Хэн сөрөг тоог бий болгосон. Зурвас "Тооны түүх: эерэг, сөрөг тоонуудын үүсэл ба хөгжил. Гэхдээ энд ч гэсэн сөрөг тоо гарч байсан.

Танилцуулга________________________________ хуудас 3

Гол хэсэг

“Тоо” гэж юу вэ?____________________________ хуудас 3

Египетийн сөрөг тоо______________ хуудас 5

Эртний Ази дахь сөрөг тоо___________ хуудас 5

Европ дахь сөрөг тоо _______ хуудас 6

Сөрөг тоонуудын орчин үеийн тайлбар__ х.7

Дүгнэлт _________________________________ хуудас 8

Ашигласан материал ____________________________ 9-р тал

Тооны ертөнц бол маш нууцлаг, сонирхолтой юм. Манай ертөнцөд тоо маш чухал. Би аль болох тоонуудын гарал үүсэл, бидний амьдралын утга учрыг мэдэхийг хүсч байна. Тэдгээрийг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ, бидний амьдралд ямар үүрэг гүйцэтгэдэг вэ?

Энэ жил математикийн хичээл дээр бид "Эерэг ба сөрөг тоо" гэсэн сэдвийг судалж эхэлсэн. Сөрөг тоо хэзээ гарч ирсэн бэ, аль улсад, ямар эрдэмтэд энэ асуудалд хандсан бэ гэсэн асуулт надад байсан. Википедиа дээр би сөрөг тоо нь сөрөг тоонуудын олонлогын элемент гэж уншсан бөгөөд энэ нь олонлогийг өргөжүүлэх үед математикт гарч ирсэн (тэгтэй хамт) натурал тоонууд. Өргөтгөлийн зорилго нь дурын тооны хасах үйлдлийг хангах явдал юм. Өргөтгөлийн үр дүнд эерэг (натурал) тоо, сөрөг тоо, тэгээс бүрдэх бүхэл тооны багц (цагираг) олж авна.

Үүний үр дүнд би сөрөг тоонуудын түүхийг судлахаар шийдсэн.

зорилгоЭнэ ажил нь сөрөг тоо үүссэн түүхийн судалгаа юм.

Судалгааны объект -сөрөг тоонууд

Тооны тухай ойлголтын тодорхойлолт

AT орчин үеийн ертөнцхүн тоонуудын гарал үүслийн талаар бодохгүйгээр байнга ашигладаг. Өнгөрсөн тухай мэдлэггүйгээр одоог ойлгох боломжгүй юм. Тоо бол математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Тооны тухай ойлголт нь хэмжигдэхүүнийг судлахтай нягт уялдаатай хөгжсөн; энэ холбоо өнөөг хүртэл үргэлжилж байна. Орчин үеийн математикийн бүх салбарыг анхаарч үзэх хэрэгтэй өөр өөр хэмжээтэймөн тоо ашиглах. Тоо гэдэг нь хийсвэрлэл юм тоон шинж чанаробъектууд. Анхны нийгэмд тоолох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэн үүссэн тоо гэдэг ойлголт өөрчлөгдөж, баяжиж, математикийн хамгийн чухал ойлголт болон хувирчээ.

Байгаа олон тооны"тоо" гэсэн тодорхойлолт.

Тооны шинжлэх ухааны анхны тодорхойлолтыг Евклид өөрийн нутаг нэгт Книдын Евдоксоос (МЭӨ 408-355 оны орчим) өвлөн авсан "Элементүүд" номондоо өгсөн: "Нэгж гэдэг нь одоо байгаа зүйл бүрийг түүний дагуу нэрлэдэг. нэг. Тоо нь нэгжээс бүрдсэн олонлог юм. Оросын математикч Магнитский “Арифметик” (1703) бүтээлдээ тооны тухай ойлголтыг ингэж тодорхойлсон байдаг. Аристотель Евклидээс ч өмнө "Тоо нь нэгжийн тусламжтайгаар хэмжигддэг олонлог" гэсэн тодорхойлолтыг өгч байсан. Английн агуу физикч, механик, одон орон судлаач, математикч Исаак Ньютон "Ерөнхий арифметик" (1707) номондоо: "Тоо гэж бид нэгжийн багцыг биш, харин зарим хэмжигдэхүүнийг ижил хэмжигдэхүүнтэй бусад хэмжигдэхүүнтэй хийсвэр харьцааг хэлдэг. төрөл, нэгж болгон авсан . Бүхэл тоо, бутархай, иррационал гэсэн гурван төрлийн тоо байдаг. Бүхэл тоо нь нэгжээр хэмжигдэх тоо юм; бутархай - нэгийн үржвэр, иррациональ - нэгтэй тохирохгүй тоо.

Мариуполийн математикч С.Ф.Клюйков мөн тооны тухай ойлголтыг тодорхойлоход хувь нэмрээ оруулсан: "Тоонууд нь математик загварууд бодит ертөнцхүн өөрийн мэдлэгийн төлөө зохион бүтээсэн. Тэрээр мөн "функциональ тоо" гэж нэрлэгддэг тоонуудын уламжлалт ангилалд нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь дэлхий даяар ихэвчлэн функц гэж нэрлэгддэг гэсэн утгатай юм.

Объектуудыг тоолох үед натурал тоо үүссэн. Энэ тухай би 5-р ангидаа мэдсэн. Дараа нь би хүний ​​хэмжигдэхүүнийг хэмжих хэрэгцээ нь үргэлж бүхэл тоогоор илэрхийлэгддэггүй гэдгийг мэдсэн. Натурал тоонуудын багцыг бутархай тоонд шилжүүлсний дараа ямар ч бүхэл тоог өөр бүхэл тоонд (тэг хуваахаас бусад) хуваах боломжтой болсон. Харагдсан бутархай тоо. Хасах нь багасгасан тооноос их байхад өөр бүхэл тооноос бүхэл тоог хасах нь удаан хугацаанд боломжгүй мэт санагдсан. Удаан хугацааны турш олон математикчид сөрөг тоонуудыг бодит үзэгдэлд тохирохгүй гэж үзэн танихгүй байсан нь миний хувьд сонирхолтой байсан.

Египет дэх сөрөг тоо

Гэсэн хэдий ч ийм эргэлзээтэй байсан ч эерэг ба сөрөг тоонуудтай харьцах дүрмийг Египетэд 3-р зуунд аль хэдийн санал болгосон. Сөрөг хэмжигдэхүүнийг нэвтрүүлэх нь Диофантад анх тохиолдсон. Тэр бүр тэдэнд зориулж тусгай тэмдэгт ашигласан (одоо бид хасах тэмдгийг ашигладаг). Диофантийн тэмдэг нь яг сөрөг тоо эсвэл зүгээр л хасах үйлдлийг илэрхийлсэн эсэх талаар эрдэмтэд маргаж байгаа нь үнэн, учир нь Диофантад сөрөг тоо нь тусад нь байдаггүй, зөвхөн эерэг ялгаа хэлбэрээр байдаг; Мөн тэрээр зөвхөн оновчтой эерэг тоонуудыг асуудлын хариулт гэж үздэг. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн Диофант "Хоёр талдаа сөрөгийг нэмье" гэх мэт ярианы эргэлтийг ашигладаг бөгөөд тэр ч байтугай тэмдгүүдийн дүрмийг томъёолдог: "Сөрөг нь сөрөг үржвэрийг эерэг болгодог бол сөрөг нь эерэгээр үржүүлдэг. сөрөг өгдөг" (одоо ихэвчлэн томъёолдог: "Хасах нь нэмэх, хасах нь нэмэх нь хасах").

(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

Эртний Ази дахь сөрөг тоонууд

Хятадын математикийн эерэг тоог "чэн", сөрөг - "фу" гэж нэрлэдэг; тэднийг дүрсэлсэн өөр өөр өнгө: "чен" - улаан, "фу" - хар. Энэ дүрслэлийн аргыг Хятадад 12-р зууны дунд үе хүртэл, Ли Е сөрөг тоонуудын хувьд илүү тохиромжтой тэмдэглэгээг санал болгох хүртэл хэрэглэж байсан - сөрөг тоог дүрсэлсэн тоог баруунаас зүүн тийш ташуу зураасаар таслав. Энэтхэгийн эрдэмтэд амьдралаас ийм хасах жишээг олохыг хичээж, үүнийг худалдааны тооцооллын үүднээс тайлбарлахаар ирэв.

Хэрэв худалдаачин 5000 r-тэй бол. мөн 3000 рублийн бараа худалдаж авдаг, тэр 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Хэрэв тэр 3000 рубльтэй, 5000 рубль худалдаж авбал 2000 рублийн өртэй хэвээр байна. Үүний дагуу энд 3000 - 5000-ыг хасаж байна гэж үзэж байсан ч үр дүн нь "хоёр мянган өр" гэсэн утгатай дээд тал нь цэгтэй 2000 тоо юм.

Энэхүү тайлбар нь зохиомол шинж чанартай байсан тул худалдаачин 3000 - 5000-ыг хасаж өрийн хэмжээг хэзээ ч олдоггүй байсан ч үргэлж 5000 - 3000-ыг хасдаг байсан. Үүнээс гадна, энэ үндэслэлээр зөвхөн нэмэх дүрмийг тайлбарлах боломжтой байв. "Цэгтэй тоо" хасах боловч үржүүлэх, хуваах дүрмийг ямар ч байдлаар тайлбарлаагүй.

V-VI зууны үед сөрөг тоонууд гарч ирсэн бөгөөд Энэтхэгийн математикт маш өргөн тархсан байдаг. Энэтхэгт сөрөг тоог одоогийнхтой адил системтэйгээр ашигладаг байсан. Энэтхэгийн математикчид 7-р зуунаас хойш сөрөг тоог ашиглаж ирсэн. n. д .: Брахмагупта тэдэнтэй арифметик үйлдлийн дүрмийг боловсруулсан. Түүний бүтээлээс бид: “Өмч хөрөнгө, өмч хөрөнгө, хоёр өрийн нийлбэр нь өр; өмчийн нийлбэр ба тэг нь өмч; хоёр тэгийн нийлбэр тэг ... Тэгээс хассан өр нь өмч болж, өмч нь өр болно. Өрөөс эд хөрөнгө, өмчөөс өр авах шаардлагатай бол тэд мөнгөө авдаг.

Энэтхэгчүүд эерэг тоонуудыг "дхана" эсвэл "сва" (өмч), сөрөг тоог "рина" эсвэл "кшая" (өр) гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч Энэтхэгт сөрөг тоог ойлгох, хүлээн зөвшөөрөхөд бэрхшээлтэй байсан.

Европ дахь сөрөг тоо

Европын математикчид удаан хугацааны туршид тэднийг хүлээн зөвшөөрөөгүй, учир нь "хөрөнгө-өр" гэсэн тайлбар нь эргэлзээ, эргэлзээ төрүүлэв. Үнэхээр өмч, өрийг яаж “нэмэх”, “хасах” вэ, өмчийг өрөөр “үржүүлэх”, “хуваах” нь ямар бодитой утгатай вэ? (Г.И. Глейзер, Сургуулийн IV-VI ангийн математикийн түүх. Москва, Боловсрол, 1981)

Тийм ч учраас сөрөг тоонууд математикт маш их бэрхшээлтэй тулгарсан. Европт сөрөг хэмжигдэхүүний тухай санаа эхэндээ хангалттай ойртсон XIII зуунХарин Пизагийн Леонардо Фибоначчи 15-р зууны сүүлчээр Францын математикч Шукет сөрөг тоог анх удаа тодорхой ашигласан. Арифметик, алгебрийн тухай "Гурван хэсэг дэх тоон шинжлэх ухаан" хэмээх гар бичмэл зохиолын зохиогч. Schücke-ийн бэлгэдэл орчин үе рүү ойртож байна (Математик нэвтэрхий толь бичиг. М., Сов. нэвтэрхий толь, 1988)

Сөрөг тооны орчин үеийн тайлбар

1544 онд Германы математикч Майкл Штифел сөрөг тоог анх удаа тэгээс бага тоо гэж үзсэн (өөрөөр хэлбэл "юунаас бага"). Энэ мөчөөс эхлэн сөрөг тоог өр гэж үзэхээ больсон, харин цоо шинэ байдлаар авч үзэх болсон. Штифел өөрөө бичсэн: "Тэг нь үнэн ба утгагүй тоонуудын хооронд байна ..." (Г.И. Глейзер, IV-VI ангийн математикийн түүх. Москва, Боловсрол, 1981)

Үүний дараа Стифел ажлаа бүхэлд нь математикт зориулдаг бөгөөд тэрээр өөрөө өөрийгөө сургасан гайхалтай чадвартай байв. Никола Шукегийн дараа Европ дахь анхны хүмүүсийн нэг нь сөрөг тоогоор ажиллаж эхэлсэн.

Францын алдарт математикч Рене Декарт Геометрийн (1637) эерэг ба сөрөг тоонуудын геометрийн тайлбарыг дүрсэлсэн; эерэг тоонуудыг тооны тэнхлэг дээр 0 гарал үүслийн баруун талд байрлах цэгүүдээр, сөрөг тоог зүүн талд дүрсэлсэн болно. Эерэг ба сөрөг тоонуудын геометрийн тайлбар нь сөрөг тоонуудын мөн чанарыг илүү тодорхой ойлгоход хүргэж, тэдгээрийг танихад хувь нэмэр оруулсан.

Штифелтэй бараг нэгэн зэрэг, Диофантийн бүтээлийг дахин нээсэн Италийн математикч, инженер Р.Бомбелли Раффаеле (ойролцоогоор 1530-1572) сөрөг тооны санааг хамгаалсан.

Бомбелли, Жирард нар эсрэгээрээ сөрөг тоог нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц, хэрэгцээтэй гэж үздэг, ялангуяа ямар нэг зүйл дутагдаж байгааг илтгэдэг. "+" ба "-" тэмдгээр эерэг ба сөрөг тоонуудын орчин үеийн тэмдэглэгээг Германы математикч Видман ашигласан.

"Юунаас ч доогуур" гэсэн илэрхийлэл нь Стифел болон бусад хүмүүс эерэг ба сөрөг тоог босоо масштабын (термометрийн масштаб гэх мэт) цэгүүд гэж сэтгэн төсөөлж байсныг харуулж байна. Математикч А.Жирард хожим боловсруулсан сөрөг тоог тодорхой шулуун шугамын эерэг тооноос 0-ийн нөгөө талд байрласан цэгүүд гэсэн санаа нь эдгээр тоог иргэний эрхээр хангахад шийдвэрлэх ач холбогдолтой болсон. П.Ферма, Р.Декарт нарын координатын аргыг боловсруулах.

Дүгнэлт

Би ажилдаа сөрөг тоо үүссэн түүхийг судалсан. Судалгааны явцад би дараахь дүгнэлтэд хүрсэн.

орчин үеийн шинжлэх ухаанИйм нарийн төвөгтэй шинж чанартай хэмжигдэхүүнтэй таарч байгаа тул тэдгээрийг судлахын тулд бүх шинэ төрлийн тоог зохион бүтээх шаардлагатай болдог.

Шинэ дугааруудыг танилцуулахдаа их ач холбогдолхоёр нөхцөл байдал байна:

а) тэдгээрийн үйл ажиллагааны дүрмийг бүрэн тодорхойлсон байх ёстой бөгөөд зөрчилдөөн гарахгүй байх;

б) шинэ тооны системүүд нь шинэ асуудлыг шийдвэрлэхэд хувь нэмэр оруулах эсвэл аль хэдийн мэдэгдэж байсан шийдлүүдийг сайжруулах ёстой.

Өнөөдрийг хүртэл цаг нь нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн долоон түвшний тоонуудыг нэгтгэдэг. натурал, рационал, бодит, комплекс, вектор, матриц, трансфинит тоо.Зарим эрдэмтэд функцийг авч үзэхийг санал болгож байна функцын дугааруудмөн тоонуудын ерөнхий байдлын түвшинг арван хоёр түвшинд өргөжүүлэх.

Би эдгээр бүх тооны багцыг судлахыг хичээх болно.

Ном зүй

Математикийн агуу нэвтэрхий толь бичиг. Якушева Г.М. гэх мэт.

Москва: Филол. О-во "ҮГ": OLMA-PRESS, 2005 он.

Математикийн шинжлэх ухааны үүсэл хөгжил: Ном. Багшийн хувьд. - М .: Боловсрол, 1987.

Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Т.11. Математик

Толгой. ed. М.Д.Аксенова. – М.: Аванта+, 1998.

Сургуулийн математикийн түүх, IV-VI анги. Г.И. Глейзер, Москва, Боловсрол, 1981 он.

Википедиа. Үнэгүй нэвтэрхий толь бичиг.

Математик нэвтэрхий толь бичиг. М., Сов. нэвтэрхий толь, 1988 он.

Сөрөг тоо гарч ирсэн түүх нь маш эртний бөгөөд урт юм. Сөрөг тоо нь бодит бус, түр зуурын зүйл учраас хүмүүс тэдний оршин тогтнолыг удаан хугацаанд хүлээн зөвшөөрдөггүй байв.

Энэ бүхэн МЭӨ 2-р зууны үед Хятадад эхэлсэн. Магадгүй тэд өмнө нь Хятадад мэддэг байсан ч анхны дурдагдсан зүйл нь тэр үеэс эхэлдэг. Тэд сөрөг тоог ашиглаж, "өр" гэж үздэг байсан бол эерэг тоог "өмч" гэж нэрлэж эхлэв. Одоо байгаа бичлэг тэр үед байхгүй байсан бөгөөд сөрөг тоог хараар, эерэг тоог улаанаар бичсэн.

Сөрөг тооны тухай анхны дурдлагыг Хятадын эрдэмтэн Жан Каны "Есөн бүлэгт математик" номноос олж болно.

Дараа нь, in V-VI зуунХятад, Энэтхэгт сөрөг тоо өргөн хэрэглэгдэх болсон. Үнэн бол Хятадад тэд болгоомжтой харьцаж, хэрэглээгээ багасгахыг хичээсэн бөгөөд Энэтхэгт эсрэгээрээ маш өргөн хэрэглэгддэг байв. Тэнд тэдэнтэй тооцоо хийж, сөрөг тоо нь ойлгомжгүй зүйл биш юм шиг санагдсан.

Энэтхэгийн эрдэмтэд Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII зуун) нь сургаалдаа сөрөг тоотой ажиллах талаар нарийвчилсан тайлбарыг үлдээсэн байдаг.

Эрт дээр үед, жишээлбэл, Вавилон болон онд Эртний Египет, сөрөг тоог огт ашиглаагүй. Хэрэв тооцоолол сөрөг тоо гарсан бол шийдэл байхгүй гэж үзсэн.

Тиймээс Европт сөрөг тоог маш удаан хугацаанд хүлээн зөвшөөрдөггүй байв. Тэднийг "төсөөлөл", "уг утгагүй" гэж үздэг байв. Тэдэнтэй ямар ч арга хэмжээ аваагүй, харин хариулт нь сөрөг байвал зүгээр л хаясан. Хэрэв ямар ч тоог 0-ээс хасвал хариулт нь 0 болно гэж үздэг байсан, учир нь юу ч тэгээс бага байж болохгүй - хоосон чанар.

Европт анх удаа Пизагийн Леонардо (Фибоначчи) сөрөг тоонд анхаарлаа хандуулав. Мөн тэрээр 1202 онд "Абакийн ном" хэмээх бүтээлдээ тэдгээрийг дүрсэлсэн байдаг.

Леонардо Фибоначчи Леонардо Фибоначчи
Хожим нь 1544 онд Михаил Штифел "Бүрэн арифметик" номондоо сөрөг тоонуудын тухай ойлголтыг анхлан танилцуулж, тэдгээртэй хийсэн үйлдлүүдийг нарийвчлан дүрсэлсэн байдаг. "Тэг нь утгагүй ба үнэн тоонуудын хооронд байна."

Мөн 17-р зуунд математикч Рене Декарт тоон тэнхлэгт тэгийн зүүн талд сөрөг тоог оруулахыг санал болгосон.

Рене Декарт Рене Декарт
Тэр цагаас хойш сөрөг тоонууд өргөн хэрэглэгдэж, хүлээн зөвшөөрөгдөж эхэлсэн боловч удаан хугацааны туршид олон эрдэмтэд үүнийг үгүйсгэж байсан.

1831 онд Гаусс сөрөг тоонуудыг эерэг тоотой туйлын тэнцүү гэж нэрлэжээ. Тэдэнтэй хамт бүх үйлдлийг хийх боломжгүй гэдэг нь аймшигтай зүйл биш байсан, жишээлбэл, бутархайгаар, бүх үйлдлийг хийх боломжгүй юм.

Мөн 19-р зуунд Вилман Хамилтон, Херманн Грассманн нар сөрөг тооны бүрэн онолыг бүтээжээ. Тэр цагаас хойш сөрөг тоонууд эрхээ олж авсан бөгөөд одоо тэдний бодит байдалд хэн ч эргэлздэггүй.

ОХУ-ын Боловсрол, Шинжлэх Ухааны Яам Леботерская хотын ерөнхий боловсролын сургуулийн Чайнский дүүргийн Томск мужийн ХУРААНГУЙ Сэдэв: "Сөрөг тоо бий болсон түүх" Гүйцэтгэсэн: 6-р ангийн сурагчид Ксения Григорьевская, Татьяна Захарова Дарга: Стасенко В.К. , математикийн багш 2010 Агуулгын хүснэгт 1. Оршил…………………………………………………………………………………………………………………3 2. Сөрөг тоо үүссэн түүх………… …………………...4 3. Хятад дахь сөрөг тоо ……………………………………..5 4. Энэтхэг дэх сөрөг тоо …………………………… ……………..6 5. Ном зүй ……………………………………………………… 7 2 Оршил Хүн бүр бутархайг төсөөлж чадна; Үүний тулд тайрсан тарвас, бялуу эсвэл ортой хуваагдсан цэцэрлэгийг харахад хангалттай. Гэхдээ 5 гэсэн тоог төсөөлөхөд илүү хэцүү байдаг. Эцсийн эцэст та -5м даавууг хэмжиж, -500гр талхыг огтолж чадахгүй. Яагаад ийм байна хачин тоонуудтэдэн дээр үйл ажиллагааны бүр ч хачирхалтай дүрэмтэй? Үнэн хэрэгтээ өсөх, буурах зэрэг олон зүйл бий. Эерэг ба сөрөг тоо нь зөвхөн тоо хэмжээний өөрчлөлтийг тодорхойлоход л үйлчилдэг. Хэрэв үнэ цэнэ өсвөл түүний өөрчлөлтийг эерэг гэж хэлдэг бөгөөд хэрэв буурсан бол өөрчлөлтийг сөрөг гэж нэрлэдэг. “Хэрвээ би уулын орой дээр зогсвол 2000 метрийн өндрөөс оргилоос нь бууж эхэлдэг, доошоо бууж, миний байгаа өндөр улам бүр багассаар байна. Тэгээд би 1000 метрийн өндрөөс доош буусан, одоо би 500 метрийн өндөрт байна, одоо би аль хэдийн 200 метрийн өндөрт байна, тэгээд одоо эцэст нь би яг л далай руу буулаа. Би усны эрэг дээр зогсоход далайн давалгаа гутлын улыг долоов. Тэгэхээр би далайн түвшнээс дээш 0м өндөрт байна. Энд би шумбалтын хувцас өмсөж, далайн ёроолд гишгэж, доошоо бууж байна. Би доошоо бууж байна, энэ нь миний байгаа өндөр тэгээс ч багасч байна гэсэн үг юм. Тэгээс бага тоонууд байгааг би мэднэ - эдгээр нь сөрөг тоо юм! Тиймээс энд, далайн ёроолд өндөр нь сөрөг байна. Одоо би усны захаас 100 метрийн зайд буугаад -100 метрийн өндөрт байгаа гэж хэлж болно. Хэрэв би сөрөг тоо ашиглаагүй бол би 100 метрийн гүнд байна гэж хэлэх хэрэгтэй болно. Сөрөг тоо нь далайн гадаргын доорх цэгүүдэд тохирч байна. Тэгэхээр уулын орой 2000м тоотой, живсэн хөлөг онгоц -2000м тоотой таарч болох ч эсрэгээрээ биш. Бид агаарын температурын тухай ярих бүрт сөрөг тоотой тулгардаг. Хэрэв гадаа дулаан байвал агаарын температурыг эерэг тоогоор, хүйтэн бол сөрөг тоогоор илэрхийлнэ. Эсвэл агаарын температур -8°-аар өөрчлөгдсөн гэхээр 8°-аар буурсан, 8°-аар өөрчлөгдсөн бол 8°-аар нэмэгдсэн гэсэн үг. 3 Иймд гарал үүслээр авсан тодорхой агшинтай харьцуулахад цагийг хэмжихдээ авч үзэх нь заншилтай байдаг эерэг цагТооцоолол эхэлсний дараа болсон үйл явдлууд, сөрөг - тоолол эхлэхээс өмнө болсон үйл явдлын цаг. Пүрш дээр үйлчлэх хүчийг хэмжихдээ пүршийг сунгах хүчийг эерэг, шахах хүчийг сөрөг гэх мэтээр тооцдог заншилтай байдаг.Иймээс сөрөг тоонууд эерэг тоо болон тооны хамт. тэг, гарал үүсэл гэж авсан зарим утгаас хоёр эсрэг чиглэлд өөрчлөгдөж болох хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд үйлчилдэг. Сөрөг тоо үүссэн түүхээс олон мянган жилийн өмнө египетчүүд, вавилончуудад танил байсан натурал тоо болон энгийн бутархай хэсгүүдээс хамаагүй хожуу тоо гарч ирэв. Гэхдээ египетчүүд ч, вавилончууд ч, эртний Грекчүүд ч сөрөг тоог ашигладаггүй бөгөөд хэрэв тэгшитгэлийн сөрөг язгуурыг олж авбал (хасах үед) боломжгүй гэж татгалзсан. Сөрөг тооны талаархи анхны мэдээлэл нь МЭӨ 2-р зууны үеэс эхэлдэг. Олон тэгшитгэлийн шийдийг сөрөг үндэс болгон бууруулна. Жишээлбэл, асуудалд: аав нь хүүгээсээ 18 насаар ах. Одоо хүү маань 25 настай. Хэдэн жилийн дараа аав нь хүүгээсээ хоёр дахин том болох вэ? Тэгшитгэлийг эмхэтгэж, шийдвэрлэхэд язгуур нь -7 байна. Тиймээс 7 жилийн өмнө аав нь хүүгээсээ хоёр дахин том байсан. Эрт дээр үед ийм тэгшитгэлийг зүгээр л авч үздэггүй, сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй, тэгшитгэлийн сөрөг язгуурыг худал гэж үздэг байв. Тиймээс МЭӨ 2-р зуунд. Хятадын эрдэмтэн Жан Кан "Есөн бүлэгт арифметик" номондоо өр, эерэг тоонуудыг өмч гэж ойлгодог сөрөг тоогоор үйлдлийн дүрмийг гаргажээ. Тэрээр эерэг тооноос өөр өнгийн бэхээр сөрөг тоог бичжээ. AT эртний Энэтхэг Хятадууд "10 юанийн өр" гэсэн үгийн оронд зүгээр л "10 юань" гэж бичнэ гэж таамагласан боловч эдгээр иероглифийг хар бэхээр зурсан байна. Эрт дээр үед "+" ба "-" тэмдгүүд нь тоо, үйлдлүүдийн аль нь ч биш байв. 3-р зуунд Александрын Диофант хасалтыг тэмдэгээр тэмдэглэж эхлэх хүртэл Грекчүүд эхэндээ тэмдэг ашигладаггүй байв. Италид мөнгө зээлдүүлэгчид мөнгө зээлж өгөөд өрийнхөө нэрийн өмнө манай хасах шиг өрийн хэмжээ, зураас тавиад, хариуцагч мөнгөө буцааж өгөхдөө манай нэмэх шиг зураасаар зурдаг байсан. Дээрээс нь хасагдсан хасах гэж үзэж болно. Сөрөг тоонуудын ашиг тус, хууль ёсны байдлыг аажмаар тогтоосон. Энэтхэгийн математикч Брахмагупта (7-р зуун) тэдгээрийг аль хэдийн эерэг талуудтай ижил түвшинд авч үзсэн. 4 Европт хүлээн зөвшөөрөх нь мянган жилийн дараа гарч ирсэн бөгөөд тэр ч байтугай удаан хугацааны туршид сөрөг тоог "худал", "төсөөлөл" эсвэл "абсурд" гэж нэрлэдэг байв. Алдарт математикч Блез Паскал хүртэл юу ч үгүйгээс дутуу байж болохгүй тул 0 − 4 = 0 гэж үзсэн. Францын математикч, физикч, гүн ухаантан Рене Декартын (1596-1650) хийсэн ажил нь сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрөхөд хувь нэмэр оруулсан. Тэрээр эерэг ба сөрөг тоонуудын геометрийн тайлбарыг санал болгосон - координатын шугамыг (1637) нэвтрүүлсэн. Үнэхээр одоо байгаа сөрөг тоо гэж эцсийн бөгөөд бүх нийтээр хүлээн зөвшөөрөхийг зөвхөн 18-р зууны эхний хагаст л хүлээн авсан. Үүний зэрэгцээ сөрөг тоонуудын орчин үеийн тэмдэглэгээг бий болгосон. Зөвхөн 19-р зууны эхэн үед сөрөг тоонууд ерөнхий хүлээн зөвшөөрөгдөж, орчин үеийн тэмдэглэгээний хэлбэрийг олж авсан. Сөрөг тоонууд маш их бэрхшээлтэй тулгарсан нь математикийн байр сууриа эзэлсэн. Эртний Хятад дахь сөрөг тоо Бид сөрөг тоог байгалийн зүйл гэж боддог ч энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Хятадад сөрөг тоог анх удаа хуульчилсан боловч ерөнхийдөө утгагүй гэж үзсэн тул зөвхөн онцгой тохиолдлуудад ашигласан. Хятадын эрдэмтэд МЭӨ 2-р зууны үед сөрөг тоотой тулгарсан. тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед. Эзэн хаан Ши Хуан Ди эрдэмтдэд уурлаж, шинжлэх ухааны бүх номыг шатааж, зохиолч, уншигчдыг нь цаазлахыг тушаасан тул илүү нарийн хэлэхэд хэцүү. Эдгээр номны агуулга бидэнд зөвхөн хэлтэрхийгээр ирсэн бөгөөд үүнээс Хятадууд зөвхөн сөрөг ба эерэг тоог хэрхэн нэмэхийг мэддэг байсан бөгөөд эерэг ба сөрөг тоог үржүүлэхдээ тэмдгийн дүрмийг мэддэггүй байсан нь мэдэгдэж байна. Эерэг тоог "ашиг", "хөрөнгө", сөрөг - "өр", "алдагдал" гэж тайлбарлав. Эртний Энэтхэг дэх 5 сөрөг тоо Энэтхэгийн математикчид тэгшитгэлийг шийдэж байхдаа сөрөг тоотой таарч байжээ. Энэтхэгийн математикч Брахмагупта (7-р зуун) тэдгээрийг эерэг тоонуудтай ижил түвшинд авч үзсэн бөгөөд тэрээр эерэг ба сөрөг тоонуудын үйлдлийн дүрмийг "Хоёр шинж чанарын нийлбэр нь өмч юм" гэсэн хэлбэрээр томъёолжээ. (+x) + (+y) = +(x + y) "Хоёр өрийн нийлбэр нь өр юм." (-x) + (-y) \u003d - (x + y) "Эд хөрөнгө ба өрийн нийлбэр нь тэдгээрийн зөрүүтэй тэнцүү байна" (-x) + (+ y) \u003d - (x - y) эсвэл (- x) + (+ y ) = +(y - x) "Тэгээс хассан өр өмч болно." 0 - (-x) \u003d + x "Тэгээс хассан өмч нь өр болно." 0 - (+ x) = -x Энэтхэгийн математикчид сөрөг тоонд дөрвөн үйлдлийн бүх дүрмийг ашигласан боловч онолын үндэслэлгүй. Гэсэн хэдий ч, хэдий ч өргөн хэрэглээТэгшитгэлийн тусламжтайгаар асуудлыг шийдвэрлэхдээ сөрөг тоонуудын талаар Энэтхэгт сөрөг тоонуудыг бүхэлд нь бодит биш, өвөрмөц гэж үзэн үл итгэх байдлаар ханддаг байв. Энэтхэгийн математикч Бхаскара (XII зуун) “Хүмүүс хийсвэр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй...” гэж шууд бичсэн байдаг 6 Ашигласан материал: 1. И.Я.Депман, Н.Я. Виленкин, Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард. 5-6-р ангийн сурагчдад зориулсан тэтгэмж ахлах сургууль. - М .: Боловсрол, 1989 он. 2. Л.М. Фридман, Математик сурах: Боловсролын байгууллагын 5-6-р ангийн сурагчдад зориулсан ном. - М .: Боловсрол, 1995. 3. Е.Г. Гельфман нар, Пиноккио театр дахь эерэг ба сөрөг тоо. Заавар 6-р ангийн математикийн хичээл. 3-р хэвлэл, зассан, - Томск: Хэвлэлийн газар Томскийн их сургууль, 1998 4. http://answer.mail.ru/guestion/7639501/ 5. http://ru.wikipedia.org/wiki 7

Ажлын текстийг зураг, томьёогүйгээр байрлуулсан.
Бүрэн хувилбаражлыг "Ажлын файлууд" таб дээрээс PDF форматаар авах боломжтой

Оршил

Тооны ертөнц бол маш нууцлаг, сонирхолтой юм. Манай ертөнцөд тоо маш чухал. Би аль болох тоонуудын гарал үүсэл, бидний амьдралын утга учрыг мэдэхийг хүсч байна. Тэдгээрийг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ, бидний амьдралд ямар үүрэг гүйцэтгэдэг вэ?

Өнгөрсөн жил математикийн хичээл дээр "Эерэг ба сөрөг тоо" гэсэн сэдвийг судалж эхэлсэн. Сөрөг тоо хэзээ гарч ирсэн бэ, аль улсад, ямар эрдэмтэд энэ асуудалд хандсан бэ гэсэн асуулт надад байсан. Би Википедиагаас сөрөг тоо нь сөрөг тоонуудын олонлогийн элемент бөгөөд натурал тоонуудын багцыг өргөжүүлэх үед математикт гарч ирсэн (тэгтэй хамт) гэж уншсан. Өргөтгөлийн зорилго нь дурын тооны хасах үйлдлийг хангах явдал юм. Өргөтгөлийн үр дүнд эерэг (натурал) тоо, сөрөг тоо, тэгээс бүрдэх бүхэл тооны багц (цагираг) олж авна.

Үүний үр дүнд би сөрөг тоонуудын түүхийг судлахаар шийдсэн.

Энэ ажлын зорилго нь сөрөг ба эерэг тоо бий болсон түүхийг судлах явдал юм.

Судалгааны объект - сөрөг тоо ба эерэг тоо

Эерэг ба сөрөг тоонуудын түүх

Хүмүүс сөрөг тоонд дасаж чадахгүй удсан. Сөрөг тоо нь тэдэнд ойлгомжгүй мэт санагдсан, тэд үүнийг ашиглаагүй, тэд зүгээр л харж байгаагүй. онцгой утга. Эдгээр тоо нь натурал болон энгийн бутархай тооноос хамаагүй хожуу гарч ирсэн.

Сөрөг тооны тухай анхны мэдээлэл нь МЭӨ 2-р зуунд Хятадын математикчдын дунд байдаг. МЭӨ д. дараа нь зөвхөн эерэг ба сөрөг тоог нэмэх, хасах дүрмийг л мэддэг байсан; үржүүлэх, хуваах дүрмийг хэрэгжүүлээгүй.

Хятадын математикийн эерэг хэмжигдэхүүнийг "чэн", сөрөг - "фу" гэж нэрлэдэг; тэдгээрийг өөр өөр өнгөөр ​​дүрсэлсэн: "чен" - улаан, "фу" - хар. Үүнийг Есөн бүлэгт арифметик (Зохиогч Жан Кан) номноос харж болно. Энэ дүрслэлийн аргыг Хятадад 12-р зууны дунд үе хүртэл, Ли Е сөрөг тоонуудын хувьд илүү тохиромжтой тэмдэглэгээг санал болгох хүртэл хэрэглэж байсан - сөрөг тоог дүрсэлсэн тоог баруунаас зүүн тийш ташуу зураасаар таслав.

Зөвхөн 7-р зуунд Энэтхэгийн математикчид сөрөг тоонуудыг өргөнөөр ашиглаж эхэлсэн ч зарим нэг үл итгэлцэлтэй ханддаг байв. Бхашара шууд бичсэн нь: "Хүмүүс хийсвэр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй ...". Энэтхэгийн математикч Брахмагупта нэмэх хасах үйлдлийн дүрмийг хэрхэн тодорхойлсон байдаг: “Өмч ба эд хөрөнгө бол өмч, хоёр өрийн нийлбэр нь өр; өмчийн нийлбэр ба тэг нь өмч; хоёр тэгийн нийлбэр тэг ... Тэгээс хассан өр нь өмч болж, өмч нь өр болно. Өрөөс эд хөрөнгө, өмчөөс өр авах шаардлагатай бол тэд мөнгөө авдаг. "Хоёр өмчийн нийлбэр нь өмч юм."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Энэтхэгчүүд эерэг тоонуудыг "дхана" эсвэл "сва" (өмч), сөрөг тоог "рина" эсвэл "кшая" (өр) гэж нэрлэдэг. Энэтхэгийн эрдэмтэд амьдралаас ийм хасах жишээг олохыг хичээж, үүнийг худалдааны тооцооллын үүднээс тайлбарлахаар ирэв. Хэрэв худалдаачин 5000 r-тэй бол. мөн 3000 рублийн бараа худалдаж авдаг, тэр 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Хэрэв тэр 3000 рубльтэй, 5000 рубль худалдаж авбал 2000 рублийн өртэй хэвээр байна. Үүний дагуу энд 3000 - 5000-ыг хасаж байна гэж үзэж байсан ч үр дүн нь "хоёр мянган өр" гэсэн утгатай дээд тал нь цэгтэй 2000 тоо юм. Энэ тайлбар нь зохиомол байсан тул худалдаачин 3000 - 5000-ыг хасч өрийн хэмжээг хэзээ ч олоогүй, харин үргэлж 5000 - 3000-ыг хасдаг байв.

Хэсэг хугацааны дараа эртний Энэтхэг, Хятадад тэд "10 юанийн өр" гэсэн үгийн оронд "10 юань" гэж бичихийн оронд эдгээр иероглифийг хар бэхээр зурдаг байжээ. Эрт дээр үед "+" ба "-" тэмдгүүд нь тоо, үйлдлүүдийн аль нь ч биш байв.

Грекчүүд ч гэсэн эхэндээ тэмдэг ашигладаггүй байв. Эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант сөрөг тоог огт таньдаггүй байсан бөгөөд хэрэв тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд сөрөг язгуур гарсан бол түүнийг "хүртээмжгүй" гэж хаяжээ. Диофант сөрөг язгуураас зайлсхийхийн тулд бодлого боловсруулж, тэгшитгэл хийхийг оролдсон боловч удалгүй Александрын Диофант хасахыг тэмдгээр илэрхийлж эхлэв.

Эерэг ба сөрөг тоонуудтай харьцах дүрмийг Египетэд 3-р зууны эхэн үед санал болгосон. Сөрөг хэмжигдэхүүнийг нэвтрүүлэх нь Диофантад анх тохиолдсон. Тэр бүр тэдэнд зориулж тусгай дүр ашигласан. Үүний зэрэгцээ Диофант "Хоёр талдаа сөрөгийг нэмье" гэх мэт ярианы эргэлтийг ашигладаг бөгөөд тэр ч байтугай тэмдгүүдийн дүрмийг томъёолдог: "Сөрөг нь сөрөг үржвэрийг эерэг болгодог бол сөрөг нь эерэгээр үржүүлдэг. сөрөг."

Европт сөрөг тоог 12-13-р зууны үеэс хэрэглэж эхэлсэн боловч 16-р зуун хүртэл. ихэнх эрдэмтэд эерэг тоонуудаас ялгаатай нь "худал", "төсөөлөл" эсвэл "утгагүй" гэж үздэг байв. Эерэг тоог мөн "өмч", сөрөг тоог "өр", "дутагдал" гэж тайлбарласан. Алдарт математикч Блез Паскал хүртэл юу ч үгүйгээс дутуу байж болохгүй тул 0 − 4 = 0 гэж үзсэн. Европт Пизагийн Леонардо Фибоначчи 13-р зууны эхэн үед сөрөг хэмжигдэхүүнтэй холбоотой санаа руу ойртжээ. Фредерик II-ийн шүүхийн математикчидтай хийсэн асуудал шийдвэрлэх уралдаанд Пизагийн Леонардо асуудлыг шийдэхийг хүссэн: хэд хэдэн хүний ​​капиталыг олох шаардлагатай байв. Фибоначчи авсан сөрөг утгатай. "Энэ хэрэг" гэж Фибоначчи хэлэв, "хөрөнгө биш, харин өртэй байсан гэдгийг хүлээн зөвшөөрөхөөс өөр боломжгүй юм." Гэсэн хэдий ч 15-р зууны төгсгөлд Францын математикч Шукет анх удаа тодорхой сөрөг тоог ашигласан. Арифметик, алгебрийн тухай "Гурван хэсэг дэх тоон шинжлэх ухаан" хэмээх гар бичмэл зохиолын зохиогч. Schücke-ийн бэлгэдэл орчин үеийнх рүү ойртож байна.

Францын математикч, физикч, гүн ухаантан Рене Декартын ажил нь сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрөхөд хувь нэмэр оруулсан. Тэрээр эерэг ба сөрөг тоонуудын геометрийн тайлбарыг санал болгосон - тэр координатын шугамыг нэвтрүүлсэн. (1637).

Эерэг тоонуудыг тооны тэнхлэг дээр 0 гарал үүслийн баруун талд, сөрөг тоог зүүн талд байрлах цэгүүдээр дүрсэлсэн болно. Эерэг ба сөрөг тоонуудын геометрийн тайлбар нь тэдгээрийг танихад хувь нэмэр оруулсан.

1544 онд Германы математикч Майкл Штифел сөрөг тоог анх удаа тэгээс бага тоо гэж үзсэн (өөрөөр хэлбэл "юунаас бага"). Энэ мөчөөс эхлэн сөрөг тоог өр гэж үзэхээ больсон, харин цоо шинэ байдлаар авч үзэх болсон. Штифел өөрөө "Тэг нь үнэн ба утгагүй тоонуудын хооронд байна ..." гэж бичжээ.

Стифелтэй бараг нэгэн зэрэг Диофантын бүтээлийг дахин нээсэн Италийн математикч, инженер Бомбелли Раффаеле (ойролцоогоор 1530-1572) сөрөг тооны санааг хамгаалжээ.

Үүний нэгэн адил Жирард сөрөг тоог нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц, ашигтай гэж үзсэн, ялангуяа ямар нэг зүйл дутагдаж байгааг илтгэх.

Физикч бүр тоонуудтай байнга харьцдаг: тэр үргэлж ямар нэг зүйлийг хэмжиж, тооцоолж, тооцоолдог. Түүний цаасан дээр хаа сайгүй - тоо, тоо, тоо. Хэрэв та физикчийн бүртгэлийг анхааралтай ажиглавал тэр тоо бичихдээ "+", "-" тэмдгийг ихэвчлэн ашигладаг болохыг олж мэдэх болно. (Жишээ нь: термометр, гүн ба өндрийн хуваарь)

Зөвхөн дотор XIX эхэн үе in. сөрөг тоонуудын онол хөгжиж дуусч, "абсурд тоо" нь бүх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн.

Тооны тухай ойлголтын тодорхойлолт

Орчин үеийн ертөнцөд хүн гарал үүслийнх нь талаар бодохгүйгээр тоонуудыг байнга ашигладаг. Өнгөрсөн тухай мэдлэггүйгээр одоог ойлгох боломжгүй юм. Тоо бол математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Тооны тухай ойлголт нь хэмжигдэхүүнийг судлахтай нягт уялдаатай хөгжсөн; энэ холбоо өнөөг хүртэл үргэлжилж байна. Орчин үеийн математикийн бүх салбарт янз бүрийн хэмжигдэхүүнийг авч үзэх, тоо ашиглах шаардлагатай болдог. Тоо гэдэг нь объектын хэмжээг тодорхойлоход ашигладаг хийсвэрлэл юм. Анхны нийгэмд тоолох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэн үүссэн тоо гэдэг ойлголт өөрчлөгдөж, баяжиж, математикийн хамгийн чухал ойлголт болон хувирчээ.

"Тоо" гэсэн нэр томъёоны олон тодорхойлолт байдаг.

Тооны шинжлэх ухааны анхны тодорхойлолтыг Евклид өөрийн нутаг нэгт Книдын Евдоксоос (МЭӨ 408-355 он орчим) өвлөн авсан "Элементүүд"-дээ өгсөн: "Нэгж гэдэг нь одоо байгаа зүйл бүрийг түүний дагуу нэрлэдэг. нэг. Тоо нь нэгжээс бүрдсэн олонлог юм. Оросын математикч Магнитский “Арифметик” (1703) бүтээлдээ тооны тухай ойлголтыг ингэж тодорхойлсон байдаг. Аристотель Евклидээс ч өмнө "Тоо нь нэгжийн тусламжтайгаар хэмжигддэг олонлог" гэсэн тодорхойлолтыг өгч байсан. Английн агуу физикч, механик, одон орон судлаач, математикч Исаак Ньютон "Ерөнхий арифметик" (1707) номондоо: "Тоо гэж бид нэгжийн багцыг биш, харин зарим хэмжигдэхүүнийг ижил хэмжигдэхүүнтэй бусад хэмжигдэхүүнтэй хийсвэр харьцааг хэлдэг. төрөл, нэгж болгон авсан . Бүхэл тоо, бутархай, иррационал гэсэн гурван төрлийн тоо байдаг. Бүхэл тоо нь нэгжээр хэмжигдэх тоо юм; бутархай - нэгжийн үржвэр, иррационал - нэгжтэй тохирохгүй тоо.

Мариуполийн математикч С.Ф.Клюйков мөн тооны тухай ойлголтыг тодорхойлоход хувь нэмрээ оруулсан: "Тоонууд нь хүн өөрийн мэдлэгт зориулж бүтээсэн бодит ертөнцийн математик загварууд юм." Тэрээр мөн "функциональ тоо" гэж нэрлэгддэг тоонуудын уламжлалт ангилалд нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь дэлхий даяар ихэвчлэн функц гэж нэрлэгддэг гэсэн утгатай юм.

Объектуудыг тоолох үед натурал тоо үүссэн. Энэ тухай би 5-р ангидаа мэдсэн. Дараа нь би хүний ​​хэмжигдэхүүнийг хэмжих хэрэгцээ нь үргэлж бүхэл тоогоор илэрхийлэгддэггүй гэдгийг мэдсэн. Натурал тоонуудын багцыг бутархай тоонд шилжүүлсний дараа ямар ч бүхэл тоог өөр бүхэл тоонд (тэг хуваахаас бусад) хуваах боломжтой болсон. Бутархай тоонууд байдаг. Хасах нь багасгасан тооноос их байхад өөр бүхэл тооноос бүхэл тоог хасах нь удаан хугацаанд боломжгүй мэт санагдсан. Удаан хугацааны турш олон математикчид сөрөг тоонуудыг бодит үзэгдэлд тохирохгүй гэж үзэн танихгүй байсан нь миний хувьд сонирхолтой байсан.

"Нэмэх", "хасах" гэсэн үгсийн гарал үүсэл

Нэр томъёо нь нэмэх - "илүү", хасах - "бага" гэсэн үгнээс гаралтай. Эхлээд үйлдлүүдийг эхний p үсгээр тэмдэглэсэн; м. Олон математикчид илүүд үздэг эсвэл орчин үеийн "+", "-" тэмдгүүдийн илрэл нь бүрэн тодорхойгүй байна. "+" тэмдэг нь et товчлолоос гаралтай байх, өөрөөр хэлбэл. "ба". Гэсэн хэдий ч энэ нь худалдааны практикээс үүдэлтэй байж магадгүй юм: зарагдсан дарсыг торхон дээр "-" гэж тэмдэглэсэн бөгөөд нөөцийг сэргээхэд тэдгээрийг зурж, "+" тэмдэг авсан.

Итали руу мөнгө зээлэхдээ зээлийн хүүгийн нэрийн өмнө өрийн хэмжээ, зураас зурж, манай хасах шиг, хариуцагч мөнгөө буцааж өгөхдөө зураасаар зурдаг, манай нэмэхтэй адил юм.

Орчин үеийн "+" тэмдэг нь 15-р зууны сүүлийн арван жилд Германд гарч ирэв. Худалдаачдын дансны удирдамж байсан Видманы номонд (1489). Чех Ян Видман нэмэх хасах үйлдэлд "+", "-" гэж аль хэдийн бичжээ.

Хэсэг хугацааны дараа Германы эрдэмтэн Мишель Штифел 1544 онд хэвлэгдсэн "Бүрэн арифметик"-ийг бичсэн. Энэ нь тоонуудын ийм оруулгуудыг агуулна: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Эхний төрлийн тоонуудыг тэрээр "юунаас бага" эсвэл "юунаас ч доогуур" гэж нэрлэсэн. Хоёрдахь төрлийн тоонуудыг тэрээр "юунаас ч илүү" эсвэл "юунаас ч өндөр" гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, та эдгээр нэрсийг ойлгодог, учир нь "юу ч биш" нь 0 юм.

Египет дэх сөрөг тоо

Гэсэн хэдий ч ийм эргэлзээтэй байсан ч эерэг ба сөрөг тоонуудтай харьцах дүрмийг Египетэд 3-р зуунд аль хэдийн санал болгосон. Сөрөг хэмжигдэхүүнийг нэвтрүүлэх нь Диофантад анх тохиолдсон. Тэр бүр тэдэнд зориулж тусгай тэмдэгт ашигласан (одоо бид хасах тэмдгийг ашигладаг). Диофантийн тэмдэг нь яг сөрөг тоо эсвэл зүгээр л хасах үйлдлийг илэрхийлсэн эсэх талаар эрдэмтэд маргаж байгаа нь үнэн, учир нь Диофантад сөрөг тоо нь тусад нь байдаггүй, зөвхөн эерэг ялгаа хэлбэрээр байдаг; Мөн тэрээр зөвхөн оновчтой эерэг тоонуудыг асуудлын хариулт гэж үздэг. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн Диофант "Хоёр талдаа сөрөгийг нэмье" гэх мэт ярианы эргэлтийг ашигладаг бөгөөд тэр ч байтугай тэмдгүүдийн дүрмийг томъёолдог: "Сөрөг нь сөрөг үржвэрийг эерэг болгодог бол сөрөг нь эерэгээр үржүүлдэг. сөрөг өгдөг" (одоо ихэвчлэн томъёолдог: "Хасах нь нэмэх, хасах нь нэмэх нь хасах").

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Эртний Ази дахь сөрөг тоонууд

Хятадын математикийн эерэг хэмжигдэхүүнийг "чэн", сөрөг - "фу" гэж нэрлэдэг; тэдгээрийг өөр өөр өнгөөр ​​дүрсэлсэн: "чен" - улаан, "фу" - хар. Энэ дүрслэлийн аргыг Хятадад 12-р зууны дунд үе хүртэл, Ли Е сөрөг тоонуудын хувьд илүү тохиромжтой тэмдэглэгээг санал болгох хүртэл хэрэглэж байсан - сөрөг тоог дүрсэлсэн тоог баруунаас зүүн тийш ташуу зураасаар таслав. Энэтхэгийн эрдэмтэд амьдралаас ийм хасах жишээг олохыг хичээж, үүнийг худалдааны тооцооллын үүднээс тайлбарлахаар ирэв.

Хэрэв худалдаачин 5000 r-тэй бол. мөн 3000 рублийн бараа худалдаж авдаг, тэр 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Хэрэв тэр 3000 рубльтэй, 5000 рубль худалдаж авбал 2000 рублийн өртэй хэвээр байна. Үүний дагуу энд 3000 - 5000-ыг хасаж байна гэж үзэж байсан ч үр дүн нь "хоёр мянган өр" гэсэн утгатай дээд тал нь цэгтэй 2000 тоо юм.

Энэхүү тайлбар нь зохиомол шинж чанартай байсан тул худалдаачин 3000 - 5000-ыг хасаж өрийн хэмжээг хэзээ ч олдоггүй байсан ч үргэлж 5000 - 3000-ыг хасдаг байсан. Үүнээс гадна, энэ үндэслэлээр зөвхөн нэмэх дүрмийг тайлбарлах боломжтой байв. "Цэгтэй тоо" хасах боловч үржүүлэх, хуваах дүрмийг ямар ч байдлаар тайлбарлаагүй.

V-VI зууны үед сөрөг тоонууд гарч ирсэн бөгөөд Энэтхэгийн математикт маш өргөн тархсан байдаг. Энэтхэгт сөрөг тоог одоогийнхтой адил системтэйгээр ашигладаг байсан. Энэтхэгийн математикчид 7-р зуунаас хойш сөрөг тоог ашиглаж ирсэн. n. д .: Брахмагупта тэдэнтэй арифметик үйлдлийн дүрмийг боловсруулсан. Түүний бүтээлээс бид: “Өмч хөрөнгө, өмч хөрөнгө, хоёр өрийн нийлбэр нь өр; өмчийн нийлбэр ба тэг нь өмч; хоёр тэгийн нийлбэр тэг ... Тэгээс хассан өр нь өмч болж, өмч нь өр болно. Өрөөс эд хөрөнгө, өмчөөс өр авах шаардлагатай бол тэд мөнгөө авдаг.

Энэтхэгчүүд эерэг тоонуудыг "дхана" эсвэл "сва" (өмч), сөрөг тоог "рина" эсвэл "кшая" (өр) гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч Энэтхэгт сөрөг тоог ойлгох, хүлээн зөвшөөрөхөд бэрхшээлтэй байсан.

Европ дахь сөрөг тоо

Европын математикчид удаан хугацааны туршид тэднийг хүлээн зөвшөөрөөгүй, учир нь "хөрөнгө-өр" гэсэн тайлбар нь эргэлзээ, эргэлзээ төрүүлэв. Үнэхээр өмч, өрийг яаж “нэмэх”, “хасах” вэ, өмчийг өрөөр “үржүүлэх”, “хуваах” нь ямар бодитой утгатай вэ? (Г.И. Глейзер, Сургуулийн IV-VI ангийн математикийн түүх. Москва, Боловсрол, 1981)

Тийм ч учраас сөрөг тоонууд математикт маш их бэрхшээлтэй тулгарсан. Европт Пизагийн Леонардо Фибоначчи 13-р зууны эхэн үед сөрөг хэмжигдэхүүний тухай ойлголтод хангалттай дөхөж очсон боловч сөрөг тоонуудын тодорхой хэрэглээг 15-р зууны төгсгөлд Францын математикч Шукет анх хэрэглэж байжээ. Арифметик, алгебрийн тухай "Гурван хэсэг дэх тоон шинжлэх ухаан" хэмээх гар бичмэл зохиолын зохиогч. Шукегийн бэлгэдэл орчин үе рүү ойртож байна (Математик нэвтэрхий толь бичиг. М., Сов. нэвтэрхий толь, 1988)

Сөрөг тооны орчин үеийн тайлбар

1544 онд Германы математикч Майкл Штифел сөрөг тоог анх удаа тэгээс бага тоо гэж үзсэн (өөрөөр хэлбэл "юунаас бага"). Энэ мөчөөс эхлэн сөрөг тоог өр гэж үзэхээ больсон, харин цоо шинэ байдлаар авч үзэх болсон. Штифел өөрөө бичсэн: "Тэг нь үнэн ба утгагүй тоонуудын хооронд байна ..." (Г.И. Глейзер, IV-VI ангийн математикийн түүх. Москва, Боловсрол, 1981)

Үүний дараа Стифел ажлаа бүхэлд нь математикт зориулдаг бөгөөд тэрээр өөрөө өөрийгөө сургасан гайхалтай чадвартай байв. Никола Шукегийн дараа Европ дахь анхны хүмүүсийн нэг нь сөрөг тоогоор ажиллаж эхэлсэн.

Францын алдарт математикч Рене Декарт Геометрийн (1637) эерэг ба сөрөг тоонуудын геометрийн тайлбарыг дүрсэлсэн; эерэг тоонуудыг тооны тэнхлэг дээр гарал үүслийн баруун талд 0, сөрөг - зүүн талд байрлах цэгүүдээр дүрсэлсэн. Эерэг ба сөрөг тоонуудын геометрийн тайлбар нь сөрөг тоонуудын мөн чанарыг илүү тодорхой ойлгоход хүргэж, тэдгээрийг танихад хувь нэмэр оруулсан.

Штифелтэй бараг нэгэн зэрэг, Диофантийн бүтээлийг дахин нээсэн Италийн математикч, инженер Р.Бомбелли Раффаеле (ойролцоогоор 1530-1572) сөрөг тооны санааг хамгаалсан.

Бомбелли, Жирард нар эсрэгээрээ сөрөг тоог нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц, хэрэгцээтэй гэж үздэг, ялангуяа ямар нэг зүйл дутагдаж байгааг илтгэдэг. "+" ба "-" тэмдгээр эерэг ба сөрөг тоонуудын орчин үеийн тэмдэглэгээг Германы математикч Видман ашигласан. "Юунаас ч доогуур" гэсэн илэрхийлэл нь Стифел болон бусад хүмүүс эерэг ба сөрөг тоог босоо масштабын (термометрийн масштаб гэх мэт) цэгүүд гэж сэтгэн төсөөлж байсныг харуулж байна. Математикч А.Жирард хожим боловсруулсан сөрөг тоог тодорхой шулуун шугамын эерэг тооноос 0-ийн нөгөө талд байрласан цэгүүд гэсэн санаа нь эдгээр тоог иргэний эрхээр хангахад шийдвэрлэх ач холбогдолтой болсон. П.Ферма, Р.Декарт нарын координатын аргыг боловсруулах.

Дүгнэлт

Би ажилдаа сөрөг тоонуудын түүхийг судалсан. Судалгааны явцад би дараахь дүгнэлтэд хүрсэн.

Орчин үеийн шинжлэх ухаан ийм нарийн төвөгтэй шинж чанартай хэмжигдэхүүнтэй тулгардаг тул тэдгээрийг судлахын тулд шинэ төрлийн тоог зохион бүтээх шаардлагатай болдог.

Шинэ дугаар оруулахдаа хоёр нөхцөл байдал маш чухал юм.

а) тэдгээрийн үйл ажиллагааны дүрмийг бүрэн тодорхойлсон байх ёстой бөгөөд зөрчилдөөн гарахгүй байх;

б) шинэ тооны системүүд нь шинэ асуудлыг шийдвэрлэхэд хувь нэмэр оруулах эсвэл аль хэдийн мэдэгдэж байсан шийдлүүдийг сайжруулах ёстой.

Өнөөдрийг хүртэл нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн долоон түвшний тоонууд байдаг: натурал, оновчтой, бодит, комплекс, вектор, матриц, трансфинит тоо. Зарим эрдэмтэд функцийг функциональ тоо гэж үзэхийг санал болгож, тоонуудын ерөнхий байдлын түвшинг арван хоёр түвшинд өргөжүүлэхийг санал болгож байна.

Би эдгээр бүх тооны багцыг судлахыг хичээх болно.

Өргөдөл

ШҮЛЭГ

"Сөрөг тоо болон тоонуудыг нэмэх өөр өөр шинж тэмдэг»

Хэрэв та нугалахыг хүсвэл

Тоонууд сөрөг байна, харамсах зүйл алга:

Бид модулиудын нийлбэрийг хурдан олох хэрэгтэй.

Дараа нь хасах тэмдгийг аваад түүнд нэмнэ үү.

Хэрэв өөр өөр тэмдэгтэй тоо өгөгдсөн бол

Тэдний нийлбэрийг олохын тулд бид бүгд тэнд байна.

Илүү том модулийг маш хурдан сонгох боломжтой.

Үүнээс бид жижигийг нь хасна.

Хамгийн чухал зүйл бол тэмдгийг мартаж болохгүй!

Та алийг нь тавих вэ? - бид асуумаар байна

Бид танд нэг нууц задлах болно, энэ нь тийм ч хялбар биш юм.

Хариулт дээр модуль нь их байгаа тэмдгийг тэмдэглэнэ үү.

Эерэг ба сөрөг тоог нэмэх дүрэм

Хасахтай хасахыг нэмэх,

Та хасах оноо авах боломжтой.

Хэрэв та хасах, нэмэх бол,

Энэ нь ичмээр зүйл болж хувирах болов уу?!

Тооны тэмдгийг сонгоно уу

Юу нь илүү хүчтэй вэ, эвшээх хэрэггүй!

Тэдний модулиудыг авч хая

Тийм ээ, бүх тоогоор эвлэрээрэй!

Үржүүлэх дүрмийг мөн дараах байдлаар тайлбарлаж болно.

"Миний найзын найз бол миний найз": + ∙ + = + .

"Миний дайсны дайсан бол миний найз": ─ ∙ ─ = +.

"Миний дайсны найз бол миний дайсан": + ∙ ─ = ─.

"Миний найзын дайсан бол миний дайсан": ─ ∙ + = ─.

Үржүүлэх тэмдэг нь цэг бөгөөд гурван тэмдэгтэй:

Тэдний хоёрыг хамарч, гурав дахь нь хариуг нь өгнө.

Жишээлбэл.

Бүтээгдэхүүний 2∙(-3) тэмдгийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Нэмэх, хасах тэмдгийг гараараа хаацгаая. Хасах тэмдэг байна

Ном зүй

"Түүх эртний ертөнц", 5-р анги. Колпаков, Селунская.

"Эртний үеийн математикийн түүх", Э.Колман.

"Оюутны гарын авлага". VES хэвлэлийн газар, Санкт-Петербург. 2003 он

Математикийн агуу нэвтэрхий толь бичиг. Якушева Г.М. гэх мэт.

Вигасин А.А., Годер Г.И., "Эртний ертөнцийн түүх", 5-р ангийн сурах бичиг, 2001 он.

Википедиа. Үнэгүй нэвтэрхий толь бичиг.

Математикийн шинжлэх ухааны үүсэл хөгжил: Ном. Багшийн хувьд. - М.: Гэгээрэл, 1987.

Гельфман Э.Г. "Эерэг ба сөрөг тоо", 6-р ангийн математикийн сурах бичиг, 2001 он.

Толгой. ed. М.Д.Аксенова. - М .: Аванта +, 1998.

Глейзер Г.И. "Сургуулийн математикийн түүх", Москва, "Просвещение", 1981 он.

Хүүхдийн нэвтэрхий толь "Би ертөнцийг мэднэ", Москва, "Гэгээрэл", 1995 он.

Сургуулийн математикийн түүх, IV-VI анги. Г.И. Глейзер, Москва, Боловсрол, 1981 он.

Москва: Филол. О-во "ҮГ": OLMA-PRESS, 2005 он.

Малыгин К.А.

Математик нэвтэрхий толь бичиг. М., Сов. нэвтэрхий толь, 1988 он.

Нурк Э.Р., Тэлгмаа А.Э. "Математикийн 6-р анги", Москва, "Гэгээрэл", 1989 он

5-р ангийн сурах бичиг. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.

Фридман Л.М.. "Математик судлах", боловсролын хэвлэл, 1994 он

Э.Г. Гельфман нар, Пиноккио театр дахь эерэг ба сөрөг тоо. 6-р ангийн математикийн сурах бичиг. 3-р хэвлэл, зассан, - Томск: Томскийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1998 он.

Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Т.11. Математик