Геометр прогрессийн томъёоны хуваагчийг хэрхэн олох вэ q. Геометрийн прогресс. Жишээ бүхий дэлгэрэнгүй гарын авлага (2019)
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо нь маш энгийн зүйл юм. Утгын хувьд ч, ерөнхийдөө ч. Гэхдээ n-р гишүүний томъёонд маш энгийнээс эхлээд нэлээд ноцтой хүртэл янз бүрийн асуудал байдаг. Бидний танилцах явцад бид хоёуланг нь авч үзэх нь гарцаагүй. За уулзацгаая?)
Тиймээс, эхлэгчдэд томъёоn
Тэр тэнд байна:
б н = б 1 · q n -1
Томъёо бол ер бусын зүйл биш. Энэ нь ижил төстэй томъёоноос ч илүү энгийн бөгөөд авсаархан харагдаж байна. Томъёоны утга нь бас энгийн, эсгий гутал шиг.
Энэ томьёо нь геометр прогрессийн аль ч гишүүнийг ДУГААРААР олох боломжийг олгоно. n".
Таны харж байгаагаар утга нь арифметик прогрессийн бүрэн зүйрлэл юм. Бид n тоог мэддэг - энэ тоон дор нэр томъёог тооцоолж болно. Бидний хүсч буй зүйл. "q"-аар олон, олон удаа дараалан үржүүлэхгүй. Энэ бол бүх зүйл юм.)
Прогресстэй ажиллах энэ түвшинд томьёонд орсон бүх хэмжигдэхүүнүүд танд аль хэдийн тодорхой байх ёстой гэдгийг би ойлгож байгаа боловч тус бүрийг тайлах нь миний үүрэг гэж би бодож байна. Тохиолдолд.
Ингээд явцгаая:
б 1 – эхнийгеометр прогрессийн гишүүн;
q – ;
n- гишүүний дугаар;
б н – n-р (nth)геометр прогрессийн гишүүн.
Энэ томъёо нь аливаа геометрийн прогрессийн дөрвөн үндсэн параметрийг холбодог. бn, б 1 , qболон n. Мөн эдгээрийн эргэн тойронд дөрвөн түлхүүртоо, бүх оньсого дарааллаар эргүүлэх.
"Тэгээд яаж харуулж байна?"- Би сониуч асуулт сонсож байна ... Бага анги! Хараач!
Юутай тэнцүү вэ хоёрдугаартдэвшилт гишүүн? Асуудалгүй! Бид шууд бичдэг:
b 2 = b 1 q
Тэгээд гурав дахь гишүүн үү? Бас асуудал биш! Бид хоёр дахь гишүүнийг үржүүлдэг дахин асаалттайq.
Үүн шиг:
B 3 \u003d b 2 q
Хоёрдахь гишүүн нь эргээд b 1 q-тай тэнцүү гэдгийг санаж, энэ илэрхийллийг бидний тэгш байдал болгон орлуулна уу:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Бид авах:
Б 3 = b 1 q 2
Одоо орос хэл дээрх бичлэгээ уншъя: гурав дахьнэр томъёо нь эхний гишүүнийг q-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна хоёрдугаартзэрэг. Та үүнийг ойлгож байна уу? Хараахан болоогүй? За, дахиад нэг алхам.
Дөрөв дэх нэр томъёо гэж юу вэ? Бүгд ижилхэн! Үржүүлэх өмнөх(өөрөөр хэлбэл гурав дахь нэр томъёо) q дээр:
B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Нийт:
Б 4 = b 1 q 3
Бид дахин орос хэл рүү орчуулав: дөрөв дэхнэр томъёо нь эхний гишүүнийг q-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна гурав дахьзэрэг.
гэх мэт. Тэгэхээр яаж байна? Та загварыг барьж чадсан уу? Тийм ээ! Дурын тоотой аль ч гишүүний хувьд тэнцүү хүчин зүйлийн тоо q (жишээ нь хуваарийн хүч) үргэлж байх болно. хүссэн гишүүний тооноос нэгээр багаn.
Тиймээс бидний томъёо нь сонголтгүй байх болно:
b n =б 1 · q n -1
Тэгээд л болоо.)
За, асуудлаа шийдье, тийм үү?)
Томьёоны дагуу асуудлыг шийдвэрлэхnгеометр прогрессийн 3-р гишүүн.
Ердийнх шигээ томъёоны шууд хэрэглээнээс эхэлцгээе. Энд ердийн асуудал байна:
Энэ нь экспоненциал байдлаар мэдэгдэж байна б 1 = 512 ба q = -1/2. Прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.
Мэдээжийн хэрэг, энэ асуудлыг ямар ч томъёололгүйгээр шийдэж болно. Яг л геометрийн прогресс шиг. Гэхдээ бид n-р гишүүний томьёогоор халаах хэрэгтэй байна, тийм үү? Энд бид салж байна.
Томьёог хэрэглэх бидний өгөгдөл дараах байдалтай байна.
Эхний нэр томъёо нь мэдэгдэж байна. Энэ бол 512.
б 1 = 512.
Прогрессийн хуваагч нь бас мэдэгдэж байна: q = -1/2.
Зөвхөн n нэр томъёоны тоо хэдтэй тэнцүү болохыг олж мэдэх л үлдлээ. Асуудалгүй! Бид арав дахь улиралыг сонирхож байна уу? Энд бид орлоно ерөнхий томъёо n-ийн оронд арав.
Мөн арифметикийг сайтар тооцоол:
Хариулт: -1
Таны харж байгаагаар ахиц дэвшлийн арав дахь гишүүн нь хасахтай болсон. Гайхах зүйлгүй: прогрессийн хуваагч нь -1/2, i.e. сөрөгтоо. Энэ нь бидний ахиц дэвшлийн шинж тэмдгүүд солигдож байгааг харуулж байна, тийм ээ.)
Энд бүх зүйл энгийн. Мөн энд ижил төстэй асуудал байна, гэхдээ тооцооллын хувьд арай илүү төвөгтэй.
Геометрийн прогрессийн хувьд бид дараахь зүйлийг мэддэг.
б 1 = 3
Прогрессийн арван гурав дахь гишүүнийг ол.
Бүх зүйл адилхан, зөвхөн энэ удаад дэвшлийн хуваагч - үндэслэлгүй. Хоёрын үндэс. За, тийм ч том асуудал байхгүй. Томъёо нь бүх нийтийн зүйл бөгөөд энэ нь ямар ч тоог даван туулж чаддаг.
Бид дараах томъёоны дагуу шууд ажилладаг.
Томъёо нь мэдээжийн хэрэг зохих ёсоор ажилласан, гэхдээ ... энд зарим нь өлгөх болно. Дараа нь үндэстэй юу хийх вэ? Арван хоёрдугаар зэрэглэлд үндсийг хэрхэн өсгөх вэ?
Яаж-хэрхэн ... Та ямар ч томьёо бол мэдээж сайн зүйл гэдгийг ойлгох хэрэгтэй, гэхдээ өмнөх бүх математикийн мэдлэгийг цуцалдаггүй! Хэрхэн өсгөх вэ? Тийм ээ, градусын шинж чанарыг санаарай! Үндэсийг нь өөрчилье бутархай зэрэгба - хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх томъёогоор.
Үүн шиг:
Хариулт: 192
Тэгээд бүх зүйл.)
n-р гишүүний томьёог шууд хэрэглэхэд тулгардаг гол бэрхшээл юу вэ? Тийм ээ! Гол бэрхшээл нь зэрэгтэй ажиллах!Тухайлбал, экспоненциал сөрөг тоонууд, бутархай, үндэс болон ижил төстэй бүтэц. Тиймээс энэ асуудалтай тулгарсан хүмүүс зэрэг, тэдгээрийн шинж чанарыг давтах яаралтай хүсэлт! Үгүй бол та энэ сэдвээр удаашрах болно, тийм ээ ...)
Одоо хайлтын ердийн асуудлуудыг шийдье томъёоны элементүүдийн нэгбусад нь бүгд өгөгдсөн бол. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд жор нь ганц бөгөөд аймшигтай энгийн байдаг. томъёог бичnдахь гишүүн ерөнхий үзэл! Нөхцөл байдлын хажууд байгаа дэвтэр дээр. Дараа нь нөхцөл байдлаас харахад бидэнд юу өгөгдсөн, юу нь хангалтгүй байгааг олж мэднэ. Мөн бид томъёоноос хүссэн утгыг илэрхийлнэ. Бүх зүйл!
Жишээлбэл, ийм хор хөнөөлгүй асуудал.
3 хуваарьтай геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 567. Энэ прогрессийн эхний гишүүнийг ол.
Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Бид шившлэгийн дагуу шууд ажилладаг.
Бид n-р гишүүний томъёог бичдэг!
б н = б 1 · q n -1
Бидэнд юу өгсөн бэ? Эхлээд прогрессийн хуваагчийг өгөв. q = 3.
Үүнээс гадна бидэнд өгдөг тав дахь гишүүн: б 5 = 567 .
Бүх зүйл? Үгүй! Бидэнд мөн n тоог өгсөн! Энэ бол тав: n = 5.
Тэмдэглэлд юу байгааг та аль хэдийн ойлгосон гэж найдаж байна б 5 = 567 хоёр параметрийг нэг дор нуусан - энэ бол тав дахь гишүүн өөрөө (567) ба түүний тоо (5). Үүнтэй төстэй хичээл дээр би энэ тухай аль хэдийн ярьсан, гэхдээ энд сануулах нь илүүц биш гэж бодож байна.)
Одоо бид өгөгдлийг томъёонд орлуулж байна:
567 = б 1 3 5-1
Бид арифметикийг авч үзэж, хялбарчилж, энгийн зүйлийг олж авдаг шугаман тэгшитгэл:
81 б 1 = 567
Бид шийдэж, авна:
б 1 = 7
Таны харж байгаагаар анхны гишүүнийг олоход ямар ч асуудал байхгүй. Гэхдээ хуваагчийг хайж байхдаа qболон тоонууд nгэнэтийн зүйл тохиолдож болно. Мөн та тэдэнд бэлэн байх хэрэгтэй (гэнэтийн бэлэг), тийм ээ.)
Жишээлбэл, ийм асуудал:
Эерэг хуваарьтай геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 162 ба энэ прогрессийн эхний гишүүн 2. Прогрессийн хуваагчийг ол.
Энэ удаад бид эхний болон тав дахь гишүүдийг өгч, ахиц дэвшлийн хуваагчийг олохыг хүсэв. Эндээс бид эхэлнэ.
Бид томъёог бичнэnгишүүн!
б н = б 1 · q n -1
Бидний анхны өгөгдөл дараах байдалтай байна.
б 5 = 162
б 1 = 2
n = 5
Хангалтгүй үнэ цэнэ q. Асуудалгүй! Одоо олъё.) Бид мэддэг бүх зүйлээ томъёонд орлуулна.
Бид авах:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн энгийн тэгшитгэл. Гэвч одоо - болгоомжтой!Шийдлийн энэ үе шатанд олон оюутнууд нэн даруй (дөрөв дэх зэрэг) үндсийг нь баяртайгаар гаргаж аваад хариултыг авдаг q=3 .
Үүн шиг:
q4 = 81
q = 3
Гэхдээ ерөнхийдөө энэ бол дуусаагүй хариулт юм. Өөрөөр хэлбэл, бүрэн бус. Яагаад? Гол нь хариулт нь тэр q = -3 бас тохирно: (-3) 4 нь 81 байх болно!
Энэ нь чадлын тэгшитгэлтэй холбоотой юм x n = аүргэлж байдаг хоёр эсрэг үндэсцагт бүрn . Нэмэх ба хасах:
Хоёулаа тохирно.
Жишээлбэл, шийдвэрлэх (жишээ нь. хоёрдугаартградус)
x2 = 9
Зарим шалтгааны улмаас та гадаад төрхөөрөө гайхдаггүй хоёрүндэс x=±3? Энд ч мөн адил. Мөн бусадтай бүрзэрэг (дөрөв, зургаа, арав, гэх мэт) ижил байх болно. Дэлгэрэнгүй - тухай сэдвээр
Тийм ч учраас зөв шийдвэрийм байх болно:
q 4 = 81
q= ±3
За, бид тэмдгүүдийг нь олж мэдсэн. Аль нь зөв вэ - нэмэх эсвэл хасах уу? За, бид эрэл хайгуулд асуудлын нөхцөлийг дахин уншлаа нэмэлт мэдээлэл. Энэ нь мэдээжийн хэрэг байхгүй байж магадгүй, гэхдээ энэ асуудалд ийм мэдээлэл байна боломжтой.Манай нөхцөлд дэвшилттэй өгөгдсөн гэж шууд заасан байдаг эерэг хуваагч.
Тиймээс хариулт нь тодорхой байна:
q = 3
Энд бүх зүйл энгийн. Хэрэв асуудлын мэдэгдэл дараах байдалтай байвал юу болох байсан гэж та бодож байна:
Геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 162, энэ прогрессийн эхний гишүүн 2. Прогрессийн хуваагчийг ол.
Ялгаа нь юу юм? Тийм ээ! Нөхцөл байдалд юу ч бишхуваагчийг дурдаагүй. Шууд ч биш, шууд бусаар ч биш. Энд асуудал аль хэдийн үүссэн байх болно хоёр шийдэл!
q = 3 болон q = -3
Тийм тийм! Мөн нэмэх, хасах нь.) Математикийн хувьд энэ баримт байдаг гэсэн үг юм хоёр дэвшилЭнэ нь даалгаварт тохирсон. Мөн тус бүрийн хувьд - өөрийн гэсэн хуваарь. Хөгжилтэй байхын тулд дасгал хийж, эхний таван нөхцөлийг бичээрэй.)
Одоо гишүүний дугаарыг олох дасгал хийцгээе. Энэ бол хамгийн хэцүү нь, тийм ээ. Гэхдээ бас илүү бүтээлч.
Геометрийн прогресс өгөгдсөн:
3; 6; 12; 24; …
Энэ дэвшлийн тоо 768 вэ?
Эхний алхам нь адилхан: томъёог бичnгишүүн!
б н = б 1 · q n -1
Одоо бид ердийнхөөрөө бидэнд мэдэгдэж буй өгөгдлийг үүн дээр орлуулж байна. Хм... тохирохгүй байна! Анхны гишүүн хаана байна, хуваагч хаана байна, бусад бүх зүйл хаана байна?!
Хаана, хаана ... Бидэнд нүд яагаад хэрэгтэй вэ? Сормуус наах уу? Энэ удаад ахиц дэвшлийг бидэнд шууд хэлбэрээр өгч байна дараалал.Бид эхний нэр томъёог харж чадах уу? Бид харж байна! Энэ нь гурвалсан (b 1 = 3) юм. Хуваарийн талаар юу хэлэх вэ? Бид хараахан хараагүй ч тоолоход тун амархан. Хэрэв та мэдээж ойлгож байгаа бол.
Энд бид авч үзье. Шууд геометрийн прогрессийн утгын дагуу: бид түүний аль нэг гишүүнийг (эхнийхээс бусад) авч, өмнөх хэсэгт хуваана.
Наад зах нь иймэрхүү:
q = 24/12 = 2
Бид өөр юу мэдэх вэ? Бид мөн энэ прогрессийн зарим гишүүнийг мэддэг, 768-тай тэнцүү. Зарим n тоогоор:
б н = 768
Бид түүний дугаарыг мэдэхгүй ч бидний даалгавар бол түүнийг олох явдал юм.) Тиймээс бид хайж байна. Бид томъёонд орлуулахад шаардлагатай бүх өгөгдлийг аль хэдийн татаж авсан. Үл мэдэгдэх.)
Энд бид орлуулж байна:
768 = 3 2n -1
Бид энгийн хэсгүүдийг хийдэг - бид хоёр хэсгийг гурваар хувааж, тэгшитгэлийг ердийн хэлбэрээр дахин бичдэг: зүүн талд үл мэдэгдэх, баруун талд мэдэгдэж байгаа.
Бид авах:
2 n -1 = 256
Энд нэг сонирхолтой тэгшитгэл байна. Бид "n"-ийг олох хэрэгтэй. Юу нь ер бусын юм бэ? Тийм ээ, би маргахгүй. Үнэндээ энэ бол хамгийн энгийн зүйл юм. Үл мэдэгдэх (д Энэ тохиолдолдэнэ тоо n) зогсож байна үзүүлэлтзэрэг.
Геометрийн прогресстой танилцах үе шатанд (энэ бол есдүгээр анги) экспоненциал тэгшитгэлтэд чамайг шийдэхийг заадаггүй, тийм ээ ... Энэ бол ахлах ангийн сэдэв юм. Гэхдээ аймшигтай зүйл байхгүй. Ийм тэгшитгэлүүд хэрхэн шийдэгддэгийг мэдэхгүй байсан ч бид өөрсдийнхөө утгыг олохыг хичээцгээе nэнгийн логик, эрүүл ухаанаар удирдуулсан.
Бид хэлэлцэж эхэлнэ. Зүүн талд нь бид хоёрт байна ямар нэг хэмжээгээр. Энэ зэрэг нь яг юу болохыг бид хараахан мэдэхгүй байгаа ч энэ нь аймшигтай биш юм. Гэхдээ нөгөө талаас энэ зэрэг нь 256-тай тэнцүү гэдгийг бид баттай мэдэж байна! Тэгэхээр бид 256. Санаж байна уу? Тийм ээ! AT найм дахьградус!
256 = 2 8
Хэрэв та санахгүй эсвэл асуудлын зэрэглэлийг хүлээн зөвшөөрөхгүй бол энэ нь бас зүгээр юм: бид хоёрыг дөрвөлжин, шоо, дөрөв, тав гэх мэт дарааллаар өсгөнө. Сонголт нь үнэн хэрэгтээ, гэхдээ энэ түвшинд бол нэлээд зугаатай байдаг.
Ямар нэг байдлаар бид дараахь зүйлийг авах болно.
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Тэгэхээр 768 байна ес дэхбидний дэвшлийн гишүүн. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.)
Хариулт: 9
Юу? Уйтгартай юу? Бага ангиас залхаж байна уу? Би зөвшөөрч байна. Би ч бас. Дараагийн түвшинд орцгооё.)
Илүү төвөгтэй даалгавар.
Одоо бид тааварыг илүү огцом шийдэж байна. Энэ нь тийм ч гайхалтай биш, гэхдээ та хариултаа авахын тулд бага зэрэг ажиллах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, иймэрхүү.
Дөрөв дэх гишүүн нь -24, долоо дахь гишүүн нь 192 бол геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүнийг ол.
Энэ бол жанрын сонгодог бүтээл юм. Прогрессийн хоёр өөр гишүүн мэдэгдэж байгаа ч дахиад нэг гишүүн олдох ёстой. Тэгээд ч бүх гишүүд хөрш биш. Эхэндээ юу андуурдаг вэ, тийм ээ ...
-ийн нэгэн адил бид ийм асуудлыг шийдвэрлэх хоёр аргыг авч үздэг. Эхний арга нь бүх нийтийнх юм. Алгебрийн. Ямар ч эх сурвалжтай өөгүй ажиллана. Тиймээс бид эндээс эхлэх болно.)
Бид нэр томъёо бүрийг томъёоны дагуу буддаг nгишүүн!
Бүх зүйл арифметик прогресстой яг адилхан. Зөвхөн энэ удаад бид хамтран ажиллаж байна өөрерөнхий томъёо. Энэ бол бүх зүйл.) Гэхдээ мөн чанар нь адилхан: бид авдаг эргээдБид анхны өгөгдлөө n-р гишүүний томъёонд орлуулна. Гишүүн бүрийн хувьд - өөрийн гэсэн.
Дөрөв дэх улиралд бид бичнэ:
б 4 = б 1 · q 3
-24 = б 1 · q 3
Байна. Нэг тэгшитгэл дууссан.
Долоо дахь улирлын хувьд бид бичнэ:
б 7 = б 1 · q 6
192 = б 1 · q 6
Нийтдээ хоёр тэгшитгэлийг олж авсан ижил дэвшил .
Бид тэднээс системийг угсардаг:
Гайхамшигтай дүр төрхийг үл харгалзан систем нь маш энгийн. Ихэнх ойлгомжтой аргашийдэл нь ердийн орлуулалт юм. Бид илэрхийлдэг б 1 дээд тэгшитгэлээс доод тэгшитгэлд орлуулна:
Доод тэгшитгэлтэй бага зэрэг эргэлзэхэд (экпонентуудыг багасгаж, -24-т хуваах) дараах үр дүн гарна.
q 3 = -8
Дашрамд хэлэхэд ижил тэгшитгэлийг илүү хялбар аргаар олж болно! Юу? Одоо би танд өөр нууцыг харуулах болно, гэхдээ маш үзэсгэлэнтэй, хүчирхэг, ашигтай аргаийм системүүдийн шийдэл. Ийм системүүд нь тэдний сууж буй тэгшитгэлд байдаг зөвхөн ажилладаг.Наад зах нь нэгд. дуудсан нэр томъёог хуваах арганэг тэгшитгэлээс нөгөөд.
Тиймээс бидэнд систем бий:
Зүүн талд байгаа хоёр тэгшитгэлд - ажил, баруун талд нь зүгээр л тоо байна. Энэ их сайн тэмдэг.) Доод тэгшитгэлийг дээд хэсэгт нь хувааж, ... хуваая! Юу гэж байгаан, нэг тэгшитгэлийг нөгөөд хуваах уу?Маш энгийн. Бид авдаг зүүн талнэг тэгшитгэл (доод) ба бид хуваадагтэр дээр зүүн талөөр тэгшитгэл (дээд). FROM баруун таладил: баруун тал нэг тэгшитгэл бид хуваадагдээр баруун талөөр.
Бүх хуваах үйл явц дараах байдалтай байна.
Одоо багассан бүх зүйлийг багасгаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
q 3 = -8
Энэ аргын сайн тал нь юу вэ? Тийм ээ, учир нь ийм хуваагдлын явцад муу, тохиромжгүй бүх зүйлийг аюулгүйгээр багасгаж, бүрэн гэм хоргүй тэгшитгэл хэвээр үлдэнэ! Тийм учраас байх нь маш чухал юм зөвхөн үржүүлэхсистемийн тэгшитгэлүүдийн дор хаяж нэгд. Үржүүлэлт байхгүй - багасгах зүйл байхгүй, тийм ээ ...
Ерөнхийдөө энэ арга нь (системийг шийдвэрлэх бусад олон энгийн аргуудын нэгэн адил) тусдаа хичээл авах ёстой. Би үүнийг сайтар нягталж үзэх нь гарцаагүй. Хэзээ нэгэн цагт…
Гэсэн хэдий ч, та системийг хэрхэн шийдэж байгаагаас үл хамааран, ямар ч тохиолдолд бид үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
q 3 = -8
Ямар ч асуудалгүй: бид үндсийг (куб) гаргаж аваад - хийсэн!
Олборлохдоо энд нэмэх/хасах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Бид сондгой (гурав дахь) зэрэгтэй үндэстэй. Хариулт нь адилхан, тийм ээ.
Ингээд прогрессийн хуваагч олдлоо. Хасах хоёр. Маш сайн! Процесс явагдаж байна.)
Эхний гишүүний хувьд (дээд тэгшитгэлээс хэлнэ үү) бид дараахь зүйлийг авна.
Маш сайн! Эхний нэр томъёог бид мэднэ, хуваагчийг бид мэднэ. Одоо бид дэвшилтийн аль ч гишүүнийг олох боломжтой боллоо. Хоёрдахь нь орно.)
Хоёрдахь гишүүний хувьд бүх зүйл маш энгийн:
б 2 = б 1 · q= 3 (-2) = -6
Хариулт: -6
Тэгэхээр, алгебрийн аргаБид асуудлын шийдлүүдийг задалсан. Хэцүү үү? Нэг их биш, би зөвшөөрч байна. Удаан бас уйтгартай юу? Тийм ээ, гарцаагүй. Гэхдээ заримдаа та ажлын хэмжээг эрс багасгаж чадна. Үүний тулд бий график арга.Сайн хуучин бөгөөд бидэнд танил.)
Асуудлыг зурцгаая!
Тийм ээ! Яг. Дахин бид тооны тэнхлэг дээрх дэвшлийг дүрсэлдэг. Заавал шугаман дээр байх албагүй, тэсвэрлэх шаардлагагүй тэнцүү интервалуудгишүүдийн хооронд (дашрамд хэлэхэд энэ нь ижил биш байх болно, учир нь прогресс нь геометрийн шинж чанартай байдаг!), гэхдээ зүгээр л схемийн дагуубидний дарааллыг зур.
Би үүнийг ингэж авсан:
Одоо зургийг хараад бодоорой. "q" хэдэн тэнцүү хүчин зүйлийг хуваалцдаг дөрөв дэхболон долоо дахьгишүүд? Энэ нь зөв, гурав!
Тиймээс бидэнд байгаа бүрэн эрхбичих:
-24q 3 = 192
Эндээс q-г олоход хялбар боллоо:
q 3 = -8
q = -2
Гайхалтай, хуваагч нь аль хэдийн бидний халаасанд байгаа. Одоо бид зургийг дахин харлаа: хэдэн ийм хуваагч сууж байна хоёрдугаартболон дөрөв дэхгишүүд? Хоёр! Тиймээс эдгээр гишүүдийн харилцааг бүртгэхийн тулд бид хуваагчийг өсгөнө дөрвөлжин.
Энд бид бичнэ:
б 2 · q 2 = -24 , хаана б 2 = -24/ q 2
Бид олсон хуваагчаа b 2 илэрхийлэлд орлуулж, тоолж аваад:
Хариулт: -6
Таны харж байгаагаар бүх зүйл системээс хамаагүй хялбар бөгөөд хурдан байдаг. Түүгээр ч барахгүй, энд бид эхний хугацааг тоолох шаардлагагүй байсан! Бүх.)
Энд ийм энгийн бөгөөд харааны гэрэл байна. Гэхдээ энэ нь бас ноцтой сул талтай. Таамаглаж байна уу? Тийм ээ! Энэ нь зөвхөн маш богино хэмжээний дэвшилтэд тохиромжтой. Бидний сонирхож буй гишүүдийн хоорондын зай тийм ч их биш байдаг. Гэхдээ бусад бүх тохиолдолд зураг зурах нь аль хэдийн хэцүү байдаг, тийм ээ ... Дараа нь бид асуудлыг аналитик байдлаар, системээр шийддэг.) Мөн системүүд бол бүх нийтийн зүйл юм. Ямар ч дугаартай харьц.
Өөр нэг туульс:
Геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүн нь эхнийхээсээ 10-аар их, гурав дахь гишүүн нь 30 байна секундээс илүү. Прогрессийн хуваагчийг ол.
Ямар гоё юм бэ? Огт үгүй! Бүгд ижилхэн. Бид асуудлын нөхцөлийг дахин цэвэр алгебр болгон хөрвүүлдэг.
1) Бид нэр томъёо бүрийг томъёоны дагуу буддаг nгишүүн!
Хоёр дахь гишүүн: b 2 = b 1 q
Гурав дахь нэр томъёо: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Асуудлын нөхцөл байдлаас бид гишүүдийн хоорондын харилцааг бичнэ.
Нөхцөлийг уншиж байна: "Геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүн нь эхнийхээсээ 10-аар их байна."Зогс, энэ үнэ цэнэтэй юм!
Тиймээс бид бичнэ:
б 2 = б 1 +10
Мөн бид энэ хэллэгийг цэвэр математик болгон орчуулж байна:
б 3 = б 2 +30
Бид хоёр тэгшитгэлтэй болсон. Бид тэдгээрийг систем болгон нэгтгэдэг:
Систем нь энгийн харагдаж байна. Гэхдээ үсгийн хувьд маш олон янзын индекс байдаг. Тэдний илэрхийллийн хоёр, гурав дахь гишүүний оронд эхний гишүүн, хуваагчаар орлуулъя! Дэмий юм уу, эсвэл бид тэднийг будсан уу?
Бид авах:
Гэхдээ ийм систем нь бэлэг байхаа больсон, тийм ээ ... Үүнийг хэрхэн шийдэх вэ? Харамсалтай нь цогц асуудлыг шийдэх бүх нийтийн нууц шившлэг шугаман бусМатематикт систем гэж байдаггүй, байх ч боломжгүй. Энэ бол гайхалтай! Гэхдээ ийм хатуу самар хагалах гэж оролдоход хамгийн түрүүнд таны санаанд орох ёстой зүйл бол үүнийг олж мэдэх явдал юм системийн тэгшитгэлийн аль нэг нь хүртэл буурдаггүй сайхан үзэмж, жишээ нь хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгөөр нь хялбархан илэрхийлэх боломжийг олгох уу?
Таацгаая. Системийн эхний тэгшитгэл нь хоёр дахьтай харьцуулахад илүү хялбар байдаг. Бид түүнийг тамлах болно.) Яагаад эхний тэгшитгэлээс оролдож болохгүй гэж ямар нэг зүйлдамжуулан илэрхийлэх ямар нэг зүйл?Учир нь бид хуваагчийг олохыг хүсч байна q, тэгвэл бидэнд илэрхийлэх нь хамгийн ашигтай байх болно б 1 дамжуулан q.
Тиймээс хуучин сайн хувилбаруудыг ашиглан эхний тэгшитгэлээр энэ процедурыг хийхийг хичээцгээе.
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b 1 (q-1) = 10
Бүх зүйл! Энд бид илэрхийлсэн шаардлагагүйбидэнд хувьсагч (b 1) дамжуулан шаардлагатай(q). Тиймээ, хүлээн авсан хамгийн энгийн илэрхийлэл биш. Зарим төрлийн бутархай ... Гэхдээ манай систем хангалттай түвшинд байна, тийм ээ.)
Ердийн. Юу хийх вэ - бид мэднэ.
Бид ODZ гэж бичдэг (заавал!) :
q ≠ 1
Бид бүх зүйлийг хуваагчаар (q-1) үржүүлж, бүх бутархайг багасгадаг.
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Бид бүх зүйлийг арав хувааж, хаалтуудыг нээж, зүүн талд байгаа бүх зүйлийг цуглуулдаг.
q 2 – 4 q + 3 = 0
Бид үр дүнг шийдэж, хоёр үндсийг авна.
q 1 = 1
q 2 = 3
Зөвхөн нэг эцсийн хариулт байна: q = 3 .
Хариулт: 3
Таны харж байгаагаар геометрийн прогрессийн n-р гишүүний томъёоны ихэнх асуудлыг шийдэх арга нь үргэлж ижил байдаг: бид уншдаг. болгоомжтойасуудлын нөхцөл, n-р гишүүний томъёог ашиглан бид бүхэлд нь орчуулна хэрэгтэй мэдээлэлцэвэр алгебр руу.
Тухайлбал:
1) Бид бодлогод өгөгдсөн гишүүн бүрийг томъёоны дагуу тусад нь бичнэn-р гишүүн.
2) Асуудлын нөхцөл байдлаас бид гишүүдийн хоорондын холболтыг орчуулдаг математик хэлбэр. Бид тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг зохиодог.
3) Бид үүссэн тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг шийдэж, прогрессийн үл мэдэгдэх параметрүүдийг олдог.
4) Тодорхой бус хариулт байгаа тохиолдолд бид нэмэлт мэдээлэл хайхдаа асуудлын нөхцөлийг анхааралтай уншина уу (хэрэв байгаа бол). Бид мөн хүлээн авсан хариултыг ODZ-ийн нөхцөлтэй (хэрэв байгаа бол) шалгана.
Одоо бид геометрийн прогрессийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад ихэвчлэн алдаа гаргадаг гол асуудлуудыг жагсаав.
1. Анхан шатны арифметик. Бутархай ба сөрөг тоотой үйлдлүүд.
2. Хэрэв эдгээр гурван цэгийн ядаж нэг нь асуудал байвал та энэ сэдвээр андуурах нь гарцаагүй. Харамсалтай нь... Тиймээс залхуурах хэрэггүй, дээр дурдсан зүйлийг давт. Мөн холбоосуудыг дагана уу - яв. Заримдаа энэ нь тусалдаг.)
Өөрчлөгдсөн болон давтагдах томьёо.
Одоо нөхцөл байдлын бага танил танилцуулгатай шалгалтын ердийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзье. Тийм ээ, тийм ээ, та таамагласан! тэр өөрчлөгдсөнболон давтагдах n-р гишүүний томьёо. Бид ийм томьёотой аль хэдийн таарч, программ хангамж дээр ажиллаж байсан. арифметик прогресс. Энд бүх зүйл ижил төстэй байна. Мөн чанар нь адилхан.
Жишээлбэл, OGE-ийн ийм асуудал:
Геометрийн прогресстомъёогоор өгөгдсөн б н = 3 2 n . Эхний болон дөрөв дэх гишүүний нийлбэрийг ол.
Энэ удаад ахиц дэвшил бидэнд ердийнх шиг биш байна. Зарим төрлийн томъёо. Тэгээд юу гэж? Энэ томъёо нь бас томъёоnгишүүн! n-р гишүүний томъёог ерөнхий хэлбэрээр, үсгээр дамжуулан, мөн төлөө хоёуланг нь бичиж болно гэдгийг бид бүгд мэднэ тодорхой дэвшил. FROM тодорхойэхний нэр томъёо ба хуваагч.
Манай тохиолдолд геометр прогрессийн ерөнхий томъёог дараах параметрүүдээр өгсөн болно.
б 1 = 6
q = 2
шалгая?) n-р гишүүний томьёог ерөнхий хэлбэрээр бичээд орлуулъя. б 1 болон q. Бид авах:
б н = б 1 · q n -1
б н= 6 2n -1
Бид хүчин зүйлчлэл болон чадлын шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж, дараахийг олж авна:
б н= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Таны харж байгаагаар бүх зүйл шударга байна. Гэхдээ бидний зорилго бол тодорхой томъёоны гарал үүслийг харуулах явдал биш юм. Энэ бол үнэн, уянгын хазайлт. Зөвхөн ойлгохын тулд.) Бидний зорилго бол нөхцөл байдалд өгсөн томъёоны дагуу асуудлыг шийдэх явдал юм. Та үүнийг барьж байна уу?) Тиймээс бид өөрчилсөн томъёогоор шууд ажиллаж байна.
Бид эхний хугацааг тооцдог. Орлуулах n=1 ерөнхий томъёонд:
б 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Үүн шиг. Дашрамд хэлэхэд би тийм ч залхуу биш бөгөөд эхний хугацааны тооцооллын ердийн бүдүүлэг алдаад анхаарлаа хандуулах болно. Томьёог бүү хар б н= 3 2n, анхны гишүүн нь тройка гэж шууд бичих гэж яараарай! Энэ бол том алдаа, тийм ээ...)
Бид үргэлжлүүлнэ. Орлуулах n=4 мөн дөрөв дэх нэр томъёог авч үзье:
б 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Эцэст нь бид шаардлагатай хэмжээг тооцоолно.
б 1 + б 4 = 6+48 = 54
Хариулт: 54
Өөр нэг асуудал.
Геометрийн прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.
б 1 = -7;
б н +1 = 3 б н
Прогрессийн дөрөв дэх гишүүнийг ол.
Энд ахиц дэвшлийг давтагдах томъёогоор тодорхойлно. За яахав.) Энэ томъёогоор хэрхэн ажиллах вэ - бид ч бас мэднэ.
Энд бид жүжиглэж байна. Алхам алхамаар.
1) хоёрыг тоолох дараалсандэвшлийн гишүүн.
Эхний нэр томъёог аль хэдийн бидэнд өгсөн. Хасах долоо. Гэхдээ дараагийн, хоёр дахь гишүүнийг рекурсив томъёог ашиглан хялбархан тооцоолж болно. Хэрэв та энэ хэрхэн ажилладагийг ойлгож байгаа бол мэдээжийн хэрэг.)
Энд бид хоёр дахь нэр томъёог авч үзье алдартай эхний дагуу:
б 2 = 3 б 1 = 3 (-7) = -21
2) Бид прогрессийн хуваагчийг авч үздэг
Бас асуудалгүй. Шууд, хуваалц хоёрдугаартдик дээр эхний.
Бид авах:
q = -21/(-7) = 3
3) Томьёог бичнэ үүnth гишүүнийг ердийн хэлбэрээр оруулаад хүссэн гишүүнээ авч үзнэ.
Тиймээс бид эхний нэр томъёо, хуваагчийг бас мэднэ. Энд бид бичнэ:
б н= -7 3n -1
б 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Хариулт: -189
Таны харж байгаагаар геометр прогрессийн ийм томьёотой ажиллах нь арифметик прогрессийнхээс үндсэндээ ялгаагүй юм. Зөвхөн ойлгох нь чухал юм эрүүл ухаанба эдгээр томъёоны утга. За, геометрийн прогрессийн утгыг бас ойлгох хэрэгтэй, тийм ээ.) Тэгээд тэнэг алдаа гарахгүй.
За, өөрсдөө шийдье?)
Халаахад зориулсан нэлээд энгийн ажлууд:
1. Өгөгдсөн геометр прогрессийн аль нь б 1 = 243, ба q = -2/3. Прогрессийн зургаа дахь гишүүнийг ол.
2. Геометр прогрессийн нийтлэг гишүүнийг томъёогоор олно б н = 5∙2 n +1 . Энэ прогрессийн сүүлийн гурван оронтой гишүүний тоог ол.
3. Геометр прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.
б 1 = -3;
б н +1 = 6 б н
Прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол.
Бага зэрэг төвөгтэй:
4. Геометрийн прогресс өгөгдсөн:
б 1 =2048; q =-0,5
Үүний зургаа дахь сөрөг гишүүн юу вэ?
Юу нь маш хэцүү санагдаж байна вэ? Огт үгүй. Логик ба геометрийн прогрессийн утгыг ойлгох нь хэмнэх болно. За тэгээд n-р гишүүний томьёо мэдээж.
5. Геометр прогрессийн гуравдугаар гишүүн -14, найм дахь гишүүн нь 112. Прогрессийн хуваагчийг ол.
6. Геометр прогрессийн нэг ба хоёрдугаар гишүүний нийлбэр нь 75, хоёр ба гуравдугаар гишүүний нийлбэр нь 150. Прогрессийн зургаа дахь гишүүнийг ол.
Хариултууд (эмх замбараагүй): 6; -3888; - нэг; 800; -32; 448.
Энэ бол бараг бүх зүйл. Зөвхөн тоолж сурахад л үлддэг геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртиймээ олж мэд хязгааргүй буурах геометр прогрессба түүний хэмжээ. Дашрамд хэлэхэд маш сонирхолтой, ер бусын зүйл! Энэ талаар дараагийн хичээлүүд дээр илүү ихийг хэлэх болно.)
Математик бол юу юмхүмүүс байгальд болон өөрсдийгөө захирдаг.
Зөвлөлтийн математикч, академич A.N. Колмогоров
Геометрийн прогресс.
Математикийн элсэлтийн шалгалтанд арифметик прогрессийн даалгаврын зэрэгцээ геометр прогрессийн тухай ойлголттой холбоотой даалгаврууд түгээмэл байдаг. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та геометрийн прогрессийн шинж чанарыг мэдэж, тэдгээрийг ашиглах чадвар сайтай байх хэрэгтэй.
Энэ нийтлэл нь геометрийн прогрессийн үндсэн шинж чанаруудын танилцуулгад зориулагдсан болно. Мөн ердийн асуудлуудыг шийдвэрлэх жишээг өгдөг, Математикийн элсэлтийн шалгалтын даалгавраас зээлсэн.
Геометр прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг урьдчилан тэмдэглэж, хамгийн чухал томъёо, мэдэгдлүүдийг эргэн санацгаая., энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.
Тодорхойлолт.Тоон дарааллыг геометрийн прогресс гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв хоёр дахь тооноос нь эхлэн тоо нь өмнөхтэй нь тэнцүү бөгөөд ижил тоогоор үржүүлсэн. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.
Геометрийн прогрессийн хувьдтомъёонууд хүчинтэй байна
, (1)
хаана. Томъёо (1)-ийг геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд (2) томьёо нь геометр прогрессийн үндсэн шинж чанар юм: прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийнхээ геометрийн дундажтай давхцдаг ба .
Анхаар, Чухамхүү энэ шинж чанараасаа болоод прогрессийг "геометрийн" гэж нэрлэдэг.
Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар нэгтгэн харуулав.
, (3)
Нийлбэрийг тооцоолохын тулдэхлээд геометр прогрессийн гишүүдтомъёо хамаарна
Хэрэв бид зааж өгвөл
хаана. Учир нь (6) томъёо нь (5) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.
Хэзээ болон тохиолдолд геометрийн прогрессхязгааргүй буурч байна. Нийлбэрийг тооцоолохын тулдХязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн бүх гишүүдийн томъёог ашиглана
. (7)
Жишээлбэл , (7) томъёог ашиглан нэгийг харуулж болно, юу
хаана. Эдгээр тэгшитгэлийг (7) томъёоноос , (эхний тэгш байдал) ба , (хоёр дахь тэгшитгэл) гэсэн нөхцөлд олж авна.
Теорем.Хэрэв бол
Баталгаа. Хэрэв, тэгвэл,
Теорем нь батлагдсан.
"Геометр прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдэх жишээнүүдийг авч үзье.
Жишээ 1Өгөгдсөн: , ба . олох.
Шийдэл.Хэрэв (5) томъёог хэрэглэвэл
Хариулт: .
Жишээ 2 Let ба. олох.
Шийдэл.ба учраас бид (5), (6) томъёог ашиглаж, тэгшитгэлийн системийг олж авдаг
(9) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваавал, дараа нь эсвэл . Үүнээс үүдэн гарч байна . Хоёр тохиолдлыг авч үзье.
1. Хэрэв , дараа нь (9) системийн эхний тэгшитгэлээс бид байна.
2. Хэрэв , тэгвэл .
Жишээ 3 Let , and . олох.
Шийдэл.Энэ нь томъёо (2)-аас гарна, эсвэл. Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл .
Нөхцөлөөр. Тиймээс . Учир нь ба, тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна
Хэрэв системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваавал эсвэл .
Учир нь тэгшитгэл нь нэг тохиромжтой язгууртай. Энэ тохиолдолд системийн эхний тэгшитгэл нь .
(7) томъёог харгалзан бид олж авна.
Хариулт: .
Жишээ 4Өгөгдсөн: ба . олох.
Шийдэл.Түүнээс хойш .
Учир нь , дараа нь эсвэл
(2) томъёоны дагуу бид . Үүнтэй холбогдуулан (10) тэгш байдлаас бид эсвэл .
Гэсэн хэдий ч нөхцөлөөр, тиймээс .
Жишээ 5Энэ нь мэдэгдэж байна. олох.
Шийдэл. Теоремийн дагуу бид хоёр тэнцүү байна
Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл . Учир нь .
Хариулт: .
Жишээ 6Өгөгдсөн: ба . олох.
Шийдэл.Томьёог (5) харгалзан бид олж авна
Түүнээс хойш . Түүнээс хойш , ба , дараа нь .
Жишээ 7 Let ба. олох.
Шийдэл.Томъёоны дагуу (1) бид бичиж болно
Иймээс бидэнд эсвэл . Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд , тиймээс ба .
Хариулт: .
Жишээ 8Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн хуваагчийг ол
болон .
Шийдэл. Томъёо (7)-аас дараах байдалтай байнаболон . Эндээс болон асуудлын нөхцөлөөс бид тэгшитгэлийн системийг олж авна
Хэрэв системийн эхний тэгшитгэл квадрат бол, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд хуваана, тэгвэл бид авна
Эсвэл .
Хариулт: .
Жишээ 9, , дараалал нь геометрийн прогресс болох бүх утгыг ол.
Шийдэл. Let , and . Геометр прогрессийн үндсэн шинж чанарыг тодорхойлсон (2) томъёоны дагуу бид эсвэл гэж бичиж болно.
Эндээс бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна, хэний үндэсболон .
Шалгаж үзье: хэрэв, дараа нь , ба ; хэрэв , дараа нь , ба .
Эхний тохиолдолд бидэнд байнаба , хоёр дахь нь - ба .
Хариулт: , .
Жишээ 10тэгшитгэлийг шийд
, (11)
хаана болон.
Шийдэл. Зүүн талтэгшитгэл (11) нь хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр бөгөөд үүнд болон, өгөгдсөн: ба .
Томъёо (7)-аас дараах байдалтай байна, юу . Үүнтэй холбогдуулан тэгшитгэл (11) хэлбэрийг авнаэсвэл . тохиромжтой үндэс квадрат тэгшитгэлбайна
Хариулт: .
Жишээ 11.П эерэг тоонуудын дараалаларифметик прогресс үүсгэдэг, a - геометрийн прогресс, энэ нь ямар холбоотой вэ . олох.
Шийдэл.Учир нь арифметик дараалал, дараа нь (арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар). Учир нь, дараа нь эсвэл . Энэ нь гэсэн үг, Энэ нь геометрийн прогресс юм. Томъёоны дагуу (2), дараа нь бид үүнийг бичнэ.
Түүнээс хойш, дараа нь . Энэ тохиолдолд илэрхийлэлэсвэл хэлбэрийг авдаг. Нөхцөлөөр, тэгэхээр тэгшитгэлээсБид хэлэлцэж буй асуудлын өвөрмөц шийдлийг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл .
Хариулт: .
Жишээ 12.Нийлбэрийг тооцоолох
. (12)
Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг (12) 5-аар үржүүлээд аваарай
Хэрэв бид үүссэн илэрхийллээс (12) хасвал, дараа нь
эсвэл .
Тооцоолохын тулд бид утгыг (7) томъёонд орлуулж, олж авна. Түүнээс хойш .
Хариулт: .
Энд өгөгдсөн асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүд нь элсэлтийн шалгалтанд бэлтгэхэд өргөдөл гаргагчдад хэрэгтэй болно. Асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд, геометрийн прогресстой холбоотой, ашиглаж болно сургалтын гарын авлагасанал болгож буй уран зохиолын жагсаалтаас.
1. Техникийн их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн даалгаврын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 х.
2. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: нэмэлт хэсгүүд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. – М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 х.
3. Медынский М.М. Бүрэн курсдаалгаврууд, дасгалууд дахь анхан шатны математик. Ном 2: Тооны дараалалболон дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. - 208 х.
Танд асуух зүйл байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Геометрийн прогрессматематикт арифметикээс дутуугүй чухал. Геометр прогресс гэдэг нь b1, b2,..., b[n] тоонуудын дараагийн гишүүн бүрийг өмнөх нэгийг нь тогтмол тоогоор үржүүлснээр олж авсан ийм дарааллыг хэлнэ. Прогрессийн өсөлт, бууралтын хурдыг тодорхойлдог энэ тоог мөн нэрлэдэг геометр прогрессийн хуваагчболон тэмдэглэнэ
Геометрийн прогрессийг бүрэн хуваарилахын тулд хуваагчаас гадна түүний эхний гишүүнийг мэдэх эсвэл тодорхойлох шаардлагатай. Учир нь эерэг утгахуваагч прогресс нь монотон дараалал бөгөөд хэрэв энэ тооны дараалал нь нэг хэвийн буурч, нэг хэвийн өсөлттэй байвал. Хүсэгч нь нэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд практикт авч үзэхгүй, учир нь бид ижил тооны дараалалтай бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь практик сонирхолгүй байдаг.
Геометр прогрессийн ерөнхий гишүүнтомъёоны дагуу тооцоолно
Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртомъёогоор тодорхойлно
Сонгодог геометрийн прогрессийн бодлогын шийдлүүдийг авч үзье. Хамгийн энгийн ойлгомжтой зүйлээс эхэлцгээе.
Жишээ 1. Геометр прогрессийн эхний гишүүн 27, хуваагч нь 1/3. Геометр прогрессийн эхний зургаан гишүүнийг ол.
Шийдэл: Бид асуудлын нөхцөлийг маягт дээр бичнэ
Тооцооллын хувьд бид геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашигладаг
Үүний үндсэн дээр бид ахиц дэвшлийн үл мэдэгдэх гишүүдийг олдог
Таны харж байгаагаар геометрийн прогрессийн нөхцөлийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм. Прогресс нь өөрөө иймэрхүү харагдах болно
Жишээ 2. Геометр прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: 6; -12; 24. Хугацаа ба долоо дахь гишүүнийг ол.
Шийдэл: Бид геометр прогрессийн хуваагчийг түүний тодорхойлолт дээр үндэслэн тооцдог
Бид хуваарь нь -2 байх ээлжлэн геометрийн прогрессийг авсан. Долоо дахь гишүүнийг томъёогоор тооцоолно
Энэ ажлыг шийдэж байна.
Жишээ 3. Геометр прогрессийг түүний хоёр гишүүн өгсөн 
. Прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.
Шийдэл:
Өгөгдсөн утгуудыг томъёогоор бичье
Дүрэм журмын дагуу хуваагчийг олж, дараа нь хүссэн утгыг хайх шаардлагатай байсан ч арав дахь гишүүний хувьд бид байна.
Оролтын өгөгдөлтэй энгийн залруулга хийх үндсэн дээр ижил томъёог олж авч болно. Бид цувралын зургаа дахь гишүүнийг нөгөөгөөр нь хувааж, үр дүнд нь бид авдаг
Хэрэв үр дүнгийн утгыг зургаа дахь гишүүнээр үржүүлбэл бид арав дахь хэсгийг авна
Тиймээс, ийм асуудлуудын хувьд энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар хурдан аргата зөв шийдлийг олох боломжтой.
Жишээ 4. Геометрийн прогрессийг давтагдах томьёогоор тодорхойлно
Геометр прогрессийн хуваагч ба эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:
Бид өгөгдсөн өгөгдлийг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичдэг
Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваах замаар хуваагчийг илэрхийл
Эхний тэгшитгэлээс прогрессийн эхний гишүүнийг ол
Геометр прогрессийн нийлбэрийг олохын тулд дараах таван гишүүнийг тооцоол
Арифметикийн хамт геометрийн прогресс нь сургуулийн 9-р ангийн алгебрийн хичээлд судлагдсан чухал тооны цуврал юм. Энэ нийтлэлд бид геометрийн прогрессийн хуваагч, түүний утга нь шинж чанарт хэрхэн нөлөөлдөг талаар авч үзэх болно.
Геометр прогрессийн тодорхойлолт
Эхлэхийн тулд бид энэ тооны цувралын тодорхойлолтыг өгдөг. Геометр прогресс гэдэг нь эхний элементээ хуваагч гэж нэрлэгддэг тогтмол тоогоор дараалан үржүүлснээр үүссэн рационал тоонуудын цуваа юм.
Жишээлбэл, 3, 6, 12, 24, ... цувралын тоонууд нь геометрийн прогресс юм, учир нь бид 3-ыг (эхний элемент) 2-оор үржүүлбэл 6, 6-г 2-оор үржүүлбэл 6-ыг авна. 12 гэх мэт.
Харж буй дарааллын гишүүдийг ихэвчлэн ai тэмдгээр тэмдэглэдэг ба энд i нь цувралын элементийн тоог харуулсан бүхэл тоо юм.
Прогрессийн дээрх тодорхойлолтыг математикийн хэлээр дараах байдлаар бичиж болно: an = bn-1 * a1, энд b нь хуваагч юм. Энэ томъёог шалгахад хялбар байдаг: хэрэв n = 1 бол b1-1 = 1, бид a1 = a1 авна. Хэрэв n = 2 бол an = b * a1, бид дахин авч үзэж буй тооны цувралын тодорхойлолтод хүрнэ. Үүнтэй төстэй үндэслэлийг n-ийн том утгын хувьд үргэлжлүүлж болно.
Геометр прогрессийн хуваагч
b тоо нь бүх тооны цуврал ямар тэмдэгттэй байхыг бүрэн тодорхойлдог. Б хуваагч нь эерэг, сөрөг, нэгээс их, бага байж болно. Дээрх бүх сонголтууд нь янз бүрийн дараалалд хүргэдэг:
- b > 1. Рационал тооны өсөн нэмэгдэж буй цуваа байна. Жишээлбэл, 1, 2, 4, 8, ... Хэрэв a1 элемент сөрөг байвал бүх дараалал нь зөвхөн модуль нэмэгдэх боловч тоонуудын тэмдгийг харгалзан бууруулна.
- b = 1. Ижил рационал тоонуудын энгийн цуваа байдаг тул ийм тохиолдлыг ихэвчлэн прогресс гэж нэрлэдэггүй. Жишээлбэл, -4, -4, -4.
Нийлбэрийн томъёо
Харгалзан үзэж буй прогрессийн төрлийг хуваагчийг ашиглан тодорхой асуудлыг авч үзэхийн өмнө түүний эхний n элементийн нийлбэрийн чухал томьёог өгөх хэрэгтэй. Томъёо нь: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Хэрэв та прогрессийн гишүүдийн рекурсив дарааллыг авч үзвэл энэ илэрхийллийг өөрөө авч болно. Дээрх томъёонд дурын тооны гишүүний нийлбэрийг олохын тулд зөвхөн эхний элемент болон хуваагчийг мэдэхэд хангалттай гэдгийг анхаарна уу.
Хязгааргүй буурах дараалал
Энэ нь юу болохыг дээр тайлбарлав. Одоо Sn-ийн томъёог мэдэж байгаа тул үүнийг энэ тооны цувралд хэрэглэцгээе. Модуль нь 1-ээс ихгүй аливаа тоо том зэрэглэлд шилжихэд тэг болох хандлагатай байдаг тул -1 бол b∞ => 0 болно.
Зөрүү (1 - b) нь хуваарийн утгаас үл хамааран үргэлж эерэг байх тул хязгааргүй багасах геометр прогрессийн S∞-ийн нийлбэрийн тэмдгийг түүний эхний элементийн a1 тэмдгээр онцгойлон тодорхойлно.
Одоо бид хэд хэдэн асуудлыг авч үзэх бөгөөд олж авсан мэдлэгээ тодорхой тоонд хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.
Даалгаврын дугаар 1. Прогрессийн үл мэдэгдэх элементүүд ба нийлбэрийг тооцоолох
Өгөгдсөн геометр прогрессийн хуваагч нь 2, эхний элемент нь 3. Түүний 7 ба 10 дахь гишүүн хэд байх ба эхний долоон элементийн нийлбэр хэд вэ?
Асуудлын нөхцөл нь маш энгийн бөгөөд дээрх томъёог шууд ашиглах явдал юм. Тиймээс n тоотой элементийг тооцоолохдоо an = bn-1 * a1 илэрхийлэлийг ашиглана. 7-р элементийн хувьд бид: a7 = b6 * a1, мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулж, бид дараахийг авна: a7 = 26 * 3 = 192. Бид 10-р гишүүний хувьд ижил зүйлийг хийнэ: a10 = 29 * 3 = 1536.
Бид нийлбэрийн хувьд сайн мэддэг томьёог ашиглаж, цувралын эхний 7 элементийн хувьд энэ утгыг тодорхойлно. Бидэнд: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Даалгаврын дугаар 2. Прогрессийн дурын элементүүдийн нийлбэрийг тодорхойлох
-2 нь экспоненциал прогрессийн хуваагч bn-1 * 4 байг, энд n нь бүхэл тоо. Энэ цувралын 5-аас 10-р элементийн нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай.
Асуудлыг шууд ашиглан шийдэх боломжгүй мэдэгдэж байгаа томъёонууд. Та үүнийг 2-оор шийдэж болно янз бүрийн арга. Бүрэн дүүрэн байхын тулд бид хоёуланг нь танилцуулж байна.
Арга 1. Түүний санаа нь энгийн: та эхний нөхцлийн харгалзах хоёр нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь нөгөөг нь нэгээс хасах хэрэгтэй. Бага нийлбэрийг тооцоол: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Одоо бид том нийлбэрийг тооцоолно: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Сүүлийн илэрхийлэлд зөвхөн 4 гишүүнийг нэгтгэсэн болохыг анхаарна уу, учир нь 5 дахь нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тооцоолох шаардлагатай нийлбэрт аль хэдийн орсон байна. Эцэст нь бид ялгааг авна: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Арга 2. Тоонуудыг орлуулах, тоолохын өмнө тухайн цувралын m ба n гишүүний хоорондох нийлбэрийн томъёог гаргаж болно. Бид 1-р аргын адилаар ажилладаг бөгөөд зөвхөн бид эхлээд нийлбэрийн бэлгэдлийн дүрслэлээр ажилладаг. Бидэнд: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Үр дүнгийн илэрхийлэлд та мэдэгдэж буй тоонуудыг орлуулж, эцсийн үр дүнг тооцоолж болно: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Даалгаврын дугаар 3. Хуваагч нь юу вэ?
Хязгааргүй нийлбэр нь 3 байх тохиолдолд геометр прогрессийн хуваагчийг a1 = 2 гэж олоорой, энэ нь буурч буй тооны цуваа гэдгийг мэддэг.
Асуудлын нөхцөл байдлын дагуу аль томъёогоор шийдэхийг таахад хэцүү биш юм. Мэдээжийн хэрэг, хязгааргүй буурах прогрессийн нийлбэрийн хувьд. Бидэнд: S∞ = a1 / (1 - b). Бид хуваагчийг илэрхийлдэг газраас: b = 1 - a1 / S∞. Энэ нь орлуулах хэвээр байна мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэмөн шаардлагатай тоог авна: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 эсвэл -0.333 (3). Хэрэв бид энэ төрлийн дарааллын хувьд модуль b нь 1-ээс хэтрэхгүй байх ёстойг санаж байвал энэ үр дүнг чанарын хувьд шалгаж болно. Таны харж байгаагаар |-1 / 3|
Даалгаврын дугаар 4. Цуврал тоонуудыг сэргээх
Тоон цувааны 2 элементийг өгье, жишээлбэл, 5 дахь нь 30, 10 нь 60-тай тэнцүү. Энэ нь геометр прогрессийн шинж чанарыг хангадаг гэдгийг мэдэж, эдгээр өгөгдлөөс бүх цувааг сэргээх шаардлагатай.
Асуудлыг шийдэхийн тулд эхлээд мэдэгдэж буй гишүүн бүрийн харгалзах илэрхийлэлийг бичих хэрэгтэй. Бидэнд: a5 = b4 * a1 ба a10 = b9 * a1 байна. Одоо бид хоёр дахь илэрхийлэлийг эхнийх нь хувааж, бид дараахийг авна: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Эндээс бодлогын нөхцөлөөс мэдэгдэж буй гишүүдийн харьцааны тавдугаар зэрэглэлийн язгуурыг авч хуваагчийг тодорхойлно b = 1.148698. Бид үүссэн тоог мэдэгдэж буй элементийн илэрхийллүүдийн аль нэгэнд орлуулж, бид дараахийг авна: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Ингээд bn прогрессийн хуваагч, геометр прогресс bn-1 * 17.2304966 = an, энд b = 1.148698 болохыг олж мэдэв.
Геометрийн прогрессийг хаана ашигладаг вэ?
Хэрэв энэ тоон цувралыг практикт ашиглахгүй байсан бол түүний судалгаа нь зөвхөн онолын сонирхол болж буурах байсан. Гэхдээ ийм програм байдаг.
Хамгийн алдартай 3 жишээг доор жагсаав.
- Ахиллес удаан яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй гэсэн Зеногийн парадоксыг тоонуудын хязгааргүй багасах дарааллын тухай ойлголтыг ашиглан шийддэг.
- Шатрын самбарын нүд тус бүр дээр улаан буудайн үр тариа байрлуулснаар 1-р нүдэнд 1 ширхэг, 2-т 2 ширхэг, 2-р нүдэнд 3 ширхэг, 3-т 3 ширхэг байхаар байрлуулсан бол бүх нүдийг дүүргэхэд 18446744073709551615 ширхэг шаардлагатай болно. самбар!
- "Ханой цамхаг" тоглоомд дискийг нэг саваагаас нөгөөд шилжүүлэхийн тулд 2n - 1 үйлдэл хийх шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн тоо ашигласан дискний тооноос н экспоненциалаар өсдөг.
Заавар
10, 30, 90, 270...
Геометр прогрессийн хуваагчийг олох шаардлагатай.
Шийдэл:
1 сонголт. Прогрессийн дурын гишүүнийг (жишээ нь 90) аваад өмнөх гишүүнд (30) хуваая: 90/30=3.
Хэрэв геометр прогрессийн хэд хэдэн гишүүдийн нийлбэр эсвэл буурч буй геометрийн прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн хуваагчийг олохын тулд тохирох томъёог ашиглана уу.
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), энд Sn нь геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр ба
S = b1/(1-q), энд S нь хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр (нэгээс бага хуваарьтай прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр).
Жишээ.
Буурах геометр прогрессийн эхний гишүүн нэгтэй, бүх гишүүний нийлбэр нь хоёртой тэнцүү байна.
Энэ прогрессийн хуваагчийг тодорхойлох шаардлагатай.
Шийдэл:
Даалгаврын өгөгдлийг томъёонд орлуулна уу. Авах:
2=1/(1-q), үүнээс – q=1/2.
Прогресс нь тоонуудын дараалал юм. Геометр прогрессийн хувьд дараагийн гишүүн бүрийг өмнөхийг тодорхой q тоогоор үржүүлж, прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.
Заавар
Хэрэв b(n+1) ба b(n) геометрийн хоёр хөрш зэргэлдээ гишүүн байвал хуваагчийг авахын тулд их тоотой тоог өмнөх тоонд хуваах шаардлагатай: q=b(n). +1)/b(n). Энэ нь прогресс болон түүний хуваагчийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Чухал нөхцөлнь эхний гишүүний тэгш бус тэг ба прогрессийн хуваагч, эс бөгөөс тодорхойгүй гэж үзнэ.
Ийнхүү прогрессийн гишүүдийн хооронд дараах харилцаа тогтоогдоно: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) томъёогоор q хуваагч ба b1 гишүүнийг мэддэг геометр прогрессийн дурын гишүүнийг тооцоолж болно. Мөн прогрессийн модуль бүр нь хөрш зэргэлдээх гишүүдийнхээ дундажтай тэнцүү байна: |b(n)|=√, иймээс прогресс нь түүний .
Геометрийн прогрессийн аналог нь хамгийн энгийн зүйл юм экспоненциал функц y=a^x, энд x нь илтгэгч, а нь зарим тоо юм. Энэ тохиолдолд прогрессийн хуваагч нь эхний гишүүнтэй давхцаж, a тоотой тэнцүү байна. y функцийн утгыг гэж ойлгож болно n-р гишүүнаргумент x гэж авбал прогрессууд натурал тоо n (тоолуур).
Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрт оршино: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Энэ томъёо q≠1-д хүчинтэй. Хэрэв q=1 бол эхний n гишүүний нийлбэрийг S(n)=n b1 томъёогоор тооцоолно. Дашрамд хэлэхэд, q нэгээс их, эерэг b1 бол прогрессийг өсөлт гэж нэрлэнэ. Прогрессийн хуваагч модуль нэгээс ихгүй байвал прогрессийг бууралт гэж нэрлэнэ.
онцгой тохиолдолгеометр прогресс - хязгааргүй буурдаг геометр прогресс (б.у.г.п.). Баримт нь буурч буй геометрийн прогрессийн гишүүд дахин дахин буурах боловч хэзээ ч тэг хүрэхгүй. Гэсэн хэдий ч ийм прогрессийн бүх нөхцлийн нийлбэрийг олох боломжтой. Үүнийг S=b1/(1-q) томъёогоор тодорхойлно. Нийт n гишүүн хязгааргүй.
Хэрхэн хязгааргүй тооны тоог нэмж, хязгааргүй болохыг төсөөлөхийн тулд бялуу жигнэх хэрэгтэй. Хагасыг нь таслана. Дараа нь хагасыг нь 1/2, гэх мэтээр таслана. Таны авах хэсгүүд нь 1/2 хуваарьтай, хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүдээс өөр зүйл биш юм. Хэрэв та эдгээр бүх хэсгүүдийг нийлүүлбэл анхны бялууг авах болно.
Геометрийн асуудлууд тусгай төрөлорон зайн сэтгэлгээг шаарддаг дасгалууд. Хэрэв та геометрийг шийдэж чадахгүй бол даалгавардоорх дүрмийг дагаж мөрдөхийг хичээ.
Заавар
Асуудлын нөхцөлийг анхааралтай уншаарай, хэрэв та ямар нэг зүйлийг санахгүй эсвэл ойлгохгүй байвал дахин уншина уу.
Энэ нь ямар төрлийн геометрийн бодлого болохыг тодорхойлохыг хичээ, жишээлбэл: тооцоолол, ямар нэг утгыг олох шаардлагатай үед, логик гинжин хэлхээ шаарддаг даалгавар, луужин, захирагч ашиглан бүтээх даалгавар. Илүү олон даалгавар холимог төрөл. Асуудлын төрлийг олж мэдсэнийхээ дараа логикоор бодохыг хичээ.
Энэ асуудалд шаардлагатай теоремыг хэрэглээрэй, хэрэв эргэлзээ байгаа эсвэл ямар ч сонголт байхгүй бол холбогдох сэдвээр судалсан онолоо санахыг хичээ.
Асуудлын төслийг бас гарга. Шийдлийн зөв эсэхийг шалгахын тулд мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглахыг хичээ.
Бодлогын шийдлийг дэвтэр дээрээ ямар ч цэг, зураасгүй, цэгцтэй бичиж дуусгах, хамгийн чухал нь - Эхний геометрийн бодлогуудыг шийдвэрлэхэд цаг хугацаа, хүчин чармайлт хэрэгтэй байх. Гэсэн хэдий ч та энэ үйл явцыг эзэмшсэний дараа самар гэх мэт даалгавруудыг товшиж, үүнийг хийхдээ хөгжилтэй байх болно!
b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) тоонуудын b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) гэсэн дарааллыг геометр прогресс гэнэ. ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Өөрөөр хэлбэл прогрессийн гишүүн бүрийг q прогрессийн ямар нэг тэг бус хуваагчаар үржүүлэх замаар өмнөх гишүүнээс гарна.
Заавар
Прогрессийн асуудлыг ихэвчлэн b1 прогрессийн эхний гишүүн болон q прогрессийн хуваагчтай холбоотой системийг эмхэтгэж, дагаж мөрдсөнөөр шийдэгддэг. Тэгшитгэл бичихийн тулд зарим томъёог санах нь зүйтэй.
Прогрессийн n-р гишүүнийг прогрессийн эхний гишүүн болон прогрессийн хуваагчаар хэрхэн илэрхийлэх вэ: b(n)=b1*q^(n-1).
|q| тохиолдлыг тусад нь авч үзье<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
