Дослідницька робота "логічні завдання". Наукова робота: Математична логіка та логіка здорового глузду Актуальність обраної теми
ХI РЕГІОНАЛЬНА НАУКОВО-ПРАКТИЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ «КОЛМОГОРІВСЬКІ ЧИТАННЯ»
Секція «Математика»
Тема
«Рішення логічних завдань»
Муніципальне бюджетне загальноосвітнє
школа №2 ст. Архонська,
7 клас.
Науковий керівник
вчитель математики МБОУ ЗОШ №2 ст. Архонська
Трімасова Н.І.
«Рішення логічних завдань»
7 клас
установа середня загальноосвітня
школа №2, ст. Архонська.
Анотація
У цій роботі розглядаються різні способи вирішення логічних завдань та різноманітність прийомів. Кожен з них має свою сферу застосування. Крім цього, у роботі можна познайомитися з основними поняттями напряму "математики без формул" - математичної логіки, дізнатися про творців цієї науки. Ще можна побачити результати діагностики «вирішення логічних завдань серед учнів середньої ланки».
Зміст
1. Введення_____________________________________________________ 4
2.Основоположники науки «логіка»_____________________________ 6
3.Як навчитися вирішувати логічні завдання? _8
4. Типи та способи вирішення логічних завдань______________________ 9
4.1 Завдання типу "Хто є хто?"_____________________________ 9
а) Метод графів_______________________________________________ 9
б) Табличний метод__________________________________________ 11
4.2 Тактичні завдання______________________________________ 13
а) метод міркувань_________________________________________ 13
4.3 Завдання на перебування перетину або об'єднання множин__________________________________________________ 14
а) Кола Ейлера_____________________________________________ 14
Літерні ребуси та завдання із зірочками__________________ 16
4.5 Справжні завдання_____________________________________ 17
4.6 Завдання типу «Капелюхи»_____________________________________ 18
5. Практична частина____________________________________________ 19
5.1 Дослідження рівня логічного мислення учнів середньої ланки_________________________________________________________ 19
6. Висновок____________________________________________________ 23
7. Література____________________________________________________ 24
«Рішення логічних завдань»
Крутоголова Діана Олександрівна
7 клас
Муніципальне бюджетне загальноосвітнє
установа середня загальноосвітня
школа №2, ст. Архонська.
1. Введення
Розвитку творчої активності, ініціативи, допитливості, кмітливості сприяє вирішенню нестандартних завдань.Незважаючи на те, що шкільний курс математики містить велику кількість цікавих завдань, багато корисних завдань не розглядаються. До цих завдань можна зарахувати логічні завдання.
Вирішувати логічні завдання дуже цікаво. Вони начебто немає ніякої математики - немає чисел, ні функцій, ні трикутників, ні векторів, а є лише брехуни і мудреці, істина і брехня. У той же час дух математики в них відчувається найяскравіше - половина розв'язання будь-якого математичного завдання (а іноді й набагато більше половини) полягає в тому, щоб добре розібратися в умові, розплутати всі зв'язки між об'єктами, що беруть участь.
Математична задача незмінно допомагає виробляти правильні математичні поняття, глибше з'ясовувати різні сторони взаємозв'язків у навколишньому житті, дає можливість застосовувати теоретичні положення, що вивчаються. У той же час вирішення завдань сприяє розвитку логічного мислення.
Готуючи цю роботу, я ставиламета - розвинути свої здібності вміння розмірковувати та робити правильні висновки. Тільки вирішення важкого, нестандартного завдання приносить радість перемоги. При вирішенні логічних завдань надається можливість подумати над незвичайною умовою, розмірковувати. Це в мене викликає та зберігає інтерес до математики. Логічно обґрунтоване рішення – найкращий спосіб розкриття творчих здібностей.
Актуальність. В наш час дуже часто успіх людини залежить від його здатності чітко мислити, логічно розмірковувати та ясно викладати свої думки.
Завдання: 1) ознайомлення з поняттями «логіка» та «математична логіка»; 2) вивчення основних методів розв'язання логічних завдань; 3) проведення діагностики виявлення рівня логічного мислення учнів 5-8 классов.
Методи досліджень: збирання, вивчення, узагальнення експериментального та теоретичного матеріалу
2. Основоположники науки «логіка»
Логіка – одна з найдавніших наук. Точно встановити, хто, коли і де вперше звернувся до тих аспектів мислення, які становлять предмет логіки, нині неможливо. Окремі витоки логічного вчення можна знайти ще Індії, наприкінці II тисячоліття до зв. е. Однак якщо говорити про виникнення логіки як науки, тобто про більш менш систематизовану сукупність знань, то справедливим вважатиме батьківщиною логіки велику цивілізацію Стародавньої Греції. Саме тут у V-IV століттях до н. е. у період бурхливого розвитку демократії та пов'язаного з ним небувалого пожвавлення суспільно-політичного життя працями Демокріта, Сократа та Платона було закладено основи цієї науки.
Основоположником логіки як науки є давньогрецький філософ та вчений Аристотель (384-322 рр. до н. е.). Він уперше розробив теорію дедукції, тобто теорію логічного висновку. Саме він звернув увагу, що в міркуваннях ми з одних тверджень виводимо інші, виходячи не з конкретного змісту тверджень, а з певного взаємозв'язку між їх формами, структурами.
Вже тоді у Стародавній Греції було створено школи, у яких люди вчилися дискутувати. Учні цих шкіл навчалися мистецтву пошуку істини та переконання інших людей у своїй правоті. Вони вчилися з багатьох фактів відбирати потрібні, будувати ланцюжки міркувань, що пов'язують окремі факти між собою, робити правильні висновки.
Вже з цих часів було прийнято вважати, що логіка є наука про мислення, а не предмети об'єктивної істинності.
Давньогрецький математик Евклід (330-275 рр. до зв. е.) вперше спробував упорядкувати великі відомості з геометрії. Він започаткував усвідомлення геометрії як аксіоматичної теорії, а всієї математики - як сукупності аксіоматичних теорій.
Протягом багатьох століть різними філософами та цілими філософськими школами доповнювалося, удосконалювалася та змінювалася логіка Аристотеля. То справді був перший, до математичний, етап розвитку формальної логіки. Другий етап пов'язаний із застосуванням у логіці математичних методів, початок якому поклав німецький філософ та математик Г. В. Лейбніц (1646-1716 рр.). Він намагався побудувати універсальну мову, за допомогою якої вирішувалися б суперечки між людьми, а потім і всі «ідеї замінити обчисленнями» .
Важливий період становлення математичної логіки починається з роботи англійського математика та логіка Джорджа Буля (1815-1864 рр.) «Математичний аналіз логіки» (1847) та «Дослідження законів мислення» (1854). Він застосував до логіки методи сучасної йому алгебри - мову символів і формул, складання та розв'язання рівнянь. Їм було створено своєрідну алгебру - алгебру логіки. У цей період вона оформилася як алгебра висловлювань і була значно розвинена в роботах шотландського логіка А. де Моргана (1806-1871 рр.), англійської - У. Джевонса (1835-1882 рр.), американського - Ч. Пірса та ін. Створення алгебри логіки стало заключним ланкою у розвитку формальної логіки.
Значний поштовх до нового періоду розвитку математичної логіки дало створення першій половині ХІХ століття великим російським математиком М. І. Лобачевським (1792-1856 рр.) і незалежно від цього угорським математиком Я. Бояї (1802-1860 рр.) неевклідової геометрії. З іншого боку, створення аналізу нескінченно малих підвело до необхідності обгрунтування поняття числа як фундаментального поняття всієї математики. Довершали картину парадокси, виявлені наприкінці ХІХ століття теорії множин: вони чітко показали, що проблеми обгрунтування математики є труднощами логічного і методологічного характеру. Таким чином, перед математичною логікою постали завдання, які перед логікою Аристотеля не поставали. У розвитку математичної логіки сформувалися три напрями обгрунтування математики, у яких творці по-різному намагалися подолати труднощі, що виникли.
3. Як навчитися вирішувати логічні завдання?
Багато людей тільки мислять, що мислять.
Їм неприємний розумовий процес:
для цього потрібна навичка і відомі зусилля,
а навіщо зусилля, коли можна без.
Огден Неш
Логічні абонечислові Завдання становлять великий клас нестандартних завдань. Сюди ставляться, передусім, текстові завдання, у яких потрібно розпізнати об'єкти чи розташувати їх у порядку за наявними властивостями. При цьому частина тверджень умови завдання може виступати з різною істинною оцінкою (бути істинною або хибною).
Текстові логічні завдання можна умовно поділити на такі види:
всі висловлювання істинні;
в повному обсязі висловлювання істинні;
завдання про правдолюбців і брехунів.
Бажано відпрацьовувати рішення кожного виду завдань поступово, поетапно.
Отже, ми дізнаємося, як у різний спосіб можна вирішувати логічні завдання. Виявляється таких прийомів кілька, вони різноманітні і кожен з них має свою сферу застосування. Познайомившись докладно, розберемося у яких випадках зручніше використовувати той чи інший метод.
4. Типи та способи вирішення логічних завдань
4.1 Завдання типу "Хто є хто?"
Завдання типу "Хто є хто?" дуже різноманітні за складністю, змістом та здатністю рішення. Вони, безсумнівно, становлять інтерес.
а) Метод графів
Один із способів – рішення за допомогою графів. Граф – це кілька точок, частина яких з'єднані друг з одним відрізками чи стрілками (у разі граф називається орієнтованим). Нехай нам потрібно встановити відповідність між двома типами об'єктів (множинами). Крапками позначаються елементи множин, а відповідність з-поміж них – відрізками. Штриховий відрізок об'єднуватиме два елементи, що не відповідають один одному.
Завдання 1 . Зустрілися три подруги Бєлова, Краснова та Чернова. На одній з них була чорна сукня, на другій – червона, на третій – біла. Дівчинка у білій сукні каже Черновій: «Нам треба помінятися сукнями, бо колір наших суконь не відповідає прізвищам». Хто в яку сукню був одягнений?
Рішення. Вирішити завдання просто, якщо врахувати, що:
Кожному елементу однієї множини обов'язково відповідає елемент іншої множини, але тільки один
Якщо елемент кожної множини з'єднаний з усіма елементами (крім однієї) іншої множини штриховими відрізками, то з останнім він з'єднаний суцільним відрізком.
Замість суцільних штрихових відрізків можна використовувати кольорові, у такому випадку рішення виходить барвистішим,
Позначимо на малюнку прізвища дівчаток літерами Б, Ч, К, з'єднаємо пунктирною лінією літеру Б і білу сукню, що означатиме: «Бєлова не в білій сукні». Далі отримаємо ще три пунктирні лінії, які відповідають мінусам у таблиці. Біла сукня може бути тільки на Красновій - літеру К і білу сукню з'єднаємо суцільною лінією, що означатиме «Краснова в білій сукні», і т.д.
У такий же спосіб можна знаходити відповідність між трьома множинами.
Завдання 2. У кафе зустрілися троє друзів: скульптор Бєлов, скрипаль Чернов і художник Рижов. "Чудово, що в одного з нас біле, у іншого чорне, а у третього руде волосся, але ні в кого колір волосся не відповідає прізвищу", - зауважив чорнявий. «Ти маєш рацію», - сказав Бєлов. Який колір волосся має художник?
Рішення. Спочатку всі умови наносяться на схему. Рішення ж зводиться до знаходження трьох суцільних трикутників з вершинами у різних множинах (рис.2.).
Бєлов Чернов Рижов
скульптор скрипаль художник
білий чорний рудий
Художник-чорнявий
При вирішенні ми можемо отримати трикутники трьох видів:
а) всі сторони є суцільними відрізками (вирішення задачі);
б) одна сторона – суцільний відрізок, інші – штрихові;
в) усі сторони – штрихові відрізки.
Таким чином, не можна отримати трикутник, у якого дві сторони були суцільними відрізками, а третя - штриховий відрізок.
Задача3. Хто де?
Дуб,клен, сосна, береза, пень!
За ними сховавшись, таяться
Бобр, заєць, білка, рись, олень.
Хто де? Спробуй розібратися.
Де рись, ні зайця, ні бобра
Ні ліворуч немає, ні праворуч – ясно.
Іпоряд з білкою - ось хитра -
Їх також не шукай даремно.
З оленем поряд рисі немає.
І зайця справа немає і зліва.
А білка праворуч, де олень!
Тепер берись за пошук сміливо.
І хоче дати тобі пораду
Порослий мохом високий пень:
- Хто де? Напасти на правильний слід
Допоможуть білка та олень.
Рішення. Знайдемо відповідь за допомогою графів, позначаючи кожного звіра крапкою, а розміщення – стрілками. Залишається лише підрахувати стрілки (рис.)
Рись Заєць
Білка Заєць Бобр Олень Білка Рись
Олень Дуб Клен Сосна Береза Пень
бобр
б) Табличний метод
Другий спосіб вирішення логічних завдань – за допомогою таблиць – також простий і наочний, але його можна використовувати тільки в тому випадку, коли потрібно встановити відповідність між двома множинами. Він зручніший, коли множини мають по п'ять-шість елементів.
Завдання 4. Якось на сімейному святі зібралося сім подружніх пар. Прізвища чоловіків: Володимирів, Федоров, Назаров, Вікторів, Степанов, Матвєєв та Тарасов. Жінок звуть: Тоня, Люся, Олена, Світлана, Маша, Оля та Галя.
Рішення. Вирішуючи завдання, ми знаємо, що в кожного чоловіка одне прізвище і одна дружина.
Правило 1: У кожному рядку та в кожному стовпці таблиці може стояти лише один знак відповідності (наприклад, «+»).
Правило 2: Якщо у рядку (або стовпці) всі «місця», крім одного, зайняті елементарною забороною (знак невідповідності, наприклад, «-»), то на вільне місце потрібно поставити знак «+»; якщо у рядку (або стовпці) вже є знак «+», то решта місць має бути зайнята знаком «-».
Накресливши таблицю, потрібно розмістити у ній відомі заборони з умови завдання. Заповнивши за умовою завдання таблицю, відразу отримаємо рішення: (рис. 3).
Тоня
Люся
Олена
Світлана
Марійка
Оля
Галя
Володимиров
Федоров
Назарів
Вікторів
Степанов
Матвєєв
Тарасов
4.2 Тактичні завдання
Рішення тактичних і теоретико-множинних завдань полягає у складанні плану дій, що призводить до правильної відповіді. Складність у тому, що вибір необхідно зробити з дуже великої кількості варіантів, тобто. ці можливості не відомі, їх треба вигадати.
а) Завдання на переміщення або правильне розміщення фігур можна вирішувати двома способами: практичним (дії в переміщенні фігур, підборі) та уявному (обдумування ходу, передбачення результату, припущення розв'язання-метод міркувань ).
У способі міркувань під час вирішення допомагають: схеми, креслення, короткі записи, вміння вибирати інформацію, вміння користуватися правилом перебору.
Цим способом зазвичай вирішують нескладні логічні завдання.
Завдання 5 . Олена, Оля, Таня брали участь у бігу на 100 м. Олена прибігла на 2 з раніше Олі, Оля прибігла на 1 з пізніше за Таню. Хто прийшов раніше: Таня чи Олена та на скільки секунд?
Рішення. Складемо схему:
Олена Оля Таня
Відповідь. Раніше на 1с прийшла Олена.
Розглянемо просте завдання.
Завдання6 . Крос осінній згадуючи, Сперечаються білки дві години:
Переміг у забігу заєць.Адругою була лисиця!
- Ні, - твердить інша білка,
- Ти меніжарти
Першим був, я пам'ятаю, – лось!
- Я, - промовив важливий філін,
- У суперечку чужої не лізтиму.
Але у вас у словах у кожної
За однією помилкою є.
Білки пирхнули сердито.
Неприємно стало їм.
Ви вже зваживши все, вирішите,
Хтось був першим, хтось другим.
Рішення.
Заєць - 1 2
Лисиця - 2
Лось - 1
Якщо припустити що правильне твердження- заєць прийшов 1, то лисиця 2 тоді не так, тобто. у другій групі тверджень залишаються обидва варіанти невірні, але це суперечить умові. Відповідь: Лось – 1, Лисиця – 2, Заєць – 3.
4.3 Завдання на перебування перетину чи об'єднання множин (кола Ейлера)
Ще один тип завдань - завдання, в яких потрібно знайти деяке перетинання множин або їх поєднання, дотримуючись умов завдання.
Розв'яжемо задачу7:
З 52 школярів 23 збирають значки, 35 збирають марки, а 16 – і значки, і марки. Інші не захоплюються колекціонуванням. Скільки школярів не захоплюється колекціонуванням?
Рішення. За умови цього завдання не так легко розібратися. Якщо скласти 23 та 35, то вийде більше 52. Це пояснюється тим, що деяких школярів ми тут врахували двічі, а саме тих, які збирають і значки, і марки.Щоб полегшити міркування, скористаємося колами Ейлера
На малюнку велике колопозначає 52 школярі, про які йдеться; коло 3 зображує школярів, які збирають значки, а коло М - школярів, які збирають марки.
Велике коло розбивається колами 3 та М на кілька областей. Перетину кіл 3 і М відповідають школярі, які збирають і значки, і марки (рис.). Частини кола 3, яка не належить колу М, відповідають школярі, які збирають лише значки, а частини кола М, яка не належить колу 3, - школярі, які збирають лише марки. Вільна частина великого кола позначає школярів, які не захоплюються колекціонуванням.
Будемо послідовно заповнювати нашу схему, вписуючи до кожної області відповідне число. За умовою і значки, і марки збирають 16 осіб, тому в перетин кіл 3 і М впишемо число 16 (рис.).
Оскільки значки збирають 23 школяра, та значки, і марки - 16 школярів, лише значки збирають 23 - 16 = 7 людина. Так само тільки марки збирають 35 - 16 = 19 чоловік. Числа 7 та 19 впишемо у відповідні області схеми.
З малюнка ясно, скільки всього займається колекціонуванням. Щоб дізнатися про це,треба скласти числа 7, 9 та 16. Отримаємо 42 особи. Отже, не захоплених колекціонуванням залишається 52 – 42 = 10 школярів. Це і є відповідь завдання, її можна вписати у вільне поле великого кола.
Метод Ейлера є незамінним під час вирішення деяких завдань, і навіть значно спрощує міркування.
4.4 Літерні ребуси та завдання із зірочками
Методом підбору та розгляду різних варіантів вирішуються буквені ребуси та приклади із зірочками.
Такі завдання різні за складністю та схемою рішення. Розглянемо такий приклад.
Задача8 Вирішіть числовий ребус
КІС
КСІ
Позов
Рішення. Сума І+ З
(У розряді десятків) закінчується С, але І ≠ 0 (див. Розряд одиниць). Значить, І = 9 та 1 десяток у розряді одиниць запам'ятали. Тепер легко знайти К у розряді сотень: К = 4. Для залишається одна можливість: С = 5.
4.5 Істинні завдання
Завдання, у яких потрібно встановити істинність чи хибність висловлювань назвемо істинними завданнями.
Завдання9 . Три друзі Коля, Олег та Петя грали у дворі, і один із них випадково розбив м'ячем шибку. Коля сказав: Це не я розбив скло. Олег сказав: Це Петя розбив скло. Пізніше з'ясувалося, що одне з цих тверджень вірне, а інше – ні. Хто із хлопчиків розбив скло?
Рішення. Припустимо, що Олег сказав правду, і тоді Коля сказав правду, а це суперечить умові завдання. Отже Олег сказав неправду, а Коля - правду. З їхніх тверджень випливає, що скло розбив Олег.
Задача10 Чотири учні – Вітя, Петя, Юра та Сергій – зайняли на математичній олімпіаді чотири перші місця. На питання, які місця вони зайняли, було дано відповіді:
а) Петя – друге, Вітя – третє;
б) Сергій – друге, Петро – перше;
в) Юра – друге, Вітя – четверте.
Вказати, хто яке місце зайняв, якщо у кожній відповіді правильна лише одна частина.
Рішення. Припустимо, що вислів «Петя - II» вірно, тоді обидва висловлювання другої людини невірні, але це суперечить умові завдання.
Припустимо, що вислів «Сергій - II» вірний, тоді обидва висловлювання першої людини невірні, а це суперечить умові завдання.
Припустимо, що вислів «Юра - II» вірно, тоді перше висловлювання першої людини не так, а друге вірно. І перше висловлювання другої людини не так, а друге вірно.
Відповідь: перше місце – Петро, друге місце – Юра, третє місце – Вітя, четверте місце Сергій.
4.6 Завдання типу «Капелюхи»
Найбільш відоме завдання про мудреців, яким потрібно визначити колір капелюха на голові. Щоб вирішити таке завдання, потрібно відновити ланцюжок логічних міркувань.
Завдання 11 . "Якого кольору берети?".
Три подруги, Аня, Шура та Соня, сиділи в амфітеатрі одна за одною без біретів. Соні та Шурі не можна озиратися назад. Шура бачить тільки голову, що сидить нижче її Соні, а Аня бачить голови обох подруг. З коробки, в якій знаходяться 2 білих і 3 чорні берети (про це всі три подруги знають), вийняли три і одягли їх на голови, не кажучи про те, якого кольору бере; два берети залишилися в коробці. Коли запитали Аню про колір берета, який їй одягли, вона не змогла відповісти. Шура чула відповідь Ані та сказала, що вона також не може визначити колір свого берета. Чи може Соня на підставі відповідей своїх подруг визначити колір свого берета?
Рішення. Міркувати можна таким чином. З відповідей Ані обидві подружки зробили висновок, що вони обидві не можуть мати на голові двох білих беретів. (Інакше Аня відразу б сказала, що в неї на голові чорний бере). Вони мають або два чорні, або білий і чорний. Однак, якби на голові Соні був білий берет, то Шура теж сказала, що не знає, який у неї бере на голові, то отже у Соні на голові чорний бере.
5. Практична частина
Дослідження рівня логічного мислення учнів середньої ланки.
У практичній частині науково-дослідної роботи я підібрала логічні завдання на кшталт:Хто є хто?
Завдання відповідали рівню знань 5-го та 6-го, 7-го та 8-го класу відповідно. Учні вирішили ці завдання, а я проаналізувала отримані результати. Розглянемо отримані результати докладніше.
Для 5-го та 6-го класів були запропоновані такі завдання:
Завдання1. Крос осінній згадуючи, Сперечаються білки дві години:
Переміг у забігу заєць.Адругою була лисиця!
- Ні, - твердить інша білка,
- Ти меніжартиці кинь. Заєць був другим, звісно,
Першим був, я пам'ятаю, – лось!
- Я, - промовив важливий філін,
- У суперечку чужої не лізтиму.
Але у вас у словах у кожної
За однією помилкою є.
Білки пирхнули сердито.
Неприємно стало їм.
Ви вже зваживши все, вирішите,
Хтось був першим, хтось другим.
Завдання 2. Зустрілися три подруги Бєлова, Краснова та Чернова. На одній з них була чорна сукня, на другій – червона, на третій – біла. Дівчинка у білій сукні каже Черновій: «Нам треба помінятися сукнями, бо колір наших суконь не відповідає прізвищам». Хто в яку сукню був одягнений?
Серед учнів 5 та 6 класів, у кількості 25 осіб із запропонованими завданнями типу "Хто є хто?" впоралося11 осіб, серед яких 5 дівчаток та 6 хлопчиків. Результати вирішення логічних завдань учнями 5,6 класів представлені малюнку:
З малюнка видно, що 44% успішно вирішили обидві задачі: «Хто є хто?». З першим завданням впоралися майже всі учні, друге завдання із застосуванням графів або таблиць викликало у дітей труднощі.
Підсумовуючи, можна дійти невтішного висновку, що із завданнями простішими загалом учні 5-го і 6-го класів справляються, але якщо додаються трохи більше елементів у міркуваннях то справляються з такими завданнями в повному обсязі.
Для 7-го та 8-го класів були запропоновані такі завдання:
Завдання 1. Олена, Оля, Таня брали участь у бігу на 100 м. Олена прибігла на 2 з раніше Олі, Оля прибігла на 1 з пізніше за Таню. Хто прийшов раніше: Таня чи Олена та на скільки секунд?
Завдання 2. У кафе зустрілися троє друзів: скульптор Бєлов, скрипаль Чернов та художник Рижов. "Чудово, що в одного з нас біле, у іншого чорне, а у третього руде волосся, але ні в кого колір волосся не відповідає прізвищу", - зауважив чорнявий. «Ти маєш рацію», - сказав Бєлов. Який колір волосся у художника?
Завдання 3. Якось на сімейному святі зібралися сім подружніх пар. Прізвища чоловіків: Володимирів, Федоров, Назаров, Вікторів, Степанов, Матвєєв та Тарасов. Жінок звуть: Тоня, Люся, Олена, Світлана, Маша, Оля та Галя.На вечорі Володимиров танцював з Оленою та Світлою, Назаров – з Машею та Світлою, Тарасов – з Оленою та Олею, Вікторів – з Оленою, Степанов – зі Світлою, Матвєєв – з Олею. Потім почали грати у карти. Спершу Вікторів та Володимирів грали з Олею та Галею, потім чоловіків змінили Степанов та Назаров, а жінки продовжували гру. І, нарешті, Степанов та Назаров зіграли одну партію з Тонею та Оленою.
Спробуйте визначити, хто на кому одружений, якщо відомо, що на вечорі жоден чоловік не танцював зі своєю дружиною і жодна подружня пара не сідала одночасно за стіл під час гри.
У 7-х і 8-х класах серед 33-х чоловік з усіма завданнями типу "Хто є хто?" впоралися 18 осіб, серед яких 8 дівчаток та 10 хлопчиків.
Результати вирішення логічних завдань учнями 7-го та 8-го класів представлені на малюнку:
З малюнка видно, що 55% учнів впоралися з усіма завданнями, першим завданням -91%, успішно вирішили друге завдання-67%, і останнє завдання виявилося для хлопців найскладнішим і з нею впоралося всього 58%.
Аналізуючи отримані результати, загалом можна сказати, що краще з вирішенням логічних завдань впоралися учні 7-го та 8-го класів. Учні 5-го та 6-го класу показали гірші результати, можливо причиною цього є, що для вирішення цього виду завдань потрібне гарне знання математики, учні 5-х класів поки що не мають досвіду у вирішенні таких завдань.
Також я провела соц. опитування серед учнів 5-8 класів. Усім запитала: «Які завдання легше вирішувати: математичні чи логічні? В опитуванні брали участь 15 людей. 10 осіб відповіли – математичні, 3-логічні, 2 – ніякі не зможуть вирішити. Результат опитування представлений малюнку:
На малюнку видно, що математичні завдання легше вирішувати 67% опитаних, логічні – 20%, і 13% не зможуть вирішити жодне завдання.
6.Висновок
У цьому роботі Ви познайомилися з логічними завданнями. Із тим, що таке логіка. До вашої уваги були запропоновані різні логічні завдання, які допомагають розвивати логічне та образне мислення.
У будь-якої нормальної дитини є прагнення пізнання, бажання перевірити себе. Найчастіше здібності школярів так і залишаються не розкриті для них самих, вони не впевнені у своїх силах, байдужі до математики.
Для таких школярів я пропоную застосовувати логічні завдання. Ці завдання можна розглянути на гурткових і факультативних заняттях.
Вони повинні бути доступні, будити кмітливість, опановувати їх увагу, дивувати, пробуджувати їх до активної фантазії та самостійного рішення.
Також я вважаю, що логіка допомагає нам у нашому житті впоратися з будь-якими труднощами, і все, що ми робимо, має бути логічно осмислено та побудовано.
З логікою та логічними завданнями ми стикаємося не лише у школі на уроках математики, а й на інших предметах.
7. Література
Дорофєєв Г.В. Математика 6 клас.-Освіта,:2013.
Матвєєва Г. Логічні завдання // Математика. – 1999. № 25. – С. 4-8.
Орлова Є. Методи вирішення логічних завдань та завдань на числа //
Математика. – 1999. № 26. – С. 27-29.
4. Шаригін І.Ф. , Шевкін Є.А. Завдання на кмітливість.-Москва,: Просвітництво, 1996.-65с.
Щоб переглянути цей PDF-файл із форматуванням та розміткою, завантажте його та відкрийте на своєму комп'ютері.
Міністерство освіти Оренбурзької області
Державний автономний професійний освітній заклад
«Орський машинобудівний коледж»
м.Орська Оренбурзької області
Дослідницька робота
з математики
«
МАТЕМАТИКА БЕЗ
ФОРМУЛ, РІВНЯНЬ І
Нерівностей
»
Підготувала
:
Тхорик Катерина
,
студента групи
15ЛП
Керівник:
Марченко О.В
.,
викладач мате
матики
Математика
–
це особливий світ, у якому провідну роль відіграють формули,
символи та геометричні об'єкти. У дослідній р
аботі ми вирішили
дізнатися, що станеться, якщо з математики прибрати формули, рівняння та
нерівності?
Актуальність цього дослідження полягає в тому, що
з кожним роком
втрачається інтерес до математики. Не люблять математику, перш за все з
-
за формули.
У цій
роботі ми хочемо не лише показати красу математики, а й
подолати у свідомості учнів виникаючі уявлення про «сухість»,
формальному характері, відірваності цієї науки від життя та практики.
Мета роботи: довести, що математика залишиться повноцінною.
енної наукою, при
цьому цікавою та багатогранною, якщо з неї прибрати формули, рівняння та
нерівності.
Завдання роботи:
показати, що математик
а
без формул, рівнянь та
нерівностей
є повноцінною наукою
; провести опитування
обидва
ча
ю
чих; вивчити
інформаційні
е джерела; познайомиться з основними способами вирішення
логічних завдань
Якщо припустити, що математичні формули
-
лише зручна мова
для викладу ідей та методів математики, то самі ці ідеї можна описати,
використовуючи звичні та наочні образи з
кружляючого життя.
Об'єктом нашого дослідження стали способи вирішення математичних
задач без формул, рівнянь та нерівностей.
Студентам нашого коледжу було запропоновано відповісти на запитання: що
стане з математикою, якщо з неї прибрати формули, рівняння і не
рівності?
вибравши одну відповідь з наступних варіантів:
а) залишаться числа, цифри, літери б) залишиться лише теорія
в) залишаться теореми та докази г) залишаться графіки
д) математика стане літературою; ж) нічого не залишиться
Результати цього
опитування показали, що більшість студентів упевнені, без
формул, рівнянь та нерівностей математика стане літературою. Ми вирішили
спростувати цю думку. Без формул, рівнянь і нерівностей у математиці,
насамперед, залишаться логічні завдання, які
е найчастіше складають
Більшість завдань на олімпіаді з математики. Різноманітність логічних
задач дуже велике. Способів їхнього вирішення теж чимало. Але найбільше
поширення набули такі: метод міркування, метод таблиць, метод
графів, кола Ей
лера, метод блок
-
схем.
Спосіб міркування
найпримітивніший спосіб. Цим способом
вирішуються найпростіші логічні завдання. Його ідея полягає в тому, що ми
проводимо міркування, використовуючи послідовно всі умови завдання, та
приходимо до висновку, що і
буде відповіддю завдання.
Цим способом
зазвичай вирішують нескладні логічні завдання.
Основний прийом, який використовується при вирішенні текстових логічних
завдань, полягає в
побудові таблиць
. Таблиці не тільки дозволяють наочно
представити умову з
адачі або її відповідь, але значною мірою допомагають
робити правильні логічні висновки під час вирішення задачи.
Метод графів.
Граф
-
це сукупність об'єктів зі зв'язками з-поміж них.
Об'єкти представляються як вершини, або вузли графа (вони позначаються
то
чками), а зв'язку
-
як дуги, чи ребра. Якщо зв'язок односпрямований
позначається на схемі лініями зі стрілками, якщо зв'язок між об'єктами
Двостороння позначається на схемі лініями без стрілок.
Метод кіл Ейлера.
Діаграми Ейлера використовуються при вирішенні
великої групи логічних завдань. Умовно всі ці завдання можна поділити на три
типу. У задачах першого типу необхідно символічно висловити багато
,
заштриховані на діаграмах Ейлера, використовуючи знання
ки операцій перетину,
об'єднання та доповнення.
У задачах другого типу діаграми Ейлера
застосовуються для аналізу ситуацій, пов'язаних із визначенням класу. Третій тип
задач, при вирішенні яких використовуються діаграми Ейлера,
-
завдання на
логічний рахунок.
Метод блок
-
схем
.
Цей вид розв'язання логічних завдань
входить у курс
навчання учнів загальноосвітніх установ з курсу інформатики
Програмування мовою
Pascal
.
Крім логічних завдань у математиці
орою для вирішення простих
математичних завдань доводиться здійснювати абсурдні речі, що виходять за
ра
мки нашої логіки, нашого мислення.
Абсурд
–
в математиці та логіці,
означає, що який
-
то елемент не має жодного сенсу в рамках даної
теорії,
системи або
поля, принципово несумісний з ними, хоча елемент,
який є абсурдом у даній системі
еме, може мати сенс в іншій.
У математиці окрему групу виділяють софізми (майстерність, вміння)
-
складний висновок, який, проте, при поверхневому розгляді
здається правильним.
Без формул у математиці може виникнути ситуація, як
яка може
існувати насправді, але немає логічного пояснення. Така ситуація
називається парадоксом. Виникнення парадоксів не є чим
-
то
незакономірним, несподіваним, випадковим в історії розвитку наукового
мислення. Їхня поява сигналізації
про необхідність перегляду колишніх
теоретичних уявлень, висування більш адекватних понять, принципів
та методів дослідження.
Світ такої науки, як математика, не вичерпується тільки рішенням
особливого виду завдань. Крім всіх труднощів,
нею є прекрасне та цікаве,
часом навіть кумедне. Математичний гумор, як і математичний світ,
витончений та особливий.
Таким чином, без формул, рівнянь та нерівностей математика залишиться
повноцінною наукою, при цьому цікавою та багатогранною.
Бібліографічний список.
Агафонова, І. Г. Вчимося думати: Цікаві логічні завдання,
тести та вправи для дітей. Навчальний посібник [Текс] /
І. Г. Агафонова
СПб.
ІКФ МіМ
–
експрес,1996.
–
Балаян Е.М. 1001 олімпіадна та цікава задачах
і по
математики
[Текс]
/ Е.М. Балаян.
-
3
-
е вид.
-
Ростов н/Д: Фенікс, 2008.
-
Фарков, А. В. Математичні олімпіади у школі. 5
-
11 класи.
[Текс]/
А. В. Фарков.
-
8
-
е вид., Випр. та дод.
-
М.: Айріс
-
прес, 2009.
-
http://www.arhimedes.org/
Турнір ім. М. В. Ломоносова (м. Москва)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/
Додані файли
В даному розділі нашого сайту представлені теми досліджень на логікуу вигляді логічних завдань, софізмів та парадоків у математиці, цікавих ігор на логіку та логічне мислення. Безпосередньо спрямовувати та допомагати у дослідженнях школяреві має керівник роботи.
Подані нижче теми дослідницьких та проектних робіт на логіку підійдуть дітям, які люблять логічно мислити, вирішувати нестандартні завдання та приклади, досліджувати парадокси та математичні проблеми, грати у нестандартні логічні ігри.
У списку нижче можна вибрати тему проекту на логіку для будь-якого класу загальноосвітньої школи, починаючи з початкової школи та закінчуючи старшою. На допомогу для грамотного оформлення проекту з математики на логіку та логічне мислення можна скористатися розробленими вимогами до оформлення роботи.
Наведені нижче теми дослідницьких проектів на логіку не є остаточними, і можуть змінюватись у зв'язку з вимогами, поставленими перед виконанням проекту.
Теми досліджень на логіку:
Зразкові теми досліджень на логіку для учнів:
Цікава логіка у математиці.
Логіка алгебри
Логіка та ми
логіка. Закони логіки
Логічна скринька. Збірник цікавих логічних завдань.
Логічні завдання з числами.
Логічні завдання
Логічні задачі "Кумедна арифметика"
Логічні завдання математики.
Логічні завдання визначення кількості геометричних фігур.
Логічні завдання на розвиток мислення
Логічні завдання під час уроків математики.
Логічні ігри
Логічні парадокси
Математична логіка.
Методи вирішення логічних завдань та способи їх складання.
Моделювання логічних завдань
Навчальна презентація "Основи логіки".
Основні види логічних завдань та методи їх вирішення.
Слідами Шерлока Холмса, або Методи вирішення логічних завдань.
Застосування теорії графів під час вирішення логічних завдань.
Проблеми чотирьох кольорів.
Розв'язання логічних завдань
Вирішення логічних завдань методом графа.
Розв'язання логічних завдань у різний спосіб.
Розв'язання логічних завдань за допомогою графів
Розв'язання логічних завдань за допомогою схем та таблиць.
Розв'язання логічних завдань.
Силогізми. Логічні феномена.
Теми проектів на логіку
Орієнтовні теми проектів на логіку для учнів:
Софізми
Софізми навколо нас
Софізми та парадокси
Способи складання та методи вирішення логічних завдань.
Вчимося вирішувати логічні завдання
Алгебра логіки та логічні основи комп'ютера.
Види завдань логічне мислення.
Два способи розв'язання логічних завдань.
Логіка та математика.
Логіка як наука
Логічні загадки.
Вступ. 3
1. Математична логіка (безглузда логіка) та логіка «здорового глузду» 4
2. Математичні судження та висновки. 6
3. Математична логіка та «Здоровий глузд» у XXI столітті. 11
4. Неприродна логіка в основах математики. 12
Висновок. 17
Список литературы… 18
Розширення галузі логічних інтересів пов'язане із загальними тенденціями розвитку наукового знання. Так, виникнення математичної логіки в середині XIX століття стало підсумком багатовікових сподівань математиків і логіків про побудову універсальної символічної мови, вільної від «недоліків» природної мови (насамперед її багатозначності, тобто полісемії).
Подальший розвиток логіки пов'язаний із сукупним використанням класичної та математичної логіки в прикладних областях. Некласичні логіки (деонтична, релевантна, логіка права, логіка прийняття рішень та ін.) часто мають справу з невизначеністю та нечіткістю досліджуваних об'єктів, з нелінійним характером їх розвитку. Так, при аналізі досить складних завдань у системах штучного інтелекту виникає проблема синергізму різних типів міркування при вирішенні однієї й тієї ж задачі. Перспективи розвитку логіки в руслі зближення з інформатикою пов'язані зі створенням певної ієрархії можливих моделей міркування, що включають міркування природною мовою, правдоподібні міркування і формалізовані дедуктивні висновки. Це вирішується засобами класичної, математичної та некласичної логік. Таким чином, йдеться не про різні «логіки», а про різний ступінь формалізації мислення та «розмірність» логічних значень (двозначна, багатозначна та ін. логіка).
Виділення основних напрямів сучасної логіки:
1. загальної, чи класичної логіки;
2. символічної, чи математичної логіки;
3. некласичної логіки.
Математична логіка поняття досить неконкретне, тому що математичних логік також нескінченно багато. Тут обговорюватимемо деякі з них, віддаючи більше данину традиції, ніж здоровому глузду. Оскільки, цілком можливо, в цьому і є здоровий глузд… Логічно?
Математична логіка вчить логічно розмірковувати не більше ніж будь-який інший розділ математики. Це з тим, що «логічність» міркувань у логіці визначається самої логікою і коректно можна використовувати лише у самої логіці. У житті ми, розмірковуючи логічно, зазвичай використовуємо різні логіки і різні методи логічних міркувань, безбожно перемішуючи дедукцію з індукцією… Більше того, у житті ми будуємо свої міркування виходячи з суперечливих посилок, наприклад, «Не відкладай на завтра, що можна зробити сьогодні» і «Поспішиш насмішиш людей». Нерідко буває, що логічний висновок, що нам не сподобався, призводить до перегляду вихідних посилок (аксіом).
Мабуть, настав час сказати про логіку, можливо найголовніше: класична логіка не займається сенсом. Ні здоровим, ні яким іншим! Для вивчення здорового глузду, між іншим, існує психіатрія. Але в психіатрії логіка скоріше шкідлива.
Зрозуміло, розмежовуючи логіку із змістом, маємо на увазі насамперед класичну логіку та життєве розуміння здорового глузду. Немає заборонених напрямів у математиці, тому дослідження логікою сенсу, і навпаки, у різних видах є у ряді сучасних відгалужень логічної науки.
(Добре склалася остання пропозиція, хоча визначити термін «логічна наука» не візьмуся навіть приблизно). Сенсом, якщо завгодно – семантикою, займається, наприклад, теорія моделей. Та й взагалі термін семантика часто замінюють терміном інтерпретація. І якщо ми погодимося з філософами, що інтерпретація (відображення!) Об'єкта є осмислення його в деякому даному аспекті, то прикордонні сфери математики, які можуть залучатися для наступу на сенс у логіці, стають неохопними!
У практичному плані семантикою вимушено цікавитись теоретичне програмування. А в ньому, окрім просто семантики, є і операційна, і денотаційна, процедурна і т.д. і т.п. семантики...
Ще лише згадаємо апофеоз - ТЕОРІЮ КАТЕГОРІЙ, яка довела семантику до формального малозрозумілого синтаксису, де сенс вже настільки простий - розкладений по поличках, що до його простого смертного неможливо докопатися... Це для обраних.
Тож чим займається логіка? Хоча б у найкласичнішій її частині? Логіка займається лише тим, чим вона займається. (А це вона визначає гранично суворо). Головне в логіці – це чітко визначитися! Вказати аксіоматику. А далі логічні висновки мають бути (!) значною мірою автоматичними.
Інша справа міркування щодо цих висновків! Але ці міркування вже поза межами логіки! Тому в них потрібний суворий математичний зміст!
Може здатися, що це проста словесна еквілібристика. НІ! Як приклад деякої логічної (аксіоматичної) системи візьмемо відому гру 15. Задамо (перемішаємо) початкове розташування квадратних фішок. Далі грою (логічним висновком!), а саме - переміщенням фішок на вільне місце, може займатися якийсь механічний пристрій, а ви можете терпляче дивитися і радіти, коли в результаті можливих пересувань у коробочці складеться послідовність від 1 до 15. Але ніхто не забороняє контролювати механічний пристрій і підказувати йому, ВИХОДЯЧИ З здорового глузду правильні переміщення фішок, щоб прискорити процес. А може навіть довести, використовуючи для логічних міркувань, наприклад, такий розділ математики, як комбінатор, що при даному початковому розташуванні фішок отримати необхідну фінальну комбінацію неможливо взагалі!
Не більше здорового глузду є і в тій частині логіки, яку називають ЛОГІЧНОЮ АЛГЕБРОЮ. Тут вводяться ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ та визначаються їх властивості. Як показала практика, у деяких випадках закони цієї алгебри можуть відповідати логіці життя, а деяких немає. Через таку непостійність закони логіки не можна вважати законами з погляду практики життя. Їхнє знання та механічне використання може не лише допомагати, а й шкодити. Особливо психологам та юристам. Ситуація ускладнюється тим, що поряд із законами алгебри логіки, що то відповідають, то не відповідають життєвим міркуванням, є логічні закони, які частину логіків категорично не визнають. Це стосується насамперед так званих законів ВИКЛЮЧЕНОГО ТРЕТЬОГО і ПРОТИРІЧЧЯ.
2. Математичні судження та висновки
У мисленні поняття не виступають розрізнено, вони у певний спосіб зв'язуються між собою. Формою зв'язку понять друг з одним є судження. У кожному судженні встановлюється певний зв'язок чи деяке взаємовідносини між поняттями, і цим затверджується наявність зв'язку чи взаємовідносин між об'єктами, охоплюваними відповідними поняттями. Якщо судження правильно відображають ці об'єктивно існуючі залежності між речами, ми такі судження називаємо істинними, інакше судження будуть хибними. Так, наприклад, судження «будь-який ромб є паралелограмом» - справжнє судження; судження «будь-який паралелограм є ромбом» - хибне судження.
Таким чином, судження - це така форма мислення, в якій відображається наявність або відсутність самого об'єкта (наявність або відсутність будь-яких ознак і зв'язків).
Думати – значить висловлювати судження. За допомогою суджень думка, поняття набувають свого подальшого розвитку.
Оскільки у кожному понятті відображається певний клас об'єктів, явищ чи взаємовідносин з-поміж них, то всяке судження можна як включення чи невключення (часткове чи повне) одного поняття в клас іншого поняття. Наприклад, судження "будь-який квадрат є ромб" вказує, що поняття "квадрат" включається в поняття "ромб"; судження «прямі, що перетинаються, не є паралельними» вказує, що перетинаються прямі не належать безлічі прямих, званих паралельними.
Судження має свою мовну оболонку - речення, проте не всяка речення є судженням.
Характерною ознакою судження є обов'язкова наявність істинності або хибності в його пропозиції.
Наприклад, пропозиція «трикутник АВС рівнобедрений» висловлює певну думку; пропозиція «Чи буде АВС рівнобедреною?» не висловлює судження.
Кожна наука по суті є певною системою суджень про об'єкти, що є предметом її вивчення. Кожне з суджень оформляється у вигляді деякої пропозиції, вираженої в термінах та символах, властивих цій науці. Математика також є певною системою суджень, виражених у математичних реченнях за допомогою математичних чи логічних термінів або відповідних їм символів. Математичні терміни (або символи) позначають ті поняття, які становлять зміст математичної теорії, логічні терміни (або символи) позначають логічні операції, за допомогою яких з одних математичних речень будуються інші математичні пропозиції, з одних суджень утворюються інші судження, вся сукупність яких і становить математику як науку.
Взагалі кажучи, судження утворюються у мисленні двома основними способами: безпосередньо та опосередковано. У першому випадку за допомогою судження виражається результат сприйняття, наприклад, «ця фігура -т-коло». У другому випадку судження виникає в результаті особливої мисленнєвої діяльності, яка називається висновком. Наприклад, «множина даних точок площини така, що їхня відстань від однієї точки однакова; отже, ця фігура – коло».
У процесі цієї розумової діяльності зазвичай здійснюється перехід від однієї чи кількох пов'язаних між собою суджень до нового судження, в якому міститься нове знання про об'єкт вивчення. Цей перехід і є висновком, який є найвищою формою мислення.
Отже, висновком називається процес отримання нового судження виведення з одного або декількох даних суджень. Наприклад, діагональ паралелограма ділить його на два конгруентні трикутники (перше судження).
Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d (друге судження).
Сума внутрішніх кутів паралелограма дорівнює 4d (нове судження-висновок).
Пізнавальне значення математичних висновків надзвичайно велике. Він" розширюють межі наших знань про об'єкти та явища реального світу в силу того, що велика частина математичних речень є висновком з порівняно невеликої кількості основних суджень, які отримані, як правило, шляхом безпосереднього досвіду і в яких відображені наші найбільш прості та загальні знання про його об'єктах.
Висновок відрізняється (як форма мислення) від поняття і судження тим, що воно є логічною операцією над окремими думками.
Не всяке поєднання суджень між собою є висновком: між судженнями повинен існувати певний логічний зв'язок, що відображає об'єктивний зв'язок, що існує в реальній дійсності.
Наприклад, з суджень "сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d" і "2 * 2 = 4" не можна зробити висновок.
Зрозуміло, яке значення системі наших математичних знань має вміння правильно будувати різні математичні пропозиції чи робити висновки у процесі міркування. Розмовний мову погано пристосований висловлювання тих чи інших суджень, а тим паче виявлення логічної структури міркувань. Тому природно, що виникла потреба удосконалення мови, що використовується в процесі міркування. Математична (а точніше, символічна) мова виявилася для цього найпридатнішою. Спеціальна галузь науки - математична логіка, що виникла в XIX ст., не тільки повністю вирішила проблему створення теорії математичного доказу, а й справила великий вплив на розвиток математики в цілому.
Формальну логіку (що виникла ще в давнину в працях Аристотеля) не ототожнюють з математичною логікою (що виникла в XIX ст. в роботах англійського математика Дж. Буля). Предметом формальної логіки є вивчення законів взаємозв'язку суджень і понять у висновках та правилах доказу. Математична логіка відрізняється від формальної логіки тим, що вона, виходячи з основних законів формальної логіки, досліджує закономірності логічних процесів на основі застосування математичних методів: «Логічні зв'язки, які існують між судженнями, поняттями тощо, знаходять своє вираження у формулах, тлумачення яких вільне від неясностей, які могли б виникнути при словесному вираженні. Таким чином, для математичної логіки характерна формалізація логічних операцій, повніше абстрагування від конкретного змісту речень (що виражають будь-яке судження).
Проілюструємо сказане одним прикладом. Розглянемо такий висновок: "Якщо всі рослини червоні і всі собаки - рослини, то всі собаки червоні".
Кожне з суджень, що використовується тут, і те судження, яке ми отримали в результаті стриманого висновку, здається явним безглуздям. Однак з точки зору математичної логіки ми маємо тут справу з вірною пропозицією, тому що в математичній логіці істинність чи хибність умовиводу залежить тільки від істинності чи хибності складових його посилок, а не від їх конкретного змісту. Тому якщо одним із основних понять формальної логіки є судження, то аналогічним йому поняттям математичної логіки є поняття висловлювання-ствердження, для якого має сенс лише говорити, істинно воно чи хибно. Не слід думати, що для кожного висловлювання характерна відсутність здорового глузду в його змісті. Просто змістовна частина речення, що становить те чи інше висловлювання, у математичній логіці відходить на другий план, несуттєва для логічної побудови чи аналізу того чи іншого висновку. (Хоча, звичайно істотна для. розуміння змісту того, про що йдеться при розгляді цього питання.)
Зрозуміло, що у самій математиці розглядаються змістовні висловлювання. Встановлюючи різні зв'язки та відносини між поняттями, математичні судження затверджують чи заперечують будь-які відносини між об'єктами та явищами реальної дійсності.
3. Математична логіка та «Здоровий глузд» у XXI столітті.
Логіка - як суто математична, а й філософська наука. У XX столітті ці дві взаємозалежні іпостасі логіки виявилися розведеними в різні боки. З одного боку, логіка розуміється як наука про закони правильного мислення, а з іншого - вона подається як сукупність слабо пов'язаних один з одним штучних мов, які називаються формальними логічними системами.
Багатьом очевидно, що мислення - це складний процес, з допомогою якого вирішуються життєві, наукові чи філософські проблеми і народжуються геніальні ідеї чи фатальні помилки. Мова розуміється багатьма просто як засіб, за допомогою якого результати мислення можна передати сучасникам або залишити нащадкам. Але, зв'язавши у своїй свідомості мислення з поняттям „процес“, а мову з поняттям „засіб“, ми по суті перестаємо помічати той незаперечний факт, що в даному випадку „засіб“ не підпорядкований повністю „процесу“, а залежно від нашого цілеспрямованого або неусвідомленого вибору тих чи словесних штампів дуже впливає на хід і результат самого „процесу“. Причому відомо чимало випадків, коли такий "зворотний вплив" виявляється не тільки гальмом для правильного мислення, але навіть його руйнівником.
З філософської точки зору завдання, поставлене в рамках логічного позитивізму, так і не було виконано. Зокрема, у своїх пізніх дослідженнях один із основоположників цього напряму Людвіг Вітгенштейн дійшов висновку, що природну мову не можна реформувати відповідно до розробленої позитивістами програми. Навіть мова математики в цілому встояла перед потужним натиском „логіцизму“, хоча багато термінів і структур пропонованої позитивістами мови увійшли до деяких розділів дискретної математики та суттєво доповнили їх. Популярність логічного позитивізму як філософського спрямування у другій половині XX століття помітно впала - багато філософів дійшли висновку, що відмова від багатьох „нелогічностей“ природної мови, спроба втиснути її в рамки основоположних принципів логічного позитивізму тягне за собою дегуманізацію процесу пізнання, а разом з цим та дегуманізацію людської культури в цілому.
Багато методів міркувань, які використовуються в природній мові, часто дуже важко однозначно відобразити мовою математичної логіки. У деяких випадках таке відображення призводить до суттєвого спотворення суті природного міркування. І є підстави вважати, що ці проблеми є наслідком вихідної методологічної установки аналітичної філософії та позитивізму про нелогічність природної мови та необхідність її корінного реформування. Сама вихідна методологічна установка позитивізму також витримує критики. Звинувачувати розмовну мову у нелогічності просто абсурдно. Насправді нелогічність характеризує не саму мову, а багатьох користувачів цієї мови, які просто не знають або не хочуть використовувати логіку і компенсують цю ваду психологічними або риторичними прийомами впливу на публіку, або у своїх міркуваннях використовують як логіку систему, яка називається логікою лише через непорозуміння. У той же час є чимало людей, мова яких відрізняється ясністю та логічністю, і ці якості не визначаються знанням чи незнанням основ математичної логіки.
У міркуваннях тих, кого можна віднести до законодавців чи послідовників формальної мови математичної логіки, нерідко виявляється своєрідна „сліпота“ стосовно елементарних логічних помилок. На цю сліпоту в основоположних роботах Г. Кантора, Д. Гільберта, Б. Рассела, Дж. Пеано та ін ще на початку нашого століття звернув увагу один з великих математиків Анрі Пуанкаре.
Одним із прикладів такого нелогічного підходу до міркувань є формулювання знаменитого парадоксу Рассела, в якому необґрунтовано поєднуються два суто різнорідні поняття „елемент“ та „множина“. У багатьох сучасних роботах з логіки та математики, в яких помітно вплив програми Гільберта, не знаходять пояснення багато явно безглуздих з точки зору природної логіки твердження. Співвідношення між „елементом“ та „множиною“ є найпростішим прикладом такого роду. У багатьох роботах цього напряму стверджується, що деяка множина (назвемо його A) може бути елементом іншої множини (назвемо його B).
Наприклад, у широко відомому посібнику з математичної логіки ми зустрінемо таку фразу: "Багато може бути елементами множин, так, наприклад, безліч всіх множин цілих чисел має своїми елементами множини". Зауважимо, що це твердження не просто застереження. Воно міститься як „прихована” аксіома у формальній теорії множин, яку багато фахівців вважають основою сучасної математики, а також у формальній системі, яку побудував математик К. Гедель за доказом своєї знаменитої теореми про неповноту формальних систем. Ця теорема відноситься до досить вузького класу формальних систем (до них входять формальна теорія множин і формальна арифметика), логічна структура яких явно не відповідає логічній структурі природних міркувань та обґрунтувань.
Проте вже понад півстоліття вона є предметом бурхливого обговорення серед логіків та філософів у контексті загальної теорії пізнання. При такому широкому узагальненні цієї теореми виходить, що принципово непізнавані багато елементарні поняття. Але за більш тверезому підході виявляється, що теорема Геделя показала лише неспроможність програми формального обгрунтування математики, запропонованої Д. Гільбертом і підхопленої багатьма математиками, логіками та філософами. Більш широкий методологічний аспект теореми Геделя навряд чи можна вважати прийнятним доти, доки отримано відповідь наступне питання: чи є програма обгрунтування математики, запропонована Гільбертом, єдино можливою? Щоб зрозуміти двозначність затвердження „множина A є елемент безлічі B“, досить поставити просте запитання: „З яких елементів у цьому випадку сформовано безліч B?“. З погляду природної логіки можливі лише два виключають один одного варіанти пояснення. Пояснення перше. Елементами множини B є імена деяких множин і, зокрема, ім'я або позначення множини A. Наприклад, множина всіх парних чисел міститься як елемент у множині всіх імен (або позначень) множин, виділених за будь-якими ознаками з множини всіх цілих чисел. Можна навести зрозуміліший приклад: безліч всіх жирафів міститься як елемент у багатьох відомих видів тварин. У ширшому контексті безліч B можна також сформувати з концептуальних визначень множин чи посилань на множини. Пояснення друге. Елементами множини B є елементи деяких інших множин і, зокрема, всі елементи множини A. Наприклад, кожне парне число є елементом множини всіх цілих чисел або кожен жираф є елемент множини всіх тварин. Але тоді виходить, що в обох випадках вираз „множина A є елементом множини B“ не має сенсу. У першому випадку виявляється, що елементом множини B є не саме собою безліч A, а його ім'я (або позначення, або посилання на нього). У цьому випадку неявно встановлюється ставлення еквівалентності між безліччю та його позначенням, що неприйнятно ні з погляду звичайного здорового глузду, ні з погляду несумісної з надмірним формалізмом математичної інтуїції. У другий виявляється, що безліч A включено в безліч B, тобто. є його підмножиною, але з елементом. Тут теж явна підміна понять, оскільки відношення включення множин і відношення приналежності (бути елементом множини) в математиці мають різний сенс. Знаменитий парадокс Рассела, який підірвав довіру логіків до поняття "множина", заснований на цій безглуздості - в основі парадоксу лежить двозначна передумова про те, що безліч може бути елементом іншої множини.
Можливий ще один варіант пояснення. Нехай безліч A задано простим перерахуванням його елементів, наприклад, A = (a, b). Безліч B у свою чергу задано перерахуванням деяких множин, наприклад, B = ((a, b), (a, c)). В даному випадку здається очевидним, що елементом B є не ім'я множини A, а саме множина A. Але навіть у цьому випадку елементи множини A не є елементами множини B, і множина A тут розглядається як нероздільна сукупність, яка цілком може бути замінена його ім'ям . Але якби ми вважали елементами B всі елементи множин, що містяться в ньому, то в цьому випадку безліч B дорівнювало б безлічі (a, b, c), і безліч A в цьому випадку було б не елементом B, а його підмножиною. Таким чином, виходить, що цей варіант пояснення, залежно від нашого вибору, зводиться до раніше перерахованих варіантів. А якщо жодного варіанту вибору не запропоновано, то виходить елементарна двозначність, яка часто призводить до „нез'ясовних“ парадоксів.
Можна було б не приділяти особливої уваги цим термінологічним нюансам, якби не одна обставина. Виявляється, що багато парадокси та невідповідності сучасної логіки та дискретної математики є прямим наслідком або наслідуванням цієї двозначності.
Наприклад, у сучасних математичних міркуваннях часто використовується поняття "самозастосовність", яке лежить в основі парадоксу Рассела. У формулюванні цього феномена під самозастосовністю мається на увазі існування множин, які є елементами себе. Таке твердження одразу призводить до парадоксу. Якщо ми розглянемо безліч усіх „несамозастосовних“ множин, то виявиться, що воно є одночасно „самозастосовним“ та „несамозастосовним”.
Математична логіка чимало сприяла бурхливому розвитку інформаційних технологій у XX столітті, але з її поля зору випало поняття "судження", яке з'явилося в логіці ще за часів Аристотеля і на якому, як на фундаменті, тримається логічна основа природної мови. Таке недогляд аж ніяк не сприяло розвитку логічної культури суспільства і в багатьох навіть породило ілюзію, що комп'ютери здатні мислити не гірше за саму людину. Багатьох навіть не бентежить та обставина, що на тлі загальної комп'ютеризації напередодні третього тисячоліття логічні безглуздості в межах самої науки (я вже не говорю про політику, законотворчу діяльність і про псевдонауку) зустрічаються навіть частіше, ніж наприкінці XIX століття. І для того, щоб зрозуміти суть цих безглуздостей, немає необхідності звертатися до складних математичних структур з багатомісними відносинами та рекурсивними функціями, що застосовуються у математичній логіці. Виявляється, для розуміння та аналізу цих безглуздостей цілком достатньо застосувати набагато простішу математичну структуру судження, яка не тільки не суперечить математичним основам сучасної логіки, але в чомусь доповнює та розширює їх.
Список літератури
1. Васильєв Н. А. Уявна логіка. Вибрані праці. - М: Наука. 1989; - Стор. 94-123.
2. Кулик Б.А. Основні принципи філософії здорового глузду (пізнавальний аспект) // Новини штучного інтелекту, 1996, № 3, з. 7-92.
3. Кулик Б.А. Логічні засади здорового глузду / За редакцією Д.А. Поспєлова. – СПб, Політехніка, 1997. 131 с.
4. Кулик Б.А. Логіка здорового глузду. - Здоровий глузд, 1997, No 1 (5), с. 44 – 48.
5. Стяжкін Н. І. Формування математичної логіки. М: Наука, 1967.
6. Соловйов А. Дискретна математика без формул. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РЕСПУБЛІКИ БУРЯТТЯ
МУНІЦИПАЛЬНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА
«МАЛОКУДАРИНСЬКА СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА»
ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА
Тема: «Логічні завдання
Виконав роботу:
Ігумнов Матвій, учень 3 класу
МБОУ «Малокударинська середня загальноосвітня школа»
Керівник: Серебреннікова М.Д.
1. ВВЕДЕННЯ …………………………………………………………..3-4
2. ОСНОВНА ЧАСТИНА
Що таке логіка ……………………………………………………. …5
Види логічних завдань…………………………………………………………6
Розв'язання логічного завдання…………………………………………………….10
Практична частина …………………………………………………….. 10-12
3. ВИСНОВОК ……………………………………………………… 14
4. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ ТА ІНТЕРНЕТ-ДЖЕРЕЛОВ ………. 15
5. ДОДАТКИ
Вступ
Розвитку творчої активності, ініціативи, допитливості, кмітливості сприяє вирішенню нестандартних завдань, логічних.
Вирішувати логічні завдання дуже цікаво. У них начебто немає ніякої математики – немає ні чисел, ні геометричних фігур, а є лише брехуни та мудреці, істина та брехня. У той же час дух математики в них відчувається найяскравіше - половина розв'язання будь-якого математичного завдання (а іноді й набагато більше половини) полягає в тому, щоб добре розібратися в умові, розплутати всі зв'язки між об'єктами завдання.
Готуючи цю роботу, я ставив мета- Розвинути свої здібності вміння розмірковувати і робити правильні висновки. Тільки вирішення важкого, нестандартного завдання приносить радість перемоги. При вирішенні логічних завдань надається можливість подумати над незвичайною умовою, розмірковувати. Це в мене викликає та зберігає інтерес до математики. Актуальність.В наш час дуже часто успіх людини залежить від його здатності чітко мислити, логічно розмірковувати та ясно викладати свої думки.
Мета дослідження:чи може логічне завдання мати кілька правильних відповідей
Завдання: 1) ознайомлення з поняттями «логіка» та видами логічних завдань; 2) розв'язання логічного завдання, визначення залежності зміни відповіді задачі від величини горіхів
Методи досліджень:збирання, вивчення матеріалу, порівняння, аналіз
Гіпотезаякщо ми змінюватимемо величину горіхів, то буде змінюватися відповідь завдання.
Область дослідження: логічне завдання.
Що таке логіка?
У науковій літературі можна знайти такі визначення логіки:
Логіка - наука про прийнятні способи міркування.
Логіка - наука про форми, методи та закони інтелектуальної пізнавальної діяльності, що формалізуються за допомогою логічної мови.
Логіка – наука про правильне мислення.
Логіка – одна з найдавніших наук. Окремі витоки логічного вчення можна знайти ще Індії, наприкінці II тисячоліття до зв. е. Основоположником логіки як науки є давньогрецький філософ і вчений Аристотель. Саме він звернув увагу, що в міркуваннях ми з одних тверджень виводимо інші, виходячи не з конкретного змісту тверджень, а з певного взаємозв'язку між їх формами, структурами.
Як навчитися вирішувати логічні завдання?Логічні або нечисловіЗавдання становлять великий клас нестандартних завдань. Сюди ставляться, передусім, текстові завдання, у яких потрібно розпізнати об'єкти чи розташувати їх у порядку за наявними властивостями. При цьому частина тверджень умови завдання може виступати з різною істинною оцінкою (бути істинною або хибною). Отже, ми дізнаємося, як у різний спосіб можна вирішувати логічні завдання. Виявляється таких прийомів кілька, вони різноманітні і кожен з них має свою сферу застосування.
Типи логічних завдань
1«Хто є хто?»
2 Тактичні завданняРішення тактичних і теоретико-множинних завдань полягає у складанні плану дій, що призводить до правильної відповіді. Складність у тому, що вибір необхідно зробити з дуже великої кількості варіантів, тобто. ці можливості не відомі, їх треба вигадати.
3 Завдання на перебування перетину або об'єднання множин
4 Літерні та числові ребуси та завдання із зірочками
Методом підбору та розгляду різних варіантів вирішуються буквені ребуси та приклади із зірочками.
5 Завдання, в яких потрібно встановити істинність чи хибність висловлювань
6 Завдання типу «Капелюхи»
Найбільш відоме завдання про мудреців, яким потрібно визначити колір капелюха на голові. Щоб вирішити таке завдання, потрібно відновити ланцюжок логічних міркувань.
РІШЕННЯ ЛОГІЧНОГО ЗАВДАННЯ
Існує багато видів горіхів. Чи з'ясуємо, чи залежить відповідь цього завдання від величини горіхів?
Розглянемо деякі з них.
Найдрібнішими вважаються кедрові горіхи. Причому їх розміри залежать від виду. Горіхи кедра європейського, сибірського кедрового стланіка та корейського кедра відрізняються за розміром. Серед них найдрібніші горіхи кедрового стланіка. Їхня довжина 5 мм.
Висновок:видів горіхів є багато. Вони мають різну величину: у діаметрі. Тому завдання ми підставляємо горіхи різної величини.
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
Практичні роботи
Робота №1. Практична робота з волоськими горіхами.
Інструменти та матеріалиКабіна: лінійка, крейда, кольорові мірки, 10 штук волоських горіхів.
Підготовча робота. З кольорового картону вирізаємо мірки: 3 мірки із зеленого картону по 2 см завдовжки і 2 см завширшки для першого ряду та 5 мірок із жовтого картону по 1 см завдовжки і по 2 см завширшки для другого ряду.
Опис роботи.На столі відзначаємо крейдою крапку. На неї кладемо горіх. Кладемо мірку в 2см і другий горіх, мірку в 2 см і третій горіх, мірку в 2 см і четвертий горіх. Крейдою відзначаємо початок та кінець довжини першого ряду. Початок другого ряду чітко відзначаємо крейдою під керівництвом
першого і кладемо горіх, мірку в 1 см і другий горіх, мірку в 1 см і третій, мірку і четвертий, мірку та п'ятий, мірку та шостий. Кінець довжини другого ряду відзначаємо крейдою. Порівнюємо довжину рядів.
Відповідь: довше другий ряд.
2. Практична робота з кедровими горіхами. (Див. опис роботи №1.)
Відповідь: довше другий ряд.
3. Практична робота з лісовими горіхами (фундук).
(Див. опис роботи №1.)
Відповідь:
довше другий ряд.
4. Практична робота з арахісом. (Мал.4)
(Див. опис роботи №1.)
Відповідь: :
довше другий ряд.
Висновок:відповідь завдання змінюється від зміни величини цих горіхів.
Всі горіхи більше ніж 5 мм.
КРЕСЛЕННЯ
Перевіримо це на кресленнях, застосовуючи масштаб.
Масштаб
1. Відношення довжини ліній на карті, кресленні до дійсної довжини.
.
ВИСНОВОК
Моя гіпотеза підтвердилася: при зміні величини горіхів змінюється відповідь задачі
Висновок: При розмірі горіхів до 5 мм довше перший ряд.
При розмірі горіхів 5 мм довжина рядів однакова.
При розмірі горіхів більше 5 мм довше за другий ряд.
Практична значимість. Способи рішення, запропоновані у роботі дуже прості, ними може скористатися будь-який учень. Їх показав своїм друзям. Таким завданням зацікавилося багато учнів. Тепер при вирішенні логічних завдань кожен замислюватиметься над її відповіддю.
Перспективи: Мені дуже сподобалося проводити експерименти з горіхами, розставляти їх, шукати відповідь З усіма своїми висновками я поділився з друзями та однокласниками. Логічні завдання мене зацікавили: у майбутньому хочу спробувати скласти своє завдання таке ж цікаве, з різними варіантами відповіді.
Я спробував змінити умову завдання. За проміжки між горіхами взяв метри. Підставляючи горіхи різної величини, у мене вийшла однакова відповідь: довша за перший ряд. Чому так? Я почав ще раз вимірювати: так само. Якщо я збільшив проміжки у 100 разів, то величину горіхів теж треба збільшувати у 100 разів. Тепер я зрозумів, що такого великого горіха 50 см і більше у мене немає. Всі горіхи менше 50 см. На мій висновок, щоб довжини були рівні, горіх повинен бути 50см, а якщо він буде більше 50 см, то довшим буде другий ряд. Отже, мій висновок підходить і для такого завдання.
6.Висновок
У цьому роботі Ви познайомилися з логічними завданнями. До вашої уваги були запропоновані різні варіанти вирішення логічного завдання.
У будь-якої нормальної дитини є прагнення пізнання, бажання перевірити себе. Найчастіше здібності школярів так і залишаються не розкриті для них самих, вони не впевнені у своїх силах, байдужі до математики.
Для таких школярів я пропоную застосовувати логічні завдання.
Вони повинні бути доступні, будити кмітливість, опановувати їх увагу, дивувати, пробуджувати їх до активної фантазії та самостійного рішення.
Також я вважаю, що логіка допомагає нам у нашому житті впоратися з будь-якими труднощами, і все, що ми робимо, має бути логічно осмислено та побудовано.
Література
1. Ожегов С.І. і Шведова Н.Ю.Тлумачний словник російської мови: 80000 слів та фразеологічних виразів / Російська академія наук. Інститут російської мови ім.В.В.Виноградова. - 4-те вид., Доповнене. - М.: Азбуковник, 1999. - 944 стор.
2. Енциклопедія для дітей. Біологія Том 2. «Аванта+»», М. Аксьонов, С. Ісмаїлова,
М.: "Аванта +", 1995
3. Я пізнаю світ: Дет.Енцік.: Рослини/Сост.Л.А.Багрова; Худ.А.В.Кардашук, О.М.Войтенко;
За заг. ред. О.Г. Хінн. - М.: ТОВ «Видавництво АСТ», 2000. - 512 с.
4. Енциклопедія живої природи. - М.: АСТ-ПРЕС, 2000. - 328с.
5. Рік Морріс. Таємниці живої природи (переклад з англійської А.М.Голова), М.: "Росмен", 1996.
6. Девід Берні. Велика ілюстрована енциклопедія живої природи (переклад з англійської) М: «Махаон», 2006
