Бэлэн квадрат тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Шийдэл, жишээ

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг хэрхэн олох талаар сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантийн тусламжтайгаар зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг; бүрэн бусыг шийдэхийн тулд. квадрат тэгшитгэл"Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олж мэдэх бусад аргыг ашиглана уу.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? тэр ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, энд a, b ба c коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү биш байна. Тэгэхээр, бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D \u003d b 2 - 4ac.

Ялгаварлагч ямар үнэ цэнэтэй байгаагаас хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Хэрэв ялгаварлагч нь тэг байвал x \u003d (-b) / 2a байна. Ялгаварлагч үед эерэг тоо(D > 0),

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээлбэл. тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Хариулт: - 3.5; нэг.

Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн схемээр бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлье.

Эдгээр томъёог ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

а x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж болно. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1, дараа нь тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2 шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (эхний ээлжинд хамгийн том илтгэгчтэй мономиал байх ёстой. а x 2 , дараа нь бага – bx, дараа нь чөлөөт нэр томъёо -тай.

Дээрх квадрат тэгшитгэл болон хоёр дахь гишүүний тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хоёрдахь гишүүнтэй бүтэн квадрат тэгшитгэлд коэффициент нь тэгш (b = 2k) байвал 2-р зурагт үзүүлсэн томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгдмэл байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авна. адээр зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратын уусмалын диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Зураг 1-т үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3)) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3)) / 6 \u003d -1 + √ 3

Хариулт: -1 - √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн x дээрх коэффициент нь тэгш тоо, өөрөөр хэлбэл b \u003d 6 эсвэл b \u003d 2k, үүнээс k \u003d 3 байгааг харж болно. Дараа нь диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3)) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3)) / 3 \u003d - 1 + √3

Хариулт: -1 - √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагдаж, хуваагддаг болохыг анзаарч, бид багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна x 2 + 2x - 2 = 0 Бид энэ тэгшитгэлийг багасгасан квадратын томъёог ашиглан шийднэ.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3)) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3)) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Хариулт: -1 - √3; –1 + √3.

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед янз бүрийн томъёоБид ижил хариулт авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна.

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулбарласан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

”, өөрөөр хэлбэл нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлүүд. Энэ хичээлээр бид судлах болно квадрат тэгшитгэл гэж юу вэмөн үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ

Чухал!

Тэгшитгэлийн зэрэг нь үл мэдэгдэх зүйл байх хамгийн дээд зэргээр тодорхойлогддог.

Хэрэв үл мэдэгдэх хамгийн дээд зэрэг нь "2" байвал квадрат тэгшитгэлтэй болно.

Квадрат тэгшитгэлийн жишээ

• 5х2 - 14х + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Чухал! Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" ба "c" - өгөгдсөн тоо.

• "a" - эхний буюу ахлах коэффициент;
• "b" - хоёр дахь коэффициент;
• "c" бол чөлөөт гишүүн юм.

"A", "b" ба "c" -ийг олохын тулд та тэгшитгэлээ "ax 2 + bx + c \u003d 0" квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэртэй харьцуулах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

5х2 - 14х + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Тэгшитгэл	Магадлал
a=5 b = -14 c = 17
a = −7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Дургүй шугаман тэгшитгэлквадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тусгай үндсийг олох томъёо.

Санаж байна уу!

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

• квадрат тэгшитгэлийг авчирна ерөнхий үзэл"сүх 2 + bx + c = 0". Энэ нь баруун талд зөвхөн "0" үлдэх ёстой;
• үндэсийн томъёог ашиглана уу:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёог хэрхэн хэрэглэхийг жишээгээр олж мэдье. Квадрат тэгшитгэлээ шийдье.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" тэгшитгэлийг "ax 2 + bx + c = 0" ерөнхий хэлбэрт аль хэдийн багасгасан бөгөөд нэмэлт хялбарчлах шаардлагагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өргөдөл гаргахад л хангалттай квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо.

Энэ тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентүүдийг тодорхойлъё.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Түүний тусламжтайгаар аливаа квадрат тэгшитгэлийг шийддэг.

"x 1; 2 \u003d" томъёонд үндэс илэрхийлэл нь ихэвчлэн солигддог
"b 2 − 4ac" -ийг "D" үсэг хүртэл, ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ялгаварлагчийн тухай ойлголтыг "Ялгаварлагч гэж юу вэ" хичээл дээр илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Квадрат тэгшитгэлийн өөр нэг жишээг авч үзье.

x 2 + 9 + x = 7x

Энэ хэлбэрээр "a", "b", "c" коэффициентийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Эхлээд тэгшитгэлийг "ax 2 + bx + c \u003d 0" ерөнхий хэлбэрт аваачъя.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Одоо та үндэст зориулсан томъёог ашиглаж болно.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Хариулт: x = 3

Квадрат тэгшитгэлд язгуур байхгүй үе байдаг. Үндэс дор томьёонд сөрөг тоо гарч ирэхэд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.

Квадрат тэгшитгэлийг 8-р ангид судалдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь маш чухал юм.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a , b ба c коэффициентүүд нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бид бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Үндэсгүй байх;
2. Тэд яг нэг үндэстэй;
3. Тэд хоёр өөр үндэстэй.

Энэ нь квадрат болон шугаман тэгшитгэлийн хоорондох чухал ялгаа бөгөөд үндэс нь үргэлж байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.Тэгвэл дискриминант нь зүгээр л D = b 2 − 4ac тоо болно.

Энэ томъёог цээжээр мэддэг байх ёстой. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлж болно. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн боддог шиг тэдгээрийн шинж тэмдгийг огт биш харин язгуурын тоог заадаг. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5х2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Бид эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичиж, ялгаварлагчийг олно.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил аргаар шинжилнэ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Сүүлийн тэгшитгэл хэвээр байна:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү - үндэс нь нэг байх болно.

Тэгшитгэл бүрийн хувьд коэффициентүүдийг бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжуудыг хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй байх болно. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та "гараа дүүргэвэл" хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ явцгаая. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн томъёо

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнх тохиолдолд сөрөг коэффициентийг томъёонд орлуулах үед алдаа гардаг. Энд дахин хэлэхэд дээр дурдсан техник нь туслах болно: томъёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг будаж, алдаанаасаа хурдан ангижрах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэг нэр томъёо дутуу байгааг харахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: тэд ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй болно. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b \u003d c \u003d 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 \u003d 0 хэлбэртэй байна. Ийм тэгшитгэл нь нэг утгатай байх нь ойлгомжтой. үндэс: x \u003d 0.

Бусад тохиолдлыг авч үзье. b \u003d 0 гэж үзье, тэгвэл бид ax 2 + c \u003d 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг авна. Үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

Арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тооноос л байдаг тул сүүлчийн тэгшитгэл нь (−c / a ) ≥ 0 үед л утга учиртай болно. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь (−c / a ) ≥ 0 тэгш бус байдлыг хангаж байвал хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c / a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар ялгаварлагч шаардлагагүй байсан - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд нарийн төвөгтэй тооцоо огт байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ (−c / a ) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2-ын утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзье. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтаас гаргаж байна

Хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд бид эдгээр тэгшитгэлийн хэд хэдэн зүйлийг шинжлэх болно.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5х2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 эсвэл x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэж сурсны дараа би бусадтай, ялангуяа квадрат гэж нэрлэгддэг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлүүдтэй ажиллахыг хүсч байна.

Квадрат тэгшитгэлүүд нь ax² + bx + c = 0 төрлийн тэгшитгэлүүд бөгөөд хувьсагч нь x, тоонууд нь - a, b, c, a нь тэгтэй тэнцүү биш байна.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлд нэг буюу өөр коэффициент (c эсвэл b) тэгтэй тэнцүү бол энэ тэгшитгэл нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэлнэ.

Оюутнууд өнөөг хүртэл зөвхөн нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэж чадсан бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг авч үзье янз бүрийн төрөлболон энгийн аргуудтэдний шийдвэр.

a) Хэрэв c коэффициент нь 0-тэй тэнцүү бол b коэффициент нь тэгтэй тэнцүү биш бол ax ² + bx + 0 = 0 нь ax ² + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлд буурна.

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёог мэдэх хэрэгтэй. зүүн талүүнийг хүчин зүйл болгон хувааж, дараа нь бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлийг ашиглана.

Жишээлбэл, 5x ² - 20x \u003d 0. Бид ердийн математик үйлдлийг гүйцэтгэхдээ тэгшитгэлийн зүүн талыг хасдаг: нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж авдаг.

5x (x - 4) = 0

Бүтээгдэхүүнүүд нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцлийг бид ашигладаг.

5 x = 0 эсвэл x - 4 = 0

Хариулт нь: эхний үндэс нь 0; хоёр дахь үндэс нь 4.

б) Хэрэв b \u003d 0, чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү биш бол ax ² + 0x + c \u003d 0 тэгшитгэлийг ax ² + c \u003d 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон бууруулна. Тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрээр шийд. арга замууд: а) зүүн талд байгаа тэгшитгэлийн олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон задлах; б) арифметикийн шинж чанарыг ашиглах квадрат язгуур. Ийм тэгшитгэлийг аргуудын аль нэгээр шийддэг, жишээлбэл:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Хариулт нь: эхний үндэс нь 5/2; хоёр дахь үндэс нь - 5/2.

в) Хэрэв b нь 0, c нь 0 бол ax² + 0 + 0 = 0 нь ax² = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болж буурна. Ийм тэгшитгэлд x нь 0-тэй тэнцүү байна.

Таны харж байгаагаар бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд хамгийн ихдээ хоёр үндэстэй байж болно.

Зүгээр л. Томъёо, тодорхой энгийн дүрмийн дагуу. Эхний шатанд

шаардлагатай өгөгдсөн тэгшитгэлхүргэж байна стандарт харагдах байдал, өөрөөр хэлбэл үзэмж рүү:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол эхний шатыг хийх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь зөв

бүх коэффициентийг тодорхойлно а, бболон в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч . Таны харж байгаагаар х-г олохын тулд бид

ашиглах зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. -аас магадлал квадрат тэгшитгэл. Зүгээр л болгоомжтой оруулаарай

үнэт зүйлс a, b ба cэнэ томъёонд оруулаад тоол. -аар орлуулах тэднийтэмдэг!

Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

а =1; б = 3; в = -4.

Утгыг орлуулж бичнэ үү:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Хамгийн түгээмэл алдаа бол үнэт зүйлсийн шинж тэмдгүүдтэй төөрөгдөл юм а, бболон -тай. Үүний оронд орлуулах замаар

сөрөг утгуудүндсийг тооцоолох томъёонд оруулна. Энд нарийвчилсан томъёог хадгалдаг

тодорхой тоогоор. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал үүнийг хий!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Бид бүх зүйлийг нарийвчлан, анхааралтай, бүх тэмдэг, хаалтанд оруулалгүйгээр зурдаг.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэл нь арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй.

Эхний хүлээн авалт. Өмнө нь залхуурах хэрэггүй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхстандарт хэлбэрт оруулах.

Энэ юу гэсэн үг вэ?

Аливаа өөрчлөлтийн дараа та дараах тэгшитгэлийг олж авлаа гэж бодъё.

Үндэсийн томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л холих болно a, b ба c.

Жишээг зөв зохио. Эхлээд х квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:

Хасах зүйлээс сал. Хэрхэн? Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг бөглөж болно.

Өөрөө л шийд. Та 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт.Үндэсээ шалгаарай! By Вьетагийн теорем.

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл. коэффициент бол

x2+bx+c=0,

тэгээдx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−б

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд a≠1:

x 2 +бx+в=0,

тэгшитгэлийг бүхэлд нь хуваана а:

→ →

хаана x 1болон x 2 - тэгшитгэлийн үндэс.

Гурав дахь хүлээн авалт. Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Үржүүлэх

нийтлэг хуваагчийн тэгшитгэл.

Дүгнэлт. Практик зөвлөмжүүд:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө бид квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, түүнийг байгуулна зөв.

2. Хэрэв квадрат дахь х-ийн урд сөрөг коэффициент байвал бид бүгдийг үржүүлж хасна

-1-ийн тэгшитгэл.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах тоогоор үржүүлж бутархайг арилгана.

хүчин зүйл.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг хялбархан шалгаж болно.