Квадрат тэгшитгэлийг дискриминантаар шийдвэрлэх томъёо. Квадрат тэгшитгэл

", өөрөөр хэлбэл, нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлүүд. Энэ хичээл дээр бид үзэх болно үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэгмөн үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Чухал!

Тэгшитгэлийн зэрэг нь үл мэдэгдэх зүйл байх хамгийн дээд зэргээр тодорхойлогддог.

Хэрэв үл мэдэгдэх хамгийн их хүч нь "2" бол квадрат тэгшитгэлтэй болно.

Квадрат тэгшитгэлийн жишээ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Чухал! Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b", "c" гэсэн тоонууд өгөгдсөн.

• "a" нь эхний буюу хамгийн өндөр коэффициент;
• "b" нь хоёр дахь коэффициент;
• "c" нь чөлөөт гишүүн юм.

"a", "b", "c"-ийг олохын тулд та тэгшитгэлээ "ax 2 + bx + c = 0" квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэртэй харьцуулах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Тэгшитгэл	Магадлал
a = 5 b = -14 c = 17
a = −7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Шийдвэрлэх шугаман тэгшитгэлээс ялгаатай квадрат тэгшитгэлтусгай нэгийг ашигладаг үндсийг олох томъёо.

Санаж байна уу!

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

• квадрат тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт ав. Энэ нь баруун талд зөвхөн "0" үлдэх ёстой;
• үндэс нь томъёог ашиглах:

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд томъёог хэрхэн ашиглах жишээг харцгаая. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

X 2 − 3x − 4 = 0

“x 2 − 3x − 4 = 0” тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт аль хэдийн багасгасан бөгөөд нэмэлт хялбарчлах шаардлагагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өргөдөл гаргахад л хангалттай квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо.

Энэ тэгшитгэлийн “a”, “b”, “c” коэффициентүүдийг тодорхойлъё.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Үүнийг ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

“x 1;2 =” томьёоны хувьд радикал илэрхийлэл нь ихэвчлэн солигддог
"D" үсгийн хувьд "b 2 - 4ac" бөгөөд ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ялгаварлагчийн тухай ойлголтыг "Ялгаварлагч гэж юу вэ" хичээл дээр илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Квадрат тэгшитгэлийн өөр нэг жишээг авч үзье.

x 2 + 9 + x = 7x

Энэ хэлбэрээр "a", "b" ба "c" коэффициентийг тодорхойлоход нэлээд хэцүү байдаг. Эхлээд тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт оруулъя.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Одоо та үндэст зориулсан томъёог ашиглаж болно.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Хариулт: x = 3

Квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. Томъёоны үндэс дор сөрөг тоо байгаа тохиолдолд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.

Хамтран ажиллацгаая квадрат тэгшитгэл. Эдгээр нь маш алдартай тэгшитгэлүүд юм! Маш их ерөнхий үзэлквадрат тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Жишээлбэл:

Энд А =1; б = 3; в = -4

Энд А =2; б = -0,5; в = 2,2

Энд А =-3; б = 6; в = -18

За ойлголоо...

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?Хэрэв таны өмнө энэ хэлбэрээр квадрат тэгшитгэл байгаа бол бүх зүйл энгийн болно. Шидэт үгийг санаарай ялгаварлагч . Энэ үгийг сонсоогүй ахлах сургуулийн сурагч ховор байх! "Бид ялгаварлан гадуурхах замаар шийддэг" гэсэн хэллэг нь өөртөө итгэх итгэл, итгэлийг төрүүлдэг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Энэ нь хэрэглэхэд хялбар бөгөөд асуудалгүй юм. Тэгэхээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.

Үндэсний тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь нэг юм ялгаварлагч. Таны харж байгаагаар бид X-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b, c. Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cЭнэ бол бидний тооцоолсон томъёо юм. Орлуулж үзье өөрийн шинж тэмдгээр! Жишээлбэл, эхний тэгшитгэлийн хувьд А =1; б = 3; в= -4. Энд бид үүнийг бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Тэгээд л болоо.

Энэ томъёог ашиглах үед ямар тохиолдлууд гарч болох вэ? Гуравхан тохиолдол бий.

1. Ялгаварлагч эерэг байна. Энэ нь үндсийг нь гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Үндэс нь сайн олборлосон уу, муу уу гэдэг нь өөр асуудал. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.

2. Дискриминант нь тэг байна. Тэгвэл танд нэг шийдэл байна. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил. Гэхдээ энэ нь бидний тэгш бус байдалд тодорхой үүрэг гүйцэтгэдэг илүү дэлгэрэнгүй асуултСурцгаая.

3. Ялгаварлагч сөрөг байна. Сөрөг тооноос Квадрат язгуургаргаж аваагүй. За яахав. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Бүх зүйл маш энгийн. Юу вэ, та алдаа гаргах боломжгүй гэж бодож байна уу? За, тийм ээ, яаж ...
Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм a, b ба c. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч байна вэ?), Харин сөрөг утгыг үндсийг тооцоолох томъёонд орлуулах замаар. Энд туслах зүйл бол тодорхой тоогоор томъёоны нарийвчилсан бичлэг юм. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал Үүнийг хийх!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд a = -6; b = -5; c = -1

Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.

За, битгий залхуу бай. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно. Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.

Ийм анхааралтай бичих нь үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тийм юм шиг санагддаг. Үүнийг нэг туршаад. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү? Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой бичих шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө бие даан ажиллах болно. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны хасах зүйлтэй энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!

Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхбидний санаж байсан ялгаварлагчаар дамжуулан. Эсвэл тэд сурсан, энэ нь бас сайн хэрэг. Та хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c. Та яаж мэдэх вэ? анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг тоол. Та үүнийг ойлгосон уу түлхүүр үгЭнд - анхааралтай уу?

Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэл нь ихэвчлэн арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Энэ бүрэн бус квадрат тэгшитгэл . Тэдгээрийг мөн ялгаварлагчаар шийдэж болно. Энд тэд юутай тэнцүү болохыг та зүгээр л зөв ойлгох хэрэгтэй. a, b ба c.

Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4;А в? Энэ нь огт байхгүй! За, тийм ээ, зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Тэгээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулаарай в,мөн бид амжилтанд хүрнэ. Хоёр дахь жишээн дээр мөн адил. Зөвхөн энд тэг байхгүй -тай, А б !

Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү энгийнээр шийдэж болно. Ямар ч ялгаварлалгүйгээр. Эхнийхийг авч үзье бүрэн бус тэгшитгэл. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та X-г хаалтнаас гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.

Тэгээд үүнээс юу вэ? Мөн хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэг өгөх хоёр тэгээс өөр тоо гар!
Ажиллахгүй байна? Ингээд л болоо...
Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно: x = 0, эсвэл x = 4

Бүгд. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Аль аль нь тохиромжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь анхны тэгшитгэлд орлуулахад бид 0 = 0 зөв таних тэмдгийг олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь дискриминант ашиглахаас хамаагүй хялбар юм.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9 рүү шилжүүлнэ үү баруун тал. Бид авах:

9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно:

Мөн хоёр үндэс . x = +3 ба x = -3.

Бүрэн бус бүх квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд X-г оруулах, эсвэл энгийн шилжүүлэгбаруун тийш тоонууд, дараа нь үндсийг задлах.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л учир нь эхний тохиолдолд та ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй X-ийн үндсийг задлах хэрэгтэй болно, хоёр дахь тохиолдолд хаалтнаас гаргах зүйл байхгүй ...

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж үүсдэг тэр л зүйлүүд... Үүний төлөө сүүлдээ өвдөж, гомдоодог...

Эхний уулзалт. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхээсээ өмнө залхуу байж, стандарт хэлбэрт оруулах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:

Дахин хэлэхэд бүү яар! X квадратын өмнөх хасах нь таныг үнэхээр бухимдуулж чадна. Мартах амархан... Хасах зүйлээ хая. Хэрхэн? Тиймээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой. Өөрийнхөө төлөө шийд. Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт.Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремын дагуу. Битгий ай, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байна сүүлчийн зүйлтэгшитгэл. Тэдгээр. бидний язгуур томьёог бичдэг байсан. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1, үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Үр дүн нь чөлөөт гишүүн байх ёстой, i.e. манай тохиолдолд -2. Анхаарна уу, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн таны тэмдгээр . Хэрэв энэ нь болохгүй бол тэд аль хэдийн хаа нэгтээ залхаасан гэсэн үг. Алдааг хай. Хэрэв энэ нь ажиллаж байгаа бол та үндсийг нэмэх хэрэгтэй. Сүүлийн ба Эцсийн үзлэг. Коэффицент нь байх ёстой б-тай эсрэг танил. Манай тохиолдолд -1+2 = +1. Коэффицент б X-ийн өмнө байгаа нь -1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна!
Зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд энэ нь маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлийг шалгаарай! Бүгд алдаа багаболно.

Гурав дахь хүлээн авалт. Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Тэгшитгэлийг үржүүлнэ Ерөнхий хуваарь, өмнөх хэсэгт тайлбарласны дагуу. Бутархайтай ажиллахад яагаад ч юм алдаа гарсаар л байдаг...

Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны хасах зүйлээр хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Тэр энд байна.

Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:

Тэгээд л болоо! Шийдэх нь таашаал юм!

Ингээд сэдвийг тоймлон хүргэе.

Практик зөвлөгөө:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна Зөв.

2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь -1-ээр үржүүлж арилгана.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан шалгаж болно. Үүнийг хий!

Бутархай тэгшитгэл. ОДЗ.

Бид тэгшитгэлийг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байна. Шугаман болон квадрат тэгшитгэлтэй хэрхэн ажиллахыг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Сүүлчийн харагдах байдал - бутархай тэгшитгэл. Эсвэл тэднийг илүү хүндэтгэлтэй гэж нэрлэдэг - бутархай рационал тэгшитгэл . Энэ нь адилхан.

Бутархай тэгшитгэл.

Нэрнээс нь харахад эдгээр тэгшитгэл нь заавал бутархайг агуулна. Гэхдээ зөвхөн бутархай биш, харин байгаа бутархай хуваарийн хувьд үл мэдэгдэх. Наад зах нь нэгд. Жишээлбэл:

Хэрэв хуваагч нь зөвхөн бол гэдгийг сануулъя тоо, эдгээр нь шугаман тэгшитгэл юм.

Хэрхэн шийдэх вэ бутархай тэгшитгэл? Юуны өмнө бутархай хэсгүүдээс сал! Үүний дараа тэгшитгэл нь ихэвчлэн шугаман эсвэл квадрат болж хувирдаг. Дараа нь бид юу хийхээ мэддэг ... Зарим тохиолдолд энэ нь 5=5 гэх мэт ижил төстэй байдал эсвэл 7=2 гэх мэт буруу илэрхийлэл болж хувирдаг. Гэхдээ энэ нь ховор тохиолддог. Үүнийг би доор дурдъя.

Гэхдээ фракцаас хэрхэн ангижрах вэ!? Маш энгийн. Ижил төстэй хувиргалтыг ашиглах.

Бид тэгшитгэлийг бүхэлд нь ижил илэрхийллээр үржүүлэх хэрэгтэй. Ингэснээр бүх хуваагч багасна! Бүх зүйл тэр даруй хялбар болно. Би жишээгээр тайлбарлая. Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Бага ангид яаж заалгаж байсан бэ? Бид бүгдийг нэг тал руу шилжүүлж, нийтлэг хуваагч руу авчрах гэх мэт. Яаж гэдгийг март аймшигтай мөрөөдөл! Бутархайг нэмэх, хасах үед үүнийг хийх хэрэгтэй. Эсвэл та тэгш бус байдалтай ажилладаг. Тэгшитгэлд бид хоёр талыг нэн даруй бүх хуваагчийг (өөрөөр хэлбэл нийтлэг хуваагчаар) багасгах боломжийг олгох илэрхийллээр үржүүлдэг. Мөн энэ илэрхийлэл юу вэ?

Зүүн талд хуваагчийг багасгахын тулд үржүүлэх шаардлагатай x+2. Баруун талд нь 2-оор үржүүлэх шаардлагатай. Энэ нь тэгшитгэлийг үржүүлэх ёстой гэсэн үг юм. 2(x+2). Үржүүлэх:

Энэ энгийн үржүүлэхбутархай, гэхдээ би үүнийг нарийвчлан бичих болно:

Би хаалтыг хараахан нээхгүй байгааг анхаарна уу (x + 2)! Тиймээс, би үүнийг бүхэлд нь бичиж байна:

Зүүн талд энэ нь бүхэлдээ агшдаг (x+2), баруун талд 2. Аль нь шаардлагатай байсан бэ! Буурсны дараа бид авдаг шугамантэгшитгэл:

Мөн хүн бүр энэ тэгшитгэлийг шийдэж чадна! x = 2.

Өөр нэг жишээг шийдье, арай илүү төвөгтэй:

Хэрэв бид 3 = 3/1 гэдгийг санаж байвал 2х = 2х/ 1, бид бичиж болно:

Дахин бид үнэхээр дургүй зүйлээсээ салдаг - бутархай.

Бид хуваагчийг X-ээр багасгахын тулд бутархайг үржүүлэх хэрэгтэйг харж байна (x – 2). Мөн цөөн хэдэн нь бидэнд саад болохгүй. За үржүүлье. Бүгд зүүн талТэгээд бүгдбаруун тал:

Дахин хаалт (x – 2)Би илчлэхгүй байна. Би хаалтанд нэг тоо байгаа юм шиг бүхэлд нь ажилладаг! Үүнийг үргэлж хийх ёстой, эс тэгвээс юу ч буурахгүй.

Гүн сэтгэл ханамжийн мэдрэмжээр бид буурдаг (x – 2)мөн бид ямар ч бутархайгүй, захирагчтай тэгшитгэлийг авдаг!

Одоо хаалтуудыг нээцгээе:

Бид ижил төстэй зүйлийг авчирч, бүх зүйлийг зүүн тал руу шилжүүлж, дараахь зүйлийг авна.

Сонгодог квадрат тэгшитгэл. Гэхдээ өмнөх хасах нь сайн зүйл биш юм. Үргэлж -1-ээр үржүүлж эсвэл хуваах замаар үүнийг арилгах боломжтой. Гэхдээ хэрэв та жишээг анхааралтай ажиглавал энэ тэгшитгэлийг -2-т хуваах нь дээр гэдгийг анзаарах болно! Нэг цохилтоор хасах зүйл алга болж, магадлал илүү сонирхолтой болно! -2-т хуваана. Зүүн талд - нэр томъёогоор, баруун талд - тэгийг -2, тэг болгон хуваагаад бид дараахь зүйлийг авна.

Бид дискриминантаар шийдэж, Виетийн теоремыг ашиглан шалгана. Бид авдаг x = 1 ба x = 3. Хоёр үндэс.

Таны харж байгаагаар эхний тохиолдолд хувиргасны дараа тэгшитгэл шугаман болсон боловч энд квадрат болж хувирав. Бутархай хэсгүүдээс салсны дараа бүх X нь багасдаг. 5=5 гэх мэт ямар нэг зүйл үлдсэн. Энэ нь тийм гэсэн үг x нь юу ч байж болно. Ямар ч байсан багассаар л байх болно. Тэгээд бүтнэ цэвэр үнэн, 5=5. Гэхдээ бутархайг арилгасны дараа 2=7 гэх мэт огт худлаа болж магадгүй юм. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм шийдэл байхгүй! Аливаа X нь худал болж хувирдаг.

Ухаарсан гол арга замшийдлүүд бутархай тэгшитгэл? Энэ нь энгийн бөгөөд логик юм. Бидний дургүй бүх зүйл алга болохын тулд бид анхны илэрхийлэлийг өөрчилдөг. Эсвэл саад болдог. IN энэ тохиолдолдэдгээр нь бутархай юм. Бид бүх төрлийн ижил зүйлийг хийх болно нарийн төвөгтэй жишээнүүдлогарифм, синус болон бусад аймшгийн хамт. Бид ҮргэлжЭнэ бүхнээс салцгаая.

Гэсэн хэдий ч бид анхны илэрхийлэлийг шаардлагатай чиглэлд өөрчлөх хэрэгтэй журмын дагуу, тиймээ... Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх нь түүний эзэмшилт юм. Тиймээс бид үүнийг эзэмшиж байна.

Одоо бид аль нэгийг нь тойрч гарахыг сурах болно Улсын нэгдсэн шалгалтын гол отолт! Гэхдээ эхлээд та үүнд унасан эсэхийг харцгаая?

Энгийн жишээг харцгаая:

Асуудал аль хэдийн танил болсон тул бид хоёр талыг үржүүлдэг (x – 2), бид авах:

Би танд сануулж байна, хаалттай (x – 2)Бид нэг, салшгүй илэрхийлэлтэй юм шиг ажилладаг!

Энд би хуваагч дээр нэгийг бичихээ больсон, энэ нь ёс суртахуунгүй юм ... Тэгээд би хуваагчдад хаалт зураагүй. x - 2юу ч байхгүй, чи зурах шаардлагагүй. товчилъё:

Хаалтуудыг нээж, бүгдийг зүүн тийш шилжүүлж, ижил төстэй зүйлийг өгнө үү:

Бид шийдэж, шалгаад, бид хоёр үндэс авдаг. x = 2Тэгээд x = 3. Агуу их.

Даалгавар нь язгуур буюу нэгээс олон язгуур байвал тэдгээрийн нийлбэрийг бичнэ гэж хэлсэн гэж бодъё. Бид юу бичих гэж байна?

Хэрэв та хариултыг 5 гэж шийдсэн бол та отож байсан. Мөн даалгаврыг танд тооцохгүй. Тэд дэмий л ажилласан... Зөв хариулт нь 3.

Юу болсон бэ?! Мөн та шалгалт хийхийг оролдоорой. Үл мэдэгдэх утгыг орлуул эхжишээ. Мөн хэрэв байгаа бол x = 3бүх зүйл хамтдаа гайхалтай өсөх болно, бид 9 = 9, дараа нь хэзээ x = 2Энэ нь тэгээр хуваагдах болно! Та үнэхээр хийж чадахгүй зүйл. гэсэн үг x = 2шийдэл биш бөгөөд хариултанд тооцогдохгүй. Энэ нь гадны эсвэл нэмэлт үндэс гэж нэрлэгддэг. Бид үүнийг зүгээр л хаядаг. Эцсийн үндэс нь нэг юм. x = 3.

Яаж тийм?! - Би уур хилэнг сонсдог. Тэгшитгэлийг илэрхийллээр үржүүлж болно гэж бидэнд заасан! Энэ бол ижил төстэй өөрчлөлт юм!

Тийм ээ, адилхан. Жижиг нөхцөлд - бидний үржүүлэх (хуваах) илэрхийлэл - тэгээс ялгаатай. А x - 2цагт x = 2тэгтэй тэнцүү! Тиймээс бүх зүйл шударга байна.

Тэгээд одоо би юу хийж чадах вэ?! Илэрхийлэлээр үржүүлж болохгүй гэж үү? Би байнга шалгаж байх ёстой юу? Дахин хэлэхэд тодорхойгүй байна!

Тайван! Бүү сандар!

Энэ хүнд нөхцөлд гурван шидэт үсэг биднийг аврах болно. Би чиний юу бодож байгааг мэдэж байна. Зөв! Энэ ОДЗ . Зөвшөөрөгдөх үнэлэмжийн бүс.

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг; бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бусад аргуудыг ашигладаг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Ялгаварлагч үед эерэг тоо(D > 0),

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн стандарт харагдах байдал

А x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, дээр зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэлийн зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед янз бүрийн томъёоБид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Бүхэл бүтэн хичээлийн дунд сургуулийн сургалтын хөтөлбөрАлгебрийн хувьд хамгийн өргөн хүрээтэй сэдвүүдийн нэг бол квадрат тэгшитгэлийн сэдэв юм. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл гэж ойлгодог бөгөөд энд a ≠ 0 (унших: a x квадрат дээр нэмэх нь x нэмэх ce нь тэгтэй тэнцүү, энд a биш юм. тэгтэй тэнцүү). Энэ тохиолдолд үндсэн байрыг заасан төрлийн квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлагчийг олох томъёо эзэлдэг бөгөөд энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, түүнчлэн тэдгээрийн язгуур байгаа эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог илэрхийлэл гэж ойлгогддог. дугаар (хэрэв байгаа бол).

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантын томъёо (тэгшитгэл).

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн томьёо нь дараах байдалтай байна: D = b 2 – 4ac. Тодорхойлсон томъёог ашиглан ялгаварлагчийг тооцоолсноор та квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, тоог тодорхойлохоос гадна квадрат тэгшитгэлийн төрлөөс хамааран хэд хэдэн язгуурыг олох аргыг сонгох боломжтой.

Ялгаварлагч нь тэг байвал юу гэсэн үг вэ \ Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо.

Томъёоны дагуу ялгаварлагчийг латин D үсгээр тэмдэглэнэ. Дискриминант нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл гэж дүгнэх хэрэгтэй. ≠ 0, хялбаршуулсан томъёогоор тооцоолсон зөвхөн нэг үндэстэй. Энэ томъёонь зөвхөн дискриминант нь тэг байх ба дараах байдлаар харагдана: x = –b/2a, энд x нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур, b ба a нь квадрат тэгшитгэлийн харгалзах хувьсагч юм. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд танд хэрэгтэй сөрөг утгатай b хувьсагчийг a хувьсагчийн утгаас хоёр дахин хуваасан. Үүссэн илэрхийлэл нь квадрат тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх

Хэрэв дээрх томьёог ашиглан дискриминантыг тооцоолохдоо эерэг утга гарвал (D нь тэгээс их) бол квадрат тэгшитгэл нь дараах томъёогоор тооцоолсон хоёр үндэстэй байна: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Ихэнх тохиолдолд ялгаварлагчийг тусад нь тооцдоггүй, харин ялгах томьёо хэлбэрийн радикал илэрхийлэл нь үндсийг гаргаж авсан D утгад зүгээр л орлуулдаг. Хэрэв b хувьсагч тэгш утгатай бол ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд a ≠ 0 бол дараах томъёог ашиглаж болно: x 1 = (–k +) v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, энд k = b/2.

Зарим тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг бодитоор шийдвэрлэхийн тулд та x 2 + px + q = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь x 1 + x 2 = –p гэсэн утгатай Виетийн теоремыг ашиглаж болно. үнэн байх ба заасан тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийн хувьд – илэрхийлэл x 1 x x 2 = q.

Дискриминант нь тэгээс бага байж болох уу?

Ялгаварлан гадуурхалтын утгыг тооцоолохдоо та тодорхойлсон тохиолдлуудын аль нэгэнд хамаарахгүй нөхцөл байдалтай тулгарч магадгүй - ялгаварлан гадуурхагч сөрөг утгатай (өөрөөр хэлбэл тэгээс бага). Энэ тохиолдолд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл нь a ≠ 0 нь бодит язгуургүй тул түүний шийдэл нь дискриминант болон дээрх томъёог тооцоолоход хязгаарлагдах болно гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Учир нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд энэ тохиолдолд хамаарахгүй болно. Үүний зэрэгцээ квадрат тэгшитгэлийн хариултанд "тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй" гэж бичсэн байдаг.

Тайлбар видео:

Квадрат тэгшитгэлийг 8-р ангид судалдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь зайлшгүй шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a, b, c коэффициентүүд нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Үндэсгүй байх;
2. Яг нэг үндэстэй байх;
3. Тэд хоёр өөр үндэстэй.

Энэ нь квадрат тэгшитгэл ба шугаман тэгшитгэлийн хоорондох чухал ялгаа бөгөөд үндэс нь үргэлж байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.Тэгвэл дискриминант нь зүгээр л D = b 2 − 4ac тоо болно.

Та энэ томъёог цээжээр мэдэх хэрэгтэй. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлох боломжтой. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн итгэдэг тул тэдгээрийн шинж тэмдгүүдийн тоог огт илэрхийлдэггүй. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичээд ялгагчийг олъё.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шинжилдэг.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Хамгийн сүүлд үлдсэн тэгшитгэл нь:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэг - үндэс нь нэг байх болно.

Тэгшитгэл бүрийн хувьд коэффициентүүдийг бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжоо хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та үүнийг ойлговол хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ шилжье. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн томъёо

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Хэрэв та томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнхдээ сөрөг коэффициентийг томъёонд орлуулах үед алдаа гардаг. Дахин хэлэхэд дээр дурдсан техник нь туслах болно: томьёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг бичээрэй - тун удахгүй та алдаанаасаа салах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэр томъёоны аль нэг нь дутуу байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b = c = 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 = 0 хэлбэртэй байна. Ийм тэгшитгэл нь нэг язгууртай нь ойлгомжтой: x = 0.

Үлдсэн тохиолдлуудыг авч үзье. b = 0 гэж үзье, тэгвэл бид ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг олж авна. Үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

Арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тоон дээр байдаг тул сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн (−c /a) ≥ 0-д утга учиртай болно. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдал хангагдсан бол хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c /a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар дискриминант шаардлагагүй - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд нарийн төвөгтэй тооцоо огт байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2 утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв энэ нь сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг харцгаая. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байна

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд, эдгээр тэгшитгэлийн заримыг харцгаая.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5х 2 + 30 = 0;
3. 4х 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.