Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ. А.6.3.Хоёр шулууны огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ

Сэтгэгдэл 11

Даалгавар

Эдгээр цэгүүдийн координат ба азимут нь мэдэгдэж буй хоёр цэгээс зурсан хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгийг ол.

Өргөдөл

Амьтдын зан төлөвийг судлахын тулд радио телеметрийн аргыг ихэвчлэн ашигладаг: судалж буй объектыг тодорхой давтамжийн радио дохиог ялгаруулдаг радио дамжуулагчаар тэмдэглэж, дараа нь судлаач хүлээн авагч, хүлээн авагч антен ашиглан хянадаг. энэ объектын хөдөлгөөн. Нэг нь боломжит арга замуудобъектын яг байршлыг тодорхойлох нь хоёр өнцөгтийн арга юм. Үүнийг хийхийн тулд судлаач судалж буй объект руу координат нь мэдэгдэж буй цэгүүдээс 2 азимут авах шаардлагатай. Объектийн байршил нь эдгээр хоёр азимутын огтлолцох цэгтэй тохирно. Азимутыг илрүүлсэн цэгүүдийн координатыг хиймэл дагуулын навигатор (GPS) ашиглан авах эсвэл координатыг нь урьдчилан мэддэг лавлах цэгүүдээс авах боломжтой. Энэ тохиолдолд азимут нь ихэвчлэн градусаар хэмжигддэг дамжуулагчийн тэмдэглэсэн объектоос ирж буй хамгийн хүчтэй дохионы эх үүсвэр рүү чиглэсэн чиглэл юм.

Тооцоолохын өмнө GPS ашиглан олж авсан цэгүүдийг тооцоолсон координатын системд, жишээлбэл, харгалзах UTM бүс рүү хөрвүүлэх шаардлагатай бөгөөд үүнийг DNRGarmin ашиглан хийж болно.

Судалгаанд хамрагдаж буй объектын тооцоолсон байршил нь бодит байрлалтай хамгийн зөв тохирч байхын тулд дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

1) navigator дахь координатыг тодорхойлох алдаа аль болох бага байхын тулд цагийг хүлээхийг хичээх шаардлагатай.

2) ингэснээр азимутуудын хоорондох өнцөг нь 90 градус байх хандлагатай байдаг (дор хаяж 30-аас дээш, 150 градусаас бага байсан).

Азимутыг авах зай нь дамжуулагчийн хүрээнээс хамаардаг бол 10 м тутамд судалж буй объектоос холдох тусам азимутыг тодорхойлох алдаа нь 1 метрээр нэмэгддэг дүрэм баримталдаг. 100 м-ийн зайтай азимутыг авах үед алдаа нь 10 м байх болно.Гэхдээ энэ дүрмийг хавтгай задгай талбайд хэрэглэнэ. Тэгш бус газар нутаг, мод, бут сөөг нь дохиог хамгаалж, тусгадаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Та судалж буй объекттой ойрхон байхаас зайлсхийх хэрэгтэй, учир нь. нэгдүгээрт, хэт хүчтэй дохио нь яг тодорхой азимутыг тодорхойлоход хүндрэл учруулах, хоёрдугаарт, зарим тохиолдолд хоёр дахь азимут эхний азимут байсан цэгийн ард өнгөрдөг тул огтлолцлын цэгийг тооцоолох боломжгүй болно. авсан. Хос азимут авах хоорондох хугацааг багасгах хэрэгтэй, гэхдээ мэдээжийн хэрэг, судалж буй амьтны хөдөлгөөнөөс хамаарна.

Шийдэл

Тусламжийн тусламжтайгаар асуудал шийдэгддэг хамгийн энгийн геометрба тэгшитгэлийн системийн шийдэл.
Эхлэхийн тулд цэг ба азимутаас шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна, үүнд:

Ерөнхий тэгшитгэлээс:

ax + by + c = 0

тохиолдолд b<>0 авна

y = kx + d , хаана k=-(a/b) , d=-(c/b)

ингэснээр бид авдаг

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Бид хоёр шугамын нийтлэг цэгийн X ба Y координатыг (огтлолцох цэг) авдаг.

Тэгшитгэлд шугамууд зэрэгцээ (k1=k2) байх хоёр онцгой тохиолдлыг хангах шаардлагатай.

Бид векторууд эсвэл туяатай харьцдаггүй, өөрөөр хэлбэл шугамууд нь эхлэл, төгсгөлгүй байдаг тул сонирхлын талбайн гадна шугамын огтлолцох тохиолдлыг хангах шаардлагатай. хуурамч уулзвар. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд азимутыг худал a3 цэгээс 2 цэг хүртэл хэмжих замаар олж болно, хэрэв азимут a3 = a2 бол огтлолцол худал бол олж авсан цэгээс анхны 2 хүртэлх урвуу азимут нь тэнцүү байх ёсгүй. анхны азимутуудын нэг.

Шаардлагатай журам Avenue хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

a1rad = (90-a1)*pi/180
a2rad = (90-a2)*pi/180"хэрэв шугам нь x тэнхлэгтэй параллель байвал
хэрэв ((a1 = 0) эсвэл (a1 = 180)) бол
l1a = 1
l1b = 0
l1c = x1
өөр
l1a = -(a1rad.tan)
l1b = 1
l1c = y1 - (a1rad.tan*x1)
Төгсгөл
хэрэв ((a2 = 0) эсвэл (a2 = 180)) бол
l2a = 1
l2b = 0
l2c = x2
өөр
l2a = -(a2rad.tan)
l2b = 1
l2c = y2 - (a2rad.tan*x2)
Төгсгөл
D1 = l1a*l2b
D2 = l2a*l1b
D3 = D1 - D2
"Хэрэв мөрүүд зэрэгцээ байвал үр дүнгийн талбарт байхгүй утгыг бичнэ
хэрэв (D3 = 0) бол
resX = 9999
resY = 9999
өөрөөр resX = ((l1c*l2b) - (l2c*l1b))/D3
resY = ((l1a*l2c) - (l2a*l1c))/D3 төгсгөл

1. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд та хоёр функцийг бие биентэйгээ тэнцүүлж, дараах руу шилжүүлэх хэрэгтэй. зүүн тал$ x $ агуулсан бүх гишүүд, үлдсэн хэсгийн баруун талд гарч ирсэн тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
2. Хоёрдахь арга бол тэгшитгэлийн системийг зохиож, нэг функцийг нөгөөд орлуулах замаар шийдвэрлэх явдал юм
3. Гурав дахь арга нь функцүүдийн график бүтэц, огтлолцлын цэгийг дүрслэн харуулах явдал юм.

Хоёр шугаман функцийн тохиолдол

$ f(x) = k_1 x+m_1 $ ба $ g(x) = k_2 x + m_2 $ гэсэн хоёр шугаман функцийг авч үзье. Эдгээр функцийг шууд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг бүтээх нь хангалттай хялбар бөгөөд та $x_1$ ба $x_2$ гэсэн хоёр утгыг аваад $f(x_1)$ болон $(x_2)$-г олох хэрэгтэй. Дараа нь $ g(x) $ функцтэй ижил зүйлийг давтана. Дараа нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг нүдээр ол.

Шугаман функцууд нь зөвхөн нэг огтлолцох цэгтэй бөгөөд зөвхөн $ k_1 \neq k_2 $ үед л мэдэх ёстой. Үгүй бол $ k_1=k_2 $ тохиолдолд функцууд нь хоорондоо параллель байна, учир нь $ k $ нь налуугийн коэффициент юм. Хэрэв $ k_1 \neq k_2 $, харин $ m_1=m_2 $ бол огтлолцох цэг нь $ M(0;m) $ болно. Асуудлыг хурдан шийдвэрлэхийн тулд энэ дүрмийг санах нь зүйтэй.

Жишээ 1

$ f(x) = 2x-5 $ ба $ g(x)=x+3 $ өгье. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Хоёр шугаман функцийг танилцуулсан тул хамгийн түрүүнд $ k_1 = 2 $ ба $ k_2 = 1 $ функцүүдийн налуугийн коэффициентийг авч үзэх болно. $ k_1 \neq k_2 $ тул нэг огтлолцох цэг байгааг анхаарна уу. Үүнийг $ f(x)=g(x) $ тэгшитгэлийг ашиглан олъё: $$ 2x-5 = x+3 $$ Бид нөхцөлүүдийг $ x $-оос зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ. $$ 2x - x = 3+5 $$ Графикуудын огтлолцох цэгийн абсцисс $ x=8 $ болсон ба одоо ординатыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид $ x = 8 $-г $ f(x) $ эсвэл $ g(x) $ дахь аль нэг тэгшитгэлд орлуулна. $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Тэгэхээр $ M (8;11) $ - хоёр шугаман функцийн графикуудын огтлолцох цэг юм. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид хангах болно нарийвчилсан шийдэл. Та тооцооллын явцтай танилцаж, мэдээлэл цуглуулах боломжтой болно. Энэ нь багшийн кредитийг цаг тухайд нь авахад тусална!

Хариулт

$$ М (8;11) $$

Хоёр шугаман бус функцийн тохиолдол

Жишээ 3

Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол: $ f(x)=x^2-2x+1 $ ба $ g(x)=x^2+1 $

Шийдэл

Хоёр шугаман бус функцийг яах вэ? Алгоритм нь энгийн: бид тэгшитгэлүүдийг бие биетэйгээ тэнцүүлж, үндсийг нь олдог. $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Бид нөхцлүүдийг $ x $, үүнгүйгээр тэгшитгэлийн өөр өөр тал дээр тараадаг. $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Хүссэн цэгийн абсцисс олдсон боловч энэ нь хангалтгүй юм. Ординат $ y $ байхгүй хэвээр байна. Бодлогын мэдэгдлийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд $ x = 0 $-г орлуулна уу. Жишээлбэл: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - функцийн графикуудын огтлолцлын цэг

Хариулт

$$ М (0;1) $$

Хоёр шугам өгье, тэдгээрийн огтлолцох цэгийг олох шаардлагатай. Энэ цэг нь өгөгдсөн хоёр шулуун тус бүрт хамаарах тул координат нь эхний шугамын тэгшитгэл болон хоёр дахь шугамын тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангасан байх ёстой.

Тиймээс хоёр шулууны огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Шугамын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар хүссэн огтлолцлын цэгийн координатыг олох болно

М огтлолцох цэг нь координаттай

Түүний тэгшитгэлээс шулуун шугамыг хэрхэн байгуулахыг үзүүлье. Шугаман зурахын тулд түүний хоёр цэгийг мэдэхэд хангалттай. Эдгээр цэг бүрийг зурахын тулд бид түүний координатуудын аль нэгэнд дурын утгыг өгч, дараа нь тэгшитгэлээс нөгөө координатын харгалзах утгыг олно.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд одоогийн координат дээрх коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү биш байвал энэ шулуун шугамыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох нь зүйтэй.

Жишээ 2. Шулуун шугам байгуул.

Шийдэл. Энэ шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлүүдийг хамтдаа шийднэ.

мөн бид авдаг. Ийнхүү энэ шулуун шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцсон М цэг (3; 0) олдсон (Зураг 40).

Дараа нь өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл ба у тэнхлэгийн тэгшитгэлийг хамтад нь шийднэ

бид шугамын y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олно. Эцэст нь бид M ба хоёр цэгээс шугамыг байгуулна

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ биш бол нэг цэг дээр огтлолцоно. нээх координатууд оноо 2 шугамын огтлолцлыг график болон хоёуланг нь зөвшөөрнө арифметик арга, даалгавар нь ямар өгөгдөл өгөхөөс хамаарна.

Танд хэрэгтэй болно

• - зураг дээрх хоёр шулуун шугам;
• – 2 шулуун шугамын тэгшитгэл.

Заавар

1. График дээр шугамууд илүү нягт зурсан бол шийдлийг ол график арга. Үүнийг хийхийн тулд хоёулаа эсвэл нэг шугамыг огтлолцохоор үргэлжлүүлнэ. Үүний дараа огтлолцлын цэгийг тэмдэглээд, түүнээс перпендикулярыг x тэнхлэгт буулгана (өө, ердийнх шиг).

2. Тэнхлэг дээрх тэмдэглэгээг ашиглан тухайн цэгийн x утгыг ол. Хэрэв энэ нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлд (тэг тэмдгийн баруун талд) байвал түүний утга зөв байх болно, эс тэгвээс сөрөг байх болно.

3. Үнэн мөн уулзварын цэгийн ординатыг илрүүлнэ. Хэрэв цэгийн проекц нь тэг тэмдгээс дээш байвал зөв, доор байвал сөрөг байна. Цэгийн координатыг (x, y) хэлбэрээр бичнэ үү - энэ бол асуудлын шийдэл юм.

4. Хэрэв мөрүүдийг y=kx+b томьёо хэлбэрээр өгсөн бол та мөн асуудлыг графикаар шийдэж болно: координатын тор дээр шугам зурж, дээр дурдсан аргыг ашиглан шийдийг ол.

5. Эдгээр томъёог ашиглан асуудлын шийдлийг олохыг хичээ. Үүнийг хийхийн тулд эдгээр тэгшитгэлийн системийг бүтээж, шийднэ үү. Тэгшитгэлийг y=kx+b гэж өгвөл командаар хоёр талыг х-тэй тэнцүүлээд х-г ол. Дараа нь тэгшитгэлийн аль нэгэнд x утгыг залгаад у-г ол.

6. Крамерын аргаар шийдлийг олохыг зөвшөөрдөг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг A1x + B1y + C1 \u003d 0 ба A2x + B2y + C2 \u003d 0 хэлбэртэй болгоно. Крамерын томъёоны дагуу x \u003d - (C1B2-C2B1) / (A1B2-A2B1), y \u003d - (A1C2-A2C1) / (A1B2-A2B1). Анхаарна уу, хэрэв хуваагч нь тэгтэй тэнцүү бол шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж, огтлолцохгүй.

7. Хэрэв танд каноник хэлбэрээр орон зайд шугам өгөгдсөн бол шийдлийг хайж эхлэхээсээ өмнө шугамууд зэрэгцээ байгаа эсэхийг шалгаарай. Үүнийг хийхийн тулд x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t болон x=-1+6t, y=-1+4t, y=-1+4t гэсэн утгатай пропорциональ байвал t-ийн өмнөх илтгэгчийг үнэл. z=-5 +2t, тэгвэл шулуунууд параллель байна. Үүнээс гадна шугамууд огтлолцож болох бөгөөд энэ тохиолдолд системд шийдэл байхгүй болно.

8. Хэрэв та шугамууд огтлолцож байгааг олж мэдвэл тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг олоорой. Нэгдүгээрт, эхний мөрөнд t-г u-ээр, 2-р мөрөнд v-ээр солих замаар өөр өөр мөрүүдийн хувьсагчдыг тэнцүү болгоно. Хэрэв танд x=t-1, y=2t+1, z=t+2 ба x=t+1, y=t+1, z=2t+8 гэсэн мөрүүдийг өгвөл u-1 гэх мэт илэрхийллүүд гарна гэж бодъё. =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Нэг тэгшитгэлээс u-г илэрхийлж, нөгөө тэгшитгэлд орлуулж v-г ол (энэ бодлогод u=-2,v=-4). Одоо огтлолцох цэгийг олохын тулд олж авсан утгуудыг t-ийн оронд орлуулж (эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд ялгаа байхгүй) x=-3, y=-3, z=0 цэгийн координатыг авна. .

2-ыг огтлолцсон гэж үзэх шуудогтлолцсон хоёр шулуун нэг хавтгайд оршдог тул тэдгээрийг хавтгайд авч үзэхэд хангалттай. Эдгээрийн тэгшитгэлийг мэдэх шууд, тэдгээрийн цэгийн координатыг олохыг зөвшөөрнө уулзварууд .

Танд хэрэгтэй болно

• шугамын тэгшитгэл

Заавар

1. Декарт координатуудад шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл дараах байдлаар харагдана: Ax + By + C = 0. Хоёр шулуун огтлолц. Эхний мөрийн тэгшитгэл нь Ax + By + C = 0 хэлбэртэй, 2-р мөр - Dx + Ey + F = 0. Бүх үзүүлэлтүүдийг (A, B, C, D, E, F) зааж өгөх ёстой. цэг олохын тулд уулзваруудэдгээр шуудэнэ 2-ын системийг шийдэх шаардлагатай байна шугаман тэгшитгэл.

2. Үүнийг шийдэхийн тулд эхний тэгшитгэлийг E, хоёр дахь тэгшитгэлийг B-ээр үржүүлэх нь тохиромжтой. Үүний үр дүнд тэгшитгэлүүд дараах байдлаар харагдах болно: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Эхнийхээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хийснээр та дараахийг авна: (AE- DB)x = FB-CE. Otsel, x = (FB-CE)/(AE-DB) Аналогоор эхний тэгшитгэл анхны систем D-ээр, хоёр дахь нь А-аар үржүүлж, дараа нь эхнийхээс хоёр дахь нь дахин хасагдана. Үүний үр дүнд y = (CD-FA)/(AE-DB) Үүссэн x ба у утгууд нь цэгийн координат болно. уулзварууд шууд .

3. Тэгшитгэл шуудМөн өнцгийн илтгэгчийн хувьд бичиж болно k, шүргэгчшулуун шугамын налуу өнцөг. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэл y = kx+b хэлбэртэй байна. Одоо эхний мөрийн тэгшитгэл y = k1*x+b1, 2-р мөр нь у = k2*x+b2 гэж үзье.

4. Хэрэв бид эдгээр 2 тэгшитгэлийн зөв хэсгүүдийг тэнцүүлбэл: k1*x+b1 = k2*x+b2. Эндээс x = (b1-b2)/(k2-k1) гэдгийг олж авахад хялбар байдаг. Дараа нь энэ x утгыг аль нэг тэгшитгэлд орлуулбал: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). x ба y утгууд нь цэгийн координатыг тогтооно уулзварууд шууд.Хэрэв хоёр шулуун параллель эсвэл давхцаж байвал тэдгээрт нийтлэг цэг байхгүй эсвэл хязгааргүй олон нийтлэг цэгүүд тус тус байна. Эдгээр тохиолдолд цэгүүдийн координатын хуваагч k1 = k2 байна уулзваруудалга болно, тиймээс систем нь сонгодог шийдэлгүй болно.Системд зөвхөн нэг л байж болно сонгодог шийдэл, энэ нь болзолгүй, учир нь давхцаагүй ба зэрэгцээ бус хоёр шулуун нь зөвхөн нэг цэгтэй байж болно. уулзварууд .

Холбоотой видеонууд