محدودیت های ویژگی های زیر را به صورت آنلاین پیدا کنید. محدودیت های قابل توجه نمونه های راه حل

اولین حد قابل توجه برابری زیر نامیده می شود:

\begin(معادله)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله)

از آنجایی که برای $\alpha\to(0)$ ما $\sin\alpha\to(0)$ داریم، می گوییم که اولین حد فوق العادهعدم قطعیت فرم $\frac(0)(0)$ را نشان می دهد. به طور کلی، در فرمول (1)، به جای متغیر $\alpha$، در زیر علامت سینوس و در مخرج، هر عبارتی را می توان قرار داد، تا زمانی که دو شرط وجود داشته باشد:

1. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج به طور همزمان به صفر تمایل دارند، یعنی. عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد.
2. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج یکسان است.

نتایج حاصل از اولین حد قابل توجه نیز اغلب استفاده می شود:

\begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \پایان (معادله)

یازده مثال در این صفحه حل شده است. مثال شماره 1 به اثبات فرمول های (2)-(4) اختصاص دارد. مثال های #2، #3، #4 و #5 حاوی راه حل هایی با نظرات دقیق هستند. مثال‌های 6-10 حاوی راه‌حل‌هایی هستند که نظر کمی دارند یا بدون اظهار نظر هستند، همانطور که توضیحات مفصل در مثال‌های قبلی ارائه شد. راه حل از برخی استفاده می کند فرمول های مثلثاتیکه می توان یافت.

توجه داشته باشید که حضور توابع مثلثاتیهمراه با عدم قطعیت $\frac (0) (0)$ به این معنی نیست که اولین حد قابل توجه باید اعمال شود. گاهی اوقات تبدیل های مثلثاتی ساده کافی است - برای مثال، ببینید.

مثال شماره 1

ثابت کنید $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

الف) از آنجایی که $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$، پس:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

از آنجایی که $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ و $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$، سپس:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ب) بیایید جایگزین $\alpha=\sin(y)$ را بسازیم. از آنجایی که $\sin(0)=0$، پس از شرط $\alpha\to(0)$، $y\to(0)$ داریم. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$، بنابراین:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

ج) جایگزین $\alpha=\tg(y)$ را بسازیم. از آنجایی که $\tg(0)=0$، شرایط $\alpha\to(0)$ و $y\to(0)$ معادل هستند. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ وجود دارد، بنابراین با تکیه بر نتایج نقطه a، خواهیم داشت:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

برابری های a)، b)، c) اغلب همراه با اولین حد قابل توجه استفاده می شود.

مثال شماره 2

حد محاسبه $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ و $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$، یعنی. و صورت و مخرج کسر به طور همزمان به صفر میل می کنند، پس در اینجا با عدم قطعیتی از شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم، یعنی. انجام. علاوه بر این، مشاهده می شود که عبارات زیر علامت سینوس و مخرج یکسان است (یعنی و راضی است):

بنابراین، هر دو شرط ذکر شده در ابتدای صفحه وجود دارد. از این نتیجه می شود که فرمول قابل اجرا است، یعنی. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 دلار.

پاسخ: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\راست))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 دلار.

مثال شماره 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ و $\lim_(x\to(0))x=0$، با عدم قطعیت شکل $\frac( سر و کار داریم 0 )(0)$، یعنی، انجام. با این حال، عبارات زیر علامت سینوس و در مخرج مطابقت ندارند. در اینجا لازم است عبارت در مخرج را به شکل دلخواه تنظیم کنید. ما نیاز داریم که عبارت $9x$ در مخرج باشد - سپس درست می شود. اساساً فاکتور $9$ را در مخرج از دست می دهیم که وارد کردن آن چندان سخت نیست، فقط عبارت موجود در مخرج را در $9$ ضرب کنید. به طور طبیعی، برای جبران ضرب در 9 دلار، باید بلافاصله بر 9 دلار تقسیم کنید و تقسیم کنید:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x)) (9x) $$

حال عبارات مخرج و زیر علامت سینوس یکسان است. هر دو شرط برای محدودیت $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ برآورده می شود. بنابراین $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. و این بدان معنی است که:

$9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

مثال شماره 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ و $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$، در اینجا با نامعین بودن $\frac(0)(0)$ را تشکیل دهید. با این حال، شکل اولین حد قابل توجه شکسته شده است. یک عدد شامل $\sin(5x)$ به $5x$ در مخرج نیاز دارد. در این شرایط، ساده‌ترین راه این است که صورت‌گر را بر 5x$ تقسیم کرده و بلافاصله در 5x$ ضرب کنیم. علاوه بر این، عملیات مشابهی را با مخرج انجام خواهیم داد و $\tg(8x)$ را در $8x$ ضرب و تقسیم می کنیم:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

با کاهش $x$ و خارج کردن ثابت $\frac(5)(8)$ از علامت حد، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

توجه داشته باشید که $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ به طور کامل الزامات اولین حد قابل توجه را برآورده می کند. برای پیدا کردن $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ فرمول زیر قابل استفاده است:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

مثال شماره 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (به یاد بیاورید که $\cos(0)=1$) و $\ lim_(x\to(0))x^2=0$، پس با نامعین بودن شکل $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. با این حال، برای اعمال اولین حد شگفت‌انگیز، باید با رفتن به سینوس (به منظور اعمال فرمول) یا مماس (برای اعمال فرمول) از کسینوس موجود در صورت خلاص شوید. شما می توانید این کار را با تبدیل زیر انجام دهید:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\راست)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

بیایید به حد مجاز برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\راست) $$

کسر $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ در حال حاضر به شکل مورد نیاز برای اولین حد قابل توجه نزدیک است. بیایید کمی با کسری $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ کار کنیم و آن را به اولین حد شگفت‌انگیز تنظیم کنیم (توجه داشته باشید که عبارات در عدد و زیر سینوس باید مطابقت داشته باشند):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2$$

بیایید به حد در نظر گرفته شده برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ و $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$، پس ما با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. بیایید با کمک اولین حد قابل توجه آن را باز کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید از کسینوس به سینوس حرکت کنیم. از آنجایی که $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$، پس:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

با عبور از حد داده شده به سینوس ها، خواهیم داشت:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\راست)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

مثال شماره 7

محاسبه حد $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ با توجه به $\alpha\neq\ beta $.

توضیحات مفصلی قبلا داده شد، اما در اینجا به سادگی توجه می کنیم که باز هم عدم تعینی $\frac(0)(0)$ وجود دارد. بیایید با استفاده از فرمول از کسینوس به سینوس حرکت کنیم

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

با استفاده از فرمول فوق به دست می آوریم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ بتا(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to (0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ آلفا^2)(2)$.

مثال شماره 8

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (به یاد بیاورید که $\sin(0)=\tg(0)=0$) و $\ lim_(x\to(0))x^3=0$، پس در اینجا با نامعین بودن شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم. بیایید آن را اینطور تجزیه کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\راست))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\راست))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

مثال شماره 9

حد $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2)) را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ و $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$، سپس نامشخصی به شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد. قبل از ادامه گسترش آن، راحت است که متغیر را طوری تغییر دهید که متغیر جدید به صفر برسد (توجه داشته باشید که متغیر $\alpha \ به 0$ در فرمول ها). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=x-3$ است. با این حال، برای راحتی تغییرات بیشتر (این مزیت را می توان در مسیر راه حل زیر مشاهده کرد)، ارزش جایگزینی زیر را دارد: $t=\frac(x-3)(2)$. توجه داشته باشید که هر دو تعویض در این موارد قابل اجرا هستند این مورد، فقط جایگزینی دوم به شما امکان می دهد کمتر با کسری کار کنید. از $x\to(3)$، سپس $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\چپ|\frac (0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\راست) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

مثال شماره 10

حد $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right) را پیدا کنید. 2) دلار.

باز هم با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ سروکار داریم. قبل از ادامه بسط آن، راحت است که یک تغییر متغیر را طوری ایجاد کنید که متغیر جدید به سمت صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha\to(0)$ است). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=\frac(\pi)(2)-x$ است. از $x\to\frac(\pi)(2)$، سپس $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\راست)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\راست)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

مثال شماره 11

یافتن محدودیت $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

در این صورت مجبور نیستیم از اولین حد فوق العاده استفاده کنیم. لطفا توجه داشته باشید: در هر دو حد اول و دوم، فقط توابع و اعداد مثلثاتی وجود دارد. اغلب، در نمونه هایی از این نوع، می توان عبارت واقع در زیر علامت حد را ساده کرد. در این صورت پس از ساده سازی مذکور و کاهش برخی عوامل، عدم قطعیت از بین می رود. من این مثال را تنها با یک هدف ارائه کردم: نشان دادن اینکه وجود توابع مثلثاتی در زیر علامت حد لزوماً به معنای اعمال اولین حد قابل توجه نیست.

از آنجایی که $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (به یاد بیاورید که $\sin\frac(\pi)(2)=1$) و $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (به یاد بیاورید که $\cos\frac(\pi)(2)=0$)، سپس با عدم قطعیت سروکار داریم از شکل $\frac(0)(0)$. با این حال، این به هیچ وجه به این معنی نیست که ما باید از اولین محدودیت قابل توجه استفاده کنیم. برای آشکار کردن عدم قطعیت، توجه به این نکته کافی است که $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

در کتاب حل دمیدویچ (شماره 475) راه حل مشابهی وجود دارد. در مورد محدودیت دوم، مانند مثال های قبلی این بخش، عدم قطعیت به شکل $\frac(0)(0)$ داریم. چرا بوجود می آید؟ به این دلیل به وجود می آید که $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ و $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. ما از این مقادیر برای تبدیل عبارات در صورت و مخرج استفاده می کنیم. هدف از اقدامات ما: جمع را در صورت و مخرج به عنوان حاصلضرب بنویسید. به هر حال، اغلب راحت است که یک متغیر را در یک فرم مشابه تغییر دهید تا متغیر جدید به سمت صفر گرایش پیدا کند (برای مثال به مثال های شماره 9 یا 10 در این صفحه مراجعه کنید). با این حال، در این مثالهیچ فایده ای برای جایگزینی متغیر وجود ندارد، اگرچه، در صورت تمایل، تغییر متغیر $t=x-\frac(2\pi)(3)$ به راحتی قابل پیاده سازی است.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\راست )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\راست)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

همانطور که می بینید، ما مجبور نبودیم اولین محدودیت فوق العاده را اعمال کنیم. البته در صورت تمایل می توان این کار را انجام داد (به یادداشت زیر مراجعه کنید) اما ضروری نیست.

راه حل با استفاده از اولین حد قابل توجه چه خواهد بود؟ نمایش/پنهان کردن

با استفاده از اولین حد قابل توجه، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ راست))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\راست) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) دلار.

نظریه حدود یکی از بخش های آن است تجزیه و تحلیل ریاضی. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود وجود دارد انواع مختلف. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد یک محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما ابتدا یک پیشینه تاریخی مختصر. روزی روزگاری آگوستین لوئی کوشی فرانسوی در قرن نوزدهم وجود داشت که پایه‌های تحلیل ریاضی را پایه‌ریزی کرد و تعاریف دقیق و به ویژه تعریف حد را ارائه کرد. باید گفت که همین کوشی در کابوس های همه دانشجویان دانشکده های فیزیکی و ریاضی خواب می بیند، خواب می بیند و خواهد دید، زیرا او تعداد زیادی از قضایای آنالیز ریاضی را ثابت کرده است و یک قضیه از دیگری نفرت انگیزتر است. در این راستا، تعریف دقیقی از حد در نظر نخواهیم گرفت، بلکه سعی خواهیم کرد دو کار انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و بلافاصله مثالی از این که چرا مادربزرگ خود را خم کنید ....

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد محدودیت، در این مورد. ورودی به عنوان "x تمایل به وحدت دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "x" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، به جای یک واحد، می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت () وجود داشته باشد.
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود رکورد به این صورت می‌خواند: "محدودیت تابع زمانی که x تمایل به وحدت دارد."

بیایید موارد زیر را تحلیل کنیم سوال مهمعبارت "X" به چه معناست؟ به دنبالبه وحدت؟ و به هر حال "تلاش" چیست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس، ...، , ….
یعنی عبارت «x به دنبالبه یک" باید به صورت زیر درک شود - "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که بی نهایت به وحدت نزدیک بوده و عملاً با آن منطبق است.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید واحد را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین اولین قانون این است: وقتی محدودیتی در نظر گرفته شد، ابتدا فقط سعی کنید عدد را به عملکرد وصل کنید.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم، اما چنین مواردی در عمل نیز یافت می شوند، و نه به ندرت!

مثال بی نهایت:

فهمیدن چیست؟ این در صورتی است که به طور نامحدود افزایش یابد، یعنی: اول، سپس، سپس، و غیره تا بی نهایت.

و در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، آنگاه تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، بی نهایت را به جای "x" جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: برای، تابع به طور نامحدود افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین نوع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر شکی در جایی وجود داشت، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر پس از آن ، ، .

توجه: به بیان دقیق، این رویکرد با ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا، یا حداقل با یک میلیون داده شود:، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "x" چنان ارزش های غول پیکری به خود می گیرد که یک میلیون در مقایسه با آنها یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید به خاطر داشت و از موارد فوق فهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم یک عدد را جایگزین تابع کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها را بفهمید و فوراً حل کنید، مانند ، ، و غیره.

حال گروه حدود را در نظر می گیریم، زمانی که، و تابع یک کسری است که در صورت و مخرج آن چند جمله ای هستند.

مثال:

محاسبه حد

طبق قاعده ما سعی می کنیم بی نهایت را با یک تابع جایگزین کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما به اصطلاح نامتعین شکل را داریم. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در مورد کلیاصلاً اینطور نیست و باید راه حلی اعمال شود که اکنون به بررسی آن می پردازیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

بالاترین توان در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و بالاترین درجه را نیز پیدا می کنیم:

بالاترین توان مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به این صورت است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را تا بالاترین درجه تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی در تصمیم گیری ضروری است؟

ابتدا عدم قطعیت را در صورت وجود نشان می دهیم.

ثانیاً، مطلوب است که راه حل برای توضیحات میانی قطع شود. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً، در حد مطلوب است که مشخص شود چه چیزی و به کجا تمایل دارد. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

برای یادداشت بهتر است از یک مداد ساده استفاده کنید.

البته، شما نمی توانید هیچ کاری از این کار انجام دهید، اما پس از آن، شاید معلم کاستی های موجود در راه حل را یادداشت کند یا شروع به پرسیدن سوالات اضافی در مورد تکلیف کند. و آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداکثر مدرک در صورت حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای آشکار کردن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
طراحی کاملمشاغل ممکن است شبیه به این باشند:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "x" در صورتگر: 2
حداکثر توان "x" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . یک راه حل تمیز ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

رکورد به معنای تقسیم بر صفر نیست (تقسیم بر صفر غیرممکن است) بلکه به معنای تقسیم بر یک عدد بی نهایت کوچک است.

بنابراین، هنگام افشای عدم قطعیت فرم، می توانیم دریافت کنیم عدد محدود، صفر یا بی نهایت.

محدودیت ها با عدم قطعیت نوع و روشی برای حل آنها

گروه بعدی از حدود تا حدودی شبیه به حدود در نظر گرفته شده است: چند جمله ای در صورت و مخرج وجود دارد، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. شماره نهایی.

مثال 4

حد را حل کنید
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را در کسری جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی : اگر چند جمله ای در صورت و مخرج وجود داشته باشد و شکل آن نامشخص باشد، برای افشای آن صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب تصمیم گیری لازم است معادله درجه دومو/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شد، از صفحه بازدید کنید فرمول ها و جداول ریاضیو بررسی کنید مواد روش شناختی فرمول های ریاضی مدرسه داغ. به هر حال، بهتر است آن را چاپ کنید، اغلب مورد نیاز است و اطلاعات کاغذ بهتر جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

فاکتورگیری از صورت و مخرج

برای فاکتورسازی عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا وجه تمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تمایز بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب، تابع استخراج استفاده می کنیم ریشه دومروی ساده ترین ماشین حساب است.

! اگر ریشه کاملاً استخراج نشود (معلوم است عدد کسریبا نقطه ویرگول)، به احتمال بسیار زیاد تشخیص دهنده اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود دارد.

در مرحله بعد، ریشه ها را پیدا می کنیم:

به این ترتیب:

همه چيز. شمارنده فاکتور گرفته می شود.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به صورت زیر خلاصه کرد:

حالا در عبارتی که در زیر علامت حد باقی می ماند -1 را جایگزین می کنیم:

به طور طبیعی، در یک آزمون، در یک آزمون، یک امتحان، راه حل هرگز با این جزئیات نقاشی نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

محاسبه حد

اول، یک راه حل "پاک".

بیایید صورت و مخرج را فاکتورسازی کنیم.

صورت کسر:
مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
ابتدا باید به خوبی بفهمید که چگونه شماره‌گذار آشکار می‌شود، ابتدا عدد 2 را در پرانتز قرار دادیم و سپس از فرمول تفاوت مربع‌ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

مفاهیم حدود توالی ها و توابع. هنگامی که لازم است حد یک دنباله را پیدا کنید، به صورت زیر نوشته می شود: lim xn=a. در چنین دنباله ای از دنباله ها، xn به a و n به بی نهایت میل می کند. یک دنباله معمولاً به صورت یک سری نشان داده می شود، به عنوان مثال:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
توالی ها به صعودی و نزولی تقسیم می شوند. مثلا:
xn=n^2 - توالی افزایشی
yn=1/n - دنباله
بنابراین، برای مثال، حد دنباله xn=1/n^:
lim1/n^2=0

x→∞
این حد صفر است زیرا n→∞ و دنباله 1/n^2 به صفر تمایل دارد.

معمولاً متغیر x به حد محدود a تمایل دارد، علاوه بر این، x دائماً به a نزدیک می‌شود و مقدار a ثابت است. این به صورت زیر نوشته می شود: limx = a، در حالی که n می تواند هم به صفر و هم به بی نهایت تمایل داشته باشد. توابع بی نهایت وجود دارد، برای آنها حد به بی نهایت میل می کند. در موارد دیگر، زمانی که، برای مثال، عملکرد کاهش سرعت قطار، ممکن است برای یک حد تمایل به صفر است.
محدودیت ها دارای تعدادی ویژگی هستند. به عنوان یک قاعده، هر تابع فقط یک محدودیت دارد. این ویژگی اصلی حد است. سایر موارد در زیر ذکر شده است:
* محدودیت مبلغ برابر با مجموع استمحدودیت ها:
lim(x+y)=limx+limy
* حد محصول برابر است با حاصل ضرب حدود:
lim(xy)=limx*limy
* حد نصاب برابر است با نصاب حدود:
lim(x/y)=lim x/lim y
* ضریب ثابت از علامت حد خارج می شود:
lim(Cx)=C lim x
با توجه به تابع 1 /x که در آن x →∞، حد آن صفر است. اگر x← 0 باشد، حد چنین تابعی برابر با ∞ است.
برای توابع مثلثاتی از این قوانین وجود دارد. از آنجایی که تابع sin x با نزدیک شدن به صفر همیشه به یک تمایل دارد، هویت برای آن برقرار است:
lim sin x/x=1

در تعدادی از توابع، هنگام محاسبه حدودی که عدم قطعیت ایجاد می شود - وضعیتی که در آن حد قابل محاسبه نیست. تنها راه خروجاز این وضعیت L'Hopital می شود. دو نوع عدم قطعیت وجود دارد:
* عدم قطعیت فرم 0/0
* عدم قطعیت شکل ∞/∞
مثلا با توجه به محدودیت نوع زیر: lim f(x)/l(x)، علاوه بر این، f(x0)=l(x0)=0. در این حالت عدم قطعیت فرم 0/0 وجود دارد. برای حل چنین مشکلی، هر دو تابع متمایز می شوند، پس از آن حد نتیجه پیدا می شود. برای عدم قطعیت های فرم 0/0، حد این است:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (برای x→0)
همین قانون برای عدم قطعیت های نوع ∞/∞ نیز صادق است. اما در این حالت برابری زیر صادق است: f(x)=l(x)=∞
با استفاده از قانون L'Hospital، می توانید مقادیر هر محدودیتی را که در آن عدم قطعیت ظاهر می شود، بیابید. شرط لازمدر

حجم - عدم وجود خطا در یافتن مشتقات. بنابراین، برای مثال، مشتق تابع (x^2)" برابر با 2x است. از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت:
f"(x)=nx^(n-1)

این ماشین حساب ریاضیآنلاین در صورت نیاز به شما کمک خواهد کرد محاسبه حد تابع. برنامه راه حل ها را محدود کنیدنه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه منجر می شود راه حل دقیقبا توضیحات، یعنی پیشرفت محاسبه حد را نشان می دهد.

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس آموزش عمومیدر آماده سازی برای کنترل کارو امتحانات، هنگام تست دانش قبل از امتحان، والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در اسرع وقت انجام دهید؟ مشق شبریاضی یا جبر؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش خود و/یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید و در عین حال سطح تحصیلات در زمینه کارهایی که باید حل شوند افزایش می یابد.

یک عبارت تابع را وارد کنید

محاسبه حد

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این کار بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

شما جاوا اسکریپت را در مرورگر خود غیرفعال کرده اید.
جاوا اسکریپت باید فعال باشد تا راه حل ظاهر شود.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در مورد آن در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حد تابع در x-> x 0

اجازه دهید تابع f(x) در مجموعه ای از X تعریف شود و نقطه \(x_0 \در X\) یا \(x_0 \نه X\) بگذارید.

از X دنباله ای از نقاط غیر از x 0 بگیرید:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
همگرا به x*. مقادیر تابع در نقاط این دنباله نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند
f(x 1)، f(x 2)، f(x 3)، ...، f(x n)، ... (2)
و می توان از وجود حد آن سؤال کرد.

تعریف. عدد A حد تابع f (x) در نقطه x \u003d x 0 (یا در x -> x 0) نامیده می شود، اگر برای هر دنباله (1) از مقادیر آرگومان x باشد. که به x 0 همگرا می شود، متفاوت از x 0، دنباله مربوطه (2) از تابع مقادیر به عدد A همگرا می شود.

$$ \lim_(x\to x_0)(f(x)) = یک $$

تابع f(x) فقط می تواند یک حد در نقطه x 0 داشته باشد. این نتیجه از این واقعیت است که دنباله
(f(xn)) فقط یک حد دارد.

تعریف دیگری از حد یک تابع وجود دارد.

تعریفعدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 نامیده می شود اگر برای هر عدد \(\varepsilon > 0 \) یک عدد \(\delta > 0 \) وجود داشته باشد به طوری که برای همه \( (x \در X, \; x \neq x_0 \) با ارضای نابرابری \(|x-x_0| با استفاده از نمادهای منطقی، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \در X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| توجه داشته باشید که نابرابری‌های \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| اولین تعریف مبتنی بر مفهوم حد است دنباله اعداد، به همین دلیل است که اغلب از آن به عنوان تعریف "زبان توالی" یاد می شود. تعریف دوم، تعریف "زبان \(\varepsilon - \delta \)" نامیده می شود.
این دو تعریف از حد یک تابع معادل هستند و شما می توانید از هر کدام از آنها استفاده کنید، هر کدام که برای حل یک مشکل خاص راحت تر است.

توجه داشته باشید که تعریف حد تابع "در زبان توالی" را تعریف حد تابع از نظر هاینه و تعریف حد تابع "در زبان \(\varepsilon - \delta \)" به تعریف حد یک تابع مطابق کوشی نیز گفته می شود.

حد تابع در x->x 0 - و در x->x 0 +

در ادامه از مفاهیم حدود یک طرفه یک تابع استفاده خواهیم کرد که به صورت زیر تعریف می شوند.

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f (x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر دنباله (1) که به x 0 همگرا می شود، که عناصر آن x n بزرگتر (کمتر) از x 0 هستند، دنباله مربوطه است. (2) به A همگرا می شود.

به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:
$$ \lim_(x \تا x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \راست) $$

می توان یک تعریف معادل از محدودیت های یک طرفه یک تابع "در زبان \(\varepsilon - \delta\)" ارائه داد:

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر \(\varepsilon > 0 \) \(\delta > 0 \) وجود داشته باشد به طوری که برای همه x راضی کننده باشد. نابرابری های \(x_0 ورودی های نمادین:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

مبحث 4.6 محاسبه حدود

حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط ضروری است.

1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار حدی آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار حدی آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد عملکرد ابتدایی f(x) x تلاش برایآ ، که در دامنه تعریف گنجانده شده است، برابر است با مقدار خصوصی تابع در x= آ، یعنی lim f(x)=f( آ) .

2. اگر x به بی نهایت می رودیا آرگومان به عددی گرایش پیدا کند که به دامنه تابع تعلق ندارد، در هر صورت یافتن حد تابع مستلزم مطالعه خاصی است.

در زیر ساده‌ترین محدودیت‌ها، بر اساس ویژگی‌های محدودیت‌ها، که می‌توان به عنوان فرمول استفاده کرد، آمده است:

بیشتر موارد دشواریافتن حد یک تابع:

هر کدام جداگانه در نظر گرفته می شود.

در این بخش روش های اصلی افشای عدم قطعیت ها ارائه می شود.

1. موردی که x تلاش برایآ تابع f(x) نشان دهنده نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک است

الف) ابتدا باید مطمئن شوید که حد تابع را نمی توان با جایگزینی مستقیم پیدا کرد و با تغییر نشان داده شده در آرگومان، نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. با توجه به تعریف حد یک تابع، آرگومان x به مقدار حدی خود میل می کند و هرگز با آن منطبق نمی شود.

به طور کلی، اگر حد یک تابع برای آن جستجو شود x تلاش برایآ ، پس باید به خاطر داشت که x مقدار را نمی گیرد آ، یعنی x برابر a نیست.

ب) قضیه بزوت اعمال می شود. اگر به دنبال حد کسری هستید که صورت و مخرج آن چند جمله‌ای هستند که در نقطه حدی x \u003d به 0 تبدیل می‌شوند. آ، پس طبق قضیه فوق، هر دو چند جمله ای بدون باقیمانده بر x- بخش پذیرند. آ.

ج) غیرمنطقی بودن در صورت یا مخرج با ضرب صورت یا مخرج در عبارت مزدوج در غیر منطقی از بین می رود سپس پس از ساده سازی کسر کاهش می یابد.

د) از حد قابل توجه اول (4.1) استفاده می شود.

ه) از قضیه هم ارزی بینهایت کوچک و b.m زیر استفاده می کنیم:

2. موردی که x تلاش برایآ تابع f(x) نشان دهنده نسبت دو کمیت بی نهایت بزرگ است

الف) صورت و مخرج کسری را بر بالاترین توان مجهول تقسیم کنید.

ب) به طور کلی می توانید از قانون استفاده کنید

3. موردی که x تلاش برایآ تابع f(x) حاصل ضرب یک مقدار بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را نشان می دهد

کسری به شکلی تبدیل می شود که صورت و مخرج آن به طور همزمان به 0 یا بی نهایت تمایل دارند، یعنی. مورد 3 به مورد 1 یا مورد 2 کاهش می یابد.

4. موردی که x تلاش برایآ تابع f(x) تفاوت دو کمیت مثبت بی نهایت بزرگ را نشان می دهد

این مورد به یکی از روش های زیر به گونه 1 یا 2 کاهش می یابد:

الف) تقلیل کسرها به مخرج مشترک؛

ب) تبدیل تابع به کسری.

ج) رهایی از بی منطقی.

5. موردی که x تلاش برایآ تابع f(x) توانی را نشان می دهد که پایه آن به 1 و توان آن به بی نهایت میل می کند.

تابع به گونه ای تبدیل شده است که از دومین حد قابل توجه (4.2) استفاده می کند.

مثال.پیدا کردن .

زیرا x به 3 تمایل داردسپس صورت کسر به عدد 3 2 +3 *3+4=22 و مخرج به عدد 3+8=11 میل می کند. در نتیجه،

مثال

در اینجا صورت و مخرج کسری در x تمایل به 2تمایل به 0 (عدم قطعیت شکل)، صورت و مخرج را به فاکتورها تجزیه می کنیم، lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) را بدست می آوریم.

مثال

صورت و مخرج را در عبارت مزدوج به صورت ضرب می کنیم، داریم

با باز کردن پرانتزها در صورت حساب، دریافت می کنیم

مثال

سطح 2 مثال. اجازه دهید مثالی از کاربرد مفهوم حد یک تابع در محاسبات اقتصادی ارائه دهیم. یک تراکنش مالی معمولی را در نظر بگیرید: وام دادن مبلغی اس 0 با این شرط که بعد از مدتی تیمبلغ مسترد خواهد شد اس تی. بیایید مقدار را تعریف کنیم r رشد نسبیفرمول

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

رشد نسبی را می توان با ضرب مقدار حاصل به صورت درصد بیان کرد rدر 100.

از فرمول (1) به راحتی می توان مقدار را تعیین کرد اس تی:

اس تی= اس 0 (1 + r)

هنگام تسویه وام های بلند مدت که چندین مورد را پوشش می دهد سال های کاملبهره مرکب استفاده کنید این شامل این واقعیت است که اگر برای سال 1 مقدار اس 0 افزایش در (1 + r) بار، سپس برای سال دوم در (1 + r) برابر افزایش جمع اس 1 = اس 0 (1 + r)، به این معنا که اس 2 = اس 0 (1 + r) 2 . به طور مشابه، معلوم می شود اس 3 = اس 0 (1 + r) 3. از مثال های بالا می توان نتیجه گرفت فرمول کلیبرای محاسبه رشد مقدار برای nسالها هنگام محاسبه بر اساس طرح بهره مرکب:

S n= اس 0 (1 + r) n.

در محاسبات مالی از طرح هایی استفاده می شود که سود مرکب چندین بار در سال محاسبه می شود. در عین حال تصریح می کند نرخ سالانه rو تعداد پرداخت ها در سال ک. به عنوان یک قاعده، اقلام تعهدی در فواصل منظم، یعنی طول هر بازه، انجام می شود T kبخشی از سال است سپس برای مدتی از تیسال (اینجا تیلزوما یک عدد صحیح نیست) اس تیبا فرمول محاسبه می شود

(2)

قسمت صحیح عدد کجاست که همان عدد است، اگر مثلاً تی? عدد صحیح

نرخ سالانه باشد rو تولید کرد nاقلام تعهدی در سال در فواصل منظم. سپس برای سال مقدار اس 0 به مقدار تعیین شده توسط فرمول افزایش می یابد

(3)

AT تحلیل نظریو در عمل فعالیت مالی، اغلب با مفهوم "بهره تعلق گرفته پیوسته" مواجه می شود. برای تغییر به سود پیوسته، لازم است در فرمول های (2) و (3) به ترتیب اعداد به طور نامحدود افزایش یابد. کو n(یعنی هدف کو nتا بی نهایت) و محاسبه کنید که توابع به کدام حد تمایل دارند اس تیو اسیکی . بیایید این روش را برای فرمول (3) اعمال کنیم:

توجه داشته باشید که محدودیت در بریس های مجعد مانند حد قابل توجه دوم است. نتیجه آن است که به نرخ سالانه rبه سود مستمر، مبلغ اس 0 برای 1 سال به مقدار افزایش می یابد اس 1 * ، که از فرمول تعیین می شود

اس 1 * = اس 0 er (4)

حالا اجازه دهید مجموع اس 0 با سود قرض داده می شود nیک بار در سال در فواصل منظم. مشخص کن r eنرخ سالانه که در پایان سال مبلغ اس 0 به یک مقدار افزایش می یابد اس 1 * از فرمول (4). در این صورت می گوییم r e- این هست نرخ بهره سالانه nیک بار در سال، معادل درصد سالانه rبا اقلام تعهدی مستمراز فرمول (3) بدست می آوریم

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

معادل سازی قسمت های مناسب آخرین فرمول و فرمول (4) با فرض آخرین تی= 1، می توانیم روابط بین کمیت ها را استخراج کنیم rو r e:

این فرمول ها به طور گسترده در محاسبات مالی استفاده می شوند.