Энгийн тоог бутархайгаар үржүүлэх. Бутархай. Бутархайг үржүүлэх, хуваах

МЭӨ V зуунд эртний Грекийн гүн ухаантан Зенон Элеа өөрийн алдартай апориа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйх үед яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхдөг. Ахилл зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхөх гэх мэт. Энэ үйл явц хязгааргүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гилберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... математик шинжилгээ, олонлогийн онол, физик, философийн шинэ хандлага; Тэдний аль нь ч асуудлыг шийдэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болж чадаагүй ..."[Википедиа," Зеногийн Апориа "]. Хүн бүр өөрсдийгөө хуурч байгааг ойлгодог, гэхдээ хэн ч хууран мэхлэлт гэж юу болохыг ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа үнэ цэнээс шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь тогтмолуудын оронд хэрэглэхийг хэлнэ. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг хэрэглэх математикийн аппарат хараахан болоогүй, эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Бидний ердийн логикийг ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн тусламжтайгаар цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан адилтгахад ашигладаг. Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж түрүүлэх тэр мөчид цаг хугацаа бүрмөсөн зогсч, бие махбодийн үүднээс авч үзвэл цаг хугацаа удааширч байгаа мэт харагдана. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж түрүүлж чадахгүй.

Хэрэв бид дассан логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Замынхаа дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг хэрэглэвэл "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Тогтмол цаг хугацааны нэгжид үлдэж, харилцан хамааралтай утга руу бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхдөг. Дараагийн цагийн интервалд эхнийхтэйгээ тэнцэх хугацаанд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын урд байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ тийм биш бүрэн шийдэлАсуудлууд. Эйнштейний гэрлийн хурдыг давж гаршгүй тухай хэлсэн үг нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдэж чадаагүй л байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг:

Нисдэг сум нь цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул үргэлж тайван байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд байрладаг гэдгийг тодруулахад хангалттай бөгөөд энэ нь хөдөлгөөн юм. Энд бас нэг анхаарах зүйл бий. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машины хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлохын тулд нэг цэгээс өөр өөр цаг үед авсан хоёр гэрэл зураг шаардлагатай боловч зайг тодорхойлоход ашиглах боломжгүй юм. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд сансар огторгуйн өөр өөр цэгээс нэгэн зэрэг авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлох боломжгүй (мэдээжийн хэрэг та тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно). Би юунд анхаарлаа хандуулмаар байна Онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, сансар огторгуйн хоёр цэг нь өөр өөр зүйл бөгөөд андуурч болохгүй, учир нь тэдгээр нь хайгуул хийх өөр өөр боломжийг олгодог.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиад маш сайн тайлбарласан болно. Бид харж байна.

Таны харж байгаагаар "иж бүрдэл нь хоёр ижил элементтэй байж болохгүй", гэхдээ олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон багц" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин бөгөөд оюун ухаан нь "бүрэн" гэсэн үгнээс ангид байдаг. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, өөрсдийн утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Нэгэн удаа гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилтын үеэр гүүрэн доорх завинд сууж байсан. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид "намайг бод, би гэрт байна" гэсэн хэллэгийн ард хэчнээн нуугдаж байгаагаас үл хамааран "математик хийсвэр ойлголтыг судалдаг" гэсэн хэллэгийг бодит байдалтай салшгүй холбодог нэг хүйн ​​байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Хэрэглэх боломжтой математикийн онолматематикчдад өөрсдөд нь тавьдаг.

Математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Энд нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, ширээн дээр өөр өөр овоолго болгон тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг тавьдаг. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа "математикийн цалингийн багц"-ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л тэр үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авна гэж бид математикийг тайлбарладаг. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Та үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Цаашилбал, ижил мөнгөн дэвсгэрт дээр өөр өөр мөнгөн тэмдэгт байгаа гэсэн баталгааг гаргаж эхлэх бөгөөд энэ нь тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэсэн үг юм. За, бид цалингаа зоосоор тооцдог - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн ухааныг дурсах болно: янз бүрийн зооснууд өөр өөр хэмжээтэй шороотой байдаг, зоос бүрийн атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь өвөрмөц юм ...

Одоо надад хамгийн их байна сонирхол Асуу: олонлогийн элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах зааг хаана байх вэ? Ийм шугам байдаггүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, энд шинжлэх ухаан ч ойрхон байдаггүй.

Энд харах. Бид ижил талбай бүхий хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбай нь ижил бөгөөд энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ ижил цэнгэлдэхүүдийн нэрийг авч үзвэл нэр нь өөр учраас маш их зүйлийг олж авдаг. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь нэгэн зэрэг олонлог ба олон багц юм. Хэр зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-Шуллер ханцуйнаасаа бүрээ гарган бидэнд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт ямар ч "нэг бүхэл бүтэн биш" эсвэл "нэг бүхэл бүтэн байдлаар төсөөлөгдөхгүй" гэдгийг харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олоод хэрэглэхийг заадаг ч тэрний төлөө бөө нар, үр хойчдоо эрдэм ухаан, мэргэн ухааныг нь зааж сургана, тэгэхгүй бол бөө нар зүгээр л үхнэ.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Wikipedia-г нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" хуудсыг олохыг хичээ. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй, харин бөө нар үүнийг энгийн байдлаар шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Тэгэхээр 12345 тоо байна гэж бодъё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид дугаарыг тоон график тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Бид хүлээн авсан нэг зургийг тусдаа тоо агуулсан хэд хэдэн зураг болгон хуваасан. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Гарсан тоонуудыг нэм. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нарын "зүсэх, оёх курс" юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл бид аль тооны системд тоог бичих нь хамаагүй. Тэгэхээр, in өөр өөр системүүдТооцооллын дагуу ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тоон баруун талд байрлах доод үсэг болгон заадаг. Олон тооны 12345 байгаа тул би толгойгоо хуурахыг хүсэхгүй байна, тухай нийтлэлээс 26 дугаарыг анхаарч үзээрэй. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор авч үзэхгүй, бид үүнийг аль хэдийн хийсэн. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар өөр өөр тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр олох нь огт өөр үр дүн өгөхтэй адил юм.

Бүх тооллын системд тэг нь адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Үүнийг дэмжсэн өөр нэг үндэслэл нь . Математикчдад зориулсан асуулт: тоо биш гэдгийг математикт хэрхэн тэмдэглэдэг вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж юу вэ? Бөөгийн хувьд үүнийг зөвшөөрч болох ч эрдэмтдийн хувьд бол үгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тоон систем нь тоон хэмжилтийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг өөр өөр хэмжих нэгжүүдтэй ижил үйлдэл хийхэд хүргэдэг өөр өөр үр дүнТэднийг харьцуулсны дараа математиктай ямар ч холбоогүй болно.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ бол үр дүн юм математик үйлдэлтоон утга, ашигласан хэмжих нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэхээс хамаарахгүй.

Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Хаалгаа онгойлгоод:

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол тэнгэрт өргөгдсөн сүнснүүдийн хязгааргүй ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь Nimbus, дээшээ сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа дизайны урлагийн бүтээл анивчдаг бол

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачирхалтай дүрс олж авахад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг (нэг зураг) харахыг хичээдэг (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж үзэхгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг хүлээн авах хэвшмэл ойлголттой байдаг. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ бол арван зургаатын тооллын систем дэх "баасан хүн" буюу "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

Бутархайг бутархай, бутархайг тоогоор зөв үржүүлэхийн тулд та мэдэх хэрэгтэй энгийн дүрэм. Одоо бид эдгээр дүрмийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд тоологчдын үржвэр ба эдгээр бутархайн хуваагчийн үржвэрийг тооцоолох хэрэгтэй.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Жишээ авч үзье:
Бид эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайтай үржүүлж, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайтай үржүүлнэ.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ дахин 3) (7 \ дахин 3) = \ frac (4) (7) \\\)

\(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) бутархайг 3-аар багасгасан.

Бутархайг тоогоор үржүүлэх.

Дүрмээс эхэлье дурын тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Энэ дүрмийг үржүүлэхэд ашиглацгаая.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Буруу бутархай \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) руу хөрвүүлэв холимог фракц.

Өөрөөр хэлбэл, Тоог бутархайгаар үржүүлэхдээ тоог тоологчоор үржүүлж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ.Жишээ:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Холимог бутархайг үржүүлэх.

Холимог бутархайг үржүүлэхийн тулд эхлээд холимог бутархай бүрийг буруу бутархайгаар төлөөлж, дараа нь үржүүлэх дүрмийг ашиглана. Тоолуурыг хуваагчаар үржүүлж, хуваагчийг хуваагчаар үржүүлнэ.

Жишээ:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Харилцан бутархай ба тоог үржүүлэх.

\(\bf \frac(a)(b)\) бутархай нь a≠0,b≠0 өгөгдсөн \(\bf \frac(b)(a)\) бутархайн урвуу хэсэг юм.
\(\bf \frac(a)(b)\) ба \(\bf \frac(b)(a)\) бутархайг харилцан адилгүй гэж нэрлэдэг. Харилцан бутархайн үржвэр нь 1 байна.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Жишээ:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Холбогдох асуултууд:
Бутархайг бутархайгаар хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Энгийн бутархайн үржвэр нь тоологчийг хуваагчтай, хуваагчийг хуваагчтай үржүүлэх явдал юм. Холимог бутархайн бүтээгдэхүүнийг авахын тулд тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.

Бутархайг хэрхэн үржүүлэх вэ өөр өөр хуваагч?
Хариулт: Бутархайн хуваагч ижил эсвэл өөр байх нь хамаагүй, үржүүлгийн үржвэр нь хуваагчтай, хуваагчтай үржвэрийг олох дүрмийн дагуу явагдана.

Холимог бутархайг хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Юуны өмнө та холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь үржүүлэх дүрмийн дагуу бүтээгдэхүүнийг олох хэрэгтэй.

Хэрхэн тоог бутархайгаар үржүүлэх вэ?
Хариулт: Бид тоог тоологчтой үржүүлж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ.

Жишээ №1:
Бүтээгдэхүүнийг тооцоол: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Шийдэл:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
б) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( улаан) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Жишээ №2:
Тоон ба бутархайн үржвэрийг тооцоол: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Шийдэл:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\)
б) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Жишээ №3:
\(\frac(1)(3)\)-ийн хариуг бичнэ үү?
Хариулт: \(\frac(3)(1) = 3\)

Жишээ №4:
Хоёр харилцан бутархайн үржвэрийг тооцоол: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Шийдэл:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Жишээ №5:
Харилцан урвуу бутархай байж болно:
a) зөв бутархай хоёулаа;
б) нэгэн зэрэг буруу бутархай;
в) нэгэн зэрэг натурал тоо?

Шийдэл:
a) Эхний асуултанд хариулахын тулд жишээ татъя. \(\frac(2)(3)\) бутархай зөв, түүний эсрэг тал нь \(\frac(3)(2)\)-тэй тэнцүү байх болно - үгүй зөв бутархай. Хариулт: үгүй.

б) бутархайн бараг бүх тооллогод энэ нөхцөл хангагдаагүй ч буруу бутархай байх нөхцөлийг нэгэн зэрэг биелүүлдэг тоонууд байдаг. Жишээлбэл, буруу бутархай нь \(\frac(3)(3)\) , түүний эсрэг тал нь \(\frac(3)(3)\). Бид хоёр буруу бутархай авдаг. Хариулт: Тоолуур ба хуваагч тэнцүү байх үед тодорхой нөхцөлд үргэлж байдаггүй.

в) натурал тоонууд нь бидний тоолохдоо ашигладаг тоонууд юм, жишээлбэл, 1, 2, 3, .... Хэрэв бид \(3 = \frac(3)(1)\) тоог авбал түүний эсрэг \(\frac(1)(3)\) болно. \(\frac(1)(3)\) бутархай нь натурал тоо биш юм. Хэрэв бид бүх тоогоор дамжвал 1-ээс бусад тохиолдолд эсрэг тал нь үргэлж бутархай байна. Хэрэв бид 1-ийн тоог авбал түүний эсрэг тал нь \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) болно. = 1\). Дугаар 1 натурал тоо. Хариулт: Хэрэв энэ тоо 1 бол тэдгээр нь зөвхөн нэг тохиолдолд нэгэн зэрэг натурал тоо байж болно.

Жишээ №6:
Холимог бутархайн үржвэрийг гүйцэтгэнэ: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Шийдэл:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
б) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Жишээ №7:
Хоёр харилцан тоо нь нэгэн зэрэг холимог тоо байж болох уу?

Нэг жишээ авч үзье. Холимог бутархайг авч үзье \(1\frac(1)(2)\), түүний эсрэг талыг олъё, үүний тулд бид үүнийг буруу бутархай болгон хөрвүүлье \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Үүний эсрэг тал нь \(\frac(2)(3)\) -тэй тэнцүү байх болно. \(\frac(2)(3)\) бутархай нь зөв бутархай байна. Хариулт: Хоёр урвуу бутархай нь нэгэн зэрэг холимог тоо байж болохгүй.

Бид энгийн бутархайг хэд хэдэн боломжит аргаар үржүүлэхийг авч үзэх болно.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх

Энэ бол хамгийн энгийн тохиолдол бөгөөд та дараахь зүйлийг ашиглах хэрэгтэй бутархай үржүүлэх дүрэм.

руу бутархайг бутархайгаар үржүүлэх, шаардлагатай:

• эхний бутархайн тоог хоёр дахь бутархайгаар үржүүлж, тэдгээрийн үржвэрийг шинэ бутархайн тоонд бичнэ;
• эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлж, тэдгээрийн үржвэрийг шинэ бутархайн хуваагч руу бичих;

Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлэхийн өмнө бутархайг багасгах боломжтой эсэхийг шалгана уу. Тооцоололд бутархай тоог багасгах нь таны тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно.



Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх

Бутархай руу натурал тоогоор үржүүлнэта бутархайн хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлж, бутархайн хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Хэрэв үржүүлгийн үр дүн нь буруу бутархай бол түүнийг холимог тоо болгон хувиргахаа бүү мартаарай, өөрөөр хэлбэл бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй.



Холимог тоог үржүүлэх

Холимог тоог үржүүлэхийн тулд эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь энгийн бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.



Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх өөр нэг арга

Заримдаа тооцоолохдоо үржүүлэх өөр аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг энгийн бутархайтоо руу.

Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн хуваагчийг энэ тоонд хувааж, тоологчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.



Жишээнээс харахад бутархайн хуваагч нь натурал тоонд үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг бол дүрмийн энэ хувилбарыг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Бутархайтай үйлдлүүд

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх

Бутархай нэмэх нь хоёр төрөлтэй:

• -ээр бутархай нэмэх ижил хуваагч
• Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмж эхэлцгээе. Энд бүх зүйл энгийн. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Жишээлбэл, бутархай ба . Бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхино.



Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 2Бутархай ба .

Дахин хэлэхэд, тоологчдыг нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.



Хариулт нь буруу бутархай юм. Хэрэв даалгаврын төгсгөл ирвэл зохисгүй бутархай хэсгүүдээс салах нь заншилтай байдаг. Зохисгүй фракцаас салахын тулд та түүний доторх хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бүхэл тоо нь амархан хуваарилагддаг - хоёрыг хоёр хуваасан нь нэгтэй тэнцүү байна:



Хэрэв бид хоёр хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа илүү олон пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца авах болно:

Жишээ 3. Бутархай ба .



Хэрэв бид гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанд илүү олон пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 4Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмээд нэмж пицца нэмбэл 1 бүхэл пицца, илүү олон пицца авах болно.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй;
2. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болсон бол та бүхэл бүтэн хэсгийг нь сонгох хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Одоо бид өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн нэмэх талаар сурах болно. Бутархайг нэмэхдээ тэдгээр бутархайн хуваагч нь ижил байх ёстой. Гэхдээ тэд үргэлж ижил байдаггүй.

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул нэмж болно.

Гэхдээ бутархайг нэг дор нэмж болохгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулах хэд хэдэн арга байдаг. Үлдсэн аргууд нь эхлэгчдэд төвөгтэй мэт санагдаж болох тул өнөөдөр бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь авч үзэх болно.

Энэ аргын мөн чанар нь эхлээд хоёр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) хайж олох явдал юм. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна. Тэд хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг - NOC-ийг хоёр дахь фракцын хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1. Бутархай нэмэх ба

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул та тэдгээрийг ижил (нийтлэг) хуваагч руу авчрах хэрэгтэй.

Юуны өмнө бид хоёр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байна.

LCM (2 ба 3) = 6

Одоо бутархай болон . Эхлээд бид LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 6-г 3-т хуваавал бид 2-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 2 нь эхний нэмэлт хүчин зүйл юм. Бид үүнийг эхний бутархай хүртэл бичдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид бутархайн дээгүүр жижиг ташуу зураас хийж, олсон нэмэлт хүчин зүйлийг дээр нь бичнэ.

Бид хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. 6-г 2-т хуваавал бид 3-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 3 нь хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл юм. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай руу бичнэ. Дахин хэлэхэд, бид хоёр дахь бутархайн дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ.

Одоо бид бүгд нэмэхэд бэлэн байна. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л үлддэг.



Бидний юунд хүрснийг сайтар ажигла. Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл гүйцээцгээе:



Ингээд жишээ дуусна. Нэмэх нь харагдаж байна.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанд пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца, зургааны нэг пицца авна.

Бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Бутархайг авчрах ба Ерөнхий хуваарь, бид бутархай ба . Эдгээр хоёр фракцыг ижил зүсмэл пиццагаар төлөөлөх болно. Цорын ганц ялгаа нь энэ удаад тэд тэнцүү хувьцаанд хуваагдана (ижил хуваарьт хүртэл бууруулна).



Эхний зураг нь бутархай (зургаагаас дөрөв), хоёр дахь зураг нь бутархай (зургаагаас гурван хэсэг) -ийг харуулж байна. Эдгээр хэсгүүдийг нийлүүлснээр бид (зургаагаас долоон ширхэг) авдаг. Энэ бутархай буруу байна, тиймээс бид бүхэл тоон хэсгийг онцлон тэмдэглэв. Үр дүн нь (нэг бүтэн пицца, зургаа дахь пицца) байв.

Бид зурсан гэдгийг анхаарна уу жишээ өгсөнхэтэрхий нарийвчилсан. AT боловсролын байгууллагуудийм нарийн бичдэг заншил биш. Та хуваагч болон тэдгээрийн нэмэлт хүчин зүйлсийн LCM-ийг хурдан олох, мөн өөрийн тоо болон хуваагчаар олсон нэмэлт хүчин зүйлийг хурдан үржүүлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Сургуульд байхдаа бид энэ жишээг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй болно.



Гэхдээ зоосны нөгөө тал бас бий. Хэрэв математикийн хичээлийн эхний үе шатанд нарийвчилсан тэмдэглэл хийгээгүй бол энэ төрлийн асуултууд гарч ирнэ "Энэ тоо хаанаас гардаг вэ?", "Яагаад бутархайнууд гэнэт тэс өөр бутархай болж хувирдаг вэ? «.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд хялбар болгохын тулд та дараах алхам алхмаар зааварчилгааг ашиглаж болно.

3. Бутархай бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олох;
4. LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт үржүүлэгчийг авах;
5. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
6. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх;
7. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болсон бол түүний бүх хэсгийг сонгоно уу;

Жишээ 2Илэрхийллийн утгыг ол .

Дээрх диаграммыг ашиглая.

Алхам 1. Бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол

Бид хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олдог. Бутархайн хуваагч нь 2, 3, 4 гэсэн тоонууд юм. Та эдгээр тоонуудын LCM-ийг олох хэрэгтэй.

Алхам 2. LCM-ийг бутархай бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт үржүүлэгчийг авна.

LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 2-ын тоо юм. 12-ыг 2-т хуваавал бид 6-г авна. Бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 6-г авсан. Эхний бутархай дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 4-ийг авсан. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Гурав дахь бутархай дээр бичнэ.

Алхам 3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээрээ үржүүл

Бид тооны болон хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлдэг.

Алхам 4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмнэ үү

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Эдгээр фракцуудыг нэмэхэд л үлддэг. Нэмэх:



Нэмэлт нь нэг мөрөнд тохирохгүй байсан тул бид үлдсэн илэрхийлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлсэн. Үүнийг математикт зөвшөөрдөг. Илэрхийлэл нэг мөрөнд багтахгүй бол дараагийн мөрөнд шилжүүлэх ба эхний мөрийн төгсгөл болон шинэ мөрийн эхэнд тэнцүү тэмдэг (=) тавих шаардлагатай. Хоёр дахь мөрөнд байгаа тэнцүү тэмдэг нь эхний мөрөнд байсан илэрхийллийн үргэлжлэл гэдгийг харуулж байна.

Алхам 5. Хэрэв хариулт буруу бутархай болсон бол түүний бүхэл хэсгийг сонгоно уу

Бидний хариулт бол буруу бутархай юм. Бид бүхэл бүтэн хэсгийг нь ялгах ёстой. Бид онцолж байна:



Хариу авлаа

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах

Бутархай хасах хоёр төрөл байдаг:

8. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах
9. Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах

Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайг хэрхэн хасах талаар сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, илэрхийллийн утгыг олъё. Энэ жишээг шийдэхийн тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх шаардлагатай. Үүнийг хийцгээе:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 2Илэрхийллийн утгыг ол.

Дахин хэлэхэд, эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг ижил хэвээр үлдээнэ үү.

Хэрэв бид гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 3Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Эхний бутархайн тоологчоос үлдсэн бутархайн тоог хасах хэрэгтэй.

Хариулт нь буруу бутархай юм. Хэрэв жишээ бүрэн байвал зохисгүй фракцаас салах нь заншилтай байдаг. Хариултын буруу бутархайг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд түүний бүх хэсгийг сонгоно уу:

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг хасахад төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй;

Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болсон бол та түүний бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах

Жишээлбэл, эдгээр бутархайнууд ижил хуваагчтай тул бутархайг бутархайгаас хасаж болно. Гэхдээ бутархайг бутархайгаас хасах боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Нийтлэг хуваагчийг өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд ашигладаг ижил зарчмын дагуу олно. Юуны өмнө хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд үүнийг эхний бутархай дээр бичнэ. Үүний нэгэн адил LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд үүнийг хоёр дахь бутархай дээр бичнэ.

Дараа нь бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1Илэрхийллийн утгыг ол:

Эхлээд бид хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байна.

LCM (3 ба 4) = 12

Одоо бутархай болон руу буцах

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид дөрөвийг эхний бутархай дээр бичнэ.

Бид хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Бид хоёр дахь бутархай дээр гурвалсан тоог бичнэ.

Одоо бид бүгдийг хасахад бэлэн байна. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл гүйцээцгээе:

Хариу авлаа

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно.

Энэ бол шийдлийн нарийвчилсан хувилбар юм. Сургуульд байхдаа бид энэ жишээг илүү богино байдлаар шийдэх хэрэгтэй болно. Ийм шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно.

Бутархай болон нийтлэг хуваагчийг багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрахад бид бутархай ба . Эдгээр фракцуудыг ижил пиццаны зүсмэлүүдээр төлөөлөх боловч энэ удаад ижил бутархай хэсгүүдэд хуваагдана (ижил хуваагч хүртэл бууруулсан):

Эхний зураг нь бутархай (арван хоёроос найман хэсэг), хоёр дахь зураг нь бутархай (арван хоёроос гурван хэсэг) харуулж байна. Найман хэсгээс гурван хэсгийг тасласнаар бид арван хоёроос таван ширхэгийг авдаг. Бутархай нь эдгээр таван хэсгийг дүрсэлдэг.

Жишээ 2Илэрхийллийн утгыг ол

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул эхлээд ижил (нийтлэг) хуваагч руу авчрах хэрэгтэй.

Эдгээр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол.

Бутархайн хуваагч нь 10, 3, 5 гэсэн тоонууд юм. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 30 юм.

LCM(10, 3, 5) = 30

Одоо бид бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваагчаар хуваана.

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 10-ын тоо юм. 30-ыг 10-д хуваавал бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Бид үүнийг эхний бутархай дээр бичнэ.

Одоо бид хоёр дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 30-ыг 3-т хуваавал бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 10-ыг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай дээр бичнэ:

Одоо бид гурав дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 5-ын тоо юм. 30-ыг 5-д хуваавал бид гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 6-г авна. Гурав дахь бутархай дээр бичнэ.

Одоо бүх зүйл хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг дуусгая.

Жишээний үргэлжлэл нь нэг мөрөнд багтахгүй тул бид үргэлжлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлнэ. Шинэ мөрөнд тэнцүү (=) тэмдгийн талаар бүү мартаарай:

Хариулт нь зөв бутархай болж, бүх зүйл бидэнд тохирсон мэт боловч энэ нь хэтэрхий төвөгтэй, муухай юм. Бид үүнийг илүү энгийн, гоо зүйн хувьд илүү тааламжтай болгох ёстой. Юу хийж болох вэ? Та энэ хэсгийг багасгаж болно. Бутархайг багасгах нь тоологч ба хуваагчийг хамгийн томд хуваах явдал гэдгийг санаарай. нийтлэг хуваагчтоологч ба хуваагч.

Бутархайг зөв багасгахын тулд түүний хүртэгч ба хуваагчийг 20 ба 30 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD) -д хуваах хэрэгтэй.

GCD-г NOC-тэй андуурч болохгүй. Ихэнх эхлэгчдэд гаргадаг хамгийн нийтлэг алдаа. GCD нь хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. Бид үүнийг бутархай бууруулах зорилгоор олдог.

Мөн LCM нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм. Бутархайг ижил (нийтлэг) хуваарьт хүргэхийн тулд бид үүнийг олдог.

Одоо бид 20 ба 30 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг (gcd) олох болно.

Тиймээс бид 20 ба 30 тоонуудын GCD-г олно.

GCD (20 ба 30) = 10

Одоо бид жишээ рүүгээ буцаж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 10-д хуваана.

Сайхан хариулт авлаа

Бутархайг тоогоор үржүүлэх

Бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд өгөгдсөн бутархайг энэ тоогоор үржүүлж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Бутархайг 1-ээр үржүүлнэ.

Бутархайн тоог 1-ээр үржүүлнэ

Оруулгыг хагас 1 удаа авч байна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 1 удаа пицца авбал та пицца авдаг

Үржүүлэх хуулиас харахад үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг сольсон тохиолдолд үржвэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв илэрхийлэл гэж бичсэн бол үржвэр нь -тэй тэнцүү хэвээр байх болно. Дахин хэлэхэд бүхэл тоо ба бутархайг үржүүлэх дүрэм ажиллана:

Энэ оруулга нь нэгжийн талыг авч байна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, хэрэв 1 бүтэн пицца байгаа бол бид хагасыг нь авбал бид пиццатай болно:

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Бутархайн тоог 4-өөр үржүүлнэ

Энэ илэрхийлэл нь дөрөвний хоёрыг 4 удаа авна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 4 удаа пицца авбал хоёр бүтэн пицца авах болно.

Хэрэв бид үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг оронд нь сольвол илэрхийлэл гарч ирнэ. Энэ нь мөн 2-той тэнцүү байх болно. Энэ илэрхийлэл нь дөрвөн бүх пиццанаас хоёр пицца авах гэж ойлгож болно.

Бутархайг үржүүлэх

Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай бол та доторх хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй.

Жишээ 1Илэрхийллийн утгыг ол.

Хариу авлаа. Энэ фракцыг багасгах нь зүйтэй юм. Бутархайг 2-оор багасгаж болно. Дараа нь эцсийн шийдвэрдараах хэлбэрийг авна.

Энэ илэрхийлэл нь хагас пиццанаас пицца авах гэж ойлгож болно. Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Энэ хагасаас гуравны хоёрыг яаж авах вэ? Эхлээд та энэ хагасыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Мөн эдгээр гурван хэсгээс хоёрыг аваарай:

Бид пицца авна. Пицца гурван хэсэгт хуваагдаж хэрхэн харагддагийг санаарай.

Энэ пиццаны нэг зүсмэл болон бидний авсан хоёр зүсмэл ижил хэмжээтэй байна:

Өөрөөр хэлбэл, бид ижил хэмжээний пиццаны тухай ярьж байна. Тиймээс илэрхийллийн утга нь байна

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь буруу бутархай юм. Үүний нэг хэсгийг авч үзье:

Жишээ 3Илэрхийллийн утгыг ол

Хариулт нь зөв бутархай болсон, гэхдээ үүнийг багасгавал сайн байх болно. Энэ бутархайг багасгахын тулд үүнийг тоологч ба хуваагчийн gcd-д хуваах шаардлагатай. Тиймээс 105 ба 450 тоонуудын GCD-ийг олъё:

(105 ба 150) GCD нь 15 байна

Одоо бид GCD-д өгсөн хариултынхаа тоологч ба хуваагчийг хуваана.

Бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх

Аливаа бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 5-ын тоог . Үүнээс харахад тав нь утгыг өөрчлөхгүй, учир нь "тавын тоог нэгээр хуваасан" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь тавтай тэнцүү байна.

Урвуу тоо

Одоо бид танилцах болно сонирхолтой сэдэвматематикт. Үүнийг "урвуу тоо" гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Тоо руу буцах а үржүүлсэн тоо юм а нэгж өгдөг.

Энэ тодорхойлолтод хувьсагчийн оронд орлуулъя адугаар 5 ба тодорхойлолтыг уншиж үзээрэй:

Тоо руу буцах 5 үржүүлгийн тоо юм 5 нэгж өгдөг.

5-аар үржүүлэхэд нэгийг өгөх тоог олох боломжтой юу? Та чадна гэж харагдаж байна. Тавыг бутархайгаар илэрхийлье:

Дараа нь энэ бутархайг өөрөө үржүүлж, зөвхөн тоологч ба хуваагчийг солино. Өөрөөр хэлбэл, бутархайг зөвхөн урвуу байдлаар үржүүлнэ.

Үүнээс ямар үр дүн гарах вэ? Хэрэв бид энэ жишээг үргэлжлүүлэн шийдвэл бид нэгийг авна.

Энэ нь 5-ыг нэгээр үржүүлэхэд нэгийг олж авдаг тул 5-ын урвуу тоо гэсэн үг юм.

Бусад бүхэл тоонуудын хувьд харилцан хамаарлыг олж болно.

• 3-ын эсрэг тал нь бутархай юм
• 4-ийн эсрэг тал нь бутархай юм

Та мөн бусад бутархайн эсрэг тоог олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг эргүүлэхэд хангалттай.

Энгийн бутархай тоо нь 5-р ангийн сурагчидтай анх уулзаж, амьдралынхаа туршид дагалддаг, учир нь өдөр тутмын амьдралд зарим объектыг бүхэлд нь биш, харин тусдаа хэсэг болгон авч үзэх, ашиглах шаардлагатай байдаг. Энэ сэдвийг судлах эхлэл - хуваалцах. Хувьцаа нь тэнцүү хэсэг юмобъектыг хуваадаг. Эцсийн эцэст, жишээлбэл, бүтээгдэхүүний урт, үнийг бүхэл тоогоор илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг тул аливаа хэмжүүрийн хэсэг эсвэл хувьцааг харгалзан үзэх шаардлагатай. "Бутлах" - хэсэг болгон хуваах үйл үгнээс үүссэн, араб үндэстэй, VIII зуунд "бутархай" гэдэг үг өөрөө орос хэл дээр гарч ирэв.

Бутархай илэрхийлэл нь математикийн хамгийн хэцүү хэсэг гэж эрт дээр үеэс үздэг. 17-р зуунд математикийн анхны сурах бичгүүд гарч ирэхэд тэдгээрийг "эвдэрсэн тоо" гэж нэрлэдэг байсан нь хүмүүсийн ойлголтод маш хэцүү байсан.

орчин үеийн дүр төрхХэсэг нь хэвтээ шугамаар нарийн тусгаарлагдсан энгийн бутархай үлдэгдэл нь анх Фибоначчи - Пизагийн Леонардогийн хувь нэмэр оруулсан. Түүний зохиолууд 1202 онд бичигдсэн байдаг. Гэхдээ энэ өгүүллийн зорилго нь өөр өөр хуваагчтай холимог бутархайг үржүүлэх үйл явц хэрхэн явагддагийг уншигчдад энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарлах явдал юм.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг үржүүлэх

Эхний ээлжинд үүнийг тодорхойлох шаардлагатай бутархайн сортууд:

• зөв;
• буруу;
• холимог.

Дараа нь та ижил хуваагчтай бутархай тоог хэрхэн үржүүлж байгааг санах хэрэгтэй. Энэ үйл явцын дүрмийг бие даан томъёолоход хялбар байдаг: энгийн бутархайг ижил хуваагчтай үржүүлсний үр дүн нь бутархай илэрхийлэл бөгөөд түүний хүртэгч нь тоологчдын үржвэр, хуваагч нь эдгээр бутархайн хуваагчдын үржвэр юм. . Энэ нь үнэн хэрэгтээ шинэ хуваагч нь одоо байгаа нэгнийх нь квадрат юм.

Үржүүлэх үед өөр өөр хуваарьтай энгийн бутархайХоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн хувьд дүрэм өөрчлөгдөхгүй:

а/б * в/г = a*c / б*д.

Цорын ганц ялгаа нь бутархайн доор үүссэн тоо нь өөр өөр тоонуудын үржвэр байх бөгөөд мэдээжийн хэрэг үүнийг нэг тоон илэрхийллийн квадрат гэж нэрлэх боломжгүй юм.

Жишээнүүдийг ашиглан өөр өөр хуваагчтай бутархайг үржүүлэх талаар авч үзэх нь зүйтэй.

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Жишээ нь бутархай илэрхийллийг багасгах аргыг ашигладаг. Та зөвхөн хуваагчийн тоогоор тоологчийн тоог багасгаж болно; бутархайн дээрх эсвэл доор байгаа зэргэлдээх хүчин зүйлсийг багасгах боломжгүй.

Энгийн хамт бутархай тоо, холимог бутархай гэсэн ойлголт байдаг. Холимог тоо нь бүхэл ба бутархай хэсгээс бүрдэх бөгөөд энэ нь эдгээр тоонуудын нийлбэр юм.

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Үржүүлэх нь хэрхэн ажилладаг вэ?

Хэд хэдэн жишээг авч үзэх зорилгоор өгсөн.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Жишээ нь тоог үржүүлэх аргыг ашигладаг энгийн бутархай хэсэг, та энэ үйлдлийн дүрмийг дараах томъёогоор бичиж болно.

а * б/в = a*b /в.

Үнэн хэрэгтээ ийм бүтээгдэхүүн нь ижил бутархай үлдэгдлүүдийн нийлбэр бөгөөд нэр томъёоны тоо нь энэ натурал тоог илэрхийлдэг. онцгой тохиолдол:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Тооныг бутархай үлдэгдлээр үржүүлэхийг шийдэх өөр нэг хувилбар бий. Та зөвхөн хуваагчийг энэ тоогоор хуваах хэрэгтэй:

г* д/е = д/f: d.

Хуваагчийг натурал тоонд үлдэгдэлгүй эсвэл тэдний хэлснээр бүрэн хуваах үед энэ аргыг ашиглах нь ашигтай байдаг.

Холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргаж, өмнө нь тайлбарласан аргаар үржвэрийг гарга.

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Энэ жишээнд холимог бутархайг буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх аргыг багтаасан бөгөөд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. ерөнхий томъёо:

а бв = a*b+ c / c, энд шинэ бутархайн хуваагч нь бүхэл хэсгийг хуваагчтай үржүүлж, анхны бутархайн үлдэгдлийн хуваарьт нэмэх замаар үүсэх ба хуваагч нь ижил хэвээр байна.

Энэ процесс бас ажилладаг урвуу тал. Бүхэл тоо ба бутархай үлдэгдлийг сонгохын тулд та буруу бутархайн хуваагчийг "булангаар" хуваах хэрэгтэй.

Бутархай бутархайг үржүүлэхердийн аргаар үйлдвэрлэсэн. Оруулга нь нэг бутархай шугамын доор ороход шаардлагатай бол энэ аргыг ашиглан тоог багасгахын тулд бутархайг багасгах шаардлагатай бөгөөд үр дүнг тооцоолоход хялбар болно.

Интернэт дээр бүр нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдэх олон туслахууд байдаг. математикийн асуудлууд in янз бүрийн хувилбаруудхөтөлбөрүүд. Хангалттай тооны ийм үйлчилгээ нь бутархайг үржүүлэхэд туслах болно өөр өөр тоохуваагчаар - бутархайг тооцоолох онлайн тооцоолуур гэж нэрлэгддэг. Тэд зөвхөн үржүүлээд зогсохгүй энгийн бутархай болон холимог тоогоор бусад энгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай. Түүнтэй ажиллахад хэцүү биш, сайтын хуудсан дээр харгалзах талбаруудыг бөглөж, математик үйлдлийн тэмдгийг сонгоод "тооцоолох" товчийг дарна. Хөтөлбөр автоматаар тоологддог.

Бутархай тоо бүхий арифметик үйлдлийн сэдэв нь дунд болон ахлах сургуулийн сурагчдын боловсролд хамаатай. Ахлах сургуульд байхдаа тэд хамгийн энгийн зүйлүүдийг авч үзэхээ больсон, гэхдээ бүхэл бутархай илэрхийллүүд, гэхдээ урьд өмнө олж авсан хувиргах, тооцоолох дүрмийн талаархи мэдлэгийг анхны хэлбэрээр нь ашигладаг. сайн шингэсэн үндсэн мэдлэгбүрэн итгэлийг өгөх сайн шийдвэрихэнх нь сорилттой даалгаварууд.

Эцэст нь хэлэхэд, Лев Толстойн "Хүн бол бутархай хэсэг юм. Өөрийн тоологчийг-өөрийн гавьяаг нэмэгдүүлэх нь хүний ​​эрх мэдэлд байдаггүй, гэхдээ хэн ч хуваагчаа-өөрийнхөө тухай бодлыг бууруулж чаддаг бөгөөд энэ бууралтаар төгс төгөлдөрт нь ойртдог.

Эдгээр тармуурыг аль хэдийн тойруул! 🙂

Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй хүмүүсийн хувьд "маш их биш. »
Мөн “маш жигд. "")

Энэ үйлдэл нь нэмэх хасахаас хамаагүй гоё! Учир нь энэ нь илүү хялбар байдаг. Би танд сануулж байна: бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд та тоологч (энэ нь үр дүнгийн тоо байх болно) болон хуваагч (энэ нь хуваагч байх болно) үржүүлэх хэрэгтэй. Тэр бол:

Бүх зүйл туйлын энгийн. Мөн нийтлэг хуваагч хайх хэрэггүй! Энд хэрэггүй...

Бутархайг бутархайд хуваахын тулд эргүүлэх хэрэгтэй хоёрдугаарт(энэ нь чухал!) бутархай ба тэдгээрийг үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл:

Бүхэл тоо, бутархайгаар үржүүлэх, хуваах үйлдэл баригдвал зүгээр. Нэмэлтийн нэгэн адил бид хуваагч дахь нэгж бүхий бүхэл тооноос бутархай хийж, яваарай! Жишээлбэл:

Ахлах сургуульд байхдаа та ихэвчлэн гурван давхар (эсвэл бүр дөрвөн давхар!) фракцтай тулгарах хэрэгтэй болдог. Жишээлбэл:

Энэ фракцыг хэрхэн зохистой хэлбэрт хүргэх вэ? Тийм ээ, маш амархан! Хоёр цэгээр хуваахыг ашигла:

Гэхдээ хуваах дарааллын талаар бүү мартаарай! Үржүүлэхээс ялгаатай нь энэ нь энд маш чухал юм! Мэдээж 4:2, 2:4-ийг андуурахгүй. Гэхдээ гурван давхар бутархайд алдаа гаргахад хялбар байдаг. Жишээ нь:

Эхний тохиолдолд (зүүн талд байгаа илэрхийлэл):

Хоёрдугаарт (баруун талд байгаа илэрхийлэл):

Ялгааг мэдэрч байна уу? 4 ба 1/9!

Хуваах дараалал юу вэ? Эсвэл хаалт, эсвэл (энд байгаа шиг) хэвтээ зураасны урт. Нүдээ хөгжүүлэх. Хэрэв хаалт эсвэл зураас байхгүй бол дараах байдалтай байна.

дараа нь хуваах-үржүүлэх дарааллаар, зүүнээс баруун тийш!

Мөн өөр нэг маш энгийн бөгөөд чухал заль мэх. Зэрэгтэй үйлдлүүдэд энэ нь танд хэрэг болно! Нэгжийг дурын бутархайд, жишээлбэл, 13/15-д хуваая:

Буудлага эргэсэн! Мөн энэ нь үргэлж тохиолддог. 1-ийг дурын бутархайд хуваахад үр дүн нь ижил бутархай, зөвхөн урвуу байна.

Энэ бол бутархай бүхий бүх үйлдлүүд юм. Энэ нь маш энгийн, гэхдээ хангалттай алдаа гаргадаг. Практик зөвлөгөөг анхаарч үзээрэй, тэгвэл тэдгээр нь цөөн (алдаа) байх болно!

1. Бутархай илэрхийлэлтэй ажиллахад хамгийн чухал зүйл бол нарийвчлал, анхааралтай байх явдал юм! Эдгээр нь нийтлэг үгс биш, сайн сайхан хүсэл биш юм! Энэ бол ноцтой хэрэгцээ юм! Шалгалт дээрх бүх тооцоог бүрэн даалгаврын дагуу, төвлөрөл, ойлгомжтой байдлаар хий. Толгойдоо тооцоо хийхдээ будилж байснаас ноорог дээр хоёр илүү мөр бичих нь дээр.

2. -тэй жишээнүүдэд янз бүрийн төрөлбутархай - энгийн бутархай руу шилжих.

3. Бид бүх бутархайг зогсоох хүртэл багасгадаг.

4. Бид олон түвшний бутархай илэрхийллийг хоёр цэгээр хуваах замаар энгийн болгон бууруулна (бид хуваах дарааллыг дагаж мөрддөг!).

Энд таны хийх ёстой ажлууд байна. Бүх даалгаврын дараа хариултуудыг өгдөг. Энэ сэдвийн материал, практик зөвлөгөөг ашиглана уу. Та хичнээн жишээг зөв шийдэж чадахаа тооцоол. Анх удаа! Тооцоологчгүйгээр! Тэгээд зөв дүгнэлт хий.

Зөв хариултыг санаарай хоёр дахь (ялангуяа гурав дахь) удаагаа авсан - тооцохгүй!Ийм л хатуу амьдрал.

Тэгэхээр, шалгалтын горимоор шийдвэрлэх ! Дашрамд хэлэхэд энэ бол шалгалтанд бэлтгэх явдал юм. Бид жишээг шийдэж, шалгаад, дараахь зүйлийг шийднэ. Бид бүгдийг шийдсэн - бид эхнийхээс сүүлчийнх хүртэл дахин шалгасан. Гэхдээ зөвхөн дараахариултуудыг харна уу.

Таны хариултыг хайж байна. Би тэднийг зориудаар эмх замбараагүй, уруу таталтаас холдуулан бичсэн. Энд хариултууд нь цэг таслалаар тусгаарлагдсан байна.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Тэгээд одоо бид дүгнэлт хийж байна. Хэрэв бүх зүйл амжилттай болсон бол танд баяртай байна! Бутархайтай анхан шатны тооцоолол нь таны асуудал биш юм! Та илүү ноцтой зүйлийг хийж чадна. Хэрвээ биш бол.

Тэгэхээр танд хоёр асуудлын нэг байна. Эсвэл хоёулаа нэг дор.) Мэдлэг дутмаг ба (эсвэл) анхаарал болгоомжгүй байдал. Гэхдээ. тэр шийдвэрлэх боломжтой Асуудлууд.

Тусгай 555 "Бутархай" хэсэгт эдгээр бүх (зөвхөн биш!) жишээг шинжилсэн болно. Юу, яагаад, яаж гэсэн дэлгэрэнгүй тайлбартай. Ийм дүн шинжилгээ нь мэдлэг, ур чадвар дутмаг байхад маш их тусалдаг!

Тийм ээ, мөн хоёр дахь асуудал дээр тэнд ямар нэг зүйл байна.) Үнэхээр практик зөвлөгөө, яаж илүү анхааралтай болох вэ. Тийм тийм! Хэрэглэх боломжтой зөвлөгөө тус бүр.

Амжилтанд хүрэхийн тулд мэдлэг, анхаарал болгоомжтой байхаас гадна тодорхой автоматизм хэрэгтэй. Хаанаас авах вэ? Би хүнд санаа алдахыг сонсдог ... Тиймээ, зөвхөн практик дээр, өөр хаана ч байхгүй.

Та 321start.ru сайт руу орж сургалтанд хамрагдах боломжтой. Тэнд "Оролдоод үзээрэй" гэсэн сонголтод хүн бүрт ашиглах 10 жишээ байна. Шуурхай баталгаажуулалттай. Бүртгэгдсэн хэрэглэгчдийн хувьд энгийнээс хүнд хүртэлх 34 жишээ. Энэ нь зөвхөн бутархай хэсгүүдэд зориулагдсан.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал.

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Энд та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сонирхолтойгоор сур!

Эндээс та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Дүрэм 1

Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэхийн тулд түүний хүртэгчийг энэ тоогоор үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Дүрэм 2

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд:

1. эдгээр бутархайн тоологчийн үржвэр ба хуваагчийн үржвэрийг ол

2. Эхний үржвэрийг тоологчоор, хоёр дахь үржвэрийг хуваагчаар бич.

Дүрэм 3

Холимог тоог үржүүлэхийн тулд та тэдгээрийг буруу бутархай гэж бичиж, дараа нь бутархайг үржүүлэх дүрмийг ашиглах хэрэгтэй.

Дүрэм 4

Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд та ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Жишээ 1

Тооцоол

Жишээ 2

Тооцоол

Жишээ 3

Тооцоол

Жишээ 4

Тооцоол

Математик. Бусад материал

Тоог оновчтой зэрэглэлд хүргэх. (

Тоог байгалийн хүчинд хүргэх. (

Алгебрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервалын ерөнхий арга (Зохиогч Колчанов А.В.)

Алгебрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хүчин зүйлсийг солих арга (Зохиогч Колчанов А.В.)

Хуваагдах шинж тэмдэг (Лунгу Алена)

"Энгийн бутархайг үржүүлэх, хуваах" сэдвээр өөрийгөө сорих.

Бутархайг үржүүлэх

Бид энгийн бутархайг хэд хэдэн боломжит аргаар үржүүлэхийг авч үзэх болно.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх

Энэ бол хамгийн энгийн тохиолдол бөгөөд та дараахь зүйлийг ашиглах хэрэгтэй бутархай үржүүлэх дүрэм.

руу бутархайг бутархайгаар үржүүлэх, шаардлагатай:

эхний бутархайн тоог хоёр дахь бутархайгаар үржүүлж, тэдгээрийн үржвэрийг шинэ бутархайн тоонд бичнэ;

эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлж, тэдгээрийн үржвэрийг шинэ бутархайн хуваагч руу бичих;

Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлэхийн өмнө бутархайг багасгах боломжтой эсэхийг шалгана уу. Тооцоололд бутархай тоог багасгах нь таны тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно.

Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх

Бутархай руу натурал тоогоор үржүүлнэта бутархайн хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлж, бутархайн хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Хэрэв үржүүлгийн үр дүн нь буруу бутархай бол түүнийг холимог тоо болгон хувиргахаа бүү мартаарай, өөрөөр хэлбэл бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй.

Холимог тоог үржүүлэх

Холимог тоог үржүүлэхийн тулд эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь энгийн бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.

Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх өөр нэг арга

Заримдаа тооцоололд энгийн бутархайг тоогоор үржүүлэх өөр аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг.

Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн хуваагчийг энэ тоонд хувааж, тоологчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээнээс харахад бутархайн хуваагч нь натурал тоонд үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг бол дүрмийн энэ хувилбарыг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Бутархайг тоонд хуваах

Бутархайг тоонд хуваах хамгийн хурдан арга юу вэ? Бутархайг тоонд хуваах үйлдлийг шинэ богино дүрмийн дагуу хэрхэн гүйцэтгэж болохыг олж мэдэхийн тулд онолд дүн шинжилгээ хийж, дүгнэлт хийж, жишээнүүдийг авч үзье.

Ихэвчлэн бутархайг тоонд хуваахыг бутархай хуваах дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Эхний тоог (бутархай) хоёр дахь тоогоор үржүүлнэ. Хоёрдахь тоо нь бүхэл тоо тул түүний эсрэг тал нь бутархай, хуваагч нь нэгтэй тэнцүү, хуваагч нь өгөгдсөн тоо юм. Схемийн хувьд бутархайг натурал тоонд хуваах нь дараах байдалтай байна.

Үүнээс бид дүгнэж байна:

Бутархайг тоонд хуваахын тулд хуваагчийг тухайн тоогоор үржүүлж, тоологчийг хэвээр үлдээнэ. Дүрмийг илүү товчоор томъёолж болно:

Бутархайг тоонд хуваахад тоо нь хуваагч руу очно.

Бутархайг тоонд хуваах:

Бутархайг тоонд хуваахын тулд тоологчийг өөрчлөлгүй дахин бичиж, хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлнэ. Бид 6 ба 3-ыг 3-аар багасгадаг.

Бутархайг тоонд хуваахдаа тоологчийг дахин бичиж, хуваагчийг тэр тоогоор үржүүлнэ. Бид 16 ба 24-ийг 8-аар багасгадаг.

Бутархайг тоонд хуваахад тоо нь хуваагч руу очдог тул бид хуваагчийг хэвээр үлдээж, хуваагчийг хуваагчаар үржүүлнэ. Бид 21 ба 35-ыг 7-оор багасгадаг.

Бутархайг үржүүлэх, хуваах

Хамгийн сүүлд бид бутархайг хэрхэн нэмэх, хасах талаар сурсан ("Бутархай нэмэх, хасах" хичээлийг үзнэ үү). Эдгээр үйлдлүүдийн хамгийн хэцүү мөч бол бутархайг нийтлэг хуваарьт хүргэх явдал байв.

Одоо үржүүлэх, хуваах асуудлыг шийдэх цаг болжээ. Сайн мэдээ гэвэл эдгээр үйлдлүүд нь нэмэх, хасахаас ч хялбар байдаг. Эхлэхийн тулд бодож үзээрэй хамгийн энгийн тохиолдол, ялгагдах бүхэл хэсэггүй хоёр эерэг бутархай байх үед.

Хоёр бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг тусад нь үржүүлэх хэрэгтэй. Эхний тоо нь шинэ бутархайн хуваагч, хоёр дахь нь хуваагч байх болно.

Хоёр бутархайг хуваахын тулд эхний бутархайг "урвуу" секундээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Тодорхойлолтоос үзэхэд бутархайн хуваагдал нь үржүүлэг болж буурдаг. Бутархайг эргүүлэхийн тулд тоо болон хуваагчийг солиход л хангалттай. Тиймээс бид бүхэл бүтэн хичээлийг голчлон үржүүлэхийг авч үзэх болно.

Үржүүлгийн үр дүнд бууруулсан бутархай үүсч болно (мөн ихэвчлэн үүсдэг) ​​- мэдээжийн хэрэг үүнийг багасгах хэрэгтэй. Хэрэв бүх бууруулсны дараа фракц буруу болсон бол бүхэл бүтэн хэсгийг нь ялгах хэрэгтэй. Гэхдээ үржүүлэхэд яг юу тохиолдохгүй нь нийтлэг хуваагч руу буурах явдал юм: хөндлөн огтлолын арга байхгүй, хамгийн их хүчин зүйл, хамгийн бага нийтлэг үржвэр.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Тодорхойлолтоор бид:

Бүхэл хэсэгтэй бутархай ба сөрөг бутархайг үржүүлэх

Хэрэв бутархай хэсэгт бүхэл тоо байгаа бол тэдгээрийг буруу болгон хөрвүүлэх ёстой бөгөөд зөвхөн дараа нь дээр дурдсан схемийн дагуу үржүүлнэ.

Бутархайн хуваагч, хуваагч эсвэл түүний урд хэсэгт хасах тэмдэг байвал дараах дүрмийн дагуу үржүүлэх хязгаараас хасч эсвэл бүрмөсөн хасаж болно.

1. Нэмэх удаа хасах нь хасах болно;
2. Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог.

Өнөөг хүртэл эдгээр дүрмүүд нь сөрөг бутархайг нэмэх, хасах үед л бүхэл хэсгийг арилгах шаардлагатай үед л тулгардаг байсан. Бүтээгдэхүүний хувьд хэд хэдэн сул талыг нэгэн зэрэг "шатаах" зорилгоор тэдгээрийг ерөнхийд нь хэлж болно.

3. Бид хасах зүйлсийг бүрэн алга болтол нь хосоор нь хасдаг. Хэт их тохиолдолд нэг хасах нь амьд үлдэж чадна - тохирохыг олж чадаагүй;
4. Хэрэв хасах зүйл байхгүй бол үйл ажиллагаа дууссан - та үржүүлж эхлэх боломжтой. Хэрэв хосыг олоогүй тул сүүлийн хасахыг хасаагүй бол бид үүнийг үржүүлэх хязгаараас гаргана. Та сөрөг бутархай авна.

Бид бүх бутархайг зохисгүй болгон хөрвүүлж, үржүүлгийн хязгаараас гадуур хасах тоог гаргаж авдаг. Үлдсэнийг нь үржүүлнэ ердийн дүрэм. Бид авах:

Тодруулсан бүхэл тоо бүхий бутархайн өмнө ирэх хасах нь зөвхөн түүний бүхэл тоонд хамаарахгүй (энэ нь сүүлийн хоёр жишээнд хамаатай) бүхэл бутархайг илэрхийлдэг гэдгийг дахин сануулъя.

Мөн анхаарлаа хандуулаарай сөрөг тоонууд: Үржүүлбэл хаалтанд бичнэ. Үүнийг үржүүлэх тэмдгүүдээс хасахыг ялгаж, бүхэл бүтэн тэмдэглэгээг илүү нарийвчлалтай болгохын тулд хийдэг.

Фракцуудыг хурдан бууруулах

Үржүүлэх нь маш их хөдөлмөр шаарддаг ажил юм. Энд байгаа тоонууд нэлээд том бөгөөд даалгаврыг хялбарчлахын тулд та бутархайг бүр ч илүү багасгахыг оролдож болно үржүүлэхээс өмнө. Үнэн хэрэгтээ, бутархайн тоо ба хуваагч нь энгийн хүчин зүйлүүд тул тэдгээрийг бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглан багасгаж болно. Жишээнүүдийг харна уу:

Бүх жишээн дээр багассан тоонууд болон тэдгээрийн үлдсэн хэсгийг улаанаар тэмдэглэсэн болно.

Анхаарна уу: эхний тохиолдолд үржүүлэгчийг бүрэн бууруулсан. Нэгжүүд байрандаа үлдсэн бөгөөд үүнийг ерөнхийдөө орхигдуулж болно. Хоёрдахь жишээн дээр бүрэн бууралтад хүрэх боломжгүй байсан ч тооцооллын нийт хэмжээ буурсан хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч ямар ч тохиолдолд бутархай нэмэх, хасах үед энэ аргыг бүү ашигла! Тийм ээ, заримдаа та зүгээр л багасгахыг хүсдэг ижил төстэй тоонууд байдаг. Эндээс харна уу:

Та үүнийг хийж чадахгүй!

Бутархай нэмэх үед нийлбэр нь тооны үржвэр биш харин бутархайн тоологч хэсэгт гарч ирдэг тул алдаа гардаг. Тиймээс, бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах боломжгүй, учир нь энэ шинж чанар нь тоог үржүүлэхтэй холбоотой байдаг.

Бутархайг багасгах өөр шалтгаан байхгүй, тиймээс зөв шийдвэрөмнөх даалгавар дараах байдалтай байна.

Таны харж байгаагаар зөв хариулт нь тийм ч үзэсгэлэнтэй биш байв. Ерөнхийдөө болгоомжтой байгаарай.

Бутархайн хуваагдал.

Бутархайг натурал тоонд хуваах.

Бутархайг натурал тоонд хуваах жишээ

Натурал тоог бутархайд хуваах.

Натурал тоог бутархайд хуваах жишээ

Энгийн бутархайн хуваагдал.

Энгийн бутархайг хуваах жишээ

Холимог тоонуудын хуваагдал.

Нэг холимог тоог нөгөө тоонд хуваахын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
• холимог бутархайг буруу болгон хувиргах;
• эхний бутархайг хоёр дахь нь эсрэгээр үржүүлэх;
• үүссэн фракцыг багасгах;
• Хэрэв та буруу бутархай авсан бол буруу бутархайг холимог болгон хувирга.

Холимог тоог хуваах жишээ

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Садар самуун үгсийг устгаж, зохиогчийг нь хар жагсаалтад оруулах болно!

OnlineMSchool-д тавтай морил.
Намайг Довжик Михаил Викторович гэдэг. Би энэ сайтын эзэн, зохиогч, би бүхэлд нь бичсэн онолын материал, мөн хөгжүүлсэн онлайн дасгалуудМатематик судлахад ашиглаж болох тооны машинууд.

Бутархай. Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.

Энгийн бутархайг үржүүлэхийн тулд тоологчийг тоологчоор (бид бүтээгдэхүүний хуваагчийг авдаг), хуваагчийг хуваагчаар (бид бүтээгдэхүүний хуваагчийг авдаг) үржүүлэх шаардлагатай.

Бутархай үржүүлэх томъёо:





Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлэх ажлыг үргэлжлүүлэхийн өмнө бутархайг багасгах боломжийг шалгах шаардлагатай. Хэрэв та бутархайг багасгаж чадвал тооцоогоо үргэлжлүүлэхэд хялбар байх болно.

Анхаар! Нийтлэг зүйл хайх шаардлагагүй!!

Энгийн бутархайг бутархайд хуваах.

Энгийн бутархайг бутархайд хуваах нь дараах байдалтай байна: хоёр дахь бутархайг эргүүлж (жишээ нь, тоологч ба хуваагчийг газар сольж) дараа нь бутархайг үржүүлнэ.

Энгийн бутархайг хуваах томъёо:





Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх.

Анхаар!Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэхэд бутархайн хуваагч нь бидний натурал тоогоор үржиж, бутархайн хуваагч хэвээр үлдэнэ. Хэрэв бүтээгдэхүүний үр дүн нь буруу бутархай байвал зохисгүй фракцыг холимог болгон хувиргах замаар бүхэл хэсгийг сонгохоо мартуузай.



Натурал тоо агуулсан бутархайн хуваагдал.

Энэ нь харагдаж байгаа шигээ аймшигтай биш юм. Нэмэх тохиолдолд бид бүхэл тоог хуваагч дахь нэгжтэй бутархай болгон хувиргадаг. Жишээлбэл:



Холимог бутархайг үржүүлэх.

Бутархайг үржүүлэх дүрэм (холимог):

• холимог бутархайг буруу болгон хувиргах;
• бутархайн тоо ба хуваагчийг үржүүлэх;
• бид фракцыг багасгах;
• Хэрэв бид буруу бутархай авах юм бол бид буруу бутархайг холимог болгон хувиргадаг.

Анхаар!Холимог бутархайг өөр холимог бутархайгаар үржүүлэхийн тулд эхлээд тэдгээрийг буруу бутархай хэлбэртэй болгож, дараа нь энгийн бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.



Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх хоёр дахь арга.

Энгийн бутархайг тоогоор үржүүлэх хоёр дахь аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Анхаар!Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн хуваагчийг энэ тоонд хувааж, тоологчийг өөрчлөхгүй байх шаардлагатай.



Дээрх жишээнээс харахад бутархайн хуваагчийг үлдэгдэлгүй натурал тоонд хуваахад энэ сонголтыг ашиглахад илүү тохиромжтой болох нь тодорхой байна.

Олон түвшний бутархай.

Ахлах сургуульд гурван давхар (эсвэл түүнээс дээш) фракцууд ихэвчлэн олддог. Жишээ:

Ийм бутархайг ердийн хэлбэрт оруулахын тулд 2 цэгээр хуваахыг ашиглана.



Анхаар!Бутархайг хуваахдаа хуваах дараалал нь маш чухал юм. Болгоомжтой байгаарай, энд төөрөлдөх нь амархан.

Анхаар, Жишээлбэл:

Нэгийг дурын бутархайд хуваахад үр дүн нь ижил бутархай байх болно, зөвхөн урвуу:

Бутархайг үржүүлэх, хуваах практик зөвлөмжүүд:

1. Бутархай илэрхийлэлтэй ажиллахад хамгийн чухал зүйл бол нарийвчлал, анхааралтай байх явдал юм. Бүх тооцоог анхааралтай, үнэн зөв, төвлөрч, тодорхой хий. Толгойд байгаа тооцоонд андуурч байснаас хэд хэдэн нэмэлт мөрийг ноорог дээр бичсэн нь дээр.

2. Янз бүрийн төрлийн бутархайтай даалгаварт энгийн бутархайн төрөл рүү оч.

3. Бид бүх бутархайг багасгах боломжгүй болтол нь багасгадаг.

4. Бид олон түвшний бутархай илэрхийллүүдийг 2 цэгээр хуваах замаар энгийн болгон авчирдаг.

• Under-and not up- Дахин боловсруулсан дуу "Хаврын танго" (Цаг нь ирдэг - урдаас шувууд ирдэг) - хөгжим. Валерий Миляев Би буруу сонссон, буруу ойлгосон, гүйцээгүй, тааварлаагүй гэсэн утгаараа бүх үйл үгсийг тусад нь бичсэнгүй, nedo- угтварыг мэдэхгүй байна. Энэ нь тохиолддог, […]
• Хуудас олдсонгүй Гурав дахь удаагийн эцсийн хэлэлцүүлгээр засаг захиргааны тусгай бүс (SAR) байгуулах тухай Засгийн газрын баримт бичгийн багцыг баталлаа. Европын холбооноос гарсан тул Их Британи Европын НӨАТ-ын бүсэд хамаарахгүй бөгөөд [...]
• Мөрдөн шалгах хамтарсан хороо намар гарна
• Алгоритмын патент Алгоритм патент ямар харагддаг вэ Алгоритм патент хэрхэн бэлтгэгдэж байна вэ техникийн тодорхойлолтПатент авах зорилгоор дохио ба/эсвэл өгөгдлийг хадгалах, боловсруулах, дамжуулах арга замууд нь ихэвчлэн ямар нэгэн хүндрэл учруулдаггүй бөгөөд [...]
• 1993 оны 12-р сарын 12-ны өдрийн ТЭТГЭВРИЙН ТУХАЙ ШИНЭ ТӨСЛИЙН ТУХАЙ МЭДЭХ НЬ ЧУХАЛ ОХУ-ын ҮНДСЭН ХУУЛЬ (ОХУ-ын Үндсэн хуульд нэмэлт, өөрчлөлт оруулах тухай ОХУ-ын хуулиудад оруулсан нэмэлт, өөрчлөлтийг харгалзан 1993 оны 12-р сарын 12. FKZ, 2008 оны 12-р сарын 30-ны өдрийн N 7-FKZ, [...]
• Тэтгэвэрт гарах тухай частушкалар эмэгтэй хүний ​​хувьд дажгүй байна Өдрийн баатрын хувьд эрэгтэй хүний ​​хувьд өдрийн баатрын хувьд эрэгтэй хүний ​​хувьд - эмэгтэй хүний ​​хувьд өдрийн баатарт зориулсан найрал дуунд - Тэтгэвэрт гарах авшиг эмэгтэйчүүдийн хувьд хошин шог Тэтгэвэр авагчдад зориулсан уралдаанууд сонирхолтой байх болно Хөтлөгч : Хайрт найзууд! Анхаарал татах мөч! Мэдрэмж! Зөвхөн […]