Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya. Mewakili ekspresi sebagai kekuatan Menggunakan sifat-sifat kekuatan

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan pangkat. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti tanda kurung buka dan membawa suku serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat derajat, dll.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi kekuatan?

Istilah “ekspresi pangkat” praktis tidak muncul dalam buku pelajaran matematika sekolah, namun cukup sering muncul dalam kumpulan soal, terutama yang ditujukan untuk persiapan UN dan UN Unified State, misalnya. Setelah menganalisis tugas-tugas di mana perlu untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi pangkat, menjadi jelas bahwa ekspresi pangkat dipahami sebagai ekspresi yang mengandung pangkat dalam entrinya. Oleh karena itu, Anda dapat menerima sendiri definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung derajat.

Mari kita memberi contoh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya akan kami sajikan menurut bagaimana perkembangan pandangan dari derajat yang berpangkat natural ke pangkat yang berpangkat riil terjadi.

Seperti diketahui, pertama-tama kita mengenal pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami; pada tahap ini, ekspresi pangkat paling sederhana pertama dari jenis 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 muncul −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Di sekolah menengah mereka kembali ke gelar. Di sana derajat dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang memerlukan munculnya ekspresi pangkat yang sesuai: , , dan seterusnya. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus eksponen, dan, misalnya, muncul ekspresi berikut: 2 x 2 +1 atau . Dan setelah mengenal , ekspresi dengan pangkat dan logaritma mulai muncul, misalnya x 2·lgx −5·x lgx.

Jadi, kita telah membahas pertanyaan tentang apa yang diwakili oleh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya kita akan belajar mengonversinya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi pangkat, Anda dapat melakukan transformasi identitas dasar ekspresi apa pun. Misalnya, Anda dapat membuka tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan istilah serupa, dll. Secara alami, dalam hal ini, perlu mengikuti prosedur yang diterima dalam melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 −12) .

Larutan.

Menurut urutan pelaksanaan tindakan, pertama-tama lakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kita mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (jika perlu, lihat), dan kedua, kita menghitung selisihnya 16−12=4. Kita punya 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8, setelah itu kita menghitung hasil kali 8·4=32. Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Menjawab:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi dengan pangkat 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Larutan.

Jelas sekali, ungkapan ini mengandung suku-suku serupa 3·a 4 ·b −7 dan 2·a 4 ·b −7 , dan kita dapat menyajikannya: .

Menjawab:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Larutan.

Anda dapat mengatasi tugas tersebut dengan menyatakan angka 9 sebagai pangkat 3 2 dan kemudian menggunakan rumus perkalian yang disingkat - selisih kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat secara khusus pada ekspresi kekuasaan. Kami akan menganalisisnya lebih lanjut.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat yang basis dan/atau eksponennya bukan sekadar angka atau variabel, melainkan beberapa ekspresi. Sebagai contoh, kami memberikan entri (2+0.3·7) 5−3.7 dan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, Anda dapat mengganti ekspresi dasar derajat dan ekspresi eksponen dengan ekspresi identik yang sama dalam ODZ variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat mengubah basis derajat dan eksponen secara terpisah. Jelas bahwa sebagai hasil transformasi ini akan diperoleh ekspresi yang identik dengan ekspresi aslinya.

Transformasi seperti itu memungkinkan kita menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita perlukan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat yang disebutkan di atas (2+0.3 7) 5−3.7, Anda dapat melakukan operasi dengan bilangan dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda berpindah ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa ke pangkat dasar (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), kita memperoleh ekspresi pangkat dalam bentuk yang lebih sederhana a 2·(x+ 1) .

Menggunakan Properti Derajat

Salah satu alat utama untuk mentransformasikan ekspresi dengan kekuatan adalah kesetaraan yang mencerminkan . Mari kita mengingat kembali yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b serta bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat pangkat berikut ini benar:

• a r ·as =a r+s ;
• sebuah r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:br ;
• (a r) s =a r·s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, bilangan bulat, dan positif, batasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n persamaan am ·a n =am+n berlaku tidak hanya untuk a positif, tetapi juga untuk a negatif, dan untuk a=0.

Di sekolah, fokus utama dalam mentransformasikan ekspresi kekuasaan adalah pada kemampuan memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan properti derajat digunakan tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis pangkat - kisaran nilai variabel yang diizinkan biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif, yang memungkinkan Anda untuk secara bebas menggunakan properti pangkat . Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin menggunakan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan nilai pendidikan dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan sifat-sifat pangkat. Di sini kita akan membatasi diri untuk mempertimbangkan beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan persamaan a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 sebagai pangkat dengan basis a.

Larutan.

Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) −3 menggunakan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ekspresi pangkat asli akan berbentuk a 2.5 ·a −6:a −5.5. Jelasnya, tetap menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama, yang kita miliki
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Sifat-sifat pangkat saat mentransformasikan ekspresi pangkat digunakan baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi pangkat.

Larutan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r, diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan kita berpindah dari ekspresi asli ke hasil kali bentuk dan selanjutnya. Dan ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan: .

Ekspresi aslinya dapat diubah dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diketahui persamaan pangkat a 1.5 −a 0.5 −6, masukkan variabel baru t=a 0.5.

Larutan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai a 0,5 3 dan kemudian, berdasarkan sifat derajat ke derajat (ar) s =ar s, diterapkan dari kanan ke kiri, ubah menjadi bentuk (a 0,5) 3. Dengan demikian, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5, kita mendapatkan t 3 −t−6.

Menjawab:

t 3 −t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung pangkat

Ekspresi pangkat dapat memuat atau mewakili pecahan yang mempunyai pangkat. Transformasi dasar pecahan apa pun yang melekat pada pecahan apa pun dapat diterapkan sepenuhnya pada pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung pangkat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, dikerjakan secara terpisah dengan pembilangnya dan terpisah dengan penyebutnya, dan seterusnya. Untuk mengilustrasikan kata-kata ini, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi kekuatan .

Larutan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilangnya kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan menggunakan sifat-sifat pangkat, dan di penyebut kami menyajikan suku-suku serupa:

Dan mari kita ubah juga tanda penyebutnya dengan memberi tanda minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat menjadi penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional menjadi penyebut baru. Dalam hal ini, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang serta penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan VA. Untuk mencegah hal ini terjadi, faktor tambahan harus tidak menjadi nol untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi aslinya.

Contoh.

Kurangi pecahan menjadi penyebut baru: a) menjadi penyebut a, b) ke penyebutnya.

Larutan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui pengganda tambahan mana yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali dari a 0,3, karena a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), pangkat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kita berhak mengalikan pembilang dan penyebut suatu bilangan tertentu. pecahan dengan faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat penyebutnya, Anda akan menemukannya

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan menghasilkan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang perlu kita kurangi pecahan aslinya.

Inilah cara kami menemukan faktor tambahan. Dalam kisaran nilai variabel x dan y yang dapat diterima, ekspresi tersebut tidak hilang, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu:

Menjawab:

A) , B) .

Juga bukan hal baru dalam mereduksi pecahan yang mengandung pangkat: pembilang dan penyebutnya direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebutnya sama.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , B) .

Larutan.

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yaitu sama dengan 15. Jelas juga dimungkinkan untuk melakukan pengurangan sebesar x 0,5 +1 dan sebesar . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebutnya tidak langsung terlihat sama. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari memfaktorkan penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat:

Menjawab:

A)

B) .

Mengonversi pecahan menjadi penyebut baru dan mereduksi pecahan terutama digunakan untuk mengerjakan sesuatu dengan pecahan. Tindakan dilakukan menurut aturan yang diketahui. Saat menjumlahkan (mengurangi) pecahan, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya dijumlahkan (dikurangi), tetapi penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Larutan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , setelah itu kita kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahannya:

Jelasnya, kita bisa menguranginya dengan pangkat x 1/2, setelah itu kita punya .

Anda juga dapat menyederhanakan persamaan pangkat pada penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Kekuatan .

Larutan.

Jelasnya, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, sehingga menghasilkan pecahan . Jelas bahwa ada hal lain yang perlu dilakukan dengan kekuatan X. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk memanfaatkan sifat membagi kekuasaan dengan alasan yang sama: . Dan di akhir proses kita berpindah dari hasil kali terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan mari kita tambahkan juga bahwa adalah mungkin, dan dalam banyak kasus diinginkan, untuk memindahkan faktor-faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang, dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering kali menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi pangkat dapat diganti dengan .

Mengonversi ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali, dalam ekspresi yang memerlukan beberapa transformasi, akar dengan eksponen pecahan juga terdapat bersama dengan pangkat. Untuk mengubah ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya menuju ke akar atau hanya ke pangkat. Tapi karena lebih nyaman bekerja dengan kekuatan, mereka biasanya berpindah dari akar ke kekuatan. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa perlu merujuk ke modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kita membahas ini secara rinci di artikel transisi dari akar ke pangkat dan kembali Setelah mengenal derajat dengan eksponen rasional, derajat dengan eksponen irasional diperkenalkan, yang memungkinkan kita untuk berbicara tentang derajat dengan eksponen nyata yang berubah-ubah.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial, yang secara analitis diberikan oleh suatu pangkat, yang basisnya adalah bilangan, dan eksponennya adalah variabel. Jadi kita dihadapkan pada ekspresi pangkat yang berisi angka-angka dalam basis pangkat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja ada kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan ketika menyelesaikan persamaan eksponensial Dan ketidaksetaraan eksponensial, dan konversi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan ini akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pertama, pangkat, yang eksponennya merupakan jumlah dari variabel tertentu (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, diganti dengan hasil kali. Hal ini berlaku untuk suku pertama dan suku terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Selanjutnya kedua ruas persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x, yang pada ODZ variabel x untuk persamaan awal hanya mengambil nilai positif (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang kita bisa menghilangkan pecahan dengan pangkat yang memberi .

Terakhir, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat hubungan, sehingga menghasilkan persamaan , yang setara . Transformasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk memasukkan variabel baru, yang mereduksi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

I.V.Boykov, L.D. Romanova Kumpulan tugas untuk persiapan Ujian Negara Bersatu. Bagian 1. Penza 2003.

Mari kita pertimbangkan topik transformasi ekspresi dengan pangkat, tetapi pertama-tama mari kita bahas sejumlah transformasi yang dapat dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat. Kita akan mempelajari cara membuka tanda kurung, menjumlahkan suku-suku serupa, menggunakan basis dan eksponen, serta menggunakan sifat-sifat pangkat.

Yandex.RTB RA-339285-1

Apa yang dimaksud dengan ekspresi kekuatan?

Dalam kursus sekolah, hanya sedikit orang yang menggunakan ungkapan “ekspresi yang kuat”, tetapi istilah ini selalu ditemukan dalam kumpulan persiapan Ujian Negara Bersatu. Dalam kebanyakan kasus, sebuah frase menunjukkan ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Inilah yang akan kami refleksikan dalam definisi kami.

Definisi 1

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung derajat.

Mari kita berikan beberapa contoh ekspresi pangkat, dimulai dengan pangkat dengan eksponen alami dan diakhiri dengan pangkat dengan eksponen nyata.

Ekspresi pangkat paling sederhana dapat dianggap pangkat suatu bilangan dengan eksponen natural: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + sebuah 2, x 3 − 1 , (sebuah 2) 3 . Dan juga pangkat dengan eksponen nol: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Dan pangkat dengan bilangan bulat negatif: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Sedikit lebih sulit untuk bekerja dengan derajat yang memiliki eksponen rasional dan irasional: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikatornya dapat berupa variabel 3 x - 54 - 7 3 x - 58 atau logaritma x 2 · aku g x − 5 · x aku g x.

Kita telah membahas pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuasaan. Sekarang mari kita mulai mengonversinya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Pertama-tama, kita akan melihat transformasi identitas dasar dari ekspresi yang dapat dilakukan dengan ekspresi pangkat.

Contoh 1

Hitung nilai ekspresi pangkat 2 3 (4 2 − 12).

Larutan

Kami akan melakukan semua transformasi sesuai dengan prosedur. Dalam hal ini, kita akan mulai dengan melakukan tindakan dalam tanda kurung: kita akan mengganti derajat dengan nilai digital dan menghitung selisih dua angka. Kita punya 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Yang harus kita lakukan hanyalah mengganti derajatnya 2 3 artinya 8 dan menghitung produknya 8 4 = 32. Inilah jawaban kami.

Menjawab: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Contoh 2

Sederhanakan ekspresi dengan kekuatan 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Larutan

Ekspresi yang diberikan kepada kita dalam rumusan masalah mengandung istilah serupa yang dapat kita berikan: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Menjawab: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Contoh 3

Nyatakan persamaan dengan pangkat 9 - b 3 · π - 1 2 sebagai hasil kali.

Larutan

Mari kita bayangkan angka 9 sebagai sebuah pangkat 3 2 dan terapkan rumus perkalian yang disingkat:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Menjawab: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Sekarang mari kita beralih ke analisis transformasi identitas yang dapat diterapkan secara khusus pada ekspresi pangkat.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Derajat dalam basis atau eksponen dapat berupa angka, variabel, dan beberapa ekspresi. Misalnya, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Dan . Sulit untuk bekerja dengan catatan seperti itu. Jauh lebih mudah untuk mengganti ekspresi dasar derajat atau ekspresi eksponen dengan ekspresi yang identik sama.

Transformasi derajat dan eksponen dilakukan menurut aturan yang kita ketahui secara terpisah satu sama lain. Yang terpenting adalah transformasi tersebut menghasilkan ekspresi yang identik dengan aslinya.

Tujuan transformasi adalah untuk menyederhanakan ekspresi asli atau memperoleh solusi dari suatu masalah. Misalnya pada contoh yang kami berikan di atas, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Anda dapat mengikuti langkah-langkah untuk menuju ke derajat 4 , 1 1 , 3 . Dengan membuka tanda kurung, kita dapat menampilkan suku-suku serupa dengan dasar pangkat (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) dan memperoleh ekspresi pangkat dalam bentuk yang lebih sederhana sebuah 2 (x + 1).

Menggunakan Properti Derajat

Sifat-sifat pangkat, yang ditulis dalam bentuk persamaan, merupakan salah satu alat utama untuk mentransformasikan ekspresi dengan pangkat. Di sini kami menyajikan yang utama, dengan mempertimbangkan hal itu A Dan B adalah bilangan positif apa pun, dan R Dan S- bilangan real sembarang:

Definisi 2

• a r · a s = a r + s ;
• sebuah r: sebuah s = sebuah r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Dalam kasus di mana kita berurusan dengan eksponen natural, bilangan bulat, dan positif, pembatasan pada bilangan a dan b bisa jauh lebih longgar. Misalnya, jika kita mempertimbangkan kesetaraan saya · sebuah n = saya + n, Di mana M Dan N adalah bilangan asli, maka berlaku untuk sembarang nilai a, baik positif maupun negatif, serta untuk sebuah = 0.

Sifat-sifat pangkat dapat digunakan tanpa batasan dalam kasus di mana basis pangkatnya positif atau mengandung variabel yang rentang nilai yang diizinkan sedemikian rupa sehingga basisnya hanya mengambil nilai positif saja. Padahal, dalam kurikulum matematika sekolah, tugas siswa adalah memilih sifat yang sesuai dan menerapkannya dengan benar.

Saat mempersiapkan diri untuk masuk universitas, Anda mungkin menghadapi masalah di mana penerapan properti yang tidak akurat akan menyebabkan penyempitan DL dan kesulitan lain dalam penyelesaiannya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas dua kasus seperti itu. Informasi lebih lanjut mengenai subjek ini dapat ditemukan di topik “Mengonversi ekspresi menggunakan properti pangkat”.

Contoh 4

Bayangkan ekspresinya sebuah 2 , 5 (sebuah 2) − 3: sebuah − 5 , 5 dalam bentuk kekuatan dengan basis A.

Larutan

Pertama, kita menggunakan sifat eksponensial dan mentransformasikan faktor kedua dengan menggunakannya (Sebuah 2) − 3. Kemudian kita menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = sebuah 2 .

Menjawab: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformasi ekspresi kekuasaan menurut sifat-sifat kekuasaan dapat dilakukan baik dari kiri ke kanan maupun dalam arah sebaliknya.

Contoh 5

Temukan nilai ekspresi pangkat 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Larutan

Jika kita menerapkan kesetaraan (a · b) r = a r · b r, dari kanan ke kiri, kita mendapatkan hasil kali berbentuk 3 · 7 1 3 · 21 2 3 lalu 21 1 3 · 21 2 3 . Mari kita jumlahkan eksponennya saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Ada cara lain untuk melakukan transformasi:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Menjawab: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Contoh 6

Diberikan ekspresi kekuatan a 1, 5 − a 0, 5 − 6, masukkan variabel baru t = a 0,5.

Larutan

Mari kita bayangkan derajatnya sebuah 1, 5 Bagaimana sebuah 0,5 3. Menggunakan properti derajat ke derajat (a r) s = a r · s dari kanan ke kiri dan kita peroleh (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Anda dapat dengan mudah memasukkan variabel baru ke dalam ekspresi yang dihasilkan t = a 0,5: kita mendapatkan t 3 − t − 6.

Menjawab: t 3 − t − 6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung pangkat

Kita biasanya menangani dua versi ekspresi pangkat dengan pecahan: ekspresi mewakili pecahan dengan pangkat atau berisi pecahan tersebut. Semua transformasi dasar pecahan dapat diterapkan pada ekspresi tersebut tanpa batasan. Mereka dapat dikurangi, dibawa ke penyebut baru, atau dikerjakan secara terpisah dengan pembilang dan penyebutnya. Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh.

Contoh 7

Sederhanakan persamaan pangkat 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Larutan

Kita berurusan dengan pecahan, jadi kita akan melakukan transformasi pada pembilang dan penyebutnya:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Beri tanda minus di depan pecahan untuk mengubah tanda penyebutnya: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Menjawab: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Pecahan yang mengandung pangkat direduksi menjadi penyebut baru dengan cara yang sama seperti pecahan rasional. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari faktor tambahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tersebut. Penting untuk memilih faktor tambahan sedemikian rupa sehingga tidak menjadi nol untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi aslinya.

Contoh 8

Kurangi pecahan menjadi penyebut baru: a) a + 1 a 0, 7 menjadi penyebut A, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 dengan penyebut x + 8 · y 1 2 .

Larutan

a) Mari kita pilih faktor yang memungkinkan kita mereduksinya menjadi penyebut baru. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, oleh karena itu, kami akan mengambil sebagai faktor tambahan sebuah 0 , 3. Kisaran nilai yang diizinkan dari variabel a mencakup himpunan semua bilangan real positif. Gelar di bidang ini sebuah 0 , 3 tidak menuju nol.

Kalikan pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan sebuah 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Mari kita perhatikan penyebutnya:

x 2 3 - 2 x 1 3 kamu 1 6 + 4 kamu 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 kamu 1 6 + 2 kamu 1 6 2

Mari kita kalikan ekspresi ini dengan x 1 3 + 2 · y 1 6, kita mendapatkan jumlah kubus x 1 3 dan 2 · y 1 6, yaitu. x + 8 · kamu 1 2 . Ini adalah penyebut baru kita yang perlu kita kurangi pecahan aslinya.

Beginilah cara kita mencari faktor tambahan x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pada kisaran nilai variabel yang diperbolehkan X Dan kamu ekspresi x 1 3 + 2 y 1 6 tidak hilang, oleh karena itu, pembilang dan penyebut pecahan dapat kita kalikan dengan itu:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 tahun 1 6 x 1 3 3 + 2 tahun 1 6 3 = x 1 3 + 2 tahun 1 6 x + 8 tahun 1 2

Menjawab: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · kamu 1 2 .

Contoh 9

Kurangi pecahan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Larutan

a) Kita menggunakan penyebut terbesar (PBB), yang dengannya kita dapat mengurangi pembilang dan penyebutnya. Untuk angka 30 dan 45 adalah 15. Kita juga bisa melakukan pengurangan sebesar x0,5+1 dan pada x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Kita mendapatkan:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Di sini keberadaan faktor-faktor yang identik tidak terlihat jelas. Anda harus melakukan beberapa transformasi untuk mendapatkan faktor pembilang dan penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, kita perluas penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Menjawab: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operasi dasar pecahan meliputi pengubahan pecahan menjadi penyebut baru dan pengurangan pecahan. Kedua tindakan tersebut dilakukan sesuai dengan sejumlah aturan. Saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan, pertama-tama pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu operasi (penjumlahan atau pengurangan) dilakukan dengan pembilangnya. Penyebutnya tetap sama. Hasil dari tindakan kita adalah pecahan baru, yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya.

Contoh 10

Lakukan langkah x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Larutan

Mari kita mulai dengan mengurangkan pecahan yang ada di dalam tanda kurung. Mari kita bawa mereka ke penyebut yang sama:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Mari kita kurangi pembilangnya:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sekarang kita mengalikan pecahannya:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Mari kita kurangi dengan kekuatan x 1 2, kita mendapatkan 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Selain itu, Anda dapat menyederhanakan persamaan pangkat pada penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat: kuadrat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Menjawab: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Contoh 11

Sederhanakan persamaan hukum pangkat x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Larutan

Kita dapat mengurangi pecahan tersebut sebesar (x 2 , 7 + 1) 2. Kita mendapatkan pecahan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Mari lanjutkan transformasi pangkat dari x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Sekarang kamu dapat menggunakan sifat pembagian pangkat dengan basis yang sama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7+1.

Kita berpindah dari hasil kali terakhir ke pecahan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Menjawab: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Dalam kebanyakan kasus, akan lebih mudah untuk memindahkan faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut dan sebaliknya, dengan mengubah tanda eksponen. Tindakan ini memungkinkan Anda menyederhanakan keputusan selanjutnya. Mari kita beri contoh: ekspresi pangkat (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 dapat diganti dengan x 3 · (x + 1) 0, 2.

Mengonversi ekspresi dengan akar dan pangkat

Dalam soal terdapat ekspresi pangkat yang tidak hanya berisi pangkat dengan eksponen pecahan, tetapi juga akar. Dianjurkan untuk mereduksi ekspresi seperti itu hanya menjadi akar atau hanya menjadi pangkat. Mengambil gelar lebih disukai karena lebih mudah untuk dikerjakan. Transisi ini terutama lebih disukai ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa perlu mengakses modulus atau membagi ODZ menjadi beberapa interval.

Contoh 12

Nyatakan persamaan x 1 9 · x · x 3 6 sebagai pangkat.

Larutan

Rentang nilai variabel yang diizinkan X didefinisikan oleh dua pertidaksamaan x ≥ 0 dan x x 3 ≥ 0, yang mendefinisikan himpunan [ 0 , + ∞) .

Di set ini kami memiliki hak untuk berpindah dari akar ke kekuasaan:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat, kita menyederhanakan ekspresi pangkat yang dihasilkan.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Menjawab: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Mengonversi pangkat dengan variabel dalam eksponen

Transformasi ini cukup mudah dilakukan jika Anda menggunakan properti derajat dengan benar. Misalnya, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Kita dapat menggantinya dengan hasil kali pangkat, yang eksponennya merupakan jumlah dari suatu variabel dan suatu bilangan. Di sisi kiri, hal ini dapat dilakukan dengan suku pertama dan terakhir di sisi kiri ekspresi:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Sekarang mari kita bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan 7 2x. Ekspresi untuk variabel x ini hanya mengambil nilai positif:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Mari kita kurangi pecahan dengan pangkat, kita peroleh: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Terakhir, perbandingan pangkat yang eksponennya sama diganti dengan pangkat perbandingan, sehingga diperoleh persamaan 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, yang setara dengan 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Mari kita masukkan variabel baru t = 5 7 x, yang mereduksi penyelesaian persamaan eksponensial awal menjadi penyelesaian persamaan kuadrat 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Mengubah ekspresi dengan pangkat dan logaritma

Ekspresi yang mengandung pangkat dan logaritma juga ditemukan dalam soal. Contoh ekspresi tersebut adalah: 1 4 1 - 5 · log 2 3 atau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformasi ekspresi tersebut dilakukan dengan menggunakan pendekatan dan sifat logaritma yang dibahas di atas, yang telah kita bahas secara rinci dalam topik “Transformasi ekspresi logaritma”.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

ringkasan presentasi lainnya

“Metode penyelesaian sistem persamaan linear” - Persamaan. Ekspresi. Metode penyelesaian sistem persamaan linear. Solusi. Metode substitusi. Nomor. Memecahkan sistem. Kami akan menemukannya. Metode penambahan. Mari kita selesaikan sistemnya.

"Metode faktorisasi" - Pengurangan pecahan aljabar. Selesaikan persamaannya. Memfaktorkan polinomial. Identitas. Hasil utama. Memfaktorkan polinomial menggunakan kombinasi. Mari kita pertimbangkan situasi lain. Mari kita gunakan faktorisasi polinomial. Pembagi persekutuan terbesar dari koefisien-koefisien tersebut. Memfaktorkan polinomial menggunakan rumus. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Anjak piutang adalah hal yang berguna.

""Derajat" kelas 7" - Selesaikan persamaan. Temukan K dalam persamaan tersebut dan nyatakan sebagai pangkat. Menghitung. Nomor 625. Penghitungan lisan. Nyatakan persamaan tersebut dalam bentuk pangkat dengan basis 7. Tuliskan dalam bentuk standar. Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural. Persamaan dengan modulus. Menyelesaikan masalah. Nomor 64. Kemajuan pelajaran. Tujuan pelajaran. Nomor 729. Tes kerja.

“Bentuk standar monomial” - Baca ekspresinya. Mari kita gunakan hukum perkalian komutatif dan asosiatif. Di meja. Produk angka. Anggap saja sebagai gelar. Apa yang disebut dengan derajat monomial? Konsolidasi materi baru. Eksponen. Kemungkinan. Konsolidasi. Kerja praktek. monomial. Isi meja. Keterampilan komputasi siswa. Pekerjaan mandiri. Perhatikan baik-baik. Monomial dan bentuk standarnya.

"Sifat-sifat gelar dengan eksponen alami" - Prasasti pelajaran. Kasus eksponensial. Cerita. Budaya Fisik. Biologi. Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural. Ekspresikan ekspresi sebagai kekuatan. Tajuk rencana. Pythagoras. Geografi. Materi tersebut diulangi di kelas. Senam pikiran.

““Perkalian polinomial” kelas 7” - Kalikan polinomial dengan polinomial. Mengalikan polinomial. Pekerjaan rumah. Tujuan pelajaran. Algoritma untuk mengalikan polinomial. Mengalikan polinomial dengan monomial. Aturan. Pelajaran dengan topik “Perkalian polinomial.” Kerjakan sesuai buku soal. Pekerjaan lisan.