Балка навантажена поздовжньою силою. Вигин балки при дії поздовжніх та поперечних сил. Побудова епюр поздовжніх сил Nz

УДК 539.52

Граничне навантаження для защемленої балки, навантаженої поздовжньої силою, несиметрично поділене навантаження і опорними моментами

І.А. Монахов1, Ю.К. Басов2

кафедра будівельного виробництва Будівельний факультет Московський державний машинобудівний університет вул. Павла Корчагіна, 22, Москва, Росія, 129626

2Кафедра будівельних конструкцій та споруд Інженерний факультет Російський університет дружби народів вул. Орджонікідзе, 3, Москва, Росія, 115419

У статті розроблено методику вирішення задач про малі прогини балок з ідеального жорстко-пластичного матеріалу при дії несиметрично розподілених навантажень з урахуванням попереднього розтягування-стиснення. Розроблена методика застосована для дослідження напружено-деформованого стану однопрогонових балок, а також для обчислення граничного навантаження балок.

Ключові слова: балка, нелінійність, аналітичне.

У сучасному будівництві, суднобудуванні, машинобудуванні, хімічній промисловості та інших галузях техніки найпоширенішими видами конструкцій є стрижневі, зокрема балки. Природно, що для визначення реальної поведінки стрижневих систем (зокрема балок) та ресурсів їх міцності необхідний облік пластичних деформацій.

Розрахунок конструктивних систем при обліку пластичних деформацій за допомогою моделі ідеального жорсткопластичного тіла є найпростішим, з одного боку, і досить прийнятним з погляду вимог практики проектування – з іншого. Якщо мати на увазі область малих переміщень конструктивних систем, це пояснюється тим, що здатність («граничне навантаження»), що несе, ідеальних жесткопластичних і пружнопластичних систем виявляється однією і тією ж.

Додаткові резерви і суворіша оцінка несучої здатності конструкцій виявляються результаті обліку геометричної нелінійності при деформуванні їх. В даний час облік геометричної нелінійності в розрахунках конструктивних систем є першочерговим завданням не лише з погляду розвитку теорії розрахунку, але й з погляду практики проектування споруд. Прийнятність розв'язків задач щодо розрахунку конструкцій в умовах малості

переміщень досить невизначена, з іншого боку, практичні дані та властивості систем, що деформуються, дозволяють вважати, що великі переміщення є реально досяжними. Достатньо вказати на конструкції будівельних, хімічних, судно- та машинобудівних об'єктів. З іншого боку, модель жесткопластичного тіла означає зневага пружними деформаціями, тобто. пластичні деформації набагато перевершують пружні. Оскільки деформаціям відповідають переміщення, облік великих переміщень жесткопластичних систем є доречним.

Однак геометрично нелінійне деформування конструкцій здебільшого неминуче призводить і до виникнення пластичних деформацій. Тому особливого значення набуває одночасного обліку пластичних деформацій та геометричної нелінійності в розрахунках конструктивних систем і, звичайно, стрижневих.

У цій статті розглядаються малі прогини. Подібні завдання вирішувалися у роботах.

Розглядається балка із защемленими опорами, під дією ступінчастого навантаження, крайових моментів та попередньо доданої поздовжньої сили (рис. 1).

Мал. 1. Балка під розподіленим навантаженням

Рівняння рівноваги балки при великих прогинах у безрозмірній формі має вигляд

d2 т / , год d2 w dn

-- + (п ± щ)-- + р = ^ - = 0, dx ах ах

х 2w р12 М N ,г,

де х ==, w =-, р =--, т =--, п =-, N та М - внутрішні нормальна

I до 5хЪк Ъ!!Ък 25!!Ък

сила і згинальний момент, р - поперечне рівномірно розподілене навантаження, W - прогин, х - поздовжня координата (початок координат на лівій опорі), 2к - висота поперечного перерізу, Ъ - ширина поперечного перерізу, 21 - проліт балки, 5^ - межа плинності матеріалу. Якщо N задано, то зусилля N є наслідком дії р при

наявних прогинах, 11 = = , характеристика над літерами означає розмірність величин.

Розглянемо перший етап деформування – «малі» прогини. Пластичний переріз виникає при х = х2, у ньому т = 1 – п2.

Вирази для швидкостей прогинів мають вигляд - прогин при х = х2):

(2-х), (х > Х2),

Розв'язання задачі розбивається на два випадки: х2< 11 и х2 > 11.

Розглянемо випадок х2< 11.

Для зони 0< х2 < 11 из (1) получаем:

Рх 111 1 Р11 к1р/1 т = + к1 р + р/1 -к1 р/1 -±4- +-^41

х -(1 -п2)±а,

(, 1, р/2 к1 р12Л

Рх2 + к1 р + р11 - к1 р11 - + 1^

Х2 = к1 +11 - к111 - + ^

Враховуючи виникнення пластичного шарніру при х = х2, отримуємо:

тх = х = 1 - п2 = - р

(12 к12 Л до +/ - к1 - ^ + к"А

до, + /, - до, /, -L +

(/ 2 к/ 2 Л к1 + /1 - к1/1 - ^ + М

Розглядаючи випадок х2> /1, отримуємо:

для зони 0< х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид

до р-р2 + кар/1+р/1 -к1 р/1 ^ х-(1-П12)±

а для зони 11< х < 2 -

^ р-рЦ + 1^ Л

х -(1 -п-)±а +

(. рг-к1 р1-Л

Кх рх2 + кх р+

0, і тоді

I2 12 1 год х2 = 1 - + -.

З умови пластичності випливає рівність

звідки отримуємо вираз для навантаження:

к1 - 12 + М Л2

К1/12 - к2 ¡1

Таблиця 1

к1 = 0 11 = 0,66

Таблиця 2

к1 = 0 11 = 1,33

0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2

Таблиця 3

к1 = 0,5 11 = 1,61

0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94

0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45

Таблиця 5 к1 = 0,8 11 = 0,94

0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

Таблиця 3

к1 = 0,5 11 = 2,0

0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

Таблиця 6 к1 = 1 11 = 1,33

0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Таблиця 7 Таблиця 8

до, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42

0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66

0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38

0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9

0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

Задаючи коефіцієнт навантаження к1 від 0 до 1, згинальний момент від -1 до 1, значення поздовжньої сили п1 від 0 до 1, відстань /1 від 0 до 2, отримаємо положення пластичного шарніра за формулами (3) і (5), а потім отримаємо значення граничного навантаження за формулами (4) або (6). Чисельні результати розрахунків зведені у таблиці 1-8.

ЛІТЕРАТУРА

Басов Ю.К., Монахов І.А. Аналітичне рішення задачі про великі прогини жорстко-пластичної защемленої балки під дією локального розподіленого навантаження, опорних моментів та поздовжньої сили // Вісник РУДН. Серія "Інженерні дослідження". – 2012. – № 3. – С. 120-125.

Савченко Л.В., Монахов І.А. Великі прогини фізично нелінійних круглих пластинок // Вісник Інжекон. Серія "Технічні науки". - Вип. 8(35). – СПб., 2009. – С. 132-134.

Галілєєв С.М., Саліхова Є.А. Дослідження частот власних коливань елементів конструкції зі склопластику, вуглепластику та графену // Вісник Інжекон. Серія "Технічні науки". - Вип. 8. – СПб., 2011. – С.102.

Єрхов М.І., Монахов А.І. Великі прогини попередньо напруженої жорсткопласти-чної балки з шарнірними опорами при рівномірно розподіленому навантаженні та крайових моментах // Вісник відділення будівельних наук Російської академії архітектури та будівельних наук. – 1999. – Вип. 2. – С. 151-154. .

THE LITTLE DEFLECTIONS OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS WITH THE REGIONAL MOMENTS

I.A. Monakhov1, U.K. Basov2

"Department of Building production manufacture Building Faculty Moscow State Machine-building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia,129626

Department of Bulding Structures and Facilities Факультети людей "Friendship University of Russia Ordzonikidze str., 3, Moskow, Russia, 115419

У роботі над технологією вирішення проблем про дрібні відхилення бруків від ідеального hard-plastic material, з різними різновидами оздоблення, за величезну дію asymmetrically distributed loads allowance for preliminary stretching-compression is develo. Розроблена технологія є застосована для дослідження штрих-деформованих умов зброї, а також для обчислення відхилення шлангів з відповідністю до geometrical nonlinearity.

Key words: beam, analytic, nonlinearity.

Насправді дуже часто трапляються випадки спільної роботи стрижня на вигин і розтягнення чи стиск. Подібного роду деформація може викликатися або спільною дією на балку поздовжніх і поперечних сил, або лише одними поздовжніми силами.

Перший випадок зображено на рис.1. На балку АВ діють рівномірно розподілене навантаження q і поздовжні стискаючі сили Р.

Рис.1.

Припустимо, що прогинами балки проти розмірами поперечного перерізу можна знехтувати; тоді з достатньою для практики ступенем точності вважатимуться, як і після деформації сили Р викликатимуть лише осьове стиск балки.

Застосовуючи спосіб складання дії сил ми можемо знайти нормальну напругу в будь-якій точці кожного поперечного перерізу балки як алгебраїчну суму напруг, викликаних силами Р і навантаженням q.

Стиснуть напруження від сил Р рівномірно розподілені за площею F поперечного перерізу і однакові для всіх перерізів

нормальні напруги від вигину у вертикальній площині у перерізі з абсцисою х, яка відрахована, скажімо, від лівого кінця балки, виражаються формулою

Таким чином, повна напруга в точці з координатою z (вважаючи від нейтральної осі) для цього перерізу дорівнює

На Рис.2 зображені епюри розподілу напруги у перерізі від сил Р, навантаження q і сумарна епюра.

Найбільша напруга у цьому перерізі буде у верхніх волокнах, де обидва види деформації викликають стиск; в нижніх волокнах може бути або стиснення або розтягування в залежності від числових величин напруги та. Для складання умови міцності знайдемо найбільшу нормальну напругу.

Рис.2.

Так як напруги від сил Р у всіх перерізах однакові і рівномірно розподілені, небезпечними будуть волокна, найбільш напружені від вигину. Такими є крайні волокна в перерізі з найбільшим згинальним моментом; для них

Таким чином, напруги в крайніх волокнах 1 і 2 середнього перерізу балки виражаються формулою

і розрахункова напруга дорівнюватиме

Якби сили Р були розтягуючими, то знак першого доданка змінився б, небезпечними були б нижні волокна балки.

Позначаючи буквою N силу, що стискає або розтягує, можемо написати загальну формулу для перевірки міцності

Описаний хід розрахунку застосовується при дії на балку похилих сил. Таку силу можна розкласти на нормальну до осі, що згинає балку, і поздовжню, що стискає або розтягує.

балка вигин сила стиск

Будуємо епюру Q.

Побудуємо епюру М методом характерних точок. Розставляємо крапки на балці - це точки початку і кінця балки ( D,A ), зосередженого моменту ( B ), а також відзначимо як характерну точку середину рівномірно розподіленого навантаження ( K ) - це додаткова точка для побудови параболічної кривої.

Визначаємо згинальні моменти в точках. Правило знаківдив. - .

Момент у т.ч. У визначатимемо так. Спочатку визначимо:

Крапку До візьмемо до серединіділянки з рівномірно розподіленим навантаженням.

Будуємо епюру M . Ділянка АВ – параболічна крива(правило «парасолька»), ділянка ВD – пряма похила лінія.

Для балки визначити опорні реакції та побудувати епюри згинальних моментів ( М) та поперечних сил ( Q).

1. Позначаємо опорилітерами А і У і спрямовуємо опорні реакції R А і R В .

Складаємо рівняння рівноваги.

Перевірка

Записуємо значення R А і R В на розрахункову схему.

2. Побудова епюри поперечних силметодом перерізів. Перетини розставляємо на характерних ділянках(Між змінами). По розмірній нитці – 4 ділянки, 4 перерізи.

січ. 1-1 хід зліва.

Перетин проходить дільницею з рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 1 вліво від перерізу до початку ділянки. Довжина ділянки 2м. Правило знаківдля Q - Див.

Будуємо за знайденим значенням епюруQ.

січ. 2-2 хід праворуч.

Перетин знову проходить ділянкою рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 2 праворуч від перерізу до початку ділянки. Довжина ділянки 6м.

Будуємо епюру Q.

січ. 3-3 хід праворуч.

січ. 4-4 хід праворуч.

Будуємо епюруQ.

3. Побудова епюри Мметодом характерних точок.

Характерна точка- Крапка, яка-небудь помітна на балці. Це точки А, У, З, D , а також точка До , в якій Q=0 і згинальний момент має екстремум. також в серединіконсолі поставимо додаткову точку Е, оскільки на цій ділянці під рівномірно розподіленим навантаженням епюру Мописується кривийлінією, а вона будується, як мінімум, по 3 точкам.

Отже, точки розставлені, приступаємо до визначення в них значень згинальних моментів. Правило знаків – див..

Ділянки NA, AD – параболічна крива(правило «парасолька» у механічних спеціальностей або «правило вітрила» у будівельних), ділянки DС, СВ – прямі похилі лінії.

Момент у точці D слід визначати як ліворуч, так і праворучвід крапки D . Сам момент у ці висловлювання не входить. У точці D отримаємо двазначення з різницеюна величину m – стрибокз його величину.

Тепер слід визначити момент у точці До (Q=0). Однак спочатку визначимо положення точки До , позначивши відстань від неї до початку ділянки невідомою х .

Т. До належить другомухарактерній ділянці, його рівняння для поперечної сили(див. вище)

Але поперечна сила у т.ч. До дорівнює 0 , а z 2 дорівнює невідомому х .

Отримуємо рівняння:

Тепер, знаючи х, визначимо момент у точці До з правого боку.

Будуємо епюру М . Побудову виконаємо для механічнихспеціальностей, відкладаючи позитивні значення вгорувід нульової лінії та використовуючи правило «парасольки».

Для заданої схеми консольної балки потрібно побудувати епюри поперечної сили Q і моменту, що згинає M, виконати проектувальний розрахунок, підібравши круглий переріз.

Матеріал - дерево, розрахунковий опір матеріалу R = 10МПа, М = 14кН · м, q = 8кН / м

Будувати епюри в консольній балці з жорстким закладенням можна двома способами - звичайним, попередньо визначивши опорні реакції, і без визначення опорних реакцій, якщо розглядати ділянки, йдучи від вільного кінця балки і відкидаючи ліву частину із закладенням. Побудуємо епюри звичайнимспособом.

1. Визначимо опорні реакції.

Поступово розподілене навантаження qзамінимо умовною силою Q = q · 0,84 = 6,72 кН

У жорсткому закладенні три опорні реакції — вертикальна, горизонтальна і момент, у разі горизонтальна реакція дорівнює 0.

Знайдемо вертикальнуреакцію опори R Aі опорний момент М Aіз рівнянь рівноваги.

На перших двох ділянках праворуч поперечна сила відсутня. На початку ділянки з рівномірно розподіленим навантаженням (праворуч) Q=0, в затишку - величині реакції R A.
3. Для побудови складемо вирази їх визначення на ділянках. Епюру моментів збудуємо на волокнах, тобто. вниз.

(стиснуті нижні волокна).

Ділянка DC: (стиснуті верхні волокна).

Ділянка СК: (стиснуті ліві волокна)

(стиснуті ліві волокна)

На малюнку – епюри нормальних (поздовжніх) сил - (б), поперечних сил - (в) і згинальних моментів - (г).

Перевірка рівноваги вузла С:

Завдання 2 Побудувати епюри внутрішніх зусиль для рами (рис. а).

Дано: F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, =3м, h=2м.

Визначимо опорні реакціїрами:

З цих рівнянь знайдемо:

Оскільки значення реакції R Kмає знак мінусна рис. азмінюється напрямокданого вектора на протилежне, при цьому записується R K =83,33кН.

Визначимо значення внутрішніх зусиль N, Qі Му характерних перерізах рами:

Ділянка НД:

(стиснуті праві волокна).

Ділянка CD:

(стиснуті праві волокна);

(стиснуті праві волокна).

Ділянка DE:

(стиснуті нижні волокна);

(стиснуті нижні волокна).

Ділянка КС

(стиснуті ліві волокна).

Побудуємо епюри нормальних (поздовжніх) сил (б), поперечних сил (в) і згинальних моментів (г).

Розглянемо рівновагу вузлів Dі Е

З розгляду вузлів Dі Евидно, що вони знаходяться в рівноваги.

Завдання 3. Для рами із шарніром побудувати епюри внутрішніх зусиль.

Дано: F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, =2м, h=2м.

Рішення. Визначимо опорні реакції. Слід зазначити, що в обох шарнірно-нерухомих опорах по двіреакції. У зв'язку з цим слід використовувати властивість шарніру С — моментв ньому як від лівих, так і від правих сил дорівнює нулю. Розглянемо ліву частину.

Рівняння рівноваги для рами можна записати у вигляді:

З розв'язання даних рівнянь випливає:

На схемі рами напрямок дії сили Н Взмінюється на протилежне (Н B = 15кН).

Визначимо зусилляу характерних перерізах рами.

Ділянка BZ:

(стиснуті ліві волокна).

Ділянка ZC:

(стиснуті ліві волокна);

Ділянка КD:

(стиснуті ліві волокна);

(стиснуті ліві волокна).

Ділянка DС:

(стиснуті нижні волокна);

Визначення екстремального значеннязгинального моменту на ділянці CD:

1. Побудова епюри поперечних сил.Для консольної балки (мал. а ) характерні точки: А – точка застосування опорної реакції V A; З - Точка застосування зосередженої сили; D, B - Початок і кінець розподіленого навантаження. Для консолі поперечна сила визначається аналогічно двоопорній балці. Отже, під час ліворуч:

Для перевірки правильності визначення поперечної сили в перерізах пройдіть балку аналогічно, але з правого кінця. Тоді відтятими будуть праві частини балки. Пам'ятайте, що правило символів змінюються. Результат повинен вийти той самий. Будуємо епюру поперечної сили (рис, б).

2. Побудова епюри моментів

Для консольної балки епюра згинальних моментів будується аналогічно до попередньої побудови. Характерні точки для цієї балки (див. рис. а) наступні: А - Опора; З - точка додатка зосередженого моменту та сили F; D і У- Початок і кінець дії рівномірно розподіленого навантаження. Оскільки епюра Q x на ділянці дії розподіленого навантаження нульову лінію не перетинає, для побудови епюри моментів цьому ділянці (параболічна крива) слід вибрати довільно додаткову точку для побудови кривої, наприклад у середині ділянки.

Хід зліва:

Ходом праворуч знаходимо M B = 0.

За знайденими значеннями будуємо епюру згинальних моментів (див. рис. в ).

Запис опубліковано автором admin обмежується похилої прямої, а на ділянці, на якій немає розподіленого навантаження, - прямої, паралельної осітому для побудови епюри поперечних сил достатньо визначити значення Qуна початку та наприкінці кожної ділянки. У перерізі, відповідному точці докладання зосередженої сили, поперечна сила повинна бути обчислена трохи лівіше цієї точки (на нескінченно близькому відстані від неї) і трохи правіше її; поперечні сили в таких місцях позначаються відповідно .

Будуємо епюру Qуметодом характерних точок, ходом ліворуч. Для більшої наочності відкидається частина балки спочатку рекомендується закривати листом паперу. Характерними точками для двоопорної балки (мал. а ) будуть точки C і D – початок та кінець розподіленого навантаження, а також A і B - точки застосування опорних реакцій, E - Точка застосування зосередженої сили. Проведемо подумки вісь yперпендикулярно осі балки через точку Зі не змінюватимемо її положення, поки не пройдемо всю балку від Cдо E. Розглядаючи ліві відсічені за характерними точками частини балки, проектуємо на вісь yчинні на даній ділянці сили з відповідними знаками. В результаті отримуємо:

Для перевірки правильності визначення поперечної сили в перерізах можна пройти балку аналогічно, але з правого кінця. Тоді відтятими будуть праві частини балки. Результат повинен вийти той самий. Збіг результатів може бути контролем побудови епюри Qу. Проводимо нульову лінію під зображенням балки та від неї у прийнятому масштабі відкладаємо знайдені значення поперечних сил з урахуванням знаків у відповідних точках. Отримаємо епюру Qу(Мал. б ).

Побудувавши епюру, зверніть увагу на наступне: епюра під розподіленим навантаженням зображується похилою прямою, під ненавантаженими ділянками - відрізками, паралельними нульовій лінії, під зосередженою силою на епюрі утворюється стрибок, що дорівнює значенню сили. Якщо похила лінія під розподіленим навантаженням перетинає нульову лінію, позначте цю точку, це точка екстремуму, і вона є тепер для нас характерною, відповідно до диференціальної залежності між Qуі МxУ цій точці момент має екстремум і його потрібно буде визначити при побудові епюри згинальних моментів. У нашому завданні це точка До . Зосереджений момент на епюрі Qусебе ніяк не виявляє, оскільки сума проекцій сил, що утворюють пару, дорівнює нулю.

2. Побудова епюри моментів.Будуємо епюру згинальних моментів, як і поперечних сил, методом характерних точок, ходом зліва. Відомо, що на ділянці балки з рівномірно розподіленим навантаженням епюра згинальних моментів окреслюється кривою лінією (квадратичною параболою), для побудови якої треба мати не менше трьох точокі, отже, повинні бути обчислені значення згинальних моментів на початку ділянки, наприкінці його і в одному проміжному перерізі. Такою проміжною точкою найкраще взяти перетин, в якому епюра Qуперетинає нульову лінію, тобто. де Qу= 0. На епюрі М у цьому перерізі має бути вершина параболи. Якщо ж епюра Q у не перетинає нульову лінію, то для побудови епюри Мслід на цій ділянці взяти додаткову точку, наприклад, в середині ділянки (початку і кінця дії розподіленого навантаження), пам'ятаючи, що опуклістю парабола завжди звернена вниз, якщо навантаження діє зверху вниз (для будівельних спеціальностей). Існує правило "дощу", яке дуже допомагає при побудові параболічної частини епюри. М. Для будівельників це правило виглядає так: уявіть, що розподілене навантаження - це дощ, підставте під нього парасольку в перевернутому вигляді, так щоб дощ не стікав, а збирався в ньому. Тоді опуклість парасольки буде звернена донизу. Так і виглядатиме обрис епюри моментів під розподіленим навантаженням. Для механіків існує так зване правило «парасольки». Розподілене навантаження представляється дощем, а обрис епюри має нагадувати контур парасольки. У цьому прикладі епюра побудована для будівельників.

Якщо потрібна точніша побудова епюри, то повинні бути обчислені значення згинальних моментів у кількох проміжних перерізах. Умовимося для кожної такої ділянки згинальний момент спочатку визначити у довільному перерізі, виражаючи його через відстань хвід будь-якої точки. Потім даючи відстані хряд значень, отримаємо значення згинальних моментів у відповідних перерізах ділянки. Для ділянок, на яких немає розподіленого навантаження, згинальні моменти визначають у двох перерізах, що відповідають початку та кінцю ділянки, так як епюра Мна таких ділянках обмежується прямою. Якщо до балки доданий зовнішній зосереджений момент, то обов'язково треба обчислювати згинальний момент трохи лівіше за місце докладання зосередженого моменту і трохи правіше за нього.

Для двоопорної балки характерні точки наступні: C і D - Початок і кінець розподіленого навантаження; А – опора балки; У – друга опора балки та точка докладання зосередженого моменту; Е – правий кінець балки; крапка До , що відповідає перерізу балки, в якому Qу= 0.

Хід ліворуч. Праву частину до розрізу, що розглядається, подумки відкидаємо (візьміть аркуш паперу і прикрийте їм відкидну частину балки). Знаходимо суму моментів усіх сил, що діють зліва від перерізу щодо точки, що розглядається. Отже,

Перш ніж визначити момент у перерізі Донеобхідно знайти відстань х = АК. Складемо вираз для поперечної сили в даному перерізі та прирівняємо його до нуля (хід зліва):

Цю відстань можна знайти також з подоби трикутників KLN і KIG на епюрі Qу(Мал. б) .

Визначаємо момент у точці До :

Пройдемо частину балки, що залишилася, ходом праворуч.

Як бачимо, момент у точці D під час ліворуч і праворуч вийшов однаковий – епюра замкнулася. За знайденими значеннями будуємо епюру. Позитивні значення відкладаємо вниз від нульової лінії, а негативні – нагору (див. рис. в ).

Поздовжньо-поперечним вигином називається поєднання поперечного вигину зі стисненням або розтягуванням бруса.

При розрахунку поздовжньо-поперечний вигин обчислення згинальних моментів у поперечних перерізах бруса проводиться з урахуванням прогинів його осі.

Розглянемо балку з шарнірно опертими кінцями, навантаженою деяким поперечним навантаженням і стискаючою силою 5, що діє вздовж осі балки (рис. 8.13 а). Позначимо у прогин осі балки в поперечному перерізі з абсцисою (позитивний напрямок осі у приймемо вниз, і, отже, прогини балки вважаємо позитивними, коли вони спрямовані вниз). Згинальний момент М, що діє в цьому перерізі,

(23.13)

тут згинальний момент від дії поперечного навантаження; - додатковий згинальний момент від дії сили

Повний прогин можна розглядати що складається з прогину виникає від дії тільки поперечного навантаження, і додаткового прогину, рівного викликаного силою .

Повний прогин більше суми прогинів, що виникають при роздільній дії поперечного навантаження і сили S, так як у випадку дії на балку тільки сили S прогини її дорівнюють нулю. Таким чином, у разі поздовжньо-поперечного вигину принцип незалежності дії сил не застосовується.

При дії на балку розтягуючої сили S (рис. 8.13 б) згинальний момент у перерізі з абсцисою

(24.13)

Розтягуюча сила S призводить до зменшення прогинів балки, тобто повні прогини у цьому випадку менше прогинів викликаних дією тільки поперечного навантаження.

У практиці інженерних розрахунків під поздовжньо-поперечним вигином мають на увазі зазвичай випадок дії стискаючої сили та поперечного навантаження.

При жорсткій балці, коли додаткові згинальні моменти невеликі в порівнянні з моментом прогини мало відрізняються від прогинів. У цих випадках можна нехтувати впливом сили S на величини згинальних моментів і величини прогинів балки і проводити її розрахунок на центральне стиск (або розтяг) з поперечним вигином, як викладено в § 2.9.

При балці, жорсткість якої невелика, вплив сили S на величини згинальних моментів і прогинів балки може бути суттєвим і нехтувати ним при розрахунку не можна. У цьому випадку балку слід розраховувати на поздовжньо-поперечний вигин, розуміючи під цим розрахунок на спільну дію вигину та стиснення (або розтягування), який виконується з урахуванням впливу осьового навантаження (сили S) на деформацію вигину балки.

Розглянемо методику такого розрахунку на прикладі балки, шарнірно опертої по кінцях, навантаженої поперечними силами, спрямованими в один бік, і силою, що стискає S (рис. 9.13).

Підставимо в наближене диференціальне рівняння пружної лінії (1.13) вираз згинального моменту М за формулою (23.13):

[знак мінус перед правою частиною рівняння взято тому, що на відміну від формули (1.13) тут позитивним для прогинів вважається напрямок донизу], або

Отже,

З метою спрощення рішення припустимо, що додатковий прогин змінюється за довжиною балки за синусоїдою, тобто що

Це дозволяє отримати досить точні результати при дії на балку поперечного навантаження, спрямованої в одну сторону (наприклад, зверху вниз). Замінимо у формулі (25.13) прогин виразом

Вираз збігається з формулою Ейлера для критичної сили стисненого стрижня із шарнірно закріпленими кінцями. Тому його позначають та називають ейлеровою силою.

Отже,

Слід відрізняти ейлерову силу від критичної сили, що обчислюється за формулою Ейлера. Значення можна обчислювати за формулою Ейлера лише за умови, що гнучкість стрижня більша за граничну; значення ж підставлять у формулу (26.13) незалежно від гнучкості балки. У формулу для критичної сили, як правило, входить мінімальний момент інерції поперечного перерізу стрижня, а вираз ейлерової сили входить момент інерції щодо тієї з головних осей інерції перерізу, яка перпендикулярна площині дії поперечного навантаження.

З формули (26.13) випливає, що співвідношення між повними прогинами балки у і прогинами, викликаними Дією тільки поперечного навантаження, залежить від відношення (величини стискаючої сили 5 до величини ейлерової сили).

Таким чином, відношення є критерієм жорсткості балки при поздовжньо-поперечному згинанні; якщо це відношення близько до нуля, то жорсткість балки велика, а якщо воно близько до одиниці, то жорсткість балки мала, тобто балка є гнучкою.

У разі коли , прогин тобто при відсутності сили S прогини викликаються тільки дією поперечного навантаження.

Коли величина стискаючої сили S наближається до значення ейлерової сили, повні прогини балки різко зростають і можуть у багато разів перевищувати прогини, викликані дією тільки поперечного навантаження. У граничному випадку при прогинах у, підраховані за формулою (26.13), стають рівними нескінченності.

Слід зазначити, що формула (26.13) не застосовна при дуже великих прогинах балки, так як вона заснована на наближеному вираженні кривизни Цей вираз застосовується лише при малих прогинах, а при великих має бути замінено тоадим виразом кривизни (65.7). У цьому випадку прогини при не дорівнювали б нескінченності, а були б хоча і дуже великими, але кінцевими.

При дії на балку сили, що розтягує, формула (26.13) набуває вигляду.

З цієї формули випливає, що повні прогини менше прогинів викликаних дією тільки поперечного навантаження. При розтягуючій силі S, чисельно рівної значенню ейлерової сили (тобто при ), прогини вдвічі менше прогинів

Найбільші та найменші нормальні напруги в поперечному перерізі балки з шарнірно закріпленими кінцями при поздовжньо-поперечному згині та стискаючій силі S рівні

Розглянемо двоопорну балку двотаврового перерізу з прольотом Балка навантажена посередині вертикальною силою Р та стискається осьовою силою S = 600 (рис. 10.13). Площа поперечного перерізу балки момент інерції, момент опору та модуль пружності

Поперечні зв'язки, що з'єднують цю балку із сусідніми балками споруди, виключають можливість втрати стійкості балки у горизонтальній площині (тобто у площині найменшої жорсткості).

Згинальний момент і прогин посеред балки, підраховані без урахування впливу сили S, рівні:

Ейлерова сила визначається виразом

Прогин посередині балки, підрахований з урахуванням впливу сили S на підставі формули (26.13),

Визначимо найбільшу нормальну (стискаючу) напругу в середньому поперечному перерізі балки за формулою (28.13):

звідки після перетворення

Підставивши вираз (29.13) різні значення Р (в ), отримаємо відповідні їм значення напруг . Графічно залежність між визначається виразом (29.13), характеризується кривою, зображеною на рис. 11.13.

Визначимо навантаження Р, що допускається, якщо для матеріалу балки а необхідний коефіцієнт запасу міцності отже, допустима напруга для матеріалу

З рис. 11.23 випливає, що напруга виникає в балці при навантаженні, а напруга - при навантаженні

Якщо в якості допускається прийняти навантаження то коефіцієнт запасу по напругам буде дорівнює заданому значенню Однак при цьому балка матиме незначний коефіцієнт запасу по навантаженню, так як напруги, рівні від, виникнуть в ній вже при Рот.

Отже, коефіцієнт запасу по навантаженню в цьому випадку дорівнюватиме 1,06 (оскільки е. явно недостатній.

Для того щоб балка мала за навантаженням коефіцієнт запасу, рівний 1,5, як допускається слід прийняти значення при цьому напруги в балці будуть, як це випливає з рис. 11.13, приблизно рівні

Вище розрахунок на міцність проводився за напругою, що допускається. Це забезпечувало необхідний запас міцності не тільки за напругою, але також і за навантаженнями, оскільки майже у всіх випадках, розглянутих у попередніх розділах, напруги прямо пропорційні величинам навантажень.

При поздовжньо-поперечному згині напруги, як це випливає з рис. 11.13, не прямо пропорційні навантаженню, а змінюються швидше, ніж навантаження (у разі стискаючої сили S). У зв'язку з цим навіть незначне випадкове збільшення навантаження понад розрахункове може викликати велике збільшення напруги та руйнування конструкції. Тому розрахунок стисло-зігнутих стрижнів на поздовжньо-поперечний вигин слід проводити не за допустимим напругам, а за допустимим навантаженням.

Складемо за аналогією з формулою (28.13) умову міцності при розрахунку на поздовжньо-поперечний вигин за допустимим навантаженням.

Стиснено-зігнуті стрижні, крім розрахунку на поздовжньо-поперечний вигин, необхідно розраховувати також і на стійкість.