Санамсаргүй хэмжигдэхүүний томъёоны жигд тархалт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний ердийн тасралтгүй тархалт
Энэ асуудлыг удаан хугацаанд нарийвчлан судалж, ихэнх нь өргөн хэрэглээ 1958 онд Жорж Бокс, Мервин Мюллер, Жорж Марсаглиа нарын санал болгосон туйлын координатын аргыг гаргаж авсан. Энэ аргань дараах байдлаар дундаж 0, дисперс 1-тэй бие даасан хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хосыг авах боломжийг танд олгоно.
Z 0 ба Z 1 нь хүссэн утгууд бол s \u003d u 2 + v 2, u ба v нь сегмент (-1, 1) дээр жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд 0 нөхцөл хангагдсан байхаар сонгосон.< s < 1.
Олон хүмүүс эдгээр томъёог ямар ч бодолгүйгээр ашигладаг бөгөөд ихэнх нь ашигладаг тул тэдний оршин тогтнохыг сэжиглэдэггүй бэлэн хэрэгжүүлэлтүүд. Гэвч “Энэ томъёо хаанаас ирсэн бэ? Та яагаад нэг дор хос утгыг олж авдаг вэ? Дараахь зүйлд би эдгээр асуултуудад тодорхой хариулт өгөхийг хичээх болно.
Эхлэхийн тулд магадлалын нягтрал, санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц, урвуу функц гэж юу болохыг сануулъя. Зарим нь байна гэж бодъё санамсаргүй утга, тархалтыг нь дараах хэлбэртэй f(x) нягтын функцээр өгөгдсөн:
Энэ нь тийм гэсэн үг магадлалЭнэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга (A, B) интервалд байх нь сүүдэрлэсэн талбайн талбайтай тэнцүү байна. Үүний үр дүнд бүхэл бүтэн сүүдэрлэсэн талбайн талбай нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байх ёстой, учир нь ямар ч тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга f функцийн мужид орох болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь нягтын функцийн салшгүй хэсэг юм. Тэгээд дотор Энэ тохиолдолдтүүнийг ойролцоогоор харахийм байх болно:
Энд байгаа утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нь B магадлал бүхий А-аас бага байх болно. Үүний үр дүнд функц хэзээ ч буурахгүй бөгөөд түүний утгууд нь интервалд оршдог.
Урвуу функц нь хэрэв та анхны функцийн утгыг түүнд шилжүүлбэл анхны функцийн аргументыг буцаадаг функц юм. Жишээлбэл, x 2 функцийн хувьд урвуу нь үндэс задлах функц байх болно, sin (x) -ийн хувьд энэ нь arcsin (x) гэх мэт.
Учир нь ихэнх псевдо санамсаргүй тооны генераторууд зөвхөн гаралттай байдаг жигд хуваарилалт, дараа нь үүнийг өөр зүйл рүү хөрвүүлэх шаардлагатай болдог. Энэ тохиолдолд ердийн Гаусс руу:
Нэг төрлийн тархалтыг бусад тархалт болгон хувиргах бүх аргын үндэс нь урвуу хувиргах арга юм. Энэ нь дараах байдлаар ажилладаг. Шаардлагатай тархалтын функцээс урвуу функц олдож, (0, 1) сегмент дээр жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аргумент болгон түүнд дамжуулна. Гаралтын үед бид шаардлагатай хуваарилалт бүхий утгыг олж авдаг. Тодорхой болгохын тулд дараах зургийг энд харуулав.
Тиймээс нэгэн жигд сегмент нь шинэ хуваарилалтын дагуу түрхэж, өөр тэнхлэгт шилжинэ. урвуу функц. Гэхдээ асуудал бол Гауссын тархалтын нягтын интегралыг тооцоолоход амаргүй тул дээрх эрдэмтэд хуурах хэрэгтэй болсон.
k бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратуудын нийлбэрийн тархалт болох хи-квадрат тархалт (Пирсоны тархалт) байдаг. Мөн k = 2 тохиолдолд энэ тархалт экспоненциал болно.
Энэ нь хэрэв нэг цэг гэсэн үг тэгш өнцөгт системкоординатууд нь санамсаргүй байдлаар тархсан X ба Y координатууд байх ба эдгээр координатуудыг туйлын системд (r, θ) шилжүүлсний дараа радиусын квадрат (эх цэгээс цэг хүртэлх зай) экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдана. радиусын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэр юм ( Пифагорын хуулийн дагуу). Онгоц дээрх ийм цэгүүдийн тархалтын нягт дараах байдалтай байна.
Энэ нь бүх чиглэлд тэнцүү тул θ өнцөг нь 0-ээс 2π хүртэлх мужид жигд тархалттай байх болно. Үүний эсрэгээр мөн адил: хэрэв та туйлын координатын систем дэх цэгийг хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (өнцөг жигд тархсан ба радиус нь экспоненциалаар тархсан) ашиглан зааж өгвөл энэ цэгийн тэгш өнцөгт координатууд нь бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байх болно. Мөн ижил урвуу хувиргах аргыг ашиглан жигд тархалтаас экспоненциал тархалтыг олж авахад илүү хялбар болсон. Энэ бол Бокс-Мюллерийн туйлын аргын мөн чанар юм.
Одоо томъёонуудыг авч үзье.
(1)
r ба θ-ийг олж авахын тулд (0, 1) сегмент дээр жигд тархсан хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үүсгэх шаардлагатай (тэдгээрийг u ба v гэж нэрлэе), тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтыг (v гэж үзье) экспоненциал руу хөрвүүлэх шаардлагатай. радиусыг олж авна. Экспоненциал тархалтын функц дараах байдалтай байна.
Үүний урвуу функц:
Нэг төрлийн тархалт нь тэгш хэмтэй байдаг тул хувиргалт нь функцтэй ижилхэн ажиллана
Хи квадратын тархалтын томъёоноос λ = 0.5 байна. Бид энэ функцэд λ, v-г орлуулж, радиусын квадратыг, дараа нь радиусыг өөрөө авна.
Нэгж сегментийг 2π хүртэл сунгах замаар бид өнцгийг олж авна.
Одоо бид (1) томъёонд r ба θ-г орлуулж дараахийг авна.
(2)
Эдгээр томъёог ашиглахад бэлэн байна. X ба Y нь бие даасан байх ба дисперс 1, математикийн хүлээлт 0-тэй хэвийн тархалттай байх болно. Бусад шинж чанартай тархалтыг авахын тулд функцийн үр дүнг дундажаар үржүүлэхэд хангалттай. стандарт хэлбэлзэлболон нэмэх хүлээгдэж буй үнэ цэнэ.
Гэхдээ үүнээс салах арга бий тригонометрийн функцууд, тойргийн санамсаргүй цэгийн тэгш өнцөгт координатаар шууд бус харин шууд бусаар өнцгийг зааж өгнө. Дараа нь эдгээр координатуудаар дамжуулан радиус векторын уртыг тооцоолж, дараа нь х, у-г тус тус хувааж косинус ба синусыг олох боломжтой болно. Энэ нь яаж, яагаад ажилладаг вэ?
Бид нэгж радиусын тойрогт жигд тархсан цэгээс санамсаргүй цэгийг сонгож, энэ цэгийн радиус векторын уртын квадратыг s үсгээр тэмдэглэнэ.
Сонголтыг (-1, 1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй х, у тэгш өнцөгт координатыг оноож, тойрогт хамааралгүй цэгүүдийг, мөн радиус векторын өнцөг байх төв цэгийг хаях замаар хийнэ. тодорхойлогдоогүй. Өөрөөр хэлбэл 0 нөхцөл< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Өгүүллийн эхэнд байгаа шиг бид томъёог авдаг. Энэ аргын сул тал нь тойрогт ороогүй цэгүүдээс татгалзах явдал юм. Энэ нь үүсгэсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөвхөн 78.5% -ийг ашиглах явдал юм. Хуучин компьютерууд дээр тригонометрийн функц байхгүй хэвээр байсан их давуу тал. Одоо нэг процессорын заавар нь синус болон косинусыг агшин зуур тооцоолоход эдгээр аргууд өрсөлдөж чадна гэж би бодож байна.
Би хувьдаа дахиад хоёр асуулт байна:
- s-ийн утга яагаад жигд тархсан бэ?
- Хоёр хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратуудын нийлбэр яагаад экспоненциал тархалттай байдаг вэ?
Хэрэв ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ижил төстэй хувиргалт хийвэл түүний квадратын нягтын функц нь гиперболатай төстэй болно. Ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр квадратыг нэмэх нь давхар интегралтай холбоотой илүү төвөгтэй процесс юм. Үр дүн нь экспоненциал тархалт гэдгийг би хувьдаа энд шалгах ёстой практик аргаэсвэл аксиом гэж хүлээн зөвшөөрдөг. Сонирхож буй хүмүүст би эдгээр номнуудаас мэдлэг авч, сэдэвтэй илүү ойр дотно танилцахыг санал болгож байна.
- Wentzel E.S. Магадлалын онол
- Кнут Д.Э. Програмчлалын урлаг 2-р боть
Эцэст нь хэлэхэд би JavaScript дээр ердийн тархсан санамсаргүй тоо үүсгэгчийг хэрэгжүүлэх жишээг өгөх болно.
Функц Gauss() ( var бэлэн = худал; var second = 0.0; this.next = функц(дундаж, dev) ( дундаж = дундаж == тодорхойгүй ? 0.0: дундаж; dev = dev == тодорхойгүй ? 1.0: dev; хэрэв ( this.ready) ( this.ready = худал; буцаах this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // объект үүсгэх a = g.next(); // хос утгыг үүсгээд эхнийхийг нь авна b = g.next(); // хоёр дахь утгыг авах c = g.next(); // хос утгыг дахин үүсгээд эхнийхийг нь аваарай
Дундаж (математикийн хүлээлт) болон dev (стандарт хазайлт) параметрүүд нь сонголттой. Логарифм нь байгалийн шинж чанартай гэдэгт би таны анхаарлыг хандуулж байна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд (түүний оршин тогтнох бүсэд, жишээлбэл, интервалд) ижил магадлалтай бол тархалтыг жигд гэж үзнэ. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.
Түгээлтийн нягтрал: 
1
Цагаан будаа. Тархалтын функц (зүүн) ба тархалтын нягт (баруун) графикууд.
Нэг төрлийн хуваарилалт - ойлголт ба төрлүүд. "Нэгдмэл хуваарилалт" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн дискрет тархалт Тодорхойлолт 1. 1, 2, …, n утгыг авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n байвал жигд тархалттай байна. . Энэ нь ойлгомжтой. Дараах бодлогыг бодоод үз: Нэг саванд n ширхэг бөмбөлөг байдгаас M нь цагаан... .
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд Тодорхойлолт 5. Интервал дээр утгыг авдаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь тархалтын нягт нь хэлбэртэй байвал жигд тархалттай байна. (1) Үүнийг шалгахад хялбар, . Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол ....
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд (түүний оршин тогтнох бүсэд, жишээлбэл, интервалд) ижил магадлалтай бол тархалтыг жигд гэж үзнэ. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна: Тархалтын нягт: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Хэвийн тархалтын хуулиуд Нэгдмэл, экспоненциал ба Нэгт хуулийн магадлалын нягтын функц нь: (10.17) энд a ба b тоонууд өгөгдсөн, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Магадлалын жигд тархалт нь хамгийн энгийн бөгөөд салангид эсвэл тасралтгүй байж болно. Дискрет жигд тархалт нь CB-ийн утга тус бүрийн магадлал ижил байх тархалт юм, өөрөөр хэлбэл: N нь тоо ... .
Тодорхойлолт 16. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь интервал дээр жигд тархалттай бөгөөд хэрэв энэ сегмент дээр энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт тогтмол, гадна талд нь тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл (45) Нэг жигд тархалтын нягтын график нь үзүүлсэн ...
Үүний тусламжтайгаар олон бодит үйл явцыг загварчлах болно. Мөн хамгийн түгээмэл жишээ бол хөдөлгөөний хуваарь юм. нийтийн тээвэр. Автобус байна гэж бодъё (троллейбус / трамвай) 10 минутын зайтай алхаж, санамсаргүй үед та зогсох болно. Автобус 1 минутын дотор ирэх магадлал хэд вэ? Мэдээжийн хэрэг 1/10. Мөн та 4-5 минут хүлээх магадлал өндөр байна уу? Бас . Автобус 9 минутаас дээш хүлээх магадлал хэд вэ? Аравны нэг!
Заримыг нь авч үзье хязгаарлагдмалинтервал, тодорхой болгохын тулд энэ нь сегмент байх болно. Хэрвээ санамсаргүй утгабайна тогтмол магадлалын нягтөгөгдсөн сегмент болон түүний гаднах тэг нягтрал дээр бид үүнийг тархсан гэж хэлдэг жигд. Энэ тохиолдолд нягтын функцийг хатуу тодорхойлно. 
Үнэн хэрэгтээ, хэрвээ сегментийн урт (зураг харна уу), тэгвэл тэгш өнцөгтийн нэгж талбайг авахын тулд утга нь зайлшгүй тэнцүү байх бөгөөд энэ нь ажиглагдсан. мэдэгдэж байгаа өмч:
Үүнийг албан ёсоор шалгацгаая:
, h.t.p. Магадлалын үүднээс авч үзвэл энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн үг юм найдвартайсегментийн үнэ цэнийн аль нэгийг авах болно ..., аа, би аажмаар уйтгартай өвгөн болж байна =)
Нэгдмэл байдлын мөн чанар нь ямар ч дотоод цоорхойтой байх явдал юм тогтмол уртбид авч үзээгүй ("автобус" минутыг санаарай)- санамсаргүй хэмжигдэхүүн энэ интервалаас утгыг авах магадлал ижил байна. Зурган дээр би ийм гурван магадлалыг сүүдэрлэсэн - би үүнийг дахин нэг удаа анхаарч байна тэдгээр нь бүс нутгаар тодорхойлогддог, функцийн утгууд биш!
Ердийн ажлыг авч үзье:
Жишээ 1
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний тархалтын нягтаар тодорхойлно. 
Тогтмолыг олж, тархалтын функцийг тооцоолж, зохио. График бүтээх. Хай
Өөрөөр хэлбэл таны мөрөөдөж болох бүх зүйл :)
Шийдэл: интервалаас хойш (терминал интервал) 
, дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн жигд тархалттай байх ба "ce"-ийн утгыг шууд томъёогоор олж болно. 
. Гэхдээ илүү дээр ерөнхий байдлаар- эд хөрөнгийг ашиглах:
... яагаад илүү дээр вэ? Дахиж асуулт байхгүй ;)
Тиймээс нягтын функц нь: 
Заавал хийцгээе. Үнэ цэнэ боломжгүй
, тиймээс тод цэгүүдийг доод талд байрлуулсан: 
Хурдан шалгахын тулд тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолъё. 
, h.t.p.
Олъё хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, мөн, магадгүй, та аль хэдийн энэ нь тэнцүү байна гэж таамаглаж байна. "10 минутын" автобусыг эргэн сана: хэрэв санамсаргүй байдлааролон, олон хоног зогсоод ир, тэгвэл намайг авраач дундажТа 5 минут хүлээх хэрэгтэй.
Тийм ээ, энэ нь зөв - хүлээлт нь "үйл явдал" интервалын яг дунд байх ёстой:
, хүссэнээр.
Бид тархалтыг тооцоолно томъёо 
. Энд интегралыг тооцоолохдоо нүд, нүд хэрэгтэй:
Энэ замаар, тархалт: 
Зохиоцгооё түгээлтийн функц 
. Энд шинэ зүйл алга:
1) хэрэв , дараа нь ба 
;
2) хэрэв , дараа нь ба:
3) ба эцэст нь, at 
, ийм учраас:
Үр дүнд нь: 
Зургийг гүйцэтгье: 
"Амьд" интервал дээр түгээлтийн функц ургадаг шугаман байдлаар, мөн энэ нь бид жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй байгаагийн бас нэг шинж тэмдэг юм. Эцсийн эцэст, одоо ч гэсэн дериватив шугаман функц- тогтмол байна.
Шаардлагатай магадлалыг олсон тархалтын функцийг ашиглан хоёр аргаар тооцоолж болно.
эсвэл тусламжтайгаар тодорхой интегралнягтралаас: 
Хэн дуртай нь.
Энд та бас бичиж болно хариулах: ,
, графикийг уусмалын дагуу барьсан.
... "энэ нь боломжтой", учир нь тэд ихэвчлэн байхгүй бол шийтгэдэггүй. Ихэвчлэн ;)
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тооцоолох, тооцоолох тусгай томъёо байдаг бөгөөд би үүнийг өөрөө гаргаж авахыг санал болгож байна.
Жишээ 2
Нягтаар тодорхойлогддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 
.
Математикийн хүлээлт ба дисперсийг тооцоол. Үр дүнг хялбарчлах (үржүүлэх товчилсон томъёотуслах).
Баталгаажуулахын тулд олж авсан томъёог ашиглах нь тохиромжтой, ялангуяа "a" ба "b"-ийн тодорхой утгыг орлуулах замаар саяхан шийдсэн асуудлаа шалгана уу. Хуудасны доод талд товч шийдэл.
Хичээлийн төгсгөлд бид хэд хэдэн "текст" даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно.
Жишээ 3
Хуваалтын утгыг хуваах хэмжих хэрэгсэл 0.2-тай тэнцүү. Багажны заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан. Бөөрөнхийлөх алдаанууд жигд тархсан гэж үзвэл дараагийн хэмжилтийн үед 0.04-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.
Илүү сайн ойлгохын тулд шийдлүүдЗарим юм шиг дүр эсгэе механик төхөөрөмжсумтай, жишээлбэл, 0.2 кг-ийн хуваагдал бүхий жинлүүр, бид муурыг уутанд жинлэх ёстой. Гэхдээ түүний тарган байдлыг олж мэдэхийн тулд биш - одоо сум нь зэргэлдээх хоёр хэлтсийн хооронд хаана зогсох нь чухал байх болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье - зайсум унтарна хамгийн ойрзүүн хэлтэс. Эсвэл хамгийн ойрын баруун талаас, энэ нь хамаагүй.
Магадлалын нягтын функцийг зохиоё.
1) Зай нь сөрөг байж болохгүй тул интервал дээр . Логикийн хувьд.
2) Энэ нь жингийн сумтай байх нөхцөлөөс хамаарна адил магадлалтайхуваагдлын хооронд хаана ч зогсох боломжтой *
, үүнд хуваалтууд өөрсдөө, тиймээс интервал дээр: 
* тэр зайлшгүй нөхцөл. Тиймээс, жишээлбэл, хөвөн ноос эсвэл килограмм боодол давсыг жинлэх үед жигд байдал нь илүү нарийн интервалаар ажиглагдах болно.
3) ХАМГИЙН ОДОО зүүн хуваагдал хүртэлх зай 0.2-оос их байж болохгүй тул for нь мөн тэг болно.
Энэ замаар: 
Нягтын функцийн талаар хэн ч биднээс асуугаагүй бөгөөд би түүний бүрэн бүтцийг зөвхөн танин мэдэхүйн хэлхээнд өгсөн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. At дуусгахдаалгавар бол зөвхөн 2-р догол мөрийг бичихэд хангалттай.
Одоо асуудлын асуултанд хариулъя. Хамгийн ойрын хуваагдал руу дугуйлах алдаа хэзээ 0.04-ээс хэтрэхгүй вэ? Энэ нь сум зүүн хэсгээс 0.04-ээс цаашгүй зогсох үед тохиолдох болно баруун талд эсвэлбаруун хуваалтаас 0.04-ээс хэтрэхгүй зүүн. Зурган дээр би тохирох хэсгүүдийг сүүдэрлэсэн. 
Эдгээр газруудыг олоход л үлдэж байна интегралын тусламжтайгаар. Зарчмын хувьд тэдгээрийг "сургуулийн аргаар" (тэгш өнцөгтийн талбай гэх мэт) тооцоолж болно, гэхдээ энгийн байдал нь үргэлж ойлгодоггүй;)
By үл нийцэх үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем:
- дугуйрсан алдаа 0.04-ээс хэтрэхгүй байх магадлал (бидний жишээнд 40 грамм)
Хамгийн дээд тал нь гэдгийг харахад хялбар байдаг болзошгүй алдаадугуйлах нь 0.1 (100 грамм) тул бөөрөнхийлөх алдаа 0.1-ээс хэтрэхгүй байх магадлалнэгтэй тэнцүү байна.
Хариулт: 0,4
Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ даалгаврын өөр тайлбар / дизайн байдаг бөгөөд би хамгийн ойлгомжтой гэж үзсэн сонголтыг сонгосон. Онцгой анхаарал Энэ тохиолдолд бид бөөрөнхийллийн бус алдааны тухай ярьж болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй Санамсаргүйхэмжилтийн алдаанууд нь ихэвчлэн байдаг (гэхдээ үргэлж биш), тараасан ердийн хууль. Энэ замаар, Ганцхан үг таны бодлыг өөрчилж чадна!Сонор сэрэмжтэй байж, утгыг нь ойлгоорой.
Бүх зүйл тойрог хэлбэрээр ормогц бидний хөл биднийг нэг автобусны буудал руу авчирдаг.
Жишээ 4
Тодорхой чиглэлийн автобуснууд хуваарийн дагуу, 7 минутын зайтай явдаг. Санамсаргүй хувьсагчийн нягтын функцийг зохио - автобусны зогсоол руу санамсаргүй байдлаар ойртсон зорчигчийн дараагийн автобусыг хүлээх хугацаа. Тэр гурван минутаас илүүгүй автобус хүлээх магадлалыг ол. Түгээлтийн функцийг олж, утгыг нь тайлбарла.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ болгон (a; b) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийг авч үзье. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн X гэж хэлдэг жигд тархсан (a; b) интервал дээр, хэрэв түүний тархалтын нягт нь энэ интервалд тогтмол биш байвал:
Нормчиллын нөхцлөөс бид тогтмол c утгыг тодорхойлно. Тархалтын нягтын муруйн доорх талбай нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, гэхдээ бидний тохиолдолд энэ нь суурь (b - α) ба өндөр c (Зураг 1) бүхий тэгш өнцөгтийн талбай юм. 
Цагаан будаа. 1 Нэг жигд тархалтын нягт
Эндээс бид тогтмол c-ийн утгыг олно: 
Тэгэхээр жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт нь тэнцүү байна 
Одоо хуваарилалтын функцийг томъёогоор олъё.
1) төлөө 
2) төлөө
3) 0+1+0=1-ийн хувьд.
Энэ замаар, 
Түгээлтийн функц нь тасралтгүй бөгөөд буурахгүй (Зураг 2). 
Цагаан будаа. 2 Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц
Олъё жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттомъёоны дагуу:
Нэг төрлийн тархалтын дисперстомъёогоор тооцож, тэнцүү байна
Жишээ №1. Хэмжих хэрэгслийн хуваарийн хуваалтын утга нь 0.2 . Багажны заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан. Унших явцад алдаа гарах магадлалыг ол: a) 0.04-ээс бага; б) том 0.02
Шийдэл. Бөөрөнхийллийн алдаа нь зэргэлдээх бүхэл тоон хуваагдлын хоорондох интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. (0; 0.2) интервалыг ийм хуваагдал гэж үзье (зураг a). Бөөрөнхийлөлтийг зүүн хил рүү - 0, баруун тийш - 0.2 хоёуланг нь хийж болно, энэ нь 0.04-ээс бага буюу тэнцүү алдааг хоёр удаа гаргаж болно гэсэн үг бөгөөд энэ нь магадлалыг тооцоолохдоо анхаарах ёстой. 
P = 0.2 + 0.2 = 0.4
Хоёрдахь тохиолдолд алдааны утга нь хуваагдлын хил дээр 0.02-оос хэтэрч болно, өөрөөр хэлбэл 0.02-оос их эсвэл 0.18-аас бага байж болно. 
Дараа нь иймэрхүү алдаа гарах магадлал:
Жишээ №2. Улс орны эдийн засгийн байдал тогтвортой байна гэж таамаглаж байсан (дайн байхгүй, байгалийн гамшиггэх мэт) сүүлийн 50 жилийн хугацаанд хүн амын насаар тархалтын шинж чанараар дүгнэж болно: тайван орчинд байх ёстой. дүрэмт хувцас. Судалгааны үр дүнд аль нэг улсын хувьд дараах мэдээллийг олж авсан.
Улс оронд тогтворгүй нөхцөл байдал үүссэн гэж үзэх үндэслэл байна уу?Бид тооцоологч Таамаглалын тест ашиглан шийдвэр гаргадаг. Шалгуур үзүүлэлтийг тооцоолох хүснэгт.
| Бүлгүүд | Дунд завсар, x i | Тоо хэмжээ, fi | x i * f i | Хуримтлагдсан давтамж, С | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Давтамж, f i / n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
жигнэсэн дундаж
Өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд.
Үнэмлэхүй өөрчлөлтийн хувь хэмжээ.
Өөрчлөлтийн хүрээ нь үндсэн цувралын шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүү юм.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Тархалт- түүний дундаж утгын эргэн тойронд тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог (тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл дунджаас хазайх).
Стандарт хэлбэлзэл.
Цувралын утга тус бүр нь 43-ын дундаж утгаас 23.92-оос ихгүй ялгаатай байна
Түгээлтийн төрлийн талаархи таамаглалыг шалгах.
4. тухай таамаглалыг шалгах жигд хуваарилалтнийт хүн ам.
Х-ийн жигд тархалтын талаарх таамаглалыг шалгахын тулд, i.e. хуулийн дагуу: f(x) = 1/(b-a) (a,b) интервалд.
шаардлагатай:
1. Томъёоны дагуу a ба b параметрүүдийг тооцоолно - X-ийн боломжит утгууд ажиглагдсан интервалын төгсгөлүүд (* тэмдэг нь параметрийн тооцоог илэрхийлнэ):
2. f(x) = 1/(b * - a *) тооцоолсон тархалтын магадлалын нягтыг ол.
3. Онолын давтамжийг ол:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо k = s-3, энд s нь анхны түүвэрлэлтийн интервалын тоо гэж үзэн Пирсон тестийг ашиглан эмпирик болон онолын давтамжийг харьцуулна уу; хэрвээ жижиг давтамжуудын хослол, улмаар интервалууд өөрсдөө хийгдсэн бол s нь хослолын дараа үлдсэн интервалуудын тоо юм.
Шийдэл:
1. Нэг төрлийн тархалтын a * ба b * параметрүүдийн тооцоог томъёогоор ол.
2. Таамагласан жигд тархалтын нягтыг ол:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Онолын давтамжийг ол:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
Үлдсэн n нь тэнцүү байна:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| би | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6Д-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Нийт | 1 | 0.0532 |
Тиймээс энэ статистикийн чухал бүс нь үргэлж баруун гартай байдаг :)
