්පු කර ඇත්තෙමුපි 9 දෙකේ බලයන් වන.
වෙනත් අගයන් සඳහා අසමානතාවය ඔප්පු කිරීමටපී අපි "induction down" භාවිතා කරන්නෙමු, එනම්, අත්තනෝමතික නොවන ඍණ සඳහා අසමානතාවය තෘප්තිමත් නම්, අපි ඔප්පු කරන්නෙමුපී අංක, එය සඳහා ද වලංගු වේ(පී - 1) අංකය. මෙය සත්‍යාපනය කිරීම සඳහා, කරන ලද උපකල්පනයට අනුව, අපි සටහන් කරමුපී සංඛ්යා, අසමානතාවය
එනම් a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. කොටස් දෙකටම බෙදීමපී - 1, අපි අවශ්ය අසමානතාවය ලබා ගනිමු.
එබැවින්, අසමානතාවය අසීමිත අගයන් සඳහා පවතින බව පළමුව අපි තහවුරු කළෙමුපී, ඊට පස්සේ පෙන්නුවා අසමානතාවය පවතින්නේ නම් කියලාපී අංක, එය සඳහා ද වලංගු වේ(පී - 1) සංඛ්යා. මෙයින් අපි දැන් නිගමනය කරන්නේ Coty ගේ අසමානතාවය යම් කට්ටලයක් සඳහා පවතින බවයිපී ඕනෑම දෙයක් සඳහා සෘණ නොවන අංක n = 2, 3, 4, ...
ගැටලුව 14. (D. Uspensky.) කෝණ සහිත ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක් සඳහා ABC = CAB, = CBA සමානුපාතික වේ, අසමානතා ඇත
විසඳුමක්. කෝණ සහ සංසන්දනාත්මක වන අතර, මෙයින් (අර්ථ දැක්වීම අනුව) අදහස් වන්නේ මෙම කෝණවලට පොදු මිනුමක් ඇති බවයි, ඒ සඳහා = p, = (p, q යනු ස්වභාවික coprime numbers වේ).
අපි ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතා කර එකතුවට උඩින් අඳිමු n = p + q ස්වභාවික coprime අංක..
induction පදනම. p + q = 2 සඳහා අපට ඇත්තේ: p = 1 සහ q = 1. එවිට ABC ත්රිකෝණය සමද්වීපක වන අතර අපේක්ෂිත අසමානතාවයන් පැහැදිලි වේ: ඒවා ත්‍රිකෝණ අසමානතාවයෙන් අනුගමනය කරයි.
induction පියවර. දැන් p + q = 2, 3, ..., සඳහා අපේක්ෂිත අසමානතා ස්ථාපිත වී ඇතැයි සිතමු. k - 1, එහිදී k > 2. අසමානතා ද වලංගු බව ඔප්පු කරමු p + q = k.
ABC ඉඩ දෙන්න සමග දී ඇති ත්රිකෝණයකි> 2. එවිට පැති AC සහ BC සමාන විය නොහැක: ඉඩ දෙන්න AC > BC. දැන් අපි රූප සටහන 2 හි මෙන් සමද්වීපක ත්‍රිකෝණයක් ගොඩනඟමු ABC; අපිට තියනවා:
AC \u003d DC සහ AD \u003d AB + BD, එබැවින්,
2AC > AB + BD (1)
දැන් ත්රිකෝණය සලකා බලන්නවීඩීසී, ඒවායේ කෝණ ද සැසඳිය හැකිය:
DCB = (q - p), BDC = p.
සහල්. 2
මෙම ත්රිකෝණය ප්රේරක කල්පිතය තෘප්තිමත් කරයි, එබැවින්
(2)
(1) සහ (2) එකතු කිරීම, අපට ඇත්තේ:
2AC+BD>
ඒ නිසා
එකම ත්‍රිකෝණයෙන් WBS ප්රේරක උපකල්පනය මගින් අපි එය නිගමනය කරමු
පෙර අසමානතාවය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි එය නිගමනය කරමු
මේ අනුව, ප්රේරක සංක්‍රාන්තිය ලබා ගන්නා අතර, ගැටලුවේ ප්රකාශය ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයෙන් අනුගමනය කරයි.
අදහස් දක්වන්න. a සහ p කෝණ සමපාත නොවන විට පවා ගැටලුවේ ප්රකාශය වලංගු වේ. සාමාන්ය නඩුවේ සලකා බැලීමේ පදනම අනුව, අපට දැනටමත් තවත් වැදගත් ගණිතමය මූලධර්මයක් යෙදිය යුතුය - අඛණ්ඩතාවයේ මූලධර්මය.
ගැටළුව 15. සරල රේඛා කිහිපයක් ගුවන් යානය කොටස් වලට බෙදා ඇත. මෙම කොටස් සුදු පාට කිරීමට හැකි බව ඔප්පු කරන්න
සහ කළු වර්ණ නිසා පොදු මායිම් කොටසක් ඇති යාබද කොටස් විවිධ වර්ණවලින් යුක්ත වේ (රූපය 3 හි මෙන් n = 4).
පින්තූරය 3
විසඳුමක්. අපි පේළි ගණන මත induction භාවිතා කරමු. ඉතින් ඉඩ දෙන්නපී - අපගේ ගුවන් යානය කොටස් වලට බෙදන රේඛා ගණන, n > 1.
induction පදනම. එක කෙලින් නම්(පී = 1), එවිට එය ගුවන් යානය අර්ධ තල දෙකකට බෙදයි, ඉන් එකක් සුදු සහ අනෙක් කළු පැහැයෙන් වර්ණාලේප කළ හැකි අතර ගැටලුවේ ප්රකාශය සත්ය වේ.
induction පියවර. ප්රේරක පියවරේ සාධනය වඩාත් පැහැදිලි කිරීමට, එක් නව රේඛාවක් එකතු කිරීමේ ක්රියාවලිය සලකා බලන්න. අපි දෙවන පේළිය අඳින්නෙමු නම්(පී= 2), එවිට අපි එකම වර්ණයෙන් ප්රතිවිරුද්ධ කොන් තීන්ත ආලේප කිරීමෙන් අපේක්ෂිත ආකාරයෙන් වර්ණ ගැන්විය හැකි කොටස් හතරක් ලබා ගනිමු. අපි බලමු තුන්වෙනි සරල රේඛාව ඇන්දොත් මොකද වෙන්නේ කියලා. එය "පැරණි" කොටස් සමහරක් බෙදනු ඇත, මායිමේ නව කොටස් දිස්වනු ඇත, දෙපසම වර්ණය සමාන වේ (රූපය 4).
සහල්. හතර
අපි පහත පරිදි ඉදිරියට යමු:එක පැත්තක්නව සරල රේඛාවෙන් අපි වර්ණ වෙනස් කරන්නෙමු - අපි සුදු කළු සහ අනෙක් අතට; ඒ සමගම, මෙම සරල රේඛාවේ අනෙක් පැත්තේ ඇති එම කොටස් නැවත පින්තාරු නොකෙරේ (රූපය 5). එවිට මෙම නව වර්ණ ගැන්වීම අවශ්ය අවශ්යතා සපුරාලනු ඇත: එක් අතකින්, සරල රේඛාව දැනටමත් ප්රත්යාවර්ත විය (නමුත් විවිධ වර්ණ සමඟ), සහ අනෙක් අතට, එය අවශ්ය විය. අඳින ලද රේඛාවට අයත් පොදු මායිමක් ඇති කොටස් විවිධ වර්ණවලින් පින්තාරු කිරීම සඳහා, අපි මෙම ඇඳ ඇති රේඛාවේ එක් පැත්තක පමණක් කොටස් නැවත පින්තාරු කළෙමු.
Fig.5
අපි දැන් ප්රේරක පියවර ඔප්පු කරමු. සමහරුන්ට එහෙම හිතමුn = kගැටලුවේ ප්රකාශය වලංගු වේ, එනම් තලයේ සියලුම කොටස් මේවායින් බෙදා ඇතවෙතකෙලින්ම, ඔබට සුදු සහ කළු වර්ණවලින් පින්තාරු කළ හැකි අතර එමඟින් අසල්වැසි කොටස් විවිධ වර්ණවලින් යුක්ත වේ. එවැනි වර්ණ ගැන්වීමක් පවතින බව අපි ඔප්පු කරමුපී= වෙත+ 1 කෙළින්ම. සරල රේඛා දෙකක සිට තුන දක්වා සංක්රමණය වන අවස්ථාවට සමානව අපි ඉදිරියට යමු. ගුවන් යානයේ වියදම් කරමුවෙතසෘජු. එවිට, ප්රේරක උපකල්පනය මගින්, ලැබෙන "සිතියම" අපේක්ෂිත ආකාරයෙන් වර්ණ ගැන්විය හැක. දැන් වියදම් කරමු(වෙත+ 1) -වන සරල රේඛාව සහ එහි එක් පැත්තක අපි ප්රතිවිරුද්ධ ඒවාට වර්ණ වෙනස් කරමු. ඉතින් දැන්(වෙත+ 1) -වන සරල රේඛාව සෑම තැනකම විවිධ වර්ණවල කොටස් වෙන් කරන අතර, "පැරණි" කොටස්, අප දැනටමත් දැක ඇති පරිදි, නිවැරදිව වර්ණවත්ව පවතී. ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය අනුව, ගැටළුව විසඳා ඇත.
කාර්යයක්16. කාන්තාරයේ අද්දර විශාල පෙට්රල් සැපයුමක් සහ සම්පූර්ණ ඉන්ධන පිරවුම්හලක් සහිතව කිලෝමීටර් 50 ක් ගමන් කළ හැකි මෝටර් රථයක් ඇත. අසීමිත ප්‍රමාණවලින්, ඔබට මෝටර් රථයේ ගෑස් ටැංකියෙන් පෙට්රල් ඉවතට ගෙන කාන්තාරයේ ඕනෑම තැනක ගබඩා කිරීම සඳහා තැබිය හැකි කැනිස්ටර් තිබේ. මෝටර් රථයට කිලෝමීටර 50 ට වඩා වැඩි ඕනෑම නිඛිල දුරක් ගමන් කළ හැකි බව ඔප්පු කරන්න. පෙට්රල් කෑන් රැගෙන යාමට අවසර නැත, හිස් කෑන් ඕනෑම ප්‍රමාණයකින් ගෙන යා හැකිය.
විසඳුමක්.එය induction on මගින් ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරමුපී,මෝටර් රථය ධාවනය කළ හැකි බවපීකාන්තාරයේ කෙළවරේ සිට කි.මී. හිදීපී= 50 දන්නවා. ප්රේරණය කිරීමේ පියවර ක්රියාත්මක කිරීමට සහ එහි යන්නේ කෙසේද යන්න පැහැදිලි කිරීමට එය ඉතිරිව ඇතn = k+ 1 කි.මීn = kකිලෝමීටර් ධාවනය කළ හැකිය.
කෙසේ වෙතත්, මෙහිදී අපට දුෂ්කරතාවයක් ඇති වේ: අප සමත් වූ පසුවෙතකිලෝමීටර්, ආපසු ගමන සඳහා පෙට්රල් පවා ප්‍රමාණවත් නොවනු ඇත (ගබඩාව ගැන සඳහන් නොකරන්න). මෙම අවස්ථාවේ දී, පිටතට යන මාර්ගය වන්නේ ඔප්පු වී ඇති ප්රකාශය ශක්තිමත් කිරීමයි (නිපදවුම්කරුගේ විරුද්ධාභාසය). රිය පැදවීමට පමණක් නොව හැකි බව අපි ඔප්පු කරමුපීකිලෝමීටර්, නමුත් දුරස්ථ ස්ථානයක අත්තනෝමතික ලෙස විශාල පෙට්රල් සැපයුමක් සිදු කිරීමටපීකාන්තාරයේ අද්දර සිට කි.මී., ගමනාගමනය අවසන් වීමෙන් පසු මේ ස්ථානයේ සිටීම.
induction පදනම.කිලෝමීටරයක ගමනක් සම්පූර්ණ කිරීමට අවශ්ය පෙට්රල් ප්‍රමාණය පෙට්රල් ඒකකයක් වේවා. එවිට කිලෝමීටර් 1ක ගුවන් ගමනකට සහ ආපසු යාමට පෙට්රල් ඒකක දෙකක් අවශ්ය වේ, එබැවින් අපට පෙට්රල් ඒකක 48ක් දාරයේ සිට කිලෝමීටරයක ගබඩාවේ තබා වැඩි ප්‍රමාණයකට ආපසු යා හැක. මේ අනුව, ගබඩාවට චාරිකා කිහිපයක් සඳහා, අපට අවශ්ය වන අත්තනෝමතික ප්රමාණයේ තොගයක් සාදා ගත හැකිය. ඒ සමගම, කොටස් ඒකක 48 ක් නිර්මාණය කිරීම සඳහා, අපි පෙට්රල් ඒකක 50 ක් වැය කරමු.
induction පියවර.අපි හිතමු දුරින් කියලාපී= වෙතකාන්තාරයේ කෙළවරේ සිට ඔබට ඕනෑම පෙට්රල් ප්‍රමාණයක් ගබඩා කළ හැකිය. එවිට දුරින් ගබඩාවක් සෑදිය හැකි බව ඔප්පු කරමුn = k+ 1 කි.මී. ඕනෑම කලින් තීරණය කළ පෙට්රල් සැපයුමක් සමඟ ප්රවාහනය අවසානයේ මෙම ගබඩාවේ සිටින්න. මොකද ඒ අවස්ථාවේපී= වෙතඅසීමිත පෙට්රල් සැපයුමක් ඇත, එවිට (ප්රේරක පදනමට අනුව) අපට සංචාර කිහිපයකින් එම ස්ථානයට යා හැකිය.n = k+ 1 කරුණක් කිරීමටපී= වෙතඔබට අවශ්ය ඕනෑම ප්රමාණයක 4- 1 තොගයක්.
ගැටලුවේ තත්වයට වඩා සාමාන්ය ප්‍රකාශයක සත්යය දැන් ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයෙන් අනුගමනය කරයි.
නිගමනය
විශේෂයෙන්, ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය අධ්යයනය කිරීමෙන්, මම මෙම ගණිත ක්ෂේත්රය පිළිබඳ මගේ දැනුම වැඩි දියුණු කළ අතර, මීට පෙර මගේ බලයෙන් ඔබ්බට ගිය ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගත්තෙමි.
මූලික වශයෙන්, මේවා තාර්කික හා විනෝදාත්මක කාර්යයන් විය, i.e. විද්‍යාවක් ලෙස ගණිතය ගැන උනන්දුව වැඩි කරන ඒවා පමණි. එවැනි ගැටළු විසඳීම විනෝදාත්මක ක්‍රියාකාරකමක් බවට පත්වන අතර වැඩි වැඩියෙන් ගවේෂණශීලී පුද්ගලයින් ගණිතමය ලිබ්රින්ත් වෙත ආකර්ෂණය කර ගත හැකිය. මගේ මතය අනුව, ඕනෑම විද්යාවක පදනම මෙයයි.
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය දිගටම අධ්යයනය කරමින්, එය ගණිතයේ පමණක් නොව, භෞතික විද්‍යාවේ, රසායන විද්‍යාවේ සහ ජීවිතයේම ගැටලු විසඳීමේදී එය යෙදිය යුතු ආකාරය ඉගෙන ගැනීමට මම උත්සාහ කරමි.
සාහිත්යය
1.Vulenkin INDUCTION. සංයෝජන. ගුරුවරුන් සඳහා අත්පොත. එම්., බුද්ධත්වය,
1976.-48 පි.
2. Golovina L.I., Yaglom I.M. ජ්යාමිතිය තුළ ප්රේරණය. - එම්.: ගොසුඩ්. ප්රකාශකයා දැල්වීය. - 1956 - S.I00. විශ්ව විද්‍යාල සඳහා අයදුම්කරුවන් සඳහා ගණිතය පිළිබඳ අත්පොතක් / එඩ්. යාකොව්ලෙවා ජී.එන්. විද්යාව. -1981. - පී.47-51.
3. Golovina L.I., Yaglom IM. ජ්යාමිතිය තුළ ප්රේරණය. -
M .: Nauka, 1961. - (ගණිතය පිළිබඳ ජනප්‍රිය දේශන.)
4. I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. පෙළපොත / "බුද්ධත්වය" 1975.
5.ආර්. Courant, G Robbins "ගණිතය යනු කුමක්ද?" 1 වන පරිච්ඡේදය, § 2
6. Popa D. ගණිතය සහ පිළිගත හැකි තර්කනය. - එම්: Nauka, 1975.
7. Popa D. ගණිතමය සොයා ගැනීම. - එම්.: Nauka, 1976.
8. රුබානොව් අයි.එස්. ගණිතමය ප්රේරණය / ගණිත පාසලේ ක්රමය උගන්වන ආකාරය. - Nl. - 1996. - S.14-20.
9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය මත. - M .: Nauka, 1977. - (ගණිතය පිළිබඳ ජනප්‍රිය දේශන.)
10. සොලොමින්ස්කි අයි.එස්. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය. - එම්.: විද්යාව.
63 ක්.
11. Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. ගණිතමය ප්රේරණය මත. - එම්.: විද්යාව. - 1967. - S.7-59.
12.http://w.wikiredia.org/wiki
13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html
Saratov කලාපයේ අධ්යාපන අමාත්යාංශය
Saratov රාජ්ය සමාජ-ආර්ථික විශ්ව විද්යාලය
පාසල් ළමුන්ගේ ගණිතමය හා පරිගණක වැඩවල කලාපීය තරඟය
"අනාගතයේ දෛශිකය - 2007"
«ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
වීජීය ගැටළු විසඳීම සඳහා එහි යෙදුම"
("ගණිතය" කොටස)
නිර්මාණාත්මක වැඩ
10 "A" පන්තියේ සිසුන්
අවබෝධතා ගිවිසුම "ජිම්නාසියම් අංක 1"
සරතොව්හි ඔක්ටියාබර්ස්කි දිස්ත්‍රික්කය
Harutyunyan Gayane.
වැඩ කළමනාකරු:
ගණිත ගුරුවරයා
Grishina Irina Vladimirovna
සරතොව්
2007
හැඳින්වීම ………………………………………………………………………………………………………………
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය සහ එහි
සාක්ෂි …………………………………………………………………………………….4
ගැටළු නිරාකරණය සඳහා උදාහරණ …………………………………………………………………… 9
නිගමනය ………………………………………………………………………………………….16
සාහිත්යය ………………………………………………………………………………………… 17
හැදින්වීම.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය ප්රගතිය සමඟ සැසඳිය හැක. අපි පහළම තැනින් පටන් ගනිමු, තාර්කික චින්තනයේ ප්රතිඵලයක් ලෙස අපි ඉහළම තැනට පැමිණෙමු. මිනිසා සැමවිටම ප්රගතිය සඳහා උත්සාහ කර ඇත, ඔහුගේ චින්තනය තාර්කිකව වර්ධනය කර ගැනීමේ හැකියාව සඳහා, එයින් අදහස් කරන්නේ ස්වභාවධර්මය විසින්ම ඔහුට ප්රේරක ලෙස සිතීමට සහ තර්කයේ සියලුම නීතිරීතිවලට අනුව සිදු කරන ලද සාක්ෂි සමඟ ඔහුගේ චින්තනය ශක්තිමත් කිරීමට නියම කර ඇති බවයි.
වර්තමානයේ, ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ යෙදීමේ ක්ෂේත්රය වර්ධනය වී ඇත, නමුත්, අවාසනාවකට මෙන්, පාසල් විෂයමාලාව තුළ ඒ සඳහා සුළු කාලයක් කැප කර ඇත. නමුත් මෙය ඉතා වැදගත් වේ - ප්රේරක ලෙස සිතීමට හැකි වීම.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය සහ එහි සාධනය
අපි ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ සාරය වෙත හැරෙමු. අපි විවිධ ප්රකාශ සලකා බලමු. ඒවා සාමාන්ය සහ විශේෂිත ලෙස බෙදිය හැකිය, අපි සාමාන්ය ප්රකාශ සඳහා උදාහරණ දෙමු.
සියලුම රුසියානු පුරවැසියන්ට අධ්‍යාපනය ලැබීමේ අයිතිය ඇත.
ඕනෑම සමාන්තර චලිතයක, ඡේදනය වන ස්ථානයේ ඇති විකර්ණ දෙකට බෙදී ඇත.
බිංදුවෙන් අවසන් වන සියලුම සංඛ්යා 5න් බෙදිය හැකිය.
පුද්ගලික ප්රකාශ සඳහා අදාළ උදාහරණ:
පෙට්‍රොව්ට අධ්‍යාපනය ලැබීමේ අයිතිය ඇත.
සමාන්තර චලිත ABCD හි, ඡේදනය වන ස්ථානයේ ඇති විකර්ණ දෙකට බෙදී ඇත.
140 5න් බෙදිය හැකිය.
සාමාන්ය ප්‍රකාශවල සිට විශේෂිත ඒවාට සංක්රමණය වීම අඩු කිරීම ලෙස හැඳින්වේ (ලතින් භාෂාවෙන් අඩු කිරීම - තර්කයේ නීතිවලට අනුව නිගමනය).
අඩු කිරීමේ අනුමානය පිළිබඳ උදාහරණයක් සලකා බලන්න.
සියලුම රුසියානු පුරවැසියන්ට අධ්‍යාපනය ලැබීමේ අයිතිය ඇත. (එක)
පෙට්‍රොව් රුසියාවේ පුරවැසියෙකි. (2)
පෙට්‍රොව්ට අධ්‍යාපනය ලැබීමේ අයිතිය ඇත. (3)
සාමාන්ය ප්‍රකාශයෙන් (1) (2) විශේෂ ප්රකාශය (3) ආධාරයෙන් ලබා ගනී.
විශේෂිත ප්‍රකාශවල සිට සාමාන්ය ප්රකාශ දක්වා ප්‍රතිලෝම සංක්‍රාන්තිය ප්රේරණය ලෙස හැඳින්වේ (ලතින් භාෂාවෙන් ප්රේරණය - මග පෙන්වීම).
ප්රේරණය නිවැරදි හා වැරදි නිගමන වලට තුඩු දිය හැක.
අපි උදාහරණ දෙකකින් මෙය පැහැදිලි කරමු.
140 5න් බෙදිය හැකිය. (1)
බිංදුවෙන් අවසන් වන සියලුම සංඛ්යා 5න් බෙදිය හැකිය. (2)
140 5න් බෙදිය හැකිය. (1)
සියලුම ඉලක්කම් තුනේ අංක 5 න් බෙදිය හැකිය. (2)
විශේෂිත ප්‍රකාශයෙන් (1) සාමාන්ය ප්රකාශය (2) ලබා ගනී. ප්රකාශය (2) සත්ය වේ.
දෙවන උදාහරණයෙන් දැක්වෙන්නේ යම් ප්‍රකාශයකින් (1) සාමාන්ය ප්රකාශයක් (3) ලබාගත හැකි ආකාරයයි, එපමනක් නොව, ප්රකාශය (3) සත්ය නොවේ.
නිවැරදි නිගමන පමණක් ලබා ගැනීම සඳහා ගණිතයේ ප්රේරණය භාවිතා කරන්නේ කෙසේද යන ප්රශ්නය අපි අපෙන්ම අසා ගනිමු. ගණිතයේ පිළිගත නොහැකි ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලමු.
උදාහරණ 1.
ලෙනාඩ් ඉයුලර් අවධානය යොමු කළ පහත දැක්වෙන ආකාරයේ Р(x)= x 2 + x + 41 යන වර්ග ත්‍රිපදයක් සලකා බලන්න.
P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9)=131, P(10) = 151.
සෑම අවස්ථාවකදීම ත්‍රිකෝණයේ අගය ප්‍රථමක සංඛ්යාවක් බව අපට පෙනේ. ලබාගත් ප්‍රතිඵල මත පදනම්ව, සලකා බලනු ලබන ත්‍රිපදයට ආදේශ කිරීමේදී x වෙනුවට අපි ප්රකාශ කරමු ඕනෑම සෘණ නොවන නිඛිලයක් සෑම විටම ප්‍රථමක සංඛ්යාවක් ලබා දෙයි.
කෙසේ වෙතත්, නිගමනය විශ්වාසදායක ලෙස සැලකිය නොහැකිය. කාරණය කුමක් ද? කාරණය නම්, තර්කයේ දී, ඕනෑම x ගැන සාමාන්ය ප්රකාශ සිදු කරනු ලබන්නේ මෙම ප්රකාශය x හි සමහර අගයන් සඳහා සත්ය බවට පත් වූ පදනම මත පමණි.
සැබවින් ම, ත්‍රිපද P(x) සමීපව විමසා බැලීමේදී, P(0), P(1), ..., P(39) යන සංඛ්යා ප්‍රාථමික සංඛ්යා වේ, නමුත් P(40) = 41 2 යනු සංයුක්ත සංඛ්‍යාවකි. සහ ඉතා පැහැදිලිව: P(41) = 41 2 +41+41 යනු 41 හි ගුණාකාරයකි.
මෙම උදාහරණයේදී, අපට විශේෂ අවස්ථා 40කදී සත්ය වන සහ පොදුවේ අසාධාරණයක් වූ ප්රකාශයක් හමු විය.
අපි තවත් උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.
උදාහරණ 2
17 වන සියවසේදී V.G. ඕනෑම ස්වාභාවික n සඳහා, n 3 - n ආකෘතියේ සංඛ්යා 3 හි ගුණාකාර වන බවත්, n 5 - n යනු 5 හි ගුණාකාර බවත්, n 7 - n යනු 7 හි ගුණාකාර බවත් ලයිබ්නිස් ඔප්පු කළේය. මෙය මත පදනම්ව, ඕනෑම ඔත්තේ k සඳහා ඔහු යෝජනා කළේය. සහ ස්වභාවික n, අංකය n k - n k හි ගුණාකාරය, නමුත් ඉක්මනින්ම ඔහු විසින්ම දුටුවේ 2 9 -2=510, පැහැදිලිවම 9 න් බෙදිය නොහැකි බවයි.
සලකා බැලූ උදාහරණ අපට වැදගත් නිගමනයකට එළඹීමට ඉඩ සලසයි: ප්රකාශයක් විශේෂ අවස්ථා ගණනාවක සත්ය විය හැකි අතර ඒ සමඟම පොදුවේ අසාධාරණ විය හැකිය.
ප්රශ්නය ස්වභාවිකවම පැන නගී: විශේෂිත අවස්ථා කිහිපයකදීම සත්ය ප්රකාශයක් තිබේ; සියලුම විශේෂ අවස්ථා සලකා බැලිය නොහැක; මෙම ප්රකාශය කිසිසේත්ම සත්ය දැයි ඔබ දන්නේ කෙසේද?
මෙම ප්රශ්නය සමහර විට ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය ලෙස හඳුන්වන විශේෂ තර්ක ක්රමයක් යෙදීමෙන් විසඳිය හැක. මෙම ක්රමය පදනම් වේ ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය, පහත සඳහන් පරිදි නිගමනය කර ඇත: ප්රකාශය ඕනෑම ස්වාභාවික n සඳහා සත්ය වේ නම්:
එය n = 1 සඳහා වලංගු වේ;
සමහර අත්තනෝමතික ස්වභාවික n =k සඳහා ප්රකාශයේ වලංගුභාවය අනුව, එය n = k +1 සඳහා සත්ය බව අනුගමනය කරයි.
සාක්ෂි.
ප්රතිවිරුද්ධ දෙය උපකල්පනය කරන්න, එනම් ප්රකාශය සෑම ස්වභාවික n සඳහාම සත්ය නොවේවා. එවිට m එවැනි ස්වභාවික අංකයක් ඇත
n =m සඳහා වන ප්රකාශය සත්ය නොවේ,
සියල්ල සඳහා n
n =1 (තත්ත්වය 1) සඳහා ප්රකාශය සත්ය වන බැවින් m >1 බව පැහැදිලිය. එබැවින් m -1 යනු ස්වභාවික අංකයකි. ස්වාභාවික අංකයක් සඳහා m -1 ප්රකාශය සත්ය වේ, නමුත් මීළඟ ස්වාභාවික සංඛ්යා m සඳහා එය සත්ය නොවේ. මෙය කොන්දේසියට පටහැනියි 2. ප්රතිඵලය වන ප්රතිවිරෝධතාව උපකල්පනය වැරදි බව පෙන්නුම් කරයි. එබැවින්, ප්රකාශය ඕනෑම ස්වාභාවික n, h.e.d සඳහා සත්ය වේ.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම් වූ සාක්ෂියක් ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මගින් සාධනයක් ලෙස හැඳින්වේ. එවැනි සාක්ෂියක් ස්වාධීන ප්‍රමේය දෙකක සාක්ෂියේ සිට කොටස් දෙකකින් සමන්විත විය යුතුය.
ප්රමේයය 1. ප්රකාශය n =1 සඳහා සත්ය වේ.
ප්රමේයය 2. ප්රකාශය n =k +1 සඳහා සත්ය වන්නේ එය n=k සඳහා සත්ය නම්, k යනු අත්තනෝමතික ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් වේ.
මෙම ප්‍රමේය දෙකම ඔප්පු කර ඇත්නම්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව, ප්රකාශය ඕනෑම දෙයකට සත්ය වේ.
ස්වභාවික n.
ගණිතමය ප්රේරණය මගින් ඔප්පු කිරීම සඳහා නියත වශයෙන්ම 1 සහ 2 යන ප්‍රමේය දෙකෙහිම සාධනය අවශ්ය බව අවධාරණය කළ යුතුය. ප්රමේයය 2 නොසලකා හැරීම වැරදි නිගමනවලට තුඩු දෙයි (උදාහරණ 1-2). ප්රමේයය 1 හි සාධනය කෙතරම් අවශ්ය දැයි අපි උදාහරණයකින් පෙන්වමු.
උදාහරණය 3. "ප්රමේයය": සෑම ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක්ම එය අනුගමනය කරන ස්වභාවික සංඛ්‍යාවට සමාන වේ.
සාධනය සිදු කරනු ලබන්නේ ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය මගිනි.
k =k +1 (1) යැයි සිතමු.
අපි k +1=k +2 (2) බව ඔප්පු කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, "සමානාත්මතාවය" (1) හි එක් එක් කොටසට 1 එකතු කරන්න. අපි "සමානාත්මතාවය" (2) ලබා ගනිමු. ප්රකාශය n =k සඳහා සත්ය නම්, එය n =k +1., ආදිය සඳහා ද සත්ය බව පෙනේ.
"ප්රමේයය" වෙතින් පැහැදිලි "ප්රතිවිපාකයක්": සියලු ස්වභාවික සංඛ්යා සමාන වේ.
දෝෂය පවතින්නේ ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය යෙදීම සඳහා අවශ්ය වන ප්රමේයය 1 ඔප්පු කර නොමැති අතර එය සත්ය නොවන නමුත් දෙවන ප්රමේයය පමණක් ඔප්පු කර ඇත.
න්‍යායන් 1 සහ 2 විශේෂ වැදගත්කමක් දරයි.
න්‍යාය 1 ප්රේරණය සඳහා පදනම නිර්මාණය කරයි. ප්රමේයය 2 මෙම පාදයේ අසීමිත ස්වයංක්‍රීය ප්‍රසාරණයට අයිතිය ලබා දෙයි, මෙම විශේෂිත අවස්ථාවෙන් ඊළඟට, n සිට n + 1 දක්වා ගමන් කිරීමේ අයිතිය.
ප්රමේයය 1 ඔප්පු කර නොමැති නමුත් ප්රමේයය 2 ඔප්පු කර ඇත්නම්, එබැවින්, ප්රේරණය සඳහා පදනම නිර්මාණය කර නොමැති අතර, ප්රමේයය 2 යෙදීම තේරුමක් නැත, මන්ද ඇත්ත වශයෙන්ම පුළුල් කිරීමට කිසිවක් නොමැති බැවිනි.
ප්රමේයය 2 ඔප්පු කර නොමැති නම් සහ ප්රමේයය 1 පමණක් ඔප්පු කර ඇත්නම්, ප්රේරණය පැවැත්වීම සඳහා පදනම නිර්මාණය කර ඇතත්, මෙම පදනම පුළුල් කිරීමේ අයිතිය නොමැත.
අදහස්.
සමහර විට සාධනයේ දෙවන කොටස n =k සඳහා පමණක් නොව, n =k -1 සඳහා ද ප්රකාශයේ වලංගුභාවය මත පදනම් වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පළමු කොටසෙහි ප්රකාශය n හි ඊළඟ අගයන් දෙක සඳහා පරීක්ෂා කළ යුතුය.
සමහර විට ප්රකාශය ඔප්පු වන්නේ කිසියම් ස්වාභාවික n සඳහා නොව, m යනු යම් නිඛිලයක් වන n > m සඳහා ය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සාක්ෂියේ පළමු කොටසෙහි, ප්රකාශය n =m +1 සඳහා සත්‍යාපනය කරනු ලැබේ, සහ අවශ්ය නම්, n හි පසුකාලීන අගයන් කිහිපයක් සඳහා.
පවසා ඇති දේ සාරාංශගත කරමින්, අපට ඇත්තේ: ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය සාමාන්ය නීතියක් සෙවීමේදී, මෙම නඩුවේ පැන නගින උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීමට, ව්‍යාජ ඒවා ඉවත දැමීමට සහ සත්ය ඒවා ප්රකාශ කිරීමට ඉඩ සලසයි.
ආනුභවික, පර්යේෂණාත්මක විද්‍යාවන් සඳහා පුද්ගල නිරීක්ෂණ සහ අත්හදා බැලීම්වල (එනම් ප්රේරණය) ප්‍රතිඵල සාමාන්‍යකරණය කිරීමේ ක්‍රියාවලීන්හි කාර්යභාරය සෑම දෙනාම දනී. අනෙක් අතට, ගණිතය දිගු කලක් තිස්සේ තනිකරම අඩු කිරීමේ ක්රම ක්රියාත්මක කිරීමේ සම්භාව්‍ය උදාහරණයක් ලෙස සලකනු ලැබේ, මන්ද එය සෑම විටම පැහැදිලිව හෝ ව්‍යංගයෙන් සියලුම ගණිතමය ප්‍රස්තුත (ආරම්භක ඒවා ලෙස පිළිගත් ඒවා - ප්‍රත්‍යක්ෂ හැර) ඔප්පු කර ඇති බව සහ විශේෂිත යෙදුම් මෙම ප්‍රස්තුතයන් සාමාන්ය අවස්ථා (අඩු කිරීම) සඳහා සුදුසු සාක්ෂි වලින් ව්‍යුත්පන්න කර ඇත.
ගණිතයේ ප්රේරණය යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? එය තරමක් විශ්වාසදායක නොවන ක්රමයක් ලෙස තේරුම් ගත යුතු අතර, එවැනි ප්රේරක ක්‍රමවල විශ්වසනීයත්වය සඳහා නිර්ණායකයක් සොයන්නේ කෙසේද? එසේත් නැතිනම් පර්යේෂණාත්මක විද්‍යාවන්හි පර්යේෂණාත්මක සාමාන්‍යකරණයන් හා සමාන ස්වභාවයකින් යුත් ගණිතමය නිගමනවල නිශ්චිතභාවය, එනම් ඔප්පු කර ඇති ඕනෑම කරුණක් “සත්‍යාපනය” කිරීම නරක නැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය එසේ නොවේ.
කල්පිතයක් මත ප්රේරණය (මඟපෙන්වීම) ගණිතයේ ඉතා වැදගත් නමුත් තනිකරම හූරිස්ටික් භූමිකාවක් ඉටු කරයි: විසඳුම කුමක් විය යුතුද යන්න අනුමාන කිරීමට කෙනෙකුට ඉඩ සලසයි. නමුත් ගණිතමය ප්‍රස්තුත ස්ථාපිත කර ඇත්තේ අඩුකිරීමෙන් පමණි. තවද ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය සාධනය කිරීමේ තනිකරම අඩු කිරීමේ ක්‍රමයකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම ක්රමය මගින් සිදු කරන ලද සාක්ෂිය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ:
ඊනියා "පදනම" - එක් (හෝ කිහිපයක්) ස්වභාවික සංඛ්යා සඳහා අපේක්ෂිත වාක්යයේ අඩු කිරීමේ සාක්ෂියක්;
සාමාන්ය ප්‍රකාශයක අඩු කිරීමේ සාක්ෂියකින් සමන්විත ප්රේරක පියවරකි. සියලුම ස්වාභාවික සංඛ්යා සඳහා ප්රමේයය නිශ්චිතවම ඔප්පු කර ඇත. ඔප්පු කරන ලද පදනමෙන්, උදාහරණයක් ලෙස, අංක 0 සඳහා, අපට ප්රේරක පියවරෙන්, අංක 1 සඳහා සාධනය ලැබේ, පසුව 2 සඳහා එකම ආකාරයකින්, 3 සඳහා ... - එබැවින් ප්රකාශය සාධාරණීකරණය කළ හැකිය. ඕනෑම ස්වභාවික අංකයක්.
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, "ගණිතමය ප්රේරණය" යන නමට හේතු වී ඇත්තේ මෙම ක්රමය අපගේ මනසෙහි සාම්ප්‍රදායික ප්රේරක තර්කනය සමඟ සරලව සම්බන්ධ වී ඇති බැවිනි (සියල්ලට පසු, පදනම ඇත්ත වශයෙන්ම ඔප්පු වන්නේ විශේෂිත අවස්ථාවක් සඳහා පමණි); ප්රේරක පියවර, ස්වාභාවික හා සමාජ විද්‍යාවන්හි අත්දැකීම් මත පදනම් වූ ප්රේරක තර්කනයේ විශ්වාසනීය නිර්ණායකවලට ප්‍රතිවිරුද්ධව, කිසිදු විශේෂිත පදනමක් අවශ්ය නොවන සාමාන්ය ප්රකාශයක් වන අතර අඩු කිරීමේ තර්කනයේ දැඩි නීති රීති අනුව ඔප්පු වේ. එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණය "සම්පූර්ණ" හෝ "පරිපූර්ණ" ලෙස හැඳින්වේ, එය අඩු කරන, සම්පූර්ණයෙන්ම විශ්වාසදායක සාධන ක්රමයක් වන බැවිනි.
ගැටළු විසඳුම් සඳහා උදාහරණ
වීජ ගණිතයේ ප්රේරණය
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතයෙන් විසඳිය හැකි විවිධ අසමානතා පිළිබඳ සාක්ෂි මෙන්ම වීජීය ගැටලු පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලන්න.
කාර්යය 1. එකතුව සඳහා සූත්රය අනුමාන කර එය ඔප්පු කරන්න.
නමුත්( n )= 2 1 2 + 3 2 2 + .....+(n +1) n 2 .
විසඳුමක්.
1. එකතුව А(n) සඳහා ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:
A(n)= 2 1 2 + 3 2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + .... + (n+1) n 2 = =1 1 2 + 2 2 2 + …+n n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), මෙහි B(n) = 1 3 + 2 3 + .....+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .
2. C (n) සහ B (n) එකතුව සලකා බලන්න.
අ) C( n) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමයේ නිතර මුහුණ දෙන ගැටලුවලින් එකක් නම් ඕනෑම ස්වාභාවික n සඳහා සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීමයි.
1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)
(1) සියලු n සඳහා සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න එන්.
බී ) B(n) = 1 3 + 2 3 + .....+ n 3 . n මත පදනම්ව B (n) හි අගයන් වෙනස් වන ආකාරය නිරීක්ෂණය කරමු.
B(1) = 1 3 = 1 .
B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2
B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 = 
මේ අනුව, එය උපකල්පනය කළ හැකිය
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 = 
(2)
ඇ) ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, А(n) එකතුව සඳහා අපට ලැබේ
නමුත්( n) ==
= (*)
3. ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මගින් ලබාගත් සූත්රය (*) ඔප්පු කරමු.
a) n = 1 සඳහා සමානාත්මතාවය (*) පරීක්ෂා කරන්න.
A(1) = 2
=2,
පැහැදිලිවම, සූත්රය (*) n = 1 සඳහා සත්ය වේ.
b) n=k සඳහා (*) සූත්රය සත්ය යැයි සිතමු, එහිදී k N, එනම් සමානාත්මතාවය
A(k)= 
උපකල්පනය මත පදනම්ව, අපි n =k +1 සඳහා සූත්‍රයේ වලංගුභාවය ඔප්පු කරන්නෙමු. ඇත්තටම,
A(k+1)=
(*) සූත්රය n =1 සඳහා සත්ය වන අතර, සමහර ස්වාභාවික k සඳහා එය සත්ය වේ යැයි උපකල්පනය කිරීමෙන්, එය n =k +1 සඳහා සත්ය බව අනුගමනය කරයි, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව අපි නිගමනය කරන්නේ සමානාත්මතාවය
ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා දරයි.
කාර්යය 2.
එකතුව 1-2 + 3-4 +...(-1) n -1 n ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්.
අපි n හි විවිධ අගයන් සඳහා ඓක්‍යවල අගයන් අනුපිළිවෙලින් ලියා තබමු.
A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,
A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.
රටාව නිරීක්ෂණය කිරීමෙන්, අපට උපකල්පනය කළ හැක්කේ A (n)= - n සහ A (n)= සඳහා 
ඔත්තේ n සඳහා. ප්‍රතිඵල දෙකම තනි සූත්‍රයකට ඒකාබද්ධ කරමු:
A(n) = 
, මෙහි r යනු n 2න් බෙදීමේ ඉතිරියයි.
හා ආර් , පහත දැක්වෙන රීතිය මගින් පැහැදිලිවම තීරණය වේ
0 නම් n යනු ඉරට්ටේ,
r=
1 නම් n ඔත්තේ ය.
ඉන්පසු ආර්(අනුමාන කළ හැක) ලෙස දැක්විය හැක: 
අවසාන වශයෙන් අපට A (n) සඳහා සූත්රය ලැබේ:
A(n)=
(*)
අපි සියලු n සඳහා සමානාත්මතාවය (*) ඔප්පු කරමු එන් ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
2. a) n =1 සඳහා සමානාත්මතාවය (*) පරීක්ෂා කරන්න. A(1) = 1= 
සමානාත්මතාවය සාධාරණයි
ආ) සමානාත්මතාවය යැයි සිතමු
1-2+3-4+…+(-1) n-1 n= 
දී ඇත්ත n=k. එය n =k + 1 සඳහා ද වලංගු බව ඔප්පු කරමු, i.e.
A(k+1)= 
ඇත්ත වශයෙන්ම,
A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) = 
=
Q.E.D.
බෙදුම් ගැටළු විසඳීම සඳහා ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය ද භාවිතා වේ.
කාර්යය 3.
ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා N (n)=n 3 + 5n අංකය 6 න් බෙදිය හැකි බව ඔප්පු කරන්න.
සාක්ෂි.
හිදී n =1 අංකය N (1)=6 වන අතර එම නිසා ප්රකාශය සත්ය වේ.
N (k )=k 3 +5k සමහර ස්වභාවික k සඳහා 6 න් බෙදිය හැකි ය. අපි ඔප්පු කරමු N (k +1)= (k +1) 3 + 5 (k +1) 6 න් බෙදිය හැකි බව. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට තිබේ
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.
මන්දයත් k සහ k +1 යාබද ස්වාභාවික සංඛ්යා වේ, එවිට ඒවායින් එකක් අනිවාර්යයෙන්ම ඉරට්ටේ වේ, එබැවින් 3k (k +1) ප්රකාශනය 6 න් බෙදිය හැකිය. මේ අනුව, අපට ලැබෙන්නේ N (k +1) ද 6 න් බෙදිය හැකි බවයි. අංකය N (n)=n 3 + 5n ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා 6 න් බෙදිය හැකිය.
සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය කිහිප වතාවක් යෙදිය යුතු විට, වඩාත් සංකීර්ණ බෙදීම් ගැටලුවක විසඳුම සලකා බලන්න.
කාර්යය 4.
ඕනෑම ස්වභාවික n අංකයක් සඳහා බව ඔප්පු කරන්න 
2 n +3 න් බෙදිය නොහැක.
සාක්ෂි.
සිතා බලන්න කෘතියක ස්වරූපයෙන් =
= (*)
උපකල්පනය අනුව, (*) හි පළමු සාධකය 2 k +3 අංකයෙන් ඒකාකාරව බෙදිය නොහැක, එනම් සංයුක්ත සංඛ්යාවක් නිරූපණය කිරීමේදී 
ප්‍රථමික සංඛ්‍යාවල ගුණිතයක ආකාරයෙන්, අංක 2 (k + 2) වාරයකට වඩා පුනරාවර්තනය නොවේ. ඒ නිසා අංකය ඔප්පු කිරීමට 
2 k +4 න් බෙදිය නොහැක, අපි එය ඔප්පු කළ යුතුය 
4 න් බෙදිය නොහැක.
මෙම ප්රකාශය සනාථ කිරීම සඳහා, අපි සහායක ප්රකාශයක් ඔප්පු කරමු: ඕනෑම ස්වාභාවික n සඳහා, අංක 3 2 n +1 4 න් බෙදිය නොහැක. n =1 සඳහා, ප්රකාශය පැහැදිලිය, මන්ද 10 ඉතිරියක් නොමැතිව 4 න් බෙදිය නොහැකි බැවිනි. 3 2 k +1 4 න් බෙදිය නොහැකි යැයි උපකල්පනය කරමින්, 3 2 (k +1) +1 ද බෙදිය නොහැකි බව අපි ඔප්පු කරමු
4 මගින්. අවසාන ප්රකාශනය එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කරමු:
3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . එකතුවේ දෙවන පදය 4න් බෙදිය හැකි නමුත් පළමුවැන්න බෙදිය නොහැක. එබැවින් සම්පූර්ණ එකතුව ඉතිරියක් නොමැතිව 4 න් බෙදිය නොහැක. සහායක ප්රකාශය ඔප්පු කර ඇත.
දැන් ඒක පැහැදිලියි 2k ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් නිසා 4න් බෙදිය නොහැක.
අවසාන වශයෙන්, අපි එම අංකය ලබා ගනිමු 
ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා 2 n +3 න් ඒකාකාරව බෙදිය නොහැක.
අසමානතා සනාථ කිරීම සඳහා ප්රේරණය යෙදීමේ උදාහරණයක් දැන් සලකා බලන්න.
කාර්යය 5.
අසමානතාවය 2 n > 2n + 1 සත්ය වන්නේ කුමන ස්වභාවික n සඳහාද?
විසඳුමක්.
1. කවදාද n=1 2 1< 2*1+1,
හිදී n=2 2 2< 2*2+1,
හිදී n =3 2 3 > 2*3+1,
හිදී n =4 2 4 > 2*4+1.
පෙනෙන විදිහට, අසමානතාවය ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා වලංගු වේ 3. අපි මෙම ප්රකාශය ඔප්පු කරමු.
2. කවදාද n =3 අසමානතාවයේ වලංගුභාවය දැනටමත් පෙන්වා ඇත. දැන් අසමානතාවය n =k සඳහා වලංගු වේ, මෙහි k යනු 3 ට නොඅඩු ස්වභාවික සංඛ්යාවක් වේ, i.e.
2 k > 2k+1 (*)
එවිට අසමානතාවය n =k +1, එනම් 2 k +1 >2(k +1)+1 සඳහා ද වලංගු බව ඔප්පු කරමු. (*) 2 න් ගුණ කරන්න, අපට 2 k +1 >4k +2 ලැබේ. 2(k +1)+1 සහ 4k +2 යන ප්‍රකාශන සංසන්දනය කරමු.
4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. නිසැකවම, ඕනෑම ස්වභාවික k සඳහා 2k -1>0 . එවිට 4k +2>2(k +1)+1, i.e. 2k+1 >2(k+1)+1. ප්රකාශය ඔප්පු වී ඇත.
කාර්යය 6.
n සෘණ නොවන සංඛ්යා වල අංක ගණිත මධ්‍යන්‍ය සහ ජ්යාමිතික මධ්යන්යය සඳහා අසමානතාවය (Cauchy's inequality)., අපිට ලැබෙනවා =
අවම වශයෙන් අංක වලින් එකක් නම් 
ශුන්‍යයට සමාන වේ, එවිට අසමානතාවය (**) ද වලංගු වේ.
නිගමනය.
කාර්යය සිදු කරන විට, මම ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ සාරය සහ එහි සාක්ෂිය අධ්යයනය කළා. නිවැරදි විසඳුම සඳහා අසම්පූර්ණ ප්රේරණය මගින් වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරන ලද ගැටළු මෙම ලිපියෙන් ඉදිරිපත් කරයි, පසුව ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතයෙන් ලබාගත් සාක්ෂියක් සිදු කරනු ලැබේ.
සාහිත්යය.
Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. මූලික ගණිතයේ දේශන සහ ගැටළු; විද්යාව, 1974.
Vilenkin N.Ya , Shvartsburd S.I. ගණිතමය විශ්ලේෂණය.-
එම්.: අධ්‍යාපනය, 1973.
Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාව පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්යයනය - එම් .: අධ්‍යාපනය, 1990.
Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. වීජ ගණිතය සහ මූලික ශ්‍රිත විශ්ලේෂණය.- M.: Nauka, 1980.
Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. ගණිතමය ප්රේරණය පිළිබඳ - එම්.: Nauka, 1967.
සෑම විටම සැබෑ දැනුම පදනම් වූයේ රටාවක් ස්ථාපිත කිරීම සහ යම් යම් තත්වයන් තුළ එහි සත්‍යතාව ඔප්පු කිරීම මත ය. තාර්කික තර්කයේ පැවැත්මේ මෙතරම් දිගු කාලයක් සඳහා, නීති සම්පාදනය කරන ලද අතර, ඇරිස්ටෝටල් "නිවැරදි තර්ක" ලැයිස්තුවක් පවා සම්පාදනය කළේය. ඓතිහාසික වශයෙන්, සියලු නිගමන වර්ග දෙකකට බෙදීම සිරිතකි - කොන්ක්රීට් සිට බහු වචන (ප්රේරණය) සහ අනෙක් අතට (අඩු කිරීම). විශේෂයෙන් සාමාන්‍යයට සහ සාමාන්‍යයෙන් විශේෂයට සාක්ෂි වර්ග පවතින්නේ අන්තර් සම්බන්ධතාව තුළ පමණක් වන අතර ඒවා එකිනෙකට හුවමාරු කළ නොහැකි බව සටහන් කළ යුතුය.
ගණිතයේ ප්රේරණය
"induction" (induction) යන පදයට ලතින් මූලයන් ඇති අතර වචනාර්ථයෙන් "මාර්ගෝපදේශය" ලෙස පරිවර්තනය වේ. සමීපව අධ්යයනය කිරීමෙන්, කෙනෙකුට වචනයේ ව්‍යුහය වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය, එනම් ලතින් උපසර්ගය - in- (ඇතුළතට යොමු කරන ලද ක්‍රියාවක් හෝ ඇතුළත බව දක්වයි) සහ -duction - හැඳින්වීම. වර්ග දෙකක් ඇති බව සඳහන් කිරීම වටී - සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ ප්රේරණය. සම්පූර්ණ ස්වරූපය යම් පන්තියක සියලුම විෂයයන් අධ්යයනය කිරීමෙන් ලබාගත් නිගමන මගින් සංලක්ෂිත වේ.
අසම්පූර්ණ - නිගමන පන්තියේ සියලුම විෂයයන් සඳහා අදාළ වන නමුත් සමහර ඒකක පමණක් අධ්යයනය කිරීමේ පදනම මත සාදන ලදී.
සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණය යනු මෙම ක්‍රියාකාරී සම්බන්ධතාවය පිළිබඳ දැනුම මත පදනම්ව ස්වාභාවික සංඛ්යා ශ්රේණියේ සම්බන්ධතා මගින් ක්‍රියාකාරීව සම්බන්ධ වන ඕනෑම වස්තුවක සමස්ත පන්තිය පිළිබඳ සාමාන්ය නිගමනයක් මත පදනම් වූ නිගමනයකි. මෙම අවස්ථාවේදී, සාධනය කිරීමේ ක්රියාවලිය අදියර තුනකින් සිදු වේ:
- පළමු අදියරේදී, ගණිතමය ප්රේරණය පිළිබඳ ප්රකාශයේ නිවැරදි බව ඔප්පු වේ. උදාහරණ: f = 1, induction;
- මීළඟ අදියර පදනම් වන්නේ සියලුම ස්වාභාවික සංඛ්යා සඳහා පිහිටීම වලංගු වේ යන උපකල්පනය මතය. එනම්, f=h, මෙය ප්රේරක උපකල්පනයයි;
- තුන්වන අදියරේදී, පෙර ඡේදයේ පිහිටුමේ නිවැරදි බව මත පදනම්ව f=h+1 අංකය සඳහා පිහිටුමේ වලංගුභාවය ඔප්පු වේ - මෙය ප්රේරක සංක්‍රාන්තියක් හෝ ගණිතමය ප්රේරණයේ පියවරකි. උදාහරණයක් ලෙස පේළියේ පළමු අස්ථිය (පදනම) වැටේ නම්, පේළියේ ඇති සියලුම අස්ථි වැටේ නම් (සංක්රමණය) ඊනියා වේ.
විහිළුවට වගේම බරපතළ විදියට
සංජානනයේ පහසුව සඳහා, ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මගින් විසඳුම් සඳහා උදාහරණ විහිළු ගැටළු ස්වරූපයෙන් හෙළා දකී. ආචාරශීලී පෝලිම් කාර්යය මෙයයි:
- හැසිරීමේ නීති රීති මගින් පිරිමියෙකුට කාන්තාවක් ඉදිරිපිට හැරීමක් තහනම් කරයි (එවැනි තත්වයක් තුළ, ඇය ඉදිරියෙන් ඉඩ දෙනු ලැබේ). මෙම ප්රකාශය මත පදනම්ව, පේළියේ අවසාන පුද්ගලයා පිරිමියෙකු නම්, ඉතිරි සියල්ල පිරිමි වේ.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ කැපී පෙනෙන උදාහරණයක් වන්නේ "මාන රහිත පියාසැරිය" ගැටළුවයි:
- කුඩා බස් රථයට ඕනෑම පිරිසක් ගැළපෙන බව ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වේ. එක් පුද්ගලයෙකුට අපහසුවකින් තොරව (පදනම) ප්රවාහනය ඇතුළත සවි කළ හැකි බව සත්යයකි. නමුත් කුඩා බස් රථය කෙතරම් පිරී තිබුණත්, මගීන් 1 ක් සෑම විටම එයට ගැලපේ (induction step).
හුරුපුරුදු කව
ගණිතමය ප්රේරණය මගින් ගැටළු සහ සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ ඉතා සුලභ වේ. මෙම ප්‍රවේශයේ නිදර්ශනයක් ලෙස අපට පහත ගැටලුව සලකා බැලිය හැක.
තත්ත්වය: h කවයන් ගුවන් යානය මත තබා ඇත. රූපවල ඕනෑම සැකැස්මක් සඳහා, ඔවුන් විසින් සාදන ලද සිතියම වර්ණ දෙකකින් නිවැරදිව වර්ණ ගැන්විය හැකි බව ඔප්පු කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්: h=1 සඳහා ප්රකාශයේ සත්යය පැහැදිලිය, එබැවින් සාධනය h+1 කව ගණන සඳහා ගොඩනගනු ඇත.
ඕනෑම සිතියමක් සඳහා ප්රකාශය සත්ය යැයි අපි උපකල්පනය කරමු, සහ ගුවන් යානයේ h + 1 කව ලබා දී ඇත. සම්පූර්ණයෙන් එක් කවයක් ඉවත් කිරීමෙන්, ඔබට වර්ණ දෙකකින් (කළු සහ සුදු) නිවැරදිව වර්ණ ගැන්වූ සිතියමක් ලබා ගත හැකිය.
මකා දැමූ කවයක් ප්රතිෂ්ඨාපනය කරන විට, එක් එක් ප්රදේශයෙහි වර්ණය ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් වේ (මෙම අවස්ථාවේදී, රවුම ඇතුළත). එය ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වූ වර්ණ දෙකකින් නිවැරදිව වර්ණ ගැන්වූ සිතියමක් බවට පත් කරයි.
ස්වාභාවික සංඛ්යා සමඟ උදාහරණ
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ යෙදුම පැහැදිලිව පහත දැක්වේ.
විසඳුම් උදාහරණ:
ඕනෑම h සඳහා සමානාත්මතාවය නිවැරදි බව ඔප්පු කරන්න:
1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.
1. h=1 කරමු, එවිට:
R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1
h=1 සඳහා ප්රකාශය නිවැරදි බව මෙයින් කියවේ.
2. h=d යැයි උපකල්පනය කළහොත් පහත සමීකරණය ලැබේ.
R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1
3. h=d+1 යැයි උපකල්පනය කළහොත්, එය සිදු වන්නේ:
R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6
R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.
මේ අනුව, h=d+1 සඳහා සමානාත්මතාවයේ වලංගු භාවය ඔප්පු වී ඇත, එබැවින් ගණිතමය ප්රේරණය මගින් විසඳුම් උදාහරණයේ දැක්වෙන ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා ප්රකාශය සත්ය වේ.
කාර්යයක්
තත්ත්වය: h හි ඕනෑම අගයක් සඳහා, 7 h -1 ප්රකාශනය ඉතිරියකින් තොරව 6 න් බෙදිය හැකි බවට සාක්ෂි අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්:
1. අපි h=1 කියමු, මෙම අවස්ථාවේදී:
R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (එනම් ඉතිරියක් නොමැතිව 6 න් බෙදීම)
එබැවින්, h=1 සඳහා ප්රකාශය සත්ය වේ;
2. h=d සහ 7 d -1 ඉතිරියක් නොමැතිව 6 න් බෙදිය හැකිය;
3. h=d+1 සඳහා වන ප්රකාශයේ වලංගුභාවය පිළිබඳ සාක්ෂිය සූත්රයයි:
R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6
මෙහිදී, පළමු පදය පළමු ඡේදයේ උපකල්පනයෙන් 6 න් බෙදිය හැකි අතර, දෙවන පදය 6 ට සමාන වේ. ඕනෑම ස්වභාවික h සඳහා ඉතිරියක් නොමැතිව 7 h -1 6 න් බෙදිය හැකි බව ප්රකාශය සත්ය වේ.
විනිශ්චයේ වැරදි
බොහෝ විට, භාවිතා කරන තාර්කික ඉදිකිරීම් වල සාවද්‍ය භාවය හේතුවෙන්, සාක්ෂි වලදී වැරදි තර්ක භාවිතා වේ. මූලික වශයෙන්, මෙය සිදු වන්නේ සාධනයේ ව්‍යුහය සහ තර්කනය උල්ලංඝනය වන විටය. වැරදි තර්කනය සඳහා උදාහරණයක් පහත නිදර්ශනයයි.
කාර්යයක්
තත්ත්වය: ඕනෑම ගල් ගොඩක් ගොඩක් නොවන බවට සාක්ෂියක් අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්:
1. අපි කියමු h=1, මෙම අවස්ථාවේ දී ගොඩේ ගල් 1 ක් ඇති අතර ප්රකාශය සත්ය (පදනම්);
2. h=d සඳහා ගල් ගොඩක් නොවන බව සත්ය වේවා (උපකල්පනය);
3. h=d+1 ට ඉඩ දෙන්න, එයින් කියවෙන්නේ තවත් එක ගලක් එකතු කළ විට එම කට්ටලය ගොඩක් නොවන බවයි. නිගමනය සියලු ස්වභාවික h සඳහා උපකල්පනය වලංගු බව යෝජනා කරයි.
දෝෂය පවතින්නේ ගල් ගොඩවල් කීයක් සෑදී ඇත්ද යන්න පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමක් නොමැති වීමයි. එවැනි අතපසුවීමක් ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්‍රමයේදී ඉක්මන් සාමාන්‍යකරණය ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් මෙය පැහැදිලිව පෙන්වයි.
ප්රේරණය සහ තර්කයේ නීති
ඓතිහාසික වශයෙන්, ඔවුන් සෑම විටම "අත්වැල් බැඳගෙන ගමන් කරයි." තර්කය, දර්ශනය වැනි විද්යාත්මක විෂයයන් ඒවා ප්රතිවිරුද්ධ ස්වරූපයෙන් විස්තර කරයි.
තාර්කික නීතියේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, ප්රේරක නිර්වචන පදනම් වී ඇත්තේ කරුණු මත වන අතර, පරිශ්රයේ සත්‍යතාව ප්‍රතිඵල ප්රකාශයේ නිවැරදි භාවය තීරණය නොකරයි. බොහෝ විට නිගමන ලබා ගන්නේ යම් සම්භාවිතාවක් සහ විශ්වසනීයත්වයක් ඇතිව වන අතර, එය අතිරේක පර්යේෂණ මගින් සත්‍යාපනය කර තහවුරු කළ යුතුය. තර්කනයේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණයක් ප්රකාශය වනු ඇත:
එස්තෝනියාවේ නියඟය, ලැට්වියාවේ නියඟය, ලිතුවේනියාවේ නියඟය.
එස්තෝනියාව, ලැට්වියාව සහ ලිතුවේනියාව බෝල්ටික් රාජ්‍යයන් වේ. සියලුම බෝල්ටික් ප්රාන්තවල නියඟය.
උදාහරණයෙන්, ප්රේරක ක්රමය භාවිතයෙන් නව තොරතුරු හෝ සත්යය ලබා ගත නොහැකි බව අපට නිගමනය කළ හැකිය. ගණන් කළ හැක්කේ නිගමනවල යම් යම් සත්‍යතාවක් පමණි. එපමණක් නොව, පරිශ්රයේ සත්යය එකම නිගමන සහතික නොවේ. කෙසේ වෙතත්, මෙම කරුණෙන් අදහස් කරන්නේ අඩුකිරීමේ ගෙවත්තේ induction vegetates බව නොවේ: ප්රතිපාදන සහ විද්යාත්මක නීති විශාල සංඛ්යාවක් ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කර තහවුරු කර ඇත. ගණිතය, ජීව විද්යාව සහ වෙනත් විද්‍යාවන් උදාහරණයක් ලෙස ගත හැකිය. මෙය ප්රධාන වශයෙන් සම්පූර්ණ ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය නිසා සිදු වේ, නමුත් සමහර අවස්ථාවල අර්ධ වශයෙන් ද අදාළ වේ.
ප්රේරණයේ ගෞරවනීය යුගය එය මානව ක්‍රියාකාරකම්වල සෑම අංශයකටම පාහේ විනිවිද යාමට ඉඩ දුන්නේය - මෙය විද්යාව, ආර්ථික විද්යාව සහ එදිනෙදා නිගමන වේ.
විද්යාත්මක පරිසරය තුළ ප්රේරණය
ප්රේරණය කිරීමේ ක්‍රමයට සූක්ෂම ආකල්පයක් අවශ්ය වේ, මන්ද බොහෝ දේ සමස්තයේ අධ්යයනය කරන ලද තොරතුරු ගණන මත රඳා පවතී: අධ්යයනය කරන ලද සංඛ්‍යාව විශාල වන තරමට ප්‍රති result ලය වඩාත් විශ්වාසදායකය. මෙම ලක්ෂණය මත පදනම්ව, ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය මගින් ලබාගත් විද්යාත්මක නීති, හැකි සියලුම ව්‍යුහාත්මක මූලද්‍රව්‍ය, සම්බන්ධතා සහ බලපෑම් හුදකලා කිරීම සහ අධ්යයනය කිරීම සඳහා සම්භාවිතා උපකල්පන මට්ටමින් ප්‍රමාණවත් තරම් දිගු කාලයක් සඳහා පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.
විද්‍යාවේදී, ප්රේරක නිගමනය අහඹු ප්රතිපාදන හැර සැලකිය යුතු ලක්ෂණ මත පදනම් වේ. විද්යාත්මක දැනුමේ විශේෂතා සම්බන්ධයෙන් මෙම කරුණ වැදගත් වේ. විද්‍යාවේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණවලින් මෙය පැහැදිලිව දැකගත හැකිය.
විද්යාත්මක ලෝකයේ ප්රේරණය වර්ග දෙකක් තිබේ (අධ්‍යයන ක්රමය සම්බන්ධයෙන්):
- induction-select (හෝ තෝරා ගැනීම);
- induction - බැහැර කිරීම (ඉවත් කිරීම).
පළමු වර්ගය එහි විවිධ ප්‍රදේශවලින් පන්තියක (උපපංති) ක්රමානුකූල (සුක්ෂම) නියැදීම මගින් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.
මෙම ආකාරයේ ප්රේරණය සඳහා උදාහරණයක් පහත පරිදි වේ: රිදී (හෝ රිදී ලවණ) ජලය පිරිසිදු කරයි. නිගමනය දිගුකාලීන නිරීක්ෂණ මත පදනම් වේ (තහවුරු කිරීම් සහ ප්රතික්ෂේප කිරීම් තෝරාගැනීම - තේරීම).
දෙවන වර්ගයේ ප්රේරණය පදනම් වී ඇත්තේ හේතු සම්බන්ධතා ඇති කර ගන්නා සහ එහි ගුණාංගවලට අනුරූප නොවන තත්වයන් බැහැර කරන නිගමන මත ය, එනම් විශ්වීයත්වය, තාවකාලික අනුක්‍රමය පිළිපැදීම, අවශ්‍යතාවය සහ නොපැහැදිලි බව.
දර්ශනයේ ආස්ථානයෙන් ප්රේරණය සහ අඩු කිරීම
ඔබ ඓතිහාසික අතීතාවර්ජනය දෙස බැලුවහොත්, "ප්රේරණය" යන යෙදුම මුලින්ම සඳහන් කළේ සොක්රටීස් විසිනි. ඇරිස්ටෝටල් වඩාත් ආසන්න පාරිභාෂික ශබ්දකෝෂයක දර්ශනයේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණ විස්තර කළ නමුත් අසම්පූර්ණ ප්රේරණය පිළිබඳ ප්රශ්නය විවෘතව පවතී. ඇරිස්ටෝටලීය සිල්පදයේ පීඩාවෙන් පසුව, ප්රේරක ක්රමය ඵලදායි සහ ස්වාභාවික විද්‍යාවේ ඇති එකම ක්රමය ලෙස පිළිගැනීමට පටන් ගත්තේය. බේකන් ස්වාධීන විශේෂ ක්රමයක් ලෙස ප්රේරණයේ පියා ලෙස සැලකේ, නමුත් ඔහුගේ සමකාලීනයන් ඉල්ලා සිටි පරිදි අඩු කිරීමේ ක්‍රමයෙන් ප්රේරණය වෙන් කිරීමට ඔහු අසමත් විය.
ප්රේරණය තවදුරටත් වර්ධනය කිරීම J. Mill විසින් සිදු කරන ලද අතර, ඔහු ප්රේරක න්‍යාය ප්රධාන ක්රම හතරේ ආස්ථානයෙන් සලකා බලන ලදී: ගිවිසුම, වෙනස, අවශේෂ සහ අනුරූප වෙනස්කම්. අද ලැයිස්තුගත ක්රම විස්තරාත්මකව සලකා බලන විට අඩු කිරීම පුදුමයක් නොවේ.
බේකන් සහ මිල්ගේ න්‍යායන්හි නොගැලපීම පිළිබඳ දැනුවත්භාවය විද්යාඥයින් ප්රේරණයේ සම්භාවිතා පදනම විමර්ශනය කිරීමට හේතු විය. කෙසේ වෙතත්, මෙහි පවා සමහර අන්තයන් තිබුණි: සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යායට ප්රේරණය අඩු කිරීමට උත්සාහ කරන ලදී, පසුව ඇති වූ සියලු ප්‍රතිවිපාක සමඟ.
ප්‍රේරණයට ඇතැම් විෂය ක්ෂේත්‍රවල ප්‍රායෝගික භාවිතය පිළිබඳ විශ්වාසයක් ලැබෙන අතර ප්රේරක පදනමේ ප්‍රමිතික නිරවද්‍යතාවයට ස්තූතිවන්ත වේ. දර්ශනයේ induction සහ deduction පිළිබඳ උදාහරණයක් විශ්ව ගුරුත්වාකර්ෂණ නියමය ලෙස සැලකිය හැකිය. නීතිය සොයාගත් දිනයේදී නිව්ටන්ට එය සියයට 4ක නිරවද්‍යතාවයකින් සත්‍යාපනය කිරීමට හැකි විය. වසර දෙසීයකට වැඩි කාලයකට පසු පරීක්ෂා කිරීමේදී, එම ප්රේරක සාමාන්‍යකරණයන් මගින් චෙක්පත සිදු කළද, නිරවද්‍යතාවය සියයට 0.0001 ක නිරවද්‍යතාවයකින් තහවුරු විය.
නවීන දර්ශනය අඩු කිරීම කෙරෙහි වැඩි අවධානයක් යොමු කරයි, එය දැනටමත් දන්නා දෙයකින් නව දැනුම (හෝ සත්යය) ලබා ගැනීමට තාර්කික ආශාවක් මගින් නියම කරනු ලැබේ, අත්දැකීම්, බුද්ධිය වෙත යොමු නොවී, නමුත් "පිරිසිදු" තර්කනය භාවිතා කරයි. අඩු කිරීමේ ක්රමයේ සත්ය පරිශ්‍රයන් වෙත යොමු කරන විට, සෑම අවස්ථාවකදීම, ප්‍රතිදානය සත්ය ප්‍රකාශයකි.
මෙම ඉතා වැදගත් ලක්ෂණය ප්රේරක ක්රමයේ අගය යටපත් නොකළ යුතුය. ප්රේරණය, අත්දැකීම්වල ජයග්‍රහණ මත පදනම්ව, එය සැකසීමේ මාධ්‍යයක් බවට පත්වන බැවින් (සාමාන්‍යකරණය සහ ක්‍රමවත් කිරීම ඇතුළුව).
ආර්ථික විද්‍යාවේ ප්රේරණය යෙදීම
ප්රේරණය සහ අඩු කිරීම ආර්ථිකය අධ්යයනය කිරීමේ සහ එහි සංවර්ධනය පුරෝකථනය කිරීමේ ක්රම ලෙස දිගු කලක් තිස්සේ භාවිතා කර ඇත.
ප්රේරක ක්රමය භාවිතා කිරීමේ පරාසය තරමක් පුළුල් ය: පුරෝකථන දර්ශක (ලාභ, ක්ෂයවීම් ආදිය) ඉටු කිරීම සහ ව්‍යවසායයේ තත්වය පිළිබඳ සාමාන්ය තක්සේරුව අධ්යයනය කිරීම; කරුණු සහ ඒවායේ සම්බන්ධතා මත පදනම් වූ ඵලදායී ව්‍යවසාය ප්‍රවර්ධන ප්‍රතිපත්තියක් සැකසීම.
ප්රේරණය කිරීමේ ක්‍රමයම Shewhart හි ප්‍රස්ථාරවල භාවිතා වේ, එහිදී ක්‍රියාවලි පාලනය කළ සහ කළමනාකරණය නොකළ ලෙස බෙදා ඇත යන උපකල්පනය යටතේ, පාලිත ක්‍රියාවලියේ රාමුව අක්‍රිය බව සඳහන් වේ.
විද්යාත්මක නීති ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් යුක්ති සහගත සහ තහවුරු කර ඇති බව සඳහන් කළ යුතු අතර, ආර්ථික විද්යාව බොහෝ විට ගණිතමය විශ්ලේෂණය, අවදානම් න්‍යාය සහ සංඛ්‍යාන දත්ත භාවිතා කරන විද්‍යාවක් බැවින් ප්රේරණය ප්රධාන ක්රම ලැයිස්තුවට ඇතුළත් වීම පුදුමයක් නොවේ.
පහත දැක්වෙන තත්ත්වය ආර්ථික විද්‍යාවේ ප්රේරණය සහ අඩු කිරීම පිළිබඳ උදාහරණයක් ලෙස දැක්විය හැක. ආහාර (පාරිභෝගික කූඩයෙන්) සහ අත්‍යවශ්‍ය භාණ්ඩවල මිල ඉහළ යාම, ප්‍රාන්තයේ (induction) නැගී එන අධික පිරිවැය ගැන සිතන්නට පාරිභෝගිකයා තල්ලු කරයි. ඒ අතරම, අධික පිරිවැය යන කාරණයෙන්, ගණිතමය ක්රම භාවිතා කරමින්, තනි භාණ්ඩ හෝ භාණ්ඩ වර්ග (අඩු කිරීම) සඳහා මිල වර්ධනය පිළිබඳ දර්ශක ලබා ගත හැකිය.
බොහෝ විට, කළමනාකරණ පුද්ගලයින්, කළමනාකරුවන් සහ ආර්ථික විද්යාඥයින් ප්රේරක ක්රමය වෙත හැරේ. ව්‍යවසායක සංවර්ධනය, වෙළඳපල හැසිරීම සහ තරඟයේ ප්‍රතිවිපාක ප්‍රමාණවත් සත්‍යවාදී බව පුරෝකථනය කිරීමට හැකි වීම සඳහා, තොරතුරු විශ්ලේෂණය සහ සැකසීම සඳහා ප්රේරක-අඩු කිරීමේ ප්‍රවේශයක් අවශ්ය වේ.
ව්‍යාජ විනිශ්චයන් ගැන සඳහන් කරමින් ආර්ථික විද්‍යාවේ ප්රේරණය පිළිබඳ නිදර්ශන උදාහරණයක්:
- සමාගමේ ලාභය 30% කින් අඩු විය;
තරඟකරුවෙකු තම නිෂ්පාදන පෙළ පුළුල් කර ඇත;
වෙන කිසිවක් වෙනස් වී නැත; - තරඟකාරී සමාගමක නිෂ්පාදන ප්‍රතිපත්තිය 30% ක ලාභයක් අඩු කිරීමට හේතු විය;
- එබැවින් එම නිෂ්පාදන ප්‍රතිපත්තියම ක්රියාත්මක කළ යුතුය.
ප්රේරක ක්රමය අකාර්යක්ෂම ලෙස භාවිතා කිරීම ව්‍යවසායක විනාශයට දායක වන ආකාරය පිළිබඳ වර්ණවත් නිදර්ශනයක් උදාහරණයකි.
මනෝවිද්යාව තුළ අඩු කිරීම සහ ප්රේරණය
ක්රමයක් ඇති බැවින්, තර්කානුකූලව, නිසි ලෙස සංවිධානය වූ චින්තනයක් ද ඇත (ක්රමය භාවිතා කිරීම සඳහා). මනෝවිද්යාව මානසික ක්‍රියාවලීන්, ඒවායේ ගොඩනැගීම, සංවර්ධනය, සබඳතා, අන්තර්ක්‍රියා අධ්යයනය කරන විද්‍යාවක් ලෙස, අඩුකිරීම් සහ ප්රේරණය ප්රකාශ කිරීමේ එක් ආකාරයක් ලෙස "අඩු කිරීමේ" චින්තනය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරයි. අවාසනාවකට මෙන්, අන්තර්ජාලයේ මනෝවිද්යාව පිටු මත, අඩු කිරීමේ-ප්රේරක ක්රමයේ අඛණ්ඩතාව සඳහා ප්රායෝගිකව සාධාරණීකරණයක් නොමැත. වෘත්තීය මනෝවිද්යාඥයින් ප්රේරණයේ ප්‍රකාශනයන් හෝ ඒ වෙනුවට වැරදි නිගමනවලට මුහුණ දීමට වැඩි ඉඩක් තිබුණද.
වැරදි විනිශ්චයන් පිළිබඳ නිදර්ශනයක් ලෙස මනෝවිද්‍යාවේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණයක් වන්නේ ප්‍රකාශයයි: මගේ මව රැවටිලිකාරයෙකි, එබැවින් සියලුම කාන්තාවන් රැවටිලිකාරයන් වේ. ජීවිතයෙන් පෙළඹවීම පිළිබඳ ඊටත් වඩා “වැරදි” උදාහරණ තිබේ:
- ශිෂ්‍යයෙකුට ගණිතය පිළිබඳ ඩියුස් ලැබුනේ නම් කිසිවක් කිරීමට හැකියාවක් නැත;
- ඔහු මෝඩයෙකි;
- ඔහු බුද්ධිමත් ය;
- මට හැම දෙයක්ම කරන්න පුළුවන්;
සහ පරම අහඹු සහ සමහර විට නොවැදගත් පණිවිඩ මත පදනම් වූ තවත් බොහෝ වටිනාකම් විනිශ්චයන්.
එය සටහන් කළ යුතු ය: පුද්ගලයෙකුගේ විනිශ්චයන්ගේ වැරදිසහගතභාවය විකාරයට ළඟා වන විට, මනෝචිකිත්සකයා සඳහා වැඩ පෙරමුණක් දිස්වේ. විශේෂඥ හමුවීමකදී ප්රේරණය පිළිබඳ එක් උදාහරණයක්:
“රතු පැහැය ඕනෑම ප්‍රකාශනයකදී ඔහුට අනතුරක් පමණක් ගෙන එන බව රෝගියාට නියත වශයෙන්ම විශ්වාසයි. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පුද්ගලයෙකු මෙම වර්ණ පටිපාටිය ඔහුගේ ජීවිතයෙන් බැහැර කර ඇත - හැකිතාක් දුරට. නිවසේ පරිසරය තුළ සුවපහසු ජීවිතයක් සඳහා බොහෝ අවස්ථාවන් තිබේ. ඔබට සියලුම රතු අයිතම ප්රතික්ෂේප කළ හැකිය හෝ වෙනත් වර්ණ පටිපාටියකින් සාදන ලද ප්‍රතිසම සමඟ ඒවා ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය. නමුත් පොදු ස්ථානවල, රැකියා ස්ථානයේ, ගබඩාවේ - එය කළ නොහැකි ය. ආතති සහගත තත්වයකට පත්වීම, රෝගියා සෑම විටම සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් චිත්තවේගීය තත්වයන් "වඩදිය" අත්විඳින අතර එය අන් අයට අනතුරුදායක විය හැකිය.
ප්රේරණය පිළිබඳ මෙම උදාහරණය සහ නොදැනුවත්වම "ස්ථාවර අදහස්" ලෙස හැඳින්වේ. මානසික සෞඛ්ය සම්පන්න පුද්ගලයෙකුට මෙය සිදු වුවහොත්, මානසික ක්රියාකාරිත්වයේ සංවිධානයේ ඌනතාවයක් ගැන කතා කළ හැකිය. අඩු කිරීමේ චින්තනයේ මූලික වර්ධනය උමතු තත්වයන්ගෙන් මිදීමට මාර්ගයක් බවට පත්විය හැකිය. වෙනත් අවස්ථාවල දී, මනෝචිකිත්සකයින් එවැනි රෝගීන් සමඟ කටයුතු කරයි.
ප්රේරණය පිළිබඳ ඉහත උදාහරණවලින් පෙන්නුම් කරන්නේ "නීතිය නොදැන සිටීම ප්‍රතිවිපාකවලින් (වැරදි විනිශ්චයන්) නිදහස් නොවේ."
මනෝවිද්යාඥයින්, අඩු කිරීමේ චින්තනයේ මාතෘකාව මත වැඩ කරමින්, මෙම ක්රමය ප්රගුණ කිරීමට මිනිසුන්ට උපකාර කිරීම සඳහා නිර්මාණය කර ඇති නිර්දේශ ලැයිස්තුවක් සම්පාදනය කර ඇත.
පළමු පියවර වන්නේ ගැටළු විසඳීමයි. දැකිය හැකි පරිදි, ගණිතයේ භාවිතා වන ප්රේරණයේ ස්වරූපය "සම්භාව්‍ය" ලෙස සැලකිය හැකි අතර, මෙම ක්රමය භාවිතා කිරීම මනසේ "විනය" සඳහා දායක වේ.
අඩු කිරීමේ චින්තනය වර්ධනය කිරීම සඳහා ඊළඟ කොන්දේසිය වන්නේ ක්ෂිතිජය පුළුල් කිරීමයි (පැහැදිලිව සිතන අය, පැහැදිලිව ප්රකාශ කරති). මෙම නිර්දේශය "දුක් විඳීම" විද්යාව හා තොරතුරු (පුස්තකාල, වෙබ් අඩවි, අධ්‍යාපනික මුලපිරීම්, සංචාර ආදිය) භාණ්ඩාගාර වෙත යොමු කරයි.
වෙනමම, ඊනියා "මනෝවිද්යාත්මක ප්රේරණය" ගැන සඳහන් කළ යුතුය. මෙම පදය, කලාතුරකින් වුවද, අන්තර්ජාලයේ සොයාගත හැකිය. සියලුම මූලාශ්‍ර මෙම යෙදුමට අවම වශයෙන් කෙටි නිර්වචනයක් ලබා නොදේ, නමුත් නව ආකාරයක ප්‍රේරණයක් ලෙස යෝජනාවක්, සමහර මානසික රෝග හෝ මිනිස් මනෝභාවයේ ආන්තික තත්වයන් ඉදිරිපත් කරන අතරම, "ජීවිතයෙන් උදාහරණ" වෙත යොමු කරයි. ඉහත සියල්ලෙන්, ව්‍යාජ (බොහෝ විට අසත්‍ය) පරිශ්‍රයන් මත පදනම්ව “නව පදයක්” ව්‍යුත්පන්න කිරීමට දරන උත්සාහය, වැරදි (හෝ ඉක්මන්) ප්රකාශයක් ලැබීමට පරීක්ෂණ කරන්නාට මඟ පාදන බව පැහැදිලිය.
1960 අත්හදා බැලීම් පිළිබඳ සඳහන (ස්ථානය, අත්හදා බැලීම් කරන්නන්ගේ නම්, විෂයයන් නියැදිය සහ වඩාත්ම වැදගත් ලෙස, අත්හදා බැලීමේ අරමුණ සඳහන් නොකර) එය මෘදු ලෙස, ඒත්තු ගැන්විය නොහැකි සහ ප්රකාශය පෙනෙන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. සංජානනයේ සියලුම අවයව මඟහරිමින් මොළය තොරතුරු වටහා ගන්නා බව (මෙම නඩුවේ “අත්දැකීම් සහිත” යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය වඩාත් ඓන්ද්‍රීයව ගැලපේ), ප්රකාශයේ කතුවරයාගේ විශ්වාසවන්තභාවය සහ විවේචනාත්මකභාවය ගැන යමෙකු සිතීමට සලස්වයි.
නිගමනයක් වෙනුවට
විද්‍යාවේ රැජින - ගණිතය, ප්රේරණය සහ අඩු කිරීමේ ක්රමයේ හැකි සියලුම සංචිත භාවිතා කරන්නේ නිෂ්ඵල නොවේ. සලකා බැලූ උදාහරණ අපට නිගමනය කිරීමට ඉඩ දෙන්නේ වඩාත් නිවැරදි හා විශ්වාසදායක ක්රම පවා මතුපිටින් හා අකාර්යක්ෂම (නොසැලකිලිමත් ලෙස, ඔවුන් පවසන පරිදි) යෙදීම සෑම විටම වැරදි ප්‍රතිඵලවලට තුඩු දෙන බවයි.
ස්කන්ධ විඥානය තුළ, අඩු කිරීමේ ක්රමය සුප්‍රසිද්ධ ෂර්ලොක් හෝම්ස් සමඟ සම්බන්ධ වී ඇති අතර, ඔහුගේ තාර්කික ඉදිකිරීම් වලදී බොහෝ විට අවශ්ය අවස්ථාවන්හිදී අඩු කිරීම් භාවිතා කරමින් ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණ භාවිතා කරයි.
මෙම ලිපිය මිනිස් ජීවිතයේ විවිධ විද්‍යාවන් සහ ක්ෂේත්‍රවල මෙම ක්රම භාවිතා කිරීම පිළිබඳ උදාහරණ සලකා බලයි.
බොහෝ ගණිතමය ගුණ සහ විවිධ ප්රකාශ ඔප්පු කිරීමට Peano's axiom 4 මත පදනම් වූ සාධන ක්රමයක් භාවිතා කරයි. මේ සඳහා පදනම පහත ප්‍රමේය වේ.
ප්රමේයය. ප්රකාශය නම් නමුත්(n)ස්වභාවික විචල්යය සමඟ nසඳහා සැබෑ n= 1 සහ එය සත්ය බව යන කාරණයෙන් n=k, එය ඊළඟ අංකය සඳහා ද සත්ය බව පහත දැක්වේ n=k,පසුව ප්රකාශය නමුත්(n) n.
සාක්ෂි. මගින් දක්වන්න එම්ප්‍රකාශය සඳහා වන එම සහ එම ස්වභාවික සංඛ්‍යාවල කට්ටලය පමණි නමුත්(n)සැබෑ. එවිට ප්‍රමේයයේ තත්වයෙන් අපට ඇත්තේ: 1) 1 එම්; 2) කේ එම්කේඑම්. එබැවින්, Axiom 4 පදනම මත, අපි එය නිගමනය කරමු එම් =එන්, i.e. ප්රකාශය නමුත්(n)ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා සත්ය n.
මෙම ප්රමේයය මත පදනම් වූ ඔප්පු කිරීමේ ක්රමය හැඳින්වේ ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය,සහ axiom යනු ප්රේරණයේ ප්‍රත්‍යය වේ. මෙම සාක්ෂියට කොටස් දෙකක් ඇත:
1) ප්රකාශය ඔප්පු කරන්න නමුත්(n)සඳහා සැබෑ n= A(1);
2) ප්රකාශය යැයි උපකල්පනය කරන්න නමුත්(n)සඳහා සැබෑ n=k, සහ, මෙම උපකල්පනයෙන් පටන් ගෙන, එම ප්රකාශය ඔප්පු කරන්න A(n)සඳහා සැබෑ n=k+ 1, i.e. එම ප්රකාශය සත්ය බව A(k) A(k + 1).
අ නමුත්( 1) නමුත්(k) A(k + 1) යනු සත්ය ප්‍රකාශයකි, එවිට ඔවුන් එම ප්රකාශය බව නිගමනය කරයි A(n)ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා සත්ය වේ n.
ගණිතමය ප්රේරණය මගින් ඔප්පු කිරීම ආරම්භ කළ හැක්කේ ප්රකාශයේ සත්‍යතාව තහවුරු කිරීමෙන් පමණක් නොවේ n= 1, නමුත් ඕනෑම ස්වභාවික අංකයකින් එම්. මෙම අවස්ථාවේ දී, ප්රකාශය නමුත්(n)සියලු ස්වභාවික සංඛ්යා සඳහා ඔප්පු වනු ඇත nm.
ගැටලුව. ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා සමානාත්මතාවය 1 + 3 + 5 ... + (2) බව ඔප්පු කරමු n- 1) = n.
විසඳුමක්.සමානාත්මතාවය 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = nයනු අඛණ්ඩව පළමු ඔත්තේ ස්වභාවික සංඛ්‍යාවල එකතුව සෙවීමට භාවිත කළ හැකි සූත්‍රයකි. උදාහරණයක් ලෙස, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (එකතුවෙහි පද 4 ක් අඩංගු වේ), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (එකතුවෙහි පද 6 ක් අඩංගු වේ); මෙම එකතුවේ සඳහන් ආකාරයේ නියමයන් 20 ක් අඩංගු නම්, එය 20 = 400 ට සමාන වේ. මෙම සමානාත්මතාවයේ සත්‍යතාව ඔප්පු කිරීමෙන් පසු, සූත්රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත වර්ගයේ ඕනෑම පද ගණනක එකතුව අපට සොයාගත හැකි වනු ඇත.
1) මෙම සමානාත්මතාවයේ සත්‍යතාව තහවුරු කරන්න n= 1. කවදාද n= 1 සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්ත 1 ට සමාන එක් පදයකින් සමන්විත වේ, දකුණු පැත්ත 1 = 1 ට සමාන වේ. 1 = 1 සිට, පසුව සඳහා n= 1 මෙම සමානාත්මතාවය සත්ය වේ.
2) මෙම සමානාත්මතාවය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න n=k, i.e. එනම් 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) = කේ.මෙම උපකල්පනය මත පදනම්ව, එය සත්ය බව අපි ඔප්පු කරමු n=k+ 1, i.e. 1 + 3 + 5 + ... + (2 කේ- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).
අවසාන සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්ත සලකා බලන්න.
උපකල්පනය අනුව, පළමු එකතුව කේකොන්දේසි වේ කේඑබැවින් 1 + 3 + 5 + ... + (2 කේ- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2කේ- 1) + (2කේ+ 1)=
= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. ප්රකාශනය k+ 2k + 1 ප්‍රකාශනයට සමාන වේ ( k + 1).
එබැවින්, මෙම සමානාත්මතාවයේ සත්යය සඳහා n=k+ 1 ඔප්පු කර ඇත.
මේ අනුව, මෙම සමානාත්මතාවය සත්ය වේ n= 1 සහ එහි සත්‍යතාවයෙන් n=kසඳහා සත්යය අනුගමනය කරයි n=k+ 1.
ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා මෙම සමානාත්මතාවය සත්ය බව මෙයින් සනාථ වේ.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීමෙන් කෙනෙකුට සමානාත්මතාවයන් පමණක් නොව අසමානතාවයන් පිළිබඳ සත්යය ඔප්පු කළ හැකිය.
කාර්යයක්. කොහෙද කියලා ඔප්පු කරන්න nN
විසඳුමක්.සඳහා අසමානතාවයේ සත්යය අපි පරීක්ෂා කරමු n= 1. අපට ඇත - සැබෑ අසමානතාවයක්.
අසමානතාවය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරමු n=k,එම. - සැබෑ අසමානතාවය. උපකල්පනය මත පදනම්ව, එය සත්ය බව ඔප්පු කරමු
n=k+ 1, i.e. 
(*).
අපි අසමානතාවයේ වම් පැත්ත පරිවර්තනය කරමු (*), එය සැලකිල්ලට ගනිමින් : .
නමුත්, එයින් අදහස් වන්නේ 
.
එබැවින් මෙම අසමානතාවය සත්ය වේ n= 1, සහ, අසමානතාවය සමහරුන්ට සත්ය වේ යන කාරනයෙන් n= කේ, එය ද සත්ය බව අපට පෙනී ගියේය n= k + 1.
මේ අනුව, Axiom 4 භාවිතා කරමින්, ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා මෙම අසමානතාවය සත්ය බව අපි ඔප්පු කර ඇත්තෙමු.
අනෙකුත් ප්‍රකාශයන් ද ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මගින් ඔප්පු කළ හැක.
කාර්යයක්. ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා ප්රකාශය සත්ය බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්. අපි එම ප්රකාශයේ සත්ය අසත්‍යතාවය පරීක්ෂා කර බලමු n= 1:-සත්ය ප්රකාශය.
මෙම ප්රකාශය සත්ය යැයි අපි සිතමු n=k: . අපි මෙය භාවිතා කරමින් ප්රකාශයේ සත්යය පෙන්වමු n=k+ 1: 
.
ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු: . වෙනස සොයා බලමු කේහා k+සාමාජිකයින් 1 දෙනෙක්. එහි ප්රතිඵලය වන වෙනස 7 හි ගුණාකාරයක් වන අතර උපකල්පනය 7 න් බෙදිය හැකි බව පෙනේ නම්, minuend ද 7 හි ගුණාකාර වේ:
නිෂ්පාදිතය 7 හි ගුණාකාර වේ, එබැවින්, සහ .
මේ අනුව, මෙම ප්රකාශය සත්ය වේ n= 1 සහ එහි සත්‍යතාවයෙන් n=kසඳහා සත්යය අනුගමනය කරයි n=k+ 1.
ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා මෙම ප්රකාශය සත්ය බව මෙයින් සනාථ වේ.
කාර්යයක්. ඕනෑම ස්වාභාවික අංකයක් සඳහා එය ඔප්පු කරන්න n 2 ප්රකාශය (7-1)24 සත්ය වේ.
විසඳුමක්. 1) ප්රකාශයේ සත්‍යතාව පරීක්ෂා කරන්න n= 2: - සත්ය ප්රකාශය.
