Поняття про деформацію вигину. Чистий вигин. Поперечний вигин. Загальні поняття Що таке поперечний вигин

Прямий вигин. Побудова епюр Q і М за рівняннями Побудова епюр Q і М за характерними перерізами (точками) Розрахунки на міцність при прямому вигині балок Головні напруги при згині. Повна перевірка міцності балок Поняття про центр вигину Визначення переміщень у балках при згинанні. Поняття деформації балок та умови їх жорсткості Диференційне рівняння вигнутої осі балки Метод безпосереднього інтегрування Приклади визначення переміщень у балках методом безпосереднього інтегрування Фізичний зміст постійних інтегрування Метод початкових параметрів (універсальне рівняння вигнутої осі балки). 1.3 б). Мал. 1.3 При обчисленні згинального моменту в даному перерізі моменти зовнішніх сил, що лежать ліворуч від перерізу, вважаються позитивними, якщо вони спрямовані протягом годинної стрілки. Для правої частини балки – навпаки. Зручно визначати знак згинального моменту характером деформації балки. Згинальний момент вважається позитивним, якщо в аналізованому перерізі відсічена частина балки згинається опуклістю вниз, тобто розтягуються нижні волокна. У протилежному випадку згинальний момент у перерізі негативний. Між моментом, що згинає М, поперечною силою Q і інтенсивністю навантаження q існують диференціальні залежності. 1. Перша похідна від поперечної сили за абсцисом перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження, тобто. Позитивні ординати епюри М відкладаються донизу, а негативні – вгору, т. е. епюра М будується із боку розтягнутих волокон. Побудова епюр Q та М для балок слід розпочинати з визначення опорних реакцій. Для балки з одним защемленим та іншим вільним кінцями побудова епюр Q і М можна починати від вільного кінця, не визначаючи реакцій у закладенні. 1.2. Побудова епюр Q і М за рівняннями Балка розбивається на ділянки, в межах яких функції згинального моменту і поперечної сили залишаються постійними (не мають розривів). Межами ділянок служать точки докладання зосереджених сил, пар сил та місця зміни інтенсивності розподіленого навантаження. На кожній ділянці береться довільний переріз на відстані х від початку координат, і для цього перерізу складаються рівняння для Q і М. За цими рівняннями будуються епюри Q і M. Приклад 1.1 Побудувати епюри поперечних сил Q і моментів М, що згинають М для заданої балки (рис. 1.4, а). Рішення: 1. Визначення реакцій опор. Складаємо рівняння рівноваги: з яких отримуємо Реакції опор визначено правильно. Балка має чотири ділянки Мал. 1.4 навантаження: СА, AD, DB, BE. 2. Побудова епюри Q. Ділянка СА. На ділянці СА 1 проводимо довільний переріз 1-1 з відривом x1 від лівого кінця балки. Визначаємо Q як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють зліва від перерізу 1-1: Знак мінус взятий тому, що сила, що діє зліва від перерізу, спрямована вниз. Вираз Q не залежить від змінної x1. Епюра Q на цій ділянці зобразиться прямий, паралельної осі абсцис. Ділянка AD. На ділянці проводимо довільний переріз 2-2 з відривом x2 від лівого кінця балки. Визначаємо Q2 як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють ліворуч від перерізу 2-2: 8 Величина Q постійна на ділянці (не залежить від змінної x2). Епюра Q на ділянці є прямою, паралельною осі абсцис. Ділянка DB. На ділянці проводимо довільний переріз 3-3 з відривом x3 від правого кінця балки. Визначаємо Q3 як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перерізу 3-3: Отримане вираз є рівняння похилої прямої лінії. Ділянка BE. На ділянці проводимо перетин 4-4 з відривом x4 від правого кінця балки. Визначаємо Q як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перерізу 4-4: 4 Тут знак плюс взятий тому, що рівнодіюче навантаження праворуч від перерізу 4-4 спрямована вниз. За отриманими значеннями будуємо епюри Q (рис. 1.4 б). 3. Побудова епюри М. Ділянка м1. Визначаємо згинальний момент у перерізі 1-1 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють ліворуч від перерізу 1-1. Застосовуючи цей спосіб, обчислюють значення Q та М у характерних перерізах. Характерними перерізами є граничні перерізи ділянок, а також перерізи, де даний внутрішній силовий фактор має екстремальне значення. У межах між характерними перерізами обрис 12 епюри встановлюється на основі диференціальних залежностей між М, Q, q та висновками, що випливають з них. Приклад 1.3 Побудувати епюри Q та М для балки, зображеної на рис. 1.6 а. Мал. 1.6. Рішення: Побудова епюр Q і М починаємо від вільного кінця балки, при цьому реакції в закладенні можна не визначати. Балка має три ділянки навантаження: АВ, НД, CD. На ділянках АВ та ПС розподілене навантаження відсутнє. Поперечні сили постійні. Епюра Q обмежена прямими, паралельними осі абсцис. Згинальні моменти змінюються за лінійним законом. Епюра М обмежена прямими, похилими до осі абсцис. На ділянці CD є рівномірно розподілене навантаження. Поперечні сили змінюються за лінійним законом, а згинальні моменти – за законом квадратної параболи з опуклістю у бік дії розподіленого навантаження. На межі ділянок АВ і ПС поперечна сила змінюється стрибкоподібно. На межі ділянок ВС і CD стрибкоподібно змінюється згинальний момент. 1. Побудова епюри Q. Обчислюємо значення поперечних сил Q у граничних перерізах ділянок: За результатами розрахунків будуємо епюру Q для балки (рис. 1, б). З епюри Q випливає, що поперечна сила на ділянці CD дорівнює нулю в перерізі, що знаходиться на відстані qa a q від початку цієї ділянки. У цьому перерізі згинальний момент має максимальне значення. 2. Побудова епюри М. Обчислюємо значення згинальних моментів у граничних перерізах ділянок: При мaаксимальний момент на ділянці За результатами розрахунків будуємо епюру М (рис. 5.6, в). Приклад 1.4 По заданій епюрі згинальних моментів (рис. 1.7 а) для балки (рис. 1.7 б) визначити діючі навантаження і побудувати епюру Q. Гуртком позначена вершина квадратної параболи. Рішення: Визначимо навантаження, що діють на балку. Ділянка АС завантажений рівномірно розподіленим навантаженням, оскільки епюра М цьому ділянці – квадратна парабола. В опорному перерізі до балки прикладений зосереджений момент, що діє за годинниковою стрілкою, так як на епюрі М маємо стрибок вгору на величину моменту. На ділянці СВ балка не навантажена, тому що епюра М на цій ділянці обмежена похилою прямою. Реакція опори визначається з умови, що згинальний момент у перерізі З дорівнює нулю, т. е. Для визначення інтенсивності розподіленого навантаження складемо вираз для згинального моменту в перерізі А як суму моментів сил справа і прирівняємо до нуля Тепер визначимо реакцію опори А. Для цього складемо вираз для згинальних моментів у перерізі як суму моментів сил зліва Розрахункова схема балки з навантаженням показана на рис. 1.7, ст. Починаючи з лівого кінця балки, обчислюємо значення поперечних сил у граничних перерізах ділянок: Епюра Q представлена на рис. 1.7, г. Розглянута задача може бути вирішена шляхом складання функціональних залежностей для М Q на кожній ділянці. Виберемо початок координат на лівому кінці балки. На ділянці АС епюра М виражається квадратною параболою, рівняння якої має вигляд Постійні а, b, з знаходимо з умови, що парабола проходить через три точки з відомими координатами: Підставляючи координати точок у рівняння параболи, отримаємо: Вираз для згинального моменту буде Диференціюючи функцію , отримаємо залежність для поперечної сили Після диференціювання функції Q отримаємо вираз для інтенсивності розподіленого навантаження На ділянці СВ вираз для згинального моменту представляється у вигляді лінійної функції Для визначення постійних а і b використовуємо умови, що дана пряма проходить через дві точки, координати яких відомі Отримаємо два рівняння: ,b з яких маємо a 20. Рівняння для згинального моменту на ділянці СВ буде Після дворазового диференціювання М2 знайдемо За знайденими значеннями М і Q будуємо епюри моментів, що згинають, і поперечних сил для балки. Крім розподіленого навантаження до балки прикладаються зосереджені сили у трьох перерізах, де на епюрі Q є стрибки та зосереджені моменти в тому перерізі, де на епюрі М є стрибок. Приклад 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) визначити раціональне положення шарніра С, при якому найбільший згинальний момент у прольоті дорівнює згинальному моменту в закладенні (за абсолютною величиною). Побудувати епюри Q та М. Рішення Визначення реакцій опор. Незважаючи на те, що загальна кількість опорних зв'язків дорівнює чотирьом, балка статично визначна. Згинальний момент у шарнірі З дорівнює нулю, що дозволяє скласти додаткове рівняння: сума моментів щодо шарніру всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від цього шарніра, дорівнює нулю. Складемо суму моментів усіх сил праворуч від шарніра С. Епюра Q для балки обмежена похилою прямою, оскільки q = const. Визначаємо значення поперечних сил у граничних перерізах балки: Абсцис xK перерізу, де Q = 0, визначається з рівняння звідки Епюра М для балки обмежена квадратною параболою. Вирази для згинальних моментів у перерізах, де Q = 0, і в закладенні записуються відповідно так: З умови рівності моментів отримуємо квадратне рівняння щодо параметра х, що шукається: Реальне значення x2x 1,029 м. Визначаємо чисельні значення поперечних сил і згинальних моментів у характерних перерізах балки. На рис.1.8 б показана епюра Q, а на рис. 1.8, в - епюра М. Розглянуту задачу можна було вирішити способом розчленування шарнірної балки на її елементи, як це показано на рис. 1.8, м. На початку визначаються реакції опор VC та VB . Будуються епюри Q та М для підвісної балки СВ від дії прикладеного до неї навантаження. Потім переходять до основної балки АС, навантаживши її додатковою силою VC , що є силою тиску балки СВ на балку АС. Після цього будують епюри Q і М для балки АС. 1.4. Розрахунки на міцність при прямому згинанні балок Розрахунок на міцність за нормальними і дотичними напругами. При прямому згинанні балки в поперечних перерізах її виникають нормальні та дотичні напруги (рис. 1.9). 11) Для балок із крихких матеріалів з перерізами, несиметричними щодо нейтральної осі, у разі, якщо епюра М однозначна (рис. 1.12), потрібно записати дві умови міцності – відстані від нейтральної осі до найбільш віддалених точок відповідно до розтягнутої та стисненої зон небезпечного перерізу; P – допустимі напруги відповідно на розтягування та стиск. Рис.1.12. Розглядаючи ліву частину балки, отримаємо Епюра поперечних сил представлена на рис. 1.14, ст. Епюра згинальних моментів показано на рис. 5.14, г. 2. Геометричні характеристики поперечного перерізу 3. Найбільші нормальні напруги переріз С, де діє Mmax (за модулем): МПа. Максимальна нормальна напруга в балці практично дорівнює допустимим. 4. Найбільша дотична напруга в перерізі С (або А), де діє max Q (за модулем): Тут – статичний момент площі півсічення щодо нейтральної осі; b2 см – ширина перерізу на рівні нейтральної осі. 5. Дотичні напруги в точці (у стінці) у перерізі С: Рис. 1.15 Тут Szomc 834,5 108 см3 – статичний момент площі частини перерізу, розташованої вище за лінію, що проходить через точку K1; b2 см – товщина стінки на рівні точки K1. Епюри  та  для перерізу З балки показані рис. 1.15. Приклад 1.7. Для балки, показаної на рис. 1.16, а потрібно: 1. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів за характерними перерізами (точками). 2. Визначити розміри поперечного перерізу у вигляді кола, прямокутника та двотавра з умови міцності за нормальними напругами, порівняти площі перерізів. 3. Перевірити підібрані розміри перерізів балок щодо напруги. Дано: Рішення: 1. Визначаємо реакції опор балки Перевірка: 2. Побудова епюр Q та М. Значення поперечних сил у характерних перерізах балки 25 Мал. 1.16 На ділянках CA та AD інтенсивність навантаження q = const. Отже, цих ділянках епюра Q обмежується прямими, похилими до осі. На ділянці DB інтенсивність розподіленого навантаження q = 0, отже, цій ділянці епюра Q обмежується прямої, паралельної осі х. Епюра Q для балки показано на рис. 1.16,б. Значення згинальних моментів у характерних перерізах балки: На другій ділянці визначаємо абсцис x2 перерізу, в якому Q = 0: Максимальний момент на другій ділянці Епюра М для балки показано на рис. 1.16 ст. 2. Складаємо умову міцності за нормальними напругами звідки визначаємо необхідний осьовий момент опору перерізу з виразу визначається необхідний діаметр d балки круглого перерізу. За таблицями ГОСТ 8239-89 знаходимо найближче значення осьового моменту опору 597см3, яке відповідає двутавру № 33 з характеристиками: A z 9840 см4. Перевірка на допуск: (недовантаження на 1% від допустимого 5%) найближчий двотавр № 30 (W 2 см3) призводить до значного навантаження (більше 5%). Остаточно приймаємо двотавр № 33. Порівнюємо площі круглого та прямокутного перерізів з найменшою площею А двотавра: З трьох розглянутих перерізів найбільш економічним є двотавровий перетин. 3. Обчислюємо найбільшу нормальну напругу в небезпечному перерізі 27 двотаврової балки (рис. 1.17, а): Нормальна напруга в стінці біля полиці двотаврового перетину балки Епюра нормальних напруг у небезпечному перерізі балки показана на рис. 1.17, б. 5. Визначаємо найбільшу дотичну напругу для підібраних перерізів балки. а) прямокутний переріз балки: б) круглий переріз балки: в) двотавровий перетин балки: Дотичні напруги в стінці біля полиці двотавра в небезпечному перерізі А (праворуч) (у точці 2): Епюра дотичних напруг у небезпечних перерізах двотавра показана на рис. 1.17, ст. Максимальна дотична напруга в балці не перевищує допустимих напруг Приклад 1.8 Визначити допустиме навантаження на балку (рис. 1.18, а), якщо 60МПа, розміри поперечного перерізу задані (рис. 1.19, а). Побудувати епюру нормальних напруг у небезпечному перерізі балки при навантаженні, що допускається.

Загальні концепції.

Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня(Рис. 6.1) . Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.

Стрижні, що працюють на вигин, називаютьбалками.

Чистим називається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.

Найчастіше, у поперечному перерізі стрижня поряд із згинальним моментом виникає також і поперечна сила. Такий вигин називають поперечним.

Плоським (прямим) називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.

При косому вигині площина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.

Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.

Нормальні напруги та деформації при чистому згині.

Як уже було сказано, при чистому плоскому згині в поперечному перерізі з шести внутрішніх силових факторів не дорівнює нулю тільки згинальний момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній(Рис. 6.1, а) , то при чистому вигині вона деформується наступним чином(рис. 6.1, б):

а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;

б) контури поперечних перерізів залишаються пласкими;

в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.

На підставі цього можна припустити, що при чистому згинанні поперечні перерізи балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (гіпотеза плоских перерізів при згинанні).

Мал. .

Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називаєтьсянейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називаєтьсянейтральною лінією (н. л.) перерізу.

Для виведення формули, що визначає величину нормальних напруг, що виникають у поперечному перерізі, розглянемо ділянку балки в деформованому та не деформованому стані (рис. 6.2).

Мал. .

Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки. До деформації перерізу, що обмежують елемент, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення літерою. Визначимо лінійну деформацію довільного волокна, що знаходиться на відстані від нейтрального шару.

Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги) дорівнює. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину, отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається.

Його відносна деформація

Очевидно, що, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки отримаємо

(6.2)

Отже, відносна поздовжня деформація пропорційна відстані волокна від нейтральної осі.

Введемо припущення, що при згинанні поздовжні волокна не натискають один на одного. При такому припущенні кожне волокно деформується ізольовано, відчуваючи простий розтяг або стиск, при якому. З урахуванням (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.

Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту в поперечному перерізі (6.1)

Пригадаємо, що інтеграл є моментом інерції перерізу щодо осі.

Або

(6.4)

Залежність (6.4) являє собою закон Гука при згинанні, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару) з моментом, що діє в перерізі. Твір носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м2.

Підставимо (6.4) у (6.3)

(6.5)

Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.

Для того, щоб встановити, де в поперечному перерізі знаходиться нейтральна лінія підставимо значення нормальних напруг у вираз поздовжньої сили та згинального моменту

Оскільки,

то

(6.6)

(6.7)

Рівність (6.6) вказує, що вісь нейтральна вісь перерізу проходить через центр тяжкості поперечного перерізу.

Рівність (6.7) показує, що і - головні центральні осі перерізу.

Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії

Відношення є осьовим моментом опору перерізу щодо його центральної осі, значить

Значення для найпростіших поперечних перерізів таке:

Для прямокутного поперечного перерізу

, (6.8)

де - сторона перерізу перпендикулярна до осі;

Сторона перерізу паралельна осі;

Для круглого поперечного перерізу

, (6.9)

де - Діаметр круглого поперечного перерізу.

Умову міцності за нормальними напругами при згині можна записати у вигляді

(6.10)

Всі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному вигину балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту діє ще поздовжня сила і поперечна сила, можна користуватися формулами, наведеними для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.

Визначення поперечних сил та згинальних моментів.

Як було зазначено, при плоскому поперечному згині в поперечному перерізі балки виникають два внутрішніх силових чинника і.

Перед визначенням і визначають реакції опор балки (рис. 6.3 а), складаючи рівняння рівноваги статики.

Для визначення та застосуємо метод перерізів. У місці, що цікавить нас, зробимо уявний розріз балки, наприклад, на відстані від лівої опори. Відкинемо одну з частин балки, наприклад праву, та розглянемо рівновагу лівої частини (рис. 6.3, б). Взаємодія частин балки замінимо внутрішніми зусиллями та.

Встановимо такі правила знаків для:

Поперечна сила в перерізі позитивна, якщо її вектори прагнуть обертати перетин, що розглядається, за годинниковою стрілкою.;
Згинальний момент у перерізі позитивний, якщо він викликає стиск верхніх волокон.

Мал. .

Для визначення цих зусиль використовуємо два рівняння рівноваги:

1. ; ; .

2. ;

Таким чином,

а) поперечна сила в поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій на поперечну вісь перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від перерізу;

б) згинальний момент у поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри моментів (обчислених щодо центру тяжкості перерізу) зовнішніх сил, що діють по одну сторону від даного перерізу.

При практичному обчисленні керуються зазвичай наступним:

Якщо зовнішнє навантаження прагне повернути балку щодо розглянутого перерізу за годинниковою стрілкою, (рис. 6.4, б) то у виразі вона дає позитивний доданок.
Якщо зовнішнє навантаження створює щодо розглянутого перерізу момент, що викликає стиснення верхніх волокон балки (рис. 6.4, а), то у вираженні для цього перерізу вона дає позитивний доданок.

Мал. .

Побудова епюр та у балках.

Розглянемо двоопорну балку(Рис. 6.5, а) . На балку діє у точці зосереджений момент, у точці - зосереджена сила і дільниці - рівномірно розподілена навантаження інтенсивністю.

Визначимо опорні реакції та(Рис. 6.5, б) . Рівнодія розподіленого навантаження дорівнює, а лінія дії її проходить через центр ділянки. Складемо рівняння моментів щодо точок і.

Визначимо поперечну силу і згинальний момент у довільному перерізі, розташованому на ділянці на відстані від точки А(Рис. 6.5, в) .

(Рис. 6.5, г). Відстань може змінюватись у межах ().

Значення поперечної сили залежить від координати перерізу, отже, переважають у всіх перерізах ділянки поперечні сили однакові і епюра має вигляд прямокутника. Згинальний момент

Згинальний момент змінюється за лінійним законом. Визначимо ординати епюри для меж ділянки.

Визначимо поперечну силу і згинальний момент у довільному перерізі, розташованому на ділянці на відстані від точки(Рис. 6.5, д). Відстань може змінюватись у межах ().

Поперечна сила змінюється за лінійним законом. Визначимо для меж ділянки.

Згинальний момент

Епюра згинальних моментів на цій ділянці буде параболічною.

Щоб визначити екстремальне значення згинального моменту, прирівнюємо до нуля похідну від згинального моменту за абсцисом перерізу:

Звідси

Для перерізу з координатою значення згинального моменту становитиме

В результаті отримуємо епюри поперечних сил(рис. 6.5, е) та згинальних моментів (рис. 6.5, ж).

Диференціальні залежності при згинанні.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Ці залежності дозволяють встановити деякі особливості епюр згинальних моментів та поперечних сил:

Н а ділянках, де немає розподіленого навантаження, епюри обмежені прямими, паралельними нульовій лінії епюри, а епюри в загальному випадку - похилими прямими.

Н а ділянках, де до балки прикладено рівномірно розподілене навантаження, епюра обмежена похилими прямими, а епюра - квадратичними параболами з опуклістю, зверненою убік, протилежну напряму дії навантаження.

У перерізах, де, що стосується епюри паралельна нульової лінії епюри.

Н а ділянках, де момент зростає; на ділянках, де момент убуває.

У перерізах, де до балки прикладені зосереджені сили, на епюрі будуть стрибки на величину прикладених сил, а на епюрі будуть переломи.

У перерізах, де до балки додані зосереджені моменти, на епюрі будуть стрибки на величину цих моментів.

Ординати епюри пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної до епюрі.

Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня (рис. 6.1). Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.

Стрижні, що працюють на вигин, називають балками.

Чистимназивається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.

Плоським (прямим)називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.

При косому вигиніплощина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.

Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.

Нормальні напруги та деформації при чистому згині.

Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній (рис. 6.1 а), то при чистому згині вона деформується наступним чином (рис. 6.1 б):

а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;

б) контури поперечних перерізів залишаються пласкими;

в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.

Мал. 6.1

Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називається нейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називається нейтральною лінією (н. л.) перерізу.

Мал. 6.2

Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки
. До деформації перерізу, що обмежують елемент
, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут
. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється
. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення буквою . Визначимо лінійну деформацію довільного волокна
, що знаходиться на відстані від нейтрального шару.

Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги
) дорівнює
. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину
, отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається

Його відносна деформація

Очевидно, що
, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки
отримаємо

(6.2)

Отже, відносна поздовжня деформація пропорційна відстані волокна від нейтральної осі.

, (6.3)

т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.

Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту
у поперечному перерізі (6.1)

Згадаймо, що інтеграл
являє собою момент інерції перерізу щодо осі

(6.4)

Залежність (6.4) є закон Гука при згині, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару)
) з діючим у перерізі моментом. твір
носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м 2 .

Підставимо (6.4) у (6.3)

(6.5)

Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.

Оскільки
,

;

(6.6)

(6.7)

Рівність (6.6) вказує, що вісь - Нейтральна вісь перерізу - проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Рівність (6.7) показує що і - Основні центральні осі перерізу.

Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії

Ставлення являє собою осьовий момент опору перерізу щодо його центральної осі , значить

Значення для найпростіших поперечних перерізів наступне:

Для прямокутного поперечного перерізу

, (6.8)

де - сторона перерізу перпендикулярна до осі ;

- сторона перерізу паралельна осі ;

Для круглого поперечного перерізу

, (6.9)

де - Діаметр круглого поперечного перерізу.

Умову міцності за нормальними напругами при згині можна записати у вигляді

(6.10)

Усі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному згинанні балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту
діє ще поздовжня сила
та поперечна сила , можна використовувати формули, наведені для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.

Прямий вигин- Це вид деформації, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають два внутрішніх силових фактори: згинальний момент і поперечна сила.

Чистий вигин- це окремий випадок прямого вигину, при якому в поперечних перерізах стрижня виникає тільки згинальний момент, а поперечна сила дорівнює нулю.

Приклад чистого вигину – ділянка CDна стрижні AB. Згинальний момент– це величина Paпари зовнішніх сил, що викликає вигин. З рівноваги частини стрижня ліворуч від поперечного перерізу mnслід, що внутрішні зусилля, розподілені за цим перерізом, статично еквівалентні моменту M, рівному і протилежно спрямованому згинальний момент Pa.

Щоб знайти розподіл цих внутрішніх зусиль з поперечного перерізу, необхідно розглянути деформацію стрижня.

У найпростішому випадку стрижень має поздовжню площину симетрії і піддається дії зовнішніх згинальних пар сил, що знаходяться в цій площині. Тоді вигин буде відбуватися у тій же площині.

Вісь стрижня nn 1- Це лінія, що проходить через центри тяжкості його поперечних перерізів.

Нехай поперечний переріз стрижня прямокутник. Нанесемо на його межі дві вертикальні лінії mmі pp. При згинанні ці лінії залишаються прямолінійними і повертаються так, що залишаються перпендикулярними поздовжнім волокнам стрижня.

Подальша теорія вигину ґрунтується на припущенні, що не тільки лінії mmі ppале весь плоский поперечний переріз стрижня залишається після вигину плоским і нормальним до поздовжніх волокон стрижня. Отже, при згинанні поперечні перерізи mmі ppповертаються відносно один одного навколо осей, перпендикулярних до площини вигину (площини креслення). При цьому поздовжні волокна на опуклій стороні зазнають розтягування, а волокна на увігнутій стороні – стиск.

Нейтральна поверхня- Це поверхня, що не відчуває деформації при згинанні. (Зараз вона розташована перпендикулярно до креслення, деформована вісь стрижня nn 1належить цій поверхні).

Нейтральна вісь перерізу- це перетин нейтральної поверхні з будь-яким з будь-яким поперечним перерізом (зараз теж розташована перпендикулярно кресленню).

Нехай довільне волокно знаходиться на відстані yвід нейтральної поверхні. ρ - Радіус кривизни вигнутої осі. Крапка O- Центр кривизни. Проведемо лінію n 1 s 1паралельно mm.ss 1- Абсолютне подовження волокна.

Відносне подовження ε xволокна

З цього виходить що деформації поздовжніх волоконпропорційні відстані yвід нейтральної поверхні і обернено пропорційні радіусу кривизни ρ .

Поздовжнє подовження волокон опуклої сторони стрижня супроводжується бічним звуженням, а поздовжнє укорочення увігнутої сторони – бічним розширенням, як у разі простого розтягування та стиснення. Через це вигляд усіх поперечних перерізів змінюється, вертикальні сторони прямокутника стають похилими. Деформація у бічному напрямку z:

μ - коефіцієнт Пуассона.

Внаслідок такого спотворення всі прямі лінії поперечного перерізу, паралельні осі z, викривляються те щоб залишитися нормальними до бічним сторонам перерізу. Радіус кривизни цієї кривої Rбуде більше, ніж ρ у такому ж відношенні, в якому ε x за абсолютною величиною більше ніж ε z , і ми отримаємо

Цим деформаціям поздовжніх волокон відповідають напруги.

Напруга в будь-якому волокні пропорційна його відстані від нейтральної осі n 1 n 2. Положення нейтральної осі та радіус кривизни ρ – дві невідомі у рівнянні для σ x – можна визначити з умови, що зусилля, розподілені за будь-яким поперечним перерізом, утворюють пару сил, що врівноважує зовнішній момент M.

Все вищесказане також справедливо, якщо стрижень не має поздовжню площину симетрії, в якій діє згинальний момент, аби тільки згинальний момент діяв в осьовій площині, яка містить одну з двох головних осейпоперечного перерізу. Ці площини називаються головними площинами вигину.

Коли є площина симетрії і момент, що згинає, діє в цій площині, прогин відбувається саме в ній. Моменти внутрішніх зусиль щодо осі zврівноважують зовнішній момент M. Моменти зусиль щодо осі yвзаємно знищуються.

Вигином називається вид деформації, при якому викривляється поздовжня вісь бруса. Прямі бруси, що працюють на вигин, називаються балками. Прямим вигином називається вигин, при якому зовнішні сили, що діють на балку, лежать в одній площині (силовій площині), що проходить через поздовжню вісь балки та головну центральну вісь інерції поперечного перерізу.

Вигин називається чистимякщо в будь-якому поперечному перерізі балки виникає тільки один згинальний момент.

Вигин, при якому в поперечному перерізі балки одночасно діють згинальний момент і поперечна сила, називається поперечним. Лінія перетину силової площини та площини поперечного перерізу називається силовою лінією.

Внутрішні силові фактори при згинанні балки.

При плоскому поперечному згині в перерізах балки виникають два внутрішні силові фактори: поперечна сила Q і згинальний момент М. Для їх визначення використовують метод перерізів (див. лекцію 1). Поперечна сила Q в перерізі балки дорівнює сумі алгебри проекцій на площину перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від розрізу.

Правило знаків для поперечних сил Q:

Згинальний момент М у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів щодо центру тяжкості цього перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від аналізованого перерізу.

Правило знаків для згинальних моментів M:

Диференційні залежності Журавського.

Між інтенсивністю q розподіленого навантаження, виразами для поперечної сили Q та згинального моменту М встановлені диференціальні залежності:

На основі цих залежностей можна виділити такі загальні закономірності епюр поперечних сил Q і згинальних моментів М:

Особливості епюр внутрішніх силових факторів при згинанні.

1. На ділянці балки, де немає розподіленого навантаження, епюра Q представлена прямою лінією , паралельній базі епюре, а епюра М - похилої прямої (рис. а).

2. У перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q має бути стрибок , що дорівнює значенню цієї сили, а на епюрі М - точка перелому (Рис. А).

3. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, значення Q не змінюється, а епюра М має стрибок , що дорівнює значенню цього моменту, (рис. 26, б).

4. На ділянці балки з розподіленим навантаженням інтенсивності q епюра Q змінюється за лінійним законом, а епюра М - за параболічним, причому опуклість параболи спрямована назустріч напрямку розподіленого навантаження (Рис. в, г).

5. Якщо в межах характерної ділянки епюра Q перетинає базу епюри, то в перерізі, де Q = 0, момент, що згинає, має екстремальне значення M max або M min (рис. г).

Нормальна напруга при згинанні.

Визначаються за такою формулою:

Моментом опору перерізу вигину називається величина:

Небезпечним перетиномпри згинанні називається поперечний переріз бруса, в якому виникає максимальна нормальна напруга.

Дотичні напруження при прямому згині.

Визначаються за формулі Журавського для дотичних напруг при прямому згинанні балки:

де S отс - статичний момент поперечної площі відсіченого шару поздовжніх волокон щодо нейтральної лінії.

Розрахунки на міцність при згинанні.

1. При перевірочному розрахунку визначається максимальна розрахункова напруга, яка порівнюється з напругою, що допускається:

2. При проектному розрахунку підбір перерізу бруса проводиться з умови:

3. При визначенні допустимого навантаження допустимий згинальний момент визначається за умови:

Переміщення при згинанні.

Під впливом навантаження при вигині вісь балки викривляється. При цьому спостерігається розтягнення волокон на опуклій і стисненні на увігнутій частинах балки. Крім того, відбувається вертикальне переміщення центрів тяжкості поперечних перерізів та їх поворот щодо нейтральної осі. Для характеристики деформації при згинанні використовують такі поняття:

Прогин балки Y- переміщення центру тяжкості поперечного перерізу балки у напрямі, перпендикулярному до її осі.

Прогин вважають позитивним, якщо переміщення центру тяжкості відбувається нагору. Величина прогину змінюється довжиною балки, тобто. y = y(z)

Кут повороту перерізу- Кут θ, на який кожен перетин повертається по відношенню до свого початкового положення. Кут повороту вважають позитивним при повороті перерізу проти перебігу годинникової стрілки. Розмір кута повороту змінюється по довжині балки, будучи функцією θ = θ (z).

Найпоширенішими способами визначення переміщень є метод Мореі правило Верещагіна.

Метод мору.

Порядок визначення переміщень методом Мора:

1. Будується «допоміжна система» та навантажується одиничним навантаженням у точці, де потрібно визначити переміщення. Якщо визначається лінійне переміщення, то його напрямі прикладається одинична сила, щодо кутових переміщень – одиничний момент.

2. Для кожної ділянки системи записуються вирази згинальних моментів М f від прикладеного навантаження і М 1 від одиничного навантаження.

3. По всіх ділянках системи обчислюють і підсумовують інтеграли Мора, отримуючи в результаті переміщення:

4. Якщо обчислене переміщення має позитивний знак, це означає, що його напрямок збігається з напрямком одиничної сили. Негативний знак вказує на те, що дійсне переміщення протилежне до напрямку одиничної сили.

Правило Верещагіна.

Для випадку, коли епюра згинальних моментів від заданого навантаження має довільне, а від одиничного навантаження – прямолінійне обрис, зручно використовувати графоаналітичний спосіб або правило Верещагіна.

де A f - площа епюри згинального моменту М f від заданого навантаження; y c - ордината епюри від одиничного навантаження під центром тяжкості епюри М f; EI x – жорсткість перерізу ділянки балки. Обчислення за цією формулою проводяться по ділянках, на кожному з яких прямолінійна епюра має бути без переломів. Величина (A f * y c) вважається позитивною, якщо обидві епюри розташовуються по одну сторону від балки, негативною, якщо вони розташовуються по різні боки. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається із напрямком одиничної сили (або моменту). Складна епюра М f повинна бути розбита на прості постаті (застосовується так зване "розшарування епюри"), для кожної з яких легко визначити ординату центру тяжкості. У цьому площа кожної фігури множиться на ординату під її центром тяжкості.

Схожі статті

Обговорюють:

Остання зустріч. Дві сестри. Остання зустріч Єлизавети Федорівна вибачила вбивцю свого чоловіка:Єлизавету Федорівну називали однією з найкрасивіших жінок Європи.
Простий суп з капусти. Суп із капустою. Рецепти смачних страв Як варити капустяний суп:Суп зі свіжої капусти є доступним цілий рік. Адже інгредієнти,...
Афоризми та цитати про вчинки Тільки вчинки говорять:***Наслідки будь-якого вчинку містяться в самому вчинку.***У будь-якого...
До чого сняться дрова в ліжниці:Перед тим, як розгадувати, до чого сняться дрова, потрібно уявити, з чим...