Алдагдсан тооны математикийн хүлээлтийг ол. Хүлээлтийн томъёо
Математикийн хүлээлт ба дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанар юм. Эдгээр нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг тодорхойлдог: түүний байрлал, тархалтын зэрэг. Практикийн олон асуудалд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн, бүрэн тайлбарыг - тархалтын хуулийг олж авах боломжгүй эсвэл огт хэрэггүй болно. Эдгээр тохиолдолд тэдгээр нь тоон шинж чанарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ойролцоо тодорхойлолтоор хязгаарлагддаг.
Математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт - тархалтын шинж чанар, түүний эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт математикийн хүлээлт.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбараас эхлээд математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзье. Нэгж массыг x тэнхлэгийн цэгүүдийн хооронд тараацгаая x1 , x 2 , ..., x n, мөн материаллаг цэг бүр нь түүнд тохирох масстай х1 , х 2 , ..., х n. Материалын цэгүүдийн бүхэл системийн байрлалыг тэдгээрийн массыг харгалзан тодорхойлдог x тэнхлэг дээр нэг цэгийг сонгох шаардлагатай. Материаллаг цэгүүдийн системийн массын төвийг ийм цэг болгон авах нь зүйн хэрэг юм. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний жигнэсэн дундаж юм X, үүнд цэг бүрийн абсцисса xбихаргалзах магадлалтай тэнцэх "жин"-ээр ордог. Ийнхүү олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга Xтүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба эдгээр утгуудын магадлал юм.
Жишээ 1Хож-хож сугалаа зохион байгууллаа. 1000 хожил байгаа бөгөөд 400 нь тус бүр 10 рубль юм. Тус бүр нь 300-20 рубль Тус бүр нь 200-100 рубль. тус бүр 100 - 200 рубль байна. Нэг тасалбар авсан хүн дунджаар хэдэн төгрөгийн хожил авах вэ?
Шийдэл. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 рубльтэй тэнцэх нийт хожлын дүнг 1000-д (хожлын нийт дүн) хуваасан тохиолдолд бид дундаж ялалтыг олох болно. Дараа нь бид 50000/1000 = 50 рубль авна. Гэхдээ дундаж ашгийг тооцоолох илэрхийллийг дараахь хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Нөгөөтэйгүүр, эдгээр нөхцөлд хожлын хэмжээ нь 10, 20, 100, 200 рублийн утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. магадлал нь 0.4-тэй тэнцүү; 0.3; 0.2; 0.1. Тиймээс хүлээгдэж буй дундаж өгөөж нь өгөөжийн хэмжээ ба түүнийг хүлээн авах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээ 2Хэвлэлийн газар хэвлүүлэхээр шийдсэн шинэ ном. Тэр номоо 280 рублиэр зарах гэж байгаа бөгөөд үүнээс 200-г нь өөрт нь, 50-г нь номын дэлгүүрт, 30-ыг нь зохиолчид өгөх юм байна. Хүснэгтэд ном хэвлэх зардал, номыг тодорхой тооны хувь борлуулах магадлалын талаархи мэдээллийг өгсөн болно.
Нийтлэгчийн хүлээгдэж буй ашгийг олоорой.
Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн "ашиг" нь борлуулалтаас олсон орлого ба зардлын зардлын зөрүүтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв 500 хувь ном зарагдсан бол борлуулалтын орлого нь 200 * 500 = 100,000, хэвлэх зардал нь 225,000 рубль болно. Тиймээс нийтлэгч 125,000 рублийн алдагдал хүлээж байна. Дараахь хүснэгтэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утгуудыг нэгтгэн харуулав - ашиг.
| Тоо | Ашиг xби | Магадлал хби | xби хби |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Нийт: | 1,00 | 25000 |
Тиймээс бид нийтлэгчийн ашгийн математикийн хүлээлтийг олж авдаг.
.
Жишээ 3Нэг цохилтоор цохих боломж х= 0.2. 5-тай тэнцэх тооны цохилтын математик хүлээлтийг хангах бүрхүүлийн хэрэглээг тодорхойл.
Шийдэл. Бидний өнөөг хүртэл хэрэглэж байсан хүлээлтийн томъёоноос бид илэрхийлж байна x- бүрхүүлийн хэрэглээ:
.
Жишээ 4Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл xГурван цохилттой цохилтын тоо, хэрэв сум тус бүрээр онох магадлал х = 0,4 .
Зөвлөмж: санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлалыг олох Бернулли томъёо .
Хүлээгдэж буй шинж чанарууд
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг авч үзье.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ тогтмолтой тэнцүү байна:
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг хүлээлтийн тэмдгээс хасаж болно:
Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн (ялгаа) математикийн хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Эд хөрөнгө 5.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд Xижил тоогоор буурах (өсөх). FROM, дараа нь түүний математик хүлээлт ижил тоогоор буурах (өсөх) болно:
Зөвхөн математикийн хүлээлтээр хязгаарлагдах боломжгүй үед
Ихэнх тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг зохих ёсоор тодорхойлж чадахгүй.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье Xболон ЮДараахь хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:
| Утга X | Магадлал |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Утга Ю | Магадлал |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Эдгээр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил байна - тэгтэй тэнцүү:
Гэсэн хэдий ч тэдний тархалт өөр байна. Санамсаргүй утга Xзөвхөн математикийн хүлээлтээс ялгаатай утгууд болон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч болно Юматематикийн хүлээлтээс ихээхэн зөрүүтэй утгыг авч болно. Үүнтэй төстэй жишээ: дундаж цалин нь шүүх боломжгүй тодорхой татах хүчөндөр, бага цалинтай ажилчид. Өөрөөр хэлбэл, математикийн хүлээлтээр дор хаяж дунджаар ямар хазайлт гарах боломжтойг дүгнэж болохгүй. Үүнийг хийхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олох хэрэгтэй.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт
тархалтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн XМатематикийн хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xдуудсан арифметик утгатүүний дисперсийн квадрат язгуур:
.
Жишээ 5Зөрчлийн зөрүү ба дундаж утгыг тооцоолох стандарт хазайлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүн Xболон Ю, тэдгээрийн тархалтын хуулиудыг дээрх хүснэгтэд өгсөн болно.
Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт Xболон Ю, дээр дурдсанчлан, тэгтэй тэнцүү байна. дисперсийн томъёоны дагуу Э(X)=Э(y)=0 бид дараахыг авна:
Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xболон Юбүрдүүлнэ
.
Тиймээс ижил математикийн хүлээлттэй, санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс Xмаш жижиг бөгөөд санамсаргүй Ю- чухал ач холбогдолтой. Энэ нь тэдний хуваарилалтын ялгааны үр дагавар юм.
Жишээ 6Хөрөнгө оруулагч нь өөр хөрөнгө оруулалтын 4 төсөлтэй. Хүснэгтэд эдгээр төслүүдийн хүлээгдэж буй ашгийн талаархи мэдээллийг холбогдох магадлалаар нэгтгэн харуулав.
| Төсөл 1 | Төсөл 2 | Төсөл 3 | Төсөл 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Альтернатив тус бүрийн хувьд математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.
Шийдэл. Гурав дахь хувилбарт эдгээр хэмжигдэхүүнийг хэрхэн тооцдог болохыг харуулъя.
Хүснэгтэд бүх хувилбаруудын олсон утгыг нэгтгэн харуулав.
Бүх хувилбарууд нь ижил математикийн хүлээлттэй байдаг. Энэ нь урт хугацаанд бүгд ижил орлоготой байна гэсэн үг. Стандарт хазайлтыг эрсдэлийн хэмжүүр гэж тайлбарлаж болно - энэ нь том байх тусам хөрөнгө оруулалтын эрсдэл их байх болно. Нэг их эрсдэл хүсэхгүй байгаа хөрөнгө оруулагч 1-р төслийг сонгох бөгөөд энэ нь хамгийн бага стандарт хазайлттай (0). Хэрэв хөрөнгө оруулагч богино хугацаанд эрсдэл, өндөр өгөөжийг илүүд үздэг бол тэрээр хамгийн том стандарт хазайлттай төслийг сонгох болно - төсөл 4.
Тархалтын шинж чанарууд
Дисперсийн шинж чанарыг танилцуулъя.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын тархалт тэг байна:
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.
.
Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь энэ утгын квадратын математик хүлээлттэй тэнцүү бөгөөд үүнээс тухайн утгын математик хүлээлтийн квадратыг хасна.
,
хаана 
.
Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна:
Жишээ 7Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг мэддэг Xзөвхөн хоёр утгыг авна: −3 ба 7. Үүнээс гадна математикийн хүлээлт мэдэгдэж байна: Э(X) = 4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.
Шийдэл. -ээр тэмдэглээрэй хсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авах магадлал x1 = −3 . Дараа нь үнэ цэнийн магадлал x2 = 7 1 - байх болно х. Математикийн хүлээлтийн тэгшитгэлийг гаргая:
Э(X) = x 1 х + x 2 (1 − х) = −3х + 7(1 − х) = 4 ,
Бид магадлалыг хаанаас авах вэ: х= 0.3 ба 1 − х = 0,7 .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | −3 | 7 |
| х | 0,3 | 0,7 |
Бид энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг дисперсийн 3-р шинж чанарын томъёог ашиглан тооцоолно.
Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 8Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоёр утгыг авдаг. Энэ нь 0.4 магадлалтай 3 гэсэн том утгыг авна. Үүнээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг мэддэг Д(X) = 6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.
Жишээ 9Нэг саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөлөг байдаг. 3 бөмбөгийг савнаас авдаг. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дундах цагаан бөмбөгний тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Санамсаргүй утга X 0, 1, 2, 3 утгуудыг авч болно. Харгалзах магадлалыг дараахаас тооцоолж болно. магадлалыг үржүүлэх дүрэм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| х | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Иймээс энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт:
М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь:
Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба тархалт
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийн механик тайлбар нь ижил утгыг хадгалах болно: нягтралтай x тэнхлэгт тасралтгүй тархсан нэгж массын массын төв. е(x). Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс ялгаатай нь функц нь аргумент болдог xбигэнэт өөрчлөгддөг, тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд аргумент тасралтгүй өөрчлөгддөг. Гэхдээ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний дундаж утгатай бас холбоотой.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг олохын тулд тодорхой интегралуудыг олох хэрэгтэй. . Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц өгөгдсөн бол энэ нь интегралд шууд орно. Хэрэв магадлалын тархалтын функц өгөгдсөн бол түүнийг ялгах замаар нягтын функцийг олох хэрэгтэй.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын арифметик дундажийг түүний гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт, эсвэл гэж тэмдэглэнэ.
Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд: математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлт. Тэдний шинж чанар, жишээ.
Тархалтын хууль (тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд асуусан асуултанд хариулахын тулд судалж буй хэмжигдэхүүний зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарыг авч үзье.
Тодорхойлолт 7.1.математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.
М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p r p(7.1)
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй бол үр дүнгийн цуваа туйлын нийлдэг.
Тайлбар 1.Математикийн хүлээлтийг заримдаа гэж нэрлэдэг жигнэсэн дундаж, учир нь энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна их тоотуршилтууд.
Тайлбар 2.Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос харахад түүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит хамгийн бага утгаас багагүй, хамгийн томоос ихгүй байна.
Тайлбар 3.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь санамсаргүй бус(тогтмол. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ч мөн адил гэдгийг бид дараа нь харах болно.
Жишээ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X- 10 хэсгээс сонгогдсон гурваас стандарт эд ангиудын тоо, түүний дотор 2 гэмтэлтэй. Бид түгээлтийн цуврал зохиоё X. Асуудлын нөхцөл байдлаас харахад ийм байна X 1, 2, 3 утгыг авч болно. Дараа нь
Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл X- Төрийн сүлд анх гарч ирэх хүртэлх зоос шидсэн тоо. Энэ хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй тооны утгыг авч болно (боломжтой утгуудын багц нь натурал тоонуудын багц юм). Түүний түгээлтийн цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.
| X | … | П | … | ||
| Р | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)П | … |
+ (тооцоолохдоо хязгааргүй бууралтын нийлбэрийн томъёо геометрийн прогресс: , хаана ).
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд.
1) Тогтмолын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна:
М(FROM) = FROM.(7.2)
Баталгаа. Хэрэв бид авч үзвэл FROMзөвхөн нэг утгыг авдаг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн FROMмагадлалаар Р= 1, тэгвэл М(FROM) = FROM?1 = FROM.
2) Тогтмол хүчин зүйлийг хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно.
М(SH) = CM(X). (7.3)
Баталгаа. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтүгээлтийн цувралаар өгөгдсөн
Дараа нь М(SH) = Cx 1 Р 1 + Cx 2 Р 2 + … + Cx p r p = FROM(X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p r p) = CM(X).
Тодорхойлолт 7.2.Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь хуваарилалтын хууль нь нөгөө нь ямар үнэ цэнийг авсанаас хамаарахгүй бол. Үгүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн хамааралтай.
Тодорхойлолт 7.3.За дуудъя бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр Xболон Ю санамсаргүй хувьсагч XY, боломжит утгууд нь бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна Xбүх боломжит утгуудын хувьд Ю, тэдгээрт харгалзах магадлал нь хүчин зүйлсийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.
М(XY) = М(X)М(Ю). (7.4)
Баталгаа. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид зөвхөн тухайн тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг Xболон Юзөвхөн хоёр боломжит утгыг авна:
Үүний үр дүнд, М(XY) = x 1 y 1 ?х 1 g 1 + x 2 y 1 ?х 2 g 1 + x 1 y 2 ?х 1 g 2 + x 2 y 2 ?х 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 х 1 + x 2 х 2) + + y 2 g 2 (x 1 х 1 + x 2 х 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 х 1 + x 2 х 2) = М(X)?М(Ю).
Тайлбар 1.Үүний нэгэн адил хүчин зүйлийн илүү боломжит утгын хувьд энэ өмчийг нотлох боломжтой.
Тайлбар 2. 3-р шинж чанар нь дурын тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрт хүчинтэй бөгөөд энэ нь математик индукцийн аргаар нотлогддог.
Тодорхойлолт 7.4.Тодорхойлъё санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр Xболон Ю санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X + Y, тэдгээрийн боломжит утгууд нь боломжит утга бүрийн нийлбэртэй тэнцүү байна Xболомжтой бүх үнэ цэнээр Ю; Ийм нийлбэрийн магадлал нь нэр томъёоны магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна (хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд - нэг гишүүний магадлалын хоёр дахь нөхцөлт магадлалын үржвэрүүд).
4) Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (хамааралтай эсвэл бие даасан) нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
М (X+Y) = М (X) + М (Ю). (7.5)
Баталгаа.
Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаанд өгөгдсөн тархалтын цуваагаар өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг дахин авч үзье 3. Дараа нь боломжит утгууд X+Yбайна X 1 + цагт 1 , X 1 + цагт 2 , X 2 + цагт 1 , X 2 + цагт 2. Тэдний магадлалыг тус тус гэж тэмдэглэ Р 11 , Р 12 , Р 21 ба Р 22. Олъё М(X+Ю) = (x 1 + y 1)х 11 + (x 1 + y 2)х 12 + (x 2 + y 1)х 21 + (x 2 + y 2)х 22 =
= x 1 (х 11 + х 12) + x 2 (х 21 + х 22) + y 1 (х 11 + х 21) + y 2 (х 12 + х 22).
Үүнийг баталцгаая Р 11 + Р 22 = Рнэг . Үнэхээр үйл явдал X+Yүнэт зүйлсийг авах болно X 1 + цагт 1 эсвэл X 1 + цагт 2 ба магадлал нь Р 11 + Ргэсэн үйл явдалтай 22 давхцаж байна X = X 1 (түүний магадлал нь Рнэг). Үүний нэгэн адил энэ нь батлагдсан х 21 + х 22 = Р 2 , х 11 + х 21 = g 1 , х 12 + х 22 = g 2. гэсэн үг,
М(X+Y) = x 1 х 1 + x 2 х 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = М (X) + М (Ю).
Сэтгэгдэл. 4-р шинж чанар нь дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь нэр томъёоны хүлээгдэж буй утгуудын нийлбэртэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Жишээ. Таван шоо шидэх үед өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол.
Нэг үхлийг шидэх үед унасан онооны тооны математик хүлээлтийг олцгооё.
М(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ижил тоо нь ямар ч үхэл дээр унасан онооны тооны математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Иймд өмч хөрөнгөөр 4 М(X)=
Тархалт.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан байдлын талаархи ойлголттой байхын тулд зөвхөн математикийн хүлээлтийг мэдэх нь хангалтгүй юм. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье: Xболон Ю, маягтын тархалтын цувралаар өгөгдсөн
| X | |||
| Р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Ю | ||
| х | 0,5 | 0,5 |
Олъё М(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Ю) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. Таны харж байгаагаар хоёр хэмжигдэхүүний математик хүлээлт тэнцүү байна, гэхдээ хэрэв ХМ(X) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг маш сайн тодорхойлдог бөгөөд энэ нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм (үүнээс гадна үлдсэн утгууд нь 50-аас бага зэрэг ялгаатай), дараа нь утгууд Ю-аас ихээхэн зөрүүтэй байна М(Ю). Тиймээс, математикийн хүлээлттэй зэрэгцэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга түүнээс хэр их хазайж байгааг мэдэх нь зүйтэй юм. Энэ үзүүлэлтийг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашигладаг.
Тодорхойлолт 7.5.Тархалт (тархалт)Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний математик хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.
Д(X) = М (X-M(X))². (7.6)
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол X(сонгосон хэсгүүдийн стандарт хэсгүүдийн тоо) энэ лекцийн 1-р жишээнд. Математикийн хүлээлтээс боломжит утга бүрийн квадрат хазайлтын утгыг тооцоолъё.
(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Үүний үр дүнд,
Тайлбар 1.Дисперсийг тодорхойлохдоо дундаж утгаас хазайлтыг бус харин түүний квадратыг үнэлдэг. Энэ нь янз бүрийн тэмдгүүдийн хазайлт нь бие биенээ нөхөхгүйн тулд хийгддэг.
Тайлбар 2.Тархалтын тодорхойлолтоос харахад энэ хэмжигдэхүүн нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг.
Тайлбар 3.Дисперсийг тооцоолох илүү тохиромжтой томьёо байдаг бөгөөд түүний үнэн зөвийг дараах теоремоор нотолсон болно.
Теорем 7.1.Д(X) = М(X²) - М²( X). (7.7)
Баталгаа.
Юуг ашигласнаар М(X) нь тогтмол утга бөгөөд математикийн хүлээлтийн шинж чанаруудыг бид (7.6) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
Д(X) = М(X-M(X))² = М(X² - 2 X?M(X) + М²( X)) = М(X²) - 2 М(X)?М(X) + М²( X) =
= М(X²) - 2 М²( X) + М²( X) = М(X²) - М²( X), нотлох ёстой байсан.
Жишээ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсийг тооцоолъё Xболон ЮЭнэ хэсгийн эхэнд хэлэлцсэн. М(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
М(Ю) \u003d (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Тэгэхээр хоёр дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь эхнийхээс хэдэн мянга дахин их байна. Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуулийг мэдэхгүй ч гэсэн мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэялгаа, бид үүнийг хэлж чадна Xматематикийн хүлээлтээс бага зэрэг хазайдаг, харин for ЮЭнэ хазайлт нь маш чухал юм.
Тархалтын шинж чанарууд.
1) Тархалтын тогтмол FROMтэгтэй тэнцүү:
Д (C) = 0. (7.8)
Баталгаа. Д(C) = М((С-М(C))²) = М((С-С)²) = М(0) = 0.
2) Тогтмол коэффициентийг квадратаар хувааснаар дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.
Д(CX) = C² Д(X). (7.9)
Баталгаа. Д(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(X))²) = М(C²( X-M(X))²) =
= C² Д(X).
3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Д(X+Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.10)
Баталгаа. Д(X+Y) = М(X² + 2 XY + Ю²) - ( М(X) + М(Ю))² = М(X²) + 2 М(X)М(Ю) +
+ М(Ю²) - М²( X) - 2М(X)М(Ю) - М²( Ю) = (М(X²) - М²( X)) + (М(Ю²) - М²( Ю)) = Д(X) + Д(Ю).
Үр дагавар 1.Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үр дагавар 2.Тогтмол болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй тэнцүү байна.
4) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ялгаврын дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Д(X-Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.11)
Баталгаа. Д(X-Y) = Д(X) + Д(-Ю) = Д(X) + (-1)² Д(Ю) = Д(X) + Д(X).
Дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажаас квадрат хазайлтын дундаж утгыг өгдөг; хазайлтыг өөрөө үнэлэх нь стандарт хазайлт гэж нэрлэгддэг утга юм.
Тодорхойлолт 7.6.Стандарт хэлбэлзэлσ санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xдуудсан Квадрат язгууртархалтаас:
Жишээ. Өмнөх жишээнд стандарт хазайлтууд Xболон Ютэнцүү байна
Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм
Математикийн хүлээлт, тодорхойлолт, дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн математик хүлээлт, сонгомол, нөхцөлт хүлээлт, тооцоо, шинж чанар, даалгавар, хүлээлтийн тооцоо, дисперс, тархалтын функц, томьёо, тооцооны жишээ
Агуулгыг өргөжүүлэх
Контентыг буулгах
Математикийн хүлээлт бол тодорхойлолт юм
Хамгийн чухал ойлголтуудын нэг математик статистиксанамсаргүй хэмжигдэхүүний утга эсвэл магадлалын тархалтыг тодорхойлдог магадлалын онол. Ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит параметрүүдийн жигнэсэн дундажаар илэрхийлэгддэг. Техникийн шинжилгээ, тооны цувааг судлах, тасралтгүй болон урт хугацааны үйл явцыг судлахад өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нь санхүүгийн зах зээл дээр арилжаа хийх үед эрсдэлийг үнэлэх, үнийн үзүүлэлтүүдийг урьдчилан таамаглахад чухал ач холбогдолтой бөгөөд мөрийтэй тоглоомын онолын стратеги, тактикийн аргыг боловсруулахад ашигладаг.
Математикийн хүлээлт ньсанамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга, санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг магадлалын онолд авч үздэг.
Математикийн хүлээлт ньмагадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын хэмжүүр. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт xтэмдэглэсэн М(х).
Математикийн хүлээлт нь
Математикийн хүлээлт ньмагадлалын онолын хувьд энэ санамсаргүй хувьсагчийн авч чадах бүх боломжит утгуудын жигнэсэн дундаж.
Математикийн хүлээлт ньЭдгээр утгуудын магадлалаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэр.
Математикийн хүлээлт ньИйм шийдвэрийг их тоо, хол зайн онолын хүрээнд авч үзэх боломжтой тохиолдолд тодорхой шийдвэрийн дундаж ашиг.
Математикийн хүлээлт ньмөрийтэй тоглоомын онолын хувьд тоглогчийн бооцоо тус бүрээс дунджаар олох эсвэл алдах хожлын хэмжээ. Мөрийтэй тоглоомчдын хэлээр үүнийг заримдаа "тоглогчийн ирмэг" (хэрэв тоглогчийн хувьд эерэг бол) эсвэл "байшингийн зах" (хэрэв тоглогчийн хувьд сөрөг байвал) гэж нэрлэдэг.
Математикийн хүлээлт ньЯлалтад ногдох ашгийн хувийг дундаж ашгаас алдагдлын магадлалыг хасч дундаж алдагдалд үржүүлсэн.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт математикийн онол
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний чухал тоон шинж чанаруудын нэг бол математикийн хүлээлт юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Ижил санамсаргүй туршилтын үр дүн болох санамсаргүй хэмжигдэхүүний багцыг авч үзье. Хэрэв энэ нь системийн боломжит утгуудын нэг бол тухайн үйл явдал нь Колмогоровын аксиомыг хангасан тодорхой магадлалтай тохирч байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын хувьд тодорхойлогдсон функцийг хамтарсан тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. Энэ функц нь аливаа үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Ялангуяа олонлогоос утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хамтарсан хуулийг магадлалаар өгдөг.
"Хүлээлт" гэсэн нэр томъёог Пьер Саймон Маркиз де Лаплас (1795) нэвтрүүлсэн бөгөөд 17-р зуунд мөрийтэй тоглоомын онолд Блез Паскаль, Кристиан Гюйгенс нарын бүтээлүүдэд анх гарч ирсэн "хүлээсэн үр өгөөж" гэсэн ойлголтоос гаралтай. . Гэсэн хэдий ч энэхүү үзэл баримтлалын талаархи анхны онолын бүрэн ойлголт, үнэлгээг Пафнуты Львович Чебышев (19-р зууны дунд үе) өгсөн.
Санамсаргүй тоон хэмжигдэхүүний тархалтын хууль (тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд асуусан асуултанд хариулахын тулд судалж буй хэмжигдэхүүний зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт, дисперс, горим ба медиан юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм. Заримдаа математикийн хүлээлтийг жигнэсэн дундаж гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь олон тооны туршилтанд санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байдаг. Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос харахад түүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит хамгийн бага утгаас багагүй, хамгийн томоос ихгүй байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь санамсаргүй бус (тогтмол) хувьсагч юм.
Математикийн хүлээлт нь энгийн физик утгыг агуулдаг: хэрэв нэгж массыг шулуун шугам дээр байрлуулж, зарим массыг зарим цэг дээр байрлуулах (дискрет тархалтын хувьд) эсвэл тодорхой нягтралаар "т рхэц" (туйлын тасралтгүй тархалтын хувьд) Дараа нь математикийн хүлээлтэд тохирох цэг нь шулуун координат "хүндийн төв" байх болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь тодорхой тоо бөгөөд энэ нь түүний "төлөөлөгч" бөгөөд ойролцоогоор тооцоололд орлуулдаг. "Дэнлүүний ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг" эсвэл "нөлөөллийн дундаж цэг нь зорилтот түвшинд харьцангуй баруун тийш 2 м-ээр шилжсэн" гэж хэлэхэд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой тоон шинж чанарыг илэрхийлдэг. тоон тэнхлэг дээрх байршил, i.e. албан тушаалын тодорхойлолт.
Магадлалын онол дахь албан тушаалын шинж чанараас чухал үүрэгсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг гүйцэтгэдэг бөгөөд үүнийг заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X, энэ нь боломжит утгуудтай x1, x2, …, xnмагадлал бүхий p1, p2, …, pn. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын х тэнхлэг дээрх байрлалыг хэд хэдэн тоогоор тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд эдгээр утгууд өөр өөр магадлалтай байдаг. Үүний тулд "жигнэсэн дундаж" гэж нэрлэгддэг утгыг ашиглах нь зүйн хэрэг юм xi, мөн дундажлах явцад xi утга бүрийг энэ утгын магадлалтай пропорциональ "жин"-ээр тооцох ёстой. Тиймээс бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажийг тооцоолох болно X, бид үүнийг тэмдэглэх болно M|X|:
Энэхүү жигнэсэн дундажийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг. Тиймээс бид магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг болох математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзсэн. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба эдгээр утгын магадлалын нийлбэр юм.
Xолон тооны туршилт бүхий санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажаас өвөрмөц хамаарлын улмаас. Энэ хамаарал нь давтамж ба магадлалын хамааралтай ижил төрлийнх бөгөөд тухайлбал: олон тооны туршилт хийснээр санамсаргүй хувьсагчийн ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математик хүлээлтэд ойртдог (магадлалд нийлдэг). Давтамж ба магадлалын хоорондын хамаарлаас үзэхэд арифметик дундаж ба математикийн хүлээлт хоёрын хооронд ижил төстэй хамаарал байгаа гэдгийг дүгнэж болно. Үнэхээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X, хэд хэдэн хуваарилалтаар тодорхойлогддог:
Үүнийг үйлдвэрлэе Нбие даасан туршилтууд, тус бүрдээ үнэ цэнэ Xтодорхой утгыг авдаг. Үнэ цэнэ гэж бодъё x1гарч ирэв м1удаа, үнэ цэнэ x2гарч ирэв м2цаг хугацаа, ерөнхий утга xiхэдэн удаа гарч ирсэн. Математикийн хүлээлтээс ялгаатай нь X-ийн ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг тооцоолъё. M|X|бид тэмдэглэх болно M*|X|:
Туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр Ндавтамжууд пихаргалзах магадлалд ойртох (магадлалаар нийлэх) болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж M|X|Туршилтын тоо нэмэгдэх тусам математикийн хүлээлтэд ойртох болно (магадлалын хувьд нийлнэ). Дээр томъёолсон арифметик дундаж ба математикийн хүлээлтийн хоорондын холбоо нь их тооны хуулийн нэг хэлбэрийн агуулгыг бүрдүүлдэг.
Олон тооны туршилтын явцад тодорхой дундаж үзүүлэлтүүд тогтвортой байдгийг олон тооны хуулийн бүх хэлбэрүүд илэрхийлдэг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энд бид ижил утгатай хэд хэдэн ажиглалтын арифметик дундажийн тогтвортой байдлын тухай ярьж байна. Цөөн тооны туршилтаар тэдгээрийн үр дүнгийн арифметик дундаж нь санамсаргүй байдаг; Туршилтын тоо хангалттай нэмэгдэх тусам энэ нь "бараг санамсаргүй" болж, тогтворжиж, тогтмол утга болох математикийн хүлээлт рүү ойртдог.
Олон тооны туршилтын дундаж үзүүлэлтүүдийн тогтвортой байдлын шинж чанарыг туршилтаар шалгахад хялбар байдаг. Жишээлбэл, биеийг лабораторид жинлэх нарийвчлалтай жинлүүр, жинлэлтийн үр дүнд бид цаг тутамд шинэ утгыг авдаг; Ажиглалтын алдааг багасгахын тулд бид биеийг хэд хэдэн удаа жинлэж, олж авсан утгуудын арифметик дундажийг ашиглана. Туршилтын тоо (жинлэх) цаашид нэмэгдэхийн хэрээр арифметик дундаж нь энэ өсөлтөд бага багаар хариу үйлдэл үзүүлж, хангалттай олон тооны туршилт хийснээр бараг өөрчлөгдөхөө больсныг харахад хялбар байдаг.
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй хамгийн чухал шинж чанарсанамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлал - математикийн хүлээлт - бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнд байдаггүй. Харгалзах нийлбэр эсвэл интеграл нь зөрүүтэй байдаг тул математикийн хүлээлт байхгүй ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг гаргаж болно. Гэсэн хэдий ч практикт ийм тохиолдлууд тийм ч их сонирхолгүй байдаг. Ихэвчлэн бидний харьцаж байгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд боломжит утгуудын хязгаарлагдмал хүрээтэй бөгөөд мэдээжийн хэрэг хүлээлттэй байдаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалын хамгийн чухал шинж чанар болох математикийн хүлээлтээс гадна бусад байрлалын шинж чанаруудыг заримдаа практикт ашигладаг, тухайлбал санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба медианыг ашигладаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. "Хамгийн их магадлалтай үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёо нь зөвхөн тасархай хэмжигдэхүүнд хамаарна; төлөө тасралтгүй утгагорим нь магадлалын нягт хамгийн их байх утга юм. Зураг нь тасархай болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн горимыг тус тус харуулж байна.
Хэрэв тархалтын олон өнцөгт (тархалтын муруй) нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг "полимодаль" гэнэ.
Заримдаа дунд хэсэгт дээд тал нь биш, харин хамгийн бага байдаг хуваарилалт байдаг. Ийм хуваарилалтыг "antimodal" гэж нэрлэдэг.
AT ерөнхий тохиолдолсанамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Тодорхой тохиолдолд тархалт нь тэгш хэмтэй ба модаль (жишээ нь горимтой) бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд энэ нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.
Байршлын өөр нэг шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг - санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан гэж нэрлэгддэг. Энэ шинж чанарыг зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ашигладаг боловч тасархай хувьсагчийн хувьд албан ёсоор тодорхойлж болно. Геометрийн хувьд медиан нь тархалтын муруйгаар хязгаарлагдсан талбайг хоёр хуваасан цэгийн абсцисса юм.
Модаль тэгш хэмтэй тархалтын хувьд медиан нь дундаж болон горимтой давхцдаг.
Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын тоон шинж чанар юм. Хамгийн ерөнхий байдлаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w)магадлалын хэмжүүрийн хувьд Лебегийн интеграл гэж тодорхойлогддог Ранхны магадлалын орон зайд:
Математикийн хүлээлтийг мөн Лебесгийн интегралаар тооцоолж болно Xмагадлалын тархалтаар pxтоо хэмжээ X:
Хязгааргүй математик хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн ойлголтыг байгалийн жамаар тодорхойлж болно. Ердийн жишээзарим санамсаргүй алхалтын буцах цагууд.
Математикийн хүлээлтийн тусламжтайгаар олон тооны болон функциональ шинж чанаруудтархалт (санамсаргүй хэмжигдэхүүний харгалзах функцүүдийн математик хүлээлт гэх мэт), жишээлбэл, үүсгэх функц, шинж чанарын функц, ямар ч дарааллын моментууд, ялангуяа дисперс, ковариац.
Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байршлын шинж чанар (түүний тархалтын дундаж утга) юм. Энэ хүчин чадлаар математикийн хүлээлт нь зарим "ердийн" хуваарилалтын параметр болж үйлчилдэг бөгөөд түүний үүрэг нь механик дахь статик момент - массын тархалтын хүндийн төвийн координаттай төстэй юм. Байршлын бусад шинж чанаруудаас, тэдгээрийн тусламжтайгаар тархалтыг ерөнхийд нь тайлбарласан байдаг - медианууд, горимууд, математикийн хүлээлт нь магадлалын онолын хязгаарын теоремуудад түүний болон харгалзах тархалтын шинж чанар - тархалтаас илүү их утгаараа ялгаатай байдаг. Математикийн хүлээлтийн утгыг хамгийн их бүрэн дүүрэн байдлаар олон тооны хууль (Чебышевын тэгш бус байдал) болон олон тооны хүчирхэгжүүлсэн хуулиар нээдэг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
Хэд хэдэн тоон утгын аль нэгийг авч болох санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаарай (жишээлбэл, өнхрөх цэгийн тоо 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 байж болно). Ихэнхдээ практик дээр ийм үнэ цэнийн хувьд асуулт гарч ирдэг: олон тооны туршилтаар "дунджаар" ямар үнэ цэнийг авдаг вэ? Эрсдэлтэй гүйлгээ бүрээс бидний дундаж өгөөж (эсвэл алдагдал) ямар байх вэ?
Ямар нэгэн сугалаа байдаг гэж бодъё. Үүнд оролцох (эсвэл дахин дахин, тогтмол оролцох) нь ашигтай эсэх, үгүй юу гэдгийг ойлгохыг хүсч байна. Дөрөв дэх тасалбар бүр хождог, шагнал нь 300 рубль, ямар ч тасалбарын үнэ 100 рубль байх болно гэж бодъё. Хязгааргүй олон тооны оролцоотойгоор ийм зүйл тохиолддог. Тохиолдлын дөрөвний гурвын хувьд бид алдах болно, гурван алдагдал бүр 300 рубль болно. Дөрөв дэх тохиолдол бүрт бид 200 рубль хожих болно. (шагналыг хасах зардал), өөрөөр хэлбэл дөрвөн оролцооны хувьд бид дунджаар 100 рубль, нэг нь дунджаар 25 рубль алддаг. Нийтдээ манай сүйрлийн дундаж үнэ тасалбар бүрт 25 рубль байх болно.
Бид шиддэг шоо. Хэрэв энэ нь хууран мэхлэхгүй бол (хүндийн төвийг шилжүүлэхгүйгээр гэх мэт) бид нэг удаад дунджаар хэдэн оноо авах вэ? Сонголт бүр адилхан магадлалтай тул бид тэнэг арифметик дундажийг аваад 3.5-ыг авна. Энэ нь ДУНДЖ учраас ямар ч тодорхой шидэлт 3.5 оноо өгөхгүй гэж уурлах шаардлагагүй - энэ шоо ийм тооны нүүртэй байдаггүй!
Одоо жишээнүүдээ нэгтгэн хэлье:
Яг дээрх зургийг харцгаая. Зүүн талд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хүснэгт байна. X-ийн утга нь n боломжит утгын аль нэгийг авч болно (дээд эгнээнд өгөгдсөн). Өөр үнэт зүйл байж болохгүй. Боломжит утга бүрийн дор түүний магадлалыг доор тэмдэглэв. Баруун талд M(X)-ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг томьёо байна. Энэ утгын утга нь олон тооны туршилт (их хэмжээний түүвэр) хийх үед дундаж утга нь энэхүү математикийн хүлээлтэд чиглэх болно.
Нөгөө л тоглох шоо руугаа буцъя. Шидэх онооны математикийн хүлээлт 3.5 байна (хэрэв та итгэхгүй байгаа бол томьёог ашиглан өөрөө тооцоолоорой). Та хэд хэдэн удаа шидсэн гэж бодъё. 4 ба 6 нь унасан. Дунджаар 5 болсон, өөрөөр хэлбэл 3.5-аас хол байна. Тэд дахин шидэж, 3 нь унасан, өөрөөр хэлбэл дунджаар (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... Математикийн хүлээлтээс ямар нэгэн байдлаар хол байна. Одоо галзуу туршилт хий - шоо 1000 удаа эргэлдүүл! Тэгээд дундаж нь яг 3.5 биш бол тэрэнд дөхнө.
Дээр дурдсан сугалааны математикийн хүлээлтийг тооцоолъё. Хүснэгт дараах байдлаар харагдах болно.
Дараа нь математикийн хүлээлт нь дээр дурдсанчлан байх болно.:
Өөр нэг зүйл бол энэ нь бас "хуруунд" байдаг, томъёо байхгүй бол илүү олон сонголт байвал хэцүү байх болно. За, тасалбарын 75% нь хожигдсон, 20% нь тасалбар, 5% нь тасалбар хожсон гэж бодъё.
Одоо математикийн хүлээлтийн зарим шинж чанарууд.
Үүнийг батлахад хялбар:
Тогтмол үржүүлэгчийг хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл:
Энэ бол математикийн хүлээлтийн шугаман шинж чанарын онцгой тохиолдол юм.
Математикийн хүлээлтийн шугаман байдлын өөр нэг үр дагавар:
өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
X,Y-г бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзье, дараа нь:
Үүнийг батлахад хялбар) XYөөрөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд анхны утгууд нь авч болно nболон мүнэт зүйлс, дараа нь тус тус XY nm утгыг авч болно. Утга тус бүрийн магадлалыг бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэхэд үндэслэн тооцдог. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тархалтын нягт (магадлалын нягт) зэрэг шинж чанартай байдаг. Энэ нь үнэн хэрэгтээ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бодит тоонуудын багцаас зарим утгыг илүү олон удаа, заримыг нь бага авдаг нөхцөл байдлыг тодорхойлдог. Жишээлбэл, энэ графикийг авч үзье.
Энд X- үнэндээ санамсаргүй хэмжигдэхүүн, f(x)- тархалтын нягт. Энэ графикаас харахад туршилтын явцад үнэ цэнэ Xихэвчлэн тэгтэй ойролцоо тоо байх болно. давах боломж 3 эсвэл бага байх -3 харин цэвэр онолынх.
Жишээлбэл, нэг жигд хуваарилалт байна:
Энэ нь зөн совингийн ойлголттой нэлээд нийцдэг. Авсан бол гэж хэлье жигд хуваарилалтолон санамсаргүй бодит тоо, интервал тус бүр |0; 1| , тэгвэл арифметик дундаж нь 0.5 орчим байх ёстой.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарах шугаман чанар гэх мэт математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд энд бас хамаарна.
Математикийн хүлээлтийн бусад статистик үзүүлэлттэй хамаарал
Статистикийн шинжилгээнд математикийн хүлээлттэй хамт үзэгдлийн нэгэн төрлийн байдал, үйл явцын тогтвортой байдлыг тусгасан харилцан хамааралтай үзүүлэлтүүдийн систем байдаг. Ихэнхдээ өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд нь бие даасан утгатай байдаггүй бөгөөд цаашдын мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийхэд ашиглагддаг. Үл хамаарах зүйл бол өгөгдлийн нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлдог хэлбэлзлийн коэффициент бөгөөд энэ нь үнэ цэнэтэй юм. статистик шинж чанар.
Статистикийн шинжлэх ухаан дахь үйл явцын хувьсах буюу тогтвортой байдлын зэргийг хэд хэдэн үзүүлэлтээр хэмжиж болно.
Ихэнх чухал үзүүлэлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьсах чанарыг тодорхойлох нь Тархалт, энэ нь математикийн хүлээлттэй хамгийн нягт бөгөөд шууд холбоотой. Энэ параметрийг бусад төрлийн статистик шинжилгээнд идэвхтэй ашигладаг (таамаглалыг шалгах, шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг шинжлэх гэх мэт). Дундаж шугаман хазайлтын нэгэн адил дисперс нь өгөгдөл хэр зэрэг тархаж байгааг тусгадаг дундаж хэмжээ.
Тэмдгийн хэлийг үгийн хэл рүү хөрвүүлэх нь ашигтай. Эндээс харахад хэлбэлзэл нь хазайлтын дундаж квадрат юм. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд дундаж утгыг тооцоолж, дараа нь анхны болон дундаж утга бүрийн ялгааг авч, квадрат болгож, нэмж, дараа нь энэ популяцийн утгын тоонд хуваана. Хувь хүний утга ба дундаж утгын зөрүү нь хазайлтын хэмжүүрийг илэрхийлдэг. Энэ нь бүх хазайлт нь онцгой байхаар квадрат хэлбэртэй байна эерэг тоонуудмөн тэдгээрийг нэгтгэн дүгнэхдээ эерэг ба сөрөг хазайлтыг харилцан цуцлахаас зайлсхийх. Дараа нь квадрат хазайлтыг өгвөл бид зүгээр л арифметик дундажийг тооцоолно. Дундаж - квадрат - хазайлт. Хазайлтыг квадратаар тооцож, дундажийг тооцно. Тархалт гэдэг шидэт үгийн хариулт ердөө гурван үг.
Гэсэн хэдий ч, онд цэвэр хэлбэр, жишээ нь арифметик дундаж буюу индекс, дисперсийг ашигладаггүй. Энэ нь бусад төрлийн статистикийн шинжилгээнд ашиглагддаг туслах ба завсрын үзүүлэлт юм. Түүнд ердийн хэмжүүр ч байхгүй. Томьёогоос харахад энэ нь анхны өгөгдлийн нэгжийн квадрат юм.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэмжье Нудаа, жишээлбэл, бид салхины хурдыг арав дахин хэмжиж, дундаж утгыг олохыг хүсдэг. Дундаж утга нь тархалтын функцтэй хэрхэн холбоотой вэ?
Эсвэл бид шоо хаях болно олон тоонынэг удаа. Шидэлт бүрийн үед үхсэнд унах оноо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд 1-ээс 6 хүртэлх байгалийн утгыг авч болно. НЭнэ нь маш тодорхой тоо - математикийн хүлээлт рүү чиглэдэг Mx. AT Энэ тохиолдолд Mx = 3.5.
Энэ үнэ цэнэ хэрхэн бий болсон бэ? Оруул Нтуршилтууд n1нэг удаа 1 оноо унавал, n2удаа - 2 оноо гэх мэт. Дараа нь нэг оноо унасан үр дүнгийн тоо:
2, 3, 4, 5, 6 оноо унасан үр дүнгийн хувьд мөн адил.
Одоо бид x санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэддэг гэж үзье, өөрөөр хэлбэл x санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь p1, p2, ... магадлал бүхий x1, x2, ..., xk утгуудыг авч чадна гэдгийг бид мэднэ гэж үзье. , pk.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний Mx математикийн хүлээлт нь:
Математикийн хүлээлт нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндэслэлтэй тооцоолол биш юм. Тиймээс дундажийг тооцоолох цалиндундаж цалингийн хэмжээнээс бага ба түүнээс дээш цалин авч байгаа хүмүүсийн тоо ижил байхаар голч гэсэн ойлголтыг ашиглах нь илүү үндэслэлтэй юм.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x x1/2-оос бага байх p1 магадлал, x санамсаргүй хэмжигдэхүүн x1/2-ээс их байх p2 магадлал нь ижил ба 1/2-тэй тэнцүү байна. Медиан нь бүх тархалтын хувьд тодорхойлогддоггүй.
Стандарт эсвэл стандарт хазайлтстатистикийн хувьд ажиглалтын өгөгдөл эсвэл олонлогийн ДУНДАЖ утгаас хазайх зэрэг гэж нэрлэдэг. s эсвэл s үсгээр тэмдэглэнэ. Жижиг стандарт хазайлт нь өгөгдлийг дунджийн эргэн тойронд бүлэглэж байгааг, харин том стандарт хазайлт нь анхны өгөгдөл түүнээс хол байгааг илтгэнэ. Стандарт хазайлт нь дисперс гэж нэрлэгддэг хэмжигдэхүүний квадрат язгууртай тэнцүү байна. Энэ нь дунджаас хазайсан анхны өгөгдлийн квадрат зөрүүний нийлбэрийн дундаж юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм:
Жишээ. Туршилтын нөхцөлд бай руу буудахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл ба стандарт хазайлтыг тооцоол.
Хувилбар- хүн амын нэгж дэх шинж чанарын утгын хэлбэлзэл, хэлбэлзэл. Судалгаанд хамрагдсан популяцид тохиолддог онцлог шинж чанарын тусдаа тоон утгыг утгын хувилбар гэж нэрлэдэг. Дундаж утгын хангалтгүй байдал бүрэн шинж чанаруудНийтлэл нь судалж буй шинж чанарын хэлбэлзлийг (хувилбар) хэмжих замаар эдгээр дундаж утгуудын ердийн байдлыг үнэлэх боломжийг олгодог үзүүлэлтүүдээр дундаж утгыг нэмэх боломжийг бидэнд олгодог. Өөрчлөлтийн коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.
Хүрээний өөрчлөлт(R) нь судлагдсан популяцийн шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгын хоорондох зөрүү юм. Энэ үзүүлэлт нь зөвхөн сонголтуудын хэт утгуудын хоорондох ялгааг харуулдаг тул судалж буй шинж чанарын хэлбэлзлийн талаархи хамгийн ерөнхий санааг өгдөг. Атрибутын хэт утгуудын хамаарал нь хэлбэлзлийн хүрээг тогтворгүй, санамсаргүй шинж чанартай болгодог.
Дундаж шугаман хазайлтШинжилсэн популяцийн бүх утгын дундаж утгуудын үнэмлэхүй (модуль) хазайлтын арифметик дундаж нь:
Мөрийтэй тоглоомын онол дахь математикийн хүлээлт
Математикийн хүлээлт ньтухайн бооцоонд мөрийтэй тоглогч хожих эсвэл алдах дундаж мөнгөний хэмжээ. Энэ нь тоглогчийн хувьд маш чухал ойлголт юм, учир нь энэ нь ихэнх тоглоомын нөхцөл байдлыг үнэлэх үндсэн суурь юм. Математикийн хүлээлт нь картын үндсэн загвар, тоглоомын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх хамгийн сайн хэрэгсэл юм.
Та найзтайгаа зоос тоглож байна гэж бодъё, юу гарч ирсэн ч гэсэн 1 доллартай тэнцэх бооцоо тавилаа. Сүүлт - чи ялна, толгой - та ялагдана. Сүүлд гарах магадлал нэгээс нэг бөгөөд та 1 доллараас 1 доллар хүртэл бооцоо тавьж байна. Тиймээс таны математикийн хүлээлт тэг байна, учир нь Математикийн хувьд та хоёр өнхрүүлсний дараа эсвэл 200-ийн дараа тэргүүлж, хожигдох эсэхээ мэдэхгүй.
Таны цагийн ашиг 0 байна. Цагийн төлбөр гэдэг нь нэг цагийн дотор хожихыг хүлээж буй мөнгөний хэмжээ юм. Та нэг цагийн дотор зоосыг 500 удаа эргүүлж чадна, гэхдээ та хожих эсвэл алдахгүй Таны магадлал эерэг ч биш, сөрөг ч биш. Хэрэв та харвал ноцтой тоглогчийн үүднээс ийм бооцооны систем муу биш юм. Гэхдээ энэ бол зүгээр л цаг гарз.
Гэхдээ хэн нэгэн ижил тоглоомонд таны 1 доллартай 2 доллар бооцоо тавихыг хүсч байна гэж бодъё. Дараа нь та бооцоо бүрээс 50 центийн эерэг хүлээлттэй болно. Яагаад 50 цент гэж? Дунджаар та нэг бооцоо хожиж, хоёр дахь нь хожигддог. Эхний доллараар бооцоо тавиад 1 доллар алдаж, хоёр дахь нь бооцоо тавиад 2 доллар хожоорой. Та 1 доллараар хоёр удаа бооцоо тавьсан бөгөөд 1 доллараар илүү байна. Тэгэхээр таны нэг долларын бооцоо тус бүр 50 цент өгсөн.
Хэрэв зоос нэг цагийн дотор 500 удаа унавал таны цагийн ашиг аль хэдийн 250 доллар болно, учир нь. Дунджаар та 1 250 доллар алдаж, 2 250 удаа хожсон. 500 доллараас 250 долларыг хасвал 250 доллартай тэнцэх бөгөөд энэ нь нийт ялалт юм. Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ нь нэг бооцооноос дунджаар хожих дүн нь 50 цент гэдгийг анхаарна уу. Та нэг долларыг 500 удаа бооцоо тавьснаар 250 доллар хожсон нь таны бооцооны 50 центтэй тэнцэнэ.
Математикийн хүлээлт нь богино хугацааны үр дүнтэй ямар ч холбоогүй юм. Таны эсрэг 2 доллараар бооцоо тавихаар шийдсэн өрсөлдөгч чинь эхний арван шидэлтээр таныг ялж магадгүй ч та 2-ын 1-ийн давуу талтай, бусад бүх зүйл тэнцүү байх үед 1 долларын бооцоо бүрээс 50 цент хийх боломжтой. нөхцөл байдал. Та нэг бооцоо эсвэл хэд хэдэн бооцоо тавихдаа хожих, алдах нь хамаагүй, гэхдээ зөвхөн зардлыг хялбархан нөхөх хангалттай бэлэн мөнгөтэй байх нөхцөлд л болно. Хэрэв та ижил аргаар бооцоогоо хийвэл удаан хугацааны туршид таны ялалт хувь хүний нэрийн жагсаалтад хүлээгдэж буй утгын нийлбэрт хүрэх болно.
Та илүү сайн бооцоо тавих болгондоо (урт хугацаанд ашигтай байх бооцоо) магадлал нь таны талд байгаа үед та өгөгдсөн гартаа алдсан ч бай, түүн дээр ямар нэгэн зүйл хожих нь гарцаагүй. Эсрэгээр, хэрэв та магадлал нь таны талд гарахгүй байхад илүү муу үр дүнтэй бооцоо тавьсан бол (урт хугацаанд ашиггүй бооцоо) та энэ гарт хожсон эсвэл хожигдсон эсэхээс үл хамааран ямар нэгэн зүйл алдах болно.
Хэрэв таны хүлээлт эерэг байвал та хамгийн сайн үр дүнд бооцоо тавьж, магадлал таны талд байвал эерэг байна. Хамгийн муу үр дүнгээр бооцоо тавьснаар та сөрөг хүлээлттэй болж, магадлал таны эсрэг байгаа үед тохиолддог. Ноцтой тоглогчид зөвхөн хамгийн сайн үр дүн, хамгийн муу үр дүнгээр бооцоо тавьдаг. Таны талд байгаа магадлал юу гэсэн үг вэ? Та бодит магадлалаас илүү хожиж магадгүй. Бодит магадлалЭнэ нь 1-ээс 1-ийн сүүлтэй байх болно, гэхдээ бооцооны харьцаанаас болж та 2-оос 1-ийг авна. Энэ тохиолдолд магадлал таны талд байна. Бооцоо бүрт 50 цент эерэг хүлээлттэй байвал та хамгийн сайн үр дүнг авах нь гарцаагүй.
Энд илүү их байна нарийн төвөгтэй жишээматематикийн хүлээлт. Найз нь нэгээс тав хүртэлх тоог бичээд, таны 1 доллартай 5 доллараар бооцоо тавьж, та дугаарыг сонгохгүй. Та ийм бооцоо тавихыг зөвшөөрч байна уу? Энд ямар хүлээлт байна вэ?
Дунджаар та дөрвөн удаа буруудах болно. Үүн дээр үндэслэн та энэ тоог таамаглах магадлал 4-өөс 1 байна. Та нэг оролдлогоор нэг доллар алдах магадлал байна. Гэсэн хэдий ч та 5-1-ийн харьцаатай хожиж, 4-ээс 1-ээр хожигдох магадлалтай. Тиймээс магадлал таны талд байгаа тул та бооцоо тавьж, хамгийн сайн үр дүнд найдаж болно. Хэрэв та энэ бооцоог таван удаа хийвэл дунджаар 4 удаа 1 доллар алдаж, нэг удаа 5 доллар хожих болно. Үүний үндсэн дээр та таван оролдлого хийхдээ нэг бооцооны 20 центийн эерэг математикийн хүлээлттэй 1 доллар олох болно.
Дээрх жишээн дээрх шиг мөрий тавьсанаасаа илүү хожих гэж байгаа тоглогч магадлалаа барьж байна. Эсрэгээрээ, тэр бооцооноос бага хожно гэж найдаж байхдаа тэр боломжийг үгүй хийдэг. Бооцооны тоглогч магадлалаа барьж байгаа эсэхээс хамаарч эерэг эсвэл сөрөг хүлээлттэй байж болно.
Хэрэв та 4-1 хожих магадлал бүхий 10 доллар хожихын тулд 50 доллар бооцоо тавьсан бол 2 долларын сөрөг хүлээлттэй болно. Дунджаар та дөрвөн удаа 10 доллар хожиж, нэг удаа 50 доллар алдах бөгөөд энэ нь нэг бооцооны алдагдал 10 доллар болно гэдгийг харуулж байна. Гэхдээ хэрэв та 10 доллар хожихын тулд 30 доллар бооцоо тавьсан бол 4: 1 хожих магадлал ижил байвал энэ тохиолдолд та 2 доллар эерэг хүлээлттэй байна. Та дахин дөрвөн удаа 10 доллар хожиж, нэг удаа 30 доллар алдаж, 10 долларын ашиг олох болно. Эдгээр жишээнүүдээс харахад эхний бооцоо муу, хоёр дахь нь сайн байна.
Математикийн хүлээлт бол аливаа зүйлийн төв юм тоглоомын нөхцөл байдал. Бооцооны газар хөлбөмбөг сонирхогчдыг 10 доллар хожихын тулд 11 доллараар бооцоо тавихыг уриалахад тэд 10 доллар тутамд 50 цент авна гэсэн эерэг хүлээлттэй байдаг. Хэрэв казино нь Craps pass шугамаас мөнгө төлдөг бол байшингийн эерэг хүлээлт 100 доллар тутамд ойролцоогоор $ 1,40 байна; Энэ тоглоом нь энэ мөрөнд бооцоо тавьсан хүн бүр дунджаар 50.7% алдаж, 49.3% хождог байхаар зохион байгуулагдсан. Дэлхий даяарх казиногийн эздэд асар их ашиг авчирдаг нь хамгийн бага эерэг хүлээлт нь эргэлзээгүй. Vegas World казиногийн эзэн Боб Ступак хэлэхдээ, "Хангалттай хол зайд сөрөг магадлалын мянганы нэг хувь нь сүйрнэ. хамгийн баян хүндэлхий дээр".
Покер тоглохдоо математикийн хүлээлт
Покерын тоглоом бол хамгийн нээлттэй бөгөөд сайн жишээматематикийн хүлээлтийн онол, шинж чанарыг ашиглах үүднээс.
Покер дахь хүлээгдэж буй үнэ цэнэ нь ийм шийдвэрийг их тоо, хол зайн онолын хүрээнд авч үзэх боломжтой тохиолдолд тодорхой шийдвэрийн дундаж ашиг юм. Амжилттай покер гэдэг нь математикийн эерэг хүлээлттэй хөдөлгөөнийг үргэлж хүлээж авах явдал юм.
Покер тоглохдоо математикийн хүлээлтийн математик утга нь бид шийдвэр гаргахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй байнга тулгардагт оршино (өрсөлдөгч нь гарт нь ямар карт байгаа, дараагийн бооцооны тойрогт ямар картууд гарч ирэхийг бид мэдэхгүй). Хангалттай том түүврийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь түүний математик хүлээлтэд чиглэнэ гэсэн том тооны онолын үүднээс бид шийдэл бүрийг авч үзэх ёстой.
Математикийн хүлээлтийг тооцоолох тодорхой томьёо дотроос покерт дараахь зүйл хамгийн тохиромжтой.
Покер тоглохдоо математикийн хүлээлтийг бооцоо болон дуудлагын аль алинд нь тооцоолж болно. Эхний тохиолдолд нугалах өмчийг, хоёрдугаарт, савны өөрийн магадлалыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Тодорхой нүүдлийн математик хүлээлтийг үнэлэхдээ нугалах нь үргэлж тэг математик хүлээлттэй байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс картыг хаях нь аливаа сөрөг алхамаас илүү ашигтай шийдвэр байх болно.
Хүлээлт нь таны эрсдэлд орсон доллар бүрт юу хүлээж болохыг (ашиг, алдагдал) хэлж өгдөг. Казино мөнгө олдог, учир нь тэдгээрт тоглодог бүх тоглоомын математикийн хүлээлт нь казиногийн талд байдаг. Хангалттай урт цуврал тоглоомуудын хувьд "магадлал" нь казиногийн талд байгаа тул үйлчлүүлэгч мөнгөө алдах болно гэж найдаж болно. Гэсэн хэдий ч мэргэжлийн казино тоглогчид тоглоомоо богино хугацаанд хязгаарладаг бөгөөд ингэснээр тэдний магадлалыг нэмэгдүүлдэг. Хөрөнгө оруулалтын хувьд ч мөн адил. Хэрэв таны хүлээлт эерэг байвал та орлого олох боломжтой илүү их мөнгөбогино хугацаанд олон арилжаа хийх. Хүлээлт нь таны хожилд ногдох ашгийн хувь, дундаж ашгийг хасч, алдагдлын магадлалыг дундаж алдагдалтай харьцуулсан харьцаа юм.
Покерыг мөн математикийн хүлээлт талаас нь авч үзэж болно. Та тодорхой нүүдэл ашигтай гэж таамаглаж болно, гэхдээ зарим тохиолдолд энэ нь хамгийн сайн биш байж магадгүй, учир нь өөр нэг алхам илүү ашигтай байдаг. Та таван карт сугалсан покерт бүтэн байрыг цохилоо гэж бодъё. Өрсөлдөгч тань бооцоо тавьсан. Хэрэв та дээд цэгтээ хүрсэн бол тэр залгах болно гэдгийг та мэднэ. Тэгэхээр өсгөх нь хамгийн сайн тактик шиг харагдаж байна. Гэхдээ хэрэв та өсгөх юм бол үлдсэн хоёр тоглогч гарцаагүй нугалах болно. Гэхдээ хэрэв та бооцоогоо дуудах юм бол таны дараа үлдсэн хоёр тоглогч ижил зүйлийг хийх болно гэдэгт бүрэн итгэлтэй байх болно. Та бооцоогоо өсгөхөд нэг нэгж авах ба зүгээр л залгахад хоёрыг авах болно. Тиймээс дуудлага нь танд илүү өндөр эерэг дундаж утгыг өгдөг бөгөөд тийм байх болно хамгийн сайн тактик.
Математикийн хүлээлт нь покерын аль тактик нь ашиг багатай, аль нь илүү ашигтай болохыг ойлгох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, хэрэв та тодорхой гар тоглодог бөгөөд таны дундаж алдагдал шоргоолжийг оруулаад 75 цент гэж бодож байвал тэр гараа тоглох хэрэгтэй. Энэ нь $1 байх үед нугалахаас илүү дээр юм.
Хүлээгдэж буй үнэ цэнийг ойлгох бас нэг чухал шалтгаан бол энэ нь таныг бооцоо хожсон эсэхээс үл хамааран тайвшрах мэдрэмжийг төрүүлдэг: хэрвээ та сайн бооцоо тавивал эсвэл цагаа өнгөрөөвөл тодорхой хэмжээний мөнгө хийсэн эсвэл хадгалсан гэдгээ мэдэх болно. сул тоглогч хадгалж чадахгүй мөнгө. Өрсөлдөгчөө сугалаанд илүү гартай гэж бухимдаж байвал нугалахад хамаагүй хэцүү. Ингэж бооцоо тавихын оронд тоглохгүй байж хэмнэж байгаа мөнгө чинь нэг шөнийн болон сарын хожлын хэмжээнд нэмэгддэг гэсэн.
Хэрэв та гараа солих юм бол өрсөлдөгч тань таныг дуудах болно гэдгийг санаарай, энэ нь Покерын үндсэн теоремын өгүүллээс үзэх болно, энэ нь таны давуу талуудын нэг юм. Ийм зүйл тохиолдоход та баярлах хэрэгтэй. Та гараа алдахаас таашаал авч сурах боломжтой, учир нь таны гутал өмссөн бусад тоглогчид илүү их зүйлийг алдах болно гэдгийг та мэднэ.
Зоос тоглоомын жишээн дээр дурдсанчлан, өгөөжийн цагийн хувь хэмжээ нь хүлээгдэж буй үнэ цэнэтэй холбоотой бөгөөд энэ үзэл баримтлалялангуяа мэргэжлийн тоглогчдын хувьд чухал. Та покер тоглох гэж байгаа бол нэг цаг тоглоход хэр их хожих боломжтойг оюун ухаанаараа тооцоолох ёстой. Ихэнх тохиолдолд та зөн совин, туршлагадаа найдах хэрэгтэй болно, гэхдээ та зарим математик тооцооллыг бас ашиглаж болно. Жишээлбэл, хэрэв та Draw Lowball тоглож байгаа бол гурван тоглогч 10 доллар бооцоо тавьж, дараа нь хоёр хөзөр сугалсан нь маш муу тактик юм бол тэд 10 доллар бооцоо тавих бүрт ойролцоогоор 2 доллар алддаг гэдгийг та өөрөө тооцоолж болно. Тэд тус бүр үүнийг цагт найман удаа хийдэг бөгөөд энэ нь гурвуулаа цагт ойролцоогоор 48 доллар алддаг гэсэн үг юм. Та үлдсэн дөрвөн тоглогчийн нэг бөгөөд ойролцоогоор тэнцүү байгаа тул эдгээр дөрвөн тоглогч (мөн та тэдний дунд) 48 долларыг хуваалцах ёстой бөгөөд тус бүр цагт 12 долларын ашиг олох болно. Энэ тохиолдолд таны цагийн үнэ бол ердөө л нэг цагт гурван муу тоглогчийн алдсан мөнгөний хэмжээ юм.
Удаан хугацааны туршид тоглогчийн нийт ялалт нь тусдаа хуваарилалт дахь түүний математикийн хүлээлтийн нийлбэр юм. Эерэг хүлээлттэй тоглох тусам хожно, харин эсрэгээрээ сөрөг хүлээлттэй гар тоглох тусам алдах болно. Үүний үр дүнд та цагийн ашиг орлогоо нэмэгдүүлэхийн тулд эерэг хүлээлтийг нэмэгдүүлэх эсвэл сөрөг хүлээлтийг үгүйсгэх тоглоомыг эрэмбэлэх хэрэгтэй.
Тоглоомын стратеги дахь эерэг математик хүлээлт
Хэрэв та карт тоолохыг мэддэг бол тэд анзаарч, хөөж гаргахгүй бол та казинод давуу талтай байж магадгүй юм. Казиногийн газрууд согтуу мөрийтэй тоглоомчдод хайртай, хөзрөө тоолж тэвчихгүй. Давуу тал нь цаг хугацааны явцад хожигдсоноосоо олон удаа хожих боломжийг танд олгоно. сайн менежментХүлээлтийн тооцоог ашиглан капитал нь таны давуу талыг ашиглах, алдагдлаа бууруулахад тусална. Давуу тал байхгүй бол та буяны ажилд мөнгө өгсөн нь дээр. Хөрөнгийн бирж дээрх тоглоомонд алдагдал, үнийн зөрүү, шимтгэлээс илүү их ашиг бий болгодог тоглоомын системээр давуу талыг өгдөг. Ямар ч мөнгөний менежмент муу тоглоомын системийг аврахгүй.
Эерэг хүлээлт нь тэгээс их утгаар тодорхойлогддог. Энэ тоо их байх тусам статистикийн хүлээлт илүү хүчтэй болно. Хэрэв утга нь тэгээс бага бол математикийн хүлээлт мөн сөрөг байх болно. Сөрөг утгын модуль их байх тусам нөхцөл байдал улам дордох болно. Хэрэв үр дүн нь тэг байвал хүлээлт эвдэрсэн болно. Та математикийн эерэг хүлээлт, боломжийн тоглоомын системтэй байж л ялах боломжтой. Зөн совин дээр тоглох нь сүйрэлд хүргэдэг.
Математикийн хүлээлт ба хувьцааны арилжаа
Математикийн хүлээлт нь нэлээд эрэлт хэрэгцээтэй бөгөөд түгээмэл байдаг. статистиксанхүүгийн зах зээлд биржийн арилжаа хийх үед. Юуны өмнө энэ параметрийг арилжааны амжилтыг шинжлэхэд ашигладаг. Энэ үнэ цэнэ ихсэх тусам судалж буй худалдаа амжилттай болсон гэж үзэх шалтгаан олон байгааг таахад хэцүү биш юм. Мэдээжийн хэрэг, худалдаачны ажлын дүн шинжилгээг зөвхөн энэ параметрийн тусламжтайгаар хийх боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч тооцоолсон үнэ цэнэ нь ажлын чанарыг үнэлэх бусад аргуудтай хослуулан шинжилгээний нарийвчлалыг ихээхэн нэмэгдүүлэх боломжтой.
Математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн арилжааны дансны хяналтын үйлчилгээнд тооцдог бөгөөд энэ нь хадгаламж дээр хийгдсэн ажлыг хурдан үнэлэх боломжийг олгодог. Үл хамаарах зүйл болгон бид арилжаагаа алдах "хэт үлдэх" стратегийг дурдаж болно. Худалдаачин хэсэг хугацаанд азтай байж магадгүй тул түүний ажилд ямар ч алдагдал гарахгүй байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд зөвхөн хүлээлтийн дагуу явах боломжгүй, учир нь ажилд ашигласан эрсдлийг тооцохгүй.
Зах зээл дээр арилжаа хийхдээ арилжааны стратегийн ашиг орлогыг урьдчилан таамаглах эсвэл өмнөх арилжааны статистик дээр үндэслэн арилжаачны орлогыг урьдчилан таамаглахад математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн ашигладаг.
Мөнгөний менежментийн хувьд сөрөг хүлээлттэй арилжаа хийхдээ өндөр ашиг авчрах мөнгөний менежментийн схем байдаггүй гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм. Хэрэв та эдгээр нөхцлөөр бирж дээр үргэлжлүүлэн тоглох юм бол мөнгөө хэрхэн удирдаж байгаагаас үл хамааран та эхэндээ хичнээн том байсан ч дансаа бүхэлд нь алдах болно.
Энэ аксиом нь зөвхөн сөрөг хүлээлттэй тоглоомууд эсвэл арилжааны хувьд үнэн биш бөгөөд тэгш магадлал бүхий тоглоомуудад ч бас үнэн юм. Тиймээс, урт хугацаанд ашиг хүртэх цорын ганц тохиолдол бол эерэг математикийн хүлээлттэй хэлэлцээр хийх явдал юм.
Сөрөг хүлээлт, эерэг хүлээлт хоёрын ялгаа нь амьдрал ба үхлийн ялгаа юм. Хүлээлт хэр эерэг эсвэл сөрөг байх нь хамаагүй; эерэг эсвэл сөрөг байх нь чухал. Тиймээс, мөнгөний менежментийг авч үзэхээсээ өмнө эерэг хүлээлт бүхий тоглоомыг олох хэрэгтэй.
Хэрэв танд ийм тоглоом байхгүй бол дэлхийн ямар ч мөнгөний менежмент таныг аврахгүй. Нөгөөтэйгүүр, хэрэв танд эерэг хүлээлт байгаа бол та мөнгөний зөв менежментээр үүнийг функц болгон хувиргаж чадна. экспоненциал өсөлт. Эерэг хүлээлт хэр бага байх нь хамаагүй! Өөрөөр хэлбэл, нэг гэрээнд суурилсан арилжааны систем хэр ашигтай байх нь хамаагүй. Хэрэв танд нэг арилжаанаас 10 доллар хождог систем байгаа бол (хөлбөр хураамж, гулсалтын дараа) нэг арилжаанаас дунджаар 1000 долларын ашиг харуулдаг системээс илүү ашигтай болгохын тулд мөнгөний менежментийн арга техникийг ашиглаж болно (комисс болон төлбөрийг хассаны дараа). гулсах).
Систем хэр ашигтай байсан нь чухал биш, харин ирээдүйд систем хамгийн багадаа ашиг олох болно гэдэгт хэр итгэлтэй байх нь чухал юм. Тиймээс арилжаачин хүний хийж чадах хамгийн чухал бэлтгэл бол систем нь ирээдүйд хүлээгдэж буй эерэг үнэ цэнийг харуулж байгаа эсэхийг шалгах явдал юм.
Ирээдүйд эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг бий болгохын тулд өөрийн системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийг хязгаарлахгүй байх нь маш чухал юм. Энэ нь зөвхөн оновчтой болгох параметрүүдийн тоог хасах эсвэл багасгах замаар төдийгүй системийн дүрмийг аль болох багасгах замаар хийгддэг. Таны нэмсэн параметр бүр, хийсэн дүрэм бүр, системд хийсэн жижиг өөрчлөлтүүд нь эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог бууруулдаг. Тохиромжтой бол та нэлээд анхдагч болон бүтээхийг хүсч байна энгийн систем, энэ нь бараг бүх зах зээлд бага зэрэг ашиг авчрах болно. Дахин хэлэхэд, систем нь ашигтай л бол хэчнээн ашигтай байх нь хамаагүй гэдгийг ойлгох нь чухал. Арилжаагаар олсон мөнгө чинь дамжуулан олох болно үр дүнтэй менежментмөнгө.
Арилжааны систем нь зүгээр л мөнгөний менежментийг ашиглах боломжтой математикийн эерэг хүлээлтийг өгдөг хэрэгсэл юм. Зөвхөн нэг буюу хэд хэдэн зах зээл дээр ажилладаг (хамгийн бага ашиг харуулдаг) эсвэл өөр өөр дүрэм, параметртэй системүүд. янз бүрийн зах зээл, бодит цаг хугацаанд хангалттай удаан ажиллахгүй байх магадлалтай. Техникийн ихэнх худалдаачдын асуудал бол оновчтой болгоход хэтэрхий их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргадаг явдал юм. өөр өөр дүрэмболон арилжааны системийн параметрүүдийн утгууд. Энэ нь огт эсрэг үр дүнг өгдөг. Эрчим хүчээ дэмий үрэхийн оронд болон компьютерийн цагарилжааны системийн ашгийг нэмэгдүүлэхийн тулд хамгийн бага ашиг олох найдвартай байдлын түвшинг нэмэгдүүлэхийн тулд эрч хүчээ чиглүүлээрэй.
Мөнгөний менежмент нь эерэг хүлээлтийг ашиглахыг шаарддаг зүгээр л тооны тоглоом гэдгийг мэдээд худалдаачин хувьцааны арилжааны "ариун саруул"-ыг хайхаа больж чадна. Үүний оронд тэрээр арилжааны аргаа туршиж эхэлж, энэ арга нь логикийн хувьд хэр зөв болохыг, эерэг хүлээлт үүсгэж байгаа эсэхийг олж мэдэх боломжтой. Зөв аргуудАливаа, тэр ч байтугай маш дунд зэргийн арилжааны аргуудад хэрэглэгддэг мөнгөний менежмент нь бусад ажлыг хийх болно.
Аливаа худалдаачин ажилдаа амжилттай байхын тулд тэр гурвыг хамгийн их шийдэх хэрэгтэй чухал ажлууд: . Амжилттай хийгдсэн гүйлгээний тоо зайлшгүй алдаа, буруу тооцооллоос давсан эсэхийг баталгаажуулах; Мөнгө олох боломж аль болох олон байхын тулд арилжааны системээ тохируулаарай; Үйл ажиллагааныхаа тогтвортой эерэг үр дүнд хүр.
Энд ажиллаж буй худалдаачдын хувьд математикийн хүлээлт сайн тусалж чадна. Энэ нэр томъёомагадлалын онолын нэг гол зүйл юм. Үүний тусламжтайгаар та санамсаргүй утгын дундаж тооцоог өгч болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь таталцлын төвтэй адил юм, хэрэв бид бүх боломжит магадлалыг өөр өөр масстай цэгүүд гэж төсөөлвөл.
Арилжааны стратегитай холбоотойгоор түүний үр ашгийг үнэлэхийн тулд ашиг (эсвэл алдагдал) -ын математик хүлээлтийг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ параметр нь ашиг, алдагдлын өгөгдсөн түвшний бүтээгдэхүүний нийлбэр ба тэдгээрийн үүсэх магадлалаар тодорхойлогддог. Жишээлбэл, боловсруулсан худалдааны стратеги нь бүх үйл ажиллагааны 37% нь ашиг авчрах бөгөөд үлдсэн хэсэг нь буюу 63% нь ашиггүй байх болно гэж үздэг. Үүний зэрэгцээ амжилттай гүйлгээний дундаж орлого 7 доллар, алдагдал нь 1.4 доллар байх болно. Дараах системийг ашиглан арилжааны математик хүлээлтийг тооцоолъё.
Энэ тоо юу гэсэн үг вэ? Энэ системийн дүрмийн дагуу бид тус бүрээс дунджаар 1.708 доллар авна гэж хэлсэн хаалттай хэлэлцээр. Үр ашгийн тооцоо нь тэгээс их байх тул ийм системийг ашиглаж болно жинхэнэ ажил. Хэрэв тооцооллын үр дүнд математикийн хүлээлт сөрөг болж хувирвал энэ нь аль хэдийн дундаж алдагдлыг илтгэж байгаа бөгөөд ийм арилжаа нь сүйрэлд хүргэнэ.
Нэг арилжаанд ногдох ашгийн хэмжээг мөн % хэлбэрээр харьцангуй утгаар илэрхийлж болно. Жишээлбэл:
– 1 гүйлгээнд ногдох орлогын хувь - 5%;
– амжилттай арилжааны үйл ажиллагааны хувь - 62%;
– 1 арилжааны алдагдлын хувь - 3%;
- амжилтгүй гүйлгээний хувь - 38%;
Энэ нь дундаж гүйлгээ 1.96% авчрах болно.
Арилжааны алдагдал давамгайлж байгаа ч MO>0-ээс хойш эерэг үр дүн өгөх системийг хөгжүүлэх боломжтой.
Гэсэн хэдий ч ганцаараа хүлээх нь хангалтгүй юм. Хэрэв систем маш цөөн арилжааны дохио өгдөг бол мөнгө олоход хэцүү байдаг. Энэ тохиолдолд түүний ашиг нь банкны хүүтэй харьцуулах болно. Ажиллагаа бүр дунджаар 0.5 доллар л авчирдаг, гэхдээ систем жилд 1000 гүйлгээ хийдэг бол яах вэ? Энэ нь харьцангуй богино хугацаанд маш ноцтой дүн болно. Үүнээс логикийн хувьд өөр зүйл гарч ирдэг онцлох тэмдэгсайн худалдааны системийг авч үзэж болно богино хугацааалбан тушаал хашиж байна.
Эх сурвалж ба холбоосууд
dic.academic.ru - академик онлайн толь бичиг
mathematics.ru - математикийн боловсролын сайт
nsu.ru бол Новосибирскийн боловсролын вэбсайт юм улсын их сургууль
webmath.ru бол оюутнууд, өргөдөл гаргагч, сургуулийн сурагчдад зориулсан боловсролын портал юм.
exponenta.ru боловсролын математикийн вэбсайт
en.tradimo.com - үнэгүй онлайн сургуульарилжаа
crypto.hut2.ru - олон талт мэдээллийн нөөц
poker-wiki.ru - покерын үнэгүй нэвтэрхий толь
sernam.ru Шинжлэх ухааны номын санбайгалийн шинжлэх ухааны сонгосон нийтлэлүүд
reshim.su - вэб сайт SOLVE даалгавар хяналтын курсын ажил
unfx.ru – UNFX дээрх Forex: боловсрол, арилжааны дохио, итгэлцлийн менежмент
slovopedia.com - Том нэвтэрхий толь бичиг
pokermansion.3dn.ru - Таны покерын ертөнцийн хөтөч
statanaliz.info – мэдээллийн блог « Статистикийн дүн шинжилгээөгөгдөл"
forex-trader.rf - портал Forex-Trader
megafx.ru - хамгийн сүүлийн үеийн Forex аналитик
fx-by.com - худалдаачинд зориулсан бүх зүйл
Математикийн хүлээлтээс хойшхи санамсаргүй хэмжигдэхүүний дараагийн хамгийн чухал шинж чанар нь дунджаас хазайсан дундаж квадратаар тодорхойлогддог дисперс юм.
Хэрэв тэр үед тэмдэглэвэл VX дисперс нь хүлээгдэж буй утга болно.Энэ нь X тархалтын "тараа"-ны шинж чанар юм.
гэх мэт энгийн жишээзөрүүг тооцоолохдоо бид татгалзаж болохгүй санал тавьсан гэж бодъё: хэн нэгэн бидэнд нэг сугалаанд оролцох хоёр гэрчилгээ өгсөн. Сугалааны зохион байгуулагчид долоо хоног бүр 100 тасалбар зарж, тусдаа сугалаанд оролцдог. Сугалаа нь эдгээр тасалбаруудын аль нэгийг санамсаргүй байдлаар сонгон шалгаруулдаг - тасалбар бүр сонгогдох магадлал ижил байдаг - тэр азтай тасалбарын эзэн зуун сая доллар авдаг. Бусад 99 эзэмшигч сугалааны тасалбарюу ч бүү хож.
Бид бэлгийг хоёр янзаар ашиглаж болно: нэг сугалаанд хоёр тасалбар худалдаж авах эсвэл хоёр өөр сугалаанд оролцохын тулд тус бүр нэг тасалбар худалдаж авах. Хамгийн сайн стратеги юу вэ? Шинжилгээ хийхийг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид эхний болон хоёр дахь тасалбар дээрх бидний хожлын хэмжээг харуулсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тэмдэглэнэ. Хүлээгдэж буй үнэ нь саяар хэмжигдэх болно
Хүлээгдэж буй утгуудын хувьд ч мөн адил байна, тиймээс бидний дундаж нийт ашиг байх болно
баталсан стратегиас үл хамааран.
Гэсэн хэдий ч хоёр стратеги нь өөр юм шиг харагдаж байна. Хүлээгдэж буй утгуудаас давж, магадлалын тархалтыг бүхэлд нь судалцгаая
Нэг сугалаанд хоёр тасалбар авбал юу ч хожих магадлал 98%, 100 сая хожих магадлал 2% байна. Хэрэв бид өөр өөр сугалааны тасалбар худалдаж авбал тоо дараах байдалтай байна: 98.01% - юу ч хожихгүй байх магадлал өмнөхөөсөө арай өндөр байна; 0.01% - 200 сая хожих боломж, мөн өмнөхөөсөө арай илүү; 100 сая хожих магадлал одоо 1.98% байна. Тиймээс, хоёр дахь тохиолдолд цар хүрээний тархалт нь арай илүү тархсан байна; дундаж нь 100 сая доллар нь арай бага, харин хэт туйлшрал их байх магадлалтай.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын тухай энэхүү ойлголт нь дисперсийг тусгах зорилготой юм. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх квадратаар тархалтыг хэмждэг. Тиймээс 1-р тохиолдолд хэлбэлзэл байх болно
2 дахь тохиолдолд хэлбэлзэл байна
Бидний таамаглаж байсанчлан, 2-р тохиолдолд тархалт арай илүү тархсан тул сүүлийн утга нь арай том байна.
Бид вариацтай ажиллахад бүх зүйл квадрат хэлбэртэй байдаг тул үр дүн нь нэлээд том тоо байж болно. (Үржүүлэгч нь нэг их наяд, энэ нь гайхалтай байх ёстой
Тэр ч байтугай том бооцоонд дассан тоглогчид.) Утгыг илүү утга учиртай анхны масштаб руу хөрвүүлэхийн тулд вариацын квадрат язгуурыг ихэвчлэн авдаг. Үр дүнгийн тоог стандарт хазайлт гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн Грекийн a үсгээр тэмдэглэдэг.
Манай хоёр сугалааны стратегийн стандарт хазайлт нь . Зарим талаараа хоёр дахь хувилбар нь ойролцоогоор 71,247 доллар эрсдэлтэй байдаг.
Стратегийг сонгоход ялгаатай байдал хэрхэн тусалдаг вэ? Энэ нь тодорхойгүй байна. Илүү их хэлбэлзэлтэй стратеги нь илүү эрсдэлтэй; Гэхдээ бидний хэтэвчинд юу илүү дээр вэ - эрсдэл эсвэл аюулгүй тоглох уу? Бидэнд хоёр тасалбар биш, бүгдийг нь зуугаар нь худалдаж авах боломж олгоорой. Дараа нь бид нэг сугалаанд хожлыг баталгаажуулж чадна (мөн зөрүү нь тэг байх болно); эсвэл та зуу өөр сугалаанд тоглож, магадлалаар юу ч авахгүй, харин доллар хүртэл хожих магадлал тэгээс өөр байж болно. Эдгээр хувилбаруудын аль нэгийг сонгох нь энэ номын хамрах хүрээнээс гадуур юм; Бидний хийж чадах зүйл бол тооцоолол хэрхэн хийхийг тайлбарлах явдал юм.
Үнэн хэрэгтээ (8.13) тодорхойлолтыг шууд ашиглахаас илүүтэйгээр дисперсийг тооцоолох хялбар арга бий. (Энд зарим нэг нуугдмал математикийг сэжиглэх бүх шалтгаан бий; эс бөгөөс сугалааны жишээн дэх дисперс яагаад бүхэл үржвэр болж хувирав. Бидэнд
учир нь тогтмол; Үүний үр дүнд,
"Тараалт нь квадратын дундажаас дундажийн квадратыг хассан хэмжээ юм"
Жишээлбэл, сугалааны бодлогод дундаж буюу хасах (дунджийн квадратаас) нь бидний өмнө нь олж авсан үр дүнг илүү хэцүү аргаар өгдөг.
Гэсэн хэдий ч бид бие даасан X ба Y-г тооцоолоход хэрэглэгдэх илүү энгийн томъёо байдаг. Бидэнд байдаг
Учир нь бидний мэдэж байгаагаар бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд Тиймээс,
"Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү" Тэгэхээр жишээ нь нэг сугалааны тасалбараас хожих боломжтой үнийн дүнгийн дисперс нь тэнцүү байна.
Иймд хоёр өөр (бие даасан) сугалааны хоёр сугалааны тасалбарын нийт хожлын зөрүү нь бие даасан сугалааны тасалбарын зөрүүний харгалзах утга байх болно.
Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр байгаа тул хоёр шоо дээр өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийн дисперсийг ижил томъёогоор гаргаж болно. Бидэнд байгаа
зөв кубын хувьд; тиймээс шилжсэн массын төвийн хувьд
тиймээс хэрэв хоёр шоо дөрвөлжингийн массын төв шилжсэн бол. Сүүлчийн тохиолдолд хэлбэлзэл нь ердийн шоотой харьцуулахад дунджаар 7-оор илүү их байдаг хэдий ч илүү их байгааг анхаарна уу. Хэрэв бидний зорилго бол илүү азтай долоог эргүүлэх юм бол ялгаа нь тийм биш юм хамгийн сайн үзүүлэлтамжилт.
За, бид зөрүүг хэрхэн тооцоолохыг тогтоосон. Гэхдээ бид яагаад вариацийг тооцоолох шаардлагатай вэ гэсэн асуултын хариуг хараахан өгөөгүй байна. Хүн бүр үүнийг хийдэг, гэхдээ яагаад? Үүний гол шалтгаан нь Чебышевын тэгш бус байдал нь дисперсийн чухал шинж чанарыг бий болгодог.
(Энэ тэгш бус байдал нь бидний 2-р бүлэгт тааралдсан Чебышевын нийлбэрийн тэгш бус байдлаас ялгаатай.) Чанарын хувьд (8.17) X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь VX хэлбэлзэл нь бага бол дунджаас хол утгыг авах нь ховор гэж заасан. Баталгаа
үйлдэл нь ер бусын энгийн. Үнэхээр,
-д хуваах нь нотлох баримтыг гүйцээнэ.
Хэрэв бид математикийн хүлээлтийг a ба стандарт хазайлтаар - a-аар тэмдэглээд (8.17)-д орлуулбал нөхцөл нь (8.17)-аас авна.
Иймд X нь магадлал нь туршилтын 75%-иас багагүй 2a дотор байхаас бусад тохиолдолд дундаж утгынхаа стандарт хазайлтаас - дахин их байх болно; хүртэл - хамгийн багадаа 99%. Эдгээр нь Чебышевын тэгш бус байдлын тохиолдол юм.
Хэрэв та хэд хэдэн удаа шоо шидвэл бүх шидэлтийн нийт оноо бараг үргэлж байдаг, том шидэлтийн хувьд энэ нь ойролцоо байх болно Үүний шалтгаан нь дараах байдалтай байна: бие даасан шидэлтийн зөрүү нь
Тиймээс, Чебышевын тэгш бус байдлаас бид цэгүүдийн нийлбэр нь хооронд байх болно
зөв шоо бүх нэрийн дор хаяж 99% нь. Жишээлбэл, 99% -иас дээш магадлалтай нэг сая шидэлт нь 6.976 саяас 7.024 саяын хооронд байх болно.
Ерөнхий тохиолдолд X нь хязгаарлагдмал математикийн хүлээлттэй, хязгаарлагдмал стандарт хазайлттай P магадлалын орон зайд дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Дараа нь бид Pp магадлалын орон зайг авч үзэж болно, түүний анхан шатны үйл явдлууд нь - дараалал тус бүр, магадлал нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.
Хэрэв бид одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг томъёогоор тодорхойлно
дараа нь үнэ цэнэ
P дээр X хэмжигдэхүүний бие даасан хэрэгжилтийг нийлбэрлэх үйл явцад тохирох бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр байх болно. Математикийн хүлээлт нь тэнцүү байх ба стандарт хазайлт - ; Тиймээс, хэрэгжилтийн дундаж үнэ цэнэ,
хугацааны хамгийн багадаа 99% хүртэл байх болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид хангалттай их тоог сонговол бие даасан туршилтын арифметик дундаж нь хүлээгдэж буй утгад бараг үргэлж ойрхон байх болно (Магадлалын онолын сурах бичигт том хэмжээний хүчтэй хууль гэж нэрлэгддэг илүү хүчтэй теорем батлагдсан. тоо; гэхдээ бидэнд саяхан гаргасан Чебышевын тэгш бус байдлын энгийн дүгнэлт хэрэгтэй.)
Заримдаа бид магадлалын орон зайн шинж чанарыг мэдэхгүй ч санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн утгыг олон удаа ажиглах замаар математикийн хүлээлтийг тооцоолох хэрэгтэй. (Жишээ нь, бид Сан Францискогийн 1-р сарын үд дундын дундаж температурыг хүсч болно; эсвэл бид даатгалын агентууд тооцоогоо хийх ёстой дундаж наслалтыг мэдэхийг хүсч болно.) Хэрэв бидэнд бие даасан эмпирик ажиглалт байгаа бол бид үүнийг таамаглаж болно. бодит математикийн хүлээлт ойролцоогоор тэнцүү байна
Та мөн томъёог ашиглан зөрүүг тооцоолж болно
Энэ томьёог хараад хэн нэгэн үүн дээр үсгийн алдаа байна гэж бодож магадгүй; (8.15)-д дисперсийн жинхэнэ утга нь хүлээгдэж буй утгуудаар тодорхойлогддог тул (8.19)-д байгаа шиг байх ёстой юм шиг санагдаж байна. Гэсэн хэдий ч энд хийсэн өөрчлөлт нь (8.20) тодорхойлолтоос харахад илүү сайн үнэлгээ авах боломжийг бидэнд олгодог.
Энд нотолгоо байна:
(Энэ тооцоонд бид -ээр солихдоо ажиглалтын бие даасан байдалд тулгуурладаг)
Практикт санамсаргүй X хэмжигдэхүүнтэй туршилтын үр дүнг үнэлэхийн тулд ихэвчлэн эмпирик дундаж ба эмпирик стандарт хазайлтыг тооцоолж, хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ. Жишээлбэл, шоо шидсэн үр дүн энд байна. зөв гэж таамаглаж байна.
Хувь хүний үнэг бүр нь түүний хуваарилалтын функцээр бүрэн тодорхойлогддог. Мөн практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд хэд хэдэн тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай бөгөөд үүний ачаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарыг товч хэлбэрээр харуулах боломжтой болно.
Эдгээр тоо хэмжээ нь үндсэндээ хүлээгдэж буй үнэ цэнэболон тархалт .
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ- магадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга. гэж тодорхойлсон.
хамгийн их энгийн аргаарсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w), гэж олддог интегралЛебесгмагадлалын хэмжүүрийн хувьд Р эх магадлалын орон зай
Та мөн утгын математик хүлээлтийг олж болно Лебегийн интеграл-аас Xмагадлалын тархалтаар R Xтоо хэмжээ X:
бүх боломжит утгуудын багц хаана байна X.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс функцүүдийн математик хүлээлт Xтүгээлтээр дамждаг R X. Жишээлбэл, хэрэв X- болон доторх утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн f(x)- хоёрдмол утгагүй Борелфункц X , дараа нь:
Хэрвээ F(x)- түгээлтийн функц X, дараа нь математикийн хүлээлтийг илэрхийлж болно интегралLebesgue - Stieltjes (эсвэл Riemann - Stieltjes):
интегралчлалын үед Xямар утгаараа ( * ) интегралын төгсгөлтэй тохирч байна
Тодорхой тохиолдолд, хэрэв Xмагадлал бүхий салангид тархалттай байна х к, k=1, 2, . , магадлал , тэгвэл
хэрэв Xмагадлалын нягтаршил бүхий туйлын тасралтгүй тархалттай p(x), дараа нь
Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлт байгаа нь харгалзах цуврал буюу интегралын үнэмлэхүй нийлэлтэй тэнцүү байна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд.
- Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ утгатай тэнцүү байна:
C- тогтмол;
- M=C.M[X]
- Санамсаргүй байдлаар авсан утгуудын нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
- Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт = тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэр:
M=M[X]+M[Y]
хэрэв Xболон Юбие даасан.
Хэрэв цуврал нийлбэл:
Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг дахин дугаарлаж болно натурал тоонууд; утга бүрийг тэг биш магадлалтай тэнцүүл.
1. Хосыг ээлжлэн үржүүл: x iдээр пи.
2. Хос бүрийн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ x i p i.
Жишээлбэл, төлөө n = 4 :
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцалхам алхмаар, магадлал нь эерэг тэмдэгтэй цэгүүдэд огцом нэмэгддэг.
Жишээ:Томъёогоор математикийн хүлээлтийг ол.
