Призмийн суурийн талбай: гурвалжингаас олон өнцөгт хүртэл. Гурвалжин призмийн эзэлхүүн: ерөнхий төрлийн томьёо ба ердийн призмийн томъёо

Призмийн эзэлхүүн. Асуудал шийдэх

Геометр бол бидний оюун ухааны чадавхийг сайжруулах хамгийн хүчирхэг хэрэгсэл бөгөөд зөв бодож сэтгэх боломжийг олгодог.

Г.Галилей

Хичээлийн зорилго:

• Призмийн эзэлхүүнийг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэхийг заах, оюутнуудад призм ба түүний элементүүдийн талаархи мэдээллийг нэгтгэх, системчлэх, нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг бий болгох;
• хөгжүүлэх логик сэтгэлгээ, бие даан ажиллах чадвар, харилцан хяналт, өөрийгөө хянах чадвар, ярих, сонсох чадвар;
• Тогтмол ажил хөдөлмөр эрхлэх, зарим ашигтай үйлс, хариу үйлдэл, хичээнгүй байдал, үнэн зөв байдлын боловсролыг бий болгох.

Хичээлийн төрөл: мэдлэг, ур чадвар, чадварыг ашиглах хичээл.

Тоног төхөөрөмж: хяналтын карт, медиа проектор, танилцуулга "Хичээл. Призмийн хэмжээ”, компьютерууд.

Хичээлийн үеэр

• Призмийн хажуугийн хавирга (Зураг 2).
• Призмийн хажуугийн гадаргуу (Зураг 2, Зураг 5).
• Призмийн өндөр (Зураг 3, Зураг 4).
• Шууд призм (Зураг 2,3,4).
• Налуу призм (Зураг 5).
• Зөв призм (Зураг 2, Зураг 3).
• Призмийн диагональ огтлол (Зураг 2).
• Призм диагональ (Зураг 2).
• Призмийн перпендикуляр хэсэг (pi3, fig4).
• Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай.
• Дөрвөлжин бүрэн гадаргуупризмүүд.
• Призмийн эзэлхүүн.

1. ГЭРИЙН ДААЛГАВАР ШАЛГАХ (8 мин)

Тэмдэглэлийн дэвтэр солилцох, слайд дээрх шийдлийг шалгаж, тэмдэглэгээ хийх (даалгавар зохиосон бол 10-ыг тэмдэглээрэй)

Асуудлыг зурж, шийдээрэй. Оюутан өөрийн зохиосон бодлогоо самбар дээр хамгаална. Зураг 6 ба Зураг 7.





2-р бүлэг, §3
Даалгавар.2. Ердийн гурвалжин призмийн бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Призмийн гадаргуугийн талбай см 2 бол түүний эзлэхүүнийг тооцоол (Зураг 8)



2-р бүлэг, §3
Бодлого 5. ABCA 1B 1C1 шууд призмийн суурь нь зөв гурвалжин ABC (өнцөг ABC=90°), AB=4см. Хэрвээ хүрээлэгдсэн ABC гурвалжны радиус 2.5см, призмийн өндөр 10см бол призмийн эзэлхүүнийг тооцоол. (Зураг 9).



2-р бүлэг, § 3
Бодлого 29. Энгийн дөрвөлжин призмийн суурийн хажуугийн урт 3см. Призмийн диагональ нь хажуугийн нүүрний хавтгайтай 30 ° өнцгийг үүсгэдэг. Призмийн эзэлхүүнийг тооцоол (Зураг 10).



2. Хамтын ажиллагааангитай багш нар (2-3 мин.).

Зорилго: онолын халалтын үр дүнг нэгтгэн дүгнэх (оюутнууд оноо тавьдаг бие биенээ), тухайн сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх арга замыг судлах.

3. БИЕИЙН МИНУТ (3 мин)
4. АСУУДАЛ ШИЙДЭХ (10 мин)

Энэ үе шатанд багш нь планиметрийн асуудлыг шийдэх аргууд, планиметрийн томъёог давтах ажлыг зохион байгуулдаг. Анги нь хоёр бүлэгт хуваагддаг бөгөөд зарим нь асуудал шийддэг, зарим нь компьютер дээр ажилладаг. Дараа нь тэд өөрчлөгддөг. Оюутнуудыг бүх No8 (амаар), No9 (амаар) шийдвэрлэхийг урьж байна. Бүлэгт хуваагдан зөрчил гаргасны дараа 14, 30, 32 дугаар асуудлыг шийднэ.

2-р бүлэг, §3, хуудас 66-67

Бодлого 8. Энгийн гурвалжин призмийн бүх ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү байна. Доод суурийн ирмэг ба дээд суурийн хажуугийн дунд хэсгийг дайран өнгөрөх онгоцны хөндлөн огтлолын талбай см бол призмийн эзэлхүүнийг ол (Зураг 11).



2-р бүлэг, §3, хуудас 66-67
Бодлого 9. Шулуун призмийн суурь нь дөрвөлжин бөгөөд хажуугийн ирмэг нь суурийн талаас хоёр дахин их байна. Суурийн хажуу ба эсрэг талын ирмэгийн дунд хэсгийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар призмийн огтлолын ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн радиус см бол призмийн эзэлхүүнийг тооцоол (Зураг 12).



2-р бүлэг, §3, хуудас 66-67
Даалгавар 14.Шулуун призмийн суурь нь диагональуудын нэг нь түүний талтай тэнцүү ромб юм. Призмийн эзэлхүүн тэнцүү, бүх хажуугийн нүүр нь дөрвөлжин байвал доод суурийн том диагональ дундуур өнгөрөх хавтгайгаар огтлолын периметрийг тооцоол (Зураг 13).



2-р бүлэг, §3, хуудас 66-67
Асуудал 30.ABCA 1 B 1 C 1 нь энгийн гурвалжин призм бөгөөд бүх ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, BB 1 ирмэгийн дундах цэг юм. Призмийн эзэлхүүн тэнцүү бол AOS хавтгайгаар призмийн огтлолд бичээстэй тойргийн радиусыг тооцоол (Зураг 14).



2-р бүлэг, §3, хуудас 66-67
Асуудал 32.Ердийн дөрвөлжин призмд суурийн талбайн нийлбэр нь хажуугийн гадаргуугийн талбайтай тэнцүү байна. Доод суурийн хоёр орой ба дээд суурийн эсрэг талын оройг дайран өнгөрөх хавтгайгаар призмийн огтлолын ойролцоо тойрсон тойргийн диаметр 6 см бол призмийн эзэлхүүнийг тооцоол (Зураг 15).



Асуудлыг шийдвэрлэх явцад оюутнууд хариултаа багшийн үзүүлсэнтэй харьцуулдаг. Энэ бол дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий асуудлын шийдлийн жишээ юм ... Хувь хүний ​​ажил"хүчтэй" оюутнуудтай багш нар (10 мин.).

5. Бие даасан ажилоюутнууд компьютер дээр шалгалт өгч байна

1. Энгийн гурвалжин призмийн суурийн тал нь , өндөр нь 5. Призмийн эзэлхүүнийг ол.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Зөв мэдэгдлийг сонгоно уу.

1) Суурь нь тэгш өнцөгт гурвалжин болох тэгш призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

2) Ердийн гурвалжин призмийн эзэлхүүнийг V \u003d 0.25a 2 h томъёогоор тооцоолно - энд a нь суурийн тал, h нь призмийн өндөр юм.

3) Шулуун призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

4) Ердийн дөрвөлжин призмийн эзэлхүүнийг V \u003d a 2 h томъёогоор тооцоолно- энд a нь суурийн тал, h нь призмийн өндөр юм.

5) Ердийн зургаан өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг V \u003d 1.5a 2 h томъёогоор тооцоолно, энд a нь суурийн тал, h нь призмийн өндөр юм.

3. Энгийн гурвалжин призмийн суурийн тал нь тэнцүү байна. Доод суурийн хажуу тал ба дээд суурийн эсрэг талын оройгоор суурьтай 45 ° өнцгөөр дамжин өнгөрдөг хавтгай. Призмийн эзэлхүүнийг ол.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Шулуун призмийн суурь нь ромб бөгөөд түүний тал нь 13, диагональуудын нэг нь 24 байна. Хажуугийн нүүрний диагональ 14 бол призмийн эзэлхүүнийг ол.

Физикийн хувьд шилээр хийсэн гурвалжин призмийг ихэвчлэн спектрийг судлахад ашигладаг цагаан гэрэл, учир нь энэ нь түүнийг салангид бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах чадвартай. Энэ нийтлэлд бид эзлэхүүний томъёог авч үзэх болно

Гурвалжин призм гэж юу вэ?

Эзлэхүүний томъёог өгөхөөс өмнө энэ зургийн шинж чанарыг анхаарч үзээрэй.

Үүнийг авахын тулд дурын хэлбэртэй гурвалжинг аваад тодорхой зайд өөртэйгээ параллель хөдөлгөх хэрэгтэй. Эхний болон эцсийн байрлал дахь гурвалжны оройг шулуун сегментээр холбоно. Үүссэн гурван хэмжээст дүрсийг гурвалжин призм гэж нэрлэдэг. Энэ нь таван талтай. Тэдгээрийн хоёрыг суурь гэж нэрлэдэг: тэдгээр нь параллель бөгөөд бие биетэйгээ тэнцүү байна. Боломжит призмийн суурь нь гурвалжин юм. Үлдсэн гурван тал нь параллелограммууд юм.

Хажуу талуудаас гадна авч үзэх призм нь зургаан орой (суурь тус бүрт гурав) ба есөн ирмэгээр тодорхойлогддог (6 ирмэг нь суурийн хавтгайд байрладаг ба 3 ирмэг нь талуудын огтлолцолоор үүсдэг). Хэрэв хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн перпендикуляр байвал ийм призмийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Гурвалжин призм нь энэ ангийн бусад бүх дүрсээс ялгаатай нь үргэлж гүдгэр хэлбэртэй байдаг (дөрөв, тав, ..., n өнцөгт призмүүд мөн хотгор байж болно).

Энэ бол тэгш өнцөгт дүрс бөгөөд түүний ёроолд тэгш талт гурвалжин байрладаг.

Ерөнхий төрлийн гурвалжин призмийн эзэлхүүн

Гурвалжин призмийн эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ? томъёонд ерөнхий үзэлямар ч төрлийн призмийнхтэй төстэй. Энэ нь дараахь математик тэмдэглэгээтэй байна.

Энд h нь зургийн өндөр, өөрөөр хэлбэл суурийн хоорондох зай, S o нь гурвалжны талбай юм.

Гурвалжны зарим параметрүүд мэдэгдэж байгаа бол S o-ийн утгыг олж болно, жишээлбэл, нэг тал ба хоёр өнцөг, эсвэл хоёр тал ба нэг өнцөг. Гурвалжны талбай нь түүний өндрийн үржвэрийн тал ба энэ өндрийг доошлуулсан талын урттай тэнцүү байна.

Зургийн өндөр h-ийн хувьд тэгш өнцөгт призмийг олоход хамгийн хялбар байдаг. Сүүлчийн тохиолдолд h нь хажуугийн ирмэгийн урттай давхцдаг.

Ердийн гурвалжин призмийн эзэлхүүн

Ерөнхий томъёоӨгүүллийн өмнөх хэсэгт өгөгдсөн гурвалжин призмийн эзэлхүүнийг ердийн гурвалжин призмийн харгалзах утгыг тооцоолоход ашиглаж болно. Суурь нь тэгш талт гурвалжин тул талбай нь:

Хэрэв тэгш талт гурвалжинд бүх өнцөг нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд 60 o-г бүрдүүлдэг гэдгийг санаж байвал хүн бүр энэ томъёог авч болно. Энд a тэмдэг нь гурвалжны хажуугийн урт юм.

Өндөр h нь ирмэгийн урт юм. Энэ нь суурьтай ямар ч холбоогүй юм. баруун призммөн дурын утгыг авч болно. Үүний үр дүнд гурвалжин призмийн эзэлхүүний томъёо зөв төрөлиймэрхүү харагдаж байна:

Үндэсийг тооцоолсны дараа бид энэ томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Тиймээс гурвалжин суурьтай ердийн призмийн эзэлхүүнийг олохын тулд суурийн талыг квадрат болгож, энэ утгыг өндрөөр үржүүлж, үүссэн утгыг 0.433-аар үржүүлэх шаардлагатай.

Призмийн эзэлхүүн гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ

Призмийн эзэлхүүн нь түүний суурийн талбайг өндрөөр нь үржүүлсэн үржвэр юм.

Гэсэн хэдий ч призмийн суурь нь гурвалжин, дөрвөлжин эсвэл өөр олон өнцөгт хэлбэртэй байж болохыг бид мэднэ.

Тиймээс призмийн эзэлхүүнийг олохын тулд та призмийн суурийн талбайг тооцоолж, дараа нь энэ талбайг өндрөөр нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Өөрөөр хэлбэл, призмийн суурь дээр гурвалжин байгаа бол эхлээд гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй. Хэрэв призмийн суурь нь дөрвөлжин эсвэл өөр олон өнцөгт байвал эхлээд квадрат эсвэл өөр олон өнцөгтийн талбайг олох хэрэгтэй.

Призмийн өндөр нь призмийн сууринд татсан перпендикуляр гэдгийг санах нь зүйтэй.

Призм гэж юу вэ

Одоо призмийн тодорхойлолтыг санацгаая.

Призм нь хоёр нүүр (суурь) нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг, эдгээр нүүрний гаднах бүх ирмэгүүд нь параллель байдаг олон өнцөгт юм.

Энгийнээр хэлэхэд:

Призм нь хоёр тэгш суурьтай, хавтгай нүүртэй аливаа геометрийн дүрс юм.

Призмийн нэр нь түүний суурийн хэлбэрээс хамаарна. Призмийн суурь нь гурвалжин бол ийм призмийг гурвалжин гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгт призм бол суурь нь олон өнцөгт хэлбэртэй геометрийн дүрс юм. Призм бол бас нэг төрлийн цилиндр юм.

Призмийн төрлүүд юу вэ

Дээрх зургийг харвал призм нь шулуун, тогтмол ба ташуу хэлбэртэй болохыг харж болно.

Дасгал хийх

1. Зөв призм гэж юу вэ?
2. Яагаад ингэж нэрлэдэг вэ?
3. Суурь нь жирийн олон өнцөгт призмийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
4. Энэ зургийн өндөр хэд вэ?
5. Ирмэг нь перпендикуляр биш призмийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
6. Гурвалжин призмийг тодорхойл.
7. Призм параллелепипед байж чадах уу?
8. Ямар геометрийн дүрсийг хагас тогтмол олон өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?

Призм ямар элементүүдээс бүрддэг вэ?

Призм нь доод ба дээд суурь, хажуугийн нүүр, ирмэг, орой зэрэг элементүүдээс бүрдэнэ.

Призмийн суурь хоёулаа хавтгайд байрладаг бөгөөд хоорондоо параллель байна.
Пирамидын хажуу талууд нь параллелограммууд юм.
Пирамидын хажуугийн гадаргуу нь хажуугийн нүүрний нийлбэр юм.
Хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд нь энэ зургийн хажуугийн ирмэгээс өөр зүйл биш юм.
Пирамидын өндөр нь суурийн хавтгайг холбосон сегмент бөгөөд тэдгээрт перпендикуляр байна.

Призмийн шинж чанарууд

Призм шиг геометрийн дүрс нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. Эдгээр шинж чанаруудыг нарийвчлан авч үзье:

Нэгдүгээрт, призмийн суурийг тэнцүү олон өнцөгт гэж нэрлэдэг;
Хоёрдугаарт, призмийн хажуугийн нүүрийг параллелограмм хэлбэрээр үзүүлэв;
Гуравдугаарт, энэ геометрийн дүрсирмэгүүд нь зэрэгцээ ба тэнцүү;
Дөрөвдүгээрт, призмийн нийт гадаргуугийн талбай нь:

Одоо хажуугийн гадаргуугийн талбай, нотолгоог тооцоолох томъёог өгдөг теоремыг авч үзье.

Та энэ талаар бодож үзсэн үү сонирхолтой баримтПризм нь зөвхөн геометрийн бие биш, бидний эргэн тойрон дахь бусад объект байж болно. Тэр ч байтугай жирийн цасан ширхгээс хамаарч температурын горимзургаан талт дүрс хэлбэрээр мөсөн призм болж хувирах боломжтой.

Гэхдээ кальцитын талстууд нь хуваагдмал хэсгүүдэд хуваагдаж, параллелепипед хэлбэртэй байдаг өвөрмөц үзэгдэлтэй байдаг. Хамгийн гайхалтай нь кальцитын талстыг хэр жижиг буталсан ч үр дүн нь үргэлж ижил байдаг бөгөөд тэдгээр нь жижиг параллелепипед болж хувирдаг.

Призм нь П.Пикассо, Брак, Грисс болон бусад агуу зураачдын бүтээсэн уран зургийн үндэс болсон тул геометрийн биеийг харуулж, зөвхөн математикт төдийгүй урлагийн салбарт алдартай болсон юм.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Та сайт дээр өргөдөл гаргахад бид цуглуулж магадгүй янз бүрийн мэдээлэлтаны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлтантай холбоо барьж, танд мэдэгдэх боломжийг бидэнд олгоно өвөрмөц саналууд, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээ.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтэд ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой. чухал тохиолдлууд.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

"A авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай хүргэлт 60-65 оноогоор математикт ХЭРЭГЛЭЭ. Профайлын 1-13-р бүх даалгаврыг математикт ашиглах. Мөн математикийн үндсэн хэрэглээг давахад тохиромжтой. Шалгалтаа 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутанд алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р асуудал (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70 гаруй оноо бөгөөд зуун оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгч ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудшалгалтын шийдэл, занга, нууц. FIPI Банкны даалгаврын 1-р хэсгийн холбогдох бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Уг сургалт нь USE-2018 стандартын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Олон зуун шалгалтын даалгавар. Текстийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Онол, лавлах материал, бүх төрлийн USE даалгаврын дүн шинжилгээ. Стереометр. Шийдвэрлэх заль мэх, хэрэгтэй хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь - 13-р даалгавар руу. Шатлахын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын визуал тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Уусмалын суурь сорилттой даалгаваруудШалгалтын 2 хэсэг.