Геометричні об'ємні фігури та їх назви: куля, куб, піраміда, призма, тетраедр. Геометричні фігури для дітей Геометрична фігура з великою кількістю складних ліній

На уроці ви дізнаєтесь, що таке геометричні постаті. Йтиметься про фігури, що зображуються на площині, їх властивості. Ви дізнаєтеся про такі найпростіші форми геометричних фігур, як точка та лінія. Розгляньте, як утворюються відрізок та промінь. Ознайомтеся з визначенням та різними видами кутів. Наступна фігура, визначення та властивості якої обговорюються на уроці, - це коло. Далі обговорюється визначення трикутника та багатокутника та їх різновиди.

Мал. 10. Коло та коло

Подумайте, які точки належать колу, а які кола (див. мал. 11).

Мал. 11. Взаємне розташування точок та кола, точок та кола

Правильна відповідь: точки, що належать колу, а колу належать лише точки і.

Крапка - це центр кола чи кола. Відрізки - це радіуси кола або кола, тобто відрізки, які з'єднують центр і будь-яку точку, що лежить на колі. Відрізок - це діаметр кола або кола, тобто це відрізок, що з'єднує дві точки, що лежать на колі, і проходить через центр. Радіус становить половину діаметра (див. мал. 12).

Мал. 12. Радіус та діаметр

Давайте тепер згадаємо, яку фігуру називають трикутником. Трикутник - це геометрична фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки. Трикутник має три кути.

Розглянемо трикутник (див. мал. 13).

Мал. 13. Трикутник

Він має три кути-кут, кут і кут. Точки , , називають вершинами трикутника. Три відрізки - відрізок , , - Це сторони трикутника.

Повторимо, які види трикутників розрізняють (див. мал. 14).

Мал. 14. Види трикутників

За видами кутів трикутники можна розділити на гострокутні, прямокутні та тупокутні. У трикутнику всі кути гострі, такий трикутник називають гострокутним. У трикутнику є прямий кут, такий трикутник називають прямокутним. У трикутнику є тупий кут, такий прямокутник називають тупокутним трикутником.

По тому, чи рівні довжини сторін, розрізняють трикутники:

Різносторонні - такі трикутники довжини всіх сторін різні;

Рівносторонні – у цих трикутників довжини всіх сторін рівні;

Рівностегнові – у них довжини двох сторін збігаються. Дві рівні по довжині сторони називаються бічними сторонами трикутника, а третя сторона є основою трикутника (див. мал. 15).

Мал. 15. Види трикутників

А які фігури називають багатокутниками? Якщо послідовно з'єднати кілька точок так, щоб їх з'єднання дало замкнуту ламану лінію, створюється образ багатокутника, чотирикутника, п'яти-або шестикутника і т. д.

Багатокутники називають за кількістю кутів. У кожному багатокутнику стільки вершин і сторін, скільки кутів (див. мал. 16).

Мал. 16. Багатокутники

Усі зображені фігури (див. мал. 17) називають чотирикутниками. Чому?

Мал. 17. Чотирикутники

Напевно, ви помітили, що всі фігури мають по чотири кути, але їх можна розділити на дві групи. Як би це ви зробили?

Напевно, в окрему групу ви виділили чотирикутники, які мають усі кути прямі, і такі чотирикутники назвали прямокутними чотирикутниками. Протилежні сторони прямокутників рівні (див. мал. 18).

Мал. 18. Прямокутні чотирикутники

У прямокутнику і – протилежні сторони, і вони рівні, і – також протилежні сторони, і вони рівні (див. рис. 19).

Геометрична фігура- безліч точок на поверхні (часто на площині), що утворює кінцеву кількість ліній.

Основними геометричними фігурами на площині є крапкаі пряма лінія. Відрізок, промінь, ламана лінія – найпростіші геометричні фігури на площині.

Крапка- Найдрібніша геометрична фігура, що є основою інших фігур у будь-якому зображенні або кресленні.

Кожна складніша геометрична фігурає безліч точок, які мають певну властивість, характерну тільки для цієї фігури.

Пряма лінія, або пряма -це безліч точок, розташованих на 1-ій лінії, яка не має початку і кінця. На аркуші паперу можна побачити лише частина прямої лінії, т.к. вона не має межі.

Пряму зображують так:

Частина прямої лінії, яка обмежена з 2-х сторін точками, називають відрізкомпрямий, чи відрізком. Його зображують так:

Промінь— це спрямована напівпряма, яка має точку початку і не має кінця. Промінь зображають так:

Якщо на прямій поставити крапку, то ця точка розбиватиме пряму на 2 протилежно спрямовані промені. Ці промені називають додатковими.

Ламана лінія- кілька відрізків, які з'єднані один з одним таким чином, що кінець 1-го відрізка виявляється початком 2-го відрізка, а кінець 2-го відрізка - початком 3-го відрізка і так далі, причому сусідні (які мають 1-ну загальну точку) відрізки розташовуються на різних прямих. Коли кінець останнього відрізка не збігається з початком 1-го, значить, ця ламана лінія називатиметься незамкненою:

Коли кінець останнього відрізка ламаної збігається з початком 1-го, отже, ця ламана лінія буде замкненою. Приклад замкнутої ламаної – це всякий багатокутник:

Чотириланкова замкнута ламана лінія - чотирикутник (прямокутник):

Триланкова замкнута ламана лінія

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Геометрія - одне з найважливіших компонент математичного освіти, необхідна придбання конкретних знання просторі і практично значимих умінь, формування мови описи об'єктів навколишнього світу, у розвиток просторової уяви та інтуїції, математичної культури, і навіть для естетичного виховання. Вивчення геометрії робить внесок у розвиток логічного мислення, формування навичок доказу.

У курсі геометрії 7 класу систематизуються знання про найпростіші геометричні фігури та їх властивості; запроваджується поняття рівності фігур; виробляється вміння доводити рівність трикутників з допомогою вивчених ознак; вводиться клас завдань на побудову за допомогою циркуля та лінійки; вводиться одне з найважливіших понять - поняття про паралельні прямі; розглядаються нові цікаві та важливі властивості трикутників; розглядається одна з найважливіших теорем у геометрії – теорема про суму кутів трикутника, яка дозволяє дати класифікацію трикутників по кутах (гострокутний, прямокутний, тупокутний).

Протягом занять, особливо під час переходу від однієї частини заняття до іншої, зміну діяльності постає питання підтримки інтересу до занять. Таким чином, актуальнимстає питання про застосування на заняттях з геометрії завдань, у яких є умова проблемної ситуації та елементи творчості. Таким чином, метоюданого дослідження є систематизація завдань геометричного змісту з елементами творчості та проблемних ситуацій.

Об'єкт дослідження: Завдання з геометрії з елементами творчості, цікавості та проблемних ситуацій

Завдання дослідження:Проаналізувати існуючі завдання з геометрії, спрямовані на розвиток логіки, уяви та творчого мислення. Показати, як цікавими прийомами можна розвинути інтерес до предмета.

Теоретична та практична значущість дослідженняполягає в тому, що зібраний матеріал може бути використаний у процесі додаткових занять з геометрії, а саме на олімпіадах та конкурсах з геометрії.

Обсяг та структура дослідження:

Дослідження складається із вступу, двох розділів, висновків, бібліографічного списку, містить 14 сторінок основного машинописного тексту, 1 таблицю, 10 малюнків.

Глава 1. ПЛОСЬКІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ

1.1. Основні геометричні фігури в архітектурі будівель та споруд

У навколишньому світі існує безліч матеріальних предметів різних форм і розмірів: житлові будинки, деталі машин, книги, прикраси, іграшки тощо.

У геометрії замість слова предмет кажуть геометрична фігура, розділяючи геометричні фігури на плоскі і просторові. У цій роботі буде розглянуто один із найцікавіших розділів геометрії - планіметрія, в якій розглядаються лише плоскі фігури. Планіметрія(від латів. planum — «площина», др.-грец. μετρεω — «вимірюю») — розділ евклідової геометрії, що вивчає двовимірні (одноплощинні) фігури, тобто фігури, які можна розташувати в межах однієї площини. Плоскою геометричною фігурою називається така, всі точки якої лежать на одній площині. Подання про таку фігуру дає будь-який малюнок, зроблений на аркуші паперу.

Але перш, ніж розглядати пласкі фігури, необхідно познайомитися з простими, але дуже важливими постатями, без яких пласкі фігури просто не можуть існувати.

Найпростішою геометричною фігурою є крапка.Це одна з головних постатей геометрії. Вона дуже маленька, але її завжди використовують для побудови різних форм на площині. Крапка - це головна фігура для всіх побудов, навіть найвищої складності. З точки зору математики точка — це абстрактний просторовий об'єкт, який не має таких характеристик, як площа, обсяг, але при цьому залишається фундаментальним поняттям у геометрії.

Пряма- одне з фундаментальних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії (евклідової). Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити, як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.

Прямі в просторі можуть займати різні положення, розглянемо деякі з них і наведемо приклади, що зустрічаються в архітектурному вигляді будівель та споруд (табл. 1):

Таблиця 1

Паралельні прямі	Властивості паралельних прямих
	Якщо прямі паралельні, то їх однойменні проекції паралельні:	Єсентуки, будівля грязелікарні (фото автора)
Пересічні прямі	Властивості прямих, що перетинаються	Приклади в архітектурі будівель та споруд
	Прямі, що перетинаються, мають загальну точку, тобто точки перетину їх однойменних проекцій лежать на загальній лінії зв'язку:	Будинки "гори" на Тайвані https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
Схрещувальні прямі	Властивості прямих, що схрещуються	Приклади в архітектурі будівель та споруд
	Прямі, що не лежать в одній площині і не паралельні між собою, є схрещуються. Ноне є спільною лінією зв'язку. Якщо прямі, що перетинаються і паралельні, лежать в одній площині, то прямі, що схрещуються, лежать у двох паралельних площинах.	Робер, Гюбер - Вілла Мадама під Римом https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287

1.2. Плоскі геометричні фігури. Властивості та визначення

Спостерігаючи за формами рослин і тварин, гір і звивинами річок, за особливостями ландшафту та далекими планетами, людина запозичила у природи її правильні форми, розміри та властивості. Матеріальні потреби спонукали людину будувати житла, виготовляти знаряддя праці та полювання, ліпити з глини посуд та інше. Усе це поступово сприяло з того що людина дійшла усвідомлення основних геометричних понять.

Чотирикутники:

Паралелограм(ін.-грец. παραλληλόγραμμον від παράλληλος - паралельний і γραμμή - риса, лінія) - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Ознаки паралелограма:

Чотирикутник є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов: 1. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то чотирикутник – паралелограм. 2. Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм. 3. Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм.

Паралелограм, у якого всі кути прямі, називається прямокутником.

Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.

Трапеція-це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не є паралельними. Також трапецією називається чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна, і сторони не рівні між собою.

Трикутник— це найпростіша геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Вказані три точки називаються вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутник.Саме через свою простоту трикутник став основою багатьох вимірів. Землеміри при своїх обчисленнях площ земельних ділянок та астрономи при знаходженні відстаней до планет та зірок використовують властивості трикутників. Так виникла наука тригонометрія - наука про вимір трикутників, про вираз сторін через його кути. Через площу трикутника виражається площа будь-якого багатокутника: достатньо розбити цей багатокутник на трикутники, обчислити їхні площі та скласти результати. Щоправда, вірну формулу для площі трикутника вдалося знайти не одразу.

Особливо активно властивості трикутника досліджувалися у XV-XVI століттях. Ось одна з найкрасивіших теорем того часу, що належить Леонарду Ейлеру:

Величезна кількість робіт з геометрії трикутника, проведене в XY-XIX століттях, створило враження, що про трикутник вже відомо все.

Багатокутникце геометрична фігура, яка зазвичай визначається як замкнута ламана.

Коло— геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, яка називається центром кола, не перевищує заданого невід'ємного числа, що називається радіусом цього кола. Якщо радіус дорівнює нулю, то коло вироджується у крапку.

Існує велика кількість геометричних фігур, всі вони відрізняються параметрами та властивостями, часом дивуючи своїми формами.

Щоб краще запам'ятати та відрізняти плоскі фігури за властивостями та ознаками, я вигадав геометричну казку, яку хотів би представити вашій увазі у наступному параграфі.

Глава 2. ЗАВДАННЯ-ГОЛОВОЛОМКИ З ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР

2.1.Головоломки на побудову складної фігури з набору плоских геометричних елементів.

Вивчивши плоскі фігури, я задумався, а існують якісь цікаві завдання з плоскими фігурами, які можна використовувати як завдання-ігри або завдання-головоломки. І першим завданням, яке я знайшов, була головоломка "Танграм".

Це китайська головоломка. У Китаї її називають «чи тао ту», тобто розумова головоломка із семи частин. У Європі назва «Танграм» виникла, найімовірніше, від слова «тань», що означає «китаєць» та кореня «грама» (грец. – «буква»).

Для початку необхідно накреслити квадрат 10х10 і розділити його на сім частин: п'ять трикутників 1-5 , квадрат 6 та паралелограм 7 . Суть головоломки у тому, щоб, використовуючи всі сім частин, скласти фігурки, показані на рис.3.

Рис.3. Елементи гри «Танграм» та геометричні фігури

Рис.4. Завдання «Танграм»

Особливо цікаво складати з плоских постатей «образні» багатокутники, знаючи лише контури предметів (рис.4). Кілька таких завдань-обрисів я вигадав сам і показав ці завдання своїм однокласникам, які із задоволенням почали розгадувати завдання і склали багато цікавих фігур-багатогранників, схожих на обриси предметів навколишнього світу.

Для розвитку уяви можна використовувати такі форми цікавих головоломок, як завдання на розрізання і відтворення заданих фігур.

Приклад 2. Завдання на розрізання (паркетування) можуть здатися, здавалося б, дуже різноманітними. Однак у більшості в них використовується лише кілька основних типів розрізань (як правило, ті, за допомогою яких з одного паралелограма можна отримати інший).

Розглянемо деякі прийоми розрізань. При цьому розрізані фігури називатимемо багатокутників.

Мал. 5. Прийоми розрізань

На рис.5 представлені геометричні фігури, з яких можна зібрати різні орнаментальні композиції та скласти орнамент своїми руками.

Приклад 3. Ще одне цікаве завдання, яке можна самостійно придумати та обмінюватися з іншими учнями, при цьому хто більше збере розрізані фігури, той оголошується переможцем. Завдань такого типу може бути чимало. Для кодування можна взяти всі існуючі геометричні фігури, що розрізаються на три чи чотири частини.

Рис.6.Приклади завдань на розрізання:

------ - відтворений квадрат; - Розріз ножицями;

Основна фігура

2.2.Рівновеликі і рівноскладені фігури

Розглянемо ще один цікавий прийом на розрізання плоских фігур, де основними героями розрізань будуть багатокутники. При обчисленні площ багатокутників використовується простий прийом, який називається методом розбиття.

Взагалі багатокутники називаються рівноскладеними, якщо певним чином розрізавши багатокутник F на кінцеве число частин, можна, розташовуючи ці частини інакше, скласти їх багатокутник Н.

Звідси випливає наступна теорема:рівноскладені багатокутники мають однакову площу, тому вони вважатимуться рівновеликими.

На прикладі рівноскладених багатокутників можна розглянути і цікаве розрізання, як перетворення «грецького хреста» в квадрат (рис.7).

Рис.7. Перетворення «грецького хреста»

У разі мозаїки (паркету), складеної з грецьких хрестів, паралелограм періодів є квадратом. Ми можемо вирішити задачу, накладаючи мозаїку, складену з квадратів, на мозаїку, утворену за допомогою хрестів, так, щоб при цьому конгруентні точки однієї мозаїки збіглися з конгруентними точками іншої (рис.8).

На малюнку конгруентні точки мозаїки з хрестів, саме центри хрестів, збігаються з конгруентними точками «квадратної» мозаїки - вершинами квадратів. Паралельно зсунувши квадратну мозаїку, ми завжди матимемо рішення задачі. Причому завдання має кілька варіантів рішень, якщо при складанні орнаменту паркету використовується колір.

Рис.8. Паркет, зібраний із грецького хреста

Ще один приклад рівноскладених фігур можна розглянути на прикладі паралелограма. Наприклад, паралелограм рівно складений із прямокутником (рис.9).

Цей приклад ілюструє метод розбиття, що полягає в тому, що для обчислення площі багатокутника намагаються розбити його на кінцеве число частин таким чином, щоб з цих частин можна було скласти простіший багатокутник, площа якого нам вже відома.

Наприклад, трикутник рівноскладний з паралелограмом, що має ту саму основу і вдвічі меншу висоту. З цього положення легко виводиться формула площі трикутника.

Зазначимо, що для наведеної вище теореми справедлива і зворотна теорема:якщо два багатокутники рівновеликі, то вони рівноскладені.

Цю теорему, доведену у першій половині ХІХ ст. угорським математиком Ф.Бойяї та німецьким офіцером і любителем математики П.Гервіном, можна уявити й у такому вигляді: якщо є торт у формі багатокутника та багатокутна коробка, зовсім іншої форми, але тієї ж площі, то можна так розрізати торт на кінцеву кількість шматків (не перевертаючи їх кремом вниз), що їх вдасться покласти в цю коробку.

Висновок

Наприкінці зазначу, що завдань на плоскі постаті досить представлено різних джерелах, але інтерес представили мені ті, виходячи з яких мені довелося вигадувати свої завдання-головоломки.

Адже вирішуючи такі завдання, можна не просто накопичити життєвий досвід, а й набути нових знань та вмінь.

У головоломках при побудові дій-ходів використовуючи повороти, зрушення, переноси на площині або їх композиції, у мене вийшли самостійно створені нові образи, наприклад фігурки-багатогранники з гри «Танграм».

Відомо, що основним критерієм рухливості мислення людини є здатність шляхом відтворювальної та творчої уяви виконати у встановлений час певні дії, а в нашому випадку - ходи фігур на площині. Тому вивчення математики і, зокрема, геометрії в школі дасть мені ще більше знань, щоб надалі застосувати їх у своїй майбутній професійній діяльності.

бібліографічний список

1. Павлова, Л.В. Нетрадиційні підходи до навчання кресленню: навчальний посібник/Л.В. Павлова. – Нижній Новгород: Вид-во НДТУ, 2002. – 73 с.

2. Енциклопедичний словник молодого математика / Упоряд. А.П. Савин. - М: Педагогіка, 1985. - 352 с.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053

Додаток 1

Анкета-опитувальник для однокласників

1. Чи знаєте ви, що таке головоломка "Танграм"?

2. Що таке «грецький хрест»?

3. Чи було б вам цікаво дізнатися, що таке «Танграм»?

4. Чи було б вам цікаво дізнатися, що таке «грецький хрест»?

Було опитано 22 учні 8 класу. Результати: 22 учні не знають, що таке «Танграм» та «грецький хрест». 20-ти учням було б цікаво дізнатися про те, як за допомогою головоломки "Танграм", що складається з семи плоских фігур, отримати складнішу фігуру. Результати опитування узагальнені на діаграмі.

Додаток 2

Елементи гри «Танграм» та геометричні фігури

Перетворення «грецького хреста»

Геометрія – точна математична наука, яка займається вивченням просторових та інших подібних стосунків та форм. Але її часто називають «сухою», оскільки вона не здатна описати форму багатьох природних об'єктів, адже хмари – це не сфери, гори – не конуси, а блискавки розповсюджуються не прямими лініями. Багато об'єктів у природі відрізняються складністю форм у порівнянні зі стандартною геометрією.

Тим не менш, існує ряд дивовижних постатей, які зазвичай не вивчаються на шкільних уроках геометрії, але саме вони оточують людину в реальному світі: у природі та архітектурі, головоломках, комп'ютерних іграх тощо.

Головна властивість цієї складної геометричної фігури – самоподібність, тобто вона складається з кількох частин, кожна з яких подібна до цілого об'єкта. Саме ця властивість відрізняє фрактал від об'єктів класичної (або, як кажуть, евклідової) геометрії.

При цьому сам термін «фрактал» не є математичним і не має однозначного визначення, тому може застосовуватися до об'єктів, які є самоподібними або самоподібними. Його вигадав у 1975 р. Бенуа Мандельброт, запозичивши латинське слово «fractus» (ламаний, подрібнений).

Фрактальні форми якнайкраще підходять для опису реального світу і часто зустрічаються серед природних об'єктів: сніжинок, листя рослин, системи кровоносних судин людини та тварин.

Це одна з незвичайних тривимірних фігур у геометрії, яку легко зробити в домашніх умовах. Для цього достатньо взяти паперову смужку, ширина якої в 5-6 разів менша за її довжину, і, перекрутивши один з кінців на 180°, склеїти їх між собою.

Якщо все зроблено правильно, то можна самостійно перевірити її дивовижні властивості:

• Наявність лише однієї сторони (без поділу на внутрішню та зовнішню). Це легко перевірити, якщо спробувати зафарбувати олівцем одну з сторін. Незалежно від того, де і напрямі буде розпочато зафарбовування, в результаті вся стрічка буде зафарбована одним кольором.
• Безперервність: якщо вести ручкою лінію вздовж усієї поверхні, її кінець з'єднається з початковою точкою без перетину меж поверхні.
• Двовимірність (зв'язковість): при розрізанні стрічки Мебіуса вздовж вона залишається цільною, просто виходять нові фігури (наприклад, при розрізанні надвоє вийде одне кільце більшого розміру).
• Відсутність орієнтованості. Подорож такою стрічкою Мебіуса завжди буде нескінченною, вона призведе до початкової точки шляху, тільки в дзеркальному відображенні.

Стрічка Мебіуса широко використовується в промисловості та науці (у стрічкових конвеєрах, матричних принтерах, механізмах для заточування тощо). Крім цього існує наукова гіпотеза, за якою сам Всесвіт також є стрічкою Мебіуса неймовірних розмірів.

Поліміно

Це плоскі геометричні фігури, які утворюються з допомогою з'єднання кількох квадратів рівних розмірів з їхньої сторонам.

Назви поліміно залежать від кількості квадратів, з яких вони сформовані:

• мономіно - 1;
• доміно – 2;
• триміно – 3;
• тетраміно - 4 і т.д.

При цьому для кожного різновиду існує різна кількість типів фігур: доміно 1 тип, триміно – 3 типи, гексаміно (з 6 квадратів) – 35 типів. Число різних варіацій залежить від кількості використовуваних квадратів, але при цьому ще нікому з учених не вдалося знайти дивовижну формулу, яка виражатиме цю залежність. З деталей поліміно можна викладати як геометричні фігури, і зображення людей, тварин, предметів. Незважаючи на те, що це будуть схематичні силуети, основні ознаки та форми предметів роблять їх цілком пізнаваними.

Поліамонд

Поряд з поліміно існує ще одна дивовижна геометрична фігура, яка використовується для складання інших фігур - поліамонд. Він є багатокутник, сформований з кількох рівносторонніх трикутників рівного розміру.

Назву вигадав математик Т. О'Бейрн на підставі однієї з назв ромба в англійській мові – діамонд, який можна скласти з 2-х рівносторонніх трикутників. За аналогією, фігуру з 3-х рівносторонніх трикутників О'Бейрн назвав тріамондом, з 4-х – тетріамондом тощо.

Головним питанням їх існування залишається питання про можливу кількість поліамондів, які можна скласти із певної кількості трикутників. Застосування поліамондів у реальному житті також аналогічне використанню поліміно. Це можуть бути різного роду головоломки та логічні завдання.

Трикутник Рело

Як не дивно звучить, але за допомогою дриля можна просвердлити квадратний отвір, а допомагає в цьому трикутник Рело. Він є область, утворену за допомогою перетину 3 рівних кіл, центри яких є вершинами правильного трикутника, а радіуси рівні його стороні.

Сам трикутник Рело названо на прізвище німецького вченого-інженера, який першим найбільш детально досліджував його особливості та використав для своїх механізмів на рубежі XIX-XX ст. в., хоча його дивовижні властивості були відомі ще Леонардо да Вінчі. Хто б не був його першовідкривачем, у сучасному світі ця постать знайшла широке застосування у вигляді:

• свердла Уаттса, яке дозволяє свердлити отвори практично ідеальної квадратної форми, тільки з закругленими краями;
• медіатора, необхідного для гри на музичних щипкових інструментах;
• кулачкових механізмів, що використовуються для створення зигзагоподібних швів у швейних машинах, а також німецьких годинниках;
• стрілчасті арок, характерні для готичного стилю в архітектурі.

Неможливі фігури

На окрему увагу заслуговують так звані неможливі фігури - дивовижні оптичні ілюзії, які на перший погляд здаються проекцією тривимірного об'єкта, але при найближчому розгляді стають помітними незвичайні сполуки елементів. Найбільш популярними з-поміж них є:

Трибар, створений батьком і сином Лайонелом і Роджером Пенроузами, який є зображенням рівностороннього трикутника, але має дивні закономірності. Сторони, що утворюють верхню частину трикутника, здаються перпендикулярними, але права і ліва грані в нижній частині також здаються перпендикулярними. Якщо розглядати кожну частину цього трикутника окремо, ще можна визнати їх існування, але насправді така фігура не може існувати, оскільки при її створенні були неправильно з'єднані правильні елементи.

Нескінченні сходи, авторство яких також належить батькові та синові Пенроузам, тому її часто називають на їхнє ім'я – «сходами Пенроуза», а також «Вічними сходами». На перший погляд, вона виглядає як звичайна, що веде вгору або вниз сходи, але при цьому людина, що крокує по ній, буде безперервно підніматися (проти годинникової стрілки) або опускатися (за годинниковою стрілкою). Якщо візуально подорожувати такими сходами, то після закінчення «подорожі» погляд зупиняється в точці початку шляху. Якби такі сходи існували насправді, по них довелося б підніматися і спускатися нескінченну кількість разів, що можна порівняти з нескінченною сизіфовою працею.

Неможливий тризуб – дивовижний об'єкт, дивлячись який неможливо визначити, де починається середній зубець. Він також заснований на принципі неправильних з'єднань, які можуть існувати лише у двовимірному, але не тривимірному просторі. Розглядаючи частини тризубця окремо, з одного боку видно 3 круглі зуби, з іншого боку – 2 прямокутні.

Таким чином, частини фігури вступають у своєрідний конфлікт: по-перше, відбувається зміна переднього та заднього плану, по-друге, круглі зубці в нижній частині трансформуються в плоскі у верхній.

Тема урока

Геометричні фігури

Що таке геометрична фігура

Геометричні фігури – це сукупність безлічі точок, ліній, поверхонь або тіл, які розташовані на поверхні, площині чи просторі та формує кінцеву кількість ліній.

Термін «фігура» певною мірою формально застосовується до безлічі точок, але зазвичай фігурою прийнято називати такі множини, які розташовані на площині і обмежуються кінцевим числом ліній.

Точка та пряма – це основні геометричні фігури, розташовані на площині.

До найпростіших геометричних фігур на площині належать - відрізок, промінь та ламана лінія.

Що таке геометрія

Геометрія – це така математична наука, що займається вивченням властивостей геометричних постатей. Якщо дослівно перекласти російською мовою термін «геометрія», він позначає «землемірство», оскільки у стародавні часи основним завданням геометрії, як науки, стало вимір відстаней і площ лежить на поверхні землі.

Практичне застосування геометрії безцінно в усі часи та незалежно від професії. Без знань геометрії неспроможна обійтися ні робітник, ні інженер, ні архітектор і навіть художник.

У геометрії є такий розділ, який займається вивченням різних фігур на площині та називається планіметрією.

Вам вже відомо, що фігурою називають довільну множину точок, що знаходяться на площині.

До геометричних фігур належать: точка, пряма, відрізок, промінь, трикутник, квадрат, коло та інші фігури, які вивчає планіметрія.

Крапка

З вище вивченого матеріалу вам вже відомо, що точка відноситься до головних геометричних фігур. І хоча це найменша геометрична фігура, але вона необхідна для побудови інших фігур на площині, кресленні або зображенні і є основою для решти всіх побудов. Адже побудова складніших геометричних постатей складається з безлічі точок, притаманних даної постаті.

У геометрії точки позначають великими літерами латинського алфавіту, наприклад, такими як: А, В, С, D ….

А тепер підіб'ємо підсумок, і так, з математичної точки зору, точка є таким абстрактним об'єктом у просторі, який не має обсягу, площі, довжини та інших характеристик, але залишається одним із фундаментальних понять у математиці. Крапка – це такий нульмерний об'єкт, який немає визначення. За визначенням Евкліда, точкою називають те, що неможливо визначити.

Пряма

Як і точка, пряма відноситься до фігур на площині, яка не має визначення, так як складається з безлічі точок, що знаходяться на одній лінії, яка не має ні початку, ні кінця. Можна стверджувати, що пряма лінія нескінченна і не має меж.

Якщо ж пряма починається і закінчується точкою, вона вже не є прямою і називається відрізком.

Але іноді пряма, з одного боку має крапку, з другого немає. У такому разі пряма перетворюється на промінь.

Якщо ж взяти пряму і на її середині поставити крапку, то вона розіб'є пряму на два протилежно спрямовані промені. Ці промені є додатковими.

Якщо ж перед вами кілька відрізків, з'єднаних між собою так, що кінець першого відрізка стає початком другого, а кінець другого відрізка - початком третього і т. д., і ці відрізки знаходяться не на одній прямій і при з'єднанні мають спільну точку, то така ланцюжок є ламаною лінією.

Завдання

Яка ламана лінія називається незамкнутою?
Як позначається пряма?
Як називається ламана лінія, у якої чотири замкнуті ланки?
Яку назву має ламана лінія із трьома замкнутими ланками?

Коли кінець останнього відрізка ламаною збігається з початком 1-го відрізка, таку ламану лінію називають замкнутою. Прикладом замкнутої ламаною є будь-який багатокутник.

Площина

Як точка і пряма, і площина є первинним поняттям, немає визначення і в неї не можна побачити ні початку, ні кінця. Тому при розгляді площини ми розглядаємо тільки ту її частину, яка обмежується замкненою ламаною лінією. Таким чином, площиною можна вважати будь-яку гладку поверхню. Цією поверхнею може бути аркуш паперу чи столу.

Кут

Фігура, яка має два промені та вершину, називається кутом. Місце з'єднання променів є вершиною цього кута, а його сторонами вважаються промені, які цей кут утворюють.

Завдання:

1. Як у тексті позначають кут?
2. Якими одиницями можна виміряти кут?
3. Які бувають кути?

Паралелограм

Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Прямокутник, квадрат і ромб є окремими випадками паралелограма.

Паралелограм, що має прямі кути, рівні 90 градусів, є прямокутником.

Квадрат - це той же паралелограм, у нього і кути та сторони рівні.

Що ж до визначення ромба, це така геометрична фігура, всі сторони якого рівні.

Крім того, слід знати, що будь-який квадрат є ромбом, але не кожен ромб може бути квадратом.

Трапеція

При розгляді такої геометричної фігури, як трапеція, можна сказати, що вона, як і чотирикутник, має одну пару паралельних протилежних сторін і є криволінійною.

Коло та коло

Окружність - геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром, на задану ненульову відстань, яку називають її радіусом.

Трикутник

Також до простих геометричних фігур належить і трикутник, що вже вивчається вами. Це один із видів багатокутників, у якого частина площини обмежена трьома точками та трьома відрізками, які з'єднують ці точки попарно. Будь-який трикутник має три вершини та три сторони.

Завдання:Який трикутник називають виродженим?

Багатокутник

До багатокутників відносяться геометричні фігури різних форм, які мають замкнуту ламану лінію.

У багатокутнику всі точки, які з'єднують відрізки, є його вершинами. А відрізки, у тому числі складається багатокутник, є його сторонами.

А чи відомо вам, що виникнення геометрії сягає глибини століть і пов'язане з розвитком різних ремесел, культури, мистецтва та спостереженням за навколишнім світом. Та й назва геометричних постатей є тому підтвердженням, оскільки їхні терміни виникли не просто так, а завдяки своїй схожості та подобі.

Адже термін «трапеція» у перекладі з давньогрецької мови від слова «трапезіон» означає столик, трапеза та інші похідні слова.

«Конус» походить від грецького слова «конос», що у перекладі звучить, як соснова шишка.

«Лінія» має латинське коріння і походить від слова «лінум», у перекладі це звучить, як лляна нитка.

А чи знаєте ви, що якщо взяти геометричні фігури з однаковим периметром, то серед них володарем найбільшої площі виявилося коло.