Нэгдмэл тархалтын магадлалын онол. Математик, мэдээлэл зүй. Хичээлийн туршид суралцах гарын авлага
Энэ тохиолдолд (5.7)-ын дагуу хуваарилах функц нь дараах хэлбэртэй байна.
хаана: м - хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, s - дундаж стандарт хэлбэлзэл.
Ердийн тархалтыг Германы математикч Гауссын нэрээр Гаусс гэж нэрлэдэг. Баримт гэж санамсаргүй утгаБайгаа хэвийн тархалтпараметртэй: m,, дараах байдлаар тэмдэглэнэ: N (m, s), Үүнд: m =a =M ;
Ихэнхдээ томъёонд математикийн хүлээлтийг тэмдэглэдэг а . Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн N(0,1) хуулийн дагуу тархсан бол түүнийг нормчлогдсон буюу стандартчилагдсан хэвийн утга гэнэ. Түүний хуваарилах функц нь дараах хэлбэртэй байна.
|
|
.Нормаль муруй буюу Гауссын муруй гэж нэрлэгддэг хэвийн тархалтын нягтын графикийг 5.4-р зурагт үзүүлэв.
Цагаан будаа. 5.4. Хэвийн тархалтын нягт
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг нягтралаар нь тодорхойлохыг жишээн дээр авч үзсэн.
Жишээ 6.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын нягтаар тодорхойлно. 
.
Тархалтын төрлийг тодорхойлж, математикийн хүлээлт M(X) ба дисперс D(X)-ийг ол.
Өгөгдсөн тархалтын нягтыг (5.16)-тай харьцуулж үзвэл m =4-тэй хэвийн тархалтын хууль өгөгдсөн гэж дүгнэж болно. Иймд математикийн хүлээлт M(X)=4, дисперс D(X)=9.
Стандарт хазайлт s=3.
Лаплас функц нь дараах хэлбэртэй байна.
|
|
,нь хэвийн тархалтын функцтэй (5.17) хамааралтай, дараах харьцаагаар:
F 0 (x) \u003d F (x) + 0.5.
Лаплас функц нь хачирхалтай.
Ф(-x)=-Ф(x).
Лапласын Ф(х) функцын утгуудыг х-ийн утгын дагуу хүснэгтээс авна уу (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалт тоглодог чухал үүрэгмагадлалын онол болон бодит байдлын тодорхойлолтод маш их байдаг өргөн хэрэглээбайгалийн санамсаргүй үйл явдалд. Практикт олон тооны санамсаргүй нэр томъёоны нийлбэрийн үр дүнд яг тодорхой үүсдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ихэвчлэн байдаг. Ялангуяа хэмжилтийн алдааны дүн шинжилгээ нь нийлбэр болохыг харуулж байна өөр төрлийналдаа. Дадлагаас харахад хэмжилтийн алдааны магадлалын тархалт нь ердийн хуультай ойролцоо байна.
Лаплас функцийг ашигласнаар өгөгдсөн интервал болон хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн хазайлт руу унах магадлалыг тооцоолох асуудлыг шийдэж болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд (түүний оршин тогтнох бүсэд, жишээлбэл, интервалд) ижил магадлалтай бол тархалтыг жигд гэж үзнэ. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.
Түгээлтийн нягтрал: 
1
Цагаан будаа. Тархалтын функц (зүүн) ба тархалтын нягт (баруун) графикууд.
Нэг төрлийн хуваарилалт - ойлголт ба төрлүүд. "Нэгдмэл хуваарилалт" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.
Үндсэн салангид хуваарилалтсанамсаргүй хэмжигдэхүүн Тодорхойлолт 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, 1, 2, ..., n утгыг авсан жигд хуваарилалт, хэрэв Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n. Энэ нь ойлгомжтой. Дараах бодлогыг бодоод үз: Нэг саванд n ширхэг бөмбөлөг байдгаас M нь цагаан... .
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд Тодорхойлолт 5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X сегмент дээр утгыг авч тархалтын нягт нь хэлбэртэй байвал жигд тархалттай байна. (1) Үүнийг шалгахад хялбар, . Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол ....
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд (түүний оршин тогтнох бүсэд, жишээлбэл, интервалд) ижил магадлалтай бол тархалтыг жигд гэж үзнэ. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна: Тархалтын нягт: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Хэвийн тархалтын хуулиуд Нэгдмэл, экспоненциал ба Нэгт хуулийн магадлалын нягтын функц нь: (10.17) энд a ба b тоонууд өгөгдсөн, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Магадлалын жигд тархалт нь хамгийн энгийн бөгөөд салангид эсвэл тасралтгүй байж болно. Дискрет жигд тархалт нь CB-ийн утга тус бүрийн магадлал ижил байх тархалт юм, өөрөөр хэлбэл: N нь тоо ... .
Тодорхойлолт 16. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархалттай, хэрвээ энэ сегмент дээр энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт тогтмол, гадна тал нь тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл (45) Нэг жигд тархалтын нягтын график. харуулж байна ...
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт X, энэ нь интервалаас бүх утгыг авдаг , гэж нэрлэдэг дүрэмт хувцас, хэрэв энэ сегмент дээрх магадлалын нягт нь тогтмол, гадна талд нь тэгтэй тэнцүү бол. Ийнхүү тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт X, сегмент дээр жигд тархсан , харагдаж байна:
Тодорхойлъё хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, тархалтжигд тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнд.
, 
, 
.
Жишээ.Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд сегмент дээр байрладаг . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлалыг ол (3;5) .
a=2, b=8, 
.
Үүнийг үйлдвэрлэе nтуршилтууд, үйл явдал тохиолдох магадлал Ашалгалт бүрт байдаг хбусад туршилтын үр дүнгээс хамаарахгүй ( бие даасан туршилтууд). Үйл явдал болох магадлалаас хойш Анэг шалгалтанд байна х, тэгвэл түүний үүсэхгүй байх магадлал тэнцүү байна q=1-х.
Үйл явдал болъё Аирсэн nтуршилтууд мнэг удаа. Энэхүү нарийн төвөгтэй үйл явдлыг бүтээгдэхүүн болгон бичиж болно:
.
Дараа нь магадлал, аль цагт nтуршилтын үйл явдал Аирнэ мудаа, дараах томъёогоор тооцоолно.
эсвэл 
(1)
Формула (1) гэж нэрлэдэг Бернулли томъёо.
Болъё Xнь тохиолдлын тоотой тэнцүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм А in nмагадлал бүхий утгыг авдаг тестүүд:
Үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг нэрлэнэ бином тархалтын хууль.
| X | м | n | ||||
| П |
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, тархалтболон стандарт хэлбэлзэлбином хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
, , .
Жишээ.Зорилтот руу 3 удаа буудах ба сум болгонд онох магадлал 0.8 байна. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үздэг X- зорилтот цохилтын тоо. Түүний тархалтын хууль, математик хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг ол.
p=0.8, q=0.2, n=3, 
, , 
.
- 0 цохилтын магадлал;
Нэг цохилтын магадлал;
Хоёр цохилтын магадлал;
нь гурван цохилтын магадлал юм.
Бид түгээлтийн хуулийг авна:
| X | ||||
| П | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Даалгаврууд
1. Зоосыг 7 удаа шиддэг. 4 удаа дээш доош унах магадлалыг ол.
2. Зоосыг 8 удаа шиддэг. Төрийн сүлд гурваас илүүгүй гарч ирэх магадлалыг ол.
3. Буунаас буудах үед бай онох магадлал p=0.6. Математикийн хүлээлтийг ол нийт тоо 10 удаа буудсан тохиолдолд цохино.
4. Тооны математик хүлээлтийг ол сугалааны тасалбар, 20 тасалбар худалдаж авбал ялалт авах бөгөөд нэг тасалбар хожих магадлал 0.3 байна.
Өмнө дурьдсанчлан, магадлалын хуваарилалтын жишээнүүд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь:
- тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын жигд тархалт;
- экспоненциал тархалттасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлал;
- хэвийн тархалт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлал.
Нэгт ба экспоненциал тархалтын хууль, магадлалын томъёо, авч үзсэн функцүүдийн тоон шинж чанарын тухай ойлголтыг өгье.
| Индекс | Санамсаргүй хуваарилалтын хууль | Экспоненциал тархалтын хууль |
|---|---|---|
| Тодорхойлолт | Дүрэмт хувцас гэж нэрлэдэг Интервал дээр нягт нь тогтмол хэвээр байх ба хэлбэртэй үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалт | Экспоненциал (экпоненциал) гэж нэрлэдэг хэлбэртэй нягтралаар тодорхойлогддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн магадлалын тархалт |
 Энд λ нь тогтмол эерэг утга юм |
||
| түгээлтийн функц |  |
 |
| Магадлал интервалд хүрэх |  |
 |
| Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ |  |
|
| Тархалт |  |
|
| Стандарт хэлбэлзэл |  |
"Түгээлтийн жигд ба экспоненциал хуулиуд" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Даалгавар 1.
Автобусууд цагийн хуваарийн дагуу хатуу явдаг. Хөдөлгөөний интервал 7 мин. Олно: (a) зогсоол дээр ирж буй зорчигч дараагийн автобусыг хоёр минутаас бага хугацаагаар хүлээх магадлалыг; б) буудал руу ойртож буй зорчигч дараагийн автобусыг дор хаяж гурван минут хүлээх магадлал; в) X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлт - зорчигчийн хүлээх хугацаа.
Шийдэл. 1. Асуудлын нөхцөлөөр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X=(зорчигч хүлээх хугацаа) жигд тархсан хоёр автобус ирэх хооронд. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын интервалын урт нь b-a=7, энд a=0, b=7 байна.
2. Санамсаргүй X утга нь (5;7) интервалд орвол хүлээх хугацаа хоёр минутаас бага байх болно. Өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор олно. P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Х санамсаргүй утга (0; 4) интервалд орсон тохиолдолд хүлээх хугацаа дор хаяж гурван минут (өөрөөр хэлбэл гурваас долоон минут) байх болно. Өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор олно. P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Тасралтгүй, жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлт - зорчигчийн хүлээх хугацааг бид дараах томъёогоор олно. M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.
5. Үргэлжилсэн, жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн стандарт хазайлт - зорчигчийн хүлээх хугацааг бид дараах томъёогоор олно. σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.
Даалгавар 2.
Экспоненциал тархалтыг x ≥ 0-ийн хувьд f(x) = 5e – 5x нягтаар өгөгдсөн. Шаардлагатай: a) түгээлтийн функцийн илэрхийлэл бичих; б) туршилтын үр дүнд X (1; 4) интервалд орох магадлалыг ол; в) туршилтын үр дүнд X ≥ 2 байх магадлалыг ол; г) M(X), D(X), σ(X)-ыг тооцоол.
Шийдэл. 1. Учир нь нөхцөлөөр, экспоненциал тархалт , дараа нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтын томъёоноос бид λ = 5-ыг олж авна. Дараа нь тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй болно.
2. Туршилтын үр дүнд X (1; 4) интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор олно.
П(а< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Туршилтын үр дүнд X ≥ 2 байх магадлалыг дараах томъёогоор олох магадлал: P(a)< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Экспоненциал тархалтыг олно:
- M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2 томъёоны дагуу математикийн хүлээлт;
- D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04 томъёоны дагуу тархах;
- σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2 томъёоны дагуу стандарт хазайлт.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ болгон (a; b) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийг авч үзье. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн X гэж хэлдэг жигд тархсан (a; b) интервал дээр, хэрэв түүний тархалтын нягт нь энэ интервалд тогтмол биш байвал:
Нормчиллын нөхцлөөс бид тогтмол c утгыг тодорхойлно. Тархалтын нягтын муруйн доорх талбай нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, гэхдээ бидний тохиолдолд энэ нь суурь (b - α) ба өндөр c (Зураг 1) бүхий тэгш өнцөгтийн талбай юм. 
Цагаан будаа. 1 Нэг жигд тархалтын нягт
Эндээс бид c тогтмолын утгыг олно: 
Тэгэхээр жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт нь тэнцүү байна 
Одоо хуваарилалтын функцийг томъёогоор олъё.
1) төлөө 
2) төлөө
3) 0+1+0=1-ийн хувьд.
Энэ замаар, 
Түгээлтийн функц нь тасралтгүй бөгөөд буурахгүй (Зураг 2). 
Цагаан будаа. 2 Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц
Олъё жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттомъёоны дагуу:
Нэг төрлийн тархалтын дисперстомъёогоор тооцож, тэнцүү байна
Жишээ №1. Хэмжих хэрэгслийн хуваарийн хуваалтын утга нь 0.2 . Багажны заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан. Унших явцад алдаа гарах магадлалыг ол: a) 0.04-ээс бага; б) том 0.02
Шийдэл. Бөөрөнхийллийн алдаа нь зэргэлдээх бүхэл тоон хуваагдлын хоорондох интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. (0; 0.2) интервалыг ийм хуваагдал гэж үзье (зураг a). Бөөрөнхийлөлтийг зүүн хил рүү - 0, баруун тийш - 0.2 хоёуланг нь хийж болно, энэ нь 0.04-ээс бага буюу тэнцүү алдааг хоёр удаа гаргаж болно гэсэн үг бөгөөд энэ нь магадлалыг тооцоолохдоо анхаарах ёстой. 
P = 0.2 + 0.2 = 0.4
Хоёрдахь тохиолдолд алдааны утга нь хуваагдлын хил дээр 0.02-оос хэтэрч болно, өөрөөр хэлбэл 0.02-оос их эсвэл 0.18-аас бага байж болно. 
Дараа нь иймэрхүү алдаа гарах магадлал:
Жишээ №2. Сүүлийн 50 жилийн хугацаанд улс орны эдийн засгийн байдлын тогтвортой байдлыг (дайн, байгалийн гамшиг гэх мэт) хүн амын насаар хуваарилах шинж чанараар нь дүгнэж болно: тайван нөхцөлд, Энэ нь байх ёстой дүрэмт хувцас. Судалгааны үр дүнд аль нэг улсын хувьд дараах мэдээллийг олж авсан.
Улс оронд тогтворгүй нөхцөл байдал үүссэн гэж үзэх үндэслэл байна уу?Бид тооцоологч Таамаглалын тест ашиглан шийдвэр гаргадаг. Шалгуур үзүүлэлтийг тооцоолох хүснэгт.
| Бүлгүүд | Дунд завсар, x i | Тоо хэмжээ, fi | x i * f i | Хуримтлагдсан давтамж, С | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Давтамж, f i / n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
жигнэсэн дундаж
Өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд.
Үнэмлэхүй өөрчлөлтийн хувь хэмжээ.
Өөрчлөлтийн хүрээ нь үндсэн цувралын шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүү юм.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Тархалт- түүний дундаж утгын эргэн тойронд тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог (тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл дунджаас хазайх).
Стандарт хэлбэлзэл.
Цувралын утга тус бүр нь 43-ын дундаж утгаас 23.92-оос ихгүй ялгаатай байна
Түгээлтийн төрлийн талаархи таамаглалыг шалгах.
4. тухай таамаглалыг шалгах жигд хуваарилалтнийт хүн ам.
Х-ийн жигд тархалтын талаарх таамаглалыг шалгахын тулд, i.e. хуулийн дагуу: f(x) = 1/(b-a) (a,b) интервалд.
шаардлагатай:
1. Томъёоны дагуу a ба b параметрүүдийг тооцоолно - X-ийн боломжит утгууд ажиглагдсан интервалын төгсгөлүүд (* тэмдэг нь параметрийн тооцоог илэрхийлнэ):
2. f(x) = 1/(b * - a *) тооцоолсон тархалтын магадлалын нягтыг ол.
3. Онолын давтамжийг ол:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо k = s-3, энд s нь анхны түүвэрлэлтийн интервалын тоо гэж үзэн Пирсон тестийг ашиглан эмпирик болон онолын давтамжийг харьцуулна уу; хэрвээ жижиг давтамжуудын хослол, улмаар интервалууд өөрсдөө хийгдсэн бол s нь хослолын дараа үлдсэн интервалуудын тоо юм.
Шийдэл:
1. Нэг төрлийн тархалтын a * ба b * параметрүүдийн тооцоог томъёогоор ол.
2. Таамагласан жигд тархалтын нягтыг ол:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Онолын давтамжийг ол:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
Үлдсэн n нь тэнцүү байна:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| би | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6Д-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Нийт | 1 | 0.0532 |
Тиймээс энэ статистикийн чухал бүс нь үргэлж баруун гартай байдаг :)
