2 පුදුම සීමාව. පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව: න්‍යාය සහ උදාහරණ
සාක්ෂි:
අපි මුලින්ම අනුපිළිවෙලෙහි නඩුව සඳහා ප්රමේයය ඔප්පු කරමු 
නිව්ටන්ගේ ද්විපද සූත්‍රයට අනුව:
අපිට ලැබෙනවා කියලා උපකල්පනය කරනවා
මෙම සමානාත්මතාවයෙන් (1) n වැඩි වන විට, දකුණු පස ඇති ධනාත්මක පද ගණන වැඩි වේ. ඊට අමතරව, n වැඩි වන විට, සංඛ්යාව අඩු වේ, එබැවින් ප්රමාණ 
ඉහළ. එබැවින් අනුපිළිවෙල 
වැඩි වෙමින් පවතින අතර (2)* එය සීමා වී ඇති බව පෙන්වමු. සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තේ ඇති සෑම වරහනක්ම එකකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු, දකුණු කොටසවැඩි වෙනවා, අපිට අසමානතාවය ලැබෙනවා
අපි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ඇති වන අසමානතාවය ශක්තිමත් කර, 3,4,5, ..., භාගවල හරය තුළ සිට, අංක 2 සමඟින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු: පද එකතුව සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින් වරහන් තුළ එකතුව සොයා ගනිමු. ජ්යාමිතික ප්රගතිය: ඒක තමයි 
(3)*
මේ අනුව, අනුපිළිවෙල ඉහලින් සීමා වී ඇති අතර, අසමානතා (2) සහ (3) රඳවා තබා ගනී: 
එබැවින්, වීර්ස්ට්රාස් ප්රමේයය (අනුක්‍රමයක අභිසාරීතාව සඳහා නිර්ණායකයක්) මත පදනම්ව, අනුපිළිවෙල 
ඒකාකාරව වැඩි වන අතර මායිම් වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ එයට සීමාවක් ඇති බවයි, එය e අකුරෙන් දැක්වේ. එම. 
දෙවැන්න බව දැන දැනම පුදුම සීමාව x හි ස්වභාවික අගයන් සඳහා සත්ය වේ, අපි සැබෑ x සඳහා දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව ඔප්පු කරන්නෙමු, එනම්, අපි එය ඔප්පු කරන්නෙමු 
. අවස්ථා දෙකක් සලකා බලන්න:
1. සෑම x අගයක්ම ධන නිඛිල දෙකක් අතර තිබිය යුතුය: , x හි පූර්ණ සංඛ්යා කොටස කොහෙද. => =>
නම්, එසේ නම්, සීමාව අනුව 
අපිට තියනවා
ලකුණ අනුව (සීමාව ගැන අතරමැදි කාර්යය) සීමාවන්ගේ පැවැත්ම 
2. ඉඩ දෙන්න. අපි ආදේශනයක් කරමු − x = t, එහෙනම්
මෙම අවස්ථා දෙකෙන් එය පහත දැක්වේ 
සැබෑ x සඳහා.
ප්රතිවිපාක:
9 .) අනන්ත සංසන්දනය කිරීම. සීමාවේ සමාන ඒවා මගින් අනන්තයන් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම පිළිබඳ ප්‍රමේය සහ අනන්තයන්හි ප්රධාන කොටසෙහි ප්රමේයය.
කාර්යයන් a( x) සහ b( x) – බී.එම්. හිදී x ® x 0 .
අර්ථ දැක්වීම්.
1) a( x) කියලා අනන්ත කුඩා තවත් ඉහළ නියෝගයක්කෙසේද බී (x) නම්
ලියන්න: a( x) = o(b( x)) .
2) a( x) හාබී( x)කියලා එකම අනුපිළිවෙලෙහි අනන්තය, නම්
එහිදී සීнℝ සහ සී¹ 0 .
ලියන්න: a( x) = ඕ(බී( x)) .
3) a( x) හාබී( x) කියලා සමාන , නම්
ලියන්න: a( x) ~ ආ ( x).
4) a( x) සම්බන්ධව k අනන්ත කුඩා අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ
ඉතා අනන්තයබී( x),
අනන්තවත් නම්ඒ( x)හා(බී( x)) කේ එකම අනුපිළිවෙලක් ඇත, i.e. නම්
එහිදී සීнℝ සහ සී¹ 0 .
සිද්ධාන්තය 6 (අනන්තය සමාන ඒවා මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම මත).
ඉඩඒ( x), බී( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– බී.එම්. x හි ® x 0 . අඒ( x) ~ a 1 ( x), බී( x) ~ ආ 1 ( x),
එවිට 
සාක්ෂි: ඉඩ දෙන්න ( x) ~ a 1 ( x), බී( x) ~ ආ 1 ( x), එවිට
සිද්ධාන්තය 7 (අසීමිත කුඩා ප්රධාන කොටස ගැන).
ඉඩඒ( x)හාබී( x)– බී.එම්. x හි ® x 0 , හාබී( x)– බී.එම්. වඩා ඉහළ අනුපිළිවෙලඒ( x).
=, a සිට b( x) - a (ට වඩා ඉහළ අනුපිළිවෙලක් x) , එවිට , i.e. 
සිට එය පැහැදිලිය a( x) + b( x) ~ a( x)
10) ලක්ෂ්යයක ක්‍රියාකාරී අඛණ්ඩතාව (එප්සිලෝන්-ඩෙල්ටා සීමාවන්ගේ භාෂාවෙන්, ජ්යාමිතික) ඒකපාර්ශ්වික අඛණ්ඩතාව. අන්තරයක, කොටසක අඛණ්ඩ පැවැත්ම. අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වයේ ගුණාංග.
1. මූලික නිර්වචන
ඉඩ f(x) ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇත x 0 .
අර්ථ දැක්වීම 1. ශ්රිතය f(x) කියලා ලක්ෂ්යයක අඛණ්ඩව x 0 සමානාත්මතාවය සත්ය නම්
අදහස්.
1) §3 හි ප්රමේයය 5 මගින්, සමානාත්මතාවය (1) ලෙස ලිවිය හැක
කොන්දේසිය (2) - ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්ගේ භාෂාවේ ලක්ෂ්යයක ශ්‍රිතයක අඛණ්ඩතාව අර්ථ දැක්වීම.
2) සමානාත්මතාවය (1) ලෙසද ලිවිය හැකිය:
ඔවුන් පවසන්නේ: "ශ්රිතයක් ලක්ෂ්යයක අඛණ්ඩව පවතී නම් x 0 , එවිට සීමාවේ ලකුණ සහ ශ්රිතය එකිනෙකට හුවමාරු කළ හැක.
අර්ථ දැක්වීම 2 (භාෂාවෙන් e-d).
ශ්රිතය f(x) කියලා ලක්ෂ්යයක අඛණ්ඩව x 0 නම්"e>0 $d>0 එබඳු, කුමක්
x නම්ОU( x 0 , ඈ) (එනම් | x – x 0 | < d),
පසුව f(x)OU( f(x 0), e) (එනම් | f(x) – f(x 0) | < e).
ඉඩ x, x 0 Î ඩී(f) (x 0 - ස්ථාවර, x-හිතුවක්කාර)
දක්වන්න: ඩී x= x-x 0 – තර්ක වැඩිවීම
ඩී f(x 0) = f(x) – f(x 0) – x ලක්ෂ්යයේ කාර්ය වර්ධක 0
අර්ථ දැක්වීම 3 (ජ්යාමිතික).
ශ්රිතය f(x) මත කියලා ලක්ෂ්යයක අඛණ්ඩව
x 0
මෙම අවස්ථාවේදී තර්කයේ අපරිමිත වර්ධකයක් ශ්රිතයේ අපරිමිත වර්ධකයකට අනුරූප වේ නම්, i.e.
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න f(x) පරතරය මත අර්ථ දක්වා ඇත [ x 0 ; x 0 + ඈ) (අන්තරය මත ( x 0 - ඈ; x 0 ]).
අර්ථ දැක්වීම. ශ්රිතය f(x) කියලා ලක්ෂ්යයක අඛණ්ඩව
x 0 දකුණු පසින්
(අත්හැරියා
), සමානාත්මතාවය සත්ය නම්
ඒක පැහැදිලියි f(x) ලක්ෂ්යයේ අඛණ්ඩව පවතී x 0 Û f(x) ලක්ෂ්යයේ අඛණ්ඩව පවතී x 0 දකුණ සහ වම.
අර්ථ දැක්වීම. ශ්රිතය f(x) කියලා පරතරයකට අඛණ්ඩව ඉ ( ඒ; බී) මෙම පරතරයේ සෑම ලක්ෂයකම එය අඛණ්ඩව පවතී නම්.
ශ්රිතය f(x) කොටස මත අඛණ්ඩ ලෙස හැඳින්වේ [ඒ; බී] එය පරතරය මත අඛණ්ඩ නම් (ඒ; බී) සහ මායිම් ස්ථානවල ඒකපාර්ශ්වික අඛණ්ඩතාවයක් ඇත(එනම් ලක්ෂ්යයේ අඛණ්ඩව ඒහරි, කරුණ බී- වමේ).
11) කඩඉම් ලකුණු, ඒවායේ වර්ගීකරණය
අර්ථ දැක්වීම. ශ්රිතය f නම්(x) x ලක්ෂ්යයේ සමහර අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇත 0 , නමුත් එම අවස්ථාවේ දී අඛණ්ඩ නොවේ f(x) x ලක්ෂ්යයේ දී අඛණ්ඩ ලෙස හැඳින්වේ 0 , නමුත් කාරණය x 0 බිඳෙන ස්ථානය ලෙස හැඳින්වේ කාර්යයන් f(x) .
අදහස්.
1) f(x) ලක්ෂ්යයේ අසම්පූර්ණ අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දැක්විය හැක x 0 .
ඉන්පසු ශ්රිතයේ අනුරූප ඒකපාර්ශ්වික අඛණ්ඩතාව සලකා බලන්න.
2) z අර්ථ දැක්වීමෙන්, ලක්ෂ්යය x 0 යනු ශ්රිතයේ බිඳීමේ ලක්ෂ්යය වේ f(x) අවස්ථා දෙකකදී:
අ) U( x 0, ඈ)එන් ඩී(f) , නමුත් සඳහා f(x) සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් නොවේ
b) U * ( x 0, ඈ)එන් ඩී(f) .
සදහා මූලික කාර්යයන්එකම අවස්ථාව b) හැකි ය.
ඉඩ x 0 - ශ්රිතයේ බිඳීමේ ලක්ෂ්යය f(x) .
අර්ථ දැක්වීම. ලක්ෂ්යය x 0 කියලා බිඳීමේ ලක්ෂ්යය මම කාරුණික f ශ්රිතය නම්(x)වම් සහ දකුණු පසින් මෙම ස්ථානයේ සීමිත සීමාවන් ඇත.
ඊට අමතරව, මෙම සීමාවන් සමාන නම්, ලක්ෂ්යය x 0 කියලා කඩඉම , එසේ නොමැති නම් - පැනීමේ ස්ථානය .
අර්ථ දැක්වීම. ලක්ෂ්යය x 0 කියලා බිඳීමේ ලක්ෂ්යය II කාරුණික f ශ්රිතයේ අවම වශයෙන් ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්ගෙන් එකක් නම්(x)මෙම අවස්ථාවේදී සමාන වේ¥ නැතහොත් නොපවතියි.
12) කොටසක අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල ගුණ (වීයර්ස්ට්‍රාස්ගේ (සාක්ෂි නොමැතිව) සහ කෞචිගේ ප්‍රමේය
වීර්ස්ට්රාස් ප්රමේයය
f(x) ශ්රිතය කොටසෙහි අඛණ්ඩව පවතින්නට ඉඩ හරින්න , එවිට
1)f(x) සීමා වේ
2)f(x) එහි කුඩාම අගය විරාමය මත ගනී ඉහළම අගය
අර්ථ දැක්වීම: m=f ශ්රිතයේ අගය ඕනෑම x € D(f) සඳහා m≤f(x) නම් අඩුම අගය ලෙස හැඳින්වේ.
m=f ශ්රිතයේ අගය ඕනෑම x € D(f) සඳහා m≥f(x) නම් ශ්රේෂ්ඨ ලෙස හැඳින්වේ.
ශ්‍රිතයට කොටසේ ස්ථාන කිහිපයකදී කුඩාම \ ලොකුම අගය ගත හැක.
f(x 3)=f(x 4)=max
කෞචිගේ ප්රමේයය.
f(x) ශ්රිතය ඛණ්ඩය මත අඛණ්ඩව පවතින්නටත් x f(a) සහ f(b) අතර ඇති සංඛ්යාව වීමටත් ඉඩ දෙන්න, එවිට f(x 0)= g ලෙස අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක් x 0 € ඇත.
මේ ගණිතමය කැල්ක්යුලේටරයඅවශ්‍ය නම් ඔන්ලයින් ඔබට උපකාර කරනු ඇත කාර්යය සීමාව ගණනය කරන්න. වැඩසටහන විසඳුම් සීමා කරන්නගැටලුවට පිළිතුර ලබා දෙනවා පමණක් නොව, එය මඟ පෙන්වයි සවිස්තරාත්මක විසඳුමපැහැදිලි කිරීම් සමඟ, i.e. සීමාව ගණනය කිරීමේ ප්රගතිය පෙන්වයි.
මෙම වැඩසටහන උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා ප්රයෝජනවත් විය හැක සාමාන්ය අධ්යාපන පාසල්සඳහා සූදානම් වෙමින් පාලන වැඩසහ විභාග, විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කරන විට, ගණිතය සහ වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටලු විසඳීම පාලනය කිරීමට දෙමාපියන්. එසේත් නැතිනම් ඔබට උපදේශකයෙකු කුලියට ගැනීම හෝ නව පෙළපොත් මිලදී ගැනීම මිල අධිකද? නැත්නම් ඔබට එය හැකි ඉක්මනින් කර ගැනීමට අවශ්‍යද? ගෙදර වැඩගණිතය හෝ වීජ ගණිතය? මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.
මේ ආකාරයෙන්, විසඳිය යුතු කාර්යයන් ක්ෂේත්‍රයේ අධ්යාපන මට්ටම වැඩි වන අතරම, ඔබට ඔබේම පුහුණුව සහ/හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ගේ පුහුණුව පැවැත්විය හැකිය.
ශ්‍රිත ප්‍රකාශනයක් ඇතුළු කරන්නසීමාව ගණනය කරන්න
මෙම කාර්යය විසඳීමට අවශ්ය සමහර ස්ක්‍රිප්ට් පූරණය කර නොමැති බව සොයා ගන්නා ලද අතර, වැඩසටහන ක්‍රියා නොකරනු ඇත.
ඔබට AdBlock සක්‍රීය කර තිබිය හැක.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්රිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.
විසඳුම දිස්වීමට JavaScript සක්රිය කළ යුතුය.
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ JavaScript සක්‍රීය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ උපදෙස් මෙන්න.
නිසා ප්‍රශ්නය විසඳන්න ඕන ගොඩක් අය ඉන්නවා, ඔයාගේ ඉල්ලීම පෝලිමේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහත දිස්වනු ඇත.
කරුණාකර ඉන්න තත්පර...
ඔබ නම් විසඳුමේ දෝෂයක් දක්නට ලැබුණි, එවිට ඔබට ඒ ගැන ප්‍රතිපෝෂණ පෝරමයේ ලිවිය හැක.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්නඔබ තීරණය කරන්න ක්ෂේත්ර තුළට ඇතුල් කරන්න.
අපගේ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා, ඉමුලේටර්:
න්‍යාය ටිකක්.
x-> x 0 හි ශ්රිතයේ සීමාව
සමහර X කට්ටලයක f(x) ශ්රිතය නිර්වචනය කර \(x_0 \in X \) හෝ \(x_0 \notin X \) ලක්ෂ්‍යයට ඉඩ දෙන්න.
X වෙතින් x 0 හැර වෙනත් ලක්ෂ්‍ය අනුපිළිවෙලක් ගන්න:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* වෙත අභිසාරී වීම. මෙම අනුක්‍රමයේ ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිත අගයන් සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක් ද සාදයි
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
සහ එහි සීමාවේ පැවැත්ම පිළිබඳ ප්රශ්නයක් ඉදිරිපත් කළ හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම. x තර්කයේ කිසියම් අනුපිළිවෙලක් (1) සඳහා නම්, x \u003d x 0 (හෝ x -> x 0) ලක්ෂ්යයේ F (x) ශ්රිතයේ සීමාව A අංකය ලෙස හැඳින්වේ. එය x 0 ට අභිසාරී වන අතර, x 0 ට වෙනස්, අගයන් ශ්රිතයේ අනුරූප අනුපිළිවෙල (2) A අංකයට අභිසාරී වේ.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
f(x) ශ්‍රිතයට x 0 ලක්ෂයේ තිබිය හැක්කේ එක් සීමාවක් පමණි. මෙය අනුපිළිවෙල යන කාරනයෙන් පහත දැක්වේ
(f(x n)) ට ඇත්තේ එක් සීමාවක් පමණි.
ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ තවත් අර්ථකථනයක් තිබේ.
අර්ථ දැක්වීමඕනෑම අංකයක් සඳහා \(\varepsilon > 0 \) අංකයක් තිබේ නම්, සියල්ල සඳහා \(\delta > 0 \) අංකයක් තිබේ නම් A අංකය x = x 0 ලක්ෂ්යයේ f(x) ශ්රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. (x \in X, \; x \neq x_0 \) අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරමින් \(|x-x_0| තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, මෙම අර්ථ දැක්වීම මෙසේ ලිවිය හැක.
\((\forall \varepsilon > 0) (\පවත්නා \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| අසමානතා \(x \neq x_0) බව සලකන්න , \; |x-x_0| පළමු අර්ථ දැක්වීම සීමාවක් පිළිබඳ සංකල්පය මත පදනම් වේ සංඛ්යා අනුපිළිවෙල, එය බොහෝ විට "අනුක්‍රම භාෂාව" අර්ථ දැක්වීම ලෙස හඳුන්වන්නේ එබැවිනි. දෙවන අර්ථ දැක්වීම "භාෂාව \(\varepsilon - \delta \)" අර්ථ දැක්වීම ලෙස හැඳින්වේ.
ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ මෙම අර්ථ දැක්වීම් දෙක සමාන වන අතර, ඔබට ඒවායින් එකක් භාවිතා කළ හැකිය, විශේෂිත ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා වඩාත් පහසු වේ.
"අනුක්‍රමික භාෂාවෙන්" ශ්‍රිතයක සීමාව නිර්වචනය Heine අනුව ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලෙසද, "භාෂාවේ \(\varepsilon -" ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලෙසද හැඳින්වෙන බව සලකන්න. \delta \)" Cauchy අනුව ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලෙසද හැඳින්වේ.
x->x 0 - සහ x->x 0 + හි ක්‍රියාකාරී සීමාව
පහත දැක්වෙන දේ තුළ, අපි පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් පිළිබඳ සංකල්ප භාවිතා කරමු.
අර්ථ දැක්වීම x n මූලද්‍රව්‍ය x 0 ට වඩා වැඩි (අඩු) x 0 ට අභිසාරී වන කිසියම් අනුක්‍රමයක් සඳහා (1) x 0 ලක්ෂ්යයේ f (x) ශ්රිතයේ දකුණු (වම්) සීමාව A අංකය හැඳින්වේ. (2) A වෙත අභිසාරී වේ.
සංකේතාත්මකව එය මෙසේ ලියා ඇත:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \දකුණ) $$
කෙනෙකුට "භාෂාවෙන් \(\varepsilon - \delta \)" ශ්‍රිතයක ඒක පාර්ශවීය සීමාවන්ට සමාන අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දිය හැක:
අර්ථ දැක්වීමඕනෑම \(\varepsilon > 0 \) ඕනෑම x සඳහා තෘප්තිමත් වන පරිදි \(\delta > 0 \) පවතී නම් A අංකය x 0 ලක්ෂ්යයේ f(x) ශ්රිතයේ දකුණු (වම්) සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. අසමානතා \(x_0 සංකේතාත්මක ඇතුළත් කිරීම්:
මෙම මාතෘකාව තුළ, අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතයෙන් ලබා ගත හැකි එම සූත්‍ර විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු (දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවට සෘජුවම කැප වූ මාතෘකාව පිහිටා ඇත). මෙම කොටසේ අවශ්ය වන දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ සූත්‍රගත කිරීම් දෙකක් මම ඔබට මතක් කර දෙන්නම්: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\දකුණ)^x=e $ සහ $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.
සාමාන්යයෙන් මම සාක්ෂි නොමැතිව සූත්‍ර ලබා දෙනවා, නමුත් මෙම පිටුව සඳහා, මම ව්‍යතිරේකයක් කරනු ඇතැයි මම සිතමි. කාරණය වන්නේ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්රතිවිපාක පිළිබඳ සාක්ෂිය ගැටළු සෘජු විසඳුම සඳහා ප්රයෝජනවත් වන සමහර උපක්රම අඩංගු වේ. හොඳයි, සහ, සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, මෙම හෝ එම සූත්රය ඔප්පු කරන ආකාරය දැන ගැනීම යෝග්ය වේ. මෙය ඔබට එහි අභ්‍යන්තර ව්‍යුහය මෙන්ම අදාළ වීමේ සීමාවන් හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීමට ඉඩ සලසයි. නමුත් සියලු පාඨකයන්ට සාධනය උනන්දුවක් නොතිබිය හැකි බැවින්, මම ඒවා එක් එක් අනුග්රහයෙන් පසුව සටහන් යට සඟවන්නෙමි.
ප්රතිවිපාක #1
\begin(සමීකරණය) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(සමීකරණය)නිගමනය #1 සාධනය: පෙන්වන්න\ සඟවන්න
$x\ සිට 0$ සඳහා අපට $\ln(1+x)\ සිට 0$ දක්වා ඇති බැවින්, සලකා බැලූ සීමාවේ $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. මෙම අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, අපි $\frac(\ln(1+x))(x)$ යන ප්රකාශනය පහත පරිදි නියෝජනය කරමු: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. දැන් අපි $\frac(1)(x)$ යන සාධකය $(1+x)$ හි බලයට එකතු කර දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව යොදමු:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ දක්වා\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
අපට නැවතත් $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. අපි දැනටමත් ඔප්පු කර ඇති සූත්රය මත රඳා සිටිමු. $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$ නිසා, $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
ප්රතිවිපාක #2
\begin(සමීකරණය) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(සමීකරණය)නිගමනය #2 සාධනය: පෙන්වන්න\ සඟවන්න
$x\ සිට 0$ සඳහා අපට $e^x-1\ සිට 0$ දක්වා ඇති බැවින්, සලකා බලන සීමාව තුළ $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. මෙම අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට, $t=e^x-1$ සඳහන් කරමින් විචල්‍යය වෙනස් කරමු. $x සිට 0$ දක්වා, පසුව $t\ සිට 0$ දක්වා. තවද, $t=e^x-1$ සූත්‍රයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\වම | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\ to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (පෙළගැසී) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
අපට නැවතත් $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. අපි දැනටමත් ඔප්පු කර ඇති සූත්රය මත රඳා සිටිමු. $a^x=e^(x\ln a)$ සිට, එවිට:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
ප්රතිවිපාක #3
\begin(සමීකරණය) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(සමීකරණය)නිගමනය #3 සාධනය: පෙන්වන්න\ සඟවන්න
නැවතත්, අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ නිසා, අපට ලැබෙන්නේ:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\වම(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
උදාහරණ #1
සීමාව ගණනය කරන්න $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.
අපට $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. මෙම අවිනිශ්චිතභාවය හෙළි කිරීමට, අපි සූත්රය භාවිතා කරන්නෙමු. අපගේ සීමාවට ගැලපෙන පරිදි මෙම සූත්රය$e$ අංකයේ බලයේ සහ හරයේ ඇති ප්‍රකාශන ගැළපිය යුතු බව මතක තබා ගත යුතුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, හරයේ ඇති සයිනයට තැනක් නැත. හරය $9x$ විය යුතුය. එසේම, මෙම උදාහරණය විසඳන විට, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරනු ඇත.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ දක්වා\ 0) \වම (\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \දකුණ)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
පිළිතුර: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
උදාහරණ #2
$\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ සීමාව ගණනය කරන්න.
අපට $\frac(0)(0)$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත ($\ln\cos 0=\ln 1=0$ බව මතක තබා ගන්න). මෙම අවිනිශ්චිතභාවය හෙළි කිරීමට, අපි සූත්රය භාවිතා කරන්නෙමු. පළමුව, අපි $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ බව සැලකිල්ලට ගනිමු (ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ලැයිස්තුගත කිරීම බලන්න). දැන් $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, එබැවින් හරය $-2\sin^2 \frac(x ) විය යුතුය. (2)$ (අපගේ උදාහරණයට ගැලපෙන පරිදි). වැඩිදුර විසඳුමේදී, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරනු ලැබේ.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\දකුණ))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\දකුණ))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\දකුණ))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\ left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\දකුණ)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
පිළිතුර: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
දැන්, මනසේ සාමය ඇතිව, අපි සලකා බැලීම වෙත හැරෙමු පුදුම සීමාවන්.
වගේ පේනවා.
x විචල්‍යය වෙනුවට විවිධ ශ්‍රිත පැවතිය හැක, ප්රධාන දෙය නම් ඒවා 0 වෙත නැඹුරු වීමයි.
අපි සීමාව ගණනය කළ යුතුයි
පෙනෙන පරිදි, ලබා දී ඇති සීමාවපළමු පුදුමයට බෙහෙවින් සමාන ය, නමුත් එය එසේ නොවේ. පොදුවේ ගත් කල, ඔබ සීමාව තුළ පාපය දුටුවහොත්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කළ හැකිද යන්න ගැන ඔබ වහාම සිතා බැලිය යුතුය.
අපගේ රීති අංක 1 අනුව, අපි x සඳහා ශුන්‍ය ආදේශ කරමු:
අපට අවිනිශ්චිත බවක් ඇති වේ.
දැන් අපි පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව ස්වාධීනව සංවිධානය කිරීමට උත්සාහ කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සරල සංයෝජනයක් සිදු කරන්නෙමු:
එබැවින් අපි 7x කැපී පෙනෙන ලෙස අංකනය සහ හරය සකස් කරමු. හුරුපුරුදු කැපී පෙනෙන සීමාව දැනටමත් දර්ශනය වී ඇත. තීරණය කිරීමේදී එය ඉස්මතු කිරීම සුදුසුය:
පළමු විසඳුම ආදේශ කරන්න විශිෂ්ට උදාහරණයක්සහ අපට ලැබෙන්නේ:
කොටස සරල කරන්න:
පිළිතුර: 7/3.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය.
පෝරමය ඇත 
, මෙහි e = 2.718281828… යනු අතාර්කික අංකයකි.
x විචල්‍යය වෙනුවට විවිධ ශ්‍රිත තිබිය හැක, ප්රධාන දෙය නම් ඒවා නැඹුරු වීමයි.
අපි සීමාව ගණනය කළ යුතුයි
මෙහි සීමාව ලකුණ යටතේ උපාධියක් තිබීම අපට පෙනේ, එයින් අදහස් කරන්නේ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදිය හැකි බවයි.
සෑම විටම, අපි රීති අංක 1 භාවිතා කරන්නෙමු - x වෙනුවට ආදේශක:
x සඳහා උපාධියේ පාදය වන අතර ඝාතකය 4x > , i.e. අපි පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ලබා ගනිමු:
අපගේ අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට දෙවන අපූරු සීමාව භාවිතා කරමු, නමුත් පළමුව අපි එය සංවිධානය කළ යුතුය. ඔබට පෙනෙන පරිදි, දර්ශකයේ පැවැත්ම සාක්ෂාත් කර ගැනීම අවශ්ය වේ, ඒ සඳහා අපි පාදම 3x බලයට සහ ඒ සමඟම 1/3x බලයට ඔසවන්නෙමු, එවිට ප්රකාශනය වෙනස් නොවේ:
අපගේ අපූරු සීමාව ඉස්මතු කිරීමට අමතක නොකරන්න:
මේවා ඇත්තටම පුදුම සීමාවන්!
ඔබට කිසියම් ප්රශ්නයක් ඇත්නම් පළමු හා දෙවන පුදුම සීමාවන්අදහස් දැක්වීමේදී ඔවුන්ගෙන් විමසීමට නිදහස් වන්න.
අපි හැකි ඉක්මනින් සෑම කෙනෙකුටම පිළිතුරු දෙන්නෙමු.
ඔබට මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගුරුවරයෙකු සමඟ වැඩ කළ හැකිය.
ඔබගේ නගරයේ සුදුසුකම් ලත් උපදේශකයෙකු තෝරා ගැනීමේ සේවාවන් ඔබට පිරිනැමීමට අපි සතුටු වෙමු. අපගේ හවුල්කරුවන් ඔබට හිතකර කොන්දේසි මත ඔබ වෙනුවෙන් හොඳ ගුරුවරයෙකු ඉක්මනින් තෝරා ගනු ඇත.
ප්‍රමාණවත් තොරතුරු නොමැතිද? - ඔයාට පුළුවන් !
ඔබට නෝට්පෑඩ් වල ගණිතමය ගණනය කිරීම් ලිවිය හැකිය. ලාංඡනයක් (http://www.blocnot.ru) සමඟ තනි සටහන් පොත්වල ලිවීම වඩාත් ප්රසන්න වේ.
පුදුම සීමාවන් කිහිපයක් ඇත, නමුත් වඩාත්ම ප්රසිද්ධ වන්නේ පළමු හා දෙවන පුදුම සීමාවන්ය. මෙම සීමාවන්හි කැපී පෙනෙන දෙය නම් ඔවුන් සතුව තිබීමයි පුළුල් යෙදුමසහ ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන් කෙනෙකුට විවිධ ගැටළු වලට මුහුණ දෙන වෙනත් සීමාවන් සොයාගත හැකිය. මෙම පාඩමේ ප්‍රායෝගික කොටසේදී අප කරන්නේ මෙයයි. පළමු හෝ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවට අඩු කිරීමෙන් ගැටළු විසඳීම සඳහා, මෙම සීමාවන්ගේ අගයන් දිගු කලක් තිස්සේ ශ්රේෂ්ඨ ගණිතඥයින් විසින් නිගමනය කර ඇති බැවින්, ඒවායේ අඩංගු අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම අවශ්ය නොවේ.
පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවරේඩියන මිනුමෙන් ප්‍රකාශිත අනන්ත කුඩා චාපයක සයින් අනුපාතය එකම චාපයට අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ:
පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව මත ගැටළු විසඳීමට අපි ඉදිරියට යමු. සටහන: ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයක් සීමා ලකුණ යටතේ නම්, මෙම ප්රකාශනය පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවට අඩු කළ හැකි බවට මෙය බොහෝ දුරට ස්ථිර ලකුණකි.
උදාහරණ 1සීමාව සොයන්න.
විසඳුමක්. ඒ වෙනුවට ආදේශ කිරීම xශුන්‍ය අවිනිශ්චිතතාවයට මග පාදයි:
.
හරය සයිනයකි, එබැවින් ප්රකාශනය පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව දක්වා අඩු කළ හැක. අපි පරිවර්තනය ආරම්භ කරමු:
.
හරය තුළ - තුනේ x හි සයින්, සහ සංඛ්‍යාංකයේ ඇත්තේ එක් x පමණි, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබ සංඛ්‍යාංකයේ x තුනක් ලබා ගත යුතු බවයි. කුමක් සඳහා ද? ඉදිරිපත් කිරීමට 3 x = ඒසහ ප්රකාශනය ලබා ගන්න.
තවද අපි පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ විචලනයකට පැමිණෙමු:
මක්නිසාද යත්, මෙම සූත්‍රයේ x වෙනුවට කුමන අකුරක් (විචල්‍යය) තිබුණත් කමක් නැත.
අපි x තුනෙන් ගුණ කර වහාම බෙදන්නෙමු:
.
සටහන් කළ පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවට අනුකූලව, අපි භාගික ප්රකාශනය ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:
දැන් අපට අවසානයේ මෙම සීමාව විසඳා ගත හැකිය:
.
උදාහරණය 2සීමාව සොයන්න.
විසඳුමක්. සෘජු ආදේශනය නැවතත් "ශුන්‍ය භේදය බිංදුවෙන්" අවිනිශ්චිතතාවයට යොමු කරයි:
.
පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව ලබා ගැනීම සඳහා, සංඛ්‍යාවේ සයින් ලකුණට යටින් ඇති x සහ හරයේ ඇති x එකම සංගුණකය සමඟ තිබීම අවශ්ය වේ. මෙම සංගුණකය 2 ට සමාන කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, x හි වත්මන් සංගුණකය පහත පරිදි සිතන්න, භාග සමඟ ක්‍රියා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:
.
උදාහරණය 3සීමාව සොයන්න.
විසඳුමක්. ආදේශ කරන විට, අපි නැවතත් "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදූ විට" අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනිමු:
.
මුල් ප්‍රකාශනයෙන් ඔබට පළමු අපූරු සීමාව පළමු අපූරු සීමාවෙන් ගුණ කළ හැකි බව ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සංඛ්‍යාංකයේ x සහ හරයේ ඇති සයින් එකම සාධක බවට වියෝජනය කර, x සහ සයින් සඳහා එකම සංගුණක ලබා ගැනීම සඳහා, අපි සංඛ්‍යාංකයේ x 3 න් බෙදන්නෙමු. වහාම 3 න් ගුණ කරන්න. අපට ලැබෙන්නේ:
.
උදාහරණය 4සීමාව සොයන්න.
විසඳුමක්. නැවතත් අපට "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදූ විට" අවිනිශ්චිතතාවය ලැබේ:
.
පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවන් දෙකෙහි අනුපාතය අපට ලබාගත හැකිය. අපි ඉලක්කම් සහ හරය දෙකම x වලින් බෙදන්නෙමු. ඉන්පසුව, සයින් සහ x හි සංගුණක සමපාත වීම සඳහා, අපි ඉහළ x 2 න් ගුණ කර වහාම 2 න් බෙදන්න, පහළ x 3 න් ගුණ කර වහාම 3 න් බෙදන්න. අපට ලැබෙන්නේ:
උදාහරණ 5සීමාව සොයන්න.
විසඳුමක්. නැවතත්, "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදීම" හි අවිනිශ්චිතතාවය:
ත්‍රිකෝණමිතියෙන් අපට මතකයි ස්පර්ශය යනු සයින් සහ කෝසයිනයේ අනුපාතය වන අතර ශුන්‍යයේ කෝසයිනය එකකට සමාන වේ. අපි පරිවර්තනයන් සිදු කර ලබා ගනිමු:
.
උදාහරණය 6සීමාව සොයන්න.
විසඳුමක්. ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයසීමාවේ ලකුණ යටතේ නැවතත් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදීමේ අදහස යෝජනා කරයි. අපි එය සයින් සහ කොසයින් අනුපාතය ලෙස නිරූපණය කරමු.
