محاسبه واریانس محاسبه واریانس گروه، بین گروهی و کل (طبق قانون جمع واریانس)

پراکندگی در آماربه عنوان مقادیر مجزای مشخصه مجذور از . بسته به داده های اولیه، با استفاده از فرمول های واریانس ساده و وزنی تعیین می شود:

1. (برای داده های گروه بندی نشده) با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

2. واریانس وزنی (برای سری تغییرات):

که در آن n فرکانس است (تکرارپذیری عامل X)

نمونه ای از یافتن واریانس

این صفحه توضیح می دهد مثال استانداردبا پیدا کردن واریانس، می توانید به مشکلات دیگر نیز نگاه کنید تا آن را پیدا کنید

مثال 1. داده های زیر برای یک گروه 20 دانش آموز در دسترس است بخش مکاتبات. نیاز به ساختن سری بازه ایتوزیع یک مشخصه، مقدار میانگین مشخصه را محاسبه کرده و واریانس آن را مطالعه کنید

بیایید یک گروه بندی فاصله ای بسازیم. بیایید محدوده فاصله را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

جایی که X max– حداکثر مقدارویژگی گروه بندی؛
X min - حداقل مقدار مشخصه گروه بندی.
n – تعداد فواصل:

ما n=5 را می پذیریم. مرحله این است: h = (192 - 159) / 5 = 6.6

بیایید یک گروه بندی فاصله ایجاد کنیم

برای محاسبات بیشتر، یک جدول کمکی می سازیم:

X'i وسط فاصله است. (به عنوان مثال، وسط فاصله 159 - 165.6 = 162.3)

میانگین قد دانش آموزان را با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی تعیین می کنیم:

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

فرمول پراکندگی را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

از این فرمول نتیجه می شود که واریانس برابر است تفاوت میانگین مربع های گزینه ها و مربع و میانگین.

واریانس در سری تغییرات با فواصل مساوی با استفاده از روش گشتاورها را می توان با استفاده از خاصیت دوم پراکندگی (تقسیم همه گزینه ها بر مقدار بازه) به روش زیر محاسبه کرد. تعیین واریانسمحاسبه شده با استفاده از روش گشتاورها، استفاده از فرمول زیر زحمت کمتری دارد:

جایی که i مقدار بازه است.
A یک صفر معمولی است که برای آن استفاده از وسط بازه با بالاترین فرکانس راحت است.
m1 مربع لحظه مرتبه اول است.
متر مربع - لحظه سفارش دوم

(اگر در یک جامعه آماری یک مشخصه به گونه ای تغییر کند که فقط دو گزینه متقابل وجود داشته باشد، آنگاه چنین تنوعی جایگزین نامیده می شود) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

تعویض در این فرمولواریانس q = 1- p، دریافت می کنیم:

انواع واریانس

واریانس کلتغییرات یک ویژگی را در کل جمعیت به عنوان یک کل تحت تأثیر همه عواملی که باعث این تنوع می شوند اندازه گیری می کند. این برابر با میانگین مربع انحراف مقادیر فردی یک مشخصه x از مقدار میانگین کلی x است و می تواند به عنوان واریانس ساده یا واریانس وزنی تعریف شود.

تغییرات تصادفی را مشخص می کند، یعنی. بخشی از تغییرات که ناشی از تأثیر عوامل حساب نشده است و به ویژگی عاملی که اساس گروه را تشکیل می دهد بستگی ندارد. چنین پراکندگی برابر است با میانگین مربع انحراف مقادیر فردی ویژگی در گروه X از میانگین حسابی گروه و می تواند به عنوان پراکندگی ساده یا پراکندگی وزنی محاسبه شود.

بدین ترتیب، اندازه گیری های واریانس درون گروهیتنوع یک صفت در یک گروه و با فرمول تعیین می شود:

جایی که xi میانگین گروه است.
ni تعداد واحدهای گروه است.

به عنوان مثال، واریانس‌های درون گروهی که باید در مسئله مطالعه تأثیر صلاحیت‌های کارگران بر سطح بهره‌وری نیروی کار در یک کارگاه تعیین شوند، تغییرات در بازده در هر گروه را نشان می‌دهند که ناشی از همه عوامل ممکن است. شرایط فنیتجهیزات، در دسترس بودن ابزار و مواد، سن کارگران، شدت کار، و غیره)، به جز تفاوت در دسته صلاحیت(در یک گروه همه کارگران دارای شرایط یکسانی هستند).

میانگین واریانس های درون گروهی منعکس کننده تصادفی است، یعنی بخشی از تغییرات که تحت تأثیر همه عوامل دیگر، به استثنای عامل گروه بندی، رخ داده است. با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

تغییر سیستماتیک مشخصه حاصل را مشخص می کند که به دلیل تأثیر عامل-علامت است که اساس گروه را تشکیل می دهد. برابر است با مجذور میانگین انحراف میانگین های گروه از میانگین کلی. واریانس بین گروهی با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

قانون اضافه کردن واریانس در آمار

مطابق با قانون اضافه کردن واریانس هاواریانس کل برابر است با مجموع میانگین واریانس های درون گروهی و بین گروهی:

معنای این قاعدهاین است که کل واریانسی که تحت تأثیر همه عوامل ایجاد می شود برابر است با مجموع واریانس هایی که تحت تأثیر همه عوامل دیگر و واریانسی که به دلیل عامل گروه بندی ایجاد می شود.

با استفاده از فرمول برای اضافه کردن واریانس، می توانید دو را تعیین کنید پراکندگی های شناخته شدهسوم ناشناخته است، و همچنین قدرت تأثیر ویژگی گروه بندی را قضاوت کنید.

خواص پراکندگی

1. اگر تمام مقادیر یک مشخصه به همان مقدار ثابت کاهش یابد (افزایش یابد)، پراکندگی تغییر نخواهد کرد.
2. اگر همه مقادیر یک مشخصه به همان تعداد n برابر کاهش (افزایش) شوند، واریانس به ترتیب n^2 برابر کاهش (افزایش) خواهد شد.

این صفحه یک مثال استاندارد از یافتن واریانس را توضیح می دهد، همچنین می توانید مشکلات دیگر را برای یافتن آن بررسی کنید

مثال 1. تعیین گروه، میانگین گروه، بین گروهی و واریانس کل

مثال 2. یافتن واریانس و ضریب تغییرات در جدول گروه بندی

مثال 3. یافتن واریانس در سری گسسته

مثال 4. داده های زیر برای یک گروه 20 دانشجوی مکاتبه ای موجود است. ساخت یک سری بازه ای از توزیع مشخصه، محاسبه میانگین مقدار مشخصه و مطالعه پراکندگی آن ضروری است.

بیایید یک گروه بندی فاصله ای بسازیم. بیایید محدوده فاصله را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

که در آن X max حداکثر مقدار مشخصه گروه بندی است.
X min - حداقل مقدار مشخصه گروه بندی.
n – تعداد فواصل:

ما n=5 را می پذیریم. مرحله این است: h = (192 - 159) / 5 = 6.6

بیایید یک گروه بندی فاصله ایجاد کنیم

برای محاسبات بیشتر، یک جدول کمکی می سازیم:

X"i - وسط فاصله. (به عنوان مثال، وسط فاصله 159 - 165.6 = 162.3)

میانگین قد دانش آموزان را با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی تعیین می کنیم:

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

فرمول را می توان به شکل زیر تبدیل کرد:

از این فرمول نتیجه می شود که واریانس برابر است تفاوت میانگین مربع های گزینه ها و مربع و میانگین.

پراکندگی در سری تغییراتبا فواصل مساوی با استفاده از روش گشتاورها را می توان با استفاده از خاصیت دوم پراکندگی (تقسیم همه گزینه ها بر مقدار بازه) به روش زیر محاسبه کرد. تعیین واریانسمحاسبه شده با استفاده از روش گشتاورها، استفاده از فرمول زیر زحمت کمتری دارد:

جایی که i مقدار بازه است.
A یک صفر معمولی است که برای آن استفاده از وسط بازه با بالاترین فرکانس راحت است.
m1 مربع لحظه مرتبه اول است.
متر مربع - لحظه سفارش دوم

واریانس صفت جایگزین (اگر در یک جامعه آماری یک مشخصه به گونه ای تغییر کند که فقط دو گزینه متقابل وجود داشته باشد، آنگاه چنین تنوعی جایگزین نامیده می شود) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

با جایگزینی q = 1-p در این فرمول پراکندگی، به دست می آوریم:

انواع واریانس

واریانس کلتغییرات یک ویژگی را در کل جمعیت به عنوان یک کل تحت تأثیر همه عواملی که باعث این تنوع می شوند اندازه گیری می کند. این برابر با میانگین مربع انحراف مقادیر فردی یک مشخصه x از مقدار میانگین کلی x است و می تواند به عنوان واریانس ساده یا واریانس وزنی تعریف شود.

واریانس درون گروهی تغییرات تصادفی را مشخص می کند، یعنی. بخشی از تغییرات که ناشی از تأثیر عوامل حساب نشده است و به ویژگی عاملی که اساس گروه را تشکیل می دهد بستگی ندارد. چنین پراکندگی برابر است با میانگین مربع انحراف مقادیر فردی ویژگی در گروه X از میانگین حسابی گروه و می تواند به عنوان پراکندگی ساده یا پراکندگی وزنی محاسبه شود.

بدین ترتیب، اندازه گیری های واریانس درون گروهیتنوع یک صفت در یک گروه و با فرمول تعیین می شود:

جایی که xi میانگین گروه است.
ni تعداد واحدهای گروه است.

به عنوان مثال، واریانس‌های درون گروهی که باید در کار مطالعه تأثیر صلاحیت‌های کارگران بر سطح بهره‌وری نیروی کار در یک کارگاه تعیین شوند، تغییرات در بازده در هر گروه را نشان می‌دهند که ناشی از همه عوامل ممکن (وضعیت فنی تجهیزات، در دسترس بودن تجهیزات) است. ابزار و مواد، سن کارگران، شدت کار، و غیره.) به جز تفاوت در رده صلاحیت (در یک گروه همه کارگران دارای شرایط یکسان هستند).

واریانس معیاری از پراکندگی است که انحراف مقایسه ای بین مقادیر داده و میانگین را توصیف می کند. پرکاربردترین معیار پراکندگی در آمار است که با جمع، مربع کردن، انحراف هر مقدار داده از اندازه متوسط. فرمول محاسبه واریانس در زیر آمده است:

s 2 - واریانس نمونه;

x av—میانگین نمونه;

n — اندازه نمونه (تعداد مقادیر داده)،

(x i – x avg) انحراف از مقدار متوسط ​​برای هر مقدار از مجموعه داده است.

برای درک بهتر فرمول، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم. من واقعاً آشپزی را دوست ندارم، بنابراین به ندرت آن را انجام می دهم. با این حال، برای اینکه گرسنه نمانم، هر از گاهی باید به اجاق گاز بروم تا طرح اشباع بدنم با پروتئین، چربی و کربوهیدرات را اجرا کنم. مجموعه داده های زیر نشان می دهد که رنات هر ماه چند بار آشپزی می کند:

اولین مرحله در محاسبه واریانس تعیین میانگین نمونه است که در مثال ما 7.8 بار در ماه است. بقیه محاسبات را می توان با استفاده از جدول زیر ساده تر کرد.

مرحله نهایی محاسبه واریانس به صورت زیر است:

برای کسانی که دوست دارند تمام محاسبات را یکجا انجام دهند، معادله به این صورت خواهد بود:

استفاده از روش شمارش خام (مثال آشپزی)

بیشتر وجود دارد روش موثرمحاسبه واریانس که به روش "شمارش خام" معروف است. اگرچه ممکن است این معادله در نگاه اول کاملاً دست و پا گیر به نظر برسد، اما در واقع آنقدرها هم ترسناک نیست. می توانید از این موضوع مطمئن شوید و سپس تصمیم بگیرید که کدام روش را بیشتر دوست دارید.

مجموع هر مقدار داده پس از مربع کردن است،

مجذور مجموع همه مقادیر داده است.

فعلا عقلت رو از دست نده بیایید همه اینها را در یک جدول قرار دهیم و خواهید دید که در اینجا محاسبات کمتری نسبت به مثال قبلی وجود دارد.

همانطور که می بینید، نتیجه همان روش استفاده از روش قبلی بود. مزایای این روشبا افزایش حجم نمونه (n) آشکار می شود.

محاسبه واریانس در اکسل

همانطور که احتمالا قبلاً حدس زده اید، اکسل فرمولی دارد که به شما امکان می دهد واریانس را محاسبه کنید. علاوه بر این، با شروع اکسل 2010، می توانید 4 نوع فرمول واریانس را پیدا کنید:

1) VARIANCE.V - واریانس نمونه را برمی‌گرداند. مقادیر بولی و متن نادیده گرفته می شوند.

2) DISP.G - واریانس را برمی‌گرداند جمعیت. مقادیر بولی و متن نادیده گرفته می شوند.

3) VARIANCE - واریانس نمونه را با در نظر گرفتن مقادیر بولی و متنی برمی گرداند.

4) VARIANCE - واریانس جمعیت را با در نظر گرفتن مقادیر منطقی و متنی برمی‌گرداند.

ابتدا بیایید تفاوت بین یک نمونه و یک جامعه را درک کنیم. هدف از آمار توصیفی خلاصه کردن یا نمایش داده‌ها است تا بتوانید به سرعت به تصویر بزرگ دست پیدا کنید. استنتاج آماری به شما این امکان را می دهد که بر اساس نمونه ای از داده های آن جامعه استنباط هایی در مورد یک جمعیت انجام دهید. جمعیت نشان دهنده تمام نتایج یا اندازه گیری های ممکن است که مورد علاقه ما هستند. نمونه زیر مجموعه ای از یک جامعه است.

به عنوان مثال، ما به گروهی از دانشجویان یکی از دانشگاه های روسیه علاقه مند هستیم و باید میانگین نمره گروه را تعیین کنیم. ما می‌توانیم میانگین عملکرد دانش‌آموزان را محاسبه کنیم، و سپس رقم به‌دست‌آمده یک پارامتر خواهد بود، زیرا کل جمعیت در محاسبات ما دخیل خواهند بود. اما اگر بخواهیم معدل کل دانش آموزان کشورمان را محاسبه کنیم، این گروه نمونه ما خواهد بود.

تفاوت در فرمول محاسبه واریانس بین نمونه و جامعه، مخرج است. جایی که برای نمونه برابر با (n-1) و برای جمعیت عمومی فقط n خواهد بود.

حالا بیایید به توابع محاسبه واریانس با پایان نگاه کنیم آ،که در توضیح آن آمده است که متن و مقادیر منطقی در محاسبه در نظر گرفته شده است. که در در این موردهنگام محاسبه واریانس یک مجموعه داده خاص که در آن مقادیر غیر عددی رخ می دهد، اکسل متن و مقادیر بولی نادرست را برابر با 0 و مقادیر بولی واقعی را برابر با 1 تفسیر می کند.

بنابراین، اگر یک آرایه داده دارید، محاسبه واریانس آن با استفاده از یکی از توابع اکسل ذکر شده در بالا دشوار نخواهد بود.

انتظارات و واریانس متداول ترین مشخصه های عددی مورد استفاده هستند متغیر تصادفی. آنها مهمترین ویژگی های توزیع را مشخص می کنند: موقعیت و درجه پراکندگی آن. در بسیاری از مسائل عملی، یک مشخصه کامل و جامع از یک متغیر تصادفی - قانون توزیع - یا اصلاً به دست نمی آید یا اصلاً مورد نیاز نیست. در این موارد، یکی به توصیف تقریبی یک متغیر تصادفی با استفاده از ویژگی‌های عددی محدود می‌شود.

مقدار مورد انتظار اغلب به سادگی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی نامیده می شود. پراکندگی یک متغیر تصادفی یک مشخصه پراکندگی است، گسترش یک متغیر تصادفی در اطراف انتظارات ریاضی آن.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته

اجازه دهید به مفهوم انتظار ریاضی نزدیک شویم، ابتدا بر اساس تفسیر مکانیکی توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. اجازه دهید واحد جرم بین نقاط محور x توزیع شود ایکس1 , ایکس 2 , ..., ایکس n، و هر نقطه مادی دارای جرم مربوطه است پ1 , پ 2 , ..., پ n. لازم است یک نقطه در محور آبسیسا انتخاب شود که موقعیت کل سیستم نقاط مادی را با در نظر گرفتن جرم آنها مشخص می کند. طبیعی است که مرکز جرم سیستم نقاط مادی را چنین نقطه ای در نظر بگیریم. این میانگین وزنی متغیر تصادفی است ایکس، که به آن آبسیسه هر نقطه ایکسمنبا "وزن" برابر با احتمال مربوطه وارد می شود. مقدار متوسط ​​متغیر تصادفی از این طریق به دست می آید ایکسنامیده می شود انتظارات ریاضی.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن آن و احتمالات این مقادیر است:

مثال 1.قرعه کشی برد-برد برگزار شده است. 1000 برد وجود دارد که 400 آن 10 روبل است. هر کدام 300-20 روبل. هر کدام 200 تا 100 روبل. و هر کدام 100 - 200 روبل. میانگین برد برای کسی که یک بلیط می خرد چقدر است؟

راه حل. اگر مجموع بردها را که 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل است، بر 1000 (مجموع برنده) تقسیم کنیم، میانگین برد را پیدا خواهیم کرد. سپس 50000/1000 = 50 روبل می گیریم. اما عبارت برای محاسبه میانگین برد را می توان به شکل زیر ارائه کرد:

از سوی دیگر، در این شرایط، اندازه برنده یک متغیر تصادفی است که می تواند مقادیر 10، 20، 100 و 200 روبل را به خود اختصاص دهد. با احتمالات به ترتیب برابر با 0.4; 0.3; 0.2; 0.1. بنابراین، میانگین سود مورد انتظار برابر با مجموعمحصولات با اندازه برد و احتمال دریافت آنها.

مثال 2.ناشر تصمیم به انتشار گرفت کتاب جدید. او قصد دارد این کتاب را به قیمت 280 روبل بفروشد، که از آن 200 روبل، 50 - کتابفروشی و 30 - نویسنده دریافت خواهد کرد. این جدول اطلاعاتی در مورد هزینه های چاپ کتاب و احتمال فروش تعداد معینی از نسخه های کتاب ارائه می دهد.

سود مورد انتظار ناشر را بیابید.

راه حل. متغیر تصادفی "سود" برابر است با تفاوت بین درآمد حاصل از فروش و هزینه تمام شده. به عنوان مثال، اگر 500 نسخه از یک کتاب فروخته شود، درآمد حاصل از فروش 200 * 500 = 100000 و هزینه انتشار 225000 روبل است. بنابراین، ناشر با ضرر 125000 روبلی مواجه است. جدول زیر مقادیر مورد انتظار متغیر تصادفی - سود را خلاصه می کند:

عدد	سود ایکسمن	احتمال پمن	ایکسمن پمن
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
جمع:		1,00	25000

بنابراین، انتظار ریاضی سود ناشر را بدست می آوریم:

.

مثال 3.احتمال ضربه زدن با یک شلیک پ= 0.2. مصرف پرتابه هایی را که انتظار ریاضی تعداد ضربه برابر با 5 را ارائه می دهند، تعیین کنید.

راه حل. از همان فرمول انتظار ریاضی که تاکنون استفاده کرده ایم بیان می کنیم ایکس- مصرف پوسته:

.

مثال 4.انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکستعداد ضربه با سه ضربه، در صورت احتمال ضربه با هر شلیک پ = 0,4 .

نکته: احتمال مقادیر متغیر تصادفی را بر اساس پیدا کنید فرمول برنولی .

ویژگی های انتظار ریاضی

بیایید ویژگی های انتظار ریاضی را در نظر بگیریم.

ملک 1.انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این ثابت است:

ملک 2.عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:

ملک 3.انتظار ریاضی از مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) انتظارات ریاضی آنها:

ملک 4.انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی برابر است با حاصل ضرب انتظارات ریاضی آنها:

ملک 5.اگر تمام مقادیر یک متغیر تصادفی ایکسکاهش (افزایش) به همان تعداد با، سپس انتظارات ریاضی آن به همان مقدار کاهش می یابد (افزایش می یابد):

وقتی نمی توانید خود را فقط به انتظارات ریاضی محدود کنید

در بیشتر موارد، تنها انتظار ریاضی نمی تواند به اندازه کافی متغیر تصادفی را مشخص کند.

اجازه دهید متغیرهای تصادفی ایکسو Yتوسط قوانین توزیع زیر ارائه می شود:

معنی ایکس	احتمال
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

معنی Y	احتمال
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

انتظارات ریاضی از این مقادیر یکسان است - برابر با صفر:

با این حال، الگوهای توزیع آنها متفاوت است. مقدار تصادفی ایکسفقط می تواند مقادیری را بگیرد که کمی با انتظارات ریاضی و متغیر تصادفی متفاوت است Yمی تواند مقادیری را بگیرد که به طور قابل توجهی از انتظارات ریاضی منحرف می شود. مثال مشابه: حقوق متوسط ​​امکان قضاوت را نمی دهد وزن مخصوصکارگران با دستمزد بالا و پایین به عبارت دیگر، نمی توان از روی انتظارات ریاضی قضاوت کرد که حداقل به طور متوسط ​​چه انحرافی از آن ممکن است. برای این کار باید واریانس متغیر تصادفی را پیدا کنید.

واریانس یک متغیر تصادفی گسسته

واریانسمتغیر تصادفی گسسته ایکسانتظار ریاضی مربع انحراف آن از انتظار ریاضی نامیده می شود:

انحراف معیار یک متغیر تصادفی ایکستماس گرفت مقدار حسابیجذر واریانس آن:

.

مثال 5.واریانس و انحراف معیار متغیرهای تصادفی را محاسبه کنید ایکسو Yکه قوانین توزیع آن در جداول بالا آورده شده است.

راه حل. انتظارات ریاضی از متغیرهای تصادفی ایکسو Yهمانطور که در بالا مشاهده شد، برابر با صفر هستند. با توجه به فرمول پراکندگی در E(ایکس)=E(y)=0 دریافت می کنیم:

سپس انحراف معیار متغیرهای تصادفی ایکسو Yآرایش

.

بنابراین، با همان انتظارات ریاضی، واریانس متغیر تصادفی ایکسبسیار کوچک، اما یک متغیر تصادفی Y- قابل توجه. این نتیجه تفاوت در توزیع آنها است.

مثال 6.سرمایه گذار دارای 4 پروژه سرمایه گذاری جایگزین است. جدول سود مورد انتظار در این پروژه ها را با احتمال مربوطه خلاصه می کند.

پروژه 1	پروژه 2	پروژه 3	پروژه 4
500, پ=1	1000, پ=0,5	500, پ=0,5	500, پ=0,5
	0, پ=0,5	1000, پ=0,25	10500, پ=0,25
		0, پ=0,25	9500, پ=0,25

انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار را برای هر جایگزین بیابید.

راه حل. اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این مقادیر برای گزینه سوم محاسبه می شود:

جدول مقادیر یافت شده را برای همه گزینه ها خلاصه می کند.

همه جایگزین ها انتظارات ریاضی یکسانی دارند. این بدان معناست که در دراز مدت همه درآمد یکسانی دارند. انحراف استاندارد را می توان به عنوان معیاری از ریسک تفسیر کرد - هر چه بیشتر باشد، ریسک سرمایه گذاری بیشتر می شود. سرمایه‌گذاری که ریسک زیادی نمی‌خواهد، پروژه 1 را انتخاب می‌کند زیرا دارای کمترین انحراف استاندارد (0) است. اگر سرمایه‌گذار ریسک و بازدهی بالا را در یک دوره کوتاه ترجیح دهد، پروژه‌ای را انتخاب می‌کند که بیشترین را داشته باشد انحراف معیار- پروژه 4.

خواص پراکندگی

اجازه دهید خواص پراکندگی را ارائه دهیم.

ملک 1.واریانس یک مقدار ثابت صفر است:

ملک 2.ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

.

ملک 3.واریانس یک متغیر تصادفی برابر با انتظار ریاضی مربع این مقدار است که مجذور انتظارات ریاضی خود مقدار از آن کم می شود:

,

جایی که .

ملک 4.واریانس مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) واریانس آنها:

مثال 7.مشخص است که یک متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار را می گیرد: -3 و 7. علاوه بر این، انتظارات ریاضی مشخص است: E(ایکس) = 4 . واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید با نشان دادن پاحتمالی که یک متغیر تصادفی مقداری را می گیرد ایکس1 = −3 . سپس احتمال مقدار ایکس2 = 7 1 خواهد بود پ. اجازه دهید معادله انتظار ریاضی را استخراج کنیم:

E(ایکس) = ایکس 1 پ + ایکس 2 (1 − پ) = −3پ + 7(1 − پ) = 4 ,

جایی که احتمالات را بدست می آوریم: پ= 0.3 و 1 - پ = 0,7 .

قانون توزیع یک متغیر تصادفی:

ایکس	−3	7
پ	0,3	0,7

ما واریانس این متغیر تصادفی را با استفاده از فرمول از ویژگی 3 پراکندگی محاسبه می کنیم:

D(ایکس) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را خودتان پیدا کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 8.متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار می گیرد. بزرگتر از مقادیر 3 را با احتمال 0.4 می پذیرد. علاوه بر این، واریانس متغیر تصادفی مشخص است D(ایکس) = 6. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

مثال 9. 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه در کوزه وجود دارد. 3 توپ از کوزه کشیده می شود. تعداد توپ های سفید در بین توپ های کشیده شده یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس. انتظارات ریاضی و واریانس این متغیر تصادفی را بیابید.

راه حل. مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2، 3 را بگیرد. احتمالات مربوطه را می توان از قانون ضرب احتمال. قانون توزیع یک متغیر تصادفی:

ایکس	0	1	2	3
پ	1/30	3/10	1/2	1/6

بنابراین انتظار ریاضی از این متغیر تصادفی:

م(ایکس) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

واریانس یک متغیر تصادفی داده شده عبارت است از:

D(ایکس) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

انتظار و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته

برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تفسیر مکانیکی انتظار ریاضی همان معنی را حفظ خواهد کرد: مرکز جرم برای یک واحد جرم که به طور پیوسته روی محور x با چگالی توزیع شده است. f(ایکس). بر خلاف یک متغیر تصادفی گسسته که آرگومان تابع آن ایکسمنبه طور ناگهانی تغییر می کند؛ برای یک متغیر تصادفی پیوسته، آرگومان به طور مداوم تغییر می کند. اما انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته با مقدار میانگین آن نیز مرتبط است.

برای یافتن انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته، باید انتگرال های معین را پیدا کنید. . اگر تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته داده شود، آنگاه مستقیماً وارد انتگرال می شود. اگر تابع توزیع احتمال داده شود، با تفکیک آن، باید تابع چگالی را پیدا کنید.

میانگین حسابی تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته آن نامیده می شود انتظارات ریاضی، با یا نشان داده می شود.

شاخص های تعمیم دهنده اصلی تنوع در آمار، واریانس ها و میانگین ها هستند. انحراف معیار.

پراکندگی این میانگین حسابی مجذور انحرافات هر مقدار مشخصه از میانگین کلی. واریانس معمولاً مربع میانگین انحراف نامیده می شود و با  2 نشان داده می شود. بسته به داده های منبع، واریانس را می توان با استفاده از میانگین حسابی ساده یا وزنی محاسبه کرد:

 واریانس بدون وزن (ساده).

 وزن واریانس.

انحراف معیار این یک مشخصه تعمیم دهنده اندازه های مطلق است تغییرات علائم در مجموع در همان واحدهای اندازه گیری مشخصه (بر حسب متر، تن، درصد، هکتار و غیره) بیان می شود.

انحراف معیار جذر واریانس است و با  نشان داده می شود:

 انحراف معیار بدون وزن.

 انحراف معیار وزنی.

انحراف معیار معیاری برای پایایی میانگین است. هرچه انحراف معیار کوچکتر باشد، میانگین حسابی کل جامعه نمایش داده شده را بهتر نشان می دهد.

قبل از محاسبه انحراف معیار محاسبه واریانس انجام می شود.

روش محاسبه واریانس وزنی به شرح زیر است:

1) میانگین حسابی وزنی را تعیین کنید:

2) محاسبه انحراف گزینه ها از میانگین:

3) مربع انحراف هر گزینه از میانگین:

4) مجذور انحرافات را در وزن ها (فرکانس ها) ضرب کنید:

5) محصولات حاصل را خلاصه کنید:

6) مقدار حاصل بر مجموع اوزان تقسیم می شود:

مثال 2.1

بیایید میانگین حسابی وزنی را محاسبه کنیم:

مقادیر انحراف از میانگین و مربع آنها در جدول ارائه شده است. بیایید واریانس را تعریف کنیم:

انحراف معیار برابر خواهد بود با:

اگر داده های منبع به صورت بازه ای ارائه شود سری توزیع ، ابتدا باید مقدار گسسته مشخصه را تعیین کنید و سپس روش توصیف شده را اعمال کنید.

مثال 2.2

اجازه دهید محاسبه واریانس را برای یک سری بازه ای با استفاده از داده های مربوط به توزیع سطح کاشت یک مزرعه جمعی بر اساس عملکرد گندم نشان دهیم.

میانگین حسابی عبارت است از:

بیایید واریانس را محاسبه کنیم:

6.3. محاسبه واریانس با استفاده از فرمول بر اساس داده های فردی

تکنیک محاسبه واریانس ها پیچیده است و با مقادیر زیاد گزینه ها و فرکانس ها می تواند دست و پا گیر باشد. محاسبات را می توان با استفاده از خواص پراکندگی ساده کرد.

پراکندگی دارای خواص زیر است.

1. کاهش یا افزایش وزن (فرکانس) یک مشخصه متغیر به تعداد معینی، پراکندگی را تغییر نمی دهد.

2. هر مقدار از یک مشخصه را به همان مقدار ثابت کاهش یا افزایش دهید آپراکندگی را تغییر نمی دهد.

3. هر مقدار از یک مشخصه را به تعداد معینی کاهش یا افزایش دهید کبه ترتیب واریانس در را کاهش یا افزایش می دهد ک 2 بار انحراف معیار  در کیک بار.

4. پراکندگی یک مشخصه نسبت به یک مقدار دلخواه همیشه بیشتر از پراکندگی نسبت به میانگین حسابی در هر مربع از تفاوت بین مقادیر متوسط ​​و دلخواه است:

اگر آ 0، سپس به تساوی زیر می رسیم:

یعنی واریانس مشخصه برابر است با اختلاف مجذور میانگین مقادیر مشخصه و مجذور میانگین.

هر ویژگی را می توان به طور مستقل یا در ترکیب با دیگران در هنگام محاسبه واریانس استفاده کرد.

روش محاسبه واریانس ساده است:

1) تعیین کنید میانگین حسابی :

2) مجذور میانگین حسابی:

3) مربع انحراف هر یک از انواع سری:

ایکس من 2 .

4) مجموع مربع های گزینه ها را بیابید:

5) مجموع مربع های گزینه ها را بر تعداد آنها تقسیم کنید، یعنی مربع میانگین را تعیین کنید:

6) تفاوت بین میانگین مربع مشخصه و مربع میانگین را تعیین کنید:

مثال 3.1داده های زیر در مورد بهره وری کارگران موجود است:

بیایید محاسبات زیر را انجام دهیم: