"Магадлалын онол ба математик статистик" модулиудын онолын материал. Хуваарилалтын хууль. Түгээлтийн полигон

Дээр дурдсан жишээ нь шинжилгээнд ашигласан утгууд нь санамсаргүй шалтгаанаас хамаардаг тул ийм хувьсагчдыг гэж нэрлэдэг гэж дүгнэх боломжийг бидэнд олгодог. Санамсаргүй. Ихэнх тохиолдолд тэдгээр нь ажиглалт эсвэл туршилтын үр дүнд гарч ирдэг бөгөөд тэдгээрийг хүснэгтэд нэгтгэн харуулсан бөгөөд эхний мөрөнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан янз бүрийн утгыг, хоёрдугаарт - харгалзах утгуудыг тэмдэглэсэн болно. давтамжууд. Тиймээс энэ хүснэгтийг дуудаж байна санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн эмпирик тархалтэсвэл вариацын цуврал . Учир нь вариацын цувралБид дундаж, дисперс, дундажийг олсон стандарт хэлбэлзэл.

Үргэлжилсэн, хэрэв түүний утгууд зарим тоон интервалыг бүрэн дүүргэж байвал.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг салангид, хэрэв түүний бүх утгыг тоолж болох юм бол (ялангуяа хязгаарлагдмал тооны утгыг авах юм бол).

Хоёрыг тэмдэглэх нь зүйтэй онцлог шинж чанарууд Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хүснэгтүүд:

Хүснэгтийн хоёр дахь эгнээний бүх тоо эерэг байна;

Тэдний нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.

Хийсэн судалгааны дагуу ажиглалтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр эмпирик тархалт нь хүснэгт хэлбэрээр өгөгдсөн онолын тархалтад ойртож байна гэж үзэж болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний чухал шинж чанар нь түүний хүлээгдэж буй үнэ цэнэ.

математикийн хүлээлт, , …, магадлал бүхий , , …, . утгуудыг авч, , … магадлал бүхий X дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тоо гэнэ.

Математикийн хүлээлтийг мөн дундаж гэж нэрлэдэг.

Бусдад чухал шинж чанаруудСанамсаргүй хэмжигдэхүүнд дисперс (8) ба стандарт хазайлт (9) орно.

Үүнд: утгын математик хүлээлт x.

. (9)

Мэдээллийн график дүрслэл нь хүснэгтээс хамаагүй ойлгомжтой байдаг тул MS Excel-ийн хүснэгтэд байрлуулсан өгөгдлийг янз бүрийн диаграмм, график, гистограм хэлбэрээр харуулах чадварыг ихэвчлэн ашигладаг. Тиймээс, хүснэгтээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг мөн ашиглан дүрсэлсэн болно түгээлтийн полигон. Үүний тулд , , ... координаттай цэгүүдийг координатын хавтгайд барьж шулуун хэрчмүүдээр холбоно.

MS Excel ашиглан түгээлтийн тэгш өнцөгтийг авахын тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1. Хэрэгслийн самбар дээрх "Insert" ® "Area Chart" табыг сонгоно уу.

2. MS Excel хуудсан дээр гарч ирсэн диаграмын хэсгийг хулганы баруун товчийг дарж идэвхжүүлнэ. контекст цэс Data Select командыг ашиглана уу.

Цагаан будаа. 6. Өгөгдлийн эх сурвалжийг сонгох

Эхлээд диаграмын өгөгдлийн хүрээг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд "Өгөгдлийн эх сурвалжийг сонгох" харилцах цонхны тохирох хэсэгт C6: I6 мужийг оруулна уу (энэ нь Мөр1 гэж нэрлэгддэг давтамжийн утгуудыг агуулдаг, Зураг 7).

Цагаан будаа. 7. 1-р мөр нэмнэ

Цувралын нэрийг өөрчлөхийн тулд "Томгийн элементүүд (цуврал)" хэсгийг өөрчлөх товчийг сонгоод (7-р зургийг үз) нэрлэнэ үү.

X тэнхлэгт шошго нэмэхийн тулд "Хэвтээ тэнхлэгийн шошго (ангилал)" хэсэгт "Засварлах" товчийг ашиглана уу.
(Зураг 8) ба цувралын утгыг зааж өгнө ($C$6:$I$6 муж).

Цагаан будаа. 8. "Өгөгдлийн эх сурвалжийг сонгох" харилцах цонхны эцсийн харагдах байдал.

Өгөгдлийн эх сурвалжийг сонгох харилцах цонхны товчлуурыг сонгож байна
(Зураг 8) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын шаардлагатай олон өнцөгтийг авах боломжийг танд олгоно (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон өнцөгт тархалт

Хүлээн авсан график мэдээллийн дизайнд зарим өөрчлөлтийг хийцгээе.

x тэнхлэгийн шошго нэмэх;

Y тэнхлэгийн шошгыг засах;

- "Түгээлтийн олон өнцөгт" диаграммд гарчиг нэмье.

Үүнийг хийхийн тулд багажийн талбар дахь "Диаграммтай ажиллах" таб, "Байршил" таб болон гарч ирэх хэрэгслийн самбараас "Графикийн нэр", "Тэнхлэгийн нэр" гэсэн товчлууруудыг сонгоно уу (Зураг 10).

Цагаан будаа. 10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын олон өнцөгтийн эцсийн хэлбэр

Хариулт: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье Xболомжит утгуудтай. Эдгээр утга тус бүр нь боломжтой, гэхдээ тодорхой биш, үнэ цэнэ Xтус бүрийг тодорхой магадлалаар хүлээн зөвшөөрч чадна. Туршилтын үр дүнд үнэ цэнэ XЭдгээр утгуудын аль нэгийг авах болно, өөрөөр хэлбэл, үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлэгт нэг нь тохиолдох болно:

Эдгээр үйл явдлын магадлалыг үсгээр тэмдэглэе Рхаргалзах индексүүдтэй:

өөрөөр хэлбэл магадлалын тархалт өөр өөр утгатайдээд мөрөнд өгөгдсөн салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний авсан бүх утгыг, доод мөрөнд түүнд харгалзах утгуудын магадлалыг харуулсан хуваарилалтын хүснэгтээр тодорхойлж болно. Тохиромжгүй үйл явдлууд (3.1) бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэх боломжгүй, учир нь ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын тоо хязгаарлагдмал интервалд ч хязгааргүй байдаг. Мөн ямар нэгэн тодорхой утгыг авах магадлал тэг байна. Хэрэв бид энэ тархалтыг зааж өгвөл санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын үүднээс бүрэн тайлбарлах болно, өөрөөр хэлбэл бид үйл явдал тус бүр ямар магадлалтай болохыг зааж өгнө. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэгчийг тогтооно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын холбоог бий болгодог аливаа харилцаа юм. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгөгдсөн тархалтын хуульд захирагддаг гэж хэлэх болно. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ямар хэлбэрээр өгч болохыг тогтооцгооё x. Хамгийн энгийн хэлбэрЭнэ хуулийн даалгавар бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг жагсаасан хүснэгт юм.

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
пи	х 1	х 2	× × ×	p n

Ийм хүснэгтийг бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэх болно x.

Цагаан будаа. 3.1

Түгээлтийн цувралыг илүү ойлгомжтой болгохын тулд хүн ихэвчлэн түүнд ханддаг график дүрс: абсцисса нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг, ординат нь эдгээр утгуудын магадлалыг харуулна. Тодорхой болгохын тулд олж авсан цэгүүдийг шулуун шугамын хэсгүүдээр холбоно. Ийм дүрсийг тархалтын олон өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 3.1). Тархалтын олон өнцөгт, түүнчлэн тархалтын цуваа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. энэ нь хуваарилалтын хуулийн нэг хэлбэр юм. Заримдаа түгээлтийн цувралын "механик" тайлбар нь тохиромжтой байдаг. Нэгдэлтэй тэнцүү хэмжээний масс нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу тархсан байна гэж төсөөлөөд үз дээ nбие даасан цэгүүд тус тус төвлөрч, масс . Дараа нь тархалтын цувааг х тэнхлэгт байрлах зарим масстай материаллаг цэгүүдийн систем гэж тайлбарладаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

санамсаргүй хэмжигдэхүүн(товчилсон: s. v.) латин үсгээр томоор тэмдэглэнэ X, Y үсэг, З,...(эсвэл Грекийн жижиг үсгүүд ξ (xi), η (энэ), θ (тета), ψ (psi) гэх мэт), тэдгээрийн авсан утгыг тус тус жижиг үсгээр бичнэ x 1 , x 2 ,…, 1 , 2 цагт , 3 …

Жишээ-тай. in. үйлчилж болно: 1) X- шидэх үед гарч ирэх онооны тоо шоо; 2) Y - зорилтот эхний цохилтоос өмнөх буудлагын тоо; 3) З- төхөөрөмжийн ажиллах хугацаа гэх мэт (хүний ​​өндөр, долларын ханш, багц дахь гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоо, агаарын температур, тоглогчийн ашиг, санамсаргүй байдлаар сонгосон бол цэгийн координат, компанийн ашиг, ...).

Санамсаргүй хувьсагч XΏ w

X(w), i.e. X= X(w), wО Ώ (эсвэл X=f(w)) (31)

Жишээ 1. Туршлага нь зоосыг 2 удаа шидэх явдал юм. PES дээр Ώ=( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ), энд w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, та хамт авч үзэж болно. in. X- Төрийн сүлдний харагдах тоо. S. v. Xнь w i анхан шатны үйл явдлын функц юм :X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. in. x 1 утгатай = 0,x2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S P(A) = P(X< X).

X- d.s. онд.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p би,хаана би = 1,2,3, ...,n,… .

хуваарилалтын хууль d.s. in. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,...,n,...,

-тай. in. X x би . :

X	x 1	x2	….	x n	…
П	p1	p2	….	p n	…

Үйл явдлуудаас хойш (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n ), өөрөөр хэлбэл. .

(x 1 , p1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) гэж нэрлэдэг олон өнцөгт(эсвэл олон өнцөгт) тархалт(17-р зургийг үз).

Санамсаргүй утга X нь салангид,Х 1 тоонуудын төгсгөлтэй эсвэл тоолж болох олонлог байгаа бол , x2 , ..., x n ийм байна P(X = x i ) = p i > 0 (би = 1,2,...) х 1 + p2 + х 3 +…= 1 (32)

нийлбэр d.s. in. p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, d.s магадлал бүхий x i утгыг авдаг X. in. Y, p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m магадлал бүхий y j утгыг авахыг d.s гэнэ. in. Z = X + Y , p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ) магадлал бүхий z ij = x i + y j утгуудыг авч, бүгдэд нь заасан утгууд биболон j. Зарим x i + y j нийлбэрүүд давхцвал харгалзах магадлалыг нэмнэ.

ялгаа d.s. in. p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, d.s магадлал бүхий x i утгыг авдаг X. in. Y, p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m магадлал бүхий y j утгыг авахыг d.s гэнэ. in. Z = X - Y, бүх заасан утгуудын хувьд p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ) магадлал бүхий z ij = x i – y j утгыг авна. биболон j. Зарим x i – y j зөрүү давхцвал харгалзах магадлалыг нэмнэ.

ажил d.s. in. p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, d.s магадлал бүхий x i утгыг авдаг X. in. Y, p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m магадлал бүхий y j утгыг авахыг d.s гэнэ. in. Z = X × Y, бүх заасан утгуудын хувьд p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ) магадлал бүхий z ij = x i × y j утгыг авна. биболон j. Зарим бүтээгдэхүүн x i × y j давхцаж байвал харгалзах магадлалыг нэмнэ.

d.s. in. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X ба Y үйл явдлууд (X = x i ) = А i ба (Y = y j ) = В j нь дурын i= 1,2,...,n хувьд бие даасан; j = l,2,...,m, өөрөөр хэлбэл,

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Жишээ 2Нэг саванд 8 бөмбөлөг байхаас 5 нь цагаан, үлдсэн нь хар. Үүнээс санамсаргүй байдлаар 3 бөмбөг сугалж авна. Дээж дэх цагаан бөмбөлгийн тоог хуваарилах хуулийг ол.

Санамсаргүй утга нь туршилтын үр дүнд урьд нь үл мэдэгдэх утгыг авдаг хэмжигдэхүүн юм.

Лекцэнд оролцож буй оюутнуудын тоо.

Тухайн сард ашиглалтад орсон орон сууцны тоо.

Орчны температур.

Дэлбэрэх сумны хэлтэрхийний жин.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг салангид ба тасралтгүй гэж хуваадаг.

Салангид (тасралтгүй) тодорхой магадлал бүхий бие биенээсээ тусгаарлагдсан утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо нь төгсгөлтэй эсвэл тоолж болно.

Үргэлжилсэн ямар нэгэн төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалаас ямар ч утгыг авч чаддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Мэдээжийн хэрэг, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байдаг.

Өгөгдсөн жишээнүүдэд: 1 ба 2 нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд, 3 ба 4 нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

Цаашид "санамсаргүй хувьсагч" гэсэн үгийн оронд c товчлолыг байнга хэрэглэх болно. in.

Дүрмээр бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг том үсгээр, боломжит утгыг жижиг үсгээр тэмдэглэнэ.

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын олонлогийн онолын тайлбарт санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь энгийн үзэгдлийн функц юм: X =φ(ω), энд ω нь Ω (ω  Ω) орон зайд хамаарах элементар үзэгдэл юм. Энэ тохиолдолд c-ийн боломжит утгуудын олонлог Ξ байна. in. X нь φ(ω) функцийн авдаг бүх утгуудаас бүрдэнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой бүх төрлийн үйл явдлын магадлалыг олох боломжийг олгодог аливаа дүрмийг (хүснэгт, функц) гэж нэрлэдэг (жишээлбэл, энэ нь ямар нэг утгыг авах эсвэл тодорхой интервалд унах магадлал).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тогтоох хэлбэрүүд. Түгээлтийн хүрээ.

Энэ бол дээд мөрөнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудыг өсөх дарааллаар жагсаасан хүснэгт юм: x 1, x 2, ..., x n, доод мөрөнд - эдгээрийн магадлал. утгууд: p 1, p 2, ..., p n, энд p i \u003d P (X \u003d x i).

(X \u003d x 1), (X \u003d x 2), ... үйл явдлууд нь нийцэхгүй бөгөөд бүрэн бүлэг үүсгэдэг тул түгээлтийн цувралын доод мөрөнд байгаа бүх магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

Тархалтын цуваа нь зөвхөн салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуулийг тогтооход ашиглагддаг.

Түгээлтийн полигон

Түгээлтийн цувралын график дүрслэлийг тархалтын полигон гэж нэрлэдэг. Энэ нь дараах байдлаар бүтээгдсэн: боломжит утга бүрийн хувьд c. in. х тэнхлэгт перпендикуляр сэргээгдэж, үүн дээр c өгөгдсөн утгын магадлалыг зурна. in. Тодорхой болгох үүднээс олж авсан цэгүүдийг (зөвхөн тодорхой болгохын тулд!) шугамын хэсгүүдээр холбодог.

Хуримтлагдсан түгээлтийн функц (эсвэл зүгээр л түгээлтийн функц).

Энэ нь х аргументийн утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн  нь х аргументийн утгаас бага байх магадлалтай тоон хувьд тэнцүү функц юм.

Түгээлтийн функцийг F(x) гэж тэмдэглэнэ: F(x) = P (X  x).

Одоо та илүү ихийг өгч чадна нарийн тодорхойлолттасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн: тархалтын функц нь тасралтгүй дериватив бүхий тасралтгүй, хэсэгчлэн ялгах функц байвал түүнийг тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Түгээлтийн функц нь тохиргооны хамгийн уян хатан хэлбэр юм c. in., энэ нь салангид ба тасралтгүй s-ийн тархалтын хуулиудыг тогтооход ашиглаж болно. in.

Туршлага гэдэг нь судалж буй санамсаргүй үзэгдлийг ажиглах тодорхой нөхцөл байдал, үйл ажиллагааны аливаа хэрэгжилт юм. Туршилтыг чанарын болон тоон байдлаар тодорхойлж болно. Санамсаргүй утга гэдэг нь туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилан мэддэггүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг ихэвчлэн (X,Y,Z) тэмдэглэдэг ба харгалзах утгуудыг (x,y,z)

Дискретийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бөгөөд бие биенээсээ тусгаарлагдсан тусдаа утгыг авдаг бөгөөд үүнийг хэт үнэлж болно. Тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдболомжит утгууд нь тодорхой хүрээг тасралтгүй дүүргэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын хамаарлыг тогтоодог аливаа харилцаа юм. Цуврал ба олон өнцөгт тархалт. Хуваарилалтын хуулийн хамгийн энгийн хэлбэр салангид хэмжигдэхүүнтүгээлтийн цуврал юм. Түгээлтийн цувралын график тайлбар нь тархалтын полигон юм.

Та мөн Otvety.Online шинжлэх ухааны хайлтын системээс сонирхсон мэдээллийг олж авах боломжтой. Хайлтын маягтыг ашиглана уу:

Сэдвийн дэлгэрэнгүй 13. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Түгээлтийн полигон. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй үйлдлүүд, жишээлбэл:

1. 13. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түүний тархалтын хууль. Түгээлтийн полигон. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй үйлдлүүд. Жишээ.
2. "Санамсаргүй хувьсагч" гэсэн ойлголт ба түүний тайлбар. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түүний тархалтын хууль (цуврал). Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Жишээ.
3. 14. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн төрлүүд. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний (DSV) магадлалын тархалтын хууль. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн (RV) үүсгэх арга замууд.
4. 16. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар: математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлт.
5. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх математикийн үйлдлүүд ба Х, Ү бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн тархалтын дагуу KX, X"1, X + K, XV-ийн тархалтын хуулийг бүтээх жишээ.
6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт. Дискрет хэргийг хуваарилах хууль. тоо хэмжээ. Кейс дээрх математик үйлдлүүд. тоо хэмжээ.