Яка сила називається критичною. Наукова електронна бібліотека Вибір матеріалу та раціональної форми перерізу
Лекція №23
Тема: «Стійкість стислих стрижнів»
Запитання:
2.
3.
1. Поняття про стійкість та критичну силу
Несуча здатність стисненого стрижня може бути вичерпаною внаслідок втрати стійкості, тобто. в результаті витріщання, яке відбувається раніше, ніж стрижень вийде з ладу безпосередньо від стиснення.
При малій стискуючій силі, меншій деякого критичного значення, стиснутий стрижень знаходиться у стійкій формі рівноваги. Якщо його вивести зі стану рівноваги незначною горизонтальною силою, а потім цю силу прибрати, він розпрямиться.
Друга форма рівноваги відповідає випадку, коли 
.
При 
прямолінійна форма стиснутого стрижня нестійка і якщо вивести його зі стану рівноваги, а потім прибрати бічне навантаження, він повністю не розпрямиться, тобто. у нього буде криволінійна форма рівноваги. Такий стрижень втрачає стійкість.
Втрата стійкості дуже небезпечна з погляду міцності стрижня та всієї конструкції в цілому. Незначні підвищення навантаження викликають суттєві переміщення точок, тобто. вигин стрижня. В результаті виникає згинальний момент і пов'язані з ним нормальні напруження. Це може призвести до подальшого вигину та руйнування стрижня. Вигин стрижня від стискаючої сили називається поздовжнім вигином. Поздовжній згин може зменшувати несучу здатність стрижня в десятки разів.
Поява поздовжнього вигину небезпечна тим, що за нього відбувається дуже сильне наростання прогинів при малому зростанні стискаючої сили. Прогини та навантаження пов'язані між собою нелінійною залежністю. Швидке наростання прогинів викликає швидке наростання напруги від вигину, які у свою чергу призводять до прискорення деформацій і часто до руйнування стрижня.
Для тонких (гнучких) стрижнів втрата стійкості часто настає при порівняно невеликих стискаючих напругах, що не є небезпечними з точки зору міцності самого матеріалу.
Критична сила – це найменше значення стискаючої сили, коли він стрижень втрачає стійку форму рівноваги.
За визначенням Ейлера, критичною силою називається сила, потрібна для найменшого способу колони.
Втрата стійкості найчастіше є головною причиною катастроф та аварій конструкцій.
2. Формула Ейлера для критичної сили
Розглянемо стислий стрижень у критичному стані, тобто. коли він трохи прогнувся (див. рис. 1). У довільному перерізі взятому на відстані z від лівого кінця стрижня, що згинає момент від критичної сили 
дорівнює:
,
де 
- Прогин стрижня.
Знак «мінус» узятий тому, що стрижень згинається кінцями донизу. Якби стрижень прогнувся дугою вниз, то момент був би позитивним, але прогин 
– негативний, і твір 
було б однаково зі знаком «мінус».
Мал. 1
Згідно з формулою 
запишемо диференціальне рівняння вигнутої осі стрижня:
(1)
При стисканні стрижня вздовж осі, він завжди згинається щодо тієї осі, момент інерції щодо якої мінімальний. У цьому вся можна переконатися, стискаючи лінійку. Тому у формулі (1) беремо мінімальний осьовий момент інерції перерізу. Перетворимо рівняння (1):
;
Позначивши:
(2)
(3)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку. Його рішення має вигляд:
Для визначення довільних постійних А та В використовуємо граничні умови.
При z = 0; у = 0;
Рівняння набуде вигляду:
. (5)
Як видно з рівняння (5), стрижень вигнутий по синусоїді.
Друга гранична умова:
При z= l; у = 0;
Ця умова виконується у двох випадках:
1)
2)
Перший випадок відкидаємо, оскільки за нього прогини всіх точок дорівнюють нулю, тобто. стрижень залишається прямим.
При другому випадку:
Візьмемо загальний випадок:
Зведемо в квадрат обидві частини рівняння:
Замість 
підставимо його значення з формули (2):
Приймаючи 
,
і т.д., отримаємо послідовний ряд значень 
, Яким відповідають різні викривлені форми рівноваги стрижня З погляду розрахунку стійкість нас цікавить лише найменше значення критичної сили, оскільки при цьому значенні сили стрижень втрачає стійкість. Тому 
і формула набуває вигляду:
(6)
Критична сила залежить від способу закріплення кінців стрижня, тому вводиться коефіцієнт 
- Коефіцієнт наведеної довжини (не плутати з коефіцієнтом поперечної деформації). У загальному випадку формула Ейлера набуде вигляду:
(7)
значення коефіцієнта 
дано на рис. 2
Мал. 2
3. Межі застосування формули Ейлера. Формула Ясинського
Формула Ейлера виведена на підставі диференціального рівняння вигнутої осі стрижня, що ґрунтується на законі Гука. Закон Гука застосуємо доти, доки напруга не перевищить межі пропорційності 
.
При стисканні стрижня напруги визначають за формулою 
. Тому:
; (8)
або підставивши значення 
з формули (7), отримаємо:
;
З формули 
слід:
,
де 
- Мінімальний радіус інерції перерізу.
;
Позначимо:
; (9)
де 
- Гнучкість стрижня, величина безрозмірна.
;
. (10)
Формула (10) дозволяє визначити значення гнучкості стрижня, до якого застосовується формула Ейлера. Наприклад, для сталі ст. 3: 
;
.
.
Отже, якщо гнучкість дорівнює або більше 100, то формулу Ейлера можна застосовувати, якщо менше немає.
Якщо гнучкість стрижня менша, ніж величина, яка визначається за формулою (10), то користуються формулою Ясинського:
(11)
де аі b- Постійні, що залежать від матеріалу.
При гнучкості до 40 стрижні розраховують лише на міцність.
4. Раціональні форми перерізів стислих стрижнів
При заданих навантаженні, довжині стрижня, напругі, що допускається, форма і розміри поперечного перерізу стисненого стрижня характеризуються величиною радіуса інерції.
.
Радіус інерції i- Розмірна величина. Для порівняння різних перерізів між собою зручнішою є безрозмірна величина наступного виду:
(12)
яку називають питомим радіусом інерції.
У табл. 1 наведено значення 
для деяких найпоширеніших перерізів.
Таблиця 1
Як бачимо, найвигіднішими є прямокутні суцільні перерізи, у яких моменти інерції щодо головних осей не рівні між собою і, отже, не дотримується принципу рівної стійкості стрижня в обох головних площинах інерції.
Найбільш вигідними є кільцеві, а також коробчасті тонкостінні перерізи. Підрахунки показують, що заміна стиснених перерізів у вигляді куточків та двотаврів трубчастими стрижнями дає економію матеріалу до 20-40%.
Таким чином, чим більше точок перегину матиме синусоїдально-викривлена вісь стрижня, тим більшою має бути критична сила. Більше повні дослідження показують, що форми рівноваги, зумовлені формулами (1), нестійкі; вони переходять у стійкі форми лише за наявності проміжних опор у точках Уі З(Рис.1).
Рис.1
Таким чином, поставлене завдання вирішено; для нашого стрижня найменша критична сила визначається формулою
а вигнута вісь уявляє синусоїду
Величина постійної інтеграції азалишилася невизначеною; фізичне значення її з'ясується, якщо в рівнянні синусоїди покласти; тоді (тобто посередині довжини стрижня) отримає значення:
Значить, аЦе прогин стрижня в перерізі посередині його довжини. Бо за критичного значення сили Ррівновага вигнутого стрижня можлива при різних відхиленнях його від прямолінійної форми, аби ці відхилення були малими, то природно, що прогин fзалишився невизначеним.
Він повинен бути при цьому настільки малим, щоб ми мали право застосовувати наближене диференціальне рівняння вигнутої осі, тобто щоб було мало мало в порівнянні з одиницею.
Отримавши значення критичної сили, ми можемо зараз знайти і величину критичної напруги, розділивши силу на площу перерізу стрижня F; Так як величина критичної сили визначалася з розгляду деформацій стрижня, на яких місцеві ослаблення площі перерізу позначаються вкрай слабо, то в формулу для входить момент інерції тому прийнято при обчисленні критичних напруг, а також при складанні умови стійкості вводити до уваги повну, а не ослаблену, площа поперечного перерізу стрижня. Тоді
Таким чином, критичне напруження для стрижнів даного матеріалу обернено пропорційно квадрату відношення довжини стрижня до найменшого радіусу інерції його поперечного перерізу. Це ставлення називається гнучкістю стрижняі відіграє важливу роль у всіх перевірках стиснутих стрижнів на стійкість.
З останнього виразу видно видно, що критичне напруження при тонких і довгих стрижнях може бути дуже малим, нижче основного напруги, що допускається на міцність . Так, для сталі 3 з межею міцності 
допустима напруга може бути прийнята; критичне ж напруга для стрижня з гнучкістю при модулі пружності матеріалу 
буде одно
Таким чином, якби площа стисненого стрижня з такою гнучкістю була підібрана лише за умовою міцності, то стрижень зруйнувався від втрати стійкості прямолінійної форми.
Вплив способу закріплення кінців стрижня.
Формула Ейлера була отримана шляхом інтегрування наближеного диференціального рівняння вигнутої осі стрижня за певного закріплення його кінців (шарнірно-опертих). Отже, знайдений вираз критичної сили справедливо лише стрижня з шарнірно-опертими кінцями і зміниться за зміни умов закріплення кінців стрижня.
Закріплення стисненого стрижня з шарнірно-опертими кінцями ми називатимемо основнимвипадком закріплення. Інші види закріплення будемо приводити до основної нагоди.
Якщо повторити весь хід виведення для стрижня, жорстко защемленого одним кінцем і навантаженого осьовою стискаючою силою іншому кінці (Рис.2), ми отримаємо інший вираз для критичної сили, отже, й у критичних напруг.
Рис.2.Розрахункова схема стрижня з жорстко закріпленим одним кінцем.
Надаючи право студентам зробити це у всіх подробицях самостійно, підійдемо до з'ясування критичної сили для цього випадку шляхом наступних простих міркувань.
Нехай при досягненні силою Ркритичного значення колона зберігатиме рівновагу при слабкому витріщенні по кривій АВ. Порівнюючи два варіанти вигину бачимо, що вигнута вісь стрижня, защемленого одним кінцем, знаходиться в тих самих умовах, що і верхня частина стрижня подвійної довжини з шарнірно-закріпленими кінцями.
Значить, критична сила для стійки довжиною з одним защемленим, а іншим вільним кінцями буде та, що для стійки з шарнірно-опертими кінцями при довжині:
Якщо ми звернемося до випадку стійки, у якої обидва кінці затиснуті і не можуть повертатися (Рис.3), то зауважимо, що при вириванні, по симетрії, середня частина стрижня, довжиною, буде працювати в тих же умовах, що і стрижень при шарнірно -опертих кінцях (оскільки в точках перегину Зі Dзгинальні моменти дорівнюють нулю, то ці точки можна розглядати як шарніри).
Рис.3.Розрахункова схема з твердозакріпленими торцями.
Тому критична сила для стрижня із защемленими кінцями, довжиною, дорівнює критичній силі для стрижня основного випадку довжиною:
Отримані вирази можна поєднати з формулою для критичної сили основного випадку та записати:
тут так званий коефіцієнт довжини, рівний:
Для стрижня, зображеного на рис.4, з одним защемленим, а іншим шарнірно-опертим кінцями, коефіцієнт виявляється приблизно рівним , а критична сила:
Рис.4.Втрата стійкості стрижня з одним жорсткозкріпленим та іншим шарнірно-опорним торцем
Величина називається наведеною (вільною) довжиною, за допомогою коефіцієнта довжини будь-який випадок пристрою опор стрижня можна звести до основного; треба лише при обчисленні гнучкості замість дійсної довжини стрижня ввести до уваги наведену довжину. Поняття про наведену довжину було введено вперше професором Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення Ф. Ясинським).
Насправді, майже ніколи не зустрічаються в чистому вигляді ті закріплення кінців стрижня, які ми маємо на наших розрахункових схемах.
Замість кульових опор зазвичай застосовуються циліндричні шарніри. Подібні стрижні слід вважати шарнірно-опертими при вириванні їх у площині, перпендикулярній до осі шарнірів; при викривленні в площині цих осей кінці стрижнів слід вважати защемленими (з урахуванням застережень, наведених нижче для защемлених кінців).
У конструкціях часто зустрічаються стислі стрижні, кінці яких приклепані чи приварені до інших елементів, часто ще з додаванням у місці прикріплення фасонних листів. Таке закріплення, проте, важко вважати защемленням, оскільки частини конструкції, до яких прикріплені ці стрижні, є абсолютно жорсткими.
Тим часом достатньо можливості вже невеликого повороту опорного перерізу в затисканні, щоб воно виявилося в умовах, дуже близьких до шарнірного спирання. Тому на практиці неприпустимо розраховувати такі стрижні, як стійки із абсолютно защемленими кінцями. Лише у тих випадках, коли має місце дуже надійне затискання кінців, допускається невелике (відсотків на 10?20) зменшення вільної довжини стрижня.
Нарешті, практично зустрічаються стрижні, що спираються на сусідні елементи по всій площині опорних поперечних перерізів. Сюди відносяться дерев'яні стійки, металеві колони, що окремо стоять, притягнуті болтами до фундаменту, і т. д. При ретельному конструюванні опорного черевика і з'єднання його з фундаментом можна вважати ці стрижні мають защемлений кінець. Сюди відносяться потужні колони з циліндричним шарніром при розрахунку їх на витріщення в площині осі шарніра. Зазвичай важко розраховувати на надійне і рівномірне прилягання плоского кінцевого перерізу стисненого стрижня до опори. Тому вантажопідйомність таких стійок зазвичай мало перевищує вантажопідйомність стрижнів із шарнірно-опертими кінцями.
Значення критичних навантажень можуть бути отримані у вигляді формул типу ейлерової та для стрижнів змінного перерізу, а також при дії кількох стискаючих сил.
Завдання визначення критичної сили було вперше поставлене і вирішене математиком Л. Ейлером*, надалі вона була узагальнена на інші випадки кінцевих закріплень стрижня.
Ця формула має вигляд:
де Е - модуль пружності першого роду матеріалу стрижня;
I min – мінімальний головний центральний момент інерції поперечного перерізу стрижня;
l - Довжина стрижня;
m - коефіцієнт приведення довжини стрижня, що залежить від способу закріплення його кінців;
m l – наведена довжинастрижня.
На рис. 8.2 показані найбільш поширені способи закріплення кінців стисненого стрижня (штриховими лініями зображені зразкові форми пружних ліній стрижнів при навантаженнях, великих критичних):
1) обидва кінці стрижня закріплені шарнірно - m = 1 (рис. 8.2, а);
2) один кінець жорстко защемлений, а інший вільний – m = 2 (рис. 8.2, б);
3) обидва кінці жорстко защемлені, але можуть зближуватися - m = 0,5 (рис. 8.2, в); 4) один кінець стрижня закріплений жорстко, а інший шарнірно - m = 0,7 (рис. 8.2, г).
| m = 0,7 |
| m = 0,5 |
| m = 2 |
| m = 1 |
| F |
| F |
| F |
| а) |
| б) |
| в) |
| г) |
| Мал. 8.2 |
| F |
Формула Ейлера справедлива лише за умови, що втрата стійкості відбувається у межах пружних деформацій стрижня, тобто. у межах дії закону Гука.
Якщо обидві частини формули Ейлера (8.3) розділити на площу поперечного перерізу стрижня А, отримаємо так зване критичне напруження s кр, тобто. та напруга, яка виникає в перерізі стрижня під дією критичної сили F kp.При цьому критичне напруження не повинно перевищувати межі пропорційності:
де i min - Мінімальний радіус інерції.
Момент інерції береться мінімальний тому, що стрижень прагне вигнути в площині найменшої жорсткості.
Розділимо чисельник і знаменник формули (8.4) на мінімальний момент інерції I min представлений формулою (8.5):
де - безрозмірна величина звана гнучкістю стрижня.
Умову застосування формули Ейлера зручно виразити через гнучкість стрижня. Виразимо з нерівності (8.6) значення l:
Праву частину цієї нерівності позначають l до і називають граничною гнучкістюстрижня з цього матеріалу, тобто.
Таким чином, отримаємо остаточну умову застосування формули Ейлера - l ³ l попер. Формула Ейлера застосовна, коли гнучкість стрижня не менша за граничну гнучкість.
Так, наприклад, для сталі Ст.3 (Е = 2 * 105 МПа; s пц = 200 МПа):
тобто. формула Ейлера застосовна у разі при l ³ 100.
Аналогічно можна обчислити граничну гнучкість для інших матеріалів.
У конструкціях нерідко трапляються стрижні, у яких l< l пред. Расчет таких стержней ведется по эмпирической формуле, выведенной профессором Ф.С.Ясинским* на основании обширного опытного материала:
де a, b, c - коефіцієнти, що залежать від властивостей матеріалу.
У таблиці наведено значення а, b і c для деяких матеріалів, а також значення гнучкості, в межах яких застосовується формула (8.9).
Таблиця 8.1
При гнучкості l< l 0 стержни можно рассчитывать на прочность без учета опасности потери устойчивости.
З формул Ейлера та Ясинського випливає, що значення критичної сили зростає зі збільшенням мінімального моменту інерції поперечного перерізу стрижня. Так як стійкість стрижня визначається значенням мінімального моменту інерції поперечного перерізу, то, очевидно, раціональні перерізи, у яких головні моменти інерції рівні між собою. Стійка, що має такий переріз, має рівностійкість у всіх напрямках. З перерізів такого типу слід вибирати такі, які мають найбільший момент інерції при найменшій площі (витраті матеріалу). Таким перерізом є кільцевий переріз.
На рис. 8.3 представлена діаграма залежності критичної напруги у стрижні від його гнучкості. Залежно від гнучкості стрижні умовно поділяють на три категорії. Стрижні великої гнучкості (l ³ l перед)розраховують на стійкість за формулою Ейлер; стрижні середньої гнучкості (l 0 £l £l до)розраховують на стійкість за формулою Ясинського; стрижні малої гнучкості (l
ДЕТАЛІ МАШИН
"З'єднання деталей машин"
У процесі виготовлення машини деякі деталі з'єднують між собою, при цьому утворюються нероз'ємні або роз'ємні з'єднання.
Нероз'ємними називають з'єднання, які неможливо розібрати без руйнування чи пошкодження деталей. До них відносяться заклепувальні, зварні та клейові сполуки.
Роз'ємними називають з'єднання, які можна розбирати та знову збирати без пошкодження деталей. До роз'ємних сполук відносяться різьбові, шпонкові, зубчасті (шліцеві) та інші.
Вперше проблема стійкості стиснутих стрижнів була поставлена. Ейлер вивів розрахункову формулу для критичної сили та показав, що її величина суттєво залежить від способу закріплення стрижня. Ідея методу Ейлера полягає у встановленні умов, за яких крім прямолінійної можлива і суміжна (тобто як завгодно близька до вихідної) криволінійна форма рівноваги стрижня при постійному навантаженні.
Припустимо, що шарнірно закріплений по кінцях прямий стрижень, стиснутий силою P= Pk, був виведений деякою горизонтальною силою стану прямолінійної рівноваги і залишився вигнутим після усунення горизонтальної сили (рис. 13.4). Якщо прогини стрижня малі, то наближене диференціальне рівняння його осі матиме такий самий вигляд, як і при поперечному згині бруса:
Поєднуючи початок координат із центром нижнього перерізу, направимо вісь уу бік прогинів стрижня, а вісь х- по осі стрижня.
Теоретично поздовжнього вигину прийнято стискаючу силу вважати позитивною. Тому, визначаючи згинальний момент у поточному перерізі стрижня, що розглядається, отримуємо
Але, як випливає з рис. 13.4 при обраному напрямку осей у // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси уна протилежне, то одночасно зміняться знаки уі у// та знак мінус у правій частині рівняння (13.2) збережеться.
Отже, рівняння пружної лінії стрижня має вигляд
.
Вважаючи α 2 =Рк/EI, отримуємо лінійне однорідне диференціальне рівняння
|
|
,загальний інтеграл якого
Тут Aі B- постійні інтегрування, зумовлені з умов закріплення стрижня, про граничних чи крайових умов.
Горизонтальне усунення нижнього кінця стрижня, як видно з рис. 13.4, дорівнює нулю, тобто при х=0 прогин у=0. Ця умова буде виконана, якщо B=0. Отже, вигнута вісь стрижня є синусоїдою
|
|
.Горизонтальне зміщення верхнього кінця стрижня також дорівнює нулю, тому
.
Константа A, Що являє собою найбільший прогин стрижня, не може дорівнювати нулю, так як при A=0 можлива лише прямолінійна форма рівноваги, ми шукаємо умова, у якому можлива і криволінійна форма рівноваги. Тому має бути sinα l=0. Звідси випливає, що криволінійні форми рівноваги стрижня можуть існувати, якщо α lприймає значення π ,2π ,.nπ . Величина α lне може дорівнювати нулю, так як це рішення відповідає нагоді
Прирівнюючи α l= nπ і підставляючи
отримуємо
|
|
.Вираз (13.5) називається формулою Ейлера. По ній можна вирахувати критичну силу Ркпри витріщенні стрижня в одній з двох головних його площин, оскільки тільки за цієї умови справедливе рівняння (13.2), а отже і формула (13.5).
Витріщення стрижня відбувається у бік найменшої жорсткості, якщо немає спеціальних пристроїв, що перешкоджають вигину стрижня в цьому напрямку. Тому у формулу Ейлера треба підставляти Imin- меншою з основних центральних моментів інерції поперечного перерізу стрижня.
Величина найбільшого прогину стрижня Aу наведеному рішенні залишається невизначеною, вона прийнята довільною, але передбачається малою.
Величина критичної сили, яка визначається формулою (13.5), залежить від коефіцієнта n. З'ясуємо геометричний зміст цього коефіцієнта.
Вище ми встановили, що вигнута вісь стрижня є синусоїдою, рівняння якої після підстановки α =π n/lу вираз (13.4) набуває вигляду
|
|
.Синусоїди для n=1, n=2 зображено на рис. 13.5. Неважко помітити, що величина nявляє собою число напівхвиль синусоїди, за якою вигнутий стрижень. Очевидно, стрижень завжди вигнутий за найменшою кількістю напівхвиль, що допускається його опорними пристроями, оскільки згідно з (13.5) найменшим nвідповідає найменша критична сила. Тільки ця перша критична сила має реальний фізичний сенс.
Наприклад, стрижень з шарнірно опертими кінцями вигнутий, як тільки буде досягнуто найменше значення критичної сили, відповідне n=1, оскільки опорні пристрої цього стрижня допускають згинання його по одній напівхвилі синусоїди. Критичні сили, що відповідають n=2, n=3 і більше, можуть бути досягнуті тільки за наявності проміжних опор (рис. 13.6). Для стрижня з шарнірними кінцевими опорами без проміжних закріплень реальне значення має перша критична сила.
|
|
.Формула (13.5), як випливає з її виведення, справедлива не тільки для стрижня з шарнірно закріпленими кінцями, але і для будь-якого стрижня, який зігнеться під час витріщання по цілому числу напівхвиль. Застосуємо цю формулу, наприклад, щодо критичної сили для стрижня, опорні пристрої якого допускають лише поздовжні зміщення його кінців (стійка з заделанными кінцями). Як видно з малюнка 13.7, число напівхвиль зігнутої осі у цьому випадку n=2 і, отже, критична сила для стрижня при даних опорних пристроях
.
Припустимо, що стійка з одним защемленим та іншим вільним кінцем (рис. 13.8) стиснута силою Р.
|
|
Якщо сила P= Pkто крім прямолінійної може існувати також і криволінійна форма рівноваги стійки (пунктир на рис. 13.8).
Диференціальне рівняння вигнутої осі стійки у зображеній на рис. 13.8 системі координатних осей має колишній вигляд.
Загальне рішення цього рівняння:
Підкоряючи це рішення очевидним граничним умовам: y=0 при x=0 і y/ = 0 при x= l, отримуємо B=0, Aα cosα l= 0.
Ми припустили, що стійка вигнута, тому величина Aне може дорівнювати нулю. Отже, cosα l= 0. Найменший відмінний від нуля, корінь цього рівняння α l= π /2 визначає першу критичну силу
|
|
,якій відповідає вигин стрижня по синусоїді
.
значенням α l=3π /2, α l=5π /2 і т.д, як було показано вище, відповідають великі величини Pkі складніші форми вигнутої осі стійки, які можуть практично існувати лише за наявності проміжних опор.
Як другий приклад розглянемо стійку з одним защемленим і другим шарнірно опертим кінцем (рис. 13.9). Внаслідок викривлення осі стрижня при P= Pkз боку шарнірної опори виникає горизонтальна реактивна сила R. Тому згинальний момент у поточному перерізі стрижня
.α
:
Найменший корінь цього рівняння визначає першу критичну силу. Це рівняння вирішується шляхом підбору. Неважко повірити, що найменший, відмінний від нуля, корінь цього рівняння α l= 4.493=1.43 π .
Приймаючи α l= 1.43 π , отримуємо наступний вираз для критичної сили:
Тут μ =1/n- величина, зворотна числу напівхвиль nсинусоїди, за якою зігнеться стрижень. Постійна μ називається коефіцієнтом приведення довжини, а твір μ l- Наведеною довжиною стрижня. Наведена довжина є довжина напівхвилі синусоїди, за якою згинається цей стрижень.
Випадок шарнірного закріплення кінців стрижня називається основним. Зі сказаного вище випливає, що критична сила для будь-якого випадку закріплення стрижня може бути обчислена за формулою для основного випадку при заміні в ній дійсної довжини стрижня його наведеною довжиною μ l.
Коефіцієнти приведення μ для деяких стійок дано на рис. 17.10.
Іркутський державний університет шляхів сполучення
Лабораторна робота №16
з дисципліни «Опір матеріалів»
ДОСВІДНЕ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНИХ СИЛ
ПРИ ПОДОВЖНОМУ ВИГИБУ
Кафедра ПМ
Лабораторна робота №16
Досвідчене визначення критичних сил при поздовжньому вигині
Мета роботи:дослідження явища втрати стійкості стисненого сталевого стрижня в пружній
стадії. Експериментальне визначення значень критичних навантажень стислих
стрижнів при різних способах закріплення та порівняння їх з теоретичними
значеннями.
Загальні положення
Стислі стрижні недостатньо перевіряти на міцність за відомою умовою:
,
де [σ] – допустима напруга для матеріалу стрижня, P - стискаюча сила, F - Площа поперечного перерізу.
У практичній діяльності інженери мають справу з гнучкими стрижнями, що піддаються стиску, тонкими стиснутими пластинами, тонкостінними конструкціями, вихід з ладу яких викликається втратою несучої здатності, а втратою стійкості.
Під втратою стійкості розуміється втрата первісної форми рівноваги.
У опорі матеріалів розглядається стійкість елементів конструкцій, що працюють на стиск.
Розглянемо довгий тонкий стрижень (рис. 1), навантажений осьовою стискаючою силою P .
P< P кр P > Pкр
Мал. 1.Стрижень, навантажений осьовою стискаючою силою P .
При малих значеннях сили Fстрижень стискається, залишаючись прямолінійним. Причому, якщо стрижень відхилити від цього становища невеликим поперечним навантаженням, він зігнеться, але за знятті її стрижень повертається у прямолінійний стан. Це означає, що за даної сили P прямолінійна форма рівноваги стрижня стійка.
Якщо продовжити збільшувати стискаючу силу P , то за деякого її значення прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою і виникає нова форма рівноваги стрижня - криволінійна (рис. 1, б) . Внаслідок вигину стрижня в його перерізах з'явиться згинальний момент, який викличе додаткову напругу, і стрижень може раптово зруйнуватися.
Викривлення довгого стрижня, що стискається поздовжньою силою, називається поздовжнім вигином .
Найбільше значення стискаючої сили, у якому прямолінійна форма рівноваги стрижня стійка, називається критичним - P кр.
При досягненні критичного навантаження відбувається різка якісна зміна первісної форми рівноваги, що веде до виходу конструкції з ладу. Тому критична сила сприймається як руйнівне навантаження.
Формули Ейлера та Ясинського
Завдання визначення критичної сили стисненого стрижня вперше вирішив член Петербурзької академії наук Л. Ейлер у 1744 р. Формула Ейлера має вигляд
(1)
де Е – модуль пружності матеріалу стрижня; J min- найменший момент інерції поперечного перерізу стрижня (оскільки викривлення стрижня при втраті стійкості відбувається в площині найменшої жорсткості, тобто поперечні перерізи стрижня повертаються навколо осі, щодо якої момент інерції мінімальний, тобто навколо осі x , або навколо осі y );
(μ· l ) – наведена довжина стрижня, це добуток довжини стрижня l на коефіцієнт μ, що залежить від способів закріплення кінців стрижня.
Коефіцієнт μ називають коефіцієнтом приведення довжини ;його значення для випадків закріплення кінців стрижня, що найчастіше зустрічаються, наведені на рис. 2:
а- обидва кінці стрижня закріплені шарнірно та можуть зближуватися;
б- один кінець жорстко затиснутий, інший вільний;
в- один кінець закріплений шарнірно, другий має «поперечно-плаваючу загортання»;
г - один кінець жорстко защемлений, другий має «поперечно-плаваючу загортання»;
д- один кінець замурований жорстко, на іншому шарнірно-рухлива опора;
е- Обидва кінці жорстко защемлені, але можуть зближуватися.
З цих прикладів видно, що коефіцієнт μ являє собою величину, обернену числу напівхвиль пружної лінії стрижня при втраті стійкості.
Мал. 2.Коефіцієнт μ для найчастіше
трапляються випадків закріплення кінців стрижня.
Нормальна напруга в поперечному перерізі стисненого стрижня, що відповідає критичному значенню стискаючої сили, також називається критичним.
Визначимо його, виходячи з формули Ейлера:
(2)
Геометричну характеристику перерізу i min, що визначається за формулою
називають радіусом інерції перерізу (щодо осі з J min). Для прямокутного перерізу
З урахуванням (3) формула (2) набуде вигляду:
(4)
Відношення наведеної довжини стрижня до мінімального радіусу інерції його поперечного перерізу на пропозицію професора Санкт-Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення Ф.С. Ясинського (1856-1899) називають гнучкістю стрижня і позначають буквою λ :
У цій безрозмірній величині одночасно відображаються такі параметри: довжина стрижня, спосіб його закріплення та характеристика поперечного перерізу.
Остаточно, підставивши (5) формулу (4), отримаємо
При виведенні формули Ейлера передбачалося, що матеріал стрижня пружний і дотримується закону Гука. Отже, формулу Ейлера можна застосовувати тільки при напругах, менших за межу пропорційності σ пц, тобто коли
Цією умовою визначається межа застосування формули Ейлера:
Величину, що стоїть у правій частині цієї нерівності, називають граничною гнучкістю :
її значення залежить від фізико-механічних властивостей матеріалу стрижня.
Для низьковуглецевої сталі Ст. 3, у якої σ пц= 200 МПа, Е = 2· 10 5 МПа:
Аналогічно можна обчислити значення граничної гнучкості для інших матеріалів: для чавуну λ перед= 80, для сосни λ перед = 110.
Таким чином, формула Ейлера застосовна для стрижнів, гнучкість яких більша або дорівнює граничній гнучкості, тобто.
λ ≥ λ перед
Розуміти це треба так: якщо гнучкість стрижня більша за граничну гнучкість, то критичну силу треба визначати за формулою Ейлера.
При λ < λ передФормула Ейлера для стрижнів не застосовується. У цих випадках, коли гнучкість стрижнів менша за граничну, при розрахунках користуються емпіричною. формулою Ясинського :
σ кр = a – b · λ , (7)
де а і b - Визначувані досвідченим шляхом коефіцієнти, постійні для даного матеріалу; вони мають розмірність напруги.
При деякому значенні гнучкості λ онапруга σ кр, обчислене за формулою (7), стає рівним граничному напрузі при стисканні, тобто межі плинності σ тдля пластичних матеріалів або межі міцності при стисканні σ нд– для крихких матеріалів. Стрижні малої гнучкості ( λ < λ о) розраховують не так на стійкість, але в міцність при простому стисканні.
Таким чином, залежно від гнучкості розрахунок стислих стрижнів на стійкість проводиться по-різному.
