තත්පර 1 අපූරු සීමාව. පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව: න්‍යාය සහ උදාහරණ

"විශිෂ්ට සීමාව" යන පදය පෙළපොත් වල බහුලව භාවිතා වේ ඉගැන්වීමේ ආධාරකසැලකිය යුතු ලෙස උපකාර වන වැදගත් අනන්‍යතා දැක්වීමට කාර්යය සරල කරන්නසීමාවන් සොයා ගැනීමට.

නමුත් ගෙන ඒමට හැකි වේඑහි සීමාව පුදුමයට, ඔබ එය දෙස හොඳින් බැලිය යුතුය, මන්ද ඒවා සොයාගත නොහැකි බැවිනි සෘජු ආකෘතිය, සහ බොහෝ විට අනුපූරක ආකාරයෙන්, අතිරේක නියමයන් සහ සාධක වලින් සමන්විත වේ. කෙසේ වෙතත්, පළමුව න්යාය, පසුව උදාහරණ, සහ ඔබ සාර්ථක වනු ඇත!

පළමු පුදුම සීමාව

කැමතිද? පිටු සලකුණ

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව පහත පරිදි ලියා ඇත ($0/0$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක්):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවෙන් ප්රතිවිපාක

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

විසඳුම් උදාහරණ: 1 පුදුම සීමාව

උදාහරණ 1 ගණනය කිරීමේ සීමාව $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

විසඳුමක්.පළමු පියවර සෑම විටම එකම වේ - අපි $x=0$ සීමාව අගය ශ්‍රිතයට ආදේශ කර ලබා ගනිමු:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

අපට $\left[\frac(0)(0)\right]$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති අතර එය විසඳිය යුතුය. හොඳට බැලුවොත්, ආරම්භක සීමාවපළමු කැපී පෙනෙන දෙයට බෙහෙවින් සමාන ය, නමුත් එය සමග සමපාත නොවේ. අපගේ කර්තව්‍යය වන්නේ සමානත්වයට ගෙන ඒමයි. අපි එය මෙලෙස පරිවර්තනය කරමු - සයින් යටතේ ඇති ප්‍රකාශනය දෙස බලන්න, හරය තුළද එයම කරන්න (සාපේක්ෂ වශයෙන් කථා කිරීම, $3x$ න් ගුණ කිරීම සහ බෙදීම), තවදුරටත් අඩු කිරීම සහ සරල කිරීම:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

ඉහත, පළමු අපූරු සීමාව ලබා ගන්නා ලදී: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( කොන්දේසි සහිත ආදේශනයක් කරන ලදී ) y=3x. $$ පිළිතුර: $3/8$.

උදාහරණ 2 ගණනය කිරීමේ සීමාව $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

විසඳුමක්.අපි $x=0$ සීමාව අගය ශ්‍රිතයට ආදේශ කර ලබා ගනිමු:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \වම [\frac(0)(0)\දකුණ].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් අපට ලැබුණි. සරල කිරීමේ පළමු අපූරු සීමාව භාවිතා කරමින් සීමාව පරිවර්තනය කරමු (තුන් වතාවක්!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

පිළිතුර: $9/16$.

උදාහරණය 3 සීමාව සොයන්න $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

විසඳුමක්.ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතය යටතේ නම් සංකීර්ණ ප්රකාශනය? කමක් නැහැ, මෙන්න අපි ඒ ආකාරයෙන්ම ක්රියා කරමු. පළමුව, අවිනිශ්චිතතාවයේ වර්ගය පරීක්ෂා කර, ශ්‍රිතයට $x=0$ ආදේශ කර ලබා ගන්න:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් අපට ලැබුණි. $2x^3+3x$ වලින් ගුණ කරන්න සහ බෙදන්න:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\සීමා_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

නැවතත් අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති විය, නමුත් මේ අවස්ථාවේ දී එය සුළු කොටසක් පමණි. අපි අගය සහ හරය $x$ කින් අඩු කරමු:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

පිළිතුර: $3/5$.

දෙවන පුදුම සීමාව

දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව පහත පරිදි ලියා ඇත ($1^\infty$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවය):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\ to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්රතිවිපාක

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

විසඳුම් උදාහරණ: 2 පුදුම සීමාව

උදාහරණය 4 සීමාව සොයන්න $$\lim\limits_(x\to \infty)\වම(1-\frac(2)(3x)\දකුණ)^(x+3).$$

විසඳුමක්.අපි අවිනිශ්චිතතාවයේ වර්ගය පරීක්ෂා කර, ශ්‍රිතයට $x=\infty$ ආදේශ කර ලබා ගනිමු:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

$\left$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් අපට ලැබුණි. සීමාව දෙවන කැපී පෙනෙන එක දක්වා අඩු කළ හැකිය. අපි පරිවර්තනය කරමු:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\වම( 1+\frac(1)((-3x/2))\දකුණ)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\සීමා_ (x\සිට \infty)\වම(\වම(1+\frac(1)(-3x/2))\දකුණ)^(-3x/2))\දකුණ)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

වරහන් ප්‍රකාශනය ඇත්තෙන්ම දෙවන අපූරු සීමාව $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t=- පමණි 3x/2$, එසේ

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\වම(e\දකුණ)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

පිළිතුර:$e^(-2/3)$.

උදාහරණ 5 සීමාව සොයන්න $$\lim\limits_(x\to \infty)\වම(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\දකුණ)^(x).$ $

විසඳුමක්.ශ්‍රිතයට $x=\infty$ ආදේශ කර $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගන්න. ඒ වගේම අපිට $\left$ අවශ්‍යයි. එබැවින් වරහන් ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කිරීමෙන් ආරම්භ කරමු:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\වම(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\දකුණ)^(x) = \lim\සීමා_ (x\ to \infty)\වම(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\දකුණ)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\වම(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\දකුණ)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\වම(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\ to \infty)\වම(\වම(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\දකුණ) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\දකුණ)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

වරහන් ප්‍රකාශනය ඇත්ත වශයෙන්ම දෙවන අපූරු සීමාව $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t=\ පමණි frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, එසේ

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\වම(e\දකුණ)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

දැන්, මනසේ සාමය ඇතිව, අපි සලකා බැලීම වෙත හැරෙමු පුදුම සීමාවන්.
වගේ පේනවා.

x විචල්‍යය වෙනුවට විවිධ ශ්‍රිත පැවතිය හැක, ප්‍රධාන දෙය නම් ඒවා 0 වෙත නැඹුරු වීමයි.

අපි සීමාව ගණනය කළ යුතුයි

ඔබට පෙනෙන පරිදි, මෙම සීමාව පළමු කැපී පෙනෙන එකට බෙහෙවින් සමාන ය, නමුත් මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම සත්ය නොවේ. පොදුවේ ගත් කල, ඔබ සීමාව තුළ පාපය දුටුවහොත්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කළ හැකිද යන්න ගැන ඔබ වහාම සිතා බැලිය යුතුය.

අපගේ රීති අංක 1 අනුව, අපි x සඳහා ශුන්‍ය ආදේශ කරමු:

අපට අවිනිශ්චිත බවක් ඇති වේ.

දැන් අපි පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව ස්වාධීනව සංවිධානය කිරීමට උත්සාහ කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සරල සංයෝජනයක් සිදු කරන්නෙමු:

එබැවින් අපි 7x කැපී පෙනෙන ලෙස අංකනය සහ හරය සකස් කරමු. හුරුපුරුදු කැපී පෙනෙන සීමාව දැනටමත් දර්ශනය වී ඇත. තීරණය කිරීමේදී එය ඉස්මතු කිරීම සුදුසුය:

පළමු විසඳුම ආදේශ කරන්න විශිෂ්ට උදාහරණයක්සහ අපට ලැබෙන්නේ:

කොටස සරල කරන්න:

පිළිතුර: 7/3.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය.

පෝරමය ඇත , මෙහි e = 2.718281828… යනු අතාර්කික අංකයකි.

x විචල්‍යය වෙනුවට විවිධ ශ්‍රිත තිබිය හැක, ප්‍රධාන දෙය නම් ඒවා නැඹුරු වීමයි.

අපි සීමාව ගණනය කළ යුතුයි

මෙහි සීමාව ලකුණ යටතේ උපාධියක් තිබීම අපට පෙනේ, එයින් අදහස් කරන්නේ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදිය හැකි බවයි.

සෑම විටම, අපි රීති අංක 1 භාවිතා කරන්නෙමු - x වෙනුවට ආදේශක:

x සඳහා උපාධියේ පාදය වන අතර ඝාතකය 4x > , i.e. අපි පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ලබා ගනිමු:

අපගේ අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට දෙවන අපූරු සීමාව භාවිතා කරමු, නමුත් පළමුව අපි එය සංවිධානය කළ යුතුය. ඔබට පෙනෙන පරිදි, දර්ශකයේ පැවැත්ම සාක්ෂාත් කර ගැනීම අවශ්‍ය වේ, ඒ සඳහා අපි පාදම 3x බලයට සහ ඒ සමඟම 1/3x බලයට ඔසවන්නෙමු, එවිට ප්‍රකාශනය වෙනස් නොවේ:

අපගේ අපූරු සීමාව ඉස්මතු කිරීමට අමතක නොකරන්න:

මේවා ඇත්තටම පුදුම සීමාවන්!
ඔබට කිසියම් ප්රශ්නයක් ඇත්නම් පළමු හා දෙවන පුදුම සීමාවන්අදහස් දැක්වීමේදී ඔවුන්ගෙන් විමසීමට නිදහස් වන්න.
අපි හැකි ඉක්මනින් සෑම කෙනෙකුටම පිළිතුරු දෙන්නෙමු.

ඔබට මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගුරුවරයෙකු සමඟ වැඩ කළ හැකිය.
ඔබගේ නගරයේ සුදුසුකම් ලත් උපදේශකයෙකු තෝරා ගැනීමේ සේවාවන් ඔබට පිරිනැමීමට අපි සතුටු වෙමු. අපගේ හවුල්කරුවන් ඔබට හිතකර කොන්දේසි මත ඔබ වෙනුවෙන් හොඳ ගුරුවරයෙකු ඉක්මනින් තෝරා ගනු ඇත.

ප්‍රමාණවත් තොරතුරු නොමැතිද? - ඔයාට පුළුවන් !

ඔබට නෝට්පෑඩ් වල ගණිතමය ගණනය කිරීම් ලිවිය හැකිය. ලාංඡනයක් (http://www.blocnot.ru) සමඟ තනි සටහන් පොත්වල ලිවීම වඩාත් ප්රසන්න වේ.

දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා වන සූත්‍රය වන්නේ lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . ලිවීමේ තවත් ආකාරයක් මෙසේ පෙනේ: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව ගැන කතා කරන විට, 1 පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වේ ∞ , i.e. අසීමිත මට්ටමකට ඒකකය.

Yandex.RTB R-A-339285-1

දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව ගණනය කිරීමේ හැකියාව අපට අවශ්ය ගැටළු සලකා බලන්න.

උදාහරණ 1

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 සීමාව සොයා ගන්න.

විසඳුමක්

අපේක්ෂිත සූත්රය ආදේශ කර ගණනය කිරීම් සිදු කරන්න.

ලිම් x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

අපගේ පිළිතුරෙහි, අපට අනන්තයේ බලයට ඒකකයක් ලැබුණි. විසඳුම් ක්රමය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි අවිනිශ්චිත වගුව භාවිතා කරමු. අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව තෝරාගෙන විචල්‍යයන් වෙනස් කරන්නෙමු.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

x → ∞ නම් t → - ∞ .

ආදේශ කිරීමෙන් පසු අපට ලැබුණු දේ බලමු:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 =

පිළිතුර: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

උදාහරණ 2

ලිම් x → ∞ x - 1 x + 1 x සීමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්

අනන්තය ආදේශ කර පහත දේ ලබා ගන්න.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

පිළිතුරේ දී, අපට නැවතත් පෙර ගැටලුවේ ඇති දේම ලැබුණි, එබැවින් අපට නැවත දෙවන අපූරු සීමාව භාවිතා කළ හැකිය. ඊළඟට, අපි පදනම මත තෝරා ගත යුතුය බලශක්ති කාර්යයසම්පූර්ණ කොටස:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

ඊට පසු, සීමාව පහත පෝරමය ගනී:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

අපි විචල්යයන් ප්රතිස්ථාපනය කරමු. අපි කියමු t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; x → ∞ නම්, t → ∞ .

ඊට පසු, අපි මුල් සීමාව තුළ අපට ලැබුණු දේ ලියන්නෙමු:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → → - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 = 1 - ∞ 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

මෙම පරිවර්තනය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සීමාවන් සහ බලතලවල මූලික ගුණාංග භාවිතා කළෙමු.

පිළිතුර: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

උදාහරණය 3

සීමාව ගණනය කරන්න x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

විසඳුමක්

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

ඊට පසු, දෙවන අපූරු සීමාව යෙදීම සඳහා අපි කාර්යය පරිවර්තනයක් සිදු කළ යුතුය. අපට පහත දේ ලැබුණි:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ලිම් x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

දැන් අපට භාගයේ (හයට සමාන) සංඛ්‍යාවේ සහ හරයේ එකම ඝාතක ඇති බැවින්, අනන්තයේ භාගයේ සීමාව ඉහළ බලවල මෙම සංගුණකවල අනුපාතයට සමාන වේ.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ලිම් x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = ලිම් x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 වෙනුවට, අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව ලබා ගනිමු. අදහස් කරන්නේ කුමක්ද:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

පිළිතුර: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

නිගමන

අවිනිශ්චිතතාවය 1 ∞ , i.e. ඒකකය අසීමිත මට්ටමකට, බල-නීතිය අවිනිශ්චිතතාවයකි, එබැවින්, ඝාතීය බල ශ්රිතවල සීමාවන් සොයා ගැනීම සඳහා නීති රීති භාවිතයෙන් එය හෙළිදරව් කළ හැකිය.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව බොහෝ විට සයින්, ආර්ක්සයින්, ස්පර්ශක, ආක්ටේන්ජන්ට් අඩංගු සීමාවන් ගණනය කිරීමට භාවිතා කරයි සහ එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අවිනිශ්චිතතා බිංදුව ශුන්‍යයෙන් බෙදනු ලැබේ.

සූත්රය

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා සූත්‍රය වන්නේ: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$ \alpha\ සිට 0 $ දක්වා $ \sin\ alpha \ to 0 $ ලබා දෙන බව අපි දකිමු, එබැවින් අපට සංඛ්‍යාවේ සහ හරයෙහි ශුන්‍ය ඇත. මේ අනුව, $ \frac(0)(0) $ හි අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම සඳහා පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ සූත්‍රය අවශ්‍ය වේ.

සූත්රය යෙදීම සඳහා, කොන්දේසි දෙකක් සපුරාලිය යුතුය:

1. භාගයක සයින් සහ හරයේ අඩංගු ප්‍රකාශන සමාන වේ
2. භාගයක සයින් සහ හරයේ ප්‍රකාශන ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ

අවධානය! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ සයින් සහ හරය යටතේ ඇති ප්‍රකාශන සමාන වුවද, $2x ^2+1 = 1 $, $ x\ සිට 0 $ දක්වා. දෙවන කොන්දේසිය සපුරා නැත, එබැවින් සූත්‍රය යෙදිය නොහැක!

ප්රතිවිපාක

ඉතා කලාතුරකිනි, කාර්යයන් වලදී ඔබට වහාම පිළිතුර ලිවිය හැකි පිරිසිදු පළමු පුදුමාකාර සීමාවක් දැකිය හැකිය. ප්රායෝගිකව, සෑම දෙයක්ම ටිකක් සංකීර්ණ ලෙස පෙනේ, නමුත් එවැනි අවස්ථාවන් සඳහා පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්රතිවිපාක දැනගැනීම ප්රයෝජනවත් වනු ඇත. ඔවුන්ට ස්තූතියි, ඔබට ඉක්මනින් අවශ්ය සීමාවන් ගණනය කළ හැකිය.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

විසඳුම් උදාහරණ

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සහ අවිනිශ්චිතතාවය $ \bigg[\frac(0)\bigg] $ අඩංගු සීමාවන් ගණනය කිරීම සඳහා වන විසඳුමේ උදාහරණ අපි පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සලකා බලමු.

උදාහරණ 1

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ ගණනය කරන්න

විසඳුමක්

සීමාව සලකා බලා එහි සයින් එකක් අඩංගු බව සලකන්න. මීළඟට, අපි $ x = 0 $ සංඛ්‍යාව සහ හරයට ආදේශ කර ශුන්‍යයේ අවිනිශ්චිතතාවය බිංදුවෙන් බෙදන්නෙමු: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ ඔබට අපූරු සීමාවක් යෙදිය යුතු බවට දැනටමත් සලකුණු දෙකක් ඇත, නමුත් කුඩා සූක්ෂ්මතාවයක් ඇත: සයින් ලකුණ යටතේ ප්‍රකාශනය හරයේ ප්‍රකාශනයට වඩා වෙනස් බැවින් අපට වහාම සූත්‍රය යෙදිය නොහැක. ඒ වගේම අපි ඔවුන් සමාන විය යුතුයි. එබැවින්, සංඛ්යාංකයේ මූලික පරිවර්තනයන් ආධාරයෙන්, අපි එය $2x$ බවට පත් කරන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි වෙනම සාධකයකින් භාගයේ හරයෙන් ඩියුස් ඉවත් කරමු. එය මෙසේ දිස්වේ: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , අවසානයේ $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ සූත්‍රය මගින් ලබා ගත් බව. ඔබට ඔබේ ගැටලුව විසඳා ගත නොහැකි නම්, එය අප වෙත එවන්න. අපි ලබා දෙන්නෙමු සවිස්තරාත්මක විසඳුම. ගණනය කිරීමේ ප්‍රගතිය පිළිබඳව ඔබව හුරු කරවීමට සහ තොරතුරු රැස් කිරීමට ඔබට හැකි වනු ඇත. කාලෝචිත ආකාරයකින් ගුරුවරයාගෙන් ණයක් ලබා ගැනීමට මෙය ඔබට උපකාරී වනු ඇත!

පිළිතුර

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

උදාහරණ 2

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ සොයන්න

විසඳුමක්

සෑම විටම මෙන්, ඔබ මුලින්ම අවිනිශ්චිතතාවයේ වර්ගය දැනගත යුතුය. එය බිංදුවෙන් බෙදුවහොත්, අපි සයින් එකක් තිබීම කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ මෙම අවිනිශ්චිතතාවය අපට පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ සූත්‍රය භාවිතා කිරීමට ඉඩ සලසයි, නමුත් හරයෙන් ප්‍රකාශනය සයින් තර්කයට සමාන නොවේද? එබැවින්, "නළල මත" සූත්රය යෙදිය නොහැක. ඔබට සයින් තර්කයෙන් භාගය ගුණ කිරීම සහ බෙදීම අවශ්‍ය වේ: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ දැන් අපි සීමාවන්ගේ ගුණ විස්තර කරමු: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ දෙවන සීමාව හුදෙක් සූත්‍රයට ගැලපෙන අතර එකකට සමාන වේ: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ නැවතත් $ x = 0 $ කොටසකට ආදේශ කර $ \frac(0)(0) $ අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගන්න. එය ඉවත් කිරීම සඳහා, වරහන් වලින් $ x $ ගෙන එය අඩු කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

පිළිතුර

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

උදාහරණය 4

$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ ගණනය කරන්න

විසඳුමක්

$ x=0 $ ආදේශ කර ගණනය කිරීම ආරම්භ කරමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට $ \frac(0)(0) $ අවිනිශ්චිතතාවය ලැබේ. සීමාවෙහි සයින් සහ ස්පර්ශකයක් අඩංගු වන අතර එය ඉඟි කරයි හැකි සංවර්ධනයපළමු කැපී පෙනෙන සීමා සූත්‍රය භාවිතා කරන අවස්ථා. භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය සූත්‍රයක් සහ ප්‍රතිවිපාකයක් බවට පරිවර්තනය කරමු: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ දැන් අපි දකින්නේ සූත්‍රයට සහ ප්‍රතිවිපාකවලට ගැලපෙන ප්‍රකාශන සංඛ්‍යාවේ සහ හරයේ තියෙනවා. සයින් තර්කය සහ ස්පර්ශක තර්කය අදාළ හර සඳහා සමාන වේ $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

පිළිතුර

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

ලිපියෙහි: "පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව, විසඳුම් සඳහා උදාහරණ" එය භාවිතා කිරීමට යෝග්ය වන අවස්ථා ගැන පවසා ඇත මෙම සූත්රයසහ එහි ප්රතිවිපාක.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව පහත සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ:

\begin(සමීකරණය)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය)

$\alpha\to(0)$ සඳහා අපට $\sin\alpha\to(0)$ ඇති බැවින්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් හෙළි කරන බව අපි කියමු. සාමාන්‍යයෙන් කථා කරන විට, සූත්‍රයේ (1), $\alpha$ විචල්‍යය වෙනුවට, සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ, කොන්දේසි දෙකක් සපුරා ඇති තාක් ඕනෑම ප්‍රකාශනයක් ස්ථානගත කළ හැක:

1. සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ ඇති ප්‍රකාශන එකවර ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ, i.e. $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත.
2. සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ ඇති ප්‍රකාශන සමාන වේ.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ අනුප්‍රාප්තිකයන් ද බොහෝ විට භාවිතා වේ:

\begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \අවසන්(සමීකරණය)

මෙම පිටුවේ උදාහරණ එකොළහක් විසඳා ඇත. උදාහරණ අංක 1 සූත්‍ර (2)-(4) සාධනය සඳහා කැප කර ඇත. උදාහරණ #2, #3, #4 සහ #5 සවිස්තරාත්මක අදහස් සහිත විසඳුම් අඩංගු වේ. පෙර උදාහරණවල සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් ලබා දී ඇති බැවින් උදාහරණ 6-10 හි සුළු හෝ අදහස් දැක්වීමක් නොමැති විසඳුම් අඩංගු වේ. විසඳුම සමහරක් භාවිතා කරයි ත්රිකෝණමිතික සූත්රසොයා ගත හැකි බව.

සිටීම බව සලකන්න ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත$\frac (0) (0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවය සමඟින් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදිය යුතු බව ඉන් අදහස් නොවේ. සමහර විට සරල ත්රිකෝණමිතික පරිවර්තනයන් ප්රමාණවත් වේ - උදාහරණයක් ලෙස, බලන්න.

උදාහරණ #1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) බව ඔප්පු කරන්න (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

අ) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ සිට, එවිට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ සහ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , එවිට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ආ) අපි $\alpha=\sin(y)$ ආදේශනය කරමු. $\sin(0)=0$ නිසා, $\alpha\to(0)$ කොන්දේසියෙන් අපට $y\to(0)$ ලැබේ. ඊට අමතරව, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, එසේ නම් ශුන්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

සමානාත්මතාවය $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ඔප්පු කර ඇත.

c) අපි $\alpha=\tg(y)$ ආදේශනය කරමු. $\tg(0)=0$ නිසා, $\alpha\to(0)$ සහ $y\to(0)$ යන කොන්දේසි සමාන වේ. ඊට අමතරව, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ වන ශුන්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත, එබැවින්, a ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රතිඵල මත පදනම්ව, අපට ලැබෙනු ඇත:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ සමානාත්මතාවය ඔප්පු කර ඇත.

සමානතා a), b), c) බොහෝ විට පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සමඟ භාවිතා වේ.

උදාහරණ #2

සීමාව ගණනය කරන්න $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ සහ $\lim_(x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. සහ භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය එකවර ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ, එවිට අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරමු, i.e. ඉටු කළා. ඊට අමතරව, සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ ඇති ප්‍රකාශන සමාන බව දැකිය හැකිය (එනම්, සහ තෘප්තිමත්):

එබැවින්, පිටුවේ ආරම්භයේ ලැයිස්තුගත කර ඇති කොන්දේසි දෙකම සපුරා ඇත. සූත්රය අදාළ වන බව මෙයින් පහත දැක්වේ, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\වම(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)(x+7 ))=1$.

පිළිතුර: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\වම(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

උදාහරණ #3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ සොයන්න.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ සහ $\lim_(x\to(0))x=0$ නිසා, අපි $\frac(ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. 0 )(0)$, එනම්, ඉටු කළා. කෙසේ වෙතත්, සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරයේ ඇති ප්‍රකාශන නොගැලපේ. මෙහිදී හරයේ ඇති ප්‍රකාශනය අවශ්‍ය ආකෘතියට සකස් කිරීම අවශ්‍ය වේ. හරය තුළ අපට $9x$ ප්‍රකාශනය අවශ්‍ය වේ - එවිට එය සත්‍ය වනු ඇත. මූලික වශයෙන්, අපට හරයේ ඇති $9$ සාධකය මග හැරී ඇත, එය ඇතුළු කිරීම එතරම් අපහසු නොවේ, හරයේ ප්‍රකාශනය $9$ කින් ගුණ කරන්න. ස්වාභාවිකවම, $9$ කින් ගුණ කිරීම සඳහා වන්දි ගෙවීමට, ඔබට වහාම $9$ කින් බෙදීමට සහ බෙදීමට සිදුවේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

දැන් හරයේ සහ සයින් ලකුණට යටින් ඇති ප්‍රකාශන සමාන වේ. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ සීමාව සඳහා කොන්දේසි දෙකම තෘප්තිමත් වේ. එබැවින් $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. සහ මෙයින් අදහස් කරන්නේ:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

උදාහරණ #4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ සොයන්න.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ සහ $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ නිසා, මෙහි අප කටයුතු කරන්නේ අවිනිශ්චිතතාවයකින් පෝරමය $\frac(0)(0)$. කෙසේ වෙතත්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවෙහි ස්වරූපය කැඩී ඇත. $\sin(5x)$ අඩංගු සංඛ්‍යාවක් සඳහා හරයේ $5x$ අවශ්‍ය වේ. මෙම තත්වය තුළ, පහසුම ක්රමය වන්නේ සංඛ්යාංකය $5x$ කින් බෙදීම සහ වහාම $5x$ කින් ගුණ කිරීමයි. ඊට අමතරව, අපි හරය සමඟ සමාන මෙහෙයුමක් සිදු කරන්නෙමු, $\tg(8x)$ $8x$ න් ගුණ කිරීම සහ බෙදීම:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ කින් අඩු කිරීම සහ සීමාව ලකුණෙන් නියත $\frac(5)(8)$ ගැනීම, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා අවශ්‍යතා සම්පුර්ණයෙන්ම තෘප්තිමත් කරන බව සලකන්න. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ සොයා ගැනීමට පහත සූත්‍රය අදාළ වේ:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

උදාහරණ #5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ සොයන්න.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) සහ $\ සිට lim_(x\to(0))x^2=0$, එවිට අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. කෙසේ වෙතත්, පළමු අපූරු සීමාව යෙදීම සඳහා, ඔබ සයිනස් (ඉන්පසු සූත්‍රය යෙදීම සඳහා) හෝ ස්පර්ශක (ඉන්පසු සූත්‍රය යෙදීම සඳහා) වෙත ගොස් සංඛ්‍යාවේ ඇති කෝසයින් ඉවත් කළ යුතුය. පහත දැක්වෙන පරිවර්තනය සමඟ ඔබට මෙය කළ හැකිය:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\දකුණ)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

අපි නැවත සීමාවට යමු:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\දකුණ) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ කොටස දැනටමත් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා අවශ්‍ය පෝරමයට ආසන්නය. අපි $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ කොටස සමඟ ටිකක් වැඩ කරමු, එය පළමු අපූරු සීමාවට සකසන්න (සංඛ්‍යාංකයේ සහ සයින් යටතේ ඇති ප්‍රකාශන ගැළපිය යුතු බව සලකන්න):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2$$

සලකා බැලූ සීමාව වෙත ආපසු යමු:

$$ \lim_(x\to(0))\වම(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\දකුණ) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

උදාහරණ #6

සීමාව සොයන්න $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ සහ $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ සිට, පසුව අපි $\frac(0)(0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවය සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ ආධාරයෙන් එය විවෘත කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි කොසයින සිට සයින් වෙත යමු. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ සිට, එවිට:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

සයින් සඳහා ලබා දී ඇති සීමාව පසුකරමින්, අපට ඇත්තේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\\ frac(\sin(3x))(3x)\දකුණ)^2\cdot(9x^2))(\වම(\frac(\sin(x))(x)\දකුණ)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\දකුණ)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

උදාහරණ #7

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x))(x^2)$ ලබා දී ඇති $\alpha\neq\ බීටා සීමාව ගණනය කරන්න $.

සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් කලින් ලබා දී ඇත, නමුත් මෙහිදී අපි සරලව සලකන්නේ නැවතත් $\frac(0)(0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති බවයි. අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමින් කෝසයිනවල සිට සයින් වෙත යමු

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\දකුණ)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\දකුණ))(x)\දකුණ)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\වම(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\දකුණ)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ඇල්ෆා^2)(2)$.

උදාහරණ #8

සීමාව සොයන්න $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) සහ $\ නිසා lim_(x\to(0))x^3=0$, එවිට අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරමු. අපි එය මෙසේ කඩා දමමු.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\දකුණ))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\දකුණ))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\දකුණ)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

උදාහරණ #9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ සීමාව සොයන්න.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ සහ $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, එවිට $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. එහි ප්‍රසාරණයට යාමට පෙර, නව විචල්‍යය ශුන්‍යයට නැඹුරු වන ආකාරයට විචල්‍යය වෙනස් කිරීම පහසු වේ (සූත්‍රවල $\alpha \ to 0$ විචල්‍යය බව සලකන්න). පහසුම ක්‍රමය නම් $t=x-3$ යන විචල්‍යය හඳුන්වා දීමයි. කෙසේ වෙතත්, වැඩිදුර පරිවර්තනවල පහසුව සඳහා (මෙම ප්‍රතිලාභය පහත විසඳුමේ දී දැකිය හැක), පහත ආදේශනය කිරීම වටී: $t=\frac(x-3)(2)$. ආදේශන දෙකම අදාළ වන බව සලකන්න මෙම නඩුව, දෙවන ආදේශනය ඔබට භාග සමඟ අඩුවෙන් වැඩ කිරීමට ඉඩ සලසයි. $x\to(3)$ සිට, පසුව $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\වම|\frac (0)(0)\දකුණ| =\වම|\ආරම්භය(පෙළගැසී)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(පෙළගැසී)\දකුණ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

උදාහරණ #10

සීමාව සොයන්න $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^ 2)$.

නැවතත් අපි $\frac(0)(0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවය සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. එහි ප්‍රසාරණයට යාමට පෙර, නව විචල්‍යය ශුන්‍යයට නැඹුරු වන ආකාරයට විචල්‍ය වෙනසක් සිදු කිරීම පහසු වේ (සූත්‍රවල විචල්‍යය $\alpha\to(0)$ බව සලකන්න). පහසුම ක්‍රමය නම් $t=\frac(\pi)(2)-x$ යන විචල්‍යය හඳුන්වා දීමයි. $x\to\frac(\pi)(2)$ සිට, පසුව $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^2) =\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\වම|\ආරම්භය(පෙළගැසී)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(පෙළගැසී)\දකුණ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\වම(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\දකුණ)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^2) =\frac(1)(2)$.

උදාහරණ #11

සීමාවන් සොයන්න $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

මෙම අවස්ථාවේ දී, අපි පළමු පුදුම සීමාව භාවිතා කිරීමට අවශ්ය නැත. කරුණාකර සටහන් කරන්න: පළමු සහ දෙවන සීමාවන් දෙකෙහිම ඇත්තේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සහ සංඛ්‍යා පමණි. බොහෝ විට, මේ ආකාරයේ උදාහරණ වලදී, සීමාව ලකුණ යටතේ පිහිටා ඇති ප්රකාශනය සරල කළ හැකිය. මෙම අවස්ථාවේ දී, සඳහන් කළ සරල කිරීම සහ සමහර සාධක අඩු කිරීමෙන් පසුව, අවිනිශ්චිතතාවය අතුරුදහන් වේ. මම මෙම උදාහරණය ලබා දුන්නේ එක් අරමුණක් ඇතිව පමණි: සීමාව ලකුණ යටතේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත තිබීමෙන් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදීම අවශ්‍යයෙන්ම අදහස් නොවන බව පෙන්වීමට.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) සහ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ බව මතක තබා ගන්න), එවිට අපට අවිනිශ්චිතතාවයෙන් යුතුව කටයුතු කරයි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියෙන්. කෙසේ වෙතත්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ අප පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කළ යුතු බව නොවේ. අවිනිශ්චිතභාවය හෙළි කිරීමට, $\cos^2x=1-\sin^2x$: බව සැලකිල්ලට ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ.

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

ඩෙමිඩොවිච්ගේ විසඳුම් පොතේ (අංක 475) සමාන විසඳුමක් තිබේ. දෙවන සීමාව සඳහා, මෙම කොටසෙහි පෙර උදාහරණවල මෙන්, අපට $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. එය පැන නගින්නේ ඇයි? එය පැන නගින්නේ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ සහ $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ නිසාය. අපි මෙම අගයන් භාවිතා කරන්නේ numerator සහ denominator වල ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමටයි. අපගේ ක්‍රියාවන්හි අරමුණ: නිෂ්පාදනයක් ලෙස ඉලක්කම් සහ හරයෙහි එකතුව ලියන්න. මාර්ගය වන විට, නව විචල්‍යය ශුන්‍යයට නැඹුරු වන පරිදි සමාන ආකෘතියක් තුළ විචල්‍යයක් වෙනස් කිරීම බොහෝ විට පහසු වේ (උදාහරණයක් ලෙස, මෙම පිටුවේ අංක 9 හෝ අංක 10 බලන්න). කෙසේ වෙතත්, තුළ මෙම උදාහරණයඅවශ්‍ය නම් $t=x-\frac(2\pi)(3)$ යන විචල්‍යය වෙනස් කිරීම ක්‍රියාත්මක කිරීමට පහසු වුවද, විචල්‍යය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමේ තේරුමක් නැත.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\වම(\cos(x)+\frac(1)(2)\දකුණ )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\දකුණ))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)\cdot\වම( -\frac(1)(2)\දකුණ)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපට පළමු අපූරු සීමාව යෙදීමට සිදු නොවීය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අවශ්ය නම් මෙය සිදු කළ හැකිය (පහත සටහන බලන්න), නමුත් එය අවශ්ය නොවේ.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරන විසඳුම කුමක්ද? පෙන්වන්න / සඟවන්න

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3))\ දකුණ)(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\දකුණ) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.