Онлайн шүргэгчийн тодорхойлолт. Зөв гурвалжин. Бүрэн зурагтай гарын авлага (2019)

y \u003d f (x) шугам нь координаттай (x0; f (x0)) цэгийг дайран өнгөрч, f "(x0) налуутай бол x0 цэгийн зурагт үзүүлсэн графиктай шүргэнэ. Олно уу. Ийм коэффициент, шүргэгчийн шинж чанарыг мэдэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

Танд хэрэгтэй болно

• - математикийн лавлах ном;
• - энгийн харандаа;
• - дэвтэр;
• - протектор;
• - луужин;
• - үзэг.

Заавар

Хэрэв f‘(x0) утга байхгүй бол шүргэгч байхгүй эсвэл босоогоор дамждаг. Үүнийг авч үзвэл х0 цэгт функцийн дериватив байгаа нь (x0, f(x0)) цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгч босоо бус шүргэгч байгаатай холбоотой юм. Энэ тохиолдолд шүргэгчийн налуу нь f "(x0) -тэй тэнцүү байх болно. Тиймээс деривативын геометрийн утга нь тодорхой болно - шүргэгчийн налуугийн тооцоо.

X1, x2, x3 цэгүүд дээр функцийн графиктай холбогдох нэмэлт шүргэгчийг зурж, эдгээр шүргэгчээр үүсгэсэн өнцгийг абсцисса тэнхлэгээр тэмдэглэнэ (ийм өнцгийг тэнхлэгээс эерэг чиглэлд тоолно). шүргэгч шугам). Жишээлбэл, шүргэгч шугам нь OX тэнхлэгтэй параллель тул өнцөг, өөрөөр хэлбэл α1 нь хурц, хоёр дахь нь (α2) мохоо, гурав дахь нь (α3) тэг болно. Энэ тохиолдолд мохоо өнцгийн тангенс сөрөг, хурц өнцгийн тангенс эерэг, tg0-ийн хувьд үр дүн нь тэг болно.

тэмдэглэл

Шүргэгчийн үүсгэсэн өнцгийг зөв тодорхойлох. Үүнийг хийхийн тулд протектор ашиглана уу.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хэрэв налуу нь хоорондоо тэнцүү бол хоёр ташуу шугам нь зэрэгцээ байх болно; эдгээр шүргэгчийн налуугийн үржвэр -1 бол перпендикуляр.

Эх сурвалжууд:

• Функцийн графикт шүргэгч

Косинусыг синус шиг "шууд" тригонометрийн функц гэж нэрлэдэг. Тангенс (котангенстай хамт) "үүсмэл" гэж нэрлэгддэг өөр нэг хос дээр нэмэгддэг. Эдгээр функцүүдийн хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн шүргэгчийг олох боломжийг олгодог мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэижил утгатай косинус.

Заавар

Өгөгдсөн өнцгийн косинусын утгыг нэгдмэл байдлаас хасч, үр дүнгээс квадрат язгуурыг гарга - энэ нь косинусаар илэрхийлэгдсэн өнцгийн тангенсийн утга болно: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Үүний зэрэгцээ, томьёо дахь косинус нь бутархайн хуваарьт байгааг анхаарч үзээрэй. Тэгээр хуваах боломжгүй нь 90 ° -тай тэнцүү өнцгүүдэд энэ илэрхийллийг ашиглахгүй, мөн энэ утгаас 180 ° (270 °, 450 °, -90 ° гэх мэт) үржвэрээр ялгаатай байх болно.

Бас байдаг өөр аргакосинусын мэдэгдэж буй утгаас шүргэгчийг тооцоолох. Бусад хэрэглээнд хязгаарлалт байхгүй тохиолдолд үүнийг ашиглаж болно. Энэ аргыг хэрэгжүүлэхийн тулд эхлээд мэдэгдэж буй косинусын утгаас өнцгийн утгыг тодорхойлох хэрэгтэй - үүнийг арккосин функц ашиглан хийж болно. Дараа нь үүссэн утгын өнцгийн шүргэгчийг тооцоол. AT ерөнхий үзэлЭнэ алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгөөр дамжуулан косинус ба тангенсийн тодорхойлолтыг ашиглан өөр нэг чамин сонголт бий. Энэхүү тодорхойлолт дахь косинус нь харгалзан үзсэн өнцөгтэй зэргэлдээх хөлний уртыг гипотенузын урттай харьцуулсан харьцаатай тохирч байна. Косинусын утгыг мэдсэнээр та түүнд тохирох эдгээр хоёр талын уртыг сонгож болно. Жишээлбэл, cos(α)=0.5 бол зэргэлдээх нь 10 см, гипотенузыг 20 см-тэй тэнцүү авч болно. Тодорхой тоонууд энд хамаагүй - та ижил утгатай бөгөөд ижил утгатай аливаа утгыг засах болно. Дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан алга болсон талын уртыг - эсрэг талын хөлийг тодорхойлно. Тэр тэнцүү байх болно квадрат язгуурквадрат гипотенуз ба мэдэгдэж буй хөлийн уртын зөрүүгээс: √(20²-10²)=√300. Тодорхойлолтоор шүргэгч нь эсрэг талын болон зэргэлдээх хөлний уртын харьцаатай тохирч байна (√300/10) - үүнийг тооцоолж, косинусын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан олсон шүргэгч утгыг авна.

Эх сурвалжууд:

• косинусыг шүргэгч томъёогоор дамжуулна

Нэг нь тригонометрийн функцууд, ихэвчлэн tg үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг ч tan гэсэн тэмдэглэгээнүүд бас байдаг. Хамгийн хялбар арга бол шүргэгчийг синусын харьцаагаар илэрхийлэх явдал юм булантүүний косинус руу. Энэ бол хачирхалтай үе бөгөөд тийм биш юм тасралтгүй функц, мөчлөг бүр нь Pi тоотой тэнцүү бөгөөд таслах цэг нь энэ тооны тал дахь тэмдэгтэй тохирч байна.

Сургуулийн хүүхдүүдийн хамгийн их бэрхшээлийг даван туулдаг математикийн нэг салбар бол тригонометр юм. Энэ мэдлэгийг чөлөөтэй эзэмшихийн тулд танд орон зайн сэтгэлгээ, томьёо ашиглан синус, косинус, тангенс, котангенс олох, илэрхийллийг хялбарчлах, тооцоололд pi тоог ашиглах чадвар хэрэгтэй болно. Нэмж дурдахад та теоремуудыг батлахдаа тригонометрийг ашиглах чадвартай байх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хөгжсөн математик санах ой эсвэл нарийн төвөгтэй логик хэлхээг гаргах чадварыг шаарддаг.

Тригонометрийн гарал үүсэл

Энэ шинжлэх ухаантай танилцах нь өнцгийн синус, косинус ба тангенсийн тодорхойлолтоос эхлэх ёстой, гэхдээ эхлээд тригонометр юу хийдэгийг олж мэдэх хэрэгтэй.

Түүхээс харахад тэгш өнцөгт гурвалжин нь математикийн шинжлэх ухааны энэ хэсгийн судалгааны гол объект байсаар ирсэн. 90 градусын өнцөг байгаа нь янз бүрийн үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь хоёр тал, нэг өнцөг эсвэл хоёр өнцөг ба нэг талыг ашиглан авч үзэж буй зургийн бүх параметрийн утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Эрт дээр үед хүмүүс энэ хэв маягийг анзаарч, барилга байгууламж барих, навигаци, одон орон судлал, тэр ч байтугай урлагт идэвхтэй ашиглаж эхэлсэн.

Эхний шат

Эхлээд хүмүүс өнцөг ба талуудын хамаарлын талаар зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжны жишээн дээр ярьдаг байв. Дараа нь ашиглалтын хил хязгаарыг өргөжүүлэх боломжийг олгосон тусгай томъёог олж мэдсэн Өдөр тутмын амьдралматематикийн энэ салбар.

Өнөөдөр сургуульд тригонометрийн судалгаа нь тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас эхэлдэг бөгөөд үүний дараа олж авсан мэдлэгээ оюутнууд физикийн хичээл, хийсвэр асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. тригонометрийн тэгшитгэл, ахлах сургуулиас эхэлдэг ажил.

Бөмбөрцөг тригонометр

Хожим нь шинжлэх ухаан хөгжлийн дараагийн түвшинд хүрэхэд синус, косинус, тангенс, котангенс бүхий томьёог бөмбөрцөг геометрт ашиглаж эхэлсэн бөгөөд энд бусад дүрэм мөрдөгдөж, гурвалжин дахь өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градусаас их байдаг. Энэ хэсгийг сургуульд судлаагүй ч дэлхийн гадаргуу болон бусад гаригийн гадаргуу нь гүдгэр тул түүний оршин тогтнох талаар мэдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь аливаа гадаргуугийн тэмдэглэгээ нь "нуман хэлбэртэй" байх болно гэсэн үг юм. гурван хэмжээст орон зай.

Бөмбөрцөг аваад утастай. Утсыг бөмбөрцөг дээрх дурын хоёр цэгт холбоно уу. Анхаараарай - энэ нь нуман хэлбэртэй болсон. Геодези, одон орон судлал болон бусад онолын болон хэрэглээний салбарт ашигладаг бөмбөрцөг геометр нь ийм хэлбэрүүдтэй харьцдаг.

Зөв гурвалжин

Тригонометрийг ашиглах аргуудын талаар бага зэрэг мэдэж авсны дараа синус, косинус, тангенс гэж юу болох, тэдгээрийн тусламжтайгаар ямар тооцоолол хийж болох, ямар томьёо ашиглахыг илүү сайн ойлгохын тулд үндсэн тригонометрт буцаж орцгооё.

Эхний алхам бол тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой ойлголтуудыг ойлгох явдал юм. Нэгдүгээрт, гипотенуз нь 90 градусын өнцгийн эсрэг тал юм. Тэр хамгийн урт нь. Пифагорын теоремын дагуу түүний тоон утга нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэрийн язгууртай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна.

Жишээлбэл, хэрэв хоёр тал нь 3 ба 4 сантиметр бол гипотенузын урт нь 5 сантиметр болно. Дашрамд дурдахад, эртний египетчүүд энэ тухай дөрөв хагас мянган жилийн өмнө мэддэг байсан.

Зөв өнцгийг үүсгэсэн үлдсэн хоёр талыг хөл гэж нэрлэдэг. Нэмж дурдахад гурвалжин дахь өнцгүүдийн нийлбэрийг бид санаж байх ёстой тэгш өнцөгт системкоординат нь 180 градус байна.

Тодорхойлолт

Эцэст нь, геометрийн суурийн талаар сайн ойлголттой бол бид өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолт руу шилжиж болно.

Өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн (жишээ нь, хүссэн өнцгийн эсрэг тал) гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Синус болон косинус аль аль нь нэгээс их байж болохгүй гэдгийг санаарай! Яагаад? Учир нь гипотенуз нь анхдагчаар хамгийн урт байдаг.Хөл нь хичнээн урт байсан ч энэ нь гипотенузаас богино байх бөгөөд энэ нь тэдний харьцаа үргэлж нэгээс бага байх болно гэсэн үг юм. Тиймээс, хэрэв та асуудлын хариултанд 1-ээс их утгатай синус эсвэл косинусыг олж авбал тооцоолол эсвэл үндэслэлийн алдааг хайж олох хэрэгтэй. Энэ хариулт илт буруу байна.

Эцэст нь, өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм. Үүнтэй ижил үр дүн нь синусын косинусыг хуваах болно. Хараач: томъёоны дагуу бид хажуугийн уртыг гипотенузаар хувааж, дараа нь хоёр дахь талын уртаар хувааж, гипотенузаар үржүүлнэ. Тиймээс бид шүргэгчийн тодорхойлолттой ижил харьцааг олж авдаг.

Котангенс нь тус тусын өнцөгт зэргэлдээх талыг эсрэг талтай харьцуулсан харьцаа юм. Нэгжийг шүргэгчээр хуваах замаар бид ижил үр дүнд хүрнэ.

Тиймээс, бид синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг авч үзсэн бөгөөд бид томьёотой харьцаж болно.

Хамгийн энгийн томъёонууд

Тригонометрийн хувьд томьёогүйгээр хийх боломжгүй - тэдгээргүйгээр синус, косинус, тангенс, котангенсыг хэрхэн олох вэ? Асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ нь яг хэрэгтэй зүйл юм.

Тригонометрийг судалж эхлэхэд таны мэдэх ёстой хамгийн эхний томъёо нь өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна. Энэ томъёонь Пифагорын теоремын шууд үр дагавар боловч хэрэв та өнцгийн талыг биш харин өнцгийн утгыг мэдэхийг хүсвэл цаг хэмнэнэ.

Олон оюутнууд сургуулийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш их алдартай байдаг хоёр дахь томьёог санаж чадахгүй байна: нэгийн нийлбэр ба өнцгийн тангенсийн квадрат нь өнцгийн косинусын квадратад хуваагдсантай тэнцүү байна. Нарийвчилж хараарай: эцэст нь энэ нь эхний томьёотой ижил мэдэгдэл бөгөөд зөвхөн таних тэмдгийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваасан. Математикийн энгийн үйлдэл нь тригонометрийн томьёог бүрэн таних боломжгүй болгодог. Санаж байна уу: синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болох, хувиргах дүрэм, хэд хэдэн үндсэн томъёог мэдэж авснаар та хүссэн үедээ шаардлагатай нэмэлт мэдээллийг гаргаж авах боломжтой. нарийн төвөгтэй томъёоцаасан дээр.

Давхар өнцгийн томьёо ба аргумент нэмэх

Та сурах хэрэгтэй өөр хоёр томьёо нь өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синус ба косинусын утгуудтай холбоотой юм. Тэдгээрийг доорх зурагт үзүүлэв. Эхний тохиолдолд синус ба косинусыг хоёр удаа үржүүлж, хоёр дахь тохиолдолд синус ба косинусын хос үржвэрийг нэмдэг болохыг анхаарна уу.

Мөн давхар өнцгийн аргументуудтай холбоотой томъёонууд байдаг. Тэдгээр нь өмнөхөөсөө бүрэн үүсэлтэй - практикийн хувьд альфа өнцгийг авах замаар өөрөө авахыг хичээ өнцөгтэй тэнцүү байнабета.

Эцэст нь хэлэхэд, давхар өнцгийн томьёо нь синус, косинус, тангенс альфа зэрэгийг багасгахын тулд хөрвүүлж болно гэдгийг анхаарна уу.

Теоремууд

Үндсэн тригонометрийн хоёр гол теорем нь синусын теорем ба косинусын теорем юм. Эдгээр теоремуудын тусламжтайгаар та синус, косинус, тангенс, иймээс зургийн талбай, тал бүрийн хэмжээ гэх мэтийг хэрхэн олохыг хялбархан ойлгох боломжтой.

Гурвалжны тал бүрийн уртыг эсрэг талын өнцгийн утгад хуваасны үр дүнд бид ижил тоо гарна гэж синусын теорем заасан. Түүнээс гадна энэ тоо нь тойргийн хоёр радиустай тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн гурвалжны бүх цэгүүдийг агуулсан тойрог.

Косинусын теорем нь Пифагорын теоремыг ерөнхийлж, түүнийг дурын гурвалжинд тусгадаг. Хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс тэдгээрийн үржвэрийг тэдгээрийн зэргэлдээх өнцгийн давхар косинусаар үржүүлж хасвал үр дүнгийн утга нь гурав дахь талын квадраттай тэнцүү байх болно. Тиймээс Пифагорын теорем нь косинусын теоремын онцгой тохиолдол болж хувирав.

Анхаарал болгоомжгүйн улмаас гарсан алдаа

Синус, косинус, тангенс гэж юу байдгийг мэддэг байсан ч ухаангүй байдлаас эсвэл хамгийн энгийн тооцооллын алдаанаас болж алдаа гаргах нь амархан байдаг. Иймэрхүү алдаанаас зайлсхийхийн тулд тэдгээрийн хамгийн алдартайг нь авч үзье.

Нэгдүгээрт, эцсийн үр дүн гарах хүртэл энгийн бутархайг аравтын бутархай болгон хөрвүүлэх ёсгүй - хариултыг маягт дээр үлдээж болно. энгийн бутархайнөхцөл өөрөөр заагаагүй бол. Ийм өөрчлөлтийг алдаа гэж нэрлэж болохгүй, гэхдээ асуудлын үе шат бүрт шинэ үндэс гарч ирж магадгүй бөгөөд зохиогчийн санааны дагуу үүнийг багасгах хэрэгтэй гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд та шаардлагагүй математик үйлдлүүдэд цаг алдах болно. Энэ нь ялангуяа гурав, хоёрын үндэс гэх мэт утгуудын хувьд үнэн юм, учир нь тэдгээр нь алхам тутамд даалгавруудад тохиолддог. "Муухай" тоонуудыг дугуйлахад мөн адил хамаарна.

Цаашилбал, косинусын теорем нь ямар ч гурвалжинд хамаарах боловч Пифагорын теорем биш гэдгийг анхаарна уу! Хэрэв та талуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэн үржвэрийг хоёр дахин хасахаа мартсан бол та зөвхөн буруу үр дүнг авахаас гадна тухайн сэдвийг бүрэн буруу ойлгосон гэдгээ харуулах болно. Энэ бол болгоомжгүй алдаанаас ч дор юм.

Гуравдугаарт, синус, косинус, тангенс, котангентын хувьд 30 ба 60 градусын өнцгийн утгыг андуурч болохгүй. Эдгээр утгыг санаарай, учир нь синус нь 30 градус байна косинустай тэнцүү 60 ба эсрэгээр. Тэдгээрийг холих нь амархан бөгөөд үүний үр дүнд та алдаатай үр дүнд хүрэх нь гарцаагүй.

Өргөдөл

Олон оюутнууд тригонометрийг судалж эхлэх гэж яарахгүй байна, учир нь тэд түүний хэрэглээний утгыг ойлгодоггүй. Инженер, одон орон судлаачийн хувьд синус, косинус, тангенс гэж юу вэ? Эдгээр нь алс холын одод хүртэлх зайг тооцоолох, солир унахыг урьдчилан таамаглах, өөр гариг ​​руу судалгааны датчик илгээх зэрэг ойлголтууд юм. Тэдгээргүйгээр барилга байгууламж барих, машин зохион бүтээх, гадаргуу дээрх ачаалал эсвэл объектын замналыг тооцоолох боломжгүй юм. Мөн эдгээр нь зөвхөн хамгийн тод жишээ юм! Эцсийн эцэст, тригонометрийг нэг хэлбэрээр эсвэл өөр хэлбэрээр хөгжимөөс анагаах ухаан хүртэл хаа сайгүй ашигладаг.

Эцэст нь

Тэгэхээр та синус, косинус, тангенс юм. Та тэдгээрийг тооцоололд ашиглаж, сургуулийн асуудлыг амжилттай шийдэж чадна.

Тригонометрийн бүх мөн чанар нь гурвалжны мэдэгдэж буй параметрүүдээс үл мэдэгдэх параметрүүдийг тооцоолох ёстой гэсэн үг юм. Нийт зургаан сонголт байна: урт нь гурвантал ба хэмжээ гурван булан. Даалгавруудын бүх ялгаа нь өөр өөр оролтын өгөгдөл өгөгдсөнд оршино.

Хөлийн мэдэгдэж буй урт эсвэл гипотенуз дээр үндэслэн синус, косинус, тангенсыг хэрхэн олохыг та одоо мэдэж байна. Эдгээр нэр томьёо нь харьцаанаас өөр утгагүй бөгөөд харьцаа нь бутархай учраас тригонометрийн бодлогын гол зорилго нь энгийн тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийн язгуурыг олох явдал юм. Энд танд энгийн сургуулийн математик туслах болно.

Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээрийг эхлээд харахад нарийн төвөгтэй ойлголтууд (олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг), "чөтгөр зурсан шигээ аймшигтай биш" гэдэгт итгэлтэй байхын тулд эхнээс нь эхэлцгээе. мөн өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгох.

Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус

Зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэв". Тиймээс анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно булан.

Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!

Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус болон радианаар хэмжиж болно.

Өнцөг (нэг градус) нь тойргийн хэсэгтэй тэнцүү дугуй нуман дээр тулгуурласан тойргийн төв өнцөг юм. Тиймээс бүх тойрог нь дугуй нумануудын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр суурилдаг.

Радианаар хэмжигдэх өнцгийг тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нуман дээр тулгуурлан тойргийн төв өнцөг гэж нэрлэдэг. За ойлгов уу? Үгүй бол зургийг харцгаая.

Тиймээс, зураг нь радиантай тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн радиустай тэнцүү дугуй нуман дээр суурилдаг (урт нь урт эсвэл радиустай тэнцүү). урттай тэнцүүнумууд). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Радиан дахь төв өнцөг хаана байна.

За, та үүнийг мэдэж байгаа тул тойргоор дүрсэлсэн өнцөг хэдэн радиан агуулж байгааг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Тэр тэнд байна:

За, одоо энэ хоёр томьёог харьцуулж тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг тул "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэдэг үгийг орхигдуулдаг.

Хэдэн радиантай вэ? Яг зөв!

Авчихсан? Дараа нь урагшаа чангал:

Ямар нэг хүндрэл байна уу? Дараа нь хар хариултууд:

Зөв гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс

Тиймээс, өнцгийн тухай ойлголттой болсон. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүний тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд тусална.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (зэргэлдээх зөв өнцөг), үүнээс гадна, хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, харин хөл нь эсрэг талынх юм. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Өнцгийн синуснь эсрэг талын (хол) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юугаар хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчболон котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусболон косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

косинус→хүрч→хүрч→зэргэлдээ;

Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа болох синус, косинус, тангенс, котангенс нь эдгээр талуудын уртаас (нэг өнцгөөр) хамаардаггүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Бүү итгэ? Дараа нь зургийг харж байгаа эсэхийг шалгаарай:

Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас: , гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: . Та харж байна уу, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд засаарай!

Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд бид олно.

За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: булангийн хувьд адилхан тооцоол.

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Градус ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийн судалгаанд маш их хэрэгтэй байдаг. Тиймээс бид энэ талаар бага зэрэг нарийвчлан авч үзэх болно.

Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нь нэгтэй тэнцүү, тойргийн төв нь эх цэг дээр байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байна (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).

Тойргийн цэг бүр нь тэнхлэгийн дагуух координат ба тэнхлэгийн дагуух координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоо юу вэ? Тэгээд ер нь тэд яригдаж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны талаар санаарай. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Гурвалжингаас ямар тэнцүү вэ? Яг зөв. Нэмж дурдахад энэ нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, тиймээс, . Энэ утгыг манай косинусын томъёонд орлуулна уу. Энд юу болох вэ:

Гурвалжингаас юу тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.

Тэгэхээр та тойрогт хамаарах цэгийн координат хэд болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо юм бол? Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? За, мэдээжийн хэрэг, координат! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Зөв шүү, зохицуулаарай! Тиймээс, цэг.

Тэгээд юу тэнцүү ба? Зөв шүү, тангенс ба котангенсийн тохирох тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя, a.

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:

Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэв. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх). Өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утга хэд вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсын утгуудыг харгалзах харьцаатай харьцуулна. Иймд эдгээр хамаарал нь радиус векторын аливаа эргэлтэд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та бас тодорхой хэмжээний өнцөг авах болно, гэхдээ энэ нь зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тэгэхээр, тойргийн эргэн тойронд радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Тиймээс эхний тохиолдолд радиус вектор нь нэг бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүрэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид өөр өөр өнцөг буюу (энэ нь ямар ч бүхэл тоо) нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд тохирох гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна) бичиж болно.

Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юутай тэнцүү вэ гэдэгт хариулахыг хичээгээрэй.

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Ямар нэг хүндрэл байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

Эндээс бид өнцгийн тодорхой хэмжүүрт тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: өнцөг нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

Байдаггүй;

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө оролдоод үз, дараа нь хариултуудыг шалгана уу.

Хариултууд:

Байдаггүй

Байдаггүй

Байдаггүй

Байдаггүй

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.

Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

Гэхдээ доорхи хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санаж байх ёстой:

Бүү ай, одоо бид жишээнүүдийн аль нэгийг үзүүлэх болно харгалзах утгуудыг энгийн цээжлэх:

Энэ аргыг ашиглахын тулд синусын утгыг бүх хүнд санаж байх нь чухал юм гурван арга хэмжээөнцөг (), түүнчлэн өнцгийн тангенсийн утга. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд хялбар байдаг - косинусын утгуудыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур " " таарч, хуваагч " " таарна. Котангентын утгыг зурагт үзүүлсэн сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, диаграммыг сумаар санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?

За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Гаргаад ирье ерөнхий томъёоцэгийн координатыг олох.

Жишээлбэл, энд ийм тойрог байна:

Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Цэгийг градусаар эргүүлэх замаар олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад цэгийн координат нь сегментийн урттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.

Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.

Үүнтэй ижил логикоор бид цэгийн y координатын утгыг олно. Энэ замаар,

Тиймээс ерөнхийдөө цэгүүдийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тойргийн төвийн координат,

тойрог радиус,

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

За, тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж, амтлахын тулд эдгээр томъёог туршиж үзье?

1. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

2. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

3. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

4. Цэг - тойргийн төв. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

5. Цэг - тойргийн төв. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?

Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл шийдлийг сайн ойлгоорой), та тэдгээрийг хэрхэн олохыг сурах болно!

1.

Үүнийг харж болно. Мөн бид эхлэлийн цэгийг бүрэн эргүүлэхэд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн хүссэн координатыг олно.

2. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Үүнийг харж болно. Эхлэх цэгийн хоёр бүрэн эргэлтэнд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн хүссэн координатыг олно.

Синус ба косинус байна хүснэгтийн утгууд. Бид тэдний үнэ цэнийг санаж, дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

3. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Үүнийг харж болно. Зураг дээр авч үзсэн жишээг дүрсэлцгээе.

Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус авдаг болохыг тогтоов сөрөг утгатай, мөн синус эерэг байвал бидэнд:

Сэдвийн тригонометрийн функцийг багасгах томъёог судлахдаа ижил төстэй жишээнүүдийг илүү нарийвчлан шинжилдэг.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

4.

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)

Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь эерэг, утга нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдсэнээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулж, координатыг олъё.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашигладаг, хаана

Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,

Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр).

Томъёонд бүх утгыг орлуулаад дараахийг авна уу:

ба - хүснэгтийн утгууд. Бид тэдгээрийг санаж, томъёонд орлуулна:

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН ТОМЪЁО

Өнцгийн синус нь эсрэг талын (алс) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.

Тригонометр бол олон хүнээс зайлсхийдэг сэдэв юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв та түүнд зөв хандлагыг олж чадвал энэ нь танд маш сонирхолтой байх болно. Тригонометрийн томъёо, тэр дундаа шүргэгчийг олох томъёог олон салбарт ашигладаг жинхэнэ амьдрал. Энэ нийтлэлд өнцгийн тангенсыг олох аргуудын талаар ярилцаж, энэ утгыг амьдралд ашиглах жишээг өгөх болно. Энэ нь сэдвийг судлах сэдэл өгөх болно.

Сургуулийн сурагчдын дийлэнх нь зонхилох үзэл баримтлалыг үл харгалзан тригонометрийг амьдралд ихэвчлэн ашигладаг. тайлбарласан жишээ практик хэрэглээзалхуурахгүй байх урам зориг өгөх болно. Тригонометрийн тооцоолол, тэр дундаа өнцгийн тангенсыг олох зэрэг хэд хэдэн үйл ажиллагааны чиглэлүүд энд байна.

• Эдийн засаг.
• Одон орон судлал.
• Нисэх.
• Инженерчлэл.

Тиймээс доороос tg олох аргуудыг өгөх болно.

Өнцгийн tg-ийг хэрхэн олох вэ

Өнцгийн тангенсыг олох нь маш энгийн. Та судалж болно энэ сэдэвзүгээр л дүрмийг цээжил, гэхдээ энэ бүхэн шалгалтын үеэр таны толгойноос гарч болзошгүй. Тиймээс ойртох нь зүйтэй энэ асуудалутга учиртай. Санаж байх ёстой үндсэн томъёо:

• tg0° = 0
• tg30° = 1/√3
• tg45° = 1
• tg60° = √3
• tg90° = ∞ (хязгааргүй/тодорхойгүй)

Утгууд нь өсөх дарааллаар байгааг анхаарна уу: өнцөг том байх тусам шүргэгч утга их байх болно. Үүний дагуу, 0 ° өнцгийн градусын утгаараа бид 0-ийг авна. Гучин градусын утгаараа нэгжийг гурвын язгуурт хувааж, 90 ° тэмдэгт хүрэх хүртэл. Үүний тусламжтайгаар шүргэгчийн утга нь хязгааргүй эсвэл тодорхойгүй байдалтай тэнцүү байна (тодорхой нөхцөл байдалд үндэслэн).

Эдгээр илэрхийлэл нь тэгш өнцөгт гурвалжны шүргэгчийг олох дүрмийн дагуу явагдана. Тиймээс, A өнцгийн тангенс (tgA) нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Бүх талууд нь тодорхой боловч өнцөг нь тодорхойгүй тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн гэж төсөөлөөд үз дээ. Асуудлыг шийдсэнээр А өнцгийн шүргэгчийг олох шаардлагатай.Өнцгийн эсрэг байрлах талын утга 1, зэргэлдээх хөл нь √3 байна. Тэдний харьцаа 1/√3-ийг өгдөг. өнцөг гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байсан энэ үзүүлэлт 30 градустай тэнцүү байна. Үүний дагуу өнцөг A = 30 °.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд шүргэгч хоёулаа зэргэлдээ байна. Энэ өнцгийн эсрэг тал нь гипотенуз юм. Бид хоёр хөлийг хооронд нь хувааж чадахгүй учраас (олдох нөхцөлийг зөрчих болно) 90 ° -ийн тангенс Энэ тохиолдолдбайдаггүй.

Энэ бүхнээс гадна мохоо өнцгийн тангенсыг олох шаардлагатай байдаг. Ихэвчлэн асуудалд 120 эсвэл 150 градусын утгатай мохоо өнцөг байдаг. Мохоо өнцгийн шүргэгчийг олох томъёо нь дараах байдалтай байна: tg(180-a) = tga.
Жишээлбэл, бид 120 ° -ийн тангенсыг олох хэрэгтэй. Та өөрөөсөө асуух хэрэгтэй дараагийн асуулт: 120 гарахын тулд 180-аас хэдийг хасах ёстой вэ? Мэдээжийн хэрэг 60 °. Үүнээс үзэхэд 120° ба 60°-ын тангенс хоорондоо тэнцүү ба tg120° = √3 байна. Үүнтэй ижил логикоор та 150 ба 180 градусын тангенсыг олж болно. Тэдгээрийн утгууд нь 1 / √3 ба 0-тэй тэнцүү байх болно. Бусад өнцгийн тангенсийн утгыг тригонометрийн хүснэгтэд өгсөн боловч тэдгээрийг маш ховор ашигладаг.

Онлайнаар өнцгийн tg-ийг хэрхэн олох вэ

Өнцгийн тангенсыг олох олон онлайн эх сурвалжууд байдаг. Эдгээрийн нэг нь FXYZ сайт юм. Энэ холбоосыг дагана уу. Та шүргэгчтэй холбоотой үндсэн томьёог өгөх хуудас, мөн тооны машиныг харах болно. Тооцоологч ашиглах нь маш энгийн. Та тохирохыг нь оруулах ёстой бөгөөд тооцоолуур хариултыг тооцоолох болно. Энэ энгийн алгоритм нь ямар нэг зүйлийг мартсан тохиолдолд танд туслах болно. Энэ сайт дээр хоёр тооны машин байдаг. Нэг нь гурвалжны хөлийн урт дээр тулгуурлан шүргэгчийн утгыг олоход зориулагдсан бол хоёр дахь нь өнцгийн хэмжээнээс хамаарна. Даалгаварт шаардагдах тооны машиныг ашиглана уу.

Та анзаарсан байх, тангенс болон бусад тригонометрийн үзүүлэлтүүдийг олох нь бодит амьдрал дээр маш их хэрэглэгддэг бөгөөд эдгээр утгыг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Хэрэв та олохын мөн чанарыг ойлгосон бол юу ч цээжлэх шаардлагагүй - та өөрөө зөв хариултанд хүрч чадна. Гэсэн хэдий ч ямар нэг зүйл болохгүй бол тооны машин ашигла, гэхдээ үүнийг бүү ашигла. Шалгалт, шалгалт эсвэл сургууль дээр хяналтын ажилхэн ч чамд тийм боломж олгохгүй. Түүнээс гадна, хэрэв та дээд математикийн тригонометрийг судалдаг факультетэд орвол үндсэн мэдлэгТа таслагдахгүйн тулд маш их хөлрөх хэрэгтэй болно.

Өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэхээр тэгш өнцөгт гурвалжинг ойлгоход тусална.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм \ (AC \) ); хөл нь үлдсэн хоёр тал \ (AB \) ба \ (BC \) (зөв өнцгөөр зэргэлдээх) бөгөөд хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл \ (BC \) , дараа нь хөл \ (AB \) нь зэргэлдээх хөл, \ (BC \) нь эсрэг талд байна. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Өнцгийн синус- энэ нь эсрэг талын (хол) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юугаар хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчболон котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусболон косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

косинус→хүрч→хүрч→зэргэлдээ;

Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа болох синус, косинус, тангенс, котангенс нь эдгээр талуудын уртаас (нэг өнцгөөр) хамаардаггүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Бүү итгэ? Дараа нь зургийг харж байгаа эсэхийг шалгаарай:

Жишээ нь, өнцгийн косинусыг авч үзье \(\бета \) . Тодорхойлолтоор \(ABC \) гурвалжингаас: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), гэхдээ бид \(AHI \) гурвалжнаас \(\бета \) өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Та харж байна уу, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд засаарай!

Доорх зурагт үзүүлсэн \(ABC \) гурвалжны хувьд бид олно \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\эхлэх(массив)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\төгс(массив) \)

За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: \(\бета \) өнцгийн хувьд ижил тооцоолоорой.

Хариултууд: \(\sin \ \бета =0.6;\ \cos \ \бета =0.8;\ tg\ \бета =0.75;\ ctg\ \бета =\dfrac(4)(3) \).

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Зэрэг, радианы тухай ойлголтыг бид \ (1 \) -тэй тэнцүү радиустай тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийн судалгаанд маш их хэрэгтэй байдаг. Тиймээс бид энэ талаар бага зэрэг нарийвчлан авч үзэх болно.

Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нь нэгтэй тэнцүү, тойргийн төв нь эх цэг дээр байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь \(x \) тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байна (бидний жишээнд энэ нь радиус \(AB \) ).

Тойрог дээрх цэг бүр хоёр тоотой тохирч байна: тэнхлэгийн дагуух координат \(x \) ба тэнхлэгийн дагуух координат \(y \) . Эдгээр координатын тоо юу вэ? Тэгээд ер нь тэд яригдаж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны талаар санаарай. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. \(ACG \) гурвалжинг авч үзье. \(CG \) нь \(x \) тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

\(ACG \) гурвалжингаас \(\cos \ \alpha \) гэж юу вэ? Яг зөв \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Үүнээс гадна \(AC \) нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, тиймээс \(AC=1 \) . Энэ утгыг манай косинусын томъёонд орлуулна уу. Энд юу болох вэ:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(ACG \) гурвалжингаас \(\sin \ \alpha \) гэж юу вэ? За, мэдээжийн хэрэг, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Энэ томьёоны радиусын утгыг \ (AC \) орлуулаад дараахийг авна уу:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Тэгэхээр та тойрогт хамаарах \(C \) цэгийн координат хэд болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? Гэхдээ \(\cos \ \alpha \) болон \(\sin \alpha \) нь зүгээр л тоо гэдгийг ойлговол яах вэ? \(\cos \alpha \) ямар координаттай тохирч байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, координат \(x \)! \(\sin \alpha \) ямар координаттай тохирч байна вэ? Энэ нь зөв, \(y \) координат! Тэгэхээр гол нь \(C(x;y)=C(\cos \alpha;\sin \alpha) \).

Тэгвэл \(tg \alpha \) ба \(ctg \alpha \) гэж юу вэ? Зөв шүү, тангенс ба котангенсийн тохирох тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:

Энэ жишээнд юу өөрчлөгдсөн бэ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэв. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх \(\бета \) ). Өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангенсийн утга хэд вэ \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\бета \ \)? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

\(\begin(массив)(l)\sin \өнцөг ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\өнцөг ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\өнцөг ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(массив) \)

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна \ (y \) ; өнцгийн косинусын утга - координат \ (x \) ; ба шүргэгч ба котангенсын утгуудыг харгалзах харьцаатай харьцуулна. Иймд эдгээр хамаарал нь радиус векторын аливаа эргэлтэд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь \(x \) тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байгааг аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та бас тодорхой хэмжээний өнцөг авах болно, гэхдээ энэ нь зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тиймээс бид тойргийн эргэн тойрон дахь радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь \(360()^\circ \) эсвэл \(2\pi \) гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг \(390()^\circ \) эсвэл \(-1140()^\circ \) -ээр эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Эхний тохиолдолд, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), тэгэхээр радиус вектор нэг бүтэн эргэлт хийж \(30()^\circ \) эсвэл \(\dfrac(\pi )(6) \) дээр зогсоно.

Хоёр дахь тохиолдолд, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), өөрөөр хэлбэл радиус вектор гурван бүрэн эргэлт хийж \(-60()^\circ \) эсвэл \(-\dfrac(\pi )(3) \) байрлалд зогсоно.

Иймд дээрх жишээнүүдээс харахад өнцгүүд нь \(360()^\circ \cdot m \) эсвэл \(2\pi \cdot m \) (энд \(m \) нь дурын бүхэл тоо) гэж бид дүгнэж болно. радиус векторын ижил байрлалд тохирно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна \(\бета =-60()^\circ \) . Ижил зураг нь булантай тохирч байна \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томъёогоор бичиж болно \(\бета +360()^\circ \cdot m \)эсвэл \(\бета +2\pi \cdot m \) (энд \(m \) нь дурын бүхэл тоо)

\(\эхлэх(массив)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(массив) \)

Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юутай тэнцүү вэ гэдэгт хариулахыг хичээгээрэй.

\(\begin(массив)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(массив) \)

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Ямар нэг хүндрэл байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

\(\эхлэх(массив)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\төгсгөл(массив) \)

Эндээс бид өнцгийн тодорхой хэмжүүрт тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: булан дахь булан \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Баруун сум \text(tg)\ 90()^\circ \)- байдаггүй;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд дотор байгааг олж мэдэв \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )координаттай цэгүүдэд тохирно \(\left(-1;0 \баруун),\text( )\left(0;-1 \баруун),\text( )\left(1;0 \баруун),\text( )\left(0 ;1 \баруун) \), тус тус. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө оролдоод үз, дараа нь хариултуудыг шалгана уу.

Хариултууд:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Баруун сум \text(ctg)\ \pi \)- байдаггүй

\(\нүгэл \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Баруун сум \text(tg)\ 270()^\circ \)- байдаггүй

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\ нүгэл \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Баруун сум \text(ctg)\ 2\pi \)- байдаггүй

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \баруун)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Баруун сум \text(tg)\ 450()^\circ \)- байдаггүй

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \баруун)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.

Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

\(\зүүн. \begin(массив)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(массив) \баруун\)\ \text(Санах эсвэл гаргах боломжтой байх хэрэгтэй!! \) !}

Энд ба өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд энд байна \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)Доорх хүснэгтэд өгөгдсөн бол та санаж байх ёстой:

Айх шаардлагагүй, одоо бид холбогдох утгуудыг нэлээд энгийн цээжлэх жишээнүүдийн нэгийг үзүүлэх болно.

Энэ аргыг ашиглахын тулд бүх гурван өнцгийн хэмжүүрийн синусын утгыг санах нь чухал юм ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), түүнчлэн \(30()^\circ \) дахь өнцгийн тангенсийн утга. Эдгээр \(4\) утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд хялбар байдаг - косинусын утгыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

\(\begin(массив)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \төгсгөл(массив) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), үүнийг мэдсэнээр утгыг сэргээх боломжтой \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” тоологч нь \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , хуваагч “\(\sqrt(\text(3)) \) ” таарч таарна \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Котангентын утгыг зурагт үзүүлсэн сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, сумтай схемийг санаж байвал хүснэгтээс зөвхөн \(4 \) утгыг санахад хангалттай.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэж, тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Цэгийн координатыг олох ерөнхий томьёог гаргая. Жишээлбэл, энд ийм тойрог байна:

Тэр оноог бидэнд өгсөн \(K(((x)_(0));((y)_(0)=K(3;2) \)тойргийн төв юм. Тойргийн радиус нь \(1,5 \) байна. \(O \) цэгийг \(\дельта \) градусаар эргүүлснээр олж авсан \(P \) цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад \ (P \) цэгийн координат \ (x \) нь сегментийн урттай тохирч байна \ (TP=UQ=UK+KQ \) . \ (Их Британи \) сегментийн урт нь тойргийн төвийн координат \ (x \) -тэй тохирч, өөрөөр хэлбэл \ (3 \) -тэй тэнцүү байна. \(KQ \) сегментийн уртыг косинусын тодорхойлолтыг ашиглан илэрхийлж болно.

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Дараа нь бидэнд \(P \) цэгийн координат байна \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Үүнтэй ижил логикоор бид \(P\) цэгийн у координатын утгыг олно. Энэ замаар,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Тиймээс ерөнхийдөө цэгүүдийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

\(\begin(массив)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \төгсгөл(массив) \), хаана

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - тойргийн төвийн координат,

\(r\) - тойргийн радиус,

\(\delta \) - векторын радиусын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

\(\begin(массив)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(массив) \)

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолохын тулд ActiveX хяналтыг идэвхжүүлсэн байх ёстой!