Тойргийн төв ба түүний тойргийн цэгүүдийг холбосон шугамыг радиус гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тойрог бүрт бүх радиусууд хоорондоо тэнцүү байна. Тойргийн диаметр нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон, төвийг нь дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Бидэнд энэ бүхэн хэрэгтэй зөв тооцоотойрог талбай. Түүнээс гадна, өгөгдсөн үнэ цэнэ pi ашиглан тооцоолсон.

Тойргийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Жишээлбэл, бид дөрвөн см радиустай тойрогтой. Түүний талбайг тооцоолъё: S=(3.14)*4^2=(3.14)*16=50.24. Тиймээс тойргийн талбай нь 50.24 квадрат сантиметр байна.

Мөн диаметрээр дамжин өнгөрөх тойргийн талбайг тооцоолох тусгай томъёо байдаг: S=(pi/4) d^2.

Зургийн радиусыг мэдэж, диаметрээр нь тойргийн ийм тооцооны жишээг авч үзье. Жишээлбэл, бид дөрвөн см радиустай тойрогтой. Эхлээд та радиусаас хоёр дахин их диаметрийг олох хэрэгтэй: d=2R, d=2*4=8.

Одоо та дээрх томъёог ашиглан тойргийн талбайг тооцоолохдоо олж авсан өгөгдлийг ашиглах хэрэгтэй: S=((3.14)/4)*8^2=0.785*64=50.24.

Таны харж байгаагаар эцэст нь бид эхний тохиолдолтой ижил хариултыг авдаг.

Тойргийн талбайг зөв тооцоолохын тулд дээр дурдсан стандарт томъёог мэдэх нь алга болсон утгыг хялбархан олох, салбаруудын талбайг тодорхойлоход тусална.

Тиймээс тойргийн талбайг тооцоолох томьёог Pi-ийн тогтмол утгыг тойргийн радиусын квадратаар үржүүлж тооцдог гэдгийг бид мэднэ. Томъёонд тойргийн илэрхийлэлийг орлуулах замаар радиусыг өөрөө бодит тойргоор илэрхийлж болно. Энэ нь: R=l/2pi.

Одоо бид энэ тэгшитгэлийг тойргийн талбайг тооцоолох томъёонд орлуулах хэрэгтэй бөгөөд үр дүнд нь тойргоор дамжуулан энэ геометрийн дүрсийн талбайг олох томъёог олж авна: S=pi((l/2pi) ))^2=l^2/(4pi).

Жишээлбэл, бидэнд тойрог нь найман сантиметр байдаг. Бид авч үзсэн томьёоны утгыг орлуулна: S=(8^2)/(4*3.14)=64/(12.56)=5. Мөн бид таван квадрат сантиметртэй тэнцэх тойргийн талбайг авна.

Тойрог нь илүү болгоомжтой хандахыг шаарддаг бөгөөд B5 даалгаварт хамаагүй бага тохиолддог. Гэсэн хэдий ч, ерөнхий схемшийдлүүд нь олон өнцөгттэй харьцуулахад илүү хялбар байдаг ("Координатын тор дээрх олон өнцөгт хэсгүүд" хичээлийг үзнэ үү).

Ийм даалгаварт шаардлагатай бүх зүйл бол R тойргийн радиусыг олох явдал юм. Дараа нь та S = πR 2 томъёог ашиглан тойргийн талбайг тооцоолж болно. Мөн энэ томъёоноос уусмалын R 2-ыг олоход хангалттай гэсэн дүгнэлт гарч байна.

Заасан утгыг олохын тулд тойрог дээр торны шугамын огтлолцол дээр байрлах цэгийг зааж өгөхөд хангалттай. Тэгээд Пифагорын теоремыг ашигла. Санаж үз тодорхой жишээнүүдрадиусын тооцоо:

Даалгавар. Зурагт үзүүлсэн гурван тойргийн радиусыг ол.

Тойрог бүрт нэмэлт бүтээн байгуулалт хийцгээе.

Тохиромжтой шугамын огтлолцол дээр байхаар тойрог дээр В цэгийг сонгосон. 1 ба 3-р тойргийн C цэг нь хүртэлх зургийг гүйцээнэ зөв гурвалжин. Цацрагуудыг олоход л үлддэг.

Эхний тойрогт ABC гурвалжинг авч үзье. Пифагорын теоремын дагуу: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Хоёр дахь тойргийн хувьд бүх зүйл тодорхой байна: R = AB = 2.

Гурав дахь тохиолдол нь эхнийхтэй төстэй. Пифагорын теоремын дагуу ABC гурвалжингаас: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Одоо бид тойргийн радиусыг (эсвэл ядаж түүний квадрат) хэрхэн олохыг мэддэг болсон. Тиймээс бид талбайг олох боломжтой. Бүхэл бүтэн тойргийг биш харин тухайн салбарын талбайг олох шаардлагатай ажлууд байдаг. Ийм тохиолдолд энэ салбар нь тойргийн аль хэсэг болохыг олж мэдэхэд хялбар бөгөөд ингэснээр тухайн талбайг олох болно.

Даалгавар. Сүүдэрлэсэн секторын S талбайг ол. Хариултдаа S / π-г заана уу.

Мэдээжийн хэрэг, салбар бол тойргийн дөрөвний нэг юм. Тиймээс тойргийн S = 0.25 S байна.

Тойргийн S-ийг олоход л үлддэг - тойргийн талбай. Үүнийг хийхийн тулд бид нэмэлт барилгын ажлыг гүйцэтгэнэ.

ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Пифагорын теоремоор бид: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8 байна.

Одоо бид тойрог ба секторын талбайг олно: тойргийн S = πR 2 = 8π; S = 0.25 S тойрог = 2π.

Эцэст нь хүссэн утга нь S /π = 2-тэй тэнцүү байна.

Үл мэдэгдэх радиустай секторын бүс

Энэ нь төгс төгөлдөр юм шинэ төрөл 2010-2011 онд үүнтэй төстэй зүйл байгаагүй. Нөхцөлөөр бидэнд тодорхой талбайн тойргийг (жишээлбэл, радиус биш талбайг) өгдөг. Дараа нь энэ тойрог дотор салбарыг хуваарилж, түүний талбайг олох шаардлагатай.

Сайн мэдээ гэвэл эдгээр бодлого нь математикийн шалгалтанд байдаг талбай дээрх бүх бодлогуудаас хамгийн хялбар нь юм. Үүнээс гадна тойрог, секторыг үргэлж координатын сүлжээнд байрлуулна. Тиймээс, ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахын тулд дараах зургийг хараарай.

Анхны тойрог нь тойргийн S талбайтай = 80 байна. Дараа нь тус бүр нь S = 40 талбайтай хоёр секторт хувааж болно (2-р алхамыг үзнэ үү). Үүний нэгэн адил эдгээр "хагас" салбар бүрийг дахин хагас болгон хувааж болно - бид тус бүр нь S = 20 талбайн дөрвөн салбарыг авдаг (3-р алхамыг үзнэ үү). Эцэст нь хэлэхэд, та эдгээр салбар бүрийг өөр хоёр болгон хувааж болно - бид 8 салбарыг авдаг - "жижиг хэсэг". Эдгээр "хэсэг" бүрийн талбай нь S = 10 байна.

Анхаарна уу: математикийн ямар ч USE даалгаварт жижиг хуваагдал байхгүй! Тиймээс B-3 асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Анхны тойргийг 8 салбар болгон хайчилж ав - "хэсэг". Тэдгээрийн тус бүрийн талбай нь бүх тойргийн талбайн яг 1/8 байна. Жишээлбэл, нөхцөлийн дагуу тойрог нь тойргийн S талбайтай = 240 бол "бөөн" нь S = 240: 8 = 30;
2. Анхны салбарт хэдэн "бөөн" багтаж байгааг, олохыг хүсч буй талбайг олж мэдээрэй. Жишээлбэл, хэрэв манай салбарт 30 талбайтай 3 "бөөн" байгаа бол хүссэн салбарын талбай нь S = 3 30 = 90 байна. Энэ нь хариулт байх болно.

Тэгээд л болоо! Асуудлыг практикт амаар шийддэг. Хэрэв та ямар нэг зүйлийг ойлгохгүй хэвээр байвал пицца худалдаж аваад 8 хэсэг болгон хуваа. Ийм хэсэг бүр нь ижил салбар байх болно - том хэсгүүдэд нэгтгэж болох "хэсэг".

Одоо туршилтын шалгалтын жишээнүүдийг харцгаая.

Даалгавар. Алаг цаасан дээр 40 талбайтай тойрог зурсан бөгөөд сүүдэрлэсэн зургийн талбайг ол.

Тэгэхээр, тойргийн талбай нь 40. Үүнийг 8 салбарт хуваа - тус бүр нь S = 40: 5 = 8 талбайтай. Бид дараахь зүйлийг авна.

Сүүдэрт салбар нь яг хоёр "жижиг" салбараас бүрддэг нь ойлгомжтой. Тиймээс түүний талбай нь 2 5 = 10. Энэ бол бүх шийдэл юм!

Даалгавар. Алаг цаасан дээр 64 талбайтай тойрог зурсан бөгөөд сүүдэрлэсэн зургийн талбайг ол.

Дахин хэлэхэд бүх тойргийг 8 тэнцүү салбарт хуваа. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийн аль нэгнийх нь талбайг олох хэрэгтэй. Тиймээс түүний талбай нь S = 64: 8 = 8 байна.

Даалгавар. Алаг цаасан дээр 48 талбайтай тойрог зурсан бөгөөд сүүдэрлэсэн зургийн талбайг ол.

Дахин тойргийг 8 тэнцүү секторт хуваа. Тэдгээрийн тус бүрийн талбай нь S = 48: 8 = 6-тай тэнцүү байна. Хүссэн хэсэгт яг гурван салбар - "жижиг" байрлана (зураг харна уу). Тиймээс хүссэн салбарын талбай нь 3 6 = 18 байна.

Тойрог нь төвөөс ижил зайд байрладаг олон цэгүүдийн харагдахуйц цуглуулга юм. Түүний талбайг олохын тулд радиус, диаметр, π тоо, тойрог гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Тойргийн талбайг тооцоолоход хамаарах хэмжигдэхүүнүүд

Тойргийн төв цэг болон тойргийн аль нэг цэгээр хязгаарлагдсан зайг энэ геометрийн дүрсийн радиус гэнэ. Нэг тойргийн бүх радиусуудын урт ижил байна. Төвийн цэгийг дайран өнгөрч буй тойргийн дурын 2 цэгийн хоорондох шугамыг диаметр гэнэ. Диаметрийн урт нь радиусын уртыг 2-оор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Тойргийн талбайг тооцоолохын тулд π тооны утгыг ашиглана. Энэ утга нь тойргийн диаметрийг тойргийн урттай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү бөгөөд тогтмол утгатай байна. Π = 3.1415926. Тойрог L=2πR томъёогоор тооцоолно.

Радиусыг ашиглан тойргийн талбайг ол

Тиймээс тойргийн талбай нь π тооны үржвэртэй тэнцүү ба тойргийн радиусыг 2-р зэрэгт өргөсөнтэй тэнцүү байна. Жишээ болгон тойргийн радиусын уртыг 5 см-тэй тэнцүү авч үзье.Тэгвэл S тойргийн талбай нь 3.14 * 5 ^ 2 = 78.5 квадрат метртэй тэнцүү байх болно. см.

Диаметрийн хувьд тойргийн талбай

Тойргийн диаметрийг мэдэх замаар тойргийн талбайг мөн тооцоолж болно. Энэ тохиолдолд S = (π/4)*d^2, энд d нь тойргийн диаметр юм. Радиус нь 5 см байх жишээг авч үзье.Тэгвэл түүний диаметр 5*2=10 см болно.Тойргийн талбай S=3.14/4*10^2=78.5 кв.см. Эхний жишээн дээрх тооцооллын нийлбэртэй тэнцэх үр дүн нь хоёр тохиолдолд тооцооллын зөв болохыг баталж байна.

Тойргийн хувьд тойргийн талбай

Хэрэв тойргийн радиусыг тойргийн хэмжээгээр дүрсэлсэн бол томъёо нь байх болно дараагийн харах: R=(L/2)π. Энэ илэрхийлэлийг тойргийн талбайн томъёонд орлуулж, үр дүнд нь S=(L^2)/4π-г авна. Тойрог нь 10 см байх жишээг авч үзье. Дараа нь тойргийн талбай нь S = (10 ^ 2) / 4 * 3.14 = 7.96 квадрат метр байна. см.

Дугуйн талбайг бичээстэй дөрвөлжингийн хажуугийн уртаар илэрхийлнэ

Хэрэв дөрвөлжин тойрог дотор бичигдсэн бол тойргийн диаметрийн урт нь дөрвөлжингийн диагональ урттай тэнцүү байна. Квадратын хажуугийн хэмжээг мэдсэнээр тойргийн диаметрийг дараах томъёогоор хялбархан олох боломжтой: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Өөрөөр хэлбэл, 2-ын чадал хүртэлх диаметр талтай тэнцүүквадратыг 2-ын хүчийг 2-оор үржүүлэв.

Тойргийн диаметрийн уртын утгыг тооцоолсны дараа та түүний радиусыг олж мэдэж, тойргийн талбайг тодорхойлох томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно.

Тойргийн салбарын талбай

Сектор гэдэг нь 2 радиус ба тэдгээрийн хоорондох нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм. Түүний талбайг олж мэдэхийн тулд та секторын өнцгийг хэмжих хэрэгтэй. Үүний дараа бутархайг бүрдүүлэх шаардлагатай бөгөөд түүний тоологч хэсэгт секторын өнцгийн утга, хуваарьт - 360 байна. Салбарын талбайг тооцоолохын тулд утгыг авна. бутархайг хувасны үр дүнд олж авсан дүнг дээрх томъёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолсон тойргийн талбайгаар үржүүлэх шаардлагатай.

- энэ бол хавтгай дүрс, энэ нь төвөөс ижил зайд орших цэгүүдийн багц юм. Тэд бүгд ижил зайд байрладаг бөгөөд тойрог үүсгэдэг.

Тойргийн төвийг тойргийнхоо цэгүүдээр холбосон шугамын хэрчмийг гэнэ радиус. Тойрог бүрт бүх радиусууд хоорондоо тэнцүү байна. Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбож, төвийг дайран өнгөрөх шулууныг нэрлэдэг диаметр. Тойргийн талбайн томъёог математикийн тогтмол - π тоо ашиглан тооцоолно.

Энэ сонирхолтой байна : pi тоо. нь тойргийн тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцаа бөгөөд тогтмол утга юм. π = 3.1415926 утгыг 1737 онд Л.Эйлерийн ажлын дараа ашигласан.

Тойргийн талбайг тогтмол π ашиглан тооцоолж болно. ба тойргийн радиус. Радиусын хувьд тойргийн талбайн томъёо дараах байдалтай байна.

Радиусыг ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. R = 4 см радиустай тойрог өгье. Зургийн талбайг олъё.

Манай тойргийн талбай 50.24 хавтгай дөрвөлжин метр болно. см.

Томьёо байдаг диаметрээр дамжин өнгөрөх тойргийн талбай. Мөн шаардлагатай параметрүүдийг тооцоолоход өргөн хэрэглэгддэг. Эдгээр томъёог олоход ашиглаж болно.

Тойргийн талбайг диаметрээр нь тооцоолж, түүний радиусыг мэдэх жишээг авч үзье. R = 4 см радиустай тойрог өгье.Эхлээд радиусаас хоёр дахин их диаметрийг олъё.


Одоо бид дээрх томъёог ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох жишээнд өгөгдлийг ашиглаж байна.

Таны харж байгаагаар үр дүнд нь бид эхний тооцоололтой ижил хариултыг авдаг.

Тойргийн талбайг тооцоолох стандарт томъёоны талаархи мэдлэг нь ирээдүйд амархан тодорхойлоход тусална салбарын бүсмөн дутуу хэмжигдэхүүнийг олоход хялбар байдаг.

Тойргийн талбайн томъёог тогтмол утга π ба тойргийн радиусын квадратын үржвэрээр тооцдог гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Радиусыг тойргийн тойргийн хэмжээгээр илэрхийлж, тойргийн талбайн томъёонд байгаа илэрхийллийг тойргийн хэмжээгээр орлуулж болно.
Одоо бид энэ тэгшитгэлийг тойргийн талбайг тооцоолох томъёонд орлуулж, тойргийн тойргоор тойргийн талбайг олох томъёог авна.

Тойргийн дагуу тойргийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. l = 8 см урттай тойргийг өгье. Гарсан томьёоны утгыг орлуулъя.

Тойргийн нийт талбай нь 5 хавтгай дөрвөлжин метр болно. см.

Квадратыг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн талбай

Дөрвөлжингийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн талбайг олоход маш хялбар байдаг.

Энэ нь зөвхөн квадратын тал, энгийн томъёоны мэдлэгийг шаарддаг. Дөрвөлжингийн диагональ нь хүрээлэгдсэн тойргийн диагональтай тэнцүү байх болно. А талыг мэдэж байгаа тул үүнийг Пифагорын теоремыг ашиглан олж болно: эндээс.
Бид диагональыг олсны дараа радиусыг тооцоолж болно: .
Дараа нь бид бүх зүйлийг дөрвөлжин тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн талбайн үндсэн томъёонд орлуулна.

Геометрийн хувьд эргэн тойрондХавтгай дээрх бүх цэгүүдийн зарим багцыг нэг цэгээс салгаж, төв гэж нэрлэдэг, өгөгдсөн цэгээс ихгүй зайд, түүний радиус гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тойргийн гаднах хил хязгаар нь байна тойрог, хэрэв радиусын урт нь тэгтэй тэнцүү бол, тойрогцэг хүртэл доройтдог.

Тойргийн талбайг тодорхойлох

Хэрэв шаардлагатай бол тойргийн талбайтомъёог ашиглан тооцоолж болно:

r- тойргийн радиус

Д- тойргийн диаметр

С- тойргийн талбай

π - 3.14

Энэ геометрийн дүрсинженерийн болон архитектурын аль алинд нь маш түгээмэл байдаг. Машин, механизмын дизайнерууд янз бүрийн хэсгүүдийг боловсруулдаг бөгөөд тэдгээрийн ихэнх хэсэг нь нарийн байдаг тойрог. Жишээлбэл, эдгээр нь босоо ам, саваа, саваа, цилиндр, тэнхлэг, поршений гэх мэт. Эдгээр эд ангиудыг үйлдвэрлэхэд хоосон зайг ашигладаг төрөл бүрийн материал(металл, мод, хуванцар), тэдгээрийн хэсгүүд нь мөн яг нарийн илэрхийлэгддэг тойрог. Хөгжүүлэгчид ихэвчлэн тооцоолох шаардлагатай байдаг нь ойлгомжтой тойргийн талбайдиаметр эсвэл радиусаар дамжуулан энгийн математикийн томьёоэрт дээр үед нээсэн.

Яг тэр үед дугуй элементүүдархитектурт идэвхтэй, өргөн хэрэглэгдэж эхэлсэн. Үүний хамгийн тод жишээ бол цирк нь төрөл бүрийн зугаа цэнгэлийн арга хэмжээ зохион байгуулах зориулалттай барилга юм. Тэдний талбайнууд нь хэлбэртэй байдаг тойрог, мөн тэд анх удаа эртний үед баригдаж эхэлсэн. Яг л " тойрог» -аас орчуулав Латингэсэн үг" тойрог". Эрт дээр үед цирк байсан бол театрчилсан тоглолтуудгладиаторуудын тулаан болдог байсан бол одоо тэд циркийн үзүүлбэрүүдийг бараг зөвхөн амьтны сургагч, акробат, илбэчин, алиалагч гэх мэт оролцуулдаг газар болжээ. Стандарт диаметрциркийн талбай нь 13 метр бөгөөд энэ нь санамсаргүй зүйл биш юм: үнэн хэрэгтээ тэр л шаардлагатай хамгийн бага хэмжээгээр хангадаг. геометрийн параметрүүдциркийн морьдыг тойрон давхих талбай. Хэрэв бид тооцоолвол тойргийн талбайдиаметрээр дамжуулан циркийн талбайн хувьд энэ утга нь 113.04 хавтгай дөрвөлжин метр юм.

Тойрог хэлбэртэй байж болох архитектурын элементүүд нь цонх юм. Мэдээжийн хэрэг, ихэнх тохиолдолд тэдгээр нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг (ихэвчлэн энэ нь архитектор, барилгачдад илүү хялбар байдагтай холбоотой), гэхдээ зарим барилгад дугуй цонхыг олж болно. Түүнээс гадна ийм байдлаар тээврийн хэрэгсэлагаар, далай гэх мэт голын завьихэнх тохиолдолд тэд байдаг.

Ширээ, сандал гэх мэт тавилга үйлдвэрлэхэд дугуй хэлбэртэй элементүүдийг ашиглах нь ердийн зүйл биш юм. Бүр нэг ойлголт байдаг дугуй ширээний ”, энэ нь бүтээлч хэлэлцүүлэг гэсэн үг бөгөөд энэ үеэр янз бүрийн иж бүрэн хэлэлцүүлэг явагдана чухал асуудлуудтэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг боловсруулах. Байгаа countertops өөрсдөө үйлдвэрлэлийн хувьд дугуй хэлбэртэй, дараа нь нэлээд өндөр ур чадвартай ажилчдын оролцоотойгоор тусгай багаж хэрэгсэл, тоног төхөөрөмжийг үйлдвэрлэхэд ашигладаг.