0-ээс 360 хүртэлх тригонометрийн функцүүдийн хүснэгт. Синус, косинус, тангенс, котангенс - OGE болон USE дээр мэдэх шаардлагатай бүх зүйл

Бид тригонометрийн судалгаагаа эхэлдэг зөв гурвалжин. Синус ба косинус, мөн хурц өнцгийн тангенс ба котангенс гэж юу болохыг тодорхойлъё. Эдгээр нь тригонометрийн үндэс суурь юм.

Үүнийг эргэн сана зөв өнцөгнь 90 градустай тэнцүү өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл, эвхээгүй булангийн хагас.

Хурц булан- 90 градусаас бага.

Мохоо өнцөг- 90 хэмээс дээш. Ийм өнцгийн хувьд "мохоо" нь доромжлол биш, харин математикийн хэллэг юм :-)

Тэгш өнцөгт гурвалжин зуръя. Зөв өнцгийг ихэвчлэн тэмдэглэдэг. Булангийн эсрэг талын талыг зөвхөн жижиг үсгээр тэмдэглэсэн болохыг анхаарна уу. Тиймээс А өнцгийн эсрэг талд байрлах талыг тэмдэглэв.

Өнцгийг харгалзах Грек үсгээр тэмдэглэнэ.

ГипотенузТэгш өнцөгтийн эсрэг тал нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Хөл- хурц булангуудын эсрэг талд.

Булангийн эсрэг талын хөлийг нэрлэдэг эсрэг(өнцөгтэй харьцуулахад). Булангийн нэг талд байрлах нөгөө хөлийг нь нэрлэдэг зэргэлдээ.

СинусТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Косинустэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа:

Тангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа:

Өөр нэг (тэнцүү) тодорхойлолт: хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.

Котангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын харьцаа (эсвэл косинус ба синустай тэнцэх харьцаа):

Доор өгөгдсөн синус, косинус, тангенс, котангенсийн үндсэн харьцааг анхаарч үзээрэй. Тэд бидэнд асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай байх болно.

Тэдний заримыг нь нотолж үзье.

За, бид тодорхойлолт, бичсэн томьёо өгсөн. Гэхдээ яагаад бидэнд синус, косинус, тангенс, котангенс хэрэгтэй вэ?

Бид үүнийг мэднэ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь.

хоорондын харилцааг бид мэднэ намуудзөв гурвалжин. Энэ бол Пифагорын теорем: .

Гурвалжин дахь хоёр өнцгийг мэдвэл гурав дахь өнцгийг нь олох боломжтой болж байна. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг мэдсэнээр та гурав дахь талыг нь олох боломжтой. Тиймээс, өнцгийн хувьд - тэдгээрийн харьцаа, талуудын хувьд - өөрсдийнхөө. Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг (зөвөөс бусад) ба нэг тал нь мэдэгдэж байгаа ч бусад талыг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Өмнө нь хүмүүс энэ газар нутгийн газрын зураг, одтой тэнгэрийг зурж байсан зүйл юм. Эцсийн эцэст гурвалжны бүх талыг шууд хэмжих нь үргэлж боломжгүй байдаг.

Синус, косинус ба тангенс - тэдгээрийг бас нэрлэдэг өнцгийн тригонометрийн функцууд- хоорондын харьцааг өгнө намуудболон булангуудгурвалжин. Өнцгийг мэдэхийн тулд та тусгай хүснэгт ашиглан түүний бүх тригонометрийн функцийг олох боломжтой. Гурвалжин ба түүний аль нэг талын өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсыг мэдсэнээр та үлдсэн хэсгийг нь олох боломжтой.

Бид мөн "сайн" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгуудын хүснэгтийг зурах болно.

Хүснэгт дээрх хоёр улаан зураасыг анхаарч үзээрэй. Өнцгийн харгалзах утгуудын хувьд тангенс ба котангенс байхгүй байна.

FIPI Банкны даалгавраас тригонометрийн хэд хэдэн асуудлыг шинжлэхийг үзье.

1. Гурвалжинд өнцөг нь ,. олох.

Асуудлыг дөрвөн секундын дотор шийддэг.

Учир нь , .

2. Гурвалжинд өнцөг нь , , . олох.

Пифагорын теоремоор олъё.

Асуудал шийдэгдэж.

Бодлого нь ихэвчлэн өнцөгтэй гурвалжин ба эсвэл өнцөгтэй гурвалжин байдаг. Тэдний үндсэн харьцааг цээжээр цээжил!

Өнцөгтэй гурвалжин ба өнцгийн эсрэг талын хөл нь тэнцүү байна гипотенузын хагас.

Өнцөгтэй гурвалжин ба тэгш өнцөгт. Үүний дотор гипотенуз нь хөлөөс хэд дахин том байдаг.

Бид тэгш өнцөгт гурвалжинг шийдвэрлэх, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх талууд эсвэл өнцгийг олох асуудлыг авч үзсэн. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! AT Сонголтуудыг ашиглахМатематикийн хувьд гурвалжны гадна талын өнцгийн синус, косинус, тангенс эсвэл котангенс гарч ирэх олон асуудал байдаг. Энэ талаар дараагийн өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.

Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээрийг эхлээд харахад нарийн төвөгтэй ойлголтууд (олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг), "чөтгөр зурсан шигээ аймшигтай биш" гэдгийг сайн ойлгохын тулд эхнээс нь эхэлцгээе. мөн өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгох.

Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус

Зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэв". Тиймээс анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно булан.

Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!

Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус болон радианаар хэмжиж болно.

Өнцөг (нэг градус) нь тойргийн хэсэгтэй тэнцүү дугуй нуман дээр тулгуурласан тойргийн төв өнцөг юм. Тиймээс бүх тойрог нь дугуй нумануудын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр суурилдаг.

Радианаар хэмжигдэх өнцгийг тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нуман дээр тулгуурлан тойргийн төв өнцөг гэж нэрлэдэг. За ойлгов уу? Үгүй бол зургийг харцгаая.

Тиймээс, зураг нь радиантай тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн радиустай тэнцүү дугуй нуман дээр суурилдаг (урт нь урт эсвэл радиустай тэнцүү). урттай тэнцүүнумууд). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Радиан дахь төв өнцөг хаана байна.

За, та үүнийг мэдэж байгаа тул тойргоор дүрсэлсэн өнцөг хэдэн радиан агуулж байгааг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Тэр тэнд байна:

За, одоо энэ хоёр томьёог харьцуулж тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг тул "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэдэг үгийг орхигдуулдаг.

Хэдэн радиантай вэ? Яг зөв!

Авчихсан? Дараа нь урагшаа чангал:

Ямар нэг хүндрэл байна уу? Дараа нь хар хариултууд:

Зөв гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс

Тиймээс, өнцгийн тухай ойлголттой болсон. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүний тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд тусална.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (зэргэлдээх зөв өнцөг), үүнээс гадна, хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, харин хөл нь эсрэг талынх юм. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Өнцгийн синуснь эсрэг талын (хол) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юугаар хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчболон котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусболон косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

косинус→хүрч→хүрч→зэргэлдээ;

Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа болох синус, косинус, тангенс, котангенс нь эдгээр талуудын уртаас (нэг өнцгөөр) хамаардаггүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Бүү итгэ? Дараа нь зургийг харж байгаа эсэхийг шалгаарай:

Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас: , гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: . Та харж байна уу, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд засаарай!

Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд бид олно.

За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: булангийн хувьд адилхан тооцоол.

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Градус ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийн судалгаанд маш их хэрэгтэй байдаг. Тиймээс бид энэ талаар бага зэрэг нарийвчлан авч үзэх болно.

Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нь нэгтэй тэнцүү, тойргийн төв нь эх цэг дээр байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байдаг (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).

Тойргийн цэг бүр нь тэнхлэгийн дагуух координат ба тэнхлэгийн дагуух координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоо юу вэ? Тэгээд ер нь тэд яригдаж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны талаар санаарай. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Гурвалжингаас ямар тэнцүү вэ? Яг зөв. Нэмж дурдахад энэ нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, тиймээс, . Энэ утгыг манай косинусын томъёонд орлуулна уу. Энд юу болох вэ:

Гурвалжингаас юу тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.

Тэгэхээр та тойрогт хамаарах цэгийн координат хэд болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо юм бол? Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? За, мэдээжийн хэрэг, координат! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Зөв шүү, зохицуулаарай! Тиймээс, цэг.

Тэгээд юу тэнцүү ба? Зөв шүү, тангенс ба котангенсийн тохирох тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя, a.

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:

Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэв. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх). Өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утга хэд вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсийн утгууд нь харгалзах харьцаатай байна. Иймээс эдгээр хамаарал нь радиус векторын аливаа эргэлтэд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та бас тодорхой хэмжээний өнцөг авах болно, гэхдээ энэ нь зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тэгэхээр, тойргийн эргэн тойронд радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Тиймээс эхний тохиолдолд радиус вектор нь нэг бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүрэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид өөр өөр өнцөг буюу (энэ нь ямар ч бүхэл тоо) нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд тохирох гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна) бичиж болно.

Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юутай тэнцүү вэ гэдэгт хариулахыг хичээгээрэй.

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Ямар нэг хүндрэл байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

Эндээс бид өнцгийн тодорхой хэмжүүрт тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: өнцөг нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

Байдаггүй;

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө оролдоод үз, дараа нь хариултуудыг шалгана уу.

Хариултууд:

Байдаггүй

Байдаггүй

Байдаггүй

Байдаггүй

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.

Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

Гэхдээ доорхи хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санаж байх ёстой:

Бүү ай, одоо бид жишээнүүдийн аль нэгийг үзүүлэх болно харгалзах утгуудыг энгийн цээжлэх:

Энэ аргыг ашиглахын тулд синусын утгыг бүх хүнд санаж байх нь чухал юм гурван арга хэмжээөнцөг (), түүнчлэн өнцгийн тангенсийн утга. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд хялбар байдаг - косинусын утгуудыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур " " таарч, хуваагч " " таарна. Котангентын утгыг зурагт үзүүлсэн сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, диаграммыг сумаар санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?

За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Гаргаад ирье ерөнхий томъёоцэгийн координатыг олох.

Жишээлбэл, энд ийм тойрог байна:

Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Цэгийг градусаар эргүүлэх замаар олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад цэгийн координат нь сегментийн урттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.

Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.

Үүнтэй ижил логикоор бид цэгийн y координатын утгыг олно. Энэ замаар,

Тиймээс дотор ерөнхий үзэлцэгийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тойргийн төвийн координат,

тойрог радиус,

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

За, тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж, амтлахын тулд эдгээр томъёог туршиж үзье?

1. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

2. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

3. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

4. Цэг - тойргийн төв. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

5. Цэг - тойргийн төв. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?

Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл шийдлийг сайн ойлгоорой), та тэдгээрийг хэрхэн олохыг сурах болно!

1.

Үүнийг харж болно. Мөн бид эхлэлийн цэгийг бүрэн эргүүлэхэд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн хүссэн координатыг олно.

2. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Үүнийг харж болно. Эхлэх цэгийн хоёр бүрэн эргэлтэнд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн хүссэн координатыг олно.

Синус ба косинус хоёр хүснэгтийн утгууд. Бид тэдний үнэ цэнийг санаж, дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

3. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Үүнийг харж болно. Зураг дээр авч үзсэн жишээг дүрсэлцгээе.

Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус авдаг болохыг тогтоов сөрөг утгатай, мөн синус эерэг байвал бидэнд:

Сэдвийн тригонометрийн функцийг багасгах томъёог судлахдаа ижил төстэй жишээнүүдийг илүү нарийвчлан шинжилдэг.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

4.

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)

Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь эерэг, утга нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдсэнээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулж, координатыг олъё.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашигладаг, хаана

Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,

Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр).

Томъёонд бүх утгыг орлуулаад дараахийг авна уу:

ба - хүснэгтийн утгууд. Бид тэдгээрийг санаж, томъёонд орлуулна:

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН ТОМЪЁО

Өнцгийн синус нь эсрэг талын (алс) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.

0, 30, 45, 60, 90, ... градусын өнцгийн үндсэн тригонометрийн функцуудын хүснэгт

$\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$ функцүүдийн тригонометрийн тодорхойлолтоос $0$ ба $90$ градусын өнцгийн утгыг олж болно.

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ тодорхойлогдоогүй;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ тодорхойлогдоогүй байна.

Сургуулийн геометрийн хичээл дээр тэгш өнцөгт гурвалжинг судлахдаа $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$ өнцгүүдийн тригонометрийн функцийг олдог.

Заасан өнцгүүдийн тригонометрийн функцүүдийн олсон утгууд нь градус ба радианаар тус тус ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\) Цээжлэх, хэрэглэхэд хялбар болгох үүднээс pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) нэртэй хүснэгтэнд оруулсан болно. тригонометрийн хүснэгт, тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудын хүснэгтгэх мэт.

Бууруулах томьёог ашиглах үед тригонометрийн хүснэгтийг $360°$ ба $2\pi$ радианаар тус тус өргөжүүлж болно.

Тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанарыг ашигласнаар аль хэдийн мэдэгдэж байсан өнцөгөөс $360°$-оор ялгаатай өнцгийг тооцоолж, хүснэгтэд бичиж болно. Жишээлбэл, $0°$ өнцгийн тригонометрийн функц нь $0°+360°$, $0°+2 \cdot 360°$, $0°+3 өнцгийн хувьд ижил утгатай байх болно. cdot 360°$ гэх мэт.

Тригонометрийн хүснэгтийг ашиглан нэгж тойргийн бүх өнцгийн утгыг тодорхойлж болно.

Сургуулийн геометрийн хичээл дээр тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгох үүднээс тригонометрийн хүснэгтэд цуглуулсан тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудыг цээжлэх ёстой.

Хүснэгт ашиглах

Хүснэгтээс шаардлагатай тригонометрийн функц болон энэ функцийг тооцоолох шаардлагатай өнцөг эсвэл радианы утгыг олоход хангалттай. Функц бүхий мөр ба утга бүхий баганын огтлолцол дээр бид өгөгдсөн аргументийн тригонометрийн функцийн хүссэн утгыг авна.

Зураг дээр та $\frac(1)(2)$-тай тэнцүү $\cos⁡60°$ утгыг хэрхэн олохыг харж болно.

Өргөтгөсөн тригонометрийн хүснэгтийг мөн адил ашигладаг. Үүнийг ашиглах давуу тал нь аль хэдийн дурьдсанчлан бараг бүх өнцгийн тригонометрийн функцийг тооцоолох явдал юм. Жишээлбэл, та $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\ tan(1 020°-360°)=\ tan(660°-360°)=\tan300 утгыг хялбархан олох боломжтой. °$:

Тригонометрийн үндсэн функцүүдийн Брадисын хүснэгт

Бүхэл тоо градус ба минутын бүхэл утгын хувьд ямар ч өнцгийн утгын тригонометрийн функцийг тооцоолох чадвар нь Брадисын хүснэгтийг ашиглах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, $\cos⁡34°7"$ утгыг олоорой. Хүснэгтүүд нь 2 хэсэгт хуваагдана: $\sin$ ба $\cos$ утгын хүснэгт, $\tan$ ба $\ хүснэгт. cot$ утгууд.

Брадисын хүснэгтүүд нь аравтын бутархайн 4 хүртэлх нарийвчлалтай тригонометрийн функцүүдийн ойролцоо утгыг авах боломжийг олгодог.

Bradis хүснэгтүүдийг ашиглах

Брэдисийн синусуудын хүснэгтүүдийг ашиглан бид $\sin⁡17°42"$-ийг олно. Үүнийг хийхийн тулд синус ба косинусын хүснэгтийн зүүн талд байгаа баганад градусын утгыг олно - $17°$, мөн дээд мөрөнд бид минутын үнэ цэнийг олдог - $42"$. Тэдний уулзвар дээр бид хүссэн утгыг авна.

$\sin17°42"=0.304$.

$\sin17°44"$-ийн утгыг олохын тулд та хүснэгтийн баруун талд байгаа засварыг ашиглах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолдХүснэгтэд байгаа $42"$-ын утга дээр та $2"$-д залруулга нэмэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь $0.0006$-тэй тэнцүү байна. Бид авах:

$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.

$\sin17°47"$ утгыг олохын тулд бид мөн хүснэгтийн баруун талд байгаа залруулга ашигладаг, зөвхөн энэ тохиолдолд бид $\sin17°48"$-ийн утгыг үндэс болгон авч, засварыг хасна. $1"$:

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.

Косинусыг тооцоолохдоо бид ижил төстэй үйлдлүүдийг хийдэг боловч баруун баганад байгаа градус, хүснэгтийн доод баганын минутыг хардаг. Жишээлбэл, $\cos20°=0.9397$.

$90°$ хүртэлх тангенсийн утгууд ба жижиг өнцгийн котангенсийн хувьд засвар байхгүй. Жишээлбэл, $\tan 78°37"$-ийг олъё, хүснэгтээс харахад $4,967$ байна.

Өгүүлэлд бид ямар харагдахыг бүрэн ойлгох болно ширээ тригонометрийн утгууд, синус, косинус, тангенс ба котангенс. Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгыг 0,30,45,60,90,...,360 градусын өнцгөөс авч үзье. Тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолохдоо эдгээр хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг харцгаая.
Эхлээд бодож үзээрэй косинус, синус, тангенс, котангенсийн хүснэгт 0, 30, 45, 60, 90,.. градусын өнцгөөс. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолт нь 0 ба 90 градусын өнцгийн функцүүдийн утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог.

sin 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. tg 00 \u003d 0, 00-ийн котангенс тодорхойгүй болно
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0-ийн тангенс тодорхойгүй болно

Хэрэв бид 30-аас 90 градусын өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авбал. Бид авах:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

Бид олж авсан бүх утгыг маягтаар илэрхийлдэг тригонометрийн хүснэгт:

Синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт!

Хэрэв бид цутгамал томъёог ашиглавал хүснэгт маань нэмэгдэж, 360 градус хүртэлх өнцгийн утгууд нэмэгдэх болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Мөн үелэх шинж чанарт үндэслэн z нь бүхэл тоо болох 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z өнцгүүдийг орлуулж чадвал хүснэгтийг нэмэгдүүлж болно. Энэ хүснэгтэд нэг тойрог дахь цэгүүдэд тохирох бүх өнцгийн утгыг тооцоолох боломжтой.

Шийдэл дэх хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг тодорхой харцгаая.
Бүх зүйл маш энгийн. Учир нь бидэнд хэрэгтэй үнэ цэнэ нь бидэнд хэрэгтэй нүднүүдийн огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Жишээлбэл, 60 градусын өнцгийн cos-ийг авч үзье, хүснэгтэд энэ нь дараах байдалтай байна.

Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудын эцсийн хүснэгтэд бид ижил аргаар ажилладаг. Гэхдээ энэ хүснэгтээс 1020 градусын өнцгөөс шүргэгч хэр их болохыг олж мэдэх боломжтой, энэ нь = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2 гэдгийг шалгая. Хүснэгтийг олцгооё.

Брадисын ширээ. Синус, косинус, тангенс, котангенсийн хувьд.

Брэдисийн хүснэгтүүд нь хэд хэдэн хэсэгт хуваагддаг бөгөөд тэдгээр нь косинус ба синус, тангенс ба котангенсийн хүснэгтүүдээс бүрддэг бөгөөд энэ нь хоёр хэсэгт хуваагддаг (90 градус хүртэлх өнцгийн tg ба жижиг өнцгийн ctg).

Синус ба косинус

өнцөг tg 00-ээс 760 хүртэл, өнцөг ctg 140-900 хүртэл.

tg хүртэл 900 ба ctg жижиг өнцөгтэй.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ Bradis хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг олж мэдье.

Гэм гэсэн тэмдэглэгээг олцгооё (зүүн ирмэгээс баганад байгаа тэмдэглэгээ) 42 минут (тэмдэглэгээ нь дээд мөрөнд байна). Гэмтсэнээр бид тэмдэглэгээг хайж байна, энэ нь = 0.3040 байна.

Минутын утгыг зургаан минутын интервалаар зааж өгсөн бөгөөд хэрэв бидэнд хэрэгтэй утга энэ интервалд багтаж байвал яах вэ. 44 минутыг авч үзье, хүснэгтэд ердөө 42 минут байна. Бид 42-ыг үндэс болгон авч, нэмэлт багануудыг ашиглана. баруун тал, бид 2-р нэмэлт өөрчлөлтийг авч 0.3040 + 0.0006 дээр нэмбэл 0.3046 болно.

Нүгэл 47 минутын хувьд бид 48 минутыг үндэс болгон авч, үүнээс 1 залруулга хасна, өөрөөр хэлбэл 0.3057 - 0.0003 = 0.3054.

Косыг тооцоолохдоо бид нүгэлтэй адил ажилладаг бөгөөд зөвхөн хүснэгтийн доод эгнээг үндэс болгон авдаг. Жишээ нь cos 20 0 = 0.9397

90 0 хүртэлх өнцгийн tg утгууд ба жижиг өнцгийн ор нь зөв бөгөөд тэдгээрт засвар байхгүй. Жишээлбэл, tg 78 0 37min = 4.967-г ол


ба ctg 20 0 13 мин = 25.83

За, энд бид тригонометрийн үндсэн хүснэгтүүдийг авч үзсэн. Энэ мэдээлэл танд маш хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна. Хүснэгт дээрх асуултууд, хэрэв байгаа бол сэтгэгдэл дээр бичихээ мартуузай!

Тайлбар: Ханын хаалт - ханыг хамгаалах самбар. Ханагүй хүрээгүй хаалт (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) холбоосыг дагаж илүү ихийг олж мэдээрэй.

Тангенс (tg x) ба котангенс (ctg x)-ийн лавлагаа өгөгдөл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Шүргэгч ба котангентын хүснэгт, дериватив, интеграл, цувааны өргөтгөл. Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлэл. Гиперболик функцуудтай холболт.

Геометрийн тодорхойлолт

|BD| - А цэг дээр төвлөрсөн тойргийн нумын урт.
α нь радианаар илэрхийлэгдсэн өнцөг юм.

шүргэгч ( tgα) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |BC| зэргэлдээх хөлний урт хүртэл |AB| .

Котангенс ( ctgα) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| эсрэг талын хөлний урт хүртэл |BC| .

Тангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
;
;
.

Шүргэх функцийн график, y = tg x

Котангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд котангенсыг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
Дараах тэмдэглэгээг мөн баталсан.
;
;
.

Котангенсийн функцийн график, y = ctg x

Тангенс ба котангенсын шинж чанарууд

Үе үе

Функцууд y= tg xба у= ctg xπ үетэй үечилсэн байна.

Паритет

Тангенс ба котангенс функцууд нь сондгой.

Тодорхойлолт ба утгын хүрээ, өсөх, буурах

Тангенс ба котангенс функцууд нь тодорхойлолтын талбартаа тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тангенс ба котангентын үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв ( n- бүхэл тоо).

	у= tg x	у= ctg x
Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал
Утгын хүрээ	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Өгсөж байна		-
Бууж байна	-
Хэт их	-	-
Тэг, у= 0
У тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у= 0	-

Томъёо

Синус ба косинусын илэрхийлэл

; ;
; ;
;

Нийлбэр ба ялгаварын тангенс ба котангенсийн томъёо

Жишээлбэл, бусад томъёог олж авахад хялбар байдаг

Шүргэгчийн бүтээгдэхүүн

Шүргэгчийн нийлбэр ба зөрүүний томъёо

Энэ хүснэгтэд аргументийн зарим утгуудын шүргэгч ба котангентын утгыг харуулав.

Комплекс тоонуудын илэрхийлэл

Гиперболын функцүүдийн илэрхийлэл

;
;

Дериватив

; .

.
Функцийн х хувьсагчийн хувьд n-р эрэмбийн дериватив:
.
Шүргэгчийн томьёо гарган авах > > > ; котангенсийн хувьд > > >

Интеграл

Цуврал болгон өргөтгөх

X-ийн зэрэглэлийн тангенсийн тэлэлтийг авахын тулд та өргөтгөлийн хэд хэдэн нөхцөлийг авах хэрэгтэй. эрчим хүчний цувралфункцүүдийн хувьд гэм хболон cos xмөн эдгээр олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хувааж, . Үүний үр дүнд дараах томъёо гарч ирнэ.

-д.

цагт.
хаана Б н- Бернуллигийн тоо. Тэдгээрийг дахилтын хамаарлаас аль нэгээр нь тодорхойлно.
;
;
хаана.
Эсвэл Лапласын томъёоны дагуу:

Урвуу функцууд

Урвуу функцуудшүргэгч ба котангенс нь арктангенс ба арккотангенс байна.

Арктангенс, арктг

, хаана n- бүхэлд нь.

Нуман тангенс, arcctg

, хаана n- бүхэлд нь.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Дээд боловсролын байгууллагын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, Лан, 2009 он.
Г.Корн, Судлаач, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012 он.