Закон розподілу суми двох випадкових величин. Композиція двох законів розподілу. Розподіл суми незалежних випадкових величин

Визначення. Випадкові величини Х 1 , Х 2 , …, Х n називаються незалежними, якщо для будь-яких x 1, x 2 , …, x n незалежні події

(ω: Х 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

З визначення безпосередньо випливає, що з незалежних випадкових величин Х 1, Х 2, …, Х nфункція розподілу n-мірної випадкової величини Х = Х 1, Х 2, …, Х nдорівнює добутку функцій розподілу випадкових величин Х 1, Х 2, …, Х n

F(x 1 , x 2, …, x n) = F(x 1)F(x 2)…F(x n). (1)

Продиференціюємо рівність (1) nраз по x 1 , x 2, …, x n, отримаємо

p(x 1 , x 2, …, x n) = p(x 1)p(x 2)…p(x n). (2)

Можна дати інше визначення незалежності випадкових величин.

Якщо закон розподілу однієї випадкової величини залежить від цього, які можливі значення прийняли інші випадкові величини, такі випадкові величини називаються незалежними в сукупності.

Наприклад, придбано два лотерейні квитки різних випусків. Нехай Х- Розмір виграшу на перший квиток, Y- Розмір виграшу на другий квиток. Випадкові величини Хі Y- незалежні, оскільки виграш одного квитка ніяк не вплине на закон розподілу іншого. Але якщо квитки одного випуску, то Хі Y- Залежні.

Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не змінюється від того, які можливі значення набула інша величина.

Теорема 1(Згортки) або «теорема про щільність суми 2 випадкових величин».

Нехай X = (Х 1;Х 2) – незалежна безперервна двовимірна випадкова величина, Y = Х 1+ Х 2. Тоді щільність розподілу

Доведення. Можна показати, що якщо , то

де Х = (Х 1 , Х 2 , …, Х n). Тоді, якщо Х = (Х 1 , Х 2), то функцію розподілу Y = X 1 + X 2 можна визначити так (рис. 1) -

Відповідно до визначенням, функція є щільністю розподілу випадкової величини Y = X 1 + X 2 тобто.

p y (t) = що й потрібно довести.

Виведемо формулу знаходження розподілу ймовірностей суми двох незалежних дискретних випадкових величин.

Теорема 2.Нехай Х 1 , Х 2 – незалежні дискретні випадкові величини,

Доведення. Уявимо подію A x = {Х 1 +Х 2 = x) у вигляді суми несумісних подій

A x = å( Х 1 = x i; Х 2 = x– x i).

Так як Х 1 , Х 2 – незалежні то P(Х 1 = x i; Х 2 = x– x i) = P(Х 1 = x i) P(Х 2 = x – x i), тоді

P(A x) = P(å( Х 1 = x i; Х 2 = x – x i)) = å( P(Х 1 = x i) P(Х 2 = x – x i)),

що й потрібно було довести.

приклад 1.Нехай Х 1 , Х 2 – незалежні випадкові величини, що мають нормальний розподіл із параметрами N(0;1); Х 1 , Х 2 ~ N(0;1).

Знайдемо щільність розподілу їх суми (позначимо Х 1 = x, Y = X 1 +X 2)

Легко бачити, що підінтегральна функція є густиною розподілу нормальної випадкової величини з параметрами а= , , тобто. інтеграл дорівнює 1.

Функція p y(t) є густиною нормального розподілу з параметрами а = 0, s = . Отже сума незалежних нормальних випадкових величин з параметрами (0,1) має нормальне розподілення з параметрами (0,), тобто. Y = Х 1 + Х 2 ~ N(0;).

Приклад 2. Нехай задані дві дискретні незалежні випадкові величини, що мають розподіл Пуассона, тоді

де k, m, n = 0, 1, 2, …, ¥.

По теоремі 2 маємо:

приклад 3.Нехай Х 1, Х 2 – незалежні випадкові величини, що мають експоненційний розподіл. Знайдемо щільність Y= Х 1 +Х 2 .

Позначимо x = x 1. Оскільки Х 1, Х 2 – незалежні випадкові величини, то скористаємося «теорема згортки»

Можна показати, що якщо задана сума ( Х iмають експоненційний розподіл з параметром l), то Y= має розподіл, який називається розподілом Ерланга ( n- 1) порядку. Цей закон було отримано під час моделювання роботи телефонних станцій у перших роботах з теорії масового обслуговування.

У математичній статистиці часто використовують закони розподілу випадкових величин, що є функціями незалежних нормальних випадкових величин. Розглянемо три закони найпоширеніших при моделюванні випадкових явищ.

Теорема 3.Якщо незалежні випадкові величини Х 1, ..., Х n, то незалежні також функції цих випадкових величин Y 1 = f 1 (Х 1), ...,Y n = f n(Х n).

Розподіл Пірсона(з 2 -розподіл). Нехай Х 1, ..., Х n- незалежні нормальні випадкові величини з параметрами а= 0, s = 1. Складемо випадкову величину

Таким чином,

Можна показати, що щільність для x > 0 має вигляд , де k n – деякий коефіцієнт виконання умови. При n ® ¥ розподіл Пірсона прагне нормального розподілу.

Нехай Х 1, Х 2, …, Хn ~ N (a, s), тоді випадкові величини ~ N (0,1). Отже, випадкова величина має c 2 розподіл із n ступенями свободи.

Розподіл Пірсона табульований і використовується в різних додатках математичної статистики (наприклад, під час перевірки гіпотези про відповідність закону розподілу).

Насправді нерідко виникає потреба шукати закон розподілу суми випадкових величин.

Нехай є система (Х ь Х 2)двох безперервних с. в. та їх сума

Знайдемо густину розподілу с. в. У. Відповідно до загального рішення попереднього пункту, знаходимо область площини де х+ х 2 (рис. 9.4.1):

Диференціюючи цей вираз по у, отримаємо п. н. випадкової величини У = Х + Х 2:

Так як функція ф (х ь х 2) = Xj + х 2 симетрична щодо своїх аргументів, то

Якщо з. в. Хі Х 2 незалежні, то формули (9.4.2) та (9.4.3) набудуть вигляду:

У разі коли складаються незалежні с. в. Х хі Х 2 ,говорять про композицію законів розподілу. Виконати композиціюдвох законів розподілу - це означає знайти закон розподілу суми двох незалежних с. ст., розподілених за цими законами. Для позначення композиції законів розподілу застосовується символічний запис

якою по суті позначаються формули (9.4.4) чи (9.4.5).

Приклад 1. Розглянуто роботу двох технічних пристроїв (ТУ). Спочатку працює ТУ після його виходу з ладу (відмови) включається в роботу ТУ 2 . Часи безвідмовної роботи ТУ ТУ 2 - Х хі Х 2 - незалежні та розподілені за показовими законами з параметрами А,1 та Х2.Отже, час Yбезвідмовної роботи ТУ, що складається із ТУ! та ТУ 2 , визначатиметься за формулою

Потрібно знайти п. н. випадкової величини Y,тобто композицію двох показових законів з параметрами та Х2.

Рішення. За формулою (9.4.4) отримаємо (у > 0)

Якщо є композиція двох показових законів з однаковими параметрами (?ц = Х 2 = У), то у виразі (9.4.8) виходить невизначеність типу 0/0, розкриваючи яку, отримаємо:

Порівнюючи цей вираз із виразом (6.4.8), переконуємось у тому, що композиція двох однакових показових законів (?ц = Х 2 = X)є закон Ерланга другого порядку (9.4.9). При композиції двох показових законів із різними параметрами Х хта А-2 отримують узагальнений закон Ерланга другого порядку (9.4.8). ?

Завдання 1. Закон розподілу різниці двох с. в. Система с. в. (Х та Х 2)має спільну п. р./(х ь х 2). Знайти п. н. їх різниці У = Х - Х2.

Рішення. Для системи с. в. (Х ь – Х 2)п. н. буде/(х ь - х 2),тобто ми різницю замінили сумою. Отже, п. н. випадкової величини Убуде мати вигляд (див. (9.4.2), (9.4.3)):

Якщо с. в. Х х ІХ 2 незалежні, то

Приклад 2. Знайти п. н. різниці двох незалежних показово розподілених с. в. з параметрами Х хі Х2.

Рішення. За формулою (9.4.11) отримаємо

Мал. 9.4.2 Мал. 9.4.3

На малюнку 9.4.2 зображено п. н. g(У). Якщо розглядається різницю двох незалежних показово розподілених с. в. з однаковими параметрами (A-i= Х 2 = А,),то g(у) = /2 - вже знайомий

закон Лапласа (рис. 9.4.3). ?

Приклад 3. Знайти закон розподілу суми двох незалежних с. в. Хі Х 2 ,розподілених згідно із законом Пуассона з параметрами а хі а 2 .

Рішення. Знайдемо ймовірність події (Х х + Х 2 = т) (т = 0, 1,

Отже, с. в. У = Х х + Х 2 розподілено за законом Пуассона з параметром а х2) - а х + а 2. ?

Приклад 4. Знайти закон розподілу суми двох незалежних с. в. Х хі Х 2 ,розподілених за біноміальними законами з параметрами п х ри п 2 , рвідповідно.

Рішення. Уявимо с. в. Х ху вигляді:

де Х 1) -індикатор події Аву-му досвіді:

Ряд розподілу с. в. X,- має вигляд

Аналогічне уявлення зробимо і для с. в. Х 2:де Х] 2) – індикатор події Ау у"-му досвіді:

Отже,

де Х? 1)+(2) якщо індикатор події А:

Таким чином, ми показали, що с. в. Тесть сума (щ + п 2)індикаторів події А, звідки випливає, що с. в. ^розподілена за біноміальним законом з параметрами ( п х + п 2), нар.

Зауважимо, що якщо ймовірності ру різних серіях дослідів різні, то в результаті додавання двох незалежних с. ст., розподілених за біноміальними законами, вийде с. в., розподілена за біноміальним законом. ?

Приклади 3 і 4 легко узагальнюються довільне число доданків. При композиції законів Пуассона з параметрами а ' а 2 , ..., а тзнову виходить закон Пуассона з параметром а (т) = а х + а 2 + ... + а т.

При композиції біноміальних законів із параметрами (П ь р); (я 2, р) , (Пт, р)знову виходить біноміальний закон із параметрами («(«), Р),де п(т) = щ+ п 2 + ... + пт.

Ми довели важливі властивості закону Пуассона та біномного закону: «властивість стійкості». Закон розподілу називається стійким,якщо при комбінації двох законів однакового типу виходить закон того самого типу (розрізняються лише параметри цього закону). У підрозділі 9.7 ми покажемо, що така ж властивість стійкості має нормальний закон.

Скористаємося викладеним вище загальним методом на вирішення однієї завдання, саме знаходження закону розподілу суми двох випадкових величин. Є система двох випадкових величин (X,Y) із щільністю розподілу f(x,у). Розглянемо суму випадкових величин X та Y: і знайдемо закон розподілу величини Z. Для цього побудуємо на площині хОу лінію, рівняння якої (рис. 7). Це - пряма, що відсікає на осях відрізки, рівні z. Пряма ділить площину хоу на дві частини; правіше та вище її; ліворуч і нижче.

Область D у разі -- ліва нижня частина площини хОу, заштрихована на рис. 7. Згідно з формулою (16) маємо:

Диференціюючи цей вираз по змінній z, що входить у верхню межу внутрішнього інтеграла, отримаємо:

Це загальна формула для щільності розподілу суми двох випадкових величин.

З міркувань симетричності задачі щодо X та Y можна написати інший варіант тієї ж формули:

який рівносильний першому і може застосовуватися натомість.

Приклад композиції нормальних законів. Розглянемо дві незалежні випадкові величини X та Y, підпорядковані нормальним законам:

Потрібно зробити композицію цих законів, т. е. визначити закон розподілу величини: .

Застосуємо загальну формулу для композиції законів розподілу:

Якщо розкрити дужки у показнику ступеня підінтегральної функції та навести подібні члени, отримаємо:

Підставляючи ці висловлювання у формулу, що вже зустрічалася нам

після перетворень отримаємо:

а це є не що інше, як нормальний закон із центром розсіювання

та середньоквадратичним відхиленням

До того ж висновку можна зробити значно простіше за допомогою наступних якісних міркувань.

Не розкриваючи дужок і не роблячи перетворень у підінтегральній функції (17), відразу приходимо до висновку, що показник ступеня є квадратний тричлен щодо їх виду

де в коефіцієнт А величина z не входить зовсім, коефіцієнт В входить в першому ступені, а в коефіцієнт С - в квадраті. Маючи це на увазі і застосовуючи формулу (18), приходимо до висновку, що g(z) є показовою функцією, показник ступеня якої - квадратний тричлен щодо z, а щільність розподілу; такого виду відповідає нормальному закону. Таким чином, ми; приходимо до суто якісного висновку: закон розподілу величини z має бути нормальним. Щоб знайти параметри цього закону - і - скористаємося теоремою додавання математичних очікувань і теоремою складання дисперсій. За теоремою складання математичних очікувань. За теоремою складання дисперсій або звідки слідує формула (20).

Переходячи від середньоквадратичних відхилень до пропорційним їм можливим відхиленням, отримаємо: .

Таким чином, ми дійшли наступного правила: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон, причому математичні очікування та дисперсії (або квадрати ймовірних відхилень) підсумовуються.

Правило композиції нормальних законів може бути узагальнено у разі довільного числа незалежних випадкових величин.

Якщо є n незалежних випадкових величин: підпорядкованих нормальним законам з центрами розсіювання та середньоквадратичними відхиленнями, то величина також підпорядкована нормальному закону з параметрами

Замість формули (22) можна застосовувати рівносильну їй формулу:

Якщо система випадкових величин (X, Y) розподілена за нормальним законом, але величини X, Y залежні, то неважко довести, як і раніше, з загальної формули (6.3.1), що закон розподілу величини є нормальний закон. Центри розсіювання, як і раніше, складаються алгебраїчно, але для середньоквадратичних відхилень правило стає більш складним: , де r - коефіцієнт кореляції величин X і Y.

При додаванні кількох залежних випадкових величин, підпорядкованих у своїй сукупності нормальному закону, закон розподілу суми також виявляється нормальним з параметрами

або у ймовірних відхиленнях

де - Коефіцієнт кореляції величин X i, X j, а підсумовування поширюється на всі різні попарні комбінації величин.

Ми переконалися у дуже важливому властивості нормального закону: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон. Це – так зване «властивість стійкості». Закон розподілу називається стійким, якщо за композиції двох законів цього виходить знову закон тієї самої типу. Вище ми показали, що нормальний закон є стійким. Властивістю стійкості мають дуже небагато законів розподілу. Закон рівномірної густини нестійкий: при комбінації двох законів рівномірної густини на ділянках від 0 до 1 ми отримали закон Сімпсона.

Стійкість нормального закону - одне з істотних умов його поширення практично. Однак властивість стійкості, крім нормального, мають і деякі інші закони розподілу. Особливістю нормального закону є те, що при композиції досить великої кількості практично довільних законів розподілу сумарний закон виявляється як завгодно близький до нормального незалежно від того, якими були закони розподілу доданків. Це можна проілюструвати, наприклад, складаючи композицію трьох законів рівномірної щільності на ділянках від 0 до 1. Закон розподілу g(z), що при цьому приходить, зображений на рис. 8. Як очевидно з креслення, графік функції g(z) дуже нагадує графік нормального закону.

Надзвичайно важливим об'єктом теорії ймовірностей є сума випадкових незалежних величин. Саме дослідження розподілу сум незалежних випадкових величин заклали фундамент у розвиток аналітичних методів теорії ймовірностей.

Розподіл суми незалежних випадкових величин

У цьому розділі ми отримаємо загальну формулу, що дозволяє обчислити функцію розподілу суми незалежних випадкових величин і розглянемо кілька прикладів.

Розподіл суми двох незалежних випадкових величин. Формула згортки

незалежні випадкові величини з функціями розподілу

відповідно

Тоді функцію розподілу Fсуми випадкових величин

можна обчислити за такою формулою ( формула згортки)

Для доказу скористаємося теоремою Фубіні.

Аналогічно доводиться друга частина формули.

Щільність розподілу суми двох незалежних випадкових величин

Якщо розподіли обох випадкових величин мають щільності, то щільність суми цих випадкових величин можна обчислити за формулою

Якщо розподіл випадкової величини (або ) має густину, то густину суми цих випадкових величин можна обчислити за формулою

Для доказу цих тверджень достатньо скористатися визначенням густини.

Кратні згортки

Обчислення суми кінцевого числа незалежних випадкових величин провадиться за допомогою послідовного застосування формули згортки. Функція розподілу суми kнезалежних однаково розподілених випадкових величин з функцією розподілу F

називається k-кратною згорткою функції розподілу Fі позначається

Приклади обчислення розподілу сум незалежних випадкових величин

У цьому пункті наведено приклади ситуацій, під час підсумовування випадкових величин зберігається вид розподілу. Докази є вправи на підсумовування та обчислення інтегралів.

суми незалежних випадкових величин. Нормальний розподіл

Суми незалежних випадкових величин. Біноміальний розподіл

Суми незалежних випадкових величин. Пуассонівський розподіл

Суми незалежних випадкових величин. Гама розподіл

Пуасонівський процес

послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, що мають експоненційний розподіл із параметром

Випадкова послідовність точок

на невід'ємній півосі називається пуасонівський (точковий) процес.

Обчислимо розподіл числа точок

пуасонівського процесу в інтервалі (0,t)

еквіваленти, тому

Але розподіл випадкової величини

є розподілом Ерланга порядку k, тому

Таким чином, розподіл кількості точок пуассонівського процесу в інтервалі (o,t) це пуассонівський розподіл з параметром

Пуасонівський процес використовується для моделювання моментів настання випадкових подій – процесу радіоактивного розпаду, моментів надходження дзвінків на телефонну станцію, моментів появи клієнтів у системі обслуговування, моментів відмови обладнання.

Особа, яка приймає рішення, може використовувати страхування зменшення несприятливого фінансового впливу деяких типів випадкових подій.

Але цей розгляд вельми загальний, оскільки під особою, яка приймає рішення, могла матися на увазі як окрема людина, яка шукає захист від шкоди, завданої власності, заощаджень або доходів, так і організація, яка шукає захист від того ж роду шкоди.

Насправді такою організацією може виявитися страхова компанія, яка шукає способи захистити себе від фінансових втрат через надто велику кількість страхових випадків, що відбулися з окремим її клієнтом або з її страховим портфелем. Такий захист називається перестрахуванням.

Розглянемо одну із двох моделей (а саме модель індивідуальних ризиків) широко використовуються у визначенні страхових тарифів та резервів, а також у перестрахування.

Позначимо через Sвеличину випадкових втрат страхової компанії з певної частини її ризиків. В цьому випадку Sє випадковою величиною, на яку ми повинні визначити розподіл ймовірностей. Історично для розподілів С.В. Sбуло два набори постулатів. Модель індивідуальних ризиків визначає Sнаступним чином:

де С.В. означає втрати, заподіяні об'єктом страхування з номером i,а nозначає загальну кількість об'єктів страхування.

Зазвичай передбачається, що є незалежними випадковими величинами, оскільки у разі простіше математичні розрахунки і потрібно відомостей про характер залежності з-поміж них. Другою моделлю є модель колективних ризиків.

Розглянута модель індивідуальних ризиків не відбиває зміни цінності грошей із часом. Це робиться для спрощення моделі, і саме тому в назві статті йдеться про короткий інтервал часу.

Розглянемо лише замкнуті моделі, тобто. ті, у яких кількість об'єктів страхування nу формулі (1.1) відомо і зафіксовано на самому початку розглянутого інтервалу часу. Якщо ми вводимо припущення про наявність міграції або в страхову систему, то отримуємо відкриту модель.

Випадкові величини, що описують індивідуальні виплати

Спочатку нагадаємо основні положення щодо страхування життя.

При страхуванні у разі смерті терміном один рік страховик зобов'язується виплатити величину bякщо страхувальник помре протягом року з моменту укладення договору страхування, і не виплачує нічого, якщо страхувальник проживе цей рік.

Імовірність настання страхового випадку протягом зазначеного року позначається через .

Випадкова величина, що описує страхові виплати, має розподіл, який може задаватися або функцією ймовірностей

(2.1)

або відповідною функцією розподілу

(2.2)

З формули (2.1) та з визначення моментів отримуємо

(2.4)

Ці формули можна також отримати, записавши Xу вигляді

де - Постійна величина, що виплачується на випадок смерті, а - випадкова величина, що приймає значення 1 при настанні смерті і 0 в іншому випадку.

Таким чином, і , та середнє значення та дисперсія с.в. рівні і відповідно, а середнє значення та дисперсія с.в. рівні і що збігається з виписаними вище формулами.

Випадкова величина із областю значень (0,1) широко застосовується в актуарних моделях.

У підручниках з теорії ймовірностей вона називається індикатором, бернулліївської випадковоївеличиною або біномною випадковою величиноюу схемі єдиного випробування.

Ми називатимемо її індикаторомз міркувань стислості, а також тому, що вона вказує на наступ, або не настання, що розглядається події.

Перейдемо до пошуку більш загальних моделей, в яких величина страхової виплати також є випадковою величиною і в інтервалі часу може статися кілька страхових випадків.

Страхування на випадок хвороби, страхування автомобілів та інших видів власності, а також страхування цивільної відповідальності одразу надають безліч прикладів. Узагальнюючи формулу (2.5), покладемо

де - випадкова величина, що описує страхові виплати в інтервалі часу, що розглядається, с.в. позначає загальну величину виплат у цьому інтервалі та с.в. є індикатором для події, що полягає у тому, що стався щонайменше один страховий випадок.

Як індикатор такої події, с.в. фіксує наявність () або відсутність () страхових випадків у цьому інтервалі часу, але не кількість страхових випадків у ньому.

Імовірність, як і раніше, буде позначатися через .

Обговоримо кілька прикладів і визначимо розподіл випадкових величин і деякі моделі.

Розглянемо спочатку страхування у разі смерті терміном один рік із додатковою виплатою, якщо смерть настала внаслідок нещасного випадку.

Для певності припустимо, якщо смерть сталася внаслідок нещасного випадку, то величина виплати становитиме 50000. При настанні смерті з інших причин величина виплати становитиме 25000.

Припустимо, що для особи цього віку, стану здоров'я та професії ймовірність смерті внаслідок нещасного випадку протягом року дорівнює 0,0005, а ймовірність смерті з інших причин дорівнює 0,0020. У вигляді формули це так:

Підсумовуючи за всіма можливими значеннями, отримаємо

,

Умовний розподіл с. в. за умови має вигляд

Розглянемо тепер страхування автомобілів від зіткнень (відшкодування виплачується власнику автомобіля за збитки, завдані його автомобілю) з величиною безумовної франшизи 250 та з максимальним розміром виплати 2000 року.

Для наочності припустимо, що ймовірність настання одного страхового випадку в період часу для окремої особи становить 0,15, а ймовірність настання більш ніж одного зіткнення дорівнює нулю:

, .

Нереалістичне припущення у тому, що протягом період може статися трохи більше страхового випадку, робиться у тому, щоб спростити розподіл с.в. .

Ми відмовимося від цього припущення у наступному розділі після того, як розглянемо розподіл суми кількох страхових випадків.

Оскільки є величиною виплат страховика, а не шкодою, завданою автомобілю, ми можемо розглядати дві характеристики, та .

По-перше, подія включає ті зіткнення, в яких шкода менше, ніж безумовна франшиза, яка дорівнює 250.

По-друге, розподіл с.в. буде мати "потік" імовірнісної маси в точці максимального розміру страхових виплат, що дорівнює 2000.

Припустимо, що ймовірна маса, зосереджена в цій точці, дорівнює 0,1. Далі, припустимо, що розмір страхових виплат в інтервалі від 0 до 2000 можна моделювати безперервним розподілом з функцією щільності, пропорційною для (На практиці безперервна крива, яка вибирається для подання розподілу страхових виплат, є результатом досліджень розмірів виплат у попередньому періоді.)

Підсумовуючи ці припущення щодо умовного розподілу с.в. за умови ми приходимо до розподілу змішаного типу, що має позитивну щільність в інтервалі від 0 до 2000 і деякий «потік» імовірнісної маси в точці 2000. Це ілюструється графіком на рис. 2.2.1.

Функція розподілу цього умовного розподілу має такий вигляд:

Рис.2.1. Функція розподілу С.В. У за умови I = 1

Обчислимо математичне очікування і дисперсію в прикладі з автомобільним страхуванням двома способами.

По-перше, випишемо розподіл с.в. та скористаємося ним для розрахунку та . Позначаючи через функцію розподілу С.В. , маємо

Для x<0

Це розподіл змішаного типу. Як показано на рис. 2.2, воно має як дискретну («потік» імовірнісної маси в точці 2000), так і безперервну частину. Такий функції розподілу відповідає комбінації функції ймовірностей

Мал. 2.2. Функція розподілу С.В. X = IB

та функції щільності

Зокрема, та . Тому .

Є ряд формул, що пов'язують моменти випадкових величин з умовними математичними очікуваннями. Для математичного очікування та дисперсії ці формули мають вигляд

(2.10)

(2.11)

Мається на увазі, що вирази у лівих частинах цих рівностей обчислюються безпосередньо за розподілом с.в. . При обчисленні виразів у правих частинах, а саме і використовується умовний розподіл с.в. при фіксованому значенні с. .

Ці вирази є таким чином функціями с.в. , і ми можемо обчислити їхні моменти, використовуючи розподіл С.В. .

Умовні розподіли використовують у багатьох актуарних моделях, і це дозволяє безпосередньо застосовувати виписані вище формули. У нашій моделі. Розглядаючи с.в. як і с.в. як , отримуємо

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

та розглянемо умовні математичні очікування

(2.16)

(2.17)

Формули (2.16) та (2.17) визначають як функцію від с.в. , Що може бути записано у вигляді наступної формули:

Так як при , то (2.21)

Для ми маємо і (2.22)

Формули (2.21) та (2.22) можна об'єднати: (2.23)

Таким чином, (2.24)

Підставляючи (2.21), (2.20) та (2.24) у (2.12) та (2.13), ми отримуємо

Застосуємо отримані формули для обчислення та прикладі автомобільного страхування (рис. 2.2). Оскільки функція густини с.в. У за умови виражається формулою

причому P(B=2000|I=1)= 0,1, ми маємо

Нарешті, вважаючи q= 0,15, з формул (2.25) та (2.26) ми отримаємо такі рівності:

Для опису іншої страхової ситуації можна запропонувати інші моделі С.В. .

Приклад: модель числа смертей внаслідок авіаційних катастроф

Як приклад розглянемо модель для числа смертей, що сталися внаслідок авіаційних катастроф протягом річного періоду діяльності авіакомпанії.

Ми можемо почати з випадкової величини, яка описує кількість смертей для одного рейсу, а потім підсумувати такі випадкові величини по всіх рейсах за рік.

Для одного рейсу подія означатиме настання авіакатастрофи. Число смертей, яке спричинила за собою ця катастрофа, буде представлятися твором двох випадкових величин і де коефіцієнт завантаженості літака, тобто кількість осіб, що знаходилися на борту в момент авіакатастрофи, і - частка смертельних випадків серед осіб, що знаходилися на борту.

Число смертей представляється саме таким чином, оскільки роздільна статистика для величин і буває доступнішою, ніж статистика для с.в. . Отже, Хоча частка смертельних наслідків серед осіб, які перебували на борту, і кількість осіб, які перебували на борту, ймовірно, пов'язані між собою, як перший наближення можна припустити, що с.в. та незалежні.

Суми незалежних випадкових величин

У моделі індивідуальних ризиків страхові виплати, що виробляються страховою компанією, видаються як сума виплат багатьом окремим особам.

Нагадаємо два методи визначення розподілу суми незалежних випадкових величин. Розглянемо спочатку суму двох випадкових величин, вибірковий простір яких зображено на рис. 3.1.

Мал. 2.3.1. Подія

Пряма і область, що знаходиться під цією прямою, є подією . Тому функція розподілу С.В. Sмає вигляд (3.1)

Для двох невід'ємних дискретних випадкових величин ми можемо скористатися формулою повної ймовірності і записати (3.1) у вигляді

Якщо Xі Yнезалежні, остання сума може бути переписана у вигляді

(3.3)

Функція ймовірностей, що відповідає цій функції розподілу, може бути знайдена за формулою

(3.4)

Для безперервних невід'ємних випадкових величин формули, що відповідають формулам (3.2), (3.3) та (3.4), мають вигляд

Коли або одна, або обидві випадкові величини Xі Yмають розподіл змішаного типу (що притаманно моделей індивідуальних ризиків), формули аналогічні, але більш громіздкі. Для випадкових величин, які можуть приймати також негативні значення, суми та інтеграли в наведених формулах беруться за всіма значеннями від до .

Теоретично ймовірностей операція у формулах (3.3) і (3.6) називається згорткою двох функцій розподілу і позначається через . Операція згортки може бути визначена для пари функцій ймовірностей або функцій щільності за допомогою формул (3.4) та (3.7).

Для визначення розподілу суми понад двох випадкових величин ми можемо використовувати ітерації процесу взяття згортки. Для , Де є незалежними випадковими величинами, позначає функцію розподілу С.В., А є функцією розподілу С.В. , ми отримаємо

Приклад 3.1 ілюструє цю процедуру для трьох випадкових дискретних величин.

Приклад 3.1.Випадкові величини і незалежні і мають розподіли, які визначаються стовпцями (1), (2) і (3) наведеної нижче таблиці.

Випишемо функцію ймовірностей та функцію розподілу с.в.

Рішення.У таблиці використовуються позначення, введені перед прикладом:

У стовпцях (1)-(3) міститься інформація.

Стовпець (4) отриманий зі стовпців (1) та (2) із застосуванням (3.4).

Стовпець (5) отриманий зі стовпців (3) та (4) із застосуванням (3.4).

Визначення шпальти (5) завершує знаходження функції ймовірностей для с.в. . Її функція розподілу у стовпці (8) є набором часткових сум стовпця (5), починаючи згори.

Для наочності ми включили стовпець (6), функцію розподілу для стовпця (1), стовпець (7), який можна отримати безпосередньо зі стовпців (1) та (6), застосовуючи (2.3.3), та стовпець (8), який визначається аналогічно по стовпцям (3) та (7). Стовпець (5) можна визначити зі стовпця (8) послідовним відніманням.

Перейдемо до розгляду двох прикладів із безперервними випадковими величинами.

Приклад 3.2.Нехай с.в. має рівномірний розподіл на інтервалі (0,2), та нехай с.в. не залежить від с. має рівномірний розподіл на інтервалі (0,3). Визначимо функцію розподілу с.

Рішення.Бо розподілу с.в. і безперервні, скористаємося формулою (3.6):

Тоді

Вибірковий простір С.В. та ілюструється рис. 3.2. Прямокутна область містить усі можливі значення пари та . Події, що цікавлять нас, , зображується на малюнку для п'яти значень s.

Для кожного значення пряма перетинає вісь Yу точці sі пряму в точці. Значення функції для цих п'яти випадків описуються такою формулою:

Мал. 3.2. Згортка двох рівномірних розподілів

Приклад 3.3.Розглянемо три незалежні с.в. . Для с. має показовий розподіл та . Знайдемо функцію густини с.в. , застосовуючи операцію згортки.

Рішення.Маємо

Скориставшись формулою (3.7) тричі, ми отримаємо

Інший метод визначення розподілу суми незалежних випадкових величин заснований на єдиності виконує функції моментів, яка для с.в. визначається співвідношенням .

Якщо це математичне очікування звичайно для всіх tз деякого відкритого інтервалу, що містить початок координат, то є єдиною функцією, що виробляє моментів розподілу с.в. у тому сенсі, що не існує іншої функції, відмінної від , яка була б функцією, що виробляє моментів розподілу с.в. .

Цю єдиність можна використати так: для суми

Якщо незалежні, то математичне очікування твору у формулі (3.8) дорівнює ..., так що

Знаходження явного висловлювання у тому єдиного розподілу, що відповідає виробляє функції моментів (3.9), завершило б перебування розподілу с.в. . Якщо вказати їх у явному вигляді не вдається, можна проводити його пошук чисельними методами.

Приклад 3.4. Розглянемо випадкові величини прикладу 3.3. Визначимо функцію густини с.в. , користуючись функцією моментів с.в. .

Рішення.Відповідно до рівності (3.9), що можна записати у вигляді за допомогою методу розкладання на найпростіші дроби. Рішенням є . Але є функцією моментів показового розподілу з параметром , так що функція щільності с.в. має вигляд

Приклад 3.5. При дослідженні випадкових процесів було запроваджено зворотний гауссівський розподіл. Воно використовується як розподіл с.в. У, величини страхових виплат Функція щільності і функція моментів зворотного гаусівського розподілу задаються формулами

Знайдемо розподіл с.в. , де С.В. незалежні та мають однакові зворотні гауссівські розподіли.

Рішення.Скориставшись формулою (3.9), отримаємо наступне вираження для функції моментів с.в. :

Виробляє функції моментів відповідає єдиний розподіл, і можна переконатися, що має зворотний розподіл гаусса з параметрами і .

Наближення для розподілу суми

Центральна гранична теорема дає метод знаходження чисельних значень розподілу суми незалежних випадкових величин. Зазвичай ця теорема формулюється для суми незалежних та однаково розподілених випадкових величин, де .

Для будь-якого n розподіл с.в. де = має математичне очікування 0 і дисперсію 1. Як відомо, послідовність таких розподілів (при n= 1, 2, ...) прагне стандартного нормального розподілу. Коли nвелика ця теорема застосовується, щоб наблизити розподіл с.в. нормальним розподілом із середнім μ та дисперсією. Аналогічно, розподіл суми nвипадкових величин наближається нормальним розподілом із середнім та дисперсією.

Ефективність такої апроксимації залежить не тільки від числа доданків, а й від близькості розподілу доданків до нормального. У багатьох елементарних курсах статистики вказується, що n має бути не менше 30 для того, щоб апроксимація була розумною.

Однак одна з програм для генерації нормально розподілених випадкових величин, що використовуються в імітаційному моделюванні, реалізує нормальну випадкову величину у вигляді середнього 12 незалежно незалежних рівномірно розподілених на інтервалі (0,1) випадкових величин.

У багатьох моделях індивідуальних ризиків випадкові величини, що входять до сум, не є однаково розподіленими. Це буде показано прикладами в наступному розділі.

Центральна гранична теорема поширюється і послідовності неоднаково розподілених випадкових величин.

Для ілюстрації деяких програм моделі індивідуальних ризиків ми скористаємося нормальною апроксимацією розподілу суми незалежних випадкових величин, щоб отримати чисельні рішення. Якщо , то

і далі, якщо с.в. незалежні, то

Для додатку нам потрібно лише:

• знайти середні та дисперсії випадкових величин, що моделюють індивідуальні втрати,
• підсумувати їх для того, щоб отримати середню та дисперсію втрат страхової компанії в цілому,
• користуватися звичайним наближенням.

Нижче ми проілюструємо цю послідовність дій.

Додатки до страхування

У цьому розділі чотири приклади ілюструють використання нормального наближення.

Приклад 5.1.Компанія, що займається страхуванням життя, пропонує договір страхування у разі смерті терміном один рік із виплатами розміру 1 і 2 одиниць особам, ймовірності смерті яких становлять 0,02 чи 0,01. Нижче наведена таблиця показує кількість осіб nkу кожному з чотирьох класів, утворених відповідно до виплати b kта ймовірністю настання страхового випадку q k:

k	q k	b k	n k
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Страхова компанія хоче зібрати з цієї групи з 1800 осіб суму, що дорівнює 95-й відсотку або розподілу загальної величини страхових виплат за цією групою. Крім того, вона хоче, щоб частка кожної особи у цій сумі була пропорційна очікуваному розміру страхової виплати для цієї особи.

Частка особи з номером, середня виплата якій дорівнює, має становити. З вимоги 95-ї процентили випливає, що . Величина перевищення, є ризиковою надбавкою, а називається відносною ризиковою надбавкою. Підрахуємо.

Рішення.Розмір визначається співвідношенням = 0,95, де S = X 1 + X 2 + ... + X 1800.Це твердження про можливість еквівалентно наступному:

Відповідно до того, що йшлося про центральну граничну теорему в розд. 4, ми апроксимуємо розподіл С.В. стандартним нормальним розподілом та скористаємося його 95-ю процентиллю, звідки отримуємо:

Для чотирьох класів, на які розбиті страхувальники, ми отримуємо наведені нижче результати:

k	q k	b k	Середнє b k q k	Дисперсія b 2 k q k (1-q k)	n k
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Таким чином,

Тому відносна ризикова надбавка дорівнює

Приклад 5.2.Клієнти компанії, що займається страхуванням автомобілів, розподілені за двома класами:

Клас	Число у класі	Ймовірність настання страхового випадку	Розподіл страхових виплат, параметри усіченого показового розподілу
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Усічений показовий розподіл визначається за допомогою функції розподілу

Це розподіл змішаного типу із функцією щільності , і «згустком» імовірнісної маси в точці L. Графік цієї функції розподілу показано на рис.5.1.

Мал. 5.1. Усічений показовий розподіл

Як і раніше, ймовірність того, що загальна величина страхових виплат перевищує суму, зібрану зі страхувальників, повинна дорівнювати 0,05. Ми припустимо, що відносна ризикова надбавка має бути однаковою в кожному з двох класів, що розглядаються. Обчислимо.

Рішення.Цей приклад дуже схожий на попередній. Різниця полягає лише в тому, що величини страхових виплат тепер є випадковими величинами.

Спочатку ми отримаємо вирази для моментів усіченого показового розподілу. Це буде підготовчий крок для застосування формул (2.25) та (2.26):

Скориставшись значеннями параметрів, даними в умові, та застосовуючи формули (2.25) та (2.26), ми отримуємо наступні результати:

k	q k	μ k	σ 2 k	Середнє q k μ k	Дисперсія μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	n k
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Отже, S, загальна сума страхових виплат, має моменти

Умова визначення залишається тим самим, що у прикладі 5.1, саме,

Скориставшись знову апроксимацією нормальним розподілом, отримуємо

Приклад 5.3.У портфель страхової компанії входить 16 000 договорів страхування на випадок смерті терміном на один рік відповідно до наступної таблиці:

Імовірність настання страхового випадку для кожного з 16 000 клієнтів (ці події передбачається взаємно незалежними) дорівнює 0,02. Компанія хоче встановити рівень власного утримання. Для кожного страхувальника рівень власного утримання є величиною, виплати нижче за яку ця компанія (компанія-цедент) здійснює самостійно, а виплати, що перевищують цю величину, покриваються за договором перестрахування іншою компанією (перестраховиком).

Наприклад, якщо рівень власного утримання дорівнює 200 000, то компанія залишає за собою покриття суми до 20 000 для кожного страхувальника та купує перестрахування для покриття різниці між страховою виплатою та сумою 20 000 для кожного з 4500 страхувальників, страхові виплати для яких перевищують суму 0 .

Як критерій для ухвалення рішення компанія вибирає мінімізацію ймовірності того, що страхові виплати, залишені на власному утриманні, плюс та сума, яка сплачується за перестрахування, перевищить суму 8 250 000. Перестрахування коштує 0,025 на одиницю покриття (тобто 125% від очікуваної) величини страхових виплат за одиницю 0,02.

Ми вважаємо, що портфель, що розглядається, замкнені: нові страхові договори, укладені протягом поточного року, не враховуватимуться в описаному процесі прийняття рішення.

Часткове рішення. Проведемо спочатку всі обчислення, обравши за одиницю виплат 10 000. Як ілюстрацію припустимо, що с. в. Sє величиною виплат, залишених на власному утриманні, має такий вигляд:

До цих страхових виплат, залишених на власному утриманні, S, додається сума перестрахувальних премій Отже, загальна величина покриття за такою схемою становить

Сума, залишена на власному утриманні, дорівнює

Таким чином, загальна перестрахована величина становить 35000-24000 = 11000 і вартість перестрахування становить

Значить, при рівні власного утримання, що дорівнює 2, залишені на власному утриманні страхові виплати плюс вартість перестрахування становлять . Критерій для ухвалення рішення заснований на ймовірності того, що ця загальна сума перевищить 825,

Використовуючи нормальне розподілення, ми отримуємо, що ця величина приблизно дорівнює 0,0062.

Середні значення страхових виплат при страхуванні ексцеденту збитковості як одного з видів перестрахування можна апроксимувати, користуючись нормальним розподілом як розподіл загальних страхових виплат.

Нехай загальні страхові виплати Х мають нормальний розподіл із середнім та дисперсією

Приклад 5.4.Розглянемо страховий портфель, як у прикладі 5.3. Знайдемо математичне очікування величини страхових виплат за договором страхування ексцеденту збитковості, якщо

(а) індивідуальне перестрахування відсутнє та безумовна франшиза встановлена ​​рівною 7 500 000

(b) встановлено власне утримання у розмірі 20 000 за індивідуальними страховими договорами та величина безумовної франшизи за портфелем становить 5 300 000.

Рішення.

(а) За відсутності індивідуального перестрахування та при переході до 10 000 як грошова одиниця

застосування формули (5.2) дає

що становить суму 43 770 у вихідних одиницях.

(b) У прикладі 5.3 ми отримали середню та дисперсію сумарної величини страхових виплат при індивідуальному рівні власного утримання 20 000, рівні 480 та 784 відповідно, якщо розглядати 10 000, як одиниця. Отже, =28.

застосування формули (5.2) дає

що становить суму 4140 у вихідних одиницях.