Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний бином тархалт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт. Бином тархалт. Пуассоны тархалт. Геометрийн тархалт. Үүсгэх функц.
6. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт
6.1. Бином тархалт
Үүнийг үйлдвэрлэе nбие даасан туршилт, тус бүр нь үйл явдал АЭнэ нь гарч ирэх эсвэл харагдахгүй байж болно. Магадлал хүйл явдал тохиолдох Абүх туршилтанд тогтмол бөгөөд туршилтаас туршилтанд өөрчлөгддөггүй. Үйл явдлын тохиолдлын тоог санамсаргүй хэмжигдэхүүн X гэж үзье Аэдгээр туршилтуудад. Үйл явдал болох магадлалыг олох томъёо Агөлгөр кнэг удаа nМэдэгдэж байгаагаар туршилтуудыг тайлбарласан болно Бернуллигийн томъёо
Бернуллигийн томъёогоор тодорхойлсон магадлалын тархалтыг гэнэ бином .
Баруун гар тал нь Ньютоны биномийг тэлэх ерөнхий нэр томъёо гэж үзэж болох тул энэ хуулийг "хоёр гишүүн" гэж нэрлэдэг.
Хоёр гишүүний хуулийг хүснэгт хэлбэрээр бичье
|
х n |
n.p. n –1 q |
|
q n |
Энэ тархалтын тоон шинж чанарыг олцгооё.
А - тэргүүн байр математикийн хүлээлт DSV-ийн хувьд бидэнд байна
.
Ньютоны хоёртын систем болох тэгш байдлыг бичье
.
мөн p-тэй холбоотойгоор ялгах. Үүний үр дүнд бид авдаг
.
Зүүн болон үржүүлнэ баруун талдээр х:
.
Үүнийг харгалзан үзвэл х+ q=1, бидэнд байна
(6.2)
Тэгэхээр, онд тохиолдох үйл явдлын тоог математикийн хүлээлтn бие даасан туршилтуудтуршилтын тооны үржвэртэй тэнцүү байнаnмагадлал дээрхтуршилт бүрт ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох.
Томъёог ашиглан дисперсийг тооцоолъё
.
Үүний тулд бид олох болно
.
Эхлээд Ньютоны бином томъёог хоёр удаа ялгаж үзье х:
ба тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлнэ х 2:
Тиймээс,
Тэгэхээр бином тархалтын дисперс нь байна
.
(6.3)
Эдгээр үр дүнг зөвхөн чанарын үндэслэлээр олж авч болно. Бүх туршилтын явцад тохиолдсон А үйл явдлын нийт X тоо нь бие даасан туршилтуудад тохиолдсон үйл явдлын тооны нийлбэр юм. Тиймээс, хэрэв X 1 нь эхний туршилтын үед тохиолдсон үйл явдлын тоо, X 2 - хоёр дахь гэх мэт, дараа нь нийт тообүх туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох нь X=X 1 +X 2 +…+X-тэй тэнцүү байна n. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарын дагуу:
Тэгш байдлын баруун талд байгаа нэр томъёо бүр нь нэг туршилтын үйл явдлын тооны математикийн хүлээлт бөгөөд энэ нь тухайн үйл явдлын магадлалтай тэнцүү юм. Тиймээс,
Тархалтын шинж чанарын дагуу:
-ээс хойш, мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт 
, энэ нь зөвхөн хоёр утгыг, тухайлбал магадлал бүхий 1 2 утгыг авч болно хба 0 2 магадлалтай q, Тэр 
. Тиймээс, 
Үүний үр дүнд бид авдаг
Анхны болон төв моментуудын ойлголтыг ашиглан тэгш бус байдал ба куртозын томъёог олж авах боломжтой.
.
(6.4)
Цагаан будаа.
6.1 Дуран тархалтын олон өнцөгт байнадараагийн харах n (к(6.1-р зургийг үз). магадлалP к) эхлээд нэмэгдэх тусам нэмэгддэг , хүрдэгхамгийн өндөр үнэ цэнэ хдараа нь буурч эхэлдэг. Тохиолдолоос бусад тохиолдолд бином тархалт хазайсан байна =0.5. Хэзээ гэдгийг анхаарна ууих тоо nтуршилтуудДуран тархалт хэвийн хэмжээнд маш ойрхон байна. (Энэ саналын үндэслэл нь Мойвр-Лапласын орон нутгийн теоремтой холбоотой.)Тоо 0 мүйл явдал болох гэж нэрлэдэг хамгийн их магадлалтай, хэрэв энэ цуврал туршилтуудад өгөгдсөн олон удаа тохиолдох үйл явдлын магадлал хамгийн их байвал (тархалтын полигон дахь хамгийн их)
. Бином тархалтын хувьд Сэтгэгдэл.
(6.6)
Энэ тэгш бус байдлыг хоёр талын магадлалын давтагдах томьёог ашиглан баталж болно.Жишээ 6.1. Бүтээгдэхүүний эзлэх хувьдээд зэргийн
энэ аж ахуйн нэгжид 31% байна. Математикийн хүлээлт, хэлбэлзэл, түүнчлэн 75 бүтээгдэхүүнээс санамсаргүй байдлаар сонгосон багц дахь дээд зэрэглэлийн бүтээгдэхүүний хамгийн их магадлалтай тоо юу вэ? Шийдэл. х=0,31, q=0,69, nУчир нь
=75, тэгвэл М[] = n.p. X М[] = = 750.31 = 23.25; D[ = 750,310,69 = 16,04.
npq ТооХамгийн их магадлалтай тоог олохын тулд
0, давхар тэгш бус байдал үүсгэе Тоо 0 = 23.
Үүнийг дагадаг Ердийнхөөс ялгаатай бажигд хуваарилалт , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал ньР q) эсвэл 2) зоос "сүүл" (магадлал нь х = q). Хэрэв гурав дахь үр дүн гарахгүй бол х + q= 0.5 ба
= 1. Дуран тархалтын томьёог ашиглан та жишээ нь 50 удаагийн туршилтанд (зоос шидэх тоо) сүүлийнх нь толгой дээрээ 25 удаа буух магадлал хэд болохыг тодорхойлж болно.
nЦаашид хэлэлцэхийн тулд бид нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг танилцуулж байна.
- ажиглалтын нийт тоо;би
n – - ажиглалтын нийт тоо;- бидний сонирхсон үйл явдлын тоо (үр дүн);
х- өөр арга хэмжээний тоо;
q– бидний сонирхсон үйл явдлын эмпирик байдлаар тодорхойлсон (заримдаа тооцоолсон) магадлал;
- өөр үйл явдлын магадлал;П - ажиглалтын нийт тоо;) – бидний сонирхсон үйл явдлын урьдчилан таамагласан магадлал - ажиглалтын нийт тоо;тодорхой тооны ажиглалтын хувьд n.
Бином тархалтын томъёо:
Үйл явдлын ижил магадлалтай үр дүн гарсан тохиолдолд ( p = q) та хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно:
(6.8)
Сэтгэл судлалын судалгаанд бином тархалтын томъёог ашиглахыг харуулсан гурван жишээг авч үзье.
Жишээ 1
3 сурагч илүү төвөгтэй асуудлыг шийдсэн гэж үзье. Тэдгээрийн хувьд 2 үр дүн ижил магадлалтай: (+) - шийдэл, (-) - асуудлыг шийдэж чадаагүй. Нийт 8 өөр үр дүн гарах боломжтой (2 3 = 8).
Нэг ч сурагч даалгаврыг даван туулахгүй байх магадлал 1/8 (сонголт 8); 1 оюутан даалгаврыг даван туулах болно: - өөр үйл явдлын магадлал;= 3/8 (сонголт 4, 6, 7); 2 оюутан - - өөр үйл явдлын магадлал;= 3/8 (сонголт 2, 3, 5) ба 3 оюутан – - өөр үйл явдлын магадлал;=1/8 (сонголт 1).
5 сурагч тутмын гурав нь энэ даалгаврыг амжилттай даван туулах магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай.
Шийдэл
Нийт боломжтой үр дүн: 2 5 = 32.
3(+) ба 2(-) сонголтуудын нийт тоо
Тиймээс хүлээгдэж буй үр дүнгийн магадлал 10/32 » 0.31 байна.
Жишээ 3
Дасгал хийх
Санамсаргүй 10 субъектын бүлэгт 5 экстраверт байх магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл
1. Тэмдэглэгээг оруулна уу: p = q = 0,5; n= 10; i = 5; P 10 (5) = ?
2. Бид хялбаршуулсан томъёог ашигладаг (дээрээс харна уу):
Дүгнэлт
Санамсаргүй 10 субъектын дунд 5 экстраверт байх магадлал 0.246 байна.
Тэмдэглэл
1. Хангалттай олон тооны туршилтын томъёог ашиглан тооцоо хийх нь нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг тул эдгээр тохиолдолд бином хуваарилалтын хүснэгтийг ашиглахыг зөвлөж байна.
2. Зарим тохиолдолд утгууд хТэгээд qэхлээд тохируулж болно, гэхдээ үргэлж биш. Дүрмээр бол тэдгээрийг урьдчилсан туршилтын (туршилтын судалгаа) үр дүнд үндэслэн тооцдог.
3. Б график дүрслэл(координатаар Pn(- ажиглалтын нийт тоо;) = е(- ажиглалтын нийт тоо;)) бином тархалт байж болно өөр төрлийн: хэзээ p = qтархалт нь тэгш хэмтэй бөгөөд төстэй хэвийн тархалтГаусс; магадлалын ялгаа их байх тусам тархалтын тэгш бус байдал их байна хТэгээд q.
Пуассоны тархалт
Пуассоны тархалт нь бидний сонирхлыг татсан үйл явдлын магадлал маш бага үед хэрэглэгддэг бином тархалтын онцгой тохиолдол юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ хуваарилалт магадлалыг тодорхойлдог ховор тохиолдлууд. Пуассоны томъёог хэзээ хэрэглэж болно х < 0,01 и q ≥ 0,99.
Пуассоны тэгшитгэл нь ойролцоо утгатай бөгөөд дараах томъёогоор тодорхойлогддог.
(6.9)
Энд μ нь үйл явдлын дундаж магадлал ба ажиглалтын тооны үржвэр юм.
Жишээ болгон дараах асуудлыг шийдэх алгоритмыг авч үзье.
Даалгавар
Хэдэн жилийн турш ОХУ-ын 21 томоохон эмнэлгүүд Дауны хам шинжийн нярайд их хэмжээний үзлэг хийсэн (түүвэр нь эмнэлэг бүрт дунджаар 1000 нярай хүүхэд байсан). Дараах өгөгдлийг олж авлаа.
Дасгал хийх
1. Өвчний дундаж магадлалыг (шинэ төрсөн хүүхдийн тоогоор) тодорхойлно.
2. Нэг өвчинтэй нярайн дундаж тоог тодорхойл.
3. Санамсаргүй байдлаар сонгосон 100 нярайн дунд дауны синдромтой 2 хүүхэд төрөх магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл
1. Өвчний дундаж магадлалыг тодорхойлох. Ингэхдээ бид дараах зүйлийг баримтлах ёстой. Дауны өвчин 21 эмнэлгээс ердөө 10-д нь бүртгэгдсэн бөгөөд 11 эмнэлэгт өвчин илрээгүй, 6 эмнэлэгт 1, 2 эмнэлэгт 2, 1 эмнэлэгт 3, 1 эмнэлэгт 4 тохиолдол тус тус бүртгэгдсэн байна. . Өвчний 5 тохиолдол аль нэг эмнэлэгт илрээгүй. Өвчний дундаж магадлалыг тодорхойлохын тулд нийт тохиолдлын тоог (6 1 + 2 2 + 1 3 + 1 4 = 17) нярайн нийт тоонд (21000) хуваах шаардлагатай.
2. Нэг өвчинд ногдох шинэ төрсөн хүүхдийн тоо нь урвуу дундаж магадлал, өөрөөр хэлбэл шинэ төрсөн хүүхдийн нийт тоог бүртгэгдсэн тохиолдлын тоонд хуваасантай тэнцүү байна.
3. Утгыг орлуулах х = 0,00081, n= 100 ба - ажиглалтын нийт тоо;= 2 Пуассоны томъёонд:
Хариулт
Санамсаргүй байдлаар сонгосон 100 нярайн дунд дауны синдромтой 2 хүүхэд төрөх магадлал 0.003 (0.3%) байна.
Сэдвийн даалгаврууд
Асуудал 6.1
Дасгал хийх
5.1-р даалгаврын өгөгдлүүдийг ашиглан мэдрэгч-мотор урвалын үед VR тархалтын тэгш бус байдал ба куртозыг тооцоол.
Асуудал 6.2
200 оюутан төгсөх ангиудтагнуулын түвшнийг шалгасан ( IQ). Үүссэн тархалтыг хэвийн болгосны дараа IQСтандарт хазайлт дээр үндэслэн дараахь үр дүнг гаргав.
Дасгал хийх
Колмогоров ба хи-квадрат тестийг ашиглан үр дүнгийн үзүүлэлтүүдийн тархалт таарч байгаа эсэхийг тодорхойлно IQхэвийн.
Асуудал 6.3
Насанд хүрсэн хүн (25 настай эрэгтэй) 1 кГц тогтмол давтамжтай, 40 дБ эрчимтэй дууны өдөөлтөд хариу үйлдэл үзүүлэхэд энгийн мэдрэгч моторт урвалын (SR) хугацааг судалсан. Өдөөгчийг 3-5 секундын зайтай зуун удаа үзүүлэв. 100 давталт дахь АД-ын хувийн утгыг дараах байдлаар хуваарилав.
Дасгал хийх
1. VR тархалтын давтамжийн гистограммыг байгуулах; АД-ын дундаж утга ба хэмжээг тодорхойлно стандарт хэлбэлзэл.
2. АД-ын тархалтын тэгш бус байдлын коэффициент ба куртозын үзүүлэлтийг тооцоолох; олж авсан утгууд дээр үндэслэнэ гэх мэтТэгээд Жишээ ньөгөгдсөн тархалт хэвийн тархалттай тохирч байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргах.
Асуудал 6.4
1998 онд Нижний Тагил хотын сургуулийг 14 хүн (5 хүү, 9 охин) алтан медальтай, 26 хүн (8 хүү, 18 охин) мөнгөн медальтай төгссөн.
Асуулт
Охид хөвгүүдээс илүү олон удаа медаль авдаг гэж хэлж болох уу?
Анхаарна уу
Охид, хөвгүүдийн тооны харьцаа хүн амтэнцүү гэж үзнэ.
Асуудал 6.5
Нэг төрлийн субьектууд дахь экстраверт ба интроверт хүмүүсийн тоо ойролцоогоор ижил байдаг гэж үздэг.
Дасгал хийх
Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон 10 субъектийн бүлэгт 0, 1, 2, ..., 10 экстраверт байх магадлалыг тодорхойл. Өгөгдсөн бүлэгт 0, 1, 2, ..., 10 экстравертийг илрүүлэх магадлалын тархалтын график илэрхийллийг байгуул.
Асуудал 6. 6
Дасгал хийх
Магадлалыг тооцоол Pn(i) үед бином тархалтын функцууд х= 0.3 ба qутгуудын хувьд = 0.7 n= 5 ба - ажиглалтын нийт тоо;= 0, 1, 2, ..., 5. Хараат байдлын график илэрхийллийг байгуул Pn(i) =f(i) .
Асуудал 6. 7
IN өнгөрсөн жилХүн амын тодорхой хэсгийн дунд итгэл үнэмшил зурхайн таамаглал. Урьдчилсан судалгааны дүнгээс харахад хүн амын 15 орчим хувь нь зурхайд итгэдэг нь тогтоогджээ.
Дасгал хийх
Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон 10 оролцогчийн дунд зурхайн таамаглалд итгэдэг 1, 2, 3 хүн байх магадлалыг тодорхойл.
Асуудал 6.8
Даалгавар
42 настай дунд сургуулиудЕкатеринбург, Свердловск мужид (нийт оюутнуудын тоо 12,260 хүн) хэдэн жилийн хугацаанд дараахь тооны тохиолдлыг илрүүлжээ. сэтгэцийн эмгэгсургуулийн сурагчдын дунд:
Дасгал хийх
Сургуулийн 1000 хүүхдийг түүвэрлэе. Эдгээр мянган сургуулийн сурагчдын дунд сэтгэцийн өвчтэй 1, 2, 3 хүүхэд илрэх магадлал хэд вэ?
БҮЛЭГ 7. ЗӨРӨГИЙН ХЭМЖЭЭ
Асуудлын томъёолол
Бидэнд бие даасан хоёр сэдвийн түүвэр байна гэж бодъё XТэгээд цагт. Бие даасанижил сэдэв (субъект) зөвхөн нэг түүвэрт гарч ирвэл дээжийг авч үзнэ. Даалгавар бол эдгээр дээжийг (хоёр цуврал хувьсагч) өөр хоорондоо ялгааг нь харьцуулах явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, эхний болон хоёр дахь түүврийн хувьсагчдын утгууд хэр ойрхон байгаагаас үл хамааран тэдгээрийн хоорондын зарим, бүр бага зэргийн ялгаа илрэх болно. Математик статистикийн үүднээс авч үзвэл эдгээр түүврийн хоорондох ялгаа нь статистикийн хувьд найдвартай (статистикийн хувьд чухал) эсвэл найдваргүй (санамсаргүй) эсэх асуудлыг сонирхож байна.
Дээж хоорондын зөрүүний найдвартай байдлын хамгийн нийтлэг шалгуур бол ялгааны параметрийн хэмжүүр юм. Оюутны тестТэгээд Фишерийн туршилт. Зарим тохиолдолд параметрийн бус шалгуурыг ашигладаг - Розенбаумын Q тест, U-тест Манна-Уитни гэх мэт тусгай байр эзэлдэг Фишерийн өнцгийн хувиргалт φ*, хувь (хувь) хэлбэрээр илэрхийлсэн утгуудыг бие биетэйгээ харьцуулах боломжийг танд олгоно. Тэгээд эцэст нь яаж онцгой тохиолдол, дээжийг харьцуулахын тулд түүврийн тархалтын хэлбэрийг тодорхойлсон шалгуурыг ашиглаж болно - Пирсоны χ2 тестТэгээд Колмогоров-Смирнов λ шалгуур.
Энэ сэдвийг илүү сайн ойлгохын тулд бид дараахь зүйлийг хийх болно. Бид дөрөв ашиглан дөрвөн аргыг ашиглан ижил асуудлыг шийдэх болно янз бүрийн шалгуур– Розенбаум, Манн-Уитни, Оюутан, Фишер.
Даалгавар
Шалгалтын үеэр 30 сурагч (14 хүү, 16 охин) Спилбергерийн тестийг ашиглан реактив түгшүүрийн түвшинг шалгасан. Дараах үр дүнг олж авав (Хүснэгт 7.1).
Хүснэгт 7.1
| Сэдвүүд | Реактив түгшүүрийн түвшин | |||||||||||||||
| Хөвгүүд | ||||||||||||||||
| Охидууд |
Дасгал хийх
Хөвгүүд, охидын реактив түгшүүрийн түвшний ялгаа нь статистик ач холбогдолтой эсэхийг тодорхойлох.
Энэ даалгавар нь боловсролын сэтгэл судлалын чиглэлээр мэргэшсэн сэтгэл судлаачийн хувьд ердийн зүйл мэт санагддаг: шалгалтын стрессийг хэн илүү мэдэрдэг вэ - охид эсвэл хөвгүүд үү? Хэрэв түүврийн хоорондох ялгаа нь статистикийн хувьд ач холбогдолтой бол энэ тал дээр хүйсийн ялгаа их байна; хэрэв ялгаа нь санамсаргүй (статистикийн хувьд найдваргүй) байвал энэ таамаглалыг орхих хэрэгтэй.
7. 2. Параметрийн бус тест QРозенбаум
Q-Розенбаумын шалгуур нь бие биенээ "давхардсан" хоёр бие даасан хувьсагчийн утгуудын эрэмбийн цувааны харьцуулалт дээр суурилдаг. Үүний зэрэгцээ, цуврал бүрийн доторх шинж чанарын тархалтын шинж чанарыг шинжлэхгүй энэ тохиолдолдХамгийн чухал зүйл бол хоёр эрэмблэгдсэн цувралын давхцаагүй хэсгүүдийн өргөн юм. Хоёр эрэмблэгдсэн хувьсагчийн цувааг харьцуулахдаа 3 хувилбар боломжтой:
1. Эрэмбэлэгдсэн эгнээ xТэгээд yдавхцах талбай байхгүй, өөрөөр хэлбэл эхний эрэмбэлсэн мөрийн бүх утгууд ( x) хоёр дахь эгнээний бүх утгаас их байна( y):
Энэ тохиолдолд дээжийн ялгааг аль нэгээр нь тодорхойлно статистикийн шалгуур, найдвартай бөгөөд Rosenbaum шалгуурыг ашиглах шаардлагагүй. Гэсэн хэдий ч практик дээр энэ сонголт маш ховор байдаг.
2. Эрэмбэлэгдсэн мөрүүд нь бие биентэйгээ бүрэн давхцдаг (дүрмээр бол эгнээний нэг нь нөгөөгийнхөө дотор байдаг), давхцаагүй бүс байхгүй. Энэ тохиолдолд Розенбаумын шалгуурыг ашиглах боломжгүй.
3. Давхардсан эгнээ, мөн давхардалгүй хоёр хэсэг ( N 1Тэгээд N 2), хамааралтай өөрэрэмбэлсэн мөрүүд (заавал X- эгнээ том руу шилжсэн, y– доод утгууд руу):
Энэ тохиолдол нь Розенбаумын шалгуурыг ашиглахад ердийн зүйл бөгөөд үүнийг ашиглахдаа дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.
1. Дээж бүрийн хэмжээ 11-ээс багагүй байх ёстой.
2. Дээжийн хэмжээ нь бие биенээсээ эрс ялгаатай байх ёсгүй.
Шалгуур QРозенбаум нь давхцаагүй утгуудын тоотой тохирч байна: Q = Н 1 +Н 2 . Дээж хоорондын зөрүүний найдвартай байдлын талаархи дүгнэлтийг хэрэв Q>Qкр . Энэ тохиолдолд утгууд Q kr нь тусгай хүснэгтэд байна (Хавсралт, Хүснэгт VIII-ийг үзнэ үү).
Даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. X- охидын жишээ, y- залуу эрэгтэйчүүдийн жишээ. Дээж бүрийн хувьд бид эрэмбэлсэн цувралыг бүтээдэг:
X: 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46
y: 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44
Бид эрэмбэлсэн цувралын давхцаагүй хэсгүүдийн утгын тоог тоолдог. Дараалан Xдавхцаагүй утгууд нь 45 ба 46, өөрөөр хэлбэл. Н 1 = 2; дараалсан yзөвхөн 1 давхцаагүй утга 26, i.e. Н 2 = 1. Тиймээс, Q = Н 1 +Н 2 = 1 + 2 = 3.
Хүснэгтэнд VIII Хавсралтаас бид үүнийг олж мэдсэн Qкр . = 7 (0.95-ийн ач холбогдлын хувьд) ба Q cr = 9 (0.99-ийн ач холбогдлын түвшний хувьд).
Дүгнэлт
Учир нь Q<Q kr, дараа нь Rosenbaum шалгуурын дагуу түүврийн хоорондын ялгаа нь статистикийн хувьд чухал биш юм.
Анхаарна уу
Розенбаумын шалгуурыг хувьсагчийн тархалтын шинж чанараас үл хамааран ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд хоёр дээж дэх тархалтын төрлийг тодорхойлохын тулд Пирсоны χ 2 ба Колмогоровын λ тестийг ашиглах шаардлагагүй болно.
7. 3. У-Манн-Уитни тест
Розенбаумын шалгуураас ялгаатай нь У-Манн-Уитни тест нь эрэмблэгдсэн хоёр цувралын давхцлын бүсийг тодорхойлоход суурилдаг, өөрөөр хэлбэл давхцах бүс бага байх тусам дээжийн ялгаа найдвартай байх болно. Энэ зорилгоор интервалын хуваарийг зэрэглэлийн хуваарь болгон хувиргах тусгай процедурыг ашигладаг.
Тооцооллын алгоритмыг дагуу авч үзье У-өмнөх асуудлын жишээн дээр үндэслэсэн шалгуур.
Хүснэгт 7.2
| x, y | Р xy | Р xy * | Р x | Р y |
| 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44 | 2,5 2,5 5,5 5,5 11,5 11,5 16,5 16,5 18,5 18,5 20,5 20,5 25,5 25,5 27,5 27,5 | 2,5 11,5 16,5 18,5 20,5 25,5 27,5 | 1 2,5 5,5 5,5 7 9 11,5 15 16,5 18,5 20,5 23 25,5 27,5 | |
| Σ | 276,5 | 188,5 |
1. Бид хоёр бие даасан дээжээс нэг эрэмблэгдсэн цувралыг бүтээдэг. Энэ тохиолдолд хоёр дээжийн утгууд холилдсон, 1-р багана ( x, y). Цаашдын ажлыг хялбаршуулахын тулд (компьютерийн хувилбарыг оруулаад) янз бүрийн дээжийн утгыг ирээдүйд өөр өөр баганад тараах болно гэдгийг харгалзан өөр фонтоор (эсвэл өөр өнгөөр) тэмдэглэнэ.
2. Утгын интервалын хуваарийг дараалал болгон хувиргах (үүнийг хийхийн тулд бид бүх утгыг 1-ээс 30 хүртэлх эрэмбийн тоогоор, 2-р баганад дахин тодорхойлно. Р xy)).
3. Бид холбогдох зэрэглэлд залруулга оруулж байна (зэрэглэлүүдийн нийлбэр өөрчлөгдөхгүй тохиолдолд хувьсагчийн ижил утгыг ижил зэрэглэлээр тэмдэглэнэ, багана 3 ( Р xy *). Энэ үе шатанд 2, 3-р баганад зэрэглэлийн нийлбэрийг тооцоолохыг зөвлөж байна (хэрэв бүх нэмэлт өөрчлөлтийг зөв оруулсан бол эдгээр нийлбэрүүд тэнцүү байх ёстой).
4. Бид эрэмбийн дугаарыг тухайн түүвэрт хамаарахаар нь хуваарилдаг (4 ба 5-р багана ( Р x ба Ру)).
5. Бид дараах томъёог ашиглан тооцоо хийдэг.
(7.1)
Хаана Т x – зэрэглэлийн нийлбэрүүдийн хамгийн том нь ; n x ба n y , тус тус түүврийн хэмжээ. Энэ тохиолдолд үүнийг санаж байх хэрэгтэй, хэрэв Т x< Т y , дараа нь тэмдэглэгээ xТэгээд yбуцаах ёстой.
6. Бид олж авсан утгыг нэг хүснэгттэй харьцуулна (Хавсралт, Хүснэгт IX-ийг үзнэ үү, хэрэв хоёр түүврийн зөрүүний найдвартай байдлын талаархи дүгнэлтийг хийсэн бол). У exp.< Укр. .
Бидний жишээнд 
У exp. = 83.5 > U cr. = 71.
Дүгнэлт
Манн-Уитни тестийн дагуу хоёр түүврийн ялгаа нь статистикийн хувьд чухал биш юм.
Тэмдэглэл
1. Манн-Уитнигийн шалгуурт бараг хязгаарлалт байхгүй; Харьцуулах дээжийн хамгийн бага хэмжээ нь 2 ба 5 хүн байна (Хавсралт IX хүснэгтийг үзнэ үү).
2. Розенбаумын тесттэй адил тархалтын шинж чанараас үл хамааран Манн-Уитни тестийг ямар ч дээжтэй холбож хэрэглэж болно.
Оюутны тест
Розенбаум, Манн-Уитни нарын шалгуураас ялгаатай нь шалгуур тОюутны t тест нь параметрийн шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл энэ нь үндсэн зүйлийн тодорхойлолт дээр суурилдаг статистик үзүүлэлтүүд- түүвэр тус бүрийн дундаж утгууд ( ба ) ба тэдгээрийн хэлбэлзэл (s 2 x ба s 2 y), стандарт томъёогоор тооцоолсон (5-р хэсгийг үзнэ үү).
Оюутны t-тестийг ашигласнаар дараах нөхцөлүүд хангагдсан гэж үзнэ.
1. Хоёр дээжийн утгын тархалт нь хэвийн тархалтын хуультай тохирч байх ёстой (6-р хэсгийг үзнэ үү).
2. Түүврийн нийт хэмжээ дор хаяж 30 (β 1 = 0.95), 100 (β 2 = 0.99) байх ёстой.
3. Хоёр дээжийн эзэлхүүн нь бие биенээсээ мэдэгдэхүйц ялгаатай байх ёсгүй (1.5 ÷ 2 дахин ихгүй).
Оюутны тестийн санаа нь маш энгийн. Түүвэр тус бүрийн хувьсагчийн утгууд нь ердийн хуулийн дагуу тархсан гэж үзье, өөрөөр хэлбэл бид бие биенээсээ дундаж утга ба тархалтаар ялгаатай хоёр хэвийн тархалттай харьцаж байна (ба , ба , тус тус 7.1-р зургийг үз).
с xс y
Цагаан будаа. 7.1. Хоёр бие даасан түүврийн ялгааг тооцоолох: ба - түүврийн дундаж xТэгээд y; s x ба s y - стандарт хазайлт
Хоёр түүврийн хоорондох ялгаа их байх тусам дундажуудын ялгаа их байх ба тэдгээрийн хэлбэлзэл (эсвэл стандарт хазайлт) бага байх болно гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг.
Бие даасан түүврийн хувьд оюутны коэффициентийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
(7.2)
Хаана n x ба n y – тус тус дээжийн тоо xТэгээд y.
Стандарт (чухал) утгын хүснэгтэд оюутны коэффициентийг тооцоолсны дараа т(Хавсралт, Хүснэгт X-ийг үзнэ үү) эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоонд тохирох утгыг ол n = n x+ n y – 2, томъёогоор тооцсонтой харьцуулна уу. Хэрэв т exp. £ ткр. , дараа нь түүврийн хоорондох ялгааны найдвартай байдлын талаархи таамаглалыг үгүйсгэдэг, хэрэв т exp. > ткр. , дараа нь үүнийг хүлээн зөвшөөрнө. Өөрөөр хэлбэл, томьёог ашиглан тооцоолсон Оюутны коэффициент нь харгалзах ач холбогдлын түвшний хүснэгтийн утгаас их байвал дээжүүд бие биенээсээ эрс ялгаатай байна.
Бидний өмнө нь авч үзсэн асуудалд дундаж утгууд ба хэлбэлзлийг тооцоолох нь дараахь утгыг өгдөг. xЛхагва = 38.5; σ x 2 = 28.40; цагтЛхагва = 36.2; σ y 2 = 31.72.
Бүлгийн охидын түгшүүрийн дундаж утга хөвгүүдийнхээс өндөр байгаа нь харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч эдгээр ялгаа нь маш бага тул статистикийн хувьд ач холбогдолтой байх магадлал багатай юм. Хөвгүүдийн үнэ цэнийн тархалт нь эсрэгээрээ охидынхоос арай өндөр боловч тархалтын хоорондын ялгаа бага байна.
Дүгнэлт
т exp. = 1.14< ткр. = 2.05 (β 1 = 0.95). Хоёр харьцуулсан түүврийн ялгаа нь статистикийн хувьд чухал биш юм. Энэхүү дүгнэлт нь Розенбаум ба Манн-Уитнигийн шалгуурыг ашиглан олж авсан дүгнэлттэй нэлээд нийцэж байна.
Оюутны t тест ашиглан хоёр түүврийн ялгааг тодорхойлох өөр нэг арга бол стандарт хазайлтын итгэлийн интервалыг тооцоолох явдал юм. Итгэлийн интервал гэдэг нь дундаж квадрат (стандарт) хазайлтыг түүврийн хэмжээний квадрат язгуурт хувааж, Оюутны коэффициентийн стандарт утгаар үржүүлсэн утга юм. n– 1 зэрэг эрх чөлөө (тус тус, ба ).
Анхаарна уу
Утга = м xязгуур дундаж квадрат алдаа гэж нэрлэдэг (5-р хэсгийг үзнэ үү). Иймд итгэлцлийн интервал нь өгөгдсөн түүврийн хэмжээний Студентийн коэффициентоор үржүүлсэн язгуур квадратын алдаа юм, энд эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо ν = n– 1, өгөгдсөн ач холбогдлын түвшин.
Хэрэв бие биенээсээ хамааралгүй хоёр түүврийг мэдэгдэхүйц ялгаатай гэж үзнэ итгэлцлийн интервалуудУчир нь эдгээр дээжүүд хоорондоо давхцдаггүй. Манай тохиолдолд эхний дээжийн хувьд 38.5 ± 2.84, хоёр дахь нь 36.2 ± 3.38 байна.
Тиймээс санамсаргүй өөрчлөлтүүд x i 35.66 ¸ 41.34 мужид хэвтэж, өөрчлөлтүүд y i– 32.82 ¸ 39.58 мужид. Үүний үндсэн дээр дээжийн ялгааг хэлж болно xТэгээд yстатистикийн хувьд найдваргүй (хувилбарын хүрээ нь хоорондоо давхцдаг). Энэ тохиолдолд давхцах бүсийн өргөн нь хамаагүй гэдгийг санах нь зүйтэй (зөвхөн итгэлцлийн интервалын давхцал нь чухал юм).
Бие биенээсээ хамааралтай түүврийн Оюутны аргыг (жишээлбэл, ижил түүвэр дээр давтан туршилтаар олж авсан үр дүнг харьцуулах) маш ховор хэрэглэгддэг, учир нь эдгээр зорилгоор бусад илүү мэдээлэл сайтай статистикийн аргууд байдаг (10-р хэсгийг үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч, энэ зорилгоор эхний ойролцоолсон байдлаар та дараах хэлбэрийн Оюутны томъёог ашиглаж болно.
(7.3)
Хүлээн авсан үр дүнг харьцуулна хүснэгтийн утгаУчир нь n– 1 зэрэг эрх чөлөө, хаана n- хос утгын тоо xТэгээд y. Харьцуулалтын үр дүнг бие даасан хоёр түүврийн зөрүүг тооцоолохтой адилаар тайлбарлана.
Фишерийн шалгуур
Фишерийн шалгуур ( Ф) нь Оюутны тесттэй ижил зарчим дээр суурилдаг, өөрөөр хэлбэл харьцуулсан түүврийн дундаж утга ба хэлбэлзлийг тооцоолоход оршино. Энэ нь тэгш бус хэмжээтэй (тоогоор ялгаатай) дээжийг бие биетэйгээ харьцуулахдаа ихэвчлэн ашиглагддаг. Фишерийн тест нь Оюутны тестээс арай илүү хатуу тул ялгааны ач холбогдлын талаар эргэлзэж байгаа тохиолдолд илүү тохиромжтой байдаг (жишээлбэл, хэрэв Оюутны тестийн дагуу ялгаа нь 0-д мэдэгдэхүйц, найдваргүй бол) ач холбогдлын эхний түвшин).
Фишерийн томъёо дараах байдалтай байна.
(7.4)
хаана ба 
(7.5, 7.6)
Бидний авч үзэж байгаа асуудалд г 2= 5.29; σ z 2 = 29.94.
Томъёонд утгыг орлуулна уу: 
Хүснэгтэнд XI Хавсралтаас бид ач холбогдлын түвшний хувьд β 1 = 0.95 ба ν = болохыг олж мэдэв. n x+ n y – 2 = 28 чухал утга нь 4.20 байна.
Дүгнэлт
Ф = 1,32 < F cr.= 4.20. Түүврийн хоорондох ялгаа нь статистикийн хувьд чухал биш юм.
Анхаарна уу
Фишерийн тестийг ашиглахдаа Оюутны t тесттэй ижил нөхцөлийг хангасан байх ёстой (7.4-р хэсгийг үзнэ үү). Гэхдээ түүврийн хэмжээ хоёроос дээш удаа зөрүүтэй байхыг зөвшөөрдөг.
Тиймээс дөрөвтэй ижил асуудлыг шийдэхэд янз бүрийн аргаХоёр параметрийн бус ба хоёр параметрийн шалгуурыг ашиглан бид охидын бүлэг болон хөвгүүдийн бүлгийн реактив түгшүүрийн түвшний ялгаа нь тийм ч чухал биш (өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэлбэлзлийн хүрээнд байсан) гэсэн хоёрдмол утгагүй дүгнэлтэд хүрсэн. . Гэсэн хэдий ч хоёрдмол утгагүй дүгнэлт хийх боломжгүй тохиолдол байж болно: зарим шалгуур нь найдвартай, бусад нь найдваргүй ялгааг өгдөг. Эдгээр тохиолдолд параметрийн шалгуурт давуу эрх олгоно (түүврийн хангалттай хэмжээ, судлагдсан утгын хэвийн тархалтаас хамаарна).
7. 6. j* шалгуур - Фишерийн өнцгийн хувиргалт
j*Фишерийн шалгуур нь судлаачийн сонирхсон нөлөөллийн давтамжийн дагуу хоёр дээжийг харьцуулах зорилготой. Энэ нь ашиг сонирхлын нөлөөг бүртгэсэн хоёр түүврийн хувийн жингийн ялгааны ач холбогдлыг үнэлдэг. Мөн ижил түүвэр доторх хувийг харьцуулах боломжтой.
Мөн чанар өнцгийн хувиргалтФишер нь хувь хэмжээг радианаар хэмждэг төв өнцгийн утга болгон хувиргахаас бүрдэнэ. Илүү их хувь нь том өнцөгт тохирно j, ба бага хувь нь жижиг өнцөг, гэхдээ энд хамаарал нь шугаман бус байна:
Хаана Р– нэгжийн бутархайгаар илэрхийлэгдэх хувь.
j 1 ба j 2 өнцгийн хоорондох зөрүү нэмэгдэж, дээжийн тоо нэмэгдэх тусам шалгуур үзүүлэлтийн утга нэмэгдэнэ.
Фишерийн шалгуурыг дараах томъёогоор тооцоолно.
 |
Энд j 1 нь илүү их хувьтай тохирох өнцөг; j 2 – бага хувьтай тохирох өнцөг; n 1 ба n 2 – эхний болон хоёр дахь дээжийн эзэлхүүн тус тус.
Томъёогоор тооцсон утгыг стандарттай харьцуулна (b 1 = 0.95 бол j* st = 1.64, b 2 = 0.99 бол j* st = 2.31. Хоёр түүврийн ялгааг j*> j* st хувьд статистик ач холбогдолтой гэж үзнэ. өгөгдсөн ач холбогдлын түвшин.
Жишээ
Хоёр бүлгийн сурагчид хангалттай дүүргэх амжилтаараа бие биенээсээ ялгаатай эсэхийг бид сонирхож байна нарийн төвөгтэй даалгавар. 20 хүнтэй эхний бүлэгт 12 оюутан, хоёрдугаарт 25 хүнээс 10 нь үүнийг даван туулсан.
Шийдэл
1. Тэмдэглэгээг оруулна уу: n 1 = 20, n 2 = 25.
2. Хувь хэмжээг тооцоол Р 1 ба Р 2: Р 1 = 12 / 20 = 0,6 (60%), Р 2 = 10 / 25 = 0,4 (40%).
3. Хүснэгтэнд. XII Хавсралтаас бид φ-ийн харгалзах хувийн утгыг олно: j 1 = 1.772, j 2 = 1.369.
 |
Эндээс:
Дүгнэлт
j* тул бүлгүүдийн хоорондын ялгаа нь статистикийн хувьд чухал биш юм.< j* ст для 1-го и тем более для 2-го уровня значимости.
7.7. Пирсоны χ2 тест, Колмогоровын λ тестийг ашиглах
7-р бүлэг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын тусгай хуулиуд
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн төрлүүд
Салангид байцгаая санамсаргүй утгаутгыг авч болно X 1 , X 2 , …, x n,…. Эдгээр утгын магадлалыг тооцоолж болно янз бүрийн томъёоЖишээлбэл, магадлалын онолын үндсэн теоремууд, Бернуллигийн томьёо эсвэл бусад томъёог ашиглан. Эдгээр томъёоны заримын хувьд хуваарилалтын хууль нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хамгийн түгээмэл хуулиуд нь бином, геометр, гипергеометр, Пуассоны тархалтын хууль юм.
Бином тархалтын хууль
Үүнийг үйлдвэрлэе nбие даасан туршилтууд, тэдгээрт үйл явдал тохиолдож болох эсвэл харагдахгүй байж болно А. Туршилт бүрт тохиолдох энэ үйл явдлын магадлал тогтмол бөгөөд туршилтын тооноос хамаарахгүй бөгөөд үүнтэй тэнцүү байна. , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал нь=Р(А). Тиймээс үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал Атест бүрт мөн тогтмол бөгөөд тэнцүү байна q=1–, судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал нь. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье Xүйл явдлын тохиолдлын тоотой тэнцүү байна АВ nтуршилтууд. Мэдээжийн хэрэг, энэ хэмжигдэхүүний утга тэнцүү байна
X 1 =0 – үйл явдал АВ nтуршилтууд гарч ирээгүй;
X 2 =1 – үйл явдал АВ nтуршилтанд нэг удаа гарч ирсэн;
X 3 =2 – үйл явдал АВ nтуршилтууд хоёр удаа гарсан;
…………………………………………………………..
x n +1 = n- үйл явдал АВ nТуршилтын үеэр бүх зүйл гарч ирэв nнэг удаа.
Эдгээр утгын магадлалыг Бернулли томъёог (4.1) ашиглан тооцоолж болно.
Хаана руу=0, 1, 2, …,n .
Бином тархалтын хууль X, амжилтын тоотой тэнцүү байна nБернулли тестүүд амжилттай болох магадлалтай , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал нь.
Тиймээс, дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит утгууд нь 0, 1, 2, ... бол бином тархалттай (эсвэл хоёрномын хуулийн дагуу тархсан) байна. n, харгалзах магадлалыг (7.1) томъёогоор тооцоолно.
Бином тархалт нь хоёроос хамаарна параметрүүд , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал ньТэгээд n.
Дурангийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь дараах хэлбэртэй байна.
| X | … | к | … | n | ||
| Р |  | … | … |  |
Жишээ 7.1 . Зорилтот руу гурван бие даасан буудлага хийдэг. Буудсан тус бүрийг онох магадлал 0.4 байна. Санамсаргүй утга X- зорилтот цохилтын тоо. Түүний түгээлтийн цувралыг байгуул.
энэ аж ахуйн нэгжид 31% байна. Математикийн хүлээлт, хэлбэлзэл, түүнчлэн 75 бүтээгдэхүүнээс санамсаргүй байдлаар сонгосон багц дахь дээд зэрэглэлийн бүтээгдэхүүний хамгийн их магадлалтай тоо юу вэ? Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд Xбайна X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4 =3. Бернуллигийн томьёог ашиглан харгалзах магадлалыг олъё. Энэ томъёог энд ашиглах нь бүрэн үндэслэлтэй гэдгийг харуулах нь тийм ч хэцүү биш юм. Нэг сумаар бай онохгүй байх магадлал 1-0.4=0.6 байх болно гэдгийг анхаарна уу. Бид авдаг
Түгээлтийн цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.
| X | ||||
| Р | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Бүх магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү гэдгийг шалгахад хялбар. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн өөрөө Xбином хуулийн дагуу хуваарилагдана. ■
Хоёр гишүүний хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг олъё.
Жишээ 6.5-ыг шийдвэрлэхэд тухайн үйл явдал тохиолдох тооны математик хүлээлтийг харуулсан. АВ nбие даасан туршилт, хэрэв үүсэх магадлал Атест бүрт тогтмол бөгөөд тэнцүү байна , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал нь, тэнцүү байна n· , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал нь
Энэ жишээнд дуран хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг ашигласан. Иймд жишээ 6.5-ын шийдэл нь үндсэндээ дараах теоремын баталгаа болно.
Теорем 7.1.Хоёрномын хуулийн дагуу тархсан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь туршилтын тоо ба "амжилт"-ын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. М(X)=n· Р.
Теорем 7.2.Хоёр гишүүний хуулийн дагуу тархсан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь туршилтын тоог "амжилт" ба "бүтэлгүйтлийн" магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Д(X)=nрq.
Дурангийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тэгш бус байдал ба куртозыг томъёогоор тодорхойлно.
Эдгээр томъёог анхдагч ба төвийн моментуудын ойлголтыг ашиглан олж авч болно.
Хоёр гишүүний тархалтын хууль нь бодит амьдралын олон нөхцөл байдлын үндэс суурь болдог. Том утгын хувьд nБусад тархалт, тухайлбал Пуассоны тархалтыг ашиглан binomial тархалтыг ойртуулж болно.
Пуассоны тархалт
Байг nБернулли тестүүд, шинжилгээний тоогоор nхангалттай том. Энэ тохиолдолд (түүнээс гадна магадлал байгаа бол) гэдгийг өмнө нь харуулсан , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал ньүйл явдал Амаш жижиг) үйл явдал болох магадлалыг олох Агарч ирэх ТТуршилтанд орсны дараа та Пуассоны томъёог (4.9) ашиглаж болно. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xүйл явдлын тохиолдлын тоог илэрхийлнэ АВ nБернулли тест, дараа нь магадлал Xүнэ цэнийг авах болно ктомъёог ашиглан тооцоолж болно
, (7.2)
Хаана λ = nр.
Пуассоны тархалтын хуульдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг гэнэ X, тэдгээрийн боломжит утгууд нь сөрөг бус бүхэл тоо, магадлал r tЭдгээр утгыг (7.2) томъёог ашиглан олно.
Хэмжээ λ = nрдуудсан параметрПуассоны хуваарилалт.
Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй тооны утгыг авч болно. Учир нь энэ хуваарилалтын хувьд магадлал , судлагдсан субьектуудын түүвэр дэх хувьсагчийн зан төлөвийг дүрслэхийн тулд бином тархалтыг бусад зорилгоор ашигладаг. Энэ нь тодорхой тооны бие даасан туршилтын явцад бие биенээ үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлын магадлалыг урьдчилан таамаглахад үйлчилдэг. Дуран тархалтын сонгодог жишээ бол хатуу гадаргуу дээр унасан зоос шидэх явдал юм. Хоёр үр дүн (үйл явдал) ижил магадлалтай: 1) зоос унасан (магадлал ньТуршилт бүрт үйл явдал гарах нь бага байдаг тул энэ хуваарилалтыг заримдаа ховор тохиолдлын хууль гэж нэрлэдэг.
Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь хэлбэртэй байна
| X | … | Т | … | ||||
| Р | … | … |
Хоёрдахь эгнээний магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байгаа эсэхийг шалгахад хялбар. Үүнийг хийхийн тулд функцийг Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлж болох бөгөөд энэ нь дурын мөрөнд нийлдэг гэдгийг санах хэрэгтэй. X. Энэ тохиолдолд бидэнд байна
. (7.3)
Дээр дурдсанчлан Пуассоны хууль нь тодорхой хязгаарлагдмал тохиолдлуудад бином хуулийг орлуулдаг. Жишээ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X, утгууд нь давтан ашиглах үед тодорхой хугацааны туршид гарсан эвдрэлийн тоотой тэнцүү байна техникийн төхөөрөмж. Энэ төхөөрөмж гэж таамаглаж байна өндөр найдвартай байдал, өөрөөр хэлбэл Нэг хэрэглээнд алдаа гарах магадлал маш бага байна.
Ийм хязгаарлагдмал тохиолдлуудаас гадна практикт Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бином тархалттай холбоогүй байдаг. Жишээлбэл, Пуассоны тархалтыг тодорхой хугацааны туршид тохиолдсон үйл явдлын тоог (нэг цагийн дотор утасны станцад хүлээн авсан дуудлагын тоо, өдрийн турш машин угаалгын газарт ирсэн машины тоо, долоо хоногт машин зогсох тоо гэх мэт.). Эдгээр бүх үйл явдлууд нь онолын үндсэн ойлголтуудын нэг болох үйл явдлын урсгал гэгдэх ёстой дараалал. Параметр λ үйл явдлын урсгалын дундаж эрчмийг тодорхойлдог.
Магадлалын онол бидний амьдралд үл үзэгдэх байдлаар оршдог. Бид үүнийг анхаарч үздэггүй ч бидний амьдралд тохиолдож буй үйл явдал бүр нэг юмуу өөр магадлалтай байдаг. Олон тооны боломжит хувилбаруудыг харгалзан үзэхэд бид тэдгээрийн хамгийн боломжит, хамгийн бага магадлалтайг тодорхойлох шаардлагатай болж байна. Ийм магадлалын өгөгдлийг графикаар шинжлэх нь хамгийн тохиромжтой. Үүнийг түгээх нь бидэнд тусалж чадна. Binamial бол хамгийн хялбар бөгөөд үнэн зөвийн нэг юм.
Математик ба магадлалын онол руу шууд шилжихээсээ өмнө энэ төрлийн тархалтыг хэн анх гаргаж ирсэн, энэ үзэл баримтлалын математик аппаратын хөгжлийн түүх юу болохыг олж мэдье.
Өгүүллэг
Магадлалын тухай ойлголт эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан. Гэвч эртний математикчид үүнд нэг их ач холбогдол өгөөгүй бөгөөд хожим магадлалын онол болсон онолын үндэс суурийг л тавьж чадсан юм. Тэд дараа нь онолыг өөрөө бий болгож, хөгжүүлсэн хүмүүст ихээхэн тусалсан зарим нэгдмэл аргуудыг бий болгосон.
XVII зууны хоёрдугаар хагаст магадлалын онолын үндсэн ойлголт, арга зүй бүрэлдэж эхэлсэн. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхойлолт, энгийн болон зарим нийлмэл бие даасан, хамааралтай үйл явдлын магадлалыг тооцоолох аргуудыг танилцуулав. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба магадлалыг сонирхох нь мөрийтэй тоглоомоор тодорхойлогддог: хүн бүр тоглоомд ялах боломжоо мэдэхийг хүсдэг байв.
Дараагийн шат нь магадлалын онолд математик шинжилгээний аргуудыг ашиглах явдал байв. Лаплас, Гаусс, Пуассон, Бернулли зэрэг нэрт математикчид энэ ажлыг гүйцэтгэсэн. Математикийн энэ чиглэлийг шинэ түвшинд ахиулсан хүмүүс нь тэд юм. Хоёр тоот тархалтын хуулийг нээсэн хүн бол Жеймс Бернулли юм. Дашрамд хэлэхэд, бид дараа нь олж мэдэх болно, энэ нээлтийн үндсэн дээр өөр хэд хэдэн нээлт хийсэн нь хэвийн тархалтын хууль болон бусад олон зүйлийг бий болгох боломжийг олгосон юм.
Одоо бид бином тархалтыг тайлбарлахаасаа өмнө магадгүй сургуулиасаа мартсан магадлалын онолын тухай ойлголтыг бага зэрэг сэргээх болно.
Магадлалын онолын үндэс
Бид ийм системийг авч үзэх болно, үүний үр дүнд "амжилт" ба "бүтэлгүйтэл" гэсэн хоёр л үр дүн гарах боломжтой. Үүнийг жишээгээр ойлгоход хялбар: бид зоос шидэж, энэ нь толгой дээр гарах болно гэж найдаж байна. Зоос төгс тэнцвэртэй, туршилтанд нөлөөлж болох бусад хүчин зүйл байхгүй тохиолдолд боломжит үйл явдал бүрийн магадлал (унасан толгой - "амжилт", унах толгой - "бүтэлгүйтэл") 50 хувьтай тэнцүү байна.
Энэ бол хамгийн энгийн үйл явдал байсан. Гэхдээ бас байдаг нарийн төвөгтэй системүүд, дараалсан үйлдлүүд хийгддэг бөгөөд эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнгийн магадлал өөр өөр байх болно. Жишээлбэл, дараах системийг авч үзье: агуулгыг нь харж чадахгүй байгаа хайрцагт яг ижил зургаан бөмбөг, гурван хос цэнхэр, улаан, цагаан цэцэг. Бид санамсаргүй байдлаар хэдэн бөмбөг авах ёстой. Үүний дагуу бид цагаан бөмбөлгүүдийн аль нэгийг нь сугалж авснаар дараагийн бөмбөгийг авах магадлалыг мэдэгдэхүйц бууруулна. цагаан бөмбөг. Энэ нь систем дэх объектуудын тоо өөрчлөгддөгтэй холбоотой юм.
Дараагийн хэсэгт бид "хэвийн тархалт", "биномиаль тархалт" гэх мэт үгсийн утгыг бидэнд ойртуулдаг илүү төвөгтэй математикийн ойлголтуудыг авч үзэх болно.
Математик статистикийн элементүүд
Магадлалын онолын хэрэглээний нэг салбар болох статистикт дүн шинжилгээ хийх өгөгдлийг тодорхой өгөөгүй олон жишээ байдаг. Энэ нь тоогоор биш, харин шинж чанар, жишээлбэл, хүйсээр хуваах хэлбэрээр юм. Ийм өгөгдөлд математикийн хэрэгслийг ашиглах, олж авсан үр дүнгээс зарим дүгнэлт гаргахын тулд анхны өгөгдлийг тоон формат руу хөрвүүлэх шаардлагатай. Ихэвчлэн үүнийг хийхийн тулд эерэг үр дүнд 1, сөрөг үр дүнд 0 гэсэн утгыг өгдөг. Тиймээс бид математикийн аргуудыг ашиглан дүн шинжилгээ хийх боломжтой статистик мэдээллийг олж авдаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёртын тархалт гэж юу болохыг ойлгох дараагийн алхам бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс болон математикийн хүлээлтийг тодорхойлох явдал юм. Энэ талаар бид дараагийн хэсэгт ярих болно.
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ
Үнэн хэрэгтээ математикийн хүлээлт гэж юу болохыг ойлгоход хэцүү биш юм. Өөр өөр магадлал бүхий олон янзын үйл явдлууд байдаг системийг авч үзье. Математикийн хүлээлт нь тоо хэмжээ байх болно нийлбэртэй тэнцүү байнаэдгээр үйл явдлын утгын бүтээгдэхүүн (бидний сүүлчийн хэсэгт авч үзсэн математик хэлбэрээр) тэдгээрийн үүсэх магадлалаар.
Хоёр тоот тархалтын математик хүлээлтийг ижил схемийн дагуу тооцоолно: бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг авч, эерэг үр дүнгийн магадлалаар үржүүлж, дараа нь бүх хувьсагчийн үр дүнгийн өгөгдлийг нэгтгэнэ. Энэ өгөгдлийг графикаар харуулах нь маш тохиромжтой - ингэснээр өөр өөр утгуудын математикийн хүлээлт хоорондын ялгаа илүү сайн мэдрэгддэг.
Дараагийн хэсэгт бид өөр нэг ойлголт болох санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн талаар бага зэрэг ярих болно. Энэ нь мөн хоёрт магадлалын тархалтын ойлголттой нягт холбоотой бөгөөд түүний шинж чанар юм.
Бином тархалтын дисперс
Энэ утга нь өмнөхтэй нягт холбоотой бөгөөд статистикийн мэдээллийн тархалтыг тодорхойлдог. Энэ нь утгуудын математикийн хүлээлтээс хазайх дундаж квадратыг илэрхийлнэ. Өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга ба түүний математик хүлээлт хоёрын квадрат зөрүүний нийлбэрийг энэ үйл явдлын магадлалаар үржүүлсэн байна.
Ерөнхийдөө энэ нь хоёр төрлийн магадлалын тархалт гэж юу болохыг ойлгохын тулд дисперсийн талаар мэдэх ёстой зүйл юм. Одоо үндсэн сэдэв рүүгээ шууд орцгооё. Тодруулбал, "хостой тархалтын хууль" гэсэн нэлээд төвөгтэй хэллэгийн ард юу нуугдаж байна.
Бином тархалт
Юуны өмнө энэ тархалт яагаад бином болохыг олж мэдье. Энэ нь "бином" гэсэн үгнээс гаралтай. Магадгүй та Ньютоны дурын хоёр тоон a ба b тооны нийлбэрийг сөрөг бус n хүртэл өсгөх томъёоны талаар сонссон байх.
Магадгүй та аль хэдийн таамаглаж байсанчлан Ньютоны бином томьёо болон хоёрын тархалтын томъёо нь практикт нийцдэг ижил томъёонууд. Цорын ганц үл хамаарах зүйл нь хоёр дахь нь тодорхой хэмжигдэхүүнүүдэд практик ач холбогдолтой бөгөөд эхнийх нь зөвхөн ерөнхий математикийн хэрэгсэл бөгөөд практикт хэрэглэх нь өөр байж болно.
Түгээлтийн томъёо
Хоёр нэр томъёоны тархалтын функцийг дараах нэр томъёоны нийлбэрээр бичиж болно.
(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k
Энд n нь бие даасан санамсаргүй туршилтуудын тоо, p нь амжилттай үр дүнгийн тоо, q нь амжилтгүй үр дүнгийн тоо, k нь туршилтын тоо (0-ээс n хүртэл утгыг авч болно)! - факториалын тэмдэглэгээ, утга нь өмнөх бүх тооны үржвэртэй тэнцүү тооны функц (жишээ нь: 4 тоо: 4!=1*2*3*4=24).
Үүнээс гадна, бином тархалтын функцийг бүрэн бус бета функц гэж бичиж болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь зөвхөн нарийн төвөгтэй статистикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг илүү төвөгтэй тодорхойлолт юм.
Бидний дээр дурдсан жишээг авч үзсэн бином тархалт нь хамгийн түгээмэл тархалтуудын нэг юм энгийн төрлүүдмагадлалын онол дахь тархалт. Мөн нэг төрөл болох хэвийн тархалт байдаг. Энэ нь ихэвчлэн ашиглагддаг бөгөөд тооцоолоход хамгийн хялбар байдаг. Мөн Бернуллигийн тархалт, Пуассоны тархалт, нөхцөлт тархалтууд байдаг. Эдгээр нь бүгд өөр өөр нөхцөлд тодорхой үйл явцын магадлалын хүрээг графикаар тодорхойлдог.
Дараагийн хэсэгт бид энэ математикийн төхөөрөмжийг ашиглахтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно жинхэнэ амьдрал. Мэдээжийн хэрэг, өнгөцхөн харахад энэ нь ердийнх шиг бодит амьдрал дээр хэрэглэгдэхгүй, математикчдаас өөр хэнд ч хэрэггүй өөр нэг математикийн зүйл юм шиг санагддаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь тийм биш юм. Эцсийн эцэст, бүх төрлийн тархалт, тэдгээрийн график дүрслэлийг зөвхөн эрдэмтдийн хүсэл тэмүүлэл биш харин практик зорилгоор бүтээсэн болно.
Өргөдөл
Мэдээжийн хэрэг, түгээлтийн хамгийн чухал хэрэглээ нь статистикт байдаг, учир нь танд хэрэгтэй цогц дүн шинжилгээмаш их өгөгдөл. Практикаас харахад олон өгөгдлийн багц нь ойролцоогоор ижил утгын тархалттай байдаг: маш бага ба маш өндөр утгатай чухал бүсүүд нь дүрмээр бол дундаж утгуудаас цөөн элемент агуулдаг.
Том өгөгдлийн багцад дүн шинжилгээ хийх нь зөвхөн статистикт шаардлагатай биш юм. Энэ нь жишээлбэл физик химийн хувьд зайлшгүй шаардлагатай. Энэ шинжлэх ухаанд атом, молекулуудын санамсаргүй чичиргээ, хөдөлгөөнтэй холбоотой олон хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход ашигладаг.
Дараагийн хэсэгт бид бином гэх мэт статистик ойлголтуудыг ашиглах нь ямар чухал болохыг ойлгох болно санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт Өдөр тутмын амьдралчи бид хоёрын төлөө.
Яагаад надад хэрэгтэй байна вэ?
Математикийн тухай ярихад олон хүмүүс өөрөөсөө энэ асуултыг асуудаг. Дашрамд хэлэхэд математикийг шинжлэх ухааны хатан хаан гэж хэлээгүй. Энэ нь физик, хими, биологи, эдийн засгийн үндэс суурь бөгөөд эдгээр шинжлэх ухаан бүрт зарим тархалтыг ашигладаг: энэ нь салангид бином тархалт эсвэл хэвийн аль нь ч хамаагүй. Хэрэв бид эргэн тойрныхоо ертөнцийг сайтар ажиглавал математикийг хаа сайгүй ашигладаг болохыг олж харах болно: өдөр тутмын амьдралд, ажил дээрээ, тэр ч байтугай хүмүүсийн харилцааг статистик мэдээлэл хэлбэрээр илэрхийлж, дүн шинжилгээ хийх боломжтой (дашрамд хэлэхэд, энэ нь). , ажилладаг хүмүүс юу вэ тусгай байгууллагуудмэдээлэл цуглуулахад оролцдог).
Одоо энэ нийтлэлд дурьдсанаас илүү энэ сэдвээр илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол юу хийх талаар бага зэрэг ярилцъя.
Энэ нийтлэлд бидний өгсөн мэдээлэл бүрэн гүйцэд биш юм. Түгээлт ямар хэлбэртэй байж болох талаар олон нюансууд байдаг. Бидний аль хэдийн олж мэдсэнээр хоёр нэрийн тархалт нь бүхэлдээ хамаарах үндсэн төрлүүдийн нэг юм математикийн статистикба магадлалын онол.
Хэрэв та сонирхож байгаа бол эсвэл ажилтай холбоотойгоор энэ сэдвээр илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол тусгай уран зохиол судлах шаардлагатай болно. Та математик анализын чиглэлээр их сургуулийн курсээс эхэлж, магадлалын онолын хэсэг рүү шилжих хэрэгтэй. Хоёрдах магадлалын тархалт нь дараалсан нэр томъёоны цуваанаас өөр зүйл биш тул цувралын талаархи мэдлэг нь бас хэрэг болно.
Дүгнэлт
Өгүүллийг дуусгахын өмнө бид өөр нэг зүйлийг хэлмээр байна сонирхолтой зүйл. Энэ нь манай нийтлэлийн сэдэв болон ерөнхийдөө бүх математикийн сэдэвтэй шууд холбоотой.
Математик бол ашиггүй шинжлэх ухаан гэж олон хүмүүс ярьдаг бөгөөд сургуульд сурч байсан зүйл нь тэдэнд хэрэгтэй байсангүй. Гэхдээ мэдлэг хэзээ ч илүүддэггүй бөгөөд амьдралд ямар нэг зүйл танд ашиггүй байвал та үүнийг санахгүй байна гэсэн үг юм. Хэрэв танд мэдлэг байгаа бол тэд танд тусалж чадна, гэхдээ үгүй бол тэднээс тусламж хүлээж болохгүй.
Тиймээс бид хоёр нэрийн тархалтын тухай ойлголт, түүнтэй холбоотой бүх тодорхойлолтыг авч үзээд бидний амьдралд хэрхэн хэрэглэгдэх талаар ярилцав.
Хоёртын тархалтыг авч үзье, түүний математик хүлээлт, дисперс, горимыг тооцоолъё. MS EXCEL-ийн BINOM.DIST() функцийг ашиглан бид тархалтын функц болон магадлалын нягтын графикуудыг байгуулна. Тархалтын параметр p, тархалтын математик хүлээлт, стандарт хазайлтыг тооцоолъё. Бернуллигийн тархалтыг бас авч үзье.
Тодорхойлолт. Тэднийг хийцгээе nтуршилт, тус бүрт нь зөвхөн 2 үйл явдал тохиолдож болно: үйл явдал "амжилттай" байх магадлалтай х эсвэл магадлал бүхий “бүтэлгүйтсэн” үйл явдал q =1-p (гэгдэх Бернулли схем,Бернуллитуршилтууд).
Яг хүлээн авах магадлал x эдгээрт амжилт n туршилтууд тэнцүү байна:
Түүвэр дэх амжилтын тоо x нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм Бином тархалт(Англи) биномхуваарилалт) хТэгээд n– нь энэ хуваарилалтын параметрүүд юм.
Үүнийг ашиглахыг санаарай Бернуллигийн схемүүдмөн үүний дагуу бином тархалт,дараах нөхцлийг хангасан байх ёстой.
- Туршилт бүр нь "амжилт" ба "бүтэлгүйт" гэж нэрлэгддэг яг хоёр үр дүнтэй байх ёстой.
- туршилт бүрийн үр дүн нь өмнөх туршилтуудын үр дүнгээс хамаарах ёсгүй (туршилтын бие даасан байдал).
- амжилтанд хүрэх магадлал х бүх туршилтын хувьд тогтмол байх ёстой.
MS EXCEL дээрх хоёр нэрийн тархалт
MS EXCEL-д 2010 оны хувилбараас эхлэн Бином тархалт BINOM.DIST() функц байна. Англи нэр- BINOM.DIST() нь түүвэрт яг агуулагдах магадлалыг тооцоолох боломжийг олгодог X"амжилт" (жишээ нь. магадлалын нягтын функц p(x), дээрх томъёог харна уу), ба хуримтлагдсан хуваарилалтын функц(түүвэрт байх магадлал xэсвэл цөөн тооны "амжилт", үүнд 0).
MS EXCEL 2010-аас өмнө EXCEL нь BINOMIST() функцтэй байсан бөгөөд энэ нь мөн тооцоолох боломжийг олгодог. түгээлтийн функцТэгээд магадлалын нягт p(x). BINOMDIST() нь MS EXCEL 2010-д нийцтэй байх үүднээс үлдсэн.
Жишээ файл нь график агуулж байна магадлалын нягтын тархалтТэгээд .
Бином тархалттэмдэглэгээтэй Б(n; х) .
Анхаарна уу: Барилгын зориулалттай хуримтлагдсан хуваарилалтын функцтөгс төрлийн диаграм Хуваарь, Учир нь түгээлтийн нягтрал – Бүлэглэл бүхий гистограм. График үүсгэх талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл авахыг хүсвэл диаграмын үндсэн төрлүүд нийтлэлийг уншина уу.
Анхаарна уу: Томъёо бичихэд хялбар болгох үүднээс жишээ файлд параметрийн нэрийг үүсгэсэн Бином тархалт: n ба х.
Жишээ файл нь агуулж байна янз бүрийн тооцоолол MS EXCEL функцийг ашиглах магадлал:
Дээрх зурган дээрээс харж байгаагаар дараахь зүйлийг таамаглаж байна.
- Түүвэр авсан хязгааргүй олонлог нь 10% (эсвэл 0.1) хүчинтэй элементүүдийг (параметр) агуулна. х, гурав дахь функцийн аргумент = BINOM.DIST() )
- 10 элементийн түүвэрт байх магадлалыг тооцоолохын тулд (параметр n, функцийн хоёр дахь аргумент) яг 5 хүчинтэй элемент байх болно (эхний аргумент), та томъёог бичих хэрэгтэй: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, ХУДАЛ)
- Сүүлийн дөрөв дэх элемент нь = FALSE, өөрөөр хэлбэл. функцийн утгыг буцаана түгээлтийн нягтрал.
Хэрэв дөрөв дэх аргументын утга = ҮНЭН бол BINOM.DIST() функц нь утгыг буцаана. хуримтлагдсан хуваарилалтын функцэсвэл зүгээр л Түгээлтийн функц. Энэ тохиолдолд та түүвэр дэх сайн элементүүдийн тоо тодорхой мужаас, жишээлбэл, 2 ба түүнээс бага (0-ийг оруулаад) байх магадлалыг тооцоолж болно.
Үүнийг хийхийн тулд та дараах томъёог бичих хэрэгтэй.
= BINOM.DIST(2; 10; 0.1; ҮНЭН)
Анхаарна уу: x-ийн бүхэл бус утгын хувьд . Жишээлбэл, дараах томъёонууд ижил утгыг буцаана:
=BINOM.DIST( 2
; 10; 0.1; ҮНЭН)
=BINOM.DIST( 2,9
; 10; 0.1; ҮНЭН)
Анхаарна уу: Жишээ файл дээр магадлалын нягтТэгээд түгээлтийн функцМөн NUMBERCOMB() тодорхойлолт ба функцийг ашиглан тооцоолно.
Түгээлтийн үзүүлэлтүүд
IN Ажлын хуудас дээрх жишээ файл ЖишээЗарим тархалтын үзүүлэлтүүдийг тооцоолох томъёо байдаг.
- =n*p;
- (стандарт хазайлт квадрат) = n*p*(1-p);
- = (n+1)*p;
- =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).
Томьёог гаргаж авцгаая математикийн хүлээлт Бином тархалташиглах Бернулли хэлхээ.
Тодорхойлолтоор санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна Бернулли схем(Бернулли санамсаргүй хэмжигдэхүүн) байна түгээлтийн функц:
Үүнийг хуваарилалт гэж нэрлэдэг Бернуллигийн тархалт.
Анхаарна уу: Бернуллигийн тархалт- онцгой тохиолдол Бином тархалт n=1 параметртэй.
Амжилтанд хүрэх магадлал өөр өөр 100 тоотой 3 массивыг үүсгэцгээе: 0.1; 0.5 ба 0.9. Үүнийг цонхонд хийх Санамсаргүй тоо үүсгэх p магадлал бүрийн хувьд дараах параметрүүдийг тохируулъя.
Анхаарна уу: Хэрэв та сонголтыг тохируулсан бол Санамсаргүй тархалт (Санамсаргүй үр), дараа нь та үүсгэсэн тоонуудын тодорхой санамсаргүй багцыг сонгож болно. Жишээлбэл, энэ сонголтыг =25 тохируулснаар та өөр өөр компьютер дээр санамсаргүй тоонуудын ижил багц үүсгэж болно (мэдээж түгээлтийн бусад параметрүүд ижил байвал). Опционы утга нь 1-ээс 32,767 хүртэлх бүхэл утгыг авч болно Санамсаргүй тархалттөөрөгдүүлсэн байж магадгүй. гэж орчуулсан нь дээр байх Дугаарыг санамсаргүй тоогоор залгах.
Үүний үр дүнд бид 100 тооны 3 баганатай байх бөгөөд үүнд үндэслэн бид амжилтанд хүрэх магадлалыг тооцоолж болно. хтомъёоны дагуу: Амжилтын тоо/100(см. жишээ файлын хуудас Generation Bernoulli).
Анхаарна уу: Учир нь Бернуллигийн хуваарилалт p=0.5 бол та =RANDBETWEEN(0;1) томъёог ашиглаж болно.
Санамсаргүй тоо үүсгэх. Бином тархалт
Дээжинд 7 гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн байна гэж бодъё. Энэ нь гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний эзлэх хувь өөрчлөгдсөн байх "маш магадлалтай" гэсэн үг юм х, энэ нь бидний онцлог үйлдвэрлэлийн үйл явц. Хэдийгээр ийм нөхцөл байдал "маш магадлалтай" боловч (альфа эрсдэл, 1 төрлийн алдаа, "худал дохиолол") хөөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нэмэгдэж байгаа нь санамсаргүй түүврээс шалтгаалсан байна.
Доорх зургаас харахад 7 нь ижил утгаараа p=0.21-тэй процессын хувьд хүлээн зөвшөөрөгдөх гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо юм. Альфа. Энэ нь түүвэр дэх согогтой зүйлийн босго утга хэтэрсэн тохиолдолд, х"хамгийн их магадлалтай" нэмэгдсэн байна. "Хамгийн их магадлалтай" гэсэн хэллэг нь зөвхөн санамсаргүй шалтгааны улмаас гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний эзлэх хувь босго хэмжээнээс давсан байх магадлал 10% (100-90%) байна гэсэн үг юм.
Тиймээс сорьцонд гарсан согогтой бүтээгдэхүүний босго хэмжээнээс хэтэрсэн нь үйл явц хямарч, хуучин бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж эхэлснийг илтгэнэ. Огэмтэлтэй бүтээгдэхүүний өндөр хувь.
Анхаарна уу: MS EXCEL 2010-аас өмнө EXCEL нь CRITBINOM() функцтэй байсан бөгөөд энэ нь BINOM.INV()-тэй тэнцүү юм. CRITBINOM() нь нийцтэй байх үүднээс MS EXCEL 2010 болон түүнээс дээш хувилбарт үлдсэн.
Хоёртын тархалтын бусад тархалттай хамаарал
Хэрэв параметр n Бином тархалтхязгааргүйд хүрэх хандлагатай, мөн х 0 байх хандлагатай бол энэ тохиолдолд Бином тархалтойролцоогоор тооцож болно.
Ойролцоогоор нөхцөлийг томъёолох боломжтой Пуассоны тархалтсайн ажилладаг:
- х<0,1 (бага хболон бусад n, илүү нарийвчлалтай ойролцоолсон);
- х>0,9 (үүнийг харгалзан үзвэл q=1- х, энэ тохиолдолд тооцоог дамжуулан хийх ёстой q(А X-аар солих шаардлагатай n- x). Тиймээс бага qболон бусад n, ойртох тусам илүү нарийвчлалтай болно).
0.1 цагт<=p<=0,9 и n*p>10 Бином тархалтойролцоогоор тооцож болно.
Эргээд, Бином тархалтХүн амын тоо N байх үед энэ нь сайн ойролцоо байж болно Гипергеометрийн тархалттүүврийн хэмжээ n-ээс хамаагүй том (жишээ нь, N>>n эсвэл n/N<<1).
Дээрх хуваарилалтын хоорондын хамаарлын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг нийтлэлээс олж болно. Ойролцоох жишээ, хэзээ боломжтой, ямар нарийвчлалтайгаар тайлбарласан нөхцөлүүд бас бий.
ЗӨВЛӨГӨӨ: Та нийтлэлээс MS EXCEL-ийн бусад түгээлтийн талаар уншиж болно.
