Син гэж юу вэ. Тригонометрийн синус, косинус, тангенс ба котангенс: тодорхойлолт, жишээ
Заавар
Эхний сонголт бол сонгодог бөгөөд цаас, протектор, харандаа (эсвэл үзэг) ашигладаг. Тодорхойлолтоор бол синус булантэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын эсрэг талын хөлтэй тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл утгыг тооцоолохын тулд та протектор ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжинг бүтээх хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн аль нэг өнцөг нь таны сонирхож буй синустай тэнцүү байна. Дараа нь гипотенуз болон эсрэг талын хөлний уртыг хэмжиж, хоёр дахь хэсгийг эхнийх нь хүссэн нарийвчлалтайгаар хуваана.
Хоёр дахь сонголт бол сургууль. Сургуулиас хүн бүр өөр өөр өнцгөөс олон мянган тригонометрийн утгыг агуулсан "Брадисын хүснэгтүүдийг" санаж байна. Та цаасан хэвлэл болон түүний цахим хувилбарыг pdf форматаар хайж олох боломжтой - тэдгээрийг онлайнаар авах боломжтой. Хүснэгтүүдийг олсны дараа утгыг олоорой синусшаардлагатай буланхэцүү биш байх болно.
Гурав дахь сонголт нь хамгийн тохиромжтой. Хэрэв танд хандах боломжтой бол стандарт Windows тооцоолуур ашиглаж болно. Үүнийг дэвшилтэт горимд шилжүүлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд цэсийн "Харах" хэсэгт "Инженерчлэл" гэсэн зүйлийг сонгоно уу. Тооцоологчийн харагдах байдал өөрчлөгдөх болно - үүнд, ялангуяа тооцоолох товчлуурууд орно тригонометрийн функцууд.Одоо утгыг оруулна уу булан, та хэний синусыг тооцоолохыг хүсч байна. Та үүнийг гараас болон хулганын курсороор хүссэн тооны машины товчлуур дээр дарж хийж болно. Эсвэл та шаардлагатай утгыг (CTRL + C ба CTRL + V) буулгаж болно. Үүний дараа тооцоолох нэгжийг сонгоно уу - тригонометрийн функцүүдийн хувьд эдгээр нь радиан, градус эсвэл рад байж болно. Энэ нь тооцоолсон утгын оролтын талбарын доор байрлах гурван шилжүүлэгчийн утгын аль нэгийг сонгох замаар хийгддэг. Одоо "нүгэл" гэсэн товчийг дарснаар асуултынхаа хариултыг аваарай.
Дөрөв дэх сонголт бол хамгийн орчин үеийн юм. Интернэтийн эрин үед нет дээр гарч буй бараг бүх асуудлыг санал болгодог. Хэрэглэгчдэд ээлтэй интерфэйстэй, илүү дэвшилтэт тригонометрийн функцүүдийн онлайн тооцоолуур функциональ байдалогт олохгүй байна. Тэдгээрийн хамгийн сайн нь зөвхөн бие даасан функцийн утгыг төдийгүй хангалттай тооцоолохыг санал болгодог нарийн төвөгтэй илэрхийллүүдолон функцээс.
Функцүүд синусболон хамтран ажиллах синусЭнэ нь тригонометр гэж нэрлэгддэг математикийн салбарт хамаарах тул функцуудыг өөрөө тригонометр гэж нэрлэдэг. Хамгийн эртний тодорхойлолтуудын дагуу тэд тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн хэмжээг түүний талуудын уртын харьцаагаар илэрхийлдэг. Утгыг тооцоолох синусмөн цахим технологийн хөгжлийн өнөөгийн түвшинд - нэлээд энгийн даалгавар.
Танд хэрэгтэй болно
- Windows тооцоолуур.
Заавар
Тооцоолохдоо ашиглана уу синусба өнцөг - тригонометрийн функцүүдийн тооцоог ихэнх хэсэгт нь өгдөг. Олон тооны тооцоолуур байгаа тул гар утас, зарим бугуй болон бусад гар утасны хэрэгсэл, компьютерийг дурдахгүй бол энэ нь магадгүй, боломжийн аргатооцоолол синуса. Хэрэв та компьютерийн програм хангамжийн тооцоолуур ашиглахаар шийдсэн бол үйлдлийн системийн үндсэн цэснээс үүнийг эхлүүлэх холбоосыг хайж олоорой. Хэрэв энэ нь Windows бол Win товчийг дарж, цэснээс "Бүх програмууд" -ыг сонгоод "Дагалдах хэрэгсэл" дэд хэсэгт очоод "Тооцоолуур" гэсэн мөрөнд дарна уу. Ажилласан програмын тригонометрийн функцийг тооцоолох командуудад хандахын тулд Alt + 2 товчлуурын хослолыг дарна уу.
Хэрэв өнцгийн анхны утгад байвал, синус-д таны тооцоолохыг хүсч буй зүйл байгаа бол тооны машины интерфейс дээрх " " бичээсийн хажууд байгаа эсэхийг шалгаарай.
Энэ нийтлэлд бид үүнийг иж бүрэн авч үзэх болно. Үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдалЭнэ нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондын хамаарлыг тогтоох тэгш байдал бөгөөд эдгээр тригонометрийн функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй нөгөө өнцгөөр дамжуулан олох боломжийг олгодог.
Бид энэ нийтлэлд дүн шинжилгээ хийх үндсэн тригонометрийн шинж чанаруудыг нэн даруй жагсаав. Бид тэдгээрийг хүснэгтэд бичиж, доор нь эдгээр томъёоны гарал үүслийг өгч, шаардлагатай тайлбарыг өгнө.
Хуудасны навигаци.
Нэг өнцгийн синус ба косинусын хамаарал
Заримдаа тэд дээрх хүснэгтэд жагсаасан үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн тухай биш, харин нэг ганц зүйлийн тухай ярьдаг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгтөрлийн 
. Энэ баримтын тайлбар нь маш энгийн: үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын үндсэн дээр түүний хоёр хэсгийг тус тусад нь хуваасны дараа тэнцүү байдал, тэгш байдлыг олж авна. 
болон 
синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос дагана. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрүүдэд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.
Өөрөөр хэлбэл, гол тригонометрийн таних тэмдэг гэж нэрлэгдсэн тэгш байдал нь онцгой анхаарал татаж байна.
Тригонометрийн үндсэн ижил төстэй байдлыг батлахын өмнө бид түүний томъёоллыг өгдөг: нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй ижил байна. Одоо үүнийг баталъя.
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг тригонометрийн илэрхийллийн хувиргалт. Энэ нь нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр солих боломжийг олгодог. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг урвуу дарааллаар ашигладаг: нэгжийг аль ч өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр солино.
Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс
Хэлбэрийн нэг өнцгийн синус ба котангенсыг тангенс ба котангенстай холбосон таних тэмдэг 
синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос нэн даруй дагана. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса, шүргэгч нь ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. 
, ба котангенс нь абсцисс ба ординатын харьцаа, өөрөөр хэлбэл, 
.
Энэхүү илэрхий байдлаас шалтгаалан таних тэмдэг болон Ихэнхдээ шүргэгч ба котангенсын тодорхойлолтыг абсцисса ба ординатын харьцаагаар бус харин синус ба косинусын харьцаагаар өгдөг. Тэгэхээр өнцгийн тангенс нь синусыг энэ өнцгийн косинусын харьцаа, котангенс нь косинусын синустай харьцуулсан харьцаа юм.
Энэ хэсгийг дуусгахын тулд таних тэмдэг болон Тригонометрийн функцууд нь утга учиртай бүх өнцгүүдийг барина. Тэгэхээр томъёо нь (эс тэгэхгүй бол хуваагч нь тэг байх болно, бид тэгээр хуваахыг тодорхойлоогүй) болон томъёоноос өөр ямар ч тохиолдолд хүчинтэй байна. - for all , өөр , энд z нь дурын .
Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал
Өмнөх хоёроос илүү тодорхой тригонометрийн ижилсэл нь хэлбэрийн нэг өнцгийн тангенс ба котангенсыг холбосон ижил төстэй байдал юм. . -ээс бусад өнцөгт явагдах нь тодорхой, эс бөгөөс шүргэгч эсвэл котангенс тодорхойлогдоогүй болно.
Томъёоны баталгаа маш энгийн. Тодорхойлолтоор, хаанаас 
. Нотлох баримтыг арай өөр аргаар хийж болох байсан. Түүнээс хойш ба , дараа нь 
.
Тэгэхээр нэг өнцгийн тангенс ба котангенс нь утга учиртай байдаг.
Синусыг хэрхэн олох вэ?
Геометрийн судалгаа нь сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд тусалдаг. Энэ хичээлийг сургалтын хөтөлбөрт оруулсан болно. Амьдралд энэ сэдвээр мэдлэг хэрэгтэй байж болно - жишээлбэл, орон сууц төлөвлөхдөө.
Түүхээс
Геометрийн хичээлийн нэг хэсэг болох тригонометрийн функцийг судалдаг тригонометрийг бас судалдаг. Тригонометрийн хувьд бид өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг судалдаг.
Гэхдээ одоо хамгийн энгийн синусаас эхэлцгээе. Хамгийн анхны ойлголт болох геометрийн өнцгийн синусыг нарийвчлан авч үзье. Синус гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?
"Өнцгийн синус" ба синусоидын тухай ойлголт
Өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн утгууд ба тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын харьцаа юм. Энэ нь шууд тригонометрийн функц бөгөөд үүнийг бичгээр "sin (x)" гэж бичдэг, энд (x) нь гурвалжны өнцөг юм.
График дээр өнцгийн синусыг өөрийн шинж чанартай синусоидоор зааж өгсөн болно. Синусоид нь координатын хавтгай дээр тодорхой хязгаарт оршдог тасралтгүй долгионт шугам шиг харагддаг. Функц нь сондгой тул координатын хавтгай дээрх 0-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (энэ нь координатын эхийг орхидог).
Энэ функцийн муж нь декартын координатын систем дээр -1-ээс +1 хүртэлх мужид оршдог. Синусын өнцгийн функцын хугацаа нь 2 Pi байна. Энэ нь 2 Pi тутамд хэв маяг давтагдаж, синус долгион нь бүтэн циклээр дамждаг гэсэн үг юм.
Синусоидын тэгшитгэл
- sin x = a / c
- Энд a нь гурвалжны өнцгийн эсрэг талын хөл юм
- в - тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз
Өнцгийн синусын шинж чанарууд
- sin(x) = - sin(x). Энэ функц нь функц нь тэгш хэмтэй болохыг харуулж байгаа бөгөөд хэрэв координатын систем дээр x ба (-x) утгуудыг хоёр чиглэлд байрлуулбал эдгээр цэгүүдийн ординатууд эсрэгээрээ байх болно. Тэд асаалттай байх болно тэнцүү зайбие биенээсээ.
- Энэ функцийн өөр нэг онцлог нь функцийн график [- P / 2 + 2 Pn] сегмент дээр нэмэгдэх явдал юм; [P/2 + 2Pn], энд n нь дурын бүхэл тоо. Сегмент дээр өнцгийн синусын график буурах нь ажиглагдах болно: [P / 2 + 2 Pn]; [3P/2 + 2Pn].
- x мужид (2Pn, P + 2Pn) байх үед sin (x) > 0
- (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)
Өнцгийн синусын утгыг тусгай хүснэгтээр тодорхойлно. Нарийн төвөгтэй томъёо, тэгшитгэлийг тооцоолох үйл явцыг хөнгөвчлөх үүднээс ийм хүснэгтүүдийг бүтээсэн. Энэ нь хэрэглэхэд хялбар бөгөөд зөвхөн sin(x) функцийн утгыг төдийгүй бусад функцүүдийн утгыг агуулдаг.
Үүнээс гадна эдгээр функцүүдийн стандарт утгуудын хүснэгтийг оруулсан болно заавал судлахсанах ойн хувьд үржүүлэх хүснэгт гэх мэт. Энэ нь ялангуяа физик, математикийн хазайлттай ангиудад үнэн юм. Хүснэгтээс та тригонометрийн үндсэн өнцгүүдийн утгыг харж болно: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270, 360 градус.
Стандарт бус өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг тодорхойлсон хүснэгт бас байдаг. Өөр өөр хүснэгтүүдийг ашиглан зарим өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг хялбархан тооцоолж болно.
Тэгшитгэлийг тригонометрийн функцээр хийдэг. Хэрэв та нүгэл (P / 2 + x) \u003d cos (x) болон бусад функцүүдийн энгийн тригонометрийн таних тэмдэг, бууралтыг мэддэг бол эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар болно. Ийм жүжигт зориулсан тусдаа хүснэгтийг эмхэтгэсэн.
Өнцгийн синусыг хэрхэн олох вэ
Даалгавар бол өнцгийн синусыг олох явдал бөгөөд бид зөвхөн өнцгийн косинус, тангенс эсвэл котангенстай байх нөхцөлд бид тригонометрийн ижилсэлтүүдийг ашиглан юу хэрэгтэйг хялбархан тооцоолж чадна.
- sin 2 x + cos 2 x = 1
Энэ тэгшитгэлээс бид аль утга нь тодорхойгүй байгаагаас хамааран синус ба косинусыг хоёуланг нь олж болно. Бид нэг үл мэдэгдэх тригонометрийн тэгшитгэлийг олж авна.
- нүгэл 2 x = 1 - cos 2 x
- sin x = ± √ 1 - cos 2 x
- ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x
Энэ тэгшитгэлээс та өнцгийн котангенсын утгыг мэдэж, синусын утгыг олох боломжтой. Хялбаршуулахын тулд sin 2 x = y-г орлуулж, дараа нь та энгийн тэгшитгэлтэй болно. Жишээлбэл, котангентын утга 1 байвал:
- 1 + 1 = 1/y
- 2 = 1 / жил
- 2y = 1
- y = 1/2
Одоо бид тоглуулагчийг урвуу солих ажлыг хийж байна.
- нүгэл 2 x = ½
- нүгэл x = 1 / √2
Бид стандарт өнцгийн котангентын утгыг (45 0) авсан тул олж авсан утгыг хүснэгтээс шалгаж болно.
Хэрэв танд шүргэгч утгатай боловч синусыг олох шаардлагатай бол өөр тригонометрийн таних нь туслах болно.
- tg x * ctg x = 1
Үүнээс үзэхэд:
- ctg x = 1 / tg x
Стандарт бус өнцгийн синусыг олохын тулд жишээлбэл 240 0 өнцгийг багасгах томъёог ашиглах хэрэгтэй. π нь бидний хувьд 180 0-тэй тохирч байгааг бид мэднэ. Тиймээс бид стандарт өнцгүүдийг тэлэлтээр ашиглан тэгш байдлыг илэрхийлэх болно.
- 240 0 = 180 0 + 60 0
Бид дараах зүйлийг олох хэрэгтэй: нүгэл (180 0 + 60 0). Тригонометрийн хувьд бууруулах томъёо байдаг Энэ тохиолдолдхэрэг болно. Энэ бол томъёо юм:
- нүгэл (π + x) = - нүгэл (x)
Тиймээс 240 градусын өнцгийн синус нь:
- нүгэл (180 0 + 60 0) = - нүгэл (60 0) = - √3/2
Манай тохиолдолд x = 60, P нь тус тус 180 градус байна. Бид стандарт өнцгийн функцүүдийн утгын хүснэгтээс (-√3/2) утгыг олсон.
Ийм байдлаар стандарт бус өнцгийг задалж болно, жишээлбэл: 210 = 180 + 30.
Сургуулийн хүүхдүүдийн хамгийн их бэрхшээлийг даван туулдаг математикийн нэг салбар бол тригонометр юм. Энэ мэдлэгийг чөлөөтэй эзэмшихийн тулд танд орон зайн сэтгэлгээ, томьёо ашиглан синус, косинус, тангенс, котангенс олох, илэрхийллийг хялбарчлах, тооцоололд pi тоог ашиглах чадвар хэрэгтэй болно. Нэмж дурдахад та теоремуудыг батлахдаа тригонометрийг ашиглах чадвартай байх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хөгжсөн математик санах ой эсвэл нарийн төвөгтэй логик хэлхээг гаргах чадварыг шаарддаг.
Тригонометрийн гарал үүсэл
Энэ шинжлэх ухаантай танилцах нь өнцгийн синус, косинус ба тангенсийн тодорхойлолтоос эхлэх ёстой, гэхдээ эхлээд тригонометр юу хийдэгийг олж мэдэх хэрэгтэй.
Түүхээс харахад тэгш өнцөгт гурвалжин нь математикийн шинжлэх ухааны энэ хэсгийн судалгааны гол объект байсаар ирсэн. 90 градусын өнцөг байгаа нь янз бүрийн үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь хоёр тал, нэг өнцөг эсвэл хоёр өнцөг ба нэг талыг ашиглан авч үзэж буй зургийн бүх параметрийн утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Эрт дээр үед хүмүүс энэ хэв маягийг анзаарч, барилга байгууламж барих, навигаци, одон орон судлал, тэр ч байтугай урлагт идэвхтэй ашиглаж эхэлсэн.
Эхний шат
Эхлээд хүмүүс зөвхөн жишээн дээр өнцөг болон талуудын хамаарлыг ярьдаг байсан зөв гурвалжин. Дараа нь ашиглалтын хил хязгаарыг өргөжүүлэх боломжийг олгосон тусгай томъёог олж мэдсэн Өдөр тутмын амьдралматематикийн энэ салбар.
Өнөөдөр сургуульд тригонометрийн судалгаа нь тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас эхэлдэг бөгөөд үүний дараа олж авсан мэдлэгээ оюутнууд физикийн хичээл, хийсвэр асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. тригонометрийн тэгшитгэл, ахлах сургуулиас эхэлдэг ажил.
Бөмбөрцөг тригонометр
Хожим нь шинжлэх ухаан хөгжлийн дараагийн түвшинд хүрэхэд синус, косинус, тангенс, котангенс бүхий томьёог бөмбөрцөг геометрт ашиглаж эхэлсэн бөгөөд энд бусад дүрэм мөрдөгдөж, гурвалжин дахь өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градусаас их байдаг. Энэ хэсгийг сургуульд судлаагүй ч дэлхийн гадаргуу болон бусад гаригийн гадаргуу нь гүдгэр тул түүний оршин тогтнох талаар мэдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь аливаа гадаргуугийн тэмдэглэгээ нь "нуман хэлбэртэй" байх болно гэсэн үг юм. гурван хэмжээст орон зай.
Бөмбөрцөг аваад утастай. Утсыг бөмбөрцөг дээрх дурын хоёр цэгт холбоно уу. Анхаараарай - энэ нь нуман хэлбэртэй болсон. Геодези, одон орон судлал болон бусад онолын болон хэрэглээний салбарт ашигладаг бөмбөрцөг геометр нь ийм хэлбэрүүдтэй харьцдаг.
Зөв гурвалжин
Тригонометрийг ашиглах аргуудын талаар бага зэрэг сурч мэдсэнийхээ дараа синус, косинус, тангенс гэж юу болох, тэдгээрийн тусламжтайгаар ямар тооцоолол хийж болох, ямар томьёо ашиглахыг илүү сайн ойлгохын тулд үндсэн тригонометр рүү буцъя.
Эхний алхам бол тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой ойлголтуудыг ойлгох явдал юм. Нэгдүгээрт, гипотенуз нь 90 градусын өнцгийн эсрэг тал юм. Тэр хамгийн урт нь. Пифагорын теоремын дагуу түүний тоон утга нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэрийн язгууртай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна.
Жишээлбэл, хэрэв хоёр тал нь 3 ба 4 сантиметр бол гипотенузын урт нь 5 сантиметр болно. Дашрамд дурдахад, эртний египетчүүд энэ тухай дөрөв хагас мянган жилийн өмнө мэддэг байсан.
Зөв өнцгийг үүсгэсэн үлдсэн хоёр талыг хөл гэж нэрлэдэг. Нэмж дурдахад гурвалжин дахь өнцгүүдийн нийлбэрийг бид санаж байх ёстой тэгш өнцөгт системкоординат нь 180 градус байна.
Тодорхойлолт
Эцэст нь, геометрийн суурийн талаар сайн ойлголттой бол бид өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолт руу шилжиж болно.
Өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн (жишээ нь, хүссэн өнцгийн эсрэг тал) гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Синус болон косинус аль аль нь нэгээс их байж болохгүй гэдгийг санаарай! Яагаад? Учир нь гипотенуз нь анхдагчаар хамгийн урт байдаг.Хөл нь хичнээн урт байсан ч энэ нь гипотенузаас богино байх бөгөөд энэ нь тэдний харьцаа үргэлж нэгээс бага байх болно гэсэн үг юм. Тиймээс, хэрэв та асуудлын хариултанд 1-ээс их утгатай синус эсвэл косинусыг олж авбал тооцоолол эсвэл үндэслэлийн алдааг хайж олох хэрэгтэй. Энэ хариулт илт буруу байна.
Эцэст нь, өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм. Үүнтэй ижил үр дүн нь синусын косинусыг хуваах болно. Харна уу: томъёоны дагуу бид хажуугийн уртыг гипотенузаар хувааж, дараа нь хоёр дахь талын уртаар хувааж, гипотенузаар үржүүлнэ. Тиймээс бид шүргэгчийн тодорхойлолттой ижил харьцааг олж авдаг.
Котангенс нь тус тусын өнцөгт зэргэлдээх талыг эсрэг талтай харьцуулсан харьцаа юм. Нэгжийг шүргэгчээр хуваах замаар бид ижил үр дүнд хүрнэ.
Тиймээс, бид синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг авч үзсэн бөгөөд бид томьёотой харьцаж болно.
Хамгийн энгийн томъёонууд
Тригонометрийн хувьд томьёогүйгээр хийх боломжгүй - тэдгээргүйгээр синус, косинус, тангенс, котангенсыг хэрхэн олох вэ? Асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ нь яг хэрэгтэй зүйл юм.
Тригонометрийг судалж эхлэхэд таны мэдэх ёстой хамгийн эхний томъёо нь өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна. Энэ томъёонь Пифагорын теоремын шууд үр дагавар боловч хэрэв та өнцгийн талыг биш харин өнцгийн утгыг мэдэхийг хүсвэл цаг хэмнэнэ.
Олон оюутнууд сургуулийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш их алдартай байдаг хоёр дахь томьёог санаж чадахгүй байна: нэгийн нийлбэр ба өнцгийн тангенсийн квадрат нь өнцгийн косинусын квадратад хуваагдсантай тэнцүү байна. Нарийвчилж хараарай: эцэст нь энэ нь эхний томьёотой ижил мэдэгдэл бөгөөд зөвхөн таних тэмдгийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваасан. Энгийн математикийн үйлдэл хийдэг болох нь харагдаж байна тригонометрийн томъёобүрэн танигдахын аргагүй. Санаж байна уу: синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болох, хувиргах дүрэм, хэд хэдэн үндсэн томъёог мэдэж авснаар та хүссэн үедээ шаардлагатай нэмэлт мэдээллийг гаргаж авах боломжтой. нарийн төвөгтэй томъёоцаасан дээр.
Давхар өнцгийн томьёо ба аргумент нэмэх
Та сурах хэрэгтэй өөр хоёр томьёо нь өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синус ба косинусын утгуудтай холбоотой юм. Тэдгээрийг доорх зурагт үзүүлэв. Эхний тохиолдолд синус ба косинусыг хоёр удаа үржүүлж, хоёр дахь тохиолдолд синус ба косинусын хос үржвэрийг нэмдэг болохыг анхаарна уу.
Мөн давхар өнцгийн аргументуудтай холбоотой томъёонууд байдаг. Тэдгээр нь өмнөх хувилбаруудаас бүрэн үүсэлтэй - практикийн хувьд альфа өнцгийг бета өнцөгтэй тэнцүү авч, өөрөө авахыг хичээ.
Эцэст нь хэлэхэд, давхар өнцгийн томьёо нь синус, косинус, тангенс альфа зэрэгийг багасгахын тулд хөрвүүлж болно гэдгийг анхаарна уу.
Теоремууд
Үндсэн тригонометрийн хоёр гол теорем нь синусын теорем ба косинусын теорем юм. Эдгээр теоремуудын тусламжтайгаар та синус, косинус, тангенс, иймээс зургийн талбай, тал бүрийн хэмжээ гэх мэтийг хэрхэн олохыг хялбархан ойлгох боломжтой.
Гурвалжны тал бүрийн уртыг эсрэг талын өнцгийн утгад хуваасны үр дүнд бид ижил тоо гарна гэж синусын теорем заасан. Түүнээс гадна энэ тоо нь тойргийн хоёр радиустай тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн гурвалжны бүх цэгүүдийг агуулсан тойрог.
Косинусын теорем нь Пифагорын теоремыг ерөнхийлж, түүнийг дурын гурвалжинд тусгадаг. Хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс тэдгээрийн үржвэрийг тэдгээрийн зэргэлдээх өнцгийн давхар косинусаар үржүүлж хасвал үр дүнгийн утга нь гурав дахь талын квадраттай тэнцүү байх болно. Тиймээс Пифагорын теорем нь косинусын теоремын онцгой тохиолдол болж хувирав.
Анхаарал болгоомжгүйн улмаас гарсан алдаа
Синус, косинус, тангенс гэж юу байдгийг мэддэг байсан ч ухаангүй байдлаас эсвэл хамгийн энгийн тооцооллын алдаанаас болж алдаа гаргах нь амархан байдаг. Иймэрхүү алдаанаас зайлсхийхийн тулд тэдгээрийн хамгийн алдартайг нь авч үзье.
Нэгдүгээрт, эцсийн үр дүн гарах хүртэл энгийн бутархайг аравтын бутархай болгон хөрвүүлэх ёсгүй - хариултыг маягт дээр үлдээж болно. энгийн бутархайнөхцөл өөрөөр заагаагүй бол. Ийм өөрчлөлтийг алдаа гэж нэрлэж болохгүй, гэхдээ асуудлын үе шат бүрт шинэ үндэс гарч ирж магадгүй бөгөөд зохиогчийн санааны дагуу үүнийг багасгах хэрэгтэй гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд та шаардлагагүй математик үйлдлүүдэд цаг алдах болно. Энэ нь ялангуяа гурав, хоёрын үндэс гэх мэт утгуудын хувьд үнэн юм, учир нь тэдгээр нь алхам тутамд даалгавруудад тохиолддог. "Муухай" тоонуудыг дугуйлахад мөн адил хамаарна.
Цаашилбал, косинусын теорем нь ямар ч гурвалжинд хамаарах боловч Пифагорын теорем биш гэдгийг анхаарна уу! Хэрэв та талуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэн үржвэрийг хоёр дахин хасахаа мартсан бол та зөвхөн буруу үр дүнг авахаас гадна тухайн сэдвийг бүрэн буруу ойлгосон гэдгээ харуулах болно. Энэ бол болгоомжгүй алдаанаас ч дор юм.
Гуравдугаарт, синус, косинус, тангенс, котангентын хувьд 30 ба 60 градусын өнцгийн утгыг андуурч болохгүй. Эдгээр утгыг санаарай, учир нь 30 градусын синус нь 60-ын косинустай тэнцүү ба эсрэгээр. Тэдгээрийг холих нь амархан бөгөөд үүний үр дүнд та алдаатай үр дүнд хүрэх нь гарцаагүй.
Өргөдөл
Олон оюутнууд тригонометрийг судалж эхлэх гэж яарахгүй байна, учир нь тэд түүний хэрэглээний утгыг ойлгодоггүй. Инженер, одон орон судлаачийн хувьд синус, косинус, тангенс гэж юу вэ? Эдгээр нь алс холын одод хүртэлх зайг тооцоолох, солир унахыг урьдчилан таамаглах, өөр гариг руу судалгааны датчик илгээх зэрэг ойлголтууд юм. Тэдгээргүйгээр барилга байгууламж барих, машин зохион бүтээх, гадаргуу дээрх ачаалал эсвэл объектын замналыг тооцоолох боломжгүй юм. Мөн эдгээр нь зөвхөн хамгийн тод жишээ юм! Эцсийн эцэст, тригонометрийг нэг хэлбэрээр эсвэл өөр хэлбэрээр хөгжимөөс анагаах ухаан хүртэл хаа сайгүй ашигладаг.
Эцэст нь
Тэгэхээр та синус, косинус, тангенс юм. Та тэдгээрийг тооцоололд ашиглаж, сургуулийн асуудлыг амжилттай шийдэж чадна.
Тригонометрийн бүх мөн чанар нь гурвалжны мэдэгдэж буй параметрүүдээс үл мэдэгдэх параметрүүдийг тооцоолох ёстой гэсэн үг юм. Нийт зургаан сонголт байна: урт нь гурвантал ба хэмжээ гурван булан. Даалгавруудын бүх ялгаа нь өөр өөр оролтын өгөгдөл өгөгдсөнд оршино.
Хөлийн мэдэгдэж буй урт эсвэл гипотенуз дээр үндэслэн синус, косинус, тангенсыг хэрхэн олохыг та одоо мэдэж байна. Эдгээр нэр томьёо нь харьцаанаас өөр утгагүй бөгөөд харьцаа нь бутархай учраас тригонометрийн бодлогын гол зорилго нь энгийн тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийн язгуурыг олох явдал юм. Энд танд энгийн сургуулийн математик туслах болно.
Бид тригонометрийн судалгаагаа тэгш өнцөгт гурвалжнаас эхэлдэг. Синус ба косинус, мөн хурц өнцгийн тангенс ба котангенс гэж юу болохыг тодорхойлъё. Эдгээр нь тригонометрийн үндэс суурь юм.
Үүнийг эргэн сана зөв өнцөгнь 90 градустай тэнцүү өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл, эвхээгүй булангийн хагас.
Хурц булан- 90 градусаас бага.
Мохоо өнцөг- 90 хэмээс дээш. Ийм өнцгийн хувьд "мохоо" нь доромжлол биш, харин математикийн хэллэг юм :-)
Тэгш өнцөгт гурвалжин зуръя. Зөв өнцгийг ихэвчлэн тэмдэглэдэг. Булангийн эсрэг талын талыг зөвхөн жижиг үсгээр тэмдэглэсэн болохыг анхаарна уу. Тиймээс А өнцгийн эсрэг талд байрлах талыг тэмдэглэв.
Өнцгийг харгалзах Грек үсгээр тэмдэглэнэ.
ГипотенузТэгш өнцөгтийн эсрэг тал нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Хөл- хурц булангуудын эсрэг талд.
Булангийн эсрэг талын хөлийг нэрлэдэг эсрэг(өнцөгтэй харьцуулахад). Булангийн нэг талд байрлах нөгөө хөлийг нь нэрлэдэг зэргэлдээ.
СинусТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Косинустэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа:
Тангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа:
Өөр нэг (тэнцүү) тодорхойлолт: хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.
Котангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын харьцаа (эсвэл косинус ба синустай тэнцэх харьцаа):
Доор өгөгдсөн синус, косинус, тангенс, котангенсийн үндсэн харьцааг анхаарч үзээрэй. Тэд бидэнд асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай байх болно.
Тэдний заримыг нь нотолж үзье.
За, бид тодорхойлолт, бичсэн томьёо өгсөн. Гэхдээ яагаад бидэнд синус, косинус, тангенс, котангенс хэрэгтэй вэ?
Бид үүнийг мэднэ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь.
хоорондын харилцааг бид мэднэ намуудзөв гурвалжин. Энэ бол Пифагорын теорем: .
Гурвалжин дахь хоёр өнцгийг мэдвэл гурав дахь өнцгийг нь олох боломжтой болж байна. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг мэдсэнээр та гурав дахь талыг нь олох боломжтой. Тиймээс, өнцгийн хувьд - тэдгээрийн харьцаа, талуудын хувьд - өөрсдийнхөө. Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг (зөвөөс бусад) ба нэг тал нь мэдэгдэж байгаа ч бусад талыг олох шаардлагатай бол яах вэ?
Өмнө нь хүмүүс энэ газар нутгийн газрын зураг, одтой тэнгэрийг зурж байсан зүйл юм. Эцсийн эцэст гурвалжны бүх талыг шууд хэмжих нь үргэлж боломжгүй байдаг.
Синус, косинус ба тангенс - тэдгээрийг бас нэрлэдэг өнцгийн тригонометрийн функцууд- хоорондын харьцааг өгнө намуудболон булангуудгурвалжин. Өнцгийг мэдэхийн тулд та тусгай хүснэгт ашиглан түүний бүх тригонометрийн функцийг олох боломжтой. Гурвалжин ба түүний аль нэг талын өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсыг мэдсэнээр та үлдсэн хэсгийг нь олох боломжтой.
Бид мөн "сайн" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгуудын хүснэгтийг зурах болно.
Хүснэгт дээрх хоёр улаан зураасыг анхаарч үзээрэй. Өнцгийн харгалзах утгуудын хувьд тангенс ба котангенс байхгүй байна.
FIPI Банкны даалгавраас тригонометрийн хэд хэдэн асуудлыг шинжлэхийг үзье.
1. Гурвалжинд өнцөг нь ,. олох.
Асуудлыг дөрвөн секундын дотор шийддэг.
Учир нь , .
2. Гурвалжинд өнцөг нь , , . олох.
Пифагорын теоремоор олъё.
Асуудал шийдэгдэж.
Бодлого нь ихэвчлэн өнцөгтэй гурвалжин ба эсвэл өнцөгтэй гурвалжин байдаг. Тэдний үндсэн харьцааг цээжээр цээжил!
Өнцөгтэй гурвалжин ба өнцгийн эсрэг талын хөл нь тэнцүү байна гипотенузын хагас.
Өнцөгтэй гурвалжин ба тэгш өнцөгт. Үүний дотор гипотенуз нь хөлөөс хэд дахин том байдаг.
Бид тэгш өнцөгт гурвалжинг шийдвэрлэх, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх талууд эсвэл өнцгийг олох асуудлыг авч үзсэн. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! AT Сонголтуудыг ашиглахМатематикийн хувьд гурвалжны гадна талын өнцгийн синус, косинус, тангенс эсвэл котангенс гарч ирэх олон асуудал байдаг. Энэ талаар дараагийн өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.
