Арифметик дундажийг хэрхэн тодорхойлох вэ. Дундаж арга, онол

Сэдэв: Статистик

Сонголт дугаар 2

Статистикт ашигласан дундаж утгууд

Танилцуулга…………………………………………………………………………….3

Онолын даалгавар

Статистикийн дундаж утга, түүний мөн чанар, хэрэглэх нөхцөл.

1.1. Мөн чанар дундаж хэмжээашиглах нөхцөл ………….4

1.2. Дундаж утгын төрлүүд……………………………………………8

Практик даалгавар

Даалгавар 1,2,3…………………………………………………………………14

Дүгнэлт……………………………………………………………………….21

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт………………………………………………23

Оршил

Энэ тестонолын болон практик гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Онолын хэсэгт дундаж утга гэх мэт статистикийн чухал ангиллыг түүний мөн чанар, хэрэглэх нөхцлийг тодорхойлох, түүнчлэн дундаж үзүүлэлтүүдийн төрөл, тэдгээрийг тооцоолох аргыг тодорхойлох зорилгоор нарийвчлан авч үзэх болно.

Та бүхний мэдэж байгаагаар статистик нь нийгэм, эдийн засгийн массын үзэгдлийг судалдаг. Эдгээр үзэгдэл тус бүр нь ижил шинж чанарын өөр өөр тоон илэрхийлэлтэй байж болно. Жишээлбэл, ижил мэргэжилтэй ажилчдын цалин эсвэл ижил бүтээгдэхүүний зах зээл дээрх үнэ гэх мэт. Дундаж утгууд нь тодорхойлогддог чанарын үзүүлэлтүүдарилжааны үйл ажиллагаа: түгээлтийн зардал, ашиг, ашигт ажиллагаа гэх мэт.

Аливаа популяцийг янз бүрийн (тоон хувьд өөрчлөгддөг) шинж чанарын дагуу судлахын тулд статистик нь дундажийг ашигладаг.

Дунд зэргийн Essence

Дундаж утга нь хураангуй юм тоон шинж чанарнэг янзын үндсэн дээр ижил төрлийн үзэгдлийн багц. Эдийн засгийн практикт дундаж үзүүлэлтээр тооцдог өргөн хүрээний үзүүлэлтүүдийг ашигладаг.

Дундаж утгын хамгийн чухал шинж чанар нь хүн амын бие даасан нэгж дэх тоон ялгааг үл харгалзан нийт популяцийн тодорхой шинж чанарын утгыг нэг тоогоор илэрхийлж, бүх нэгжид байдаг нийтлэг зүйлийг илэрхийлдэг явдал юм. судалж буй хүн ам. Ийнхүү хүн амын нэгжийн шинж чанараар дамжуулан нийт хүн амыг бүхэлд нь тодорхойлдог.

Дундаж нь их тооны хуультай холбоотой. Энэхүү харилцааны мөн чанар нь бие даасан утгуудын санамсаргүй хазайлтыг дундажлахдаа олон тооны хуулийн үйлчлэлээс шалтгаалан тэдгээр нь бие биенээ үгүйсгэж, дунджаар хөгжлийн үндсэн чиг хандлага, хэрэгцээ, тогтмол байдлыг илрүүлдэгт оршино. Дундаж утгууд нь өөр өөр тооны нэгжтэй популяцитай холбоотой үзүүлэлтүүдийг харьцуулах боломжийг олгодог.

Орчин үеийн хөгжлийн нөхцөлд зах зээлийн харилцааэдийн засгийн хувьд дундаж нь нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлийн объектив зүй тогтлыг судлах хэрэгсэл болдог. Гэсэн хэдий ч эдийн засгийн шинжилгээ нь зөвхөн дундаж үзүүлэлтээр хязгаарлагдах ёсгүй, учир нь ерөнхий таатай дундаж үзүүлэлтүүд нь бие даасан аж ахуйн нэгжүүдийн үйл ажиллагааны томоохон болон ноцтой дутагдал, шинэ, дэвшилтэт нахиа зэргийг нууж чаддаг. Жишээлбэл, хүн амын орлогын хуваарилалт нь шинэ хүн амын өсөлтийг тодорхойлох боломжийг олгодог нийгмийн бүлгүүд. Тиймээс статистикийн дундаж өгөгдлийн зэрэгцээ хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Дундаж утга нь судалж буй үзэгдэлд нөлөөлж буй бүх хүчин зүйлийн үр дүн юм. Өөрөөр хэлбэл, дундаж утгыг тооцоолохдоо санамсаргүй (хөдөлгөөнт, хувь хүний) хүчин зүйлсийн нөлөөлөл нь бие биенээ үгүйсгэдэг бөгөөд ингэснээр судалж буй үзэгдэлд хамаарах хэв маягийг тодорхойлох боломжтой болно. Дундаж хэмжигдэхүүний аргын ач холбогдол нь ганц тооноос ерөнхийд, санамсаргүйгээс тогтмол руу шилжих боломжид оршдог бөгөөд дундаж үзүүлэлтүүд оршин тогтнох нь объектив бодит байдлын ангилал юм гэж Адольф Кетелет онцолсон.

Статистик нь массын үзэгдэл, үйл явцыг судалдаг. Эдгээр үзэгдэл бүр нь бүхэл бүтэн багцад нийтлэг, онцгой, бие даасан шинж чанартай байдаг. Хувь хүний ​​үзэгдлүүдийн ялгааг вариаци гэж нэрлэдэг. Масс үзэгдлийн өөр нэг шинж чанар нь бие даасан үзэгдлийн шинж чанаруудын өвөрмөц ойр дотно байдал юм. Тиймээс, олонлогийн элементүүдийн харилцан үйлчлэл нь тэдгээрийн шинж чанаруудын дор хаяж нэг хэсгийн өөрчлөлтийг хязгаарлахад хүргэдэг. Энэ чиг хандлага нь бодитойгоор оршин тогтнож байна. Үүний шалтгаан нь түүний объектив байдалд оршдог хамгийн өргөн хэрэглээпрактик болон онолын дундаж утгууд.

Статистикийн дундаж утга нь тухайн газар, цаг хугацааны тодорхой нөхцөл дэх үзэгдлийн ердийн түвшинг тодорхойлдог ерөнхий үзүүлэлт бөгөөд чанарын хувьд нэгэн төрлийн популяцийн нэгжид ногдох хувьсах шинж чанарын хэмжээг илэрхийлдэг.

Эдийн засгийн практикт дундаж үзүүлэлтээр тооцдог өргөн хүрээний үзүүлэлтүүдийг ашигладаг.

Дундаж аргын тусламжтайгаар статистик нь олон асуудлыг шийддэг.

Дундаж үзүүлэлтүүдийн гол утга нь тэдгээрийн ерөнхий функц, өөрөөр хэлбэл шинж чанарын олон янзын бие даасан утгыг үзэгдлийн бүхэл бүтэн багцыг тодорхойлдог дундаж утгаар солих явдал юм.

Хэрэв дундаж утга нь шинж чанарын хувьд нэгэн төрлийн утгыг нэгтгэж байвал энэ нь тухайн популяцийн шинж чанарын ердийн шинж чанар юм.

Гэсэн хэдий ч энэ шинж чанарын хувьд нэг төрлийн популяцийн онцлог шинж чанаруудын ердийн утгыг тодорхойлохын тулд дундаж утгын үүргийг багасгах нь буруу юм. Практикт орчин үеийн статистик нь нэг төрлийн үзэгдлийг ерөнхийд нь харуулсан дундаж утгыг ихэвчлэн ашигладаг.

Нэг хүнд ногдох үндэсний дундаж орлого, улсын хэмжээнд ургацын дундаж хэмжээ, дундаж хэрэглээ янз бүрийн бүтээгдэхүүнхоол тэжээл - эдгээр нь нэг эдийн засгийн тогтолцоо болох улсын шинж чанарууд бөгөөд эдгээр нь системийн дундаж хэмжигдэхүүнүүд юм.

Системийн дундаж үзүүлэлтүүд нь нэгэн зэрэг орших орон зайн болон объектын системийг (муж, аж үйлдвэр, бүс нутаг, дэлхий гэх мэт) тодорхойлж болно. динамик системүүдцаг хугацаагаар сунгасан (жил, арван жил, улирал гэх мэт).

Дундаж утгын хамгийн чухал шинж чанар нь судалж буй хүн амын бүх нэгжид байдаг нийтлэг зүйлийг тусгасан байдаг. Хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарын утга нь олон хүчин зүйлийн нөлөөн дор нэг чиглэлд эсвэл өөр чиглэлд хэлбэлздэг бөгөөд тэдгээрийн дунд үндсэн болон санамсаргүй байж болно. Жишээлбэл, корпорацийн хувьцааны үнэ бүхэлдээ түүгээр тодорхойлогддог санхүүгийн байрлал. Үүний зэрэгцээ, тодорхой өдрүүдэд болон тодорхой хөрөнгийн бирж дээр нөхцөл байдлаас шалтгаалан эдгээр хувьцааг өндөр эсвэл бага үнээр зарж болно. Дундаж үзүүлэлтийн мөн чанар нь үйл ажиллагааны улмаас хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарын утгын хазайлтыг арилгадагт оршино. санамсаргүй хүчин зүйлүүд, гол хүчин зүйлээс үүдэлтэй өөрчлөлтүүдийг харгалзан үзнэ. Энэ нь дундаж утгыг онцлог шинж чанар болон хийсвэрлэлийн ердийн түвшинг тусгах боломжийг олгодог хувь хүний ​​онцлогбие даасан нэгжид хамаарах.

Дундажийг тооцоолох нь нийтлэг нэг ерөнхий арга юм; дундажЭнэ нь судлагдсан хүн амын бүх нэгжийн хувьд нийтлэг (ердийн) зүйлийг тусгадаг бөгөөд үүний зэрэгцээ бие даасан нэгжүүдийн хоорондын ялгааг үл тоомсорлодог. Аливаа үзэгдэл, түүний хөгжилд боломж, хэрэгцээ хосолсон байдаг.

Дундаж нь тухайн үйл явц явагдаж буй нөхцөл дэх үйл явцын зүй тогтлын хураангуй шинж чанар юм.

Дундж бүр нь судалж буй популяцийг аль нэг шинж чанараар тодорхойлдог боловч аливаа популяцийг тодорхойлох, түүний ердийн шинж чанар, чанарын шинж чанарыг тодорхойлохын тулд дундаж үзүүлэлтүүдийн систем шаардлагатай. Тиймээс нийгэм, эдийн засгийн үзэгдлийг судлах дотоодын статистикийн практикт дүрмээр бол дундаж үзүүлэлтүүдийн системийг тооцдог. Тиймээс, жишээлбэл, дундаж цалиндундаж гарц, капитал-хөдөлмөрийн харьцаа, хүч-хөдөлмөрийн харьцаа, ажлын механикжуулалт, автоматжуулалтын зэрэг гэх мэт үзүүлэлтүүдийн хамт үнэлдэг.

Судалж буй үзүүлэлтийн эдийн засгийн агуулгыг харгалзан дундажийг тооцох ёстой. Иймд нийгэм-эдийн засгийн шинжилгээнд ашигладаг тодорхой үзүүлэлтийн хувьд шинжлэх ухааны тооцооны аргад үндэслэн дундажийн зөвхөн нэг үнэн утгыг тооцож болно.

Дундаж утга нь ижил төрлийн үзэгдлүүдийн нийлбэрийг тодорхой тоон үзүүлэлтээр тодорхойлдог хамгийн чухал ерөнхий статистик үзүүлэлтүүдийн нэг юм. Статистикийн дундаж үзүүлэлтүүд нь нэг тоон хэлбэлзэлтэй шинж чанарын дагуу нийгмийн үзэгдлийн ердийн шинж чанарыг илэрхийлдэг тоо юм.

Дундажуудын төрлүүд

Дундаж утгын төрлүүд нь үндсэндээ ямар шинж чанар, тухайн шинж чанарын бие даасан утгуудын анхны хувьсах массын ямар параметрийг өөрчлөхгүй байхаар ялгаатай байдаг.

Арифметик дундаж

Арифметик дундаж нь тухайн шинж чанарын дундаж утга бөгөөд үүнийг тооцоолохдоо нийт эзлэхүүннийлбэр дэх шинж чанар өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Үгүй бол бид дундаж гэж хэлж болно арифметик утгадунд нэр томъёо юм. Үүнийг тооцоолохдоо шинж чанарын нийт эзлэхүүнийг хүн амын бүх нэгжид оюун санааны хувьд тэнцүү хуваарилдаг.

Дундаж үзүүлэлт (x) ба тодорхой шинж чанарын утга (f) бүхий популяцийн нэгжийн тоо мэдэгдэж байвал арифметик дундажийг ашиглана.

Арифметик дундаж нь энгийн бөгөөд жинтэй байж болно.

энгийн арифметик дундаж

Онцлогын утга бүр x нэг удаа тохиолдвол энгийн нэгийг ашиглана, өөрөөр хэлбэл. x тус бүрийн хувьд шинж чанарын утга нь f=1 буюу анхны өгөгдөл нь эрэмблэгдээгүй бөгөөд хэдэн нэгж тодорхой шинж чанарын утгатай болох нь тодорхойгүй байвал.

Арифметик дундажийн томъёо нь энгийн.

,

Арифметик дундаж - өгөгдсөн өгөгдлийн массивын дундаж утгыг харуулсан статистик үзүүлэлт. Ийм үзүүлэлтийг бутархай байдлаар тооцдог бөгөөд түүний тоо нь массивын бүх утгуудын нийлбэр бөгөөд хуваагч нь тэдгээрийн тоо юм. Арифметик дундаж нь өрхийн тооцоололд ашиглагддаг чухал коэффициент юм.

Коэффицентийн утга

Арифметик дундаж нь өгөгдлийг харьцуулах, хүлээн зөвшөөрөгдөх утгыг тооцоолох үндсэн үзүүлэлт юм. Жишээлбэл, тодорхой үйлдвэрлэгчийн лааз шар айраг өөр өөр дэлгүүрт зарагддаг. Гэхдээ нэг дэлгүүрт 67 рубль, нөгөөд 70 рубль, гурав дахь нь 65 рубль, хамгийн сүүлд 62 рубль байдаг. Үнийн хувьд нэлээд өргөн хүрээтэй байдаг тул худалдан авагч нь лаазны дундаж өртөгийг сонирхож, бүтээгдэхүүн худалдаж авахдаа зардлаа харьцуулах боломжтой болно. Хотод дунджаар нэг лааз шар айраг дараахь үнэтэй байдаг.

Дундаж үнэ = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рубль.

Мэдэх дундаж үнэ, хаана бараа худалдаж авах нь ашигтай, хаана илүү төлөх ёстойг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Нэг төрлийн өгөгдлийн багцад дүн шинжилгээ хийх тохиолдолд арифметик дундажийг статистикийн тооцоололд байнга ашигладаг. Дээрх жишээнд энэ нь ижил брэндийн лааз шар айрагны үнэ юм. Гэхдээ бид шар айрагны үнийг харьцуулж болохгүй янз бүрийн үйлдвэрлэгчидэсвэл шар айраг, нимбэгний үнэ, учир нь энэ тохиолдолд үнэ цэнийн тархалт илүү их байх болно, дундаж үнэ нь бүдгэрч, найдваргүй болж, тооцооллын утга нь "эмнэлэг дэх дундаж температур" гэсэн хүүхэлдэйн кинонд гажуудах болно. . Нэг төрлийн бус өгөгдлийн массивыг тооцоолохын тулд утга тус бүр өөрийн жингийн хүчин зүйлийг хүлээн авах үед арифметик жигнэсэн дундажийг ашиглана.

Арифметик дундажийг тооцоолох

Тооцооллын томъёо нь маш энгийн:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

Энд ан нь хэмжигдэхүүний утга, n нь нийтүнэт зүйлс.

Юунд ашиглаж болох вэ энэ үзүүлэлт? Үүний анхны бөгөөд тодорхой хэрэглээ нь статистик юм. Бараг бүх статистик судалгаанд арифметик дундажийг ашигладаг. Энэ байж болох юм дундаж насОрос дахь гэрлэлт, оюутны хичээлийн дундаж дүн, эсвэл өдөрт хүнсний бүтээгдэхүүнд зарцуулдаг дундаж зардал. Дээр дурдсанчлан жинг тооцохгүйгээр дундаж утгыг тооцоолохдоо хачирхалтай эсвэл утгагүй утгыг өгч болно.

Жишээлбэл, ерөнхийлөгч Оросын Холбооны УлсСтатистикийн мэдээгээр оросуудын дундаж цалин 27,000 рубль байна гэж мэдэгдэв. ОХУ-ын ихэнх хүмүүсийн хувьд ийм хэмжээний цалин нь утгагүй мэт санагдаж байв. Тооцооллыг хийхдээ олигархиуд, удирдагчдын орлогын хэмжээг харгалзан үзвэл гайхах зүйл алга аж үйлдвэрийн аж ахуйн нэгжүүд, нэг талаас том банкирууд, нөгөө талаас багш, цэвэрлэгч, худалдагч нарын цалин. Нэг мэргэжлээр, жишээлбэл, нягтлан бодогчоор ажилладаг дундаж цалин хүртэл Москва, Кострома, Екатеринбургт ноцтой зөрүүтэй байх болно.

Нэг төрлийн бус өгөгдлийн дундажийг хэрхэн тооцох вэ

Цалингийн нөхцөл байдалд үнэ цэнэ тус бүрийн жинг анхаарч үзэх нь чухал юм. Энэ нь олигархи, банкируудын цалинг 0.00001, худалдагч нарын цалинг 0.12 гэсэн жингээр тооцно гэсэн үг. Эдгээр нь таазнаас гарсан тоо боловч Оросын нийгэмд олигархиуд, худалдагч нар зонхилж байгааг тоймлон харуулж байна.

Тиймээс нэг төрлийн бус өгөгдлийн массив дахь дундаж буюу дундаж утгыг тооцоолохын тулд арифметик жигнэсэн дундажийг ашиглах шаардлагатай. Үгүй бол та ОХУ-д 27,000 рублийн дундаж цалин авах болно. Өөрийгөө мэдэхийг хүсвэл дундаж дүнМатематикийн хувьд эсвэл сонгосон хоккейчны оруулсан гоолын дундаж тоог харвал арифметик дундаж тооцоолуур танд тохирох болно.

Манай програм нь арифметик дундажийг тооцоолох энгийн бөгөөд тохиромжтой тооцоолуур юм. Тооцооллыг хийхийн тулд та зөвхөн параметрийн утгыг оруулах хэрэгтэй.

Хэд хэдэн жишээг авч үзье

Дундаж үнэлгээний тооцоо

Олон багш нар хичээлийн жилийн дүнг тодорхойлохдоо арифметик дундаж аргыг ашигладаг. Математикийн хичээлээр хүүхэд 3, 3, 5, 4 гэсэн улирлын дүн авдаг гэж төсөөлөөд үз дээ. Багш түүнд жилийн хэдэн оноо өгөх вэ? Тооцоологч ашиглаж арифметик дундажийг тооцоолъё. Эхлээд тохирох тооны талбарыг сонгоод гарч ирэх нүднүүдэд үнэлгээний утгыг оруулна уу.

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Багш нь тухайн оюутны ашиг тусын үнэ цэнийг дугуйлж, сурагч жилийн турш дөрвөн оноо авна.

Идсэн амттангийн тооцоо

Арифметик дундаж утгын зарим утгагүй байдлыг тайлбарлая. Маша, Вова хоёр 10 чихэртэй байсан гэж төсөөлөөд үз дээ. Маша 8 чихэр идсэн бол Вова ердөө 2. Хүүхэд бүр дунджаар хэдэн чихэр идсэн бэ? Тооцоологч ашиглан хүүхдүүд дунджаар 5 чихэр идсэнийг тооцоолоход хялбар байдаг бөгөөд энэ нь огт худал бөгөөд эрүүл ухаан юм. Энэ жишээ нь арифметик дундаж нь утга учиртай өгөгдлийн багцад чухал болохыг харуулж байна.

Дүгнэлт

Арифметик дундажийг тооцоолох нь шинжлэх ухааны олон салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Энэ үзүүлэлт нь зөвхөн статистикийн тооцоололд төдийгүй физик, механик, эдийн засаг, анагаах ухаан, санхүүгийн салбарт түгээмэл байдаг. Манай тооны машиныг арифметик дундажтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд туслагч болгон ашиглаарай.

Математикийг судлах явцад оюутнууд арифметик дундаж гэсэн ойлголттой танилцдаг. Цаашид статистик болон бусад зарим шинжлэх ухаанд оюутнууд бусдын тооцоотой тулгардаг.Тэд юу байж болох вэ, тэд бие биенээсээ юугаараа ялгаатай вэ?

утга ба ялгаа

Үргэлж үнэн зөв үзүүлэлтүүд нөхцөл байдлын талаархи ойлголтыг өгдөггүй. Энэ эсвэл бусад нөхцөл байдлыг үнэлэхийн тулд заримдаа асар олон тооны тоо баримтыг шинжлэх шаардлагатай байдаг. Тэгээд дундаж үзүүлэлтүүд аврах ажилд ирдэг. Тэд нөхцөл байдлыг ерөнхийд нь үнэлэх боломжийг танд олгоно.

Сургуулийн үеэс эхлэн олон насанд хүрэгчид арифметик дундаж байдгийг санаж байна. Үүнийг тооцоолоход маш хялбар байдаг - n гишүүний дарааллын нийлбэр нь n-д хуваагдана. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та арифметик дундажийг 27, 22, 34, 37 утгуудын дарааллаар тооцоолох шаардлагатай бол 4 утгатай тул (27 + 22 + 34 + 37) / 4 илэрхийллийг шийдэх хэрэгтэй. тооцоололд ашигласан болно. AT Энэ тохиолдолдхүссэн утга нь 30 байх болно.

Ихэнхдээ сургуулийн сургалтын нэг хэсэг болох геометрийн дундажийг бас судалдаг. Энэ утгыг тооцоолохдоо n гишүүний үржвэрээс n-р зэргийн үндсийг гаргаж авахад үндэслэсэн болно. Хэрэв бид 27, 22, 34, 37 гэсэн ижил тоонуудыг авбал тооцооллын үр дүн 29.4 болно.

гармоник дундаж ерөнхий боловсролын сургуульихэвчлэн судалгааны сэдэв биш юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь ихэвчлэн ашиглагддаг. Энэ утга нь арифметик дундажийн эсрэг утгатай бөгөөд n - утгуудын тоо ба нийлбэр 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n -ийн харьцаагаар тооцогдоно. Хэрэв бид тооцоололд дахин ижил зүйлийг авч үзвэл гармоник нь 29.6 болно.

Жинлэсэн дундаж: Онцлогууд

Гэсэн хэдий ч дээрх бүх утгыг хаа сайгүй ашиглаж болохгүй. Жишээлбэл, статистикийн хувьд заримыг нь тооцоолоход чухал үүрэгтооцоололд ашигласан тоо бүрийн "жин"-тэй. Илүү их мэдээллийг харгалздаг учраас үр дүн нь илүү ил тод, зөв ​​байдаг. Энэ бүлгийн утгыг хамтад нь "жигнэсэн дундаж" гэж нэрлэдэг. Тэднийг сургуульд дамжуулдаггүй тул илүү нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Юуны өмнө тодорхой утгын "жин" гэж юу болохыг тайлбарлах нь зүйтэй. Үүнийг тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол тодорхой жишээ. Эмнэлэгт өвчтөн бүрийн биеийн температурыг өдөрт хоёр удаа хэмждэг. Эмнэлгийн янз бүрийн тасагт 100 өвчтөнөөс 44 нь байх болно хэвийн температур- 36.6 градус. Өөр 30 нь нэмэгдсэн утгатай байх болно - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, үлдсэн хоёр нь - 40. Хэрэв бид арифметик дундажийг авбал эмнэлгийн хувьд энэ утга ерөнхийдөө 38 градусаас дээш байх болно. ! Гэхдээ өвчтөнүүдийн бараг тал хувь нь туйлын байна Мөн энд жигнэсэн дундажийг ашиглах нь илүү зөв байх болно, утга тус бүрийн "жин" нь хүмүүсийн тоо байх болно. Энэ тохиолдолд тооцооллын үр дүн 37.25 градус болно. Ялгаа нь ойлгомжтой.

Жигнэсэн дундаж тооцооны хувьд "жин"-ийг ачааны тоо, тухайн өдөр ажиллаж буй хүмүүсийн тоо, ерөнхийдөө хэмжиж болох бүх зүйл, эцсийн үр дүнд нөлөөлж болно.

Сортууд

Жинлэсэн дундаж нь өгүүллийн эхэнд авч үзсэн арифметик дундажтай тохирч байна. Гэсэн хэдий ч эхний утга нь аль хэдийн дурьдсанчлан тооцоололд ашигласан тоо бүрийн жинг харгалзан үздэг. Үүнээс гадна жинлэсэн геометрийн болон гармоник утгууд байдаг.

Бас нэг байна сонирхолтой төрөл, тооны цуваагаар ашиглагддаг. Энэ бол жигнэсэн хөдөлгөөнт дундаж юм. Үүний үндсэн дээр чиг хандлагыг тооцдог. Өөрсдөө болон тэдгээрийн жингээс гадна үе үеийг тэнд бас ашигладаг. Мөн тодорхой хугацааны дундаж утгыг тооцоолохдоо өмнөх хугацааны утгыг мөн харгалзан үзнэ.

Эдгээр бүх утгыг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш боловч практикт зөвхөн ердийн жигнэсэн дундажийг ашигладаг.

Тооцооллын аргууд

Компьютержсэн эрин үед жигнэсэн дундажийг гараар тооцох шаардлагагүй болсон. Гэсэн хэдий ч тооцооллын томъёог мэдэх нь ашигтай байх болно, ингэснээр та шалгаж, шаардлагатай бол олж авсан үр дүнг засах боломжтой болно.

Тодорхой жишээн дээр тооцооллыг авч үзэх нь хамгийн хялбар байх болно.

Тодорхой цалин авдаг ажилчдын тоог харгалзан энэ аж ахуйн нэгжийн дундаж цалин хэд байгааг олж мэдэх шаардлагатай.

Тиймээс жигнэсэн дундажийг тооцоолохдоо дараахь томъёогоор гүйцэтгэнэ.

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Жишээлбэл, тооцоолол дараах байдалтай байна.

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48

Жинлэсэн дундажийг гараар тооцоолоход ямар ч хүндрэл байхгүй нь ойлгомжтой. Томьёотой хамгийн алдартай програмуудын нэг болох Excel-д энэ утгыг тооцоолох томъёо нь SUMPRODUCT (тооны цуврал; жингийн цуврал) / SUM (жингийн цуврал) функцтэй төстэй харагдаж байна.

Дундаж утгын талаар ярьж эхэлснээр тэд ихэвчлэн сургуулиа хэрхэн төгсөж, элсэн орсноо дурсдаг боловсролын байгууллага. Тэгээд гэрчилгээний дагуу тооцоолсон GPA: бүх оноог (сайн, тийм ч сайн биш) нэгтгэж, үр дүнгийн дүнг тэдгээрийн тоонд хуваасан. Энгийн арифметик дундаж гэж нэрлэгддэг хамгийн энгийн төрлийн дундажийг ингэж тооцдог. Практикт статистикийг ашигладаг янз бүрийн төрөлдундаж: арифметик, гармоник, геометр, квадрат, бүтцийн дундаж. Өгөгдлийн шинж чанар, судалгааны зорилгоос хамааран тэдгээрийн нэг буюу өөр төрлийг ашигладаг.

дундаж утгаЭнэ нь хамгийн түгээмэл статистик үзүүлэлт бөгөөд үүний тусламжтайгаар ижил төрлийн үзэгдлийн нийт дүнгийн ерөнхий шинж чанарыг янз бүрийн шинж тэмдгүүдийн аль нэгээр нь өгдөг. Энэ нь хүн амын нэгжид ногдох шинж чанарын түвшинг харуулдаг. Дундаж утгын тусламжтайгаар янз бүрийн шинж чанарын дагуу янз бүрийн агрегатуудыг харьцуулж, нийгмийн амьдралын үзэгдэл, үйл явцын хөгжлийн зүй тогтлыг судалдаг.

Статистикт дундаж үзүүлэлтүүдийн хоёр ангиллыг ашигладаг: хүч (аналитик) ба бүтцийн. Сүүлийнх нь вариацын цувралын бүтцийг тодорхойлоход хэрэглэгддэг бөгөөд үүнийг Бүлэгт цаашид авч үзэх болно. найм.

Эрчим хүчний хэрэгслийн бүлэгт арифметик, гармоник, геометр, квадрат зэрэг орно. Тэдгээрийг тооцоолох бие даасан томьёог бүх чадлын дундаж утгын нийтлэг хэлбэр болгон бууруулж болно.

Энд m нь чадлын дундажийн илтгэгч юм: m = 1-ээр бид арифметик дундажийг тооцоолох томъёог олж авна, m = 0 - геометрийн дундаж, m = -1 - гармоник дундаж, m = 2 - дундаж квадрат ;

x i - сонголтууд (атрибут авах утгууд);

fi - давтамжууд.

Эрчим хүчний хуулийн дундаж утгыг ашиглах үндсэн нөхцөл Статистикийн дүн шинжилгээ, нь тоон утгаараа эрс ялгаатай анхны өгөгдлийг агуулах ёсгүй хүн амын нэгэн төрлийн байдал (уран зохиолд тэдгээрийг хэвийн бус ажиглалт гэж нэрлэдэг).

Энэ нөхцлийн ач холбогдлыг дараах жишээн дээр харуулъя.

Жишээ 6.1. Жижиг аж ахуйн нэгжийн ажилчдын дундаж цалинг тооцоол.

Хүснэгт 6.1. Ажилчдын цалин

Үгүй p / p	Цалин, рубль.	Үгүй p / p	Цалин, рубль.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Дундаж цалинг тооцоолохын тулд аж ахуйн нэгжийн бүх ажилчдад хуримтлагдсан цалинг (жишээ нь цалингийн санг олох) нэгтгэж, ажилчдын тоонд хуваах шаардлагатай.

Одоо нийтдээ нэг хүнийг (энэ аж ахуйн нэгжийн захирал) нэмье, гэхдээ 50,000 рублийн цалинтай. Энэ тохиолдолд тооцоолсон дундаж нь огт өөр байх болно.

Таны харж байгаагаар 7000 рубль давсан гэх мэт. Энэ нь нэг ажиглалтаас бусад шинж чанарын бүх утгаас их байна.

Практикт ийм тохиолдол гарахгүйн тулд, дундаж утга нь утгаа алдахгүй байхын тулд (жишээ 6.1-д энэ нь хүн амын ерөнхий шинж чанарын үүргийг гүйцэтгэхээ больсон, тийм байх ёстой), дундаж, хэвийн бус, хэт давсан ажиглалтыг шинжилгээнээс хасч, дараа нь популяцийг нэгэн төрлийн болгох, эсвэл популяцийг нэг төрлийн бүлэгт хувааж, бүлэг тус бүрийн дундаж утгыг тооцоолж, нийт дундажийг бус, харин бүлгийн дундажийг шинжлэх хэрэгтэй.

6.1. Арифметик дундаж ба түүний шинж чанарууд

Арифметик дундажийг энгийн утга эсвэл жигнэсэн утга хэлбэрээр тооцдог.

Жишээ 6.1-ийн хүснэгтийн дагуу дундаж цалинг тооцоолохдоо бид шинж чанарын бүх утгыг нэмж, тэдгээрийн тоонд хуваана. Бид тооцооллынхоо явцыг энгийн арифметик дундажийн томъёо хэлбэрээр бичдэг

Энд x i - сонголтууд (онцлогын бие даасан утгууд);

n нь хүн ам дахь нэгжийн тоо юм.

Жишээ 6.2. Одоо жишээ 6.1 гэх мэт хүснэгтээс авсан мэдээллээ бүлэглэе. дискрет байгуулах вариацын цувралцалингийн түвшингээр ажилчдыг хуваарилах. Бүлэглэлийн үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв.

Дундаж цалингийн түвшинг тооцоолох илэрхийллийг илүү нягт хэлбэрээр бичье.

Жишээ 6.2-д жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашигласан

Энд f i - х i y шинж чанарын утгыг хэдэн удаа илэрхийлж байгааг харуулсан давтамжууд хүн амын нэгж.

Арифметик жигнэсэн дундажийг тооцоолохдоо доор үзүүлсэн шиг хүснэгтэд тохиромжтой байдлаар гүйцэтгэнэ (Хүснэгт 6.3):

Хүснэгт 6.3. Дискрет цуваа дахь арифметик дундажийг тооцоолох

Анхны өгөгдөл	Тооцоолсон үзүүлэлт
цалин, рубль.	ажилчдын тоо, хүн	цалингийн сан, руб.
x i	fi	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Нийт	20	132 080

Энгийн арифметик дундаж нь өгөгдлийг бүлэглэж, бүлэглээгүй, гэхдээ бүх давтамж нь бие биетэйгээ тэнцүү байх тохиолдолд ашиглагддаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Ихэнхдээ ажиглалтын үр дүнг интервалын тархалтын цуваа хэлбэрээр үзүүлдэг (жишээ 6.4-ийн хүснэгтийг үзнэ үү). Дараа нь дундажийг тооцоолохдоо интервалуудын дунд цэгүүдийг x i гэж авна. Хэрэв эхний болон сүүлчийн интервалууд нээлттэй байвал (хязгаарын аль нь ч байхгүй) бол тэдгээрийг "хаалттай" гэж тооцож, зэргэлдээх интервалын утгыг өгөгдсөн интервалын утгууд гэх мэтээр авна. эхнийх нь хоёр дахь, сүүлчийнх нь эцсийн өмнөх үнэ дээр тулгуурлан хаагддаг.

Жишээ 6.3. Хүн амын аль нэг бүлгийн түүвэр судалгааны үр дүнд үндэслэн нэг хүнд ногдох мөнгөн орлогын дундаж хэмжээг тооцдог.

Дээрх хүснэгтэд эхний интервалын дунд хэсэг нь 500. Үнэхээр хоёр дахь интервалын утга нь 1000 (2000-1000); Дараа нь эхнийх нь доод хязгаар нь 0 (1000-1000), дунд нь 500. Бид сүүлчийн интервалтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид 25,000-ыг дунд нь авдаг: эцсийн өмнөх интервалын утга нь 10,000 (20,000-10,000), дараа нь түүний дээд хязгаар 30,000 (20,000 + 10,000), дунд нь 25,000 байна.

Хүснэгт 6.4. Арифметик дундажийг тооцоолох интервал цуврал

Нэг хүнд ногдох дундаж мөнгөн орлого, руб. сар бүр	Нийт хүн ам, % f i	Интервалын дунд цэгүүд x i	x i f i
1000 хүртэл	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20,000 ба түүнээс дээш	10,4	25 000	260 000
Нийт	100,0	-	892 850

Тэгвэл нэг хүнд ногдох сарын дундаж орлого болно

Янз бүрийн ажилчдын гүйцэтгэх ажлын дундаж тоог олох хэрэгтэй гэж бодъё. Эсвэл та тодорхой өдрийн дундаж температурыг 10 жилийн интервалаар тооцоолохыг хүсч байна. Цуврал тоонуудын дундаж утгыг хэд хэдэн аргаар тооцоолох.

Дундаж нь хэд хэдэн тоонуудын төв нь байрлах төв хандлагын хэмжүүрийн функц юм статистикийн тархалт. Гурван олонх нийтлэг шалгууртөв чиг хандлага тод харагдаж байна.

ДундажАрифметик дундажийг хэд хэдэн тоонуудыг нэмж, дараа нь тэдгээр тоонуудын тоог хуваах замаар тооцоолно. Жишээлбэл, 2, 3, 3, 5, 7, 10-ын дундаж нь 30-ыг 6, 5-д хуваасан;

МедианЦуврал тоонуудын дундах тоо. Тоонуудын тал хувь нь медианаас их утгатай, хагас нь медианаас бага утгатай байна. Жишээлбэл, 2, 3, 3, 5, 7, 10-ын медиан нь 4 байна.

ГоримБүлэг тоонд хамгийн их тохиолддог тоо. Жишээлбэл, 2, 3, 3, 5, 7 ба 10 - 3 горим.

Цуврал тоонуудын тэгш хэмтэй тархалтын төв хандлагын эдгээр гурван хэмжигдэхүүн нь нэг бөгөөд ижил байна. Хэд хэдэн тооны тэгш бус хуваарилалтад тэдгээр нь өөр байж болно.

Нэг мөр эсвэл нэг баганад тасралтгүй байрлах нүднүүдийн дундаж утгыг тооцоол

Дараахыг хий.

Тарсан эсийн дундажийг тооцоолох

Энэ даалгаврыг биелүүлэхийн тулд функцийг ашиглана уу ДУНДЖ. Доорх хүснэгтийг хоосон хуудсан дээр хуулна уу.

Жинлэсэн дундажийг тооцоолох

БҮТЭЭГДЭХҮҮНболон хэмжээ. vЭнэ жишээ нь гурван худалдан авалтад төлсөн хэмжүүрийн нэгжийн дундаж үнийг тооцоолдог бөгөөд худалдан авалт бүр өөр өөр тооны нэгжид зориулагдсан байдаг. өөр өөр үнэнэгжийн хувьд.

Доорх хүснэгтийг хоосон хуудсан дээр хуулна уу.

Тэг утгыг үл тоомсорлож, тоонуудын дундаж утгыг тооцоолох

Энэ даалгаврыг биелүүлэхийн тулд функцуудыг ашиглана уу ДУНДЖболон хэрэв. Доорх хүснэгтийг хуулж, энэ жишээн дээр ойлгоход хялбар болгохын тулд хоосон хуудас руу хуулж аваарай.