Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол. Онлайн тооцоолуур. Өгөгдсөн цэг дэх функцийн графиктай шулуун шүргэгчийн тэгшитгэл

Зааварчилгаа

М цэг дээрх муруйн шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тодорхойлно.
y = f(x) функцийн графикийг илэрхийлэх муруй нь М цэгийн тодорхой орчимд (М цэгийг оруулаад) тасралтгүй байна.

Хэрэв f‘(x0) утга байхгүй бол шүргэгч байхгүй эсвэл босоо тэнхлэгт явна. Үүнийг авч үзвэл х0 цэгт функцийн дериватив байгаа нь (x0, f(x0)) цэг дээрх функцийн графикт босоо бус шүргэгч шүргэгч байгаатай холбоотой юм. Энэ тохиолдолд шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь тэнцүү байх болно f "(x0). Тиймээс деривативын геометрийн утга нь тодорхой болно - шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тооцоолох.

“a” үсгээр тэмдэглэсэн шүргэгч цэгийн абсцисса утгыг ол. Хэрэв энэ нь өгөгдсөн шүргэгч цэгтэй давхцаж байвал "a" нь түүний x координат болно. Үнэ цэнийг тодорхойлох функцууд f(a) тэгшитгэлд орлуулах замаар функцуудабсцисса утга.

Тэгшитгэлийн эхний деривативыг тодорхойлно уу функцууд f’(x) ба түүнд “a” цэгийн утгыг орлуулна.

Авах ерөнхий тэгшитгэл y = f(a) = f (a)(x – a) гэж тодорхойлсон тангенс ба a, f(a), f "(a)-ын олсон утгуудыг түүнд орлуулна. Үүний үр дүнд, график ба шүргэгчийн шийдийг олно.

Өгөгдсөн шүргэгч цэг нь шүргэгч цэгтэй давхцахгүй бол асуудлыг өөр аргаар шийд. Энэ тохиолдолд шүргэгч тэгшитгэл дэх тоонуудын оронд "a"-г орлуулах шаардлагатай. Үүний дараа "x" ба "y" үсгийн оронд өгөгдсөн цэгийн координатын утгыг орлуулна. "a" нь үл мэдэгдэх үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд. Үүссэн утгыг шүргэгч тэгшитгэлд оруулна.

Бодлого нь тэгшитгэлийг зааж өгсөн бол “a” үсэг бүхий шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич. функцуудба хүссэн шүргэгчтэй харьцуулахад параллель шугамын тэгшитгэл. Үүний дараа бидэнд дериватив хэрэгтэй функцууд

Хэзээ нэгэн цагт x 0 нь f (x 0) төгсгөлтэй деривативтай f функцийг өгье. Дараа нь (x 0 ; f (x 0)) цэгийг дайран өнгөрч буй f '(x 0) өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамыг шүргэгч гэж нэрлэдэг.

X 0 цэг дээр дериватив байхгүй бол яах вэ? Хоёр сонголт байна:

1. Графиктай шүргэгч байхгүй. Сонгодог жишээ бол y = |x | функц юм цэг дээр (0; 0).
2. Шүргэх нь босоо болно. Энэ нь жишээлбэл, (1; π /2) цэг дээрх y = arcsin x функцийн хувьд үнэн юм.

Тангенсийн тэгшитгэл

Аливаа босоо бус шулуун шугамыг y = kx + b хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд k нь налуу юм. Тангенс нь үл хамаарах зүйл биш бөгөөд x 0 цэг дээр тэгшитгэлээ бүрдүүлэхийн тулд энэ цэг дэх функц болон деривативын утгыг мэдэхэд хангалттай.

Тэгэхээр хэрчим дээр y = f ’(x) деривативтэй y = f (x) функц өгөгдье. Дараа нь x 0 ∈ (a ; b) аль ч цэг дээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ функцийн графикт шүргэгчийг зурж болно.

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Энд f ’(x 0) нь x 0 цэг дэх деривативын утга, f (x 0) нь функцийн өөрийнх нь утга юм.

Даалгавар. y = x 3 функц өгөгдсөн. x 0 = 2 цэг дээрх энэ функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Тангенсийн тэгшитгэл: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Бидэнд x 0 = 2 цэгийг өгсөн боловч f (x 0) ба f '(x 0) утгуудыг тооцоолох шаардлагатай болно.

Эхлээд функцийн утгыг олъё. Энд бүх зүйл хялбар байдаг: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Одоо деривативыг олъё: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Бид x 0 = 2-г дериватив болгон орлоно: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Бид нийтдээ: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16 болно.
Энэ бол шүргэгч тэгшитгэл юм.

Даалгавар. x 0 = π /2 цэг дээрх f (x) = 2sin x + 5 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Энэ удаад бид үйлдэл бүрийг нарийвчлан тайлбарлахгүй - бид зөвхөн гол алхмуудыг зааж өгөх болно. Бидэнд байгаа:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Тангенс тэгшитгэл:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Сүүлчийн тохиолдолд шулуун шугам нь хэвтээ болж хувирав, учир нь түүний өнцгийн коэффициент k = 0. Үүнд буруу зүйл байхгүй - бид зүгээр л экстремум цэг дээр бүдэрсэн.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл

П.Романов, Т.Романова,
Магнитогорск,
Челябинск муж

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл

Нийтлэлийг ITAKA+ зочид буудлын цогцолборын дэмжлэгтэйгээр нийтлэв. Северодвинск усан онгоц үйлдвэрлэгч хотод байх үед та түр зуурын орон сууц олох асуудалтай тулгарахгүй. , Онлайн зочид буудлын цогцолбор“ITHAKA+” http://itakaplus.ru сайтаас та өдөр бүр төлбөрөө төлөөд хотод ямар ч хугацаанд хялбар, хурдан байр түрээслэх боломжтой.

Асаалттай орчин үеийн үе шатболовсролын хөгжил, түүний гол зорилтуудын нэг бол бүтээлч сэтгэлгээтэй хувь хүнийг төлөвшүүлэх явдал юм. Оюутнуудын бүтээлч чадварыг зөвхөн судалгааны үндсэн ажилд системтэй оролцуулж байж хөгжүүлэх боломжтой. Оюутнуудад бүтээлч чадвар, чадвар, авьяас чадвараа ашиглах үндэс суурь нь бүрэн мэдлэг, ур чадвар юм. Үүнтэй холбогдуулан сургуулийн математикийн хичээлийн сэдэв бүрийн суурь мэдлэг, ур чадварын тогтолцоог бүрдүүлэх асуудал багагүй чухал юм. Үүний зэрэгцээ, бүрэн ур чадвар нь бие даасан даалгаврын бус харин сайтар бодож боловсруулсан системийн дидактик зорилго байх ёстой. Өргөн утгаараа системийг бүрэн бүтэн, тогтвортой бүтэцтэй, харилцан уялдаатай харилцан үйлчлэлийн элементүүдийн цогц гэж ойлгодог.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг хэрхэн бичихийг оюутнуудад заах аргачлалыг авч үзье. Үндсэндээ шүргэгч тэгшитгэлийг олох бүх асуудал нь тодорхой шаардлагыг хангасан шугамуудын багцаас (багц, гэр бүл) сонгох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байдаг - тэдгээр нь тодорхой функцийн графикт шүргэгч байдаг. Энэ тохиолдолд сонголт хийх мөрүүдийн багцыг хоёр аргаар тодорхойлж болно.

a) xOy хавтгай дээр байрлах цэг (шугамны төв харандаа);
б) өнцгийн коэффициент (шулуун шугамын зэрэгцээ цацраг).

Үүнтэй холбогдуулан системийн элементүүдийг тусгаарлахын тулд "Функцийн графикт шүргэгч" сэдвийг судлахдаа бид хоёр төрлийн асуудлыг тодорхойлсон.

1) өнгөрч буй цэгээр өгөгдсөн шүргэгч дээрх асуудлууд;
2) түүний налуугаар өгөгдсөн шүргэгч дээрх бодлого.

Шүргэх асуудлыг шийдвэрлэх сургалтыг A.G-ийн санал болгосон алгоритмыг ашиглан явуулав. Мордкович. Түүний үндсэн ялгааӨмнө нь мэдэгдэж байгаа зүйл бол шүргэгч цэгийн абсциссыг a үсгээр (х0-ийн оронд) тэмдэглэдэг тул шүргэгчийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)-тай харьцуулна уу). Энэхүү арга зүйн арга нь бидний бодлоор оюутнуудад одоогийн цэгийн координат хаана бичигдсэнийг хурдан бөгөөд хялбар ойлгох боломжийг олгодог. ерөнхий шүргэгч тэгшитгэл, холбоо барих цэгүүд хаана байна.

y = f(x) функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритм

1. Шүргэх цэгийн абсциссыг a үсгээр тэмдэглэ.
2. f(a)-г ол.
3. f "(x) ба f "(a) -г ол.
4. Олдсон тоонуудыг a, f(a), f "(a) y = f(a) = f "(a)(x – a) шүргэгч ерөнхий тэгшитгэлд орлуулна.

Энэхүү алгоритмыг оюутнууд үйлдлүүдийг бие даан тодорхойлох, хэрэгжүүлэх дарааллыг үндэслэн эмхэтгэж болно.

Алгоритм ашиглан гол асуудал бүрийн дараалсан шийдэл нь функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг үе шаттайгаар бичих чадварыг хөгжүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд алгоритмын алхамууд нь үйлдлүүдийн лавлах цэг болдог болохыг практик харуулж байна. . Энэ хандлага нь П.Я-ын боловсруулсан сэтгэцийн үйлдлийг аажмаар бий болгох онолд нийцдэг. Галперин ба Н.Ф. Талызина.

Эхний төрлийн ажлуудад хоёр үндсэн ажлыг тодорхойлсон.

• шүргэгч нь муруй дээр хэвтэж буй цэгээр дамждаг (1-р асуудал);
• шүргэгч нь муруй дээр хэвтээгүй цэгээр дамжин өнгөрдөг (2-р асуудал).

Даалгавар 1. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич М(3; – 2) цэг дээр.

Шийдэл. M(3; – 2) цэг нь шүргэгч цэг юм

1. a = 3 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бодлого 2. М(– 3; 6) цэгийг дайран өнгөрөх y = – x 2 – 4x + 2 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. M(– 3; 6) цэг нь шүргэгч цэг биш, учир нь f(– 3) 6 (Зураг 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – шүргэгч тэгшитгэл.

Шүргэх нь M(– 3; 6) цэгээр дамждаг тул координатууд нь шүргэгч тэгшитгэлийг хангана.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Хэрэв a = – 4 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 4x + 18 болно.

Хэрэв a = – 2 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 6 хэлбэртэй байна.

Хоёрдахь төрлийн хувьд гол ажлууд нь дараах байдалтай байна.

• шүргэгч нь зарим шулуунтай параллель байна (3-р асуудал);
• шүргэгч нь өгөгдсөн шугам руу тодорхой өнцгөөр дамждаг (бодол 4).

Бодлого 3. y = 9x + 1 шулуунтай параллель y = x 3 – 3x 2 + 3 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.

1. a – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Гэхдээ нөгөө талаас f "(a) = 9 (параллелизм нөхцөл). Энэ нь 3a 2 – 6a = 9 тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Үүний үндэс нь a = – 1, a = 3 (Зураг 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – шүргэгч тэгшитгэл;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бодлого 4. y = 0 шулууныг 45° өнцгөөр дамжуулж y = 0.5x 2 – 3x + 1 функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич (Зураг 4).

Шийдэл. f "(a) = tan 45° нөхцөлөөс бид a: a – 3 = 1-ийг олно^a = 4.

1. a = 4 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бусад аливаа асуудлын шийдэл нь нэг буюу хэд хэдэн гол асуудлыг шийдэхэд ирдэг гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Дараах хоёр асуудлыг жишээ болгон авч үзье.

1. Парабол y = 2x 2 – 5x – 2 шүргэгч тэгш өнцөгт огтлолцох ба тэдгээрийн аль нэг нь абсцисса 3-тай цэгт параболд хүрч байвал y = 2x 2 – 5x – 2 параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич (Зураг 5).

Шийдэл. Шүргэх цэгийн абсцисс өгөгдсөн тул шийдлийн эхний хэсгийг 1-р гол асуудал болгон бууруулна.

1. a = 3 – зөв өнцгийн аль нэг талын шүргэлтийн цэгийн абсцисса.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – эхний шүргэгчийн тэгшитгэл.

А – эхний шүргэгчийн налуу өнцөг. Шүргэгч нь перпендикуляр тул хоёр дахь шүргэгчийн налуу өнцөг болно. Эхний шүргэгчийн y = 7x – 20 тэгшитгэлээс бид tg байна a = 7. Олъё

Энэ нь хоёр дахь шүргэгчийн налуу нь тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Цаашдын шийдэл нь 3-р гол ажил дээр ирдэг.

B(c; f(c))-ийг хоёр дахь шугамын шүргэлтийн цэг гэж үзье

1. – шүргэлтийн хоёр дахь цэгийн абсцисса.
2.
3.
4.
– хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл.

Анхаарна уу. Оюутнууд перпендикуляр шулуунуудын коэффициентүүдийн харьцааг мэддэг бол шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг илүү хялбар олох боломжтой k 1 k 2 = – 1.

2. Функцийн графикт бүх нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич

Шийдэл. Даалгавар нь нийтлэг шүргэгчийн шүргэгч цэгүүдийн абсциссыг олох, өөрөөр хэлбэл 1-р гол асуудлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдэж, тэгшитгэлийн системийг зохиож, дараа нь шийдвэрлэх (Зураг 6).

1. y = x 2 + x + 1 функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг a гэж үзье.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг c гэж үзье
2.
3. f "(в) = в.
4.

Шүргэгч нь ерөнхий байдаг тул

Тэгэхээр y = x + 1 ба y = – 3x – 3 нь нийтлэг шүргэгч болно.

Судалгааны тодорхой ур чадвар шаарддаг (шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх, таамаглал дэвшүүлэх чадвар гэх мэт) илүү нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд оюутнуудыг үндсэн асуудлын төрлийг бие даан танихад бэлтгэхэд анхаарч үзэх ажлуудын гол зорилго юм. Ийм даалгаварт гол үүрэг нь бүрэлдэхүүн хэсэг болгон орсон аливаа ажлыг багтаадаг. Түүний шүргэгчийн бүлгээс функцийг олох асуудлыг (1-р бодлоготой урвуу) жишээ болгон авч үзье.

3. y = x 2 + bx + c функцийн графикт y = x ба y = – 2x шүргэгч b ба c шулуунууд юуны хувьд вэ?

Шийдэл.

y = x 2 + bx + c параболын y = x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса t гэж үзье; p нь y = x 2 + bx + c параболын y = – 2x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса юм. Тэгвэл y = x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2t + b)x + c – t 2 хэлбэртэй, y = – 2x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2p + b)x + c – p 2 хэлбэртэй болно. .

Тэгшитгэлийн системийг зохиож шийдье

Хариулт:

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1. Графикийн у = x + 3 шулуунтай огтлолцох цэгүүдэд у = 2х 2 – 4х + 3 функцийн графикт зурсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Хариулт: у = – 4х + 3, у = 6х – 9.5.

2. Х 0 = 1 абсциссатай графикийн цэг дээрх y = x 2 – ax функцийн графикт татсан шүргэгч M(2; 3) цэгээр ямар а утгуудаар дамжих вэ?

Хариулт: a = 0.5.

3. y = px – 5 шулуун шугам нь p-ийн ямар утгуудын хувьд y = 3x 2 – 4x – 2 муруйд хүрэх вэ?

Хариулт: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 функцийн графикийн бүх нийтлэг цэгүүд болон P(0; 16) цэгээр дамжуулан энэ графикт татсан шүргэгчийг ол.

Хариулт: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 парабол ба шулуун шугамын хоорондох хамгийн богино зайг ол.

Хариулт:

6. y = x 2 – x + 1 муруй дээр графикийн шүргэгч y – 3x + 1 = 0 шулуунтай параллель байх цэгийг ол.

Хариулт: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич. 4x |, энэ нь хоёр цэг дээр хүрдэг. Зураг зурах.

Хариулт: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 шулуун нь y = x 4 + 3x 2 + 2x муруйг огтлохгүй гэдгийг батал. Тэдний хамгийн ойрын цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Хариулт:

9. y = x 2 парабол дээр х 1 = 1, x 2 = 3 абсциссатай хоёр цэгийг авсан. Эдгээр цэгүүдээр секант зурсан. Параболын аль цэгт шүргэгч нь секанттай параллель байх вэ? Секант ба шүргэгч тэгшитгэлийг бич.

Хариулт: y = 4x – 3 – секант тэгшитгэл; y = 4x – 4 – шүргэгч тэгшитгэл.

10. q өнцгийг ол 0 ба 1 абсцисс бүхий цэгүүдэд зурсан y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 функцийн графикийн шүргэгчийн хооронд.

Хариулт: q = 45°.

11. Функцийн графикт шүргэгч ямар цэгүүдэд Үхрийн тэнхлэгтэй 135° өнцөг үүсгэх вэ?

Хариулт: A(0; – 1), B(4; 3).

12. A(1; 8) цэг дээр муруй руу шүргэгч зурсан байна. Координатын тэнхлэгүүдийн хоорондох шүргэгч сегментийн уртыг ол.

Хариулт:

13. y = x 2 – x + 1, y = 2x 2 – x + 0.5 функцуудын графикт бүх нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Хариулт: y = – 3x ба y = x.

14. Функцийн графикийн шүргэгч хоорондын зайг ол x тэнхлэгтэй параллель.

Хариулт:

15. y = x 2 + 2x – 8 парабол х тэнхлэгийг ямар өнцгөөр огтолж байгааг тодорхойл.

Хариулт: q 1 = арктан 6, q 2 = арктан (– 6).

16. Функцийн график Энэ график тус ​​бүрийн шүргэгч нь координатын эерэг хагас тэнхлэгүүдийг огтолж, тэдгээрээс тэнцүү хэсгүүдийг таслах бүх цэгүүдийг ол.

Хариулт: A(– 3; 11).

17. y = 2x + 7 шулуун ба y = x 2 – 1 парабол М ба N цэгүүдээр огтлолцоно. M ба N цэгт параболд шүргэгч шулуунуудын огтлолцох K цэгийг ол.

Хариулт: K(1; – 9).

18. b-ийн ямар утгуудын хувьд y = 9x + b шулуун нь y = x 3 – 3x + 15 функцийн графикт шүргэгч байх вэ?

Хариулт: – 1; 31.

19. y = kx – 10 шулуун шугам k-ийн ямар утгуудын хувьд зөвхөн нэгтэй байна нийтлэг цэг y = 2x 2 + 3x – 2 функцийн графиктай? Олдсон k утгуудын хувьд цэгийн координатыг тодорхойлно.

Хариулт: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Абсцисса х 0 = 2 цэгийн y = bx 3 – 2x 2 – 4 функцийн графикт зурсан шүргэгч b-ийн ямар утгуудад M(1; 8) цэгээр дамжих вэ?

Хариулт: b = – 3.

21. Үхрийн тэнхлэг дээр оройтой парабол А(1; 2) ба В(2; 4) цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шулуунд В цэгт хүрч байна. Параболын тэгшитгэлийг ол.

Хариулт:

22. k коэффициентийн ямар утгад y = x 2 + kx + 1 парабол Үхрийн тэнхлэгт хүрэх вэ?

Хариулт: k = d 2.

23. y = x + 2 шулуун ба y = 2x 2 + 4x – 3 муруйн хоорондох өнцгийг ол.

29. 45° өнцгөөр Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй функцын графикт шүргэгч ба генераторуудын хоорондох зайг ол.

Хариулт:

30. y = 4x – 1 шулуунд шүргэгч y = x 2 + ax + b хэлбэрийн бүх параболын оройн цэгүүдийн байршлыг ол.

Хариулт: шулуун шугам y = 4x + 3.

Уран зохиол

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сургуулийн сурагчид болон их, дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан 3600 асуудал. - М., Бөстард, 1999.
2. Мордкович А. Залуу багш нарт зориулсан семинар дөрөв. Сэдэв: Дериватив хэрэглээ. – М., “Математик”, No21/94.
3. Сэтгэцийн үйлдлүүдийг аажмаар өөртөө шингээх онолд суурилсан мэдлэг, ур чадварыг бүрдүүлэх. / Ред. П.Я. Галперина, Н.Ф. Талызина. – М., Москвагийн Улсын Их Сургууль, 1968 он.

Y = f(x) ба хэрэв энэ үед абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгчийг зурж чадвал шүргэгчийн өнцгийн коэффициент f"(a)-тай тэнцүү байна. Бид аль хэдийн байна. Үүнийг хэд хэдэн удаа ашигласан, жишээлбэл, § 33-т y = sin x (синусоид) функцийн график нь гарал үүсэл дэх х тэнхлэгтэй (илүү нарийвчлалтай, шүргэгч) 45 ° өнцгийг үүсгэдэг болохыг тогтоосон. Гарал үүслийн график нь x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй 45 ° өнцгийг үүсгэдэг), жишээ 5-д § 33 цэгийг өгөгдсөн хуваарийн дагуу олсон. функцууд, шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байна. § 33-ын 2-р жишээнд x = 1 цэг дэх y = x 2 функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг зурсан (илүү нарийвчлалтай, (1; 1) цэг дээр), гэхдээ ихэнхдээ зөвхөн абсцисса утга байдаг. Хэрэв абсцисса утгыг мэддэг бол ординатын утгыг y = f(x)) тэгшитгэлээс олж болно гэж заасан. Энэ хэсэгт бид аливаа функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритмыг боловсруулах болно.

y = f(x) функц ба M цэг (a; f(a)) өгөгдөх ба f"(a) байгаа гэдгийг мөн мэдье. Графикийн шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулъя. өгөгдсөн функцВ өгсөн оноо. Ординатын тэнхлэгтэй параллель биш аливаа шулуун шугамын тэгшитгэлтэй адил энэ тэгшитгэл нь y = kx+m хэлбэртэй тул k ба m коэффициентүүдийн утгыг олох даалгавар юм.

Өнцгийн коэффициент k-д ямар ч асуудал байхгүй: бид k = f "(a) гэдгийг мэднэ. m-ийн утгыг тооцоолохдоо бид хүссэн шулуун шугам нь M(a; f (a)) цэгээр дамжин өнгөрдөг баримтыг ашигладаг. Энэ нь шулуун шугамын тэгшитгэлд M цэгийн координатыг орлуулбал f(a) = ka+m гэсэн зөв тэгшитгэлийг олж авна гэсэн үг.
Багцын коэффициентүүдийн олсон утгыг орлуулах хэвээр байна тэгшитгэлЧигээрээ:

Бид x=a цэг дээрх y = f(x) функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олж авлаа.
Хэрэв хэлэхэд,
Олдсон утгыг a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2-г тэгшитгэл (1) болгон орлуулснаар бид дараахийг олж авна: y = 1+2(x-f), өөрөөр хэлбэл y = 2x-1.
Энэ үр дүнг § 33-аас 2-р жишээн дээр авсан үр дүнтэй харьцуул. Мэдээжийн хэрэг, ижил зүйл тохиолдсон.
y = tan x функцийн графикийн эхэнд шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулъя. Бидэнд байгаа: Энэ нь cos x f"(0) = 1 гэсэн үг. Олдсон утгуудыг a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1-ийг тэгшитгэлд (1) орлуулснаар бид дараахийг олж авна: y = x.
Тийм ч учраас бид тангентоидыг § 15-д (62-р зургийг үз) абсцисса тэнхлэгт 45 ° өнцгөөр координатын эхээр зурсан.
Эдгээрийг шийдэхэд хангалттай энгийн жишээнүүд, бид үнэндээ (1) томъёонд агуулагдах тодорхой алгоритмыг ашигласан. Энэ алгоритмыг тодорхой болгоё.

y = f(x) функцын графикт шүргэгч тэгшитгэлийг боловсруулах АЛГОРИТМ.

1) Шүргэх цэгийн абсциссыг a үсгээр тэмдэглэ.
2) 1 (a)-г тооцоол.
3) f"(x)-г олоод f"(a)-г тооцоол.
4) Олдсон тоонуудыг a, f(a), (a) (1) томъёонд орлуулна.

Жишээ 1.х = 1 цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Үүнийг харгалзан алгоритмыг ашиглацгаая энэ жишээнд

Зураг дээр. 126 гиперболыг дүрсэлж, y = 2 шулуун шугамыг байгуулав.
Зураг нь дээрх тооцоог баталж байна: үнэхээр y = 2 шугам нь (1; 1) цэг дээрх гиперболд хүрч байна.

Хариулт: y = 2- x.
Жишээ 2. y = 4x - 5 шулуунтай параллель байхаар функцийн график руу шүргэгч зур.
Асуудлын томъёоллыг тодорхой болгоё. "Шүргэгч зурах" шаардлага нь ихэвчлэн "шүргэгчийн тэгшитгэлийг бүрдүүлэх" гэсэн утгатай. Энэ нь логик юм, учир нь хэрэв хүн шүргэгчийн тэгшитгэл үүсгэж чадсан бол түүний тэгшитгэлийг ашиглан координатын хавтгай дээр шулуун шугам барихад бэрхшээлтэй байх магадлал багатай юм.
Энэ жишээнд шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритмыг ашиглая. Гэхдээ өмнөх жишээнээс ялгаатай нь хоёрдмол утгатай: шүргэгч цэгийн абсциссыг тодорхой заагаагүй болно.
Ингэж бодож эхэлцгээе. Хүссэн шүргэгч нь y = 4x-5 шулуун шугамтай параллель байх ёстой. Зөвхөн налуу нь тэнцүү бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна. Энэ нь шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь өгөгдсөн шулуун шугамын өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү байх ёстой гэсэн үг юм. Тиймээс бид f"(a) = 4 тэгшитгэлээс a-ийн утгыг олж болно.
Бидэнд байгаа:
Тэгшитгэлээс Энэ нь бодлогын нөхцөлийг хангасан хоёр шүргэгч байна гэсэн үг: нэг нь абсцисса 2-той цэг дээр, нөгөө нь абсцисса -2-той цэг дээр.
Одоо та алгоритмыг дагаж болно.

Жишээ 3.(0; 1) цэгээс функцийн график руу шүргэгч зур
Энэ жишээнд 2-р жишээний адил шүргэгч цэгийн абсциссыг тодорхой заагаагүй болохыг анхаарч, шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритмыг ашиглацгаая. Гэсэн хэдий ч бид алгоритмыг дагаж мөрддөг.

Нөхцөлөөр шүргэгч нь (0; 1) цэгээр дамждаг. Тэгшитгэл (2) -д x = 0, y = 1 утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Таны харж байгаагаар энэ жишээн дээр зөвхөн алгоритмын дөрөв дэх алхам дээр бид шүргэгч цэгийн абсциссыг олж чадсан. a =4 утгыг (2) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Зураг дээр. 127-д авч үзсэн жишээний геометрийн дүрслэлийг үзүүлэв: функцийн графикийг зурсан

§ 32-т бид x тогтмол цэг дээр деривативтай y = f(x) функцийн хувьд ойролцоо тэгш байдал хүчинтэй болохыг тэмдэглэв.

Цаашид тайлбарлахад хялбар болгохын тулд тэмдэглэгээг өөрчилье: x-ийн оронд бид a, оронд нь x бичнэ, үүний дагуу x-a гэж бичнэ. Дараа нь дээр бичсэн ойролцоо тэгш байдал нь дараах хэлбэртэй болно.

Одоо зураг руу хар. 128. y = f(x) функцийн графикт M (a; f (a)) цэг дээр шүргэгч зурсан. x цэгийг x тэнхлэг дээр a-д ойрхон тэмдэглэв. f(x) нь заасан х цэг дээрх функцийн графикийн ординат болох нь тодорхой байна. f(a) + f"(a) (x-a) гэж юу вэ? Энэ нь ижил х цэгт харгалзах шүргэгчийн ординат юм - (1) томъёог үзнэ үү. Ойролцоогоор тэгшитгэлийн утга (3) юу вэ? Баримт Тэр Функцийн ойролцоо утгыг тооцоолохдоо шүргэгчийн ординатын утгыг авна.

Жишээ 4. 1.02 тоон илэрхийллийн ойролцоо утгыг ол 7.
y = x 7 функцийн утгыг х = 1.02 цэгээс олох тухай ярьж байна. Энэ жишээнд (3) томъёог ашиглая
Үүний үр дүнд бид:

Хэрэв бид тооцоолуур ашиглавал: 1.02 7 = 1.148685667...
Таны харж байгаагаар ойролцоо нарийвчлалыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой.
Хариулт: 1,02 7 =1,14.

А.Г. Мордкович алгебр 10-р анги

Математикийн хуанли-сэдэвчилсэн төлөвлөлт, видеоматематикийн хичээлээр онлайн, Сургуулийн математик татаж авах

Хичээлийн агуулга хичээлийн тэмдэглэл дэмжих хүрээхичээлийн танилцуулга хурдасгах аргууд интерактив технологи Дасгал хийх даалгавар, дасгал бие даан шалгах семинар, сургалт, кейс, даалгавар бие даалт хэлэлцүүлгийн асуултууд сурагчдын риторик асуултууд Зураглал аудио, видео клип, мультимедиагэрэл зураг, зураг, график, хүснэгт, диаграмм, хошигнол, анекдот, хошигнол, хошин шог, сургаалт зүйрлэл, хэллэг, кроссворд, ишлэл Нэмэлтүүд хураангуйнийтлэл, сониуч хүүхдийн ор сурах бичиг, нэр томьёоны үндсэн болон нэмэлт толь бичиг бусад Сурах бичиг, хичээлийг сайжруулахсурах бичгийн алдааг засахсурах бичгийн хэсэг, хичээл дэх инновацийн элементүүдийг шинэчлэх, хуучирсан мэдлэгийг шинэ зүйлээр солих Зөвхөн багш нарт зориулагдсан төгс хичээлүүджилийн хуанлийн төлөвлөгөө удирдамжхэлэлцүүлгийн хөтөлбөрүүд Нэгдсэн хичээлүүд

Тангенснь муруй дээрх цэгийг дайран өнгөрч, энэ цэг дээр нэгдүгээр зэрэглэл хүртэл давхцаж буй шулуун шугам юм (Зураг 1).

Өөр нэг тодорхойлолт: энэ нь Δ дахь секантын хязгаарлах байрлал юм x→0.

Тайлбар: Муруйг хоёр цэгээр огтолж буй шулуун шугамыг ав. АТэгээд б(зураг харна уу). Энэ бол секант юм. Муруйн зөвхөн нэг нийтлэг цэгийг олох хүртэл бид үүнийг цагийн зүүний дагуу эргүүлнэ. Энэ нь бидэнд тангенс өгөх болно.

Тангенсийн хатуу тодорхойлолт:

Функцийн графикт шүргэгч е, цэг дээр ялгах боломжтой xО, цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам ( xО; е(xО)) болон налуутай байна е′( xО).

Налуу нь хэлбэрийн шулуун шугамтай байдаг у =kx +б. Коэффицент кмөн байна налууэнэ шулуун шугам.

Налуугийн хүчин зүйл тангенстай тэнцүүабсцисса тэнхлэгтэй энэ шулуун шугамаас үүссэн хурц өнцөг:

к = бор α

Энд α өнцөг нь шулуун шугамын хоорондох өнцөг юм у =kx +бба x тэнхлэгийн эерэг (өөрөөр хэлбэл цагийн зүүний эсрэг) чиглэл. гэж нэрлэдэг шулуун шугамын налуу өнцөг(Зураг 1 ба 2).

Хэрэв налуугийн өнцөг шулуун байвал у =kx +бцочмог, дараа нь налуу эерэг тоо байна. График нэмэгдэж байна (Зураг 1).

Хэрэв налуугийн өнцөг шулуун байвал у =kx +бмохоо байвал налуу байна сөрөг тоо. График буурч байна (Зураг 2).

Хэрэв шулуун шугам нь x тэнхлэгтэй параллель байвал шулуун шугамын налуу өнцөг тэг болно. Энэ тохиолдолд шугамын налуу нь мөн тэг болно (тэгтэй шүргэгч тэгтэй тэнцүү тул). Шулуун шугамын тэгшитгэл нь y = b хэлбэртэй болно (Зураг 3).

Хэрэв шулуун шугамын налуу өнцөг нь 90º (π/2), өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгнө. x =в, Хаана в– зарим бодит тоо (Зураг 4).

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлy = е(x) цэг дээр xО:

Жишээ: Функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол е(x) = x 3 – 2xАбсцисса 2-той цэг дээр 2 + 1.

Шийдэл.

Бид алгоритмыг дагаж мөрддөг.

1) Мэдрэгч цэг xОтэнцүү байна 2. Тооцоол е(xО):

е(xО) = е(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) олох е′( x). Үүнийг хийхийн тулд бид өмнөх хэсэгт дурдсан ялгах томъёог ашиглана. Эдгээр томъёоны дагуу, X 2 = 2X, А X 3 = 3X 2. гэсэн утгатай:

е′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Одоо гарсан утгыг ашиглана уу е′( x), тооцоолох е′( xО):

е′( xО) = е′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Тиймээс бидэнд шаардлагатай бүх мэдээлэл байна: xО = 2, е(xО) = 1, е ′( xО) = 4. Эдгээр тоог шүргэгч тэгшитгэлд орлуулж эцсийн шийдийг ол.

у = е(xО) + е′( xО) (х – х о) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Хариулт: y = 4x – 7.