Критерій лінійної залежності векторів. Необхідна умова лінійної залежності n функцій. Дост. умова лінійної залежності

У цій статті ми розповімо:

• що таке колінеарні вектори;
• які існують умови колінеарності векторів;
• які існують властивості колінеарних векторів;
• що таке лінійна залежність колінеарних векторів

Визначення 1

Колінеарні вектори – це вектори, які є паралелями однієї прямої або лежать на одній прямій.

Приклад 1

Умови колінеарності векторів

Два вектори є колінеарними, якщо виконується будь-яка з наступних умов:

• умова 1 . Вектори a і b колінеарні за наявності такого числа λ, що a = b;
• умова 2 . Вектори a і b колінеарні при рівному відношенні координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• умова 3 . Вектори a та b колінеарні за умови рівності векторного твору та нульового вектора:

a b ⇔ a , b = 0

Зауваження 1

Умова 2 не застосовується, якщо одна з координат вектора дорівнює нулю.

Примітка 2

Умова 3 застосовується лише до тих векторів, які в просторі.

Приклади завдань дослідження коллінеарності векторів

Приклад 1

Досліджуємо вектори а = (1; 3) і b = (2; 1) на колінеарність.

Як вирішити?

В даному випадку необхідно скористатися 2 умовою коллінеарності. Для заданих векторів воно виглядає так:

Рівність неправильна. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вектори a і b неколлинеарны.

Відповідь : a | | b

Приклад 2

Яке значення m вектора a = (1; 2) і b = (- 1; m) необхідне для колінеарності векторів?

Як вирішити?

Використовуючи другу умову коллінераності, вектори будуть колінеарними, якщо їх координати будуть пропорційними:

Звідси видно, що m = -2.

Відповідь: m = -2.

Критерії лінійної залежності та лінійної незалежності систем векторів

Теорема

Система векторів векторного простору лінійно залежить тільки у тому випадку, коли один із векторів системи можна виразити через інші вектори даної системи.

Доведення

Нехай система e 1, e 2,. . . , n є лінійно залежною. Запишемо лінійну комбінацію цієї системи рівну нульовому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

в якій хоча б один із коефіцієнтів комбінації не дорівнює нулю.

Нехай a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . , n.

Ділимо обидві частини рівності на ненульовий коефіцієнт:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Позначимо:

Ak - 1 a m , де m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В такому випадку:

β 1 e 1 +. . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + β n e n = 0

або e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Звідси випливає, що один із векторів системи виражається через всі інші вектори системи. Що потрібно було довести (ч.т.д.).

Достатність

Нехай один із векторів можна лінійно виразити через решту векторів системи:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносимо вектор e k у праву частину цієї рівності:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Оскільки коефіцієнт вектора e k дорівнює -1 ≠ 0, у нас виходить нетривіальне уявлення нуля системою векторів e1, e2,. . . , e n , але це, своєю чергою, означає, що це система векторів лінійно залежна. Що потрібно було довести (ч.т.д.).

Наслідок:

• Система векторів є лінійно незалежною, коли жоден із її векторів не можна виразити через решту векторів системи.
• Система векторів, яка містить нульовий вектор або два рівні вектори, лінійно залежна.

Властивості лінійно залежних векторів

1. Для 2-х і 3-х мірних векторів виконується умова: два лінійно залежні вектори - колінеарні. Два колінеарні вектори - лінійно залежні.
2. Для 3-х мірних векторів виконується умова: три лінійно залежні вектори – компланарні. (3 компланарні вектори - лінійно залежні).
3. Для n-вимірних векторів виконується умова: n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади розв'язання задач на лінійну залежність або лінійну незалежність векторів

Приклад 3

Перевіримо вектори a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 на лінійну незалежність.

Рішення. Вектори є лінійно залежними, оскільки розмірність векторів менша за кількість векторів.

Приклад 4

Перевіримо вектори a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 на лінійну незалежність.

Рішення. Знаходимо значення коефіцієнтів, при яких лінійна комбінація дорівнюватиме нульовому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записуємо векторне рівняння у вигляді лінійного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Вирішуємо цю систему за допомогою методу Гауса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

З 2-го рядка віднімаємо 1-й, з 3-го - 1-й:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

З 1-го рядка віднімаємо 2-й, до 3-го додаємо 2-й:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

З рішення випливає, що система має безліч рішень. Це означає, що є ненульова комбінація значення таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , у яких лінійна комбінація a , b , c дорівнює нульовому вектору. Отже, вектори a, b, c є лінійно залежними. ​​​​​​​

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Наступні дають кілька критеріїв лінійної залежності та відповідно лінійної незалежності систем векторів.

Теорема. (Необхідна та достатня умова лінійної залежності векторів.)

Система векторів є залежною тоді і лише тоді, коли один із векторів системи лінійно виражається через інші системи.

Доведення. Необхідність. Нехай система лінійно залежна. Тоді, за визначенням, вона становить нульовий вектор нетривіально, тобто. існує нетривіальна комбінація даної системи векторів рівна нульовому вектору:

де хоча б один із коефіцієнтів цієї лінійної комбінації не дорівнює нулю. Нехай,.

Розділимо обидві частини попередньої рівності на цей ненульовий коефіцієнт (тобто помножимо на:

Позначимо: , де .

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші цієї системи, ч.т.д.

Достатність. Нехай один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи:

Перенесемо вектор у праву цієї рівності:

Оскільки коефіцієнт при векторі дорівнює , ми маємо нетривіальне уявлення нуля системою векторів , що означає, що це векторів є лінійно залежною, ч.т.д.

Теорему доведено.

Слідство.

1. Система векторів векторного простору є лінійно незалежною тоді і лише тоді, коли жоден із векторів системи лінійно не виражається через інші вектори цієї системи.

2. Система векторів, що містить нульовий вектор або два рівні вектори, є лінійно залежною.

Доведення.

1) Необхідність. Нехай система є лінійно незалежною. Допустимо неприємне і існує вектор системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи. Тоді за теоремою система є лінійно залежною і ми приходимо до суперечності.

Достатність. Нехай жоден із векторів системи не виражається через інші. Допустимо неприємне. Нехай система лінійно залежна, але тоді з теореми випливає, що існує вектор системи, що лінійно виражається через інші вектори цієї системи і ми знову приходимо до протиріччя.

2а) Нехай система містить нульовий вектор. Допустимо для визначеності, що вектор:. Тоді очевидно рівність

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що така система векторів є лінійно залежною, т.д.

Зауважимо, що це можна довести безпосередньо з лінійно залежної системи векторів.

Оскільки , то наступна рівність очевидна

Це нетривіальне уявлення нульового вектора, отже система є лінійно залежною.

2б) Нехай система має два рівні вектори. Нехай для. Тоді очевидно рівність

Тобто. перший вектор лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що система лінійно залежна, ч.т.д.

Аналогічно попередньому це твердження можна довести безпосередньо визначення лінійно залежної системи.

Визначення 18.2 Система функційф, ..., ф пназиваєтьсялі-нейпоз а в і с і м. о й на проміжку(а, (3), якщо деяка нетривіальна 5 лінійна комбінація цих функцій дорівнює нулю на цьому проміжку тотожно:

Визначення 18.3 Система векторівж 1 , ..., х п називається лінійно в а в і с і мою, якщо деяка нетривіальна, лінійна комбінація цих векторів дорівнює кульовому вектору:

ЛЩоб уникнути плутанини, ми будемо надалі номер компоненти вектора (вектор-функції) позначати нижнім індексом, а номер самого вектора (якщо таких векторів кілька) верхнім.

"Нагадуємо, що лінійна комбінація називається нетривіальною, якщо не всі коефіцієнти в ній нульові.

Визначення 18.4 Система вектор-функцій х 1 ^), ..., x n (t) називається лінійноз а в і с і м о й на проміжку,(а, /3), якщо деяка нетривіальна лінійна комбінація цих вектор-функцій тотожно дорівнює цьому проміжку нульовому вектору:

Важливо розібратися у зв'язку цих трьох понять (лінійної залежності функцій, векторів та вектор-функцій) один з одним.

Насамперед, якщо уявити формулу (18.6) у розгорнутому вигляді (згадавши, що кожна з х г (1)є вектором)

то вона виявиться еквівалентною системі рівностей

що означають лінійну залежність г-х компонент у сенсі першого визначення (як функції). Кажуть, що лінійна залежність вектор-функцій спричиняє їх покомпонентнулінійну залежність.

Зворотне, взагалі кажучи, не так: досить розглянути приклад пари вектор-функцій

Перші компоненти цих вектор-функцій просто збігаються, отже, вони лінійно залежні. Другі компоненти пропорційні, отже. теж лінійно залежні. Однак якщо ми спробуємо побудувати їхню лінійну комбінацію, що дорівнює нулю тотожно, то із співвідношення

негайно отримуємо систему

яка має єдине рішення З - З-2 - 0. Таким чином, наші векторні функції лінійно незалежні.

У чому причина такої дивної якості? У чому фокус, що дозволяє із свідомо залежних функцій будувати лінійно незалежні векторні функції?

Виявляється, вся справа не стільки в лінійній залежності компонент, скільки в пропорції коефіцієнтів, яка необхідна для отримання нуля. У разі лінійної залежності вектор-функцій той самий набір коефіцієнтів обслуговує всі компоненти незалежно від номера. А ось у наведеному нами прикладі для однієї компоненти була потрібна одна пропорція коефіцієнтів, а для іншої інша. Так що фокус насправді простий: для того, щоб з "покомпонентної" лінійної залежності отримати лінійну залежність вектор-функцій цілком необхідно, щоб всі компоненти були лінійно залежні "в одній і тій же пропорції".

Перейдемо тепер до вивчення зв'язку лінійної залежності вектор-функцій та векторів. Тут майже очевидним є той факт, що з лінійної залежності вектор-функцій випливає, що для кожної фіксованого t*вектора

будуть лінійно залежні.

Назад, взагалі кажучи, місця не має: з лінійної залежності векторів при кожному tне слідує лінійна залежність вектор-функцій. Це легко побачити на прикладі двох векторних функцій

При t = 1, t = 2 та t = 3ми отримуємо пари векторів

відповідно. Кожна пара векторів пропорційна (з коефіцієнтами 1,2 та 3 відповідно). Неважко зрозуміти, що для будь-якого фіксованого t*наша пара векторів буде пропорційна коефіцієнту t*.

Якщо ж ми спробуємо побудувати лінійну комбінацію вектор-функцій, що дорівнює нулю тотожно, то вже перші компоненти дають нам співвідношення.

що можливо лише якщо З = З2 = 0. Таким чином, наші векторні функції виявилися лінійно незалежними. Знову ж таки пояснення такого ефекту полягає в тому, що у разі лінійної залежності вектор-функцій один і той же набір констант Cj обслуговує всі значення t,а в нашому прикладі для кожного значення tбула потрібна своя пропорція між коефіцієнтами.

Необхідна умова лінійної залежності n функцій.

Нехай функції мають похідні межі (n-1).

Розглянемо визначник: (1)

W(x) прийнято називати визначником Вронського для функцій.

Теорема 1.Якщо функції лінійно залежні в інтервалі (a,b), то їх вронскіан W(x) тотожно дорівнює нулю в даному інтервалі.

Доведення.За умовою теореми виконується співвідношення

, (2) де не всі дорівнюють нулю. Нехай. Тоді

(3). Диференціюємо це тотожність n-1 раз і,

підставляючи замість них отримані значення визначник Вронського,

отримуємо:

У визначник Вронського останній стовпець є лінійною комбінацією попередніх n-1 стовпців і у зв'язку з цим дорівнює нулю у всіх точках інтервалу (a, b).

Теорема 2.Якщо функції y 1 ,..., y n є лінійно незалежними рішеннями рівняння L[y] = 0, всі коефіцієнти якого безперервні в інтервалі (a,b), то вронскіан цих рішень відмінний від нуля в кожній точці інтервалу (a, b).

Доведення.Допустимо неприємне. Існує Х 0 де W(Х 0)=0. Складемо систему n рівнянь

Вочевидь, що система (5) має ненульове рішення. Нехай(6).

Складемо лінійну комбінацію рішень y 1 ,..., y n .

У(х) є рішенням рівняння L[y] = 0. Крім цього. З огляду на теореми єдиності рішення рівняння L[y] = 0 з нульовими початковими умовами має бути лише нульовим, т.е. .

Ми отримуємо тотожність , де не всі рівні нулю, а це означає, що y 1 ,..., y n лінійно залежні, що суперечить умові теореми. Отже, немає такої точки, де W(Х 0)=0.

На базі теореми 1 і 2 теореми можна сформулювати наступне твердження. Для того, щоб n розв'язків рівняння L[y] = 0 були лінійно незалежні в інтервалі (a,b), вкрай важливо і достатньо, щоб їх вронскіан не звертався в нуль в жодній точці цього інтервалу.

З доведених теорем також випливають такі очевидні властивості вронскіана.

1. У разі якщо вронскіан n розв'язків рівняння L[y] = 0 дорівнює нулю в одній точці х = х 0 з інтервалу (a,b), в якому всі коефіцієнти р i (x) безперервні, то він дорівнює нулю у всі | ех точках цього інтервалу.
2. У разі якщо вронскіан n рішень рівняння L[y] = 0 відмінний від нуля в одній точці х = х 0 з інтервалу (a,b), то він відмінний від нуля у всіх точках цього інтервалу.

Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, для лінійності n незалежних рішень рівняння L[y] = 0 в інтервалі (a,b), в якому коефіцієнти рівняння р i (x) безперервні від вну одній точці цього інтервалу.

Необхідна умова лінійної залежності n функцій. - Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Необхідна умова лінійної залежності n функцій." 2017, 2018.

-

Суднові перевантажувальні засоби (On board cargo handling gear) Лекція №6 Тема: Вантажний пристрій (Cargo gear) 6.1. Суднові перевантажувальні засоби (On board cargo handling gear). 6.2. Вантажні крани. 6.3. Апаралі. Перевантаження – це переміщення вантажу або з транспортного засобу. Багато хто... .

- Вантажні крани (Cargo cranes)

Сертифікати (Certificates) Поділ функцій (Division of tasks) Інспекції, сертифікація та відповідальність розділені таким чином: &... .

- Ти знаєш його? Lo conoces?

Там – allá Тут – aqui У кафе – en el cafe На роботі – en el труд На морі – en el mar 1. Ти не знаєш, де кафе? 2. Ти не знаєш, де Сашко? 3. Ти не знаєш де бібліотека? 4. Ти не знаєш, де зараз Оля? 5. Ти не знаєш, де зараз Наталка? Добридень! Мене… .

- Визначення Zmin та Xmin з умови відсутності підрізування

Рис.5.9. Про підрізання зубів коліс. Розглянемо, як пов'язаний коефіцієнт зсуву рейки з числом зубів, яке може бути нарізане рейкою на колесі. Нехай рейка встановлена ​​в положенні 1 (рис.5.9). У цьому випадку пряма головка рейки перетне лінію зачеплення N-N в т.ч.

Нехай функції мають похідні межі (n-1).

Розглянемо визначник: (1)

W(x) називається визначником Вронського для функцій.

Теорема 1.Якщо функції лінійно залежні в інтервалі (a, b), їх вронскиан W(x) тотожно дорівнює нулю у цьому інтервалі.

Доведення.За умовою теореми виконується співвідношення

, (2) де всі рівні нулю. Нехай. Тоді

(3). Диференціюємо це тотожність n-1 раз і,

Підставляючи замість них отримані значення визначник Вронського,

отримуємо:

(4).

У визначнику Вронського останній стовпець є лінійною комбінацією попередніх n-1 стовпців і тому дорівнює нулю у всіх точках інтервалу (a, b).

Теорема 2.Якщо функції y1,…, yn є лінійно незалежними рішеннями рівняння L[y] = 0, всі коефіцієнти якого безперервні в інтервалі (a, b), то вронскіан цих рішень відмінний від нуля у кожній точці інтервалу (a, b).

Доведення.Допустимо неприємне. Існує Х0 де W(Х0)=0. Складемо систему n рівнянь

(5).

Вочевидь, що система (5) має ненульове рішення. Нехай(6).

Складемо лінійну комбінацію розв'язків y1,…, yn.

У(х) є рішенням рівняння L[y] = 0. Крім цього. З огляду на теореми єдиності рішення рівняння L[y] = 0 з нульовими початковими умовами може лише нульовим, т. е. .

Ми отримуємо тотожність , де всі рівні нулю, але це означає, що y1,…, yn лінійно залежні, що суперечить умові теореми. Отже, немає такої точки, де W(Х0)=0.

На основі теореми 1 і 2 теореми можна сформулювати наступне твердження. Для того, щоб n розв'язків рівняння L[y] = 0 були лінійно незалежні в інтервалі (a, b), необхідно і достатньо, щоб їх вронскіан не звертався в нуль в жодній точці цього інтервалу.

З доведених теорем також випливають такі очевидні властивості вронскіана.

1. Якщо вронскіан n розв'язків рівняння L[y] = 0 дорівнює нулю в одній точці х = х0 з інтервалу (a, b), в якому всі коефіцієнти рi(x) безперервні, то він дорівнює нулю у всіх точках цього інтервалу.
2. Якщо вронскіан n розв'язків рівняння L[y] = 0 відмінний від нуля в одній точці х = х0 з інтервалу (a, b), то він відмінний від нуля у всіх точках цього інтервалу.

Таким чином, для лінійності n незалежних рішень рівняння L[y] = 0 в інтервалі (a, b), в якому коефіцієнти рівняння рi(x) безперервні, необхідно і достатньо, щоб їх вронскіан був відмінний від нуля хоч в одній точці цього інтервалу .