Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь юу вэ? Квадрат язгуур: тооцооллын томъёо. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо. Бодит, олон, төвөгтэй язгуурын тохиолдлыг авч үзнэ. Квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх. Геометрийн тайлбар. Үндэс ба хүчин зүйлчлэлийг тодорхойлох жишээ.

Үндсэн томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс(1) томъёогоор тодорхойлно:
; .
Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэгтгэж болно.
.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийг хүчин зүйлийн үржвэр болгон (факторт) төлөөлж болно.
.

Цаашилбал, бид үүнийг бодит тоо гэж үздэг.
Санаж үз квадрат тэгшитгэлийн дискриминант:
.
Хэрэв дискриминант эерэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр өөр бодит язгууртай болно.
; .
Дараа нь дөрвөлжин гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв дискриминант нь тэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр олон (тэнцүү) бодит язгууртай байна.
.
Факторчилол:
.
Хэрэв дискриминант нь сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр нийлмэл нийлмэл үндэстэй байна.
;
.
Энд төсөөллийн нэгж байна, ;
ба язгуурын бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь:
; .
Дараа нь

.

График тайлбар

Бариулбал функцийн график
,
Энэ нь парабол бол графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
.
Үед график нь абсцисса тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр огтолно.
үед график нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.
үед график х тэнхлэгийг огтолдоггүй.

Ийм графикуудын жишээг доор харуулав.

Квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой ашигтай томьёо

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

Бид хувиргалтыг хийж (f.1) ба (f.3) томъёог хэрэглэнэ:




,
хаана
; .

Тиймээс бид хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийн томъёог дараах хэлбэрээр авсан.
.
Эндээс тэгшитгэл болохыг харж болно

дээр гүйцэтгэсэн
болон .
Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм
.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох жишээ

Жишээ 1

(1.1) .

Шийдэл

.
Бидний (1.1) тэгшитгэлтэй харьцуулбал коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Ялгаварлагчийг олох нь:
.
Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй байна.
;
;
.

Эндээс бид квадрат гурвалжны задралыг хүчин зүйл болгон олж авна.

.

y = функцийн график 2 x 2 + 7 x + 3х тэнхлэгийг хоёр цэгээр гаталж байна.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь х тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр гаталж байна.
болон .
Эдгээр цэгүүд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (1.1).

Хариулт

;
;
.

Жишээ 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(2.1) .

Шийдэл

Бид квадрат тэгшитгэлийг бичнэ ерөнхий үзэл:
.
Анхны тэгшитгэл (2.1)-тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Ялгаварлагчийг олох нь:
.
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэл нь хоёр олон (тэнцүү) үндэстэй байна.
;
.

Дараа нь гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.

y = x функцийн график 2 - 4 x + 4нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгт (тэнхлэг) нэг цэгт хүрдэг:
.
Энэ цэг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (2.1). Энэ үндсийг хоёр удаа хүчин зүйлээр ялгасан тул:
,
тэгвэл ийм язгуурыг олон тоо гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, тэд хоёр ижил үндэстэй гэж үздэг.
.

Хариулт

;
.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(3.1) .

Шийдэл

Бид квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичнэ.
(1) .
Анхны тэгшитгэлийг (3.1) дахин бичье.
.
(1) -тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Ялгаварлагчийг олох нь:
.
Ялгаварлагч нь сөрөг, . Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Та нарийн төвөгтэй үндэс олж болно:
;
;
.

Дараа нь


.

Функцийн график нь х тэнхлэгийг огтолдоггүй. Жинхэнэ үндэс байхгүй.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь абсцисса (тэнхлэг) -ийг огтолдоггүй. Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Хариулт

Жинхэнэ үндэс байхгүй. Нарийн төвөгтэй үндэс:
;
;
.

Квадрат тэгшитгэл 8-р ангид сурдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь маш чухал юм.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a , b ба c коэффициентүүд нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бид бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Үндэсгүй байх;
2. Тэд яг нэг үндэстэй;
3. Тэд хоёр өөр үндэстэй.

Энэ нь квадрат болон шугаман тэгшитгэлийн хоорондох чухал ялгаа бөгөөд үндэс нь үргэлж байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.Тэгвэл дискриминант нь зүгээр л D = b 2 − 4ac тоо болно.

Энэ томъёог цээжээр мэддэг байх ёстой. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлж болно. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн боддог шиг тэдгээрийн шинж тэмдгийг огт биш харин язгуурын тоог заадаг. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5х2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Бид эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичиж, ялгаварлагчийг олно.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил аргаар шинжилнэ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Сүүлийн тэгшитгэл хэвээр байна:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү - үндэс нь нэг байх болно.

Тэгшитгэл бүрийн хувьд коэффициентүүдийг бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжуудыг хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй байх болно. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та "гараа дүүргэвэл" хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ явцгаая. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн томъёо

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнх тохиолдолд сөрөг коэффициентийг томъёонд орлуулах үед алдаа гардаг. Энд дахин хэлэхэд дээр дурдсан техник нь туслах болно: томъёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг будаж, алдаанаасаа хурдан ангижрах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэг нэр томъёо дутуу байгааг харахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: тэд ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй болно. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b \u003d c \u003d 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 \u003d 0 хэлбэртэй байна. Ийм тэгшитгэл нь нэг утгатай байх нь ойлгомжтой. үндэс: x \u003d 0.

Бусад тохиолдлыг авч үзье. b \u003d 0 гэж үзье, тэгвэл бид ax 2 + c \u003d 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг авна. Үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

Арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн үгүйгээс л байдаг сөрөг тоо, сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн (−c /a ) ≥ 0-д утга учиртай. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь (−c / a ) ≥ 0 тэгш бус байдлыг хангаж байвал хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c / a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар ялгаварлагч шаардлагагүй байсан - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд нарийн төвөгтэй тооцоо огт байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ (−c / a ) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2-ын утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзье. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтаас гаргаж байна

Хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд бид эдгээр тэгшитгэлийн хэд хэдэн зүйлийг шинжлэх болно.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5х2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

Ном зүйн тайлбар:Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Элков А.А., Шилненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд // Залуу эрдэмтэн. 2016. №6.1. S. 2019.02.17-20).



Манай төсөл нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замуудад зориулагдсан болно. Төслийн зорилго: Квадрат тэгшитгэлийг сургуулийн хичээлийн хөтөлбөрт тусгагдаагүй аргаар шийдвэрлэх аргад суралцах. Даалгавар: бүгдийг олох боломжит арга замуудКвадрат тэгшитгэлийг шийдэж, тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар суралцаж, ангийнхандаа эдгээр аргуудыг танилцуулах.

"Квадрат тэгшитгэл" гэж юу вэ?

Квадрат тэгшитгэл- хэлбэрийн тэгшитгэл сүх2 + bx + c = 0, хаана а, б, в- зарим тоо ( a ≠ 0), x- үл мэдэгдэх.

a, b, c тоонуудыг квадрат тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэдэг.

• a нь эхний коэффициент гэж нэрлэгддэг;
• b-ийг хоёр дахь коэффициент гэж нэрлэдэг;
• в - чөлөөт гишүүн.

Квадрат тэгшитгэлийг анх "зохион бүтээсэн" хүн хэн бэ?

Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим алгебрийн аргуудыг 4000 жилийн өмнө эртний Вавилонд мэддэг байсан. МЭӨ 1800-1600 оны хооронд олдсон эртний Вавилоны шавар хавтангууд нь квадрат тэгшитгэлийн судалгааны хамгийн эртний нотолгоо юм. Ижил шахмалууд нь тодорхой төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг агуулдаг.

Эрт дээр үед зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь газар нутаг, газар нутгийг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. газар шорооны ажилцэргийн шинж чанар, түүнчлэн одон орон, математикийн хөгжилтэй холбоотой.

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр илэрхийлсэн шийдлүүдтэй асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалтгүй байдаг. Гэсэн хэдий ч өндөр түвшинВавилон дахь алгебрийн хөгжил, дөрвөлжин бичвэрт сөрөг тооны тухай ойлголт байдаггүй нийтлэг аргуудквадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд.

МЭӨ 4-р зууны үеийн Вавилоны математикчид. эерэг язгууртай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд квадрат нөхөх аргыг ашигласан. МЭӨ 300 орчим Евклид илүү ерөнхий геометрийн шийдлийн аргыг гаргаж ирэв. Сөрөг язгууртай тэгшитгэлийн шийдийг алгебрийн томъёо хэлбэрээр олсон анхны математикч бол Энэтхэгийн эрдэмтэн юм. Брахмагупта(Энэтхэг, МЭ 7-р зуун).

Брахмагупта нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.

ax2 + bx = c, a>0

Энэ тэгшитгэлд коэффициентүүд сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй таарч байна.

Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Хуучин Энэтхэгийн номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар дараахь зүйлийг өгүүлсэн байдаг: "Нар нь оддыг гялалзуулж, гялалзуулдаг. эрдэмтэн хүналдартай чуулганууд дахь хиртэлтийн алдар, алгебрийн асуудлыг санал болгож, шийдвэрлэх. Даалгавруудыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр өмсдөг байв.

Алгебрийн зохиолд Аль-Хорезмишугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг жагсаасан бөгөөд тэдгээрийг дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = bx.

2) "Квадратууд нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

4) "Квадрат ба тоонууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл bx + c == ax2.

Сөрөг тоо хэрэглэхээс зайлсхийсэн Аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн гишүүн нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд байхгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой эерэг шийдвэрүүд. Зохиогч эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг аль-жабр ба аль-мукабалагийн аргуудыг ашиглан тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэр биднийхтэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, нэгдүгээр төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ Аль-Хорезми 17-р зууны өмнөх бүх математикчдын нэгэн адил тэгийг харгалздаггүй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. шийдэл, магадгүй тодорхой практик даалгавруудад энэ нь хамаагүй. Аль-Хорезмигийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэсэгчлэн шийдвэрлэхдээ тоон жишээнүүдшийдвэрийн дүрмийг тогтоож, дараа нь тэдгээрийн геометрийн нотолгоо.

Европ дахь Аль-Хорезмийн загвар дээр квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэлбэрийг анх 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д дүрсэлсэн байдаг. Италийн математикч Леонард Фибоначчи. Зохиогч бие даан зарим шинэ зүйлийг боловсруулсан алгебрийн жишээнүүдасуудлыг шийдэж, Европт сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд анх удаа хандсан.

Энэхүү ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. Энэ номноос олон даалгаврыг 14-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт шилжүүлсэн. Ерөнхий дүрэмХ2 + bx = c шинж тэмдэг ба коэффициентүүдийн бүх боломжит хослол бүхий нэг каноник хэлбэр болгон бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийг b, c 1544 онд Европт томъёолсон. М.Штифель.

Виетад квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёоны ерөнхий гарал үүсэлтэй боловч Виета зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикчид Тарталиа, Кардано, Бомбелли 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг. эерэг, сөрөг үндсээс гадна харгалзан үзэх. Зөвхөн XVII зуунд. ажилд баярлалаа Жирард, Декарт, Ньютонболон бусад эрдэмтэд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэд хэдэн аргыг авч үзье.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх стандарт аргууд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:

1. Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.
2. Бүтэн квадрат сонгох арга.
3. Квадрат тэгшитгэлийг томъёогоор шийдэх.
4. График шийдэлквадрат тэгшитгэл.
5. Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл.

Вьета теоремыг ашиглан багасгасан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй, нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байх хоёр тоог олоход хангалттай гэдгийг санаарай.

Жишээ.x 2 -5x+6=0

Үржвэр нь 6, нийлбэр нь 5 тоонуудыг олох хэрэгтэй. Эдгээр тоо нь 3 ба 2 болно.

Хариулт: x 1 =2,x 2 =3.

Гэхдээ та энэ аргыг эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлд ашиглаж болно.

Жишээ.3x 2 +2х-5=0

Бид эхний коэффициентийг авч чөлөөт гишүүнээр үржүүлнэ: x 2 +2x-15=0

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь үржвэр нь - 15, нийлбэр нь - 2-той тэнцүү тоонууд байх болно. Эдгээр тоо нь 5 ба 3. Анхны тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд олж авсан үндсийг эхний коэффициентээр хуваана. .

Хариулт: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Тэгшитгэлийг "шилжүүлэх" аргаар шийдвэрлэх.

a≠0 байх ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.

Үүний хоёр хэсгийг а-аар үржүүлснээр бид a 2 x 2 + abx + ac = 0 тэгшитгэлийг авна.

ax = y, эндээс x = y/a; тэгвэл y 2 + by + ac = 0 тэгшитгэлд хүрнэ, энэ нь өгөгдсөнтэй тэнцүү байна. Бид түүний үндсийг 1 ба 2 дээр Виета теоремоор олно.

Эцэст нь бид x 1 = y 1 /a ба x 2 = y 2 / a болно.

Энэ аргын тусламжтайгаар a коэффициентийг "шилжсэн" мэт чөлөөт нэр томъёогоор үржүүлдэг тул үүнийг "шилжүүлэх" арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хялбар, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Коэффицент 2-ыг чөлөөт гишүүн рүү "шилжүүлж", орлуулалт хийснээр y 2 - 11y + 30 = 0 тэгшитгэлийг гаргацгаая.

Вьетагийн урвуу теоремын дагуу

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Хариулт: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд.

ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.

1. Хэрэв a + b + c \u003d 0 (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэг) байвал x 1 \u003d 1 байна.

2. Хэрэв a - b + c \u003d 0, эсвэл b \u003d a + c байвал x 1 \u003d - 1 байна.

Жишээ.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0) тул x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Хариулт: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Жишээ.132x 2 + 247x + 115 = 0

Учир нь a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), дараа нь x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Хариулт: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн бусад шинж чанарууд байдаг. гэхдээ тэдгээрийн хэрэглээ нь илүү төвөгтэй байдаг.

8. Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Зураг 1. Номограмм

Хуучин, одоо мартагдсан аргаЦуглуулгын 83-р хуудсанд байрлуулсан квадрат тэгшитгэлийн шийдэл: Bradis V.M. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.

Хүснэгт XXII. Тэгшитгэл шийдвэрлэх номограмм z2 + pz + q = 0. Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр тэгшитгэлийн язгуурыг коэффициентээр нь тодорхойлох боломжийг олгодог.

Номограммын муруйн хуваарийг томъёоны дагуу бүтээв (Зураг 1):

Таамаглаж байна OS = p, ED = q, OE = a(бүгд см-ээр), 1-р зурагт гурвалжны ижил төстэй байдал САНболон CDFБид пропорцийг авдаг

Эндээс орлуулалт ба хялбаршуулсаны дараа тэгшитгэл үүснэ z 2 + pz + q = 0,болон захидал zмуруй хуваарийн аль ч цэгийн шошгыг хэлнэ.

Цагаан будаа. 2 Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Жишээ.

1) тэгшитгэлийн хувьд z 2 - 9z + 8 = 0номограмм нь z 1 = 8.0 ба z 2 = 1.0 үндэсийг өгдөг

Хариулт: 8.0; 1.0.

2) Номограмм ашиглан тэгшитгэлийг шийд

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хуваавал z 2 - 4.5z + 1 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Номограмм нь z 1 = 4 ба z 2 = 0.5 үндэсийг өгдөг.

Хариулт: 4; 0.5.

9. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга.

Жишээ.X 2 + 10x = 39.

Анхны хувилбарт энэ асуудлыг "Квадрат ба арван язгуур нь 39-тэй тэнцүү" гэж томъёолсон.

Х талтай дөрвөлжин талбайг авч үзье, тэгш өнцөгтүүдийг түүний тал дээр барьсан бөгөөд тэдгээрийн нөгөө тал нь 2.5, тиймээс тус бүрийн талбай нь 2.5x байна. Үүссэн зургийг дараа нь ABCD шинэ дөрвөлжин болгон нэмж, булангуудад дөрвөн тэнцүү квадратыг дүүргэж, тус бүрийн тал нь 2.5, талбай нь 6.25 байна.

Цагаан будаа. 3 График арга x 2 + 10x = 39 тэгшитгэлийн шийдэл

ABCD квадратын S талбайг талбайн нийлбэрээр илэрхийлж болно: анхны квадрат х 2, дөрвөн тэгш өнцөгт (4 ∙ 2.5x = 10x) ба дөрвөн хавсаргасан квадрат (6.25 ∙ 4 = 25), өөрөөр хэлбэл. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x-ийг 39 тоогоор сольсноор бид S \u003d 39 + 25 \u003d 64 гэсэн утгыг олж авах бөгөөд энэ нь ABCD квадратын тал, өөрөөр хэлбэл. сегмент AB \u003d 8. Анхны квадратын хүссэн тал x-ийн хувьд бид авна

10. Безоутын теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл.

Безутын теорем. P(x) олон гишүүнтийг x - α хоёр гишүүнд хуваасны дараа үлдэгдэл нь P(α)-тай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл, x = α үед P(x)-ийн утга).

Хэрэв α тоо нь P(x) олон гишүүнтийн үндэс бол энэ олон гишүүнт x -α-д үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Жишээ.x²-4x+3=0

Р(х)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x)-ийг (x-1) хуваана: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, эсвэл x-3=0, x=3; Хариулт: x1 =2, x2 =3.

Дүгнэлт:Квадрат тэгшитгэлийг хурдан бөгөөд оновчтой шийдэх чадвар нь илүү ихийг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай нарийн төвөгтэй тэгшитгэлүүджишээлбэл, бутархай рационал тэгшитгэл, дээд зэргийн тэгшитгэл, биквадрат тэгшитгэл, ахлах сургуультригонометр, экспоненциал, логарифм тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх аргуудыг судалсны дараа бид ангийнханд стандарт аргуудаас гадна шилжүүлэх аргаар (6), тэгшитгэлийг коэффициентийн шинж чанараар (7) шийдвэрлэхийг зөвлөж болно, учир нь тэдгээр нь ойлгоход илүү хялбар байдаг. .

Уран зохиол:

1. Брэдис В.М. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.
2. Алгебрийн 8-р анги: 8-р ангийн сурах бичиг. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Суворова S. B. ed. С.А.Теляковский 15-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. - М.: Гэгээрэл, 2015 он
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глэйзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. Багш нарт зориулсан гарын авлага. / Ред. В.Н. Залуу. - М.: Гэгээрэл, 1964 он.

Бид сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж байна тэгшитгэлийн шийдэл". Бид шугаман тэгшитгэлтэй аль хэдийн танилцсан бөгөөд одоо бид танилцах гэж байна квадрат тэгшитгэл.

Эхлээд квадрат тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий хэлбэрээр хэрхэн бичигдсэн талаар ярилцаж, холбогдох тодорхойлолтуудыг өгнө. Үүний дараа бид жишээнүүдийг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг нарийвчлан шинжлэх болно. Шийдэл рүүгээ явцгаая. бүрэн тэгшитгэл, бид язгууруудын томьёог олж, квадрат тэгшитгэлийн дискриминанттай танилцаж, ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үздэг. Эцэст нь бид үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын уялдаа холбоог судалдаг.

Хуудасны навигаци.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Тэдний төрлүүд

Эхлээд та квадрат тэгшитгэл гэж юу болохыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Иймд квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт, түүнтэй холбоотой тодорхойлолтуудын талаар квадрат тэгшитгэлийн тухай ярьж эхлэх нь логик юм. Үүний дараа та квадрат тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэж болно: бууруулсан ба буураагүй, түүнчлэн бүрэн ба бүрэн бус тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт ба жишээ

Тодорхойлолт.

Квадрат тэгшитгэлхэлбэрийн тэгшитгэл юм a x 2 +b x+c=0, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, а нь тэгээс ялгаатай.

Квадрат тэгшитгэлийг ихэвчлэн хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг шууд хэлье. Учир нь квадрат тэгшитгэл нь алгебрийн тэгшитгэлхоёрдугаар зэрэг.

Дууссан тодорхойлолт нь квадрат тэгшитгэлийн жишээг өгөх боломжийг бидэнд олгодог. Тэгэхээр 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 гэх мэт. квадрат тэгшитгэлүүд юм.

Тодорхойлолт.

Тоонууд a, b, c гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд a x 2 + b x + c \u003d 0 бөгөөд a коэффициентийг эхний буюу ахлах, эсвэл x 2 дахь коэффициент гэж нэрлэдэг, b нь хоёр дахь коэффициент эсвэл x дээрх коэффициент, в нь чөлөөт гишүүн юм.

Жишээлбэл, 5 x 2 −2 x−3=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье, энд тэргүүлэх коэффициент нь 5, хоёр дахь коэффициент нь −2, чөлөөт гишүүн нь −3 байна. Сая өгөгдсөн жишээн дээрх шиг b ба/эсвэл в коэффициентүүд сөрөг байвал анхаарна уу богино хэлбэр 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 биш харин 5 x 2 −2 x−3=0 хэлбэртэй квадрат тэгшитгэл бичих.

Хэрэв a ба / эсвэл b коэффициентүүд нь 1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байвал квадрат тэгшитгэлийн тэмдэглэгээнд ихэвчлэн тодорхой байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь ийм тэмдэглэгээний онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, y 2 −y+3=0 квадрат тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь нэг, y дахь коэффициент нь −1 байна.

Багасгасан ба буураагүй квадрат тэгшитгэл

Тэргүүлэх коэффициентийн утгаас хамааран бууруулсан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийг ялгадаг. Холбогдох тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ багасгасан квадрат тэгшитгэл. Үгүй бол квадрат тэгшитгэл нь байна бууруулаагүй.

дагуу энэ тодорхойлолт, квадрат тэгшитгэл x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 гэх мэт. - бууруулсан, тус бүрт эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Мөн 5 x 2 −x−1=0 гэх мэт. - бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлүүд, тэдгээрийн тэргүүлэх коэффициентүүд нь 1-ээс өөр байна.

Аливаа бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлээс түүний хоёр хэсгийг тэргүүлэх коэффициентээр хуваах замаар та багасгасан нэг рүү очиж болно. Энэ үйлдэл нь эквивалент хувиргалт бөгөөд өөрөөр хэлбэл ийм аргаар олж авсан бууруулсан квадрат тэгшитгэл нь анхны бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй, эсвэл үүнтэй адил үндэсгүй байдаг.

Буураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжих жишээг авч үзье.

Жишээ.

3 x 2 +12 x−7=0 тэгшитгэлээс харгалзах багасгасан квадрат тэгшитгэл рүү оч.

Шийдэл.

Анхны тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг тэргүүлэх коэффициент 3-т хуваахад хангалттай бөгөөд энэ нь тэг биш тул бид энэ үйлдлийг хийж болно. Бидэнд (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 байгаа бөгөөд энэ нь (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 гэх мэт (3)-тай ижил байна. :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , эндээс . Тиймээс бид бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг авсан бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

Хариулт:

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолтод a≠0 нөхцөл бий. a x 2 +b x+c=0 тэгшитгэл яг дөрвөлжин байхын тулд энэ нөхцөл зайлшгүй шаардлагатай, учир нь a=0 байхад энэ нь үнэндээ b x+c=0 хэлбэрийн шугаман тэгшитгэл болдог.

b ба c коэффициентүүдийн хувьд тус тусад нь болон хамтдаа тэгтэй тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

a x 2 +b x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ бүрэн бус, хэрэв b , c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол.

Эргээд

Тодорхойлолт.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлбүх коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэл юм.

Эдгээр нэрийг санамсаргүй байдлаар өгөөгүй. Энэ нь дараагийн хэлэлцүүлгээс тодорхой болно.

Хэрэв b коэффициент тэгтэй тэнцүү бол квадрат тэгшитгэл нь a x 2 +0 x+c=0 хэлбэрийг авах ба a x 2 +c=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Хэрэв c=0 , өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь a x 2 +b x+0=0 хэлбэртэй байвал x 2 +b x=0 гэж дахин бичиж болно. Мөн b=0 ба c=0 байвал a·x 2 =0 квадрат тэгшитгэлийг авна. Гарсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Тиймээс тэдний нэр - бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Тэгэхээр x 2 +x+1=0 ба −2 x 2 −5 x+0,2=0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлийн жишээ бөгөөд x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 болно. =0 , −x 2 −5 x=0 нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Энэ нь өмнөх догол мөрийн мэдээллээс харагдаж байна гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл:

• a x 2 =0 , b=0 ба c=0 коэффициентүүд түүнд тохирно;
• b=0 үед a x 2 +c=0;
• ба c=0 үед x 2 +b x=0 байна.

Эдгээр төрөл бүрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг дарааллаар нь шинжилье.

a x 2 \u003d 0

b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг, өөрөөр хэлбэл a x 2 =0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр шийдэж эхэлцгээе. a·x 2 =0 тэгшитгэл нь хоёр хэсгийг нь тэг биш a тоонд хуваах замаар эх хувилбараас гаргаж авсан x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Мэдээжийн хэрэг, x 2 \u003d 0 тэгшитгэлийн үндэс нь тэг, учир нь 0 2 \u003d 0. Энэ тэгшитгэлд өөр язгуур байхгүй бөгөөд үүнийг тайлбарлавал, тэгээс өөр ямар ч p тоонд p 2 >0 тэгш бус байдал үүсдэг бөгөөд энэ нь p≠0-ийн хувьд p 2 =0 тэгш байдал хэзээ ч хүрдэггүй гэсэн үг юм.

Тиймээс, бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 \u003d 0 нь нэг язгууртай x \u003d 0 байна.

Жишээ болгон бид −4·x 2 =0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг өгч байна. Энэ нь x 2 \u003d 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд түүний цорын ганц үндэс нь x \u003d 0 тул анхны тэгшитгэл нь нэг үндэс тэгтэй байна.

Энэ тохиолдолд богино шийдлийг дараах байдлаар гаргаж болно.
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Одоо b коэффициент нь тэгтэй тэнцүү, c≠0 буюу a x 2 +c=0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл хэрхэн шийддэгийг авч үзье. Тэгшитгэлийн нэг талаас нөгөө тал руу эсрэг тэмдэгтэй гишүүнийг шилжүүлэх, мөн тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоонд хуваах нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг бид мэднэ. Иймд a x 2 +c=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн дараах эквивалент хувиргалтыг хийж болно.

• c руу шилжих баруун тал, энэ нь a x 2 =−c тэгшитгэлийг өгдөг.
• ба түүний аль алиныг нь a -д хуваавал бид .

Үүссэн тэгшитгэл нь түүний үндэсийн талаар дүгнэлт хийх боломжийг бидэнд олгодог. a ба c-ийн утгуудаас хамааран илэрхийллийн утга нь сөрөг (жишээлбэл, хэрэв a=1 ба c=2 бол ) эсвэл эерэг байж болно (жишээлбэл, a=−2 ба c=6 бол). , тэгвэл ), тэгтэй тэнцүү биш, учир нь нөхцөлөөр c≠0 . Бид тохиолдлуудад тусад нь дүн шинжилгээ хийх ба .

Хэрэв бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Энэ мэдэгдэл нь дурын тооны квадрат нь сөрөг бус тоо байдгаас үүдэлтэй. Үүнээс үзэхэд , тэгвэл аль ч p тооны хувьд тэгшитгэл үнэн байж болохгүй.

Хэрэв , тэгвэл тэгшитгэлийн язгуурын нөхцөл өөр байна. Энэ тохиолдолд, хэрэв бид санаж байвал тэгшитгэлийн үндэс нь шууд тодорхой болно, энэ нь тоо юм. Энэ тоо нь тэгшитгэлийн үндэс мөн гэдгийг таахад хялбар байдаг. Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг жишээ нь зөрчилдөөнөөр харуулж болно. Энийг хийцгээе.

Тэгшитгэлийн зүгээр л дуут язгууруудыг x 1 ба −x 1 гэж тэмдэглэе. Тэгшитгэл нь заасан x 1 ба −x 1 язгууруудаас өөр x 2 өөр язгууртай гэж бодъё. Тэгшитгэлд язгуурынх нь оронд орлуулснаар тэгшитгэл нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирдаг нь мэдэгдэж байна. x 1 ба −x 1-ийн хувьд бид , харин x 2-ийн хувьд бид байна. Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд нь жинхэнэ тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь хасах боломжийг бидэнд олгодог тул тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг хасвал x 1 2 − x 2 2 =0 болно. Тоотой үйлдлийн шинж чанарууд нь үүссэн тэгшитгэлийг (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 гэж дахин бичих боломжийг олгодог. Хоёр тооны үржвэр нь зөвхөн, ядаж нэг нь тэгтэй тэнцэх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Иймээс олж авсан тэгшитгэлээс x 1 −x 2 =0 ба/эсвэл x 1 +x 2 =0 , энэ нь ижил, x 2 =x 1 ба/эсвэл x 2 = −x 1 байна. Тиймээс бид анхандаа x 2 тэгшитгэлийн язгуур нь x 1 ба −x 1-ээс өөр гэж хэлснээс хойш зөрчилд хүрлээ. Энэ нь тэгшитгэлд ба -аас өөр үндэс байхгүй болохыг баталж байна.

Энэ догол мөр дэх мэдээллийг тоймлон хүргэе. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 +c=0 нь тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь

• үндэс байхгүй бол,
• хоёр үндэстэй ба хэрэв .

a·x 2 +c=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

9 x 2 +7=0 квадрат тэгшитгэлээс эхэлье. Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлсний дараа 9·x 2 =−7 хэлбэрийг авна. Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг 9-д хуваавал бид . Баруун талд сөрөг тоо гарсан тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 +7=0 үндэсгүй болно.

−x 2 +9=0 дахин нэг бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье. Бид есийг баруун тийш шилжүүлнэ: -x 2 \u003d -9. Одоо бид хоёр хэсгийг −1-д хуваавал x 2 =9 болно. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг эсвэл гэж дүгнэдэг. Эцсийн хариултыг бичсэний дараа: −x 2 +9=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=3 эсвэл x=−3 хоёр үндэстэй.

a x 2 +b x=0

Сүүлийн төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг c=0 хувьд авч үзэх л үлдлээ. a x 2 +b x=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно хүчин зүйлчлэлийн арга. Мэдээжийн хэрэг, бид тэгшитгэлийн зүүн талд байрлах боломжтой бөгөөд үүний тулд нийтлэг х хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахад хангалттай. Энэ нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлээс x·(a·x+b)=0 хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог. Мөн энэ тэгшитгэл нь x=0 ба a x+b=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн олонлогтой тэнцэх бөгөөд сүүлийнх нь шугаман бөгөөд x=−b/a язгууртай.

Тэгэхээр a x 2 +b x=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=0 ба x=−b/a гэсэн хоёр үндэстэй.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид тодорхой жишээний шийдлийг шинжлэх болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид хаалтнаас x-г гаргаснаар тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ нь x=0 ба хоёр тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. Бид хүлээн авсан зүйлийг шийддэг шугаман тэгшитгэл: , болон хуваах холимог тоодээр энгийн бутархай, бид олдог. Иймд анхны тэгшитгэлийн үндэс нь x=0 ба .

Шаардлагатай дадлага хийсний дараа ийм тэгшитгэлийн шийдлүүдийг товч бичиж болно.

Хариулт:

x=0, .

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд язгуур томъёо байдаг. Бичээд үзье квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо: , хаана D=b 2 −4 a c- гэж нэрлэгддэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант. Тэмдэглэгээ нь үндсэндээ үүнийг илэрхийлдэг.

Үндэс томъёог хэрхэн олж авсан, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хэрхэн ашигладаг талаар мэдэх нь ашигтай байдаг. Энэ асуудлыг шийдье.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёог гарган авах

a·x 2 +b·x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Зарим ижил төстэй хувиргалтуудыг хийцгээе:

• Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг тэг биш a тоогоор хувааж болох бөгөөд үр дүнд нь багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
• Одоо бүтэн квадратыг сонгоно уутүүний зүүн талд: . Үүний дараа тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.
• Энэ үе шатанд сүүлийн хоёр нэр томъёог эсрэг тэмдэгтэй баруун тал руу шилжүүлэх боломжтой, бид .
• Мөн баруун талд байгаа илэрхийлэлийг өөрчилье: .

Үүний үр дүнд бид анхны квадрат тэгшитгэл a·x 2 +b·x+c=0 -тай тэнцэх тэгшитгэлд хүрнэ.

Бид дүн шинжилгээ хийхдээ өмнөх догол мөрөнд ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг аль хэдийн шийдсэн. Энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дараах дүгнэлтийг гаргах боломжийг бидэнд олгоно.

• Хэрэв бол тэгшитгэлд бодит шийдэл байхгүй;
• хэрэв , тэгвэл тэгшитгэл нь түүний цорын ганц язгуур харагдахуйц , тиймийн тул, хэлбэртэй байна;
• хэрэв , тэгвэл эсвэл , эсвэл -тэй ижил, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, улмаар анхны квадрат тэгшитгэл нь баруун талд байгаа илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна. Хариуд нь энэ илэрхийллийн тэмдэг нь тоологчийн тэмдгээр тодорхойлогддог, учир нь хуваагч 4 a 2 нь үргэлж эерэг байдаг, өөрөөр хэлбэл b 2 −4 a c илэрхийллийн тэмдэг юм. Энэ b 2 −4 a c илэрхийллийг гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминантмөн үсгээр тэмдэглэсэн Д. Эндээс ялгаварлагчийн мөн чанар тодорхой байна - түүний утга, тэмдгээр квадрат тэгшитгэл бодит язгууртай эсэх, хэрэв тийм бол тэдгээрийн тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр байна.

Бид тэгшитгэл рүү буцаж, ялгаварлагчийн тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичнэ: . Тэгээд бид дүгнэж байна:

• хэрэв Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• хэрэв D=0 бол энэ тэгшитгэл нь нэг язгууртай;
• Эцэст нь, хэрэв D>0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй буюу -тэй байх ба тэдгээрийг эсвэл хэлбэрээр дахин бичиж болох ба бутархайг томруулж, багасгасны дараагаар бичих боломжтой. Ерөнхий хуваарьбид авдаг.

Тиймээс бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргаж авсан бөгөөд тэдгээр нь D=b 2 −4 a c томьёогоор ялгаварлан гадуурхагч D-ийг тооцоолсон шиг харагдаж байна.

Тэдгээрийн тусламжтайгаар эерэг дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хоёуланг нь тооцоолж болно. Дискриминант нь тэгтэй тэнцүү байх үед хоёр томьёо нь квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэлд харгалзах ижил язгуур утгыг өгнө. Сөрөг ялгаварлагчтай бол квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахыг оролдох үед бид сөрөг тооноос квадрат язгуур гаргаж авахтай тулгардаг бөгөөд энэ нь биднийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс хэтрүүлдэг. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй боловч хостой байна нарийн төвөгтэй коньюгатүндэс, бидний олж авсан ижил үндэс томъёог ашиглан олж болно.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Практикт квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн утгыг тооцоолох үндсэн томъёог шууд ашиглаж болно. Гэхдээ энэ нь нарийн төвөгтэй үндэс олох тухай юм.

Гэхдээ сургуулийн алгебрийн хичээл дээр бид ихэвчлэн цогцолборын тухай биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгууруудын тухай ярьдаг. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахаасаа өмнө ялгаварлагчийг олох нь зүйтэй бөгөөд энэ нь сөрөг биш эсэхийг шалгаарай (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй гэж дүгнэж болно). язгуурын утгыг тооцоолох.

Дээрх үндэслэл нь бидэнд бичих боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм. a x 2 + b x + c \u003d 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

• D=b 2 −4 a c дискриминантын томьёог ашиглан түүний утгыг тооцоолох;
• дискриминант сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж дүгнэх;
• D=0 бол томьёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоолох;
• Квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг язгуур томьёо ашиглан олоорой.

Энд бид зөвхөн ялгаварлан гадуурхагч нь тэгтэй тэнцүү бол томьёог бас ашиглаж болно, энэ нь -тэй ижил утгыг өгөх болно гэдгийг анхаарна уу.

Та квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах жишээнүүд рүү шилжиж болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Эерэг, сөрөг, тэг ялгавартай гурван квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авч үзье. Тэдгээрийн шийдлийг авч үзсэний дараа ижил төстэй байдлаар бусад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно. Эхэлцгээе.

Жишээ.

x 2 +2 x−6=0 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Энэ тохиолдолд бид квадрат тэгшитгэлийн дараах коэффициентүүдтэй байна: a=1 , b=2 ба c=−6 . Алгоритмын дагуу та эхлээд дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд үүний тулд бид ялгах томъёонд заасан a, b, c-г орлуулна. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, өөрөөр хэлбэл дискриминант нь тэгээс их байх тул квадрат тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно. Тэдгээрийг язгуурын томъёогоор олъё, бид эндээс олж авсан илэрхийллүүдийг хялбарчилж болно. язгуурын тэмдгийг ялгахдараа нь бутархай бууралт:

Хариулт:

Дараагийн ердийн жишээ рүү шилжье.

Жишээ.

−4 x 2 +28 x−49=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид ялгагчийг хайж эхэлдэг: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Иймд энэ квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд бид үүнийг , өөрөөр хэлбэл

Хариулт:

x=3.5.

Сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзэх хэвээр байна.

Жишээ.

5 у 2 +6 у+2=0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд: a=5 , b=6 ба c=2 . Эдгээр утгыг ялгах томъёонд орлуулснаар бид байна D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Дискриминант нь сөрөг тул энэ квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй.

Хэрэв нарийн төвөгтэй үндэсийг зааж өгөх шаардлагатай бол бид ашигладаг мэдэгдэж байгаа томъёоквадрат тэгшитгэлийн үндэс ба гүйцэтгэнэ бүхий үйлдлүүд нийлмэл тоо :

Хариулт:

жинхэнэ үндэс байхгүй, нийлмэл үндэс нь: .

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг байвал сургууль ихэвчлэн бодит үндэс байхгүй, нарийн төвөгтэй язгуур олддоггүй гэсэн хариултыг шууд бичдэг гэдгийг бид дахин тэмдэглэж байна.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томьёо нь D=b 2 −4 a c нь x цэгийн тэгш коэффициенттэй (эсвэл зүгээр л 2 n-тэй төстэй коэффициенттэй) квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог илүү нягт томъёог авах боломжийг олгодог. , жишээ нь, эсвэл 14 ln5=2 7 ln5 ). Түүнийг гаргацгаая.

a x 2 +2 n x + c=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье. Бидний мэддэг томьёог ашиглан түүний үндсийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгаварлагчийг тооцоолно D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), дараа нь бид үндсэн томъёог ашиглана:

n 2 −a c илэрхийллийг D 1 (заримдаа D " гэж тэмдэглэдэг) гэж тэмдэглэнэ үү. Дараа нь 2 n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томьёо хэлбэрийг авна. , энд D 1 =n 2 −a c .

D=4·D 1 , эсвэл D 1 =D/4 гэдгийг харахад амархан. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь дискриминантийн дөрөв дэх хэсэг юм. D 1-ийн тэмдэг нь D-ийн тэмдэгтэй ижил байх нь тодорхой байна. Өөрөөр хэлбэл, D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгаагийн үзүүлэлт юм.

Хоёрдахь коэффициент 2 n-тэй квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй болно

• Тооцоолох D 1 =n 2 −a·c ;
• Хэрэв D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Хэрэв D 1 =0 бол томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоол;
• Хэрэв D 1 >0 бол томьёог ашиглан хоёр жинхэнэ язгуурыг ол.

Энэ догол мөрөнд олж авсан үндсэн томъёог ашиглан жишээний шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

5 x 2 −6 x−32=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2·(−3) гэж илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, та анхны квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , энд a=5 , n=−3 ба c=−32 хэлбэрээр дахин бичиж, дөрөв дэх хэсгийг тооцоолж болно. ялгаварлагч: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Түүний утга эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай. Бид тэдгээрийг харгалзах үндсэн томъёог ашиглан олно:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд ердийн томъёог ашиглах боломжтой байсан ч энэ тохиолдолд илүү их тооцооллын ажил хийх шаардлагатай болно гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах

Заримдаа, квадрат тэгшитгэлийн үндсийг томъёогоор тооцоолохын өмнө "Энэ тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах боломжтой юу" гэсэн асуултыг асуухад гэмгүй. Тооцооллын хувьд 1100 x 2 −400 x−600=0-аас 11 x 2 −4 x −6=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байх болно гэдгийг хүлээн зөвшөөр.

Ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбаршуулах нь түүний хоёр талыг хэд хэдэн тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, өмнөх догол мөрөнд бид хоёр талыг 100-д ​​хуваах замаар 1100 x 2 −400 x −600=0 тэгшитгэлийг хялбаршуулж чадсан.

Үүнтэй төстэй хувиргалтыг коэффициентүүд нь биш квадрат тэгшитгэлээр гүйцэтгэдэг. Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах нь түгээмэл байдаг үнэмлэхүй утгуудтүүний коэффициентүүд. Жишээ нь 12 x 2 −42 x+48=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгууд: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг 6-д хуваагаад 2 x 2 −7 x+8=0 квадрат тэгшитгэлд хүрнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг үржүүлэх нь ихэвчлэн бутархай коэффициентээс ангижрахын тулд хийгддэг. Энэ тохиолдолд үржүүлгийг түүний коэффициентүүдийн хуваагч дээр гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг LCM(6, 3, 1)=6 -аар үржүүлбэл илүү энгийн хэлбэрийг авна x 2 +4 x−18=0 .

Энэ догол мөрийн төгсгөлд бид квадрат тэгшитгэлийн тэргүүлэгч коэффициентээс бараг үргэлж бүх нөхцлийн тэмдгүүдийг өөрчлөх замаар хасахаас салдаг бөгөөд энэ нь хоёр хэсгийг −1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах)тай тохирч байгааг тэмдэглэж байна. Жишээлбэл, ихэвчлэн −2·x 2 −3·x+7=0 квадрат тэгшитгэлээс 2·x 2 +3·x−7=0 шийд рүү очно.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хамаарал

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо нь тэгшитгэлийн язгуурыг түүний коэффициентээр илэрхийлдэг. Үндэсийн томъёонд үндэслэн та үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг авч болно.

Вьетагийн теоремоос хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой томьёо ба . Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байх ба язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүн юм. Жишээлбэл, 3 x 2 −7 x+22=0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрээр бид язгууруудын нийлбэр нь 7/3, язгуурын үржвэр нь 22/3 гэж шууд хэлж болно.

Аль хэдийн бичсэн томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондох бусад олон тооны хамаарлыг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг түүний коэффициентээр илэрхийлж болно: .

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 14 цагаас 1-р хэсэг. Боловсролын байгууллагын оюутнуудад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.

Зүгээр л. Томъёо, тодорхой энгийн дүрмийн дагуу. Эхний шатанд

шаардлагатай өгөгдсөн тэгшитгэлхүргэж байна стандарт харагдах байдал, өөрөөр хэлбэл үзэмж рүү:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол эхний шатыг хийх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь зөв

бүх коэффициентийг тодорхойлно а, бболон в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч . Таны харж байгаагаар х-г олохын тулд бид

ашиглах зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. -аас магадлал квадрат тэгшитгэл. Зүгээр л болгоомжтой оруулаарай

үнэт зүйлс a, b ба cэнэ томъёонд оруулаад тоол. -аар орлуулах тэднийтэмдэг!

Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

а =1; б = 3; в = -4.

Утгыг орлуулж бичнэ үү:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Хамгийн түгээмэл алдаа бол үнэт зүйлсийн шинж тэмдгүүдтэй төөрөгдөл юм а, бболон -тай. Үүний оронд орлуулах замаар

сөрөг утгуудүндсийг тооцоолох томъёонд оруулна. Энд нарийвчилсан томъёог хадгалдаг

тодорхой тоогоор. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал үүнийг хий!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Бид бүх зүйлийг нарийвчлан, анхааралтай, бүх тэмдэг, хаалтанд оруулалгүйгээр зурдаг.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэл нь арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй.

Эхний хүлээн авалт. Өмнө нь залхуурах хэрэггүй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхстандарт хэлбэрт оруулах.

Энэ юу гэсэн үг вэ?

Аливаа өөрчлөлтийн дараа та дараах тэгшитгэлийг олж авлаа гэж бодъё.

Үндэсийн томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л холих болно a, b ба c.

Жишээг зөв зохио. Эхлээд х квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:

Хасах зүйлээс сал. Хэрхэн? Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг бөглөж болно.

Өөрөө л шийд. Та 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт.Үндэсээ шалгаарай! By Вьетагийн теорем.

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл. коэффициент бол

x2+bx+c=0,

тэгээдx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−б

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд a≠1:

x 2 +бx+в=0,

тэгшитгэлийг бүхэлд нь хуваана а:

→ →

хаана x 1болон x 2 - тэгшитгэлийн үндэс.

Гурав дахь хүлээн авалт. Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Үржүүлэх

нийтлэг хуваагчийн тэгшитгэл.

Дүгнэлт. Практик зөвлөмжүүд:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө бид квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, түүнийг байгуулна зөв.

2. Хэрэв квадрат дахь х-ийн урд сөрөг коэффициент байвал бид бүгдийг үржүүлж хасна

-1-ийн тэгшитгэл.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах тоогоор үржүүлж бутархайг арилгана.

хүчин зүйл.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг хялбархан шалгаж болно.