Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль х жишээ. санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Магадлалын онолын хэрэглээнд туршилтын тоон шинж чанар нь хамгийн чухал ач холбогдолтой юм. Туршилтын үр дүнд тухайн тохиолдлоор авч болох тоо хэмжээг тодорхойлох боломжтой хэмжигдэхүүн янз бүрийн утгатай, гэж нэрлэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ:
1. Арван шидэлтийн тэгш тооны шидэлтийн тоо шоо.
2. Цуврал буудаж байгаа харвагчийн оносон оносон тоо.
3. Дэлбэрэх сумны хэлтэрхийний тоо.
Дээрх жишээ бүрт санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн тусгаарлагдсан утгуудыг, өөрөөр хэлбэл байгалийн цуврал тоонуудыг ашиглан тоолж болох утгуудыг авч болно.
Боломжит утгууд нь энэ хувьсагч тодорхой магадлалаар авдаг тусдаа тусгаарлагдсан тоонуудаас бүрдэх ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг. салангид.
Дискретийн боломжит утгуудын тоо санамсаргүй хувьсагчхязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болно) байж болно.
хуваарилалтын хуульДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын жагсаалт гэж нэрлэдэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр (магадлалын тархалтын цуврал), аналитик болон графикаар (магадлалын тархалтын полигон) зааж өгч болно.
Энэ эсвэл бусад туршилтыг хийхдээ судалж буй утгыг "дунджаар" үнэлэх шаардлагатай болдог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын үүргийг тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт,томъёогоор тодорхойлогддог
хаана x 1 , x 2 ,.. , x n- санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд X, a х 1 ,х 2 , ... , х nЭдгээр утгуудын магадлал нь (үүнийг анхаарна уу х 1 + х 2 +…+ х n = 1).
Жишээ. Буудлагыг зорилтот түвшинд гүйцэтгэдэг (Зураг 11).
I-д цохилт нь гурван оноо, II-д - хоёр оноо, III-д - нэг оноо өгдөг. Нэг шидэгчийн нэг цохилтоор хасагдсан онооны тоо нь хэлбэрийн хуваарилалтын хуультай байдаг
Буудлагын ур чадварыг харьцуулахын тулд авсан онооны дундаж утгыг харьцуулах нь хангалттай юм. математикийн хүлээлт М(X) ба М(Ю):
М(X) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
М(Ю) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
Хоёр дахь мэргэн бууч дунджаар арай илүү оноо өгдөг, i.e. давтан буудлага хийвэл энэ нь хамгийн сайн үр дүнг өгөх болно.
Математик хүлээлтийн шинж чанаруудыг анхаарна уу:
1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна:
М(C) = C.
2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
М=(X 1 + X 2 +…+ X n)= М(X 1)+ М(X 2)+…+ М(X n).
3. Харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь хүчин зүйлсийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.
М(X 1 X 2 … X n) = М(X 1)М(X 2)… М(X n).
4. Дуран тархалтын математик үгүйсгэл нь туршилтын тоо ба нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна (даалгавар 4.6).
М(X) = pr.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь "дунджаар" математикийн хүлээлтээс хэрхэн хазайж байгааг үнэлэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл. Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг тодорхойлохын тулд дисперсийн тухай ойлголтыг ашигладаг.
тархалтсанамсаргүй хувьсагч Xдуудсан хүлээгдэж буй үнэ цэнэквадрат хазайлт:
Д(X) = М[(X - М(X)) 2 ].
Тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын тоон шинж чанар юм. Тодорхойлолтоос харахад санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс бага байх тусам түүний боломжит утгууд нь математикийн хүлээлтийн эргэн тойронд илүү ойрхон байрлана, өөрөөр хэлбэл илүү сайн үнэ цэнэСанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлтээр тодорхойлогддог.
Тодорхойлолтоос харахад хэлбэлзлийг томъёогоор тооцоолж болно
.
Өөр томьёог ашиглан тархалтыг тооцоолоход тохиромжтой.
Д(X) = М(X 2) - (М(X)) 2 .
Тархалт нь дараахь шинж чанартай байдаг.
1. Тогтмолын дисперс нь тэг байна:
Д(C) = 0.
2. Тогтмол коэффициентийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.
Д(CX) = C 2 Д(X).
3. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Д(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= Д(X 1)+ Д(X 2)+…+ Д(X n)
4. Хоёр гишүүний тархалтын дисперс нь туршилтын тоо болон нэг туршилтын үед тохиолдох болон тохиолдохгүй байх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Д(X) = npq.
Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн квадрат язгууртай тэнцүү тоон шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ тоон шинж чанарыг стандарт хазайлт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэмдэгээр тэмдэглэнэ
.
Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаасаа хазайх ойролцоо хэмжээг тодорхойлдог бөгөөд санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ижил хэмжээтэй байна.
4.1. Буудагч бай руу гурван удаа бууддаг. Буудсан болгонд бай онох магадлал 0.3 байна.
Үзсэн тоогоор түгээлтийн цувралыг байгуул.
Шийдэл. Үзсэн тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Утга бүр x n санамсаргүй хувьсагч Xтодорхой магадлалтай тохирч байна П n .
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Энэ тохиолдолдта тохируулж болно түгээлтийн ойролцоо.
Энэ даалгаварт X 0, 1, 2, 3 утгыг авна. Бернулли томьёоны дагуу
,
санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын магадлалыг ол:
Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
Р 3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
Р 3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг цэгцэлсний дараа Xөсөх дарааллаар бид түгээлтийн цувралыг авна.
|
X n | ||||
нийлбэр гэдгийг анхаарна уу
санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг хэлнэ Xболомжит утгуудаас дор хаяж нэг утгыг авна, тиймээс энэ үйл явдал тодорхой байна
.
4.2 .Унганд 1-ээс 4 хүртэл дугаарласан дөрвөн бөмбөг байна. Хоёр бөмбөг гаргана. Санамсаргүй утга Xнь бөмбөгний тооны нийлбэр юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа байгуул X.
Шийдэл.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд X 3, 4, 5, 6, 7. Харгалзах магадлалыг ол. Утга 3 санамсаргүй хэмжигдэхүүн XСонгосон бөмбөгнүүдийн аль нэг нь 1, нөгөө нь 2-той тохиолдолд л авч болно. Туршилтын боломжит үр дүнгийн тоо нь дөрөв (боломжтой хос бөмбөгний тоо) хоёрын хослолын тоотой тэнцүү байна.
Сонгодог магадлалын томъёоны дагуу бид авна
Үүний нэгэн адил,
Р(X= 4) =Р(X= 6) =Р(X= 7) = 1/6.
5 нийлбэр нь 1 + 4 ба 2 + 3 гэсэн хоёр тохиолдолд гарч ирж болно
.
Xхарагдаж байна:
Түгээлтийн функцийг ол Ф(x) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xмөн үүнийг төлөвлө. Тооцоолох Xтүүний математик хүлээлт ба дисперс.
Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тархалтын функцээр өгч болно
Ф(x) = П(X x).
түгээлтийн функц Ф(x) нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт тодорхойлогдсон буурдаггүй, зүүн-тасралтгүй функц юм.
Ф (- )= 0,Ф (+ )= 1.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд энэ функцийг томъёогоор илэрхийлнэ
.
Тиймээс, энэ тохиолдолд
Түгээлтийн функцын график Ф(x) нь шаталсан шугам юм (Зураг 12)
|
Ф(x) | ||||||
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэМ(X) нь утгуудын жигнэсэн дундаж юм X 1 , X 2 ,……X nсанамсаргүй хувьсагч Xжинтэй ρ 1, ρ 2, …… , ρ n ба санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэнэ X. Томъёоны дагуу
М(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 + ……+ x n ρ n
М(X) = 3 0.14 + 5 0.2 + 7 0.49 + 11 0.17 = 6.72.
Тархалтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтын түвшинг дундаж утгаас нь тодорхойлж, тэмдэглэнэ. Д(X):
Д(X)=М[(ХМ(X)) 2 ]= М(X 2) –[М(X)] 2 .
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперс нь хэлбэртэй байна
эсвэл томъёогоор тооцоолж болно
Асуудлын тоон өгөгдлийг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
М(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
Д(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. Хоёр шоо нэгэн зэрэг хоёр удаа шиддэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёртын тархалтын хуулийг бич X- хоёр шоо дээрх тэгш тооны онооны тохиолдлын тоо.
Шийдэл. Санамсаргүй тохиолдлын талаар танилцуулъя
ГЭХДЭЭ= (нэг шидэлтэнд хоёр шоо хийхэд тэгш тооны оноо нийлбэр унасан).
Магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан бид олдог
Р(ГЭХДЭЭ)=
,
хаана n - шалгалтын боломжит үр дүнгийн тоог дүрмээр олно
үржүүлэх:
n = 6∙6 =36,
м - таатай үйл явдлын тоо ГЭХДЭЭүр дүн - тэнцүү
м= 3∙6=18.
Тиймээс нэг туршилтанд амжилтанд хүрэх магадлал өндөр байна
ρ = П(ГЭХДЭЭ)= 1/2.
Бернулли туршилтын схемийг ашиглан асуудлыг шийддэг. Энд нэг сорилт бол хоёр шоо нэг удаа хаях явдал юм. Ийм туршилтын тоо n = 2. Санамсаргүй хувьсагч X 0, 1, 2 утгыг магадлалын хамт авна
Р 2 (0)
=
,Р 2 (1)
=
∙
,Р 2 (2)
=
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүссэн бином тархалт Xтүгээлтийн цуврал хэлбэрээр төлөөлж болно:
|
X n | |||
|
ρ n |
4.5 . Зургаан хэсгээс бүрдсэн багцад дөрвөн стандарт хэсэг байдаг. Гурван зүйлийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг зохио X- сонгосон хэсгүүдийн стандарт хэсгүүдийн тоог гаргаж, түүний математик хүлээлтийг олоорой.
Шийдэл.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд X 0,1,2,3 тоонууд. Энэ нь ойлгомжтой Р(XСтандарт бус хоёр л хэсэг байгаа тул =0)=0.
Р(X=1) =
=1/5,
Р(X= 2) =
= 3/5,
Р(X=3) =
= 1/5.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xтүгээлтийн цуврал хэлбэрээр илэрхийлнэ:
|
X n | ||||
|
ρ n |
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ
М(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэдгийг батал X- үйл явдлын тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭ in nбие даасан туршилтууд, тэдгээр нь тус бүрт үйл явдал тохиолдох магадлал тэнцүү байна ρ - нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалаар туршилтын тооны үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бином тархалтын математик хүлээлтийг нотлох.
М(X) =n . ρ ,
зөрүүтэй байхад
Д(X) =np .
Шийдэл.Санамсаргүй утга X 0, 1, 2... утгыг авч болно. n. Магадлал Р(X= k) -ийг Бернулли томъёогоор олно.
Р(X=k)= Р n(k)= 
ρ
руу
(1-ρ
) n-руу
Санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын цуврал Xхарагдаж байна:
|
X n | |||||
|
ρ n |
q n |
|
|
|
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
nхаана q= 1- ρ .
Математикийн хүлээлтийн хувьд бид дараах илэрхийлэлтэй байна.
М(X)=
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
Нэг тестийн хувьд, өөрөөр хэлбэл хамт n= 1 санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1 - үйл явдлын тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭ- түгээлтийн цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.
|
X n | ||
|
ρ n |
М(X 1)= 0 q + 1 ∙ х = х
Д(X 1) = х – х 2 = х(1- х) = pq.
Хэрвээ X k - үйл явдлын тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭтэгээд аль шалгалтанд Р(X руу)= ρ болон
X=X 1 +X 2 +….+X n .
Эндээс бид авдаг
М(X)=М(X 1 )+М(X 2)+ … +М(X n)= nρ,
Д(X)=Д(X 1)+Д(X 2)+ ... +Д(X n)=npq.
4.7. QCD нь бүтээгдэхүүний стандартыг шалгадаг. Тухайн зүйл стандарт байх магадлал 0.9 байна. Багц бүр 5 зүйлээс бүрдэнэ. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X- багцын тоо, тус бүр нь 4 стандарт бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байх болно - хэрэв 50 багцыг баталгаажуулах шаардлагатай бол.
Шийдэл. Санамсаргүй байдлаар сонгосон багц бүрт 4 стандарт зүйл байх магадлал тогтмол; гэж тэмдэглэе ρ .Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт Xтэнцүү байна М(X)= 50∙ρ.
Магадлалыг олъё ρ Бернулли томъёоны дагуу:
ρ=P 5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
М(X)= 50∙0,32=16.
4.8 . Гурван шоо шидэв. Унасан онооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол.
Шийдэл.Та санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг олж болно X- буурсан онооны нийлбэр, дараа нь түүний математик хүлээлт. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь хэтэрхий төвөгтэй юм. Санамсаргүй хувьсагчийг төлөөлөх өөр заль мэхийг ашиглах нь илүү хялбар байдаг X, математикийн хүлээлтийг тооцоолоход хялбар хэд хэдэн энгийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрээр тооцоолох ёстой. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X бидээр авсан онооны тоо юм би- яс ( би= 1, 2, 3), дараа нь онооны нийлбэр Xхэлбэрээр илэрхийлсэн
X = X 1 + X 2 + X 3 .
Анхны санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолохын тулд зөвхөн математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглахад л үлддэг.
М(X 1 + X 2 + X 3 )= М(X 1 )+ М(X 2)+ М(X 3 ).
Энэ нь ойлгомжтой
Р(X би = К)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, би= 1, 2, 3.
Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X бихэлбэртэй байна
М(X би) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
М(X) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. Туршилтын явцад бүтэлгүйтсэн төхөөрөмжүүдийн тооны математик хүлээлтийг тодорхойлох, хэрэв:
a) бүх төхөөрөмжийн эвдрэлийн магадлал ижил байна Р, мөн туршилтанд хамрагдах төхөөрөмжүүдийн тоо тэнцүү байна n;
б) бүтэлгүйтлийн магадлал би – хэрэгсэл тэнцүү байна х би , би= 1, 2, … , n.
Шийдэл.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье XЭнэ нь бүтэлгүйтсэн төхөөрөмжүүдийн тоо юм
X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X би
=
Энэ нь ойлгомжтой
Р(X би = 1)= Р би , Р(X би = 0)= 1– Р би ,i= 1, 2, … ,n.
М(X би)= 1∙Р би + 0∙(1-Р би)=П би ,
М(X)=М(X 1)+М(X 2)+ … +М(X n)=П 1 +П 2 + ... + П n .
"a" тохиолдолд төхөөрөмжийн эвдрэлийн магадлал ижил байна, i.e.
Р би =p,i= 1, 2, … ,n.
М(X)= np.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгааг анзаарсан бол энэ хариултыг шууд авах боломжтой XБайгаа бином тархалтпараметрүүдтэй ( n, х).
4.10. Хоёр шоо нэгэн зэрэг хоёр удаа шиддэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёртын тархалтын хуулийг бич X -хоёр шоо дээр тэгш тооны оноо тохиолдсоны тоо.
Шийдэл. Болъё
ГЭХДЭЭ=(эхний үхэлд тэгш тоо алдагдах),
B =(хоёр дахь үхэлд тэгш тоо алдагдах).
Нэг шидэлтээр хоёр шооны тэгш тоо алдагдахыг бүтээгдэхүүнээр илэрхийлнэ AB.Дараа нь
Р
(AB)
= Р(ГЭХДЭЭ)∙Р(AT)
=
.
Хоёр шоо хоёр дахь шидэлтийн үр дүн эхнийхээс хамаарахгүй тул Бернулли томъёог дараах тохиолдолд хэрэглэнэ.
n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.
Санамсаргүй утга X 0, 1, 2 утгыг авч болно , Бид Бернулли томъёогоор олох магадлалыг:
Р(X= 0)= П 2 (0) = q 2 = 9/16,
Р(X= 1)= П 2
(1)= C 
,Р∙q
=
6/16,
Р(X= 2)= П 2
(2)= C 
,
Р 2
=
1/16.
Санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын цуврал X:
4.11. Төхөөрөмж нь олон тооны бие даасан ажиллагаатай элементүүдээс бүрддэг бөгөөд энэ нь цаг хугацааны явцад элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал маш бага байдаг. т. Цаг хугацааны бүтэлгүйтлийн дундаж тоог ол тэлементүүд, хэрэв энэ хугацаанд ядаж нэг элемент бүтэлгүйтэх магадлал 0.98 бол.
Шийдэл. Цаг хугацааны бүтэлгүйтлийн тоо тэлементүүд - санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, энэ нь Пуассоны хуулийн дагуу тархсан, элементийн тоо их байдаг тул элементүүд нь бие даан ажилладаг бөгөөд элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал бага байдаг. -д тохиолдсон үйл явдлын дундаж тоо nтуршилтууд тэнцүү байна
М(X) = np.
Амжилтгүй болох магадлалаас хойш руу-аас элементүүд nтомъёогоор илэрхийлнэ
Р n
(руу)
,
хаана = np, дараа нь ямар ч элемент хугацаандаа бүтэлгүйтэх магадлал т бид хүрдэг K = 0:
Р n (0)= e - .
Тиймээс эсрэг үйл явдлын магадлал нь цаг хугацааны хувьд юм т дор хаяж нэг элемент амжилтгүй болсон - 1-тэй тэнцүү - д - . Асуудлын нөхцөлийн дагуу энэ магадлал 0.98-тай тэнцүү байна. Тэгшитгэлээс
1 - д - = 0,98,
д - = 1 – 0,98 = 0,02,
эндээс = -ln 0,02 4.
Тиймээс түр зуур ттөхөөрөмжийн ажиллагаа дунджаар 4 элемент бүтэлгүйтэх болно.
4.12 . Маягтыг "хоёр" өнхрүүлэх хүртэл өнхрүүлдэг. Шидэх дундаж тоог ол.
Шийдэл. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг танилцуулж байна X- бидний сонирхсон үйл явдал болох хүртэл хийх ёстой шинжилгээний тоо. Тийм магадлал X= 1 нь үхрийн нэг шидэхэд "хоёр" унах магадлалтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
Р(X= 1) = 1/6.
Үйл явдал X= 2 гэдэг нь эхний шүүх хурлын үеэр "хоёр" унасангүй, харин хоёр дахь удаагаа унасан гэсэн үг юм. Үйл явдлын магадлал X= 2-ийг бид бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрмээр олно.
Р(X= 2) = (5/6)∙(1/6)
Үүний нэгэн адил,
Р(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
гэх мэт. Бид хэд хэдэн магадлалын хуваарилалтыг авдаг:
|
(5/6) руу ∙1/6 |
Шидэлтийн дундаж тоо (туршилт) нь математикийн хүлээлт юм
М(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + руу (5/6) руу -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + руу (5/6) руу -1 + …)
Цувралын нийлбэрийг олъё:
рууg
руу -1
= (
g руу)
g
.
Үүний үр дүнд,
М(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
Тиймээс "дюц" унах хүртэл дунджаар 6 шоо шидэх шаардлагатай.
4.13. Бие даасан туршилтыг үйл явдлын ижил магадлалаар гүйцэтгэдэг ГЭХДЭЭшалгалт бүрт. Үйл явдал болох магадлалыг ол ГЭХДЭЭхэрэв бие даасан гурван туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны дисперс 0.63 бол .
Шийдэл.Гурван туршилтанд тохиолдсон үйл явдлын тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм Xбином хуулийн дагуу хуваарилагдана. Бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны хэлбэлзэл (туршилт бүрт үйл явдал тохиолдох магадлал ижил) нь туршилтын тоо ба тухайн үйл явдал тохиолдох ба тохиолдохгүй байх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна ( даалгавар 4.6)
Д(X) = npq.
Нөхцөлөөр n = 3, Д(X) = 0.63, тэгэхээр та чадна Ртэгшитгэлээс олно
0,63 = 3∙Р(1-Р),
хоёр шийдэлтэй Р 1 = 0.7 ба Р 2 = 0,3.
Дискрет санамсаргүйХувьсагчдыг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бие биенээсээ алслагдсан утгуудыг авдаг бөгөөд үүнийг урьдчилан тоолж болно.
хуваарилалтын хууль
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын хамаарлыг тогтоодог харилцаа юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хүрээ нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын жагсаалт юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг функц гэнэ.
,
Энэ нь х аргументийн утга бүрийн хувьд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь энэ x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
,
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга хаана байна; - санамсаргүй хэмжигдэхүүний X утгыг хүлээн авах магадлал.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит утгуудын тоолж болох олонлогийг авдаг бол: 
.
Бие даасан n туршилтаар үйл явдлын тохиолдлын тоог тооцоолох математикийн хүлээлт:
,
Өөрчлөлт ба дундаж стандарт хэлбэлзэлдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт: 
эсвэл 
.
n бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны хэлбэлзэл 
,
Энд p нь үйл явдал болох магадлал.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт: 
.
Жишээ 1
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (d.r.v.) X - n = 8 хос шоо шидэхэд хамгийн багадаа нэг “зургаа”-гийн k тоо. Тархалтын олон өнцөгтийг зур. Тархалтын тоон шинж чанарыг ол (тархалтын горим, математикийн хүлээлт M(X), дисперс D(X), стандарт хазайлт s(X)). Шийдэл:Тэмдэглэгээг танилцуулъя: А үйл явдал - "хос шоо шидэх үед зургаа нь дор хаяж нэг удаа гарч ирэв." А үйл явдлын P(A) = p магадлалыг олохын тулд эхлээд эсрэг үйл явдлын P(Ā) = q магадлалыг олох нь илүү тохиромжтой Ā – “хос шоо шидэх үед зургаа нь бүр харагдахгүй байсан. нэг удаа".
Нэг үхлийг шидэх үед "зургаа" гарч ирэхгүй байх магадлал 5/6 тул магадлалын үржүүлэх теоремоор
P(Ā) = q = =.
тус тус,
P(A) = p = 1 – P(Ā) =.
Асуудлын туршилтыг Бернулли схемийн дагуу явуулдаг тул d.r.v. хэмжээ X- тоо кХоёр шоо шидэх үед дор хаяж нэг зургаа хаях нь магадлалын тархалтын хоёр гишүүний хуульд захирагдана. 
Эндээс = нь хослолын тоо nдээр к.
Энэ асуудалд хийсэн тооцооллыг хүснэгт хэлбэрээр зохион байгуулах нь тохиромжтой.
d.r.v-ийн магадлалын тархалт. X º к (n = 8; х = ; q = )
| к | ||||||||||
PN(к) |
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт). XЗурагт үзүүлэв.
Цагаан будаа. d.r.v-ийн магадлалын тархалтын полигон. X=к.
Босоо шугам нь тархалтын математикийн хүлээлтийг харуулж байна М(X).
d.r.v-ийн магадлалын тархалтын тоон шинж чанарыг олцгооё. X. Түгээлтийн горим нь 2 (энд П 8(2) = 0.2932 дээд тал нь). Тодорхойлолтоор математикийн хүлээлт нь:
М(X) = = 2,4444,
хаана xk = к d.r.v-ийн хүлээн зөвшөөрсөн утга юм. X. тархалт Д(X) бид дараах томъёогоор тархалтыг олно.
Д(X) = 
= 4,8097.
Стандарт хазайлт (RMS):
с( X) = = 2,1931.
Жишээ 2
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн
Шийдэл.Хэрэв , дараа нь (гурав дахь шинж чанар).
Хэрэв , тэгвэл . Үнэхээр, X 0.3 магадлалтайгаар 1 утгыг авч болно.
Хэрэв , тэгвэл . Үнэхээр, хэрэв энэ нь тэгш бус байдлыг хангаж байвал
, тэгвэл хэзээ хэрэгжих боломжтой үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна X 1 (энэ үйл явдлын магадлал 0,3) эсвэл 4 (энэ үйл явдлын магадлал 0,1) утгыг авна. Энэ хоёр үйл явдал үл нийцэх тул нэмэх теоремын дагуу үйл явдлын магадлал нь 0,3+0,1=0,4 магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв , тэгвэл . Үнэн хэрэгтээ үйл явдал тодорхой учраас түүний магадлал нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс түгээлтийн функцийг аналитик байдлаар дараах байдлаар бичиж болно. 
Энэ функцийн график:
Эдгээр утгуудад тохирох магадлалыг олцгооё. Нөхцөлөөр төхөөрөмжүүдийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү байна: тэгвэл төхөөрөмжүүд нь ажиллах боломжтой байх магадлалтай. баталгаат хугацаатэнцүү байна: 
Хуваарилалтын хууль нь дараахь хэлбэртэй байна.
Энэ хуудсан дээр бид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цувралаар нь (хүснэгтийн харагдац) тогтоосон боловсролын асуудлыг шийдвэрлэх товч онол, жишээг цуглуулсан бөгөөд үүнийг судлах шаардлагатай: тоон шинж чанарыг олох, график график гэх мэт. Жишээнүүд дээр мэдэгдэж байгаа төрөл зүйлтүгээлтийг дараах холбоосоор олж болно.
DSW-ийн тухай товч онол
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваагаар нь өгнө: $x_i$ авч болох утгуудын жагсаалт ба харгалзах магадлал $p_i=P(X=x_i)$. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тоо нь төгсгөлтэй эсвэл тоолж болно. Тодорхой байхын тулд бид $i=\overline(1,n)$ хэргийг авч үзэх болно. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүснэгтэн дүрслэл дараах хэлбэртэй байна.
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(массив) $ доллар
Энэ тохиолдолд хэвийн болгох нөхцөл хангагдана: бүх магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой.
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
Графикаар түгээлтийн цувааг дүрсэлж болно түгээлтийн полигон(эсвэл түгээлтийн полигон). Үүний тулд $(x_i,p_i)$ координаттай цэгүүдийг хавтгай дээр зурж, дарааллаар нь тасархай шугамаар холбоно. Нарийвчилсан жишээнүүдТа олох болно .
DSV-ийн тоон шинж чанар
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:
$$M(X) = \нийлбэр_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Тархалт:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \нийлбэр_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ доллар
Стандарт хэлбэлзэл:
$$\сигма (X) = \sqrt(D(X))$$
Өөрчлөлтийн коэффициент:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
Горим: утга $Mo=x_k$ хамгийн их магадлалтай $p_k=\max_i(p_i)$.
Та DSV-ийн дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолохын тулд онлайн тооцоолуур ашиглаж болно.
DSW түгээлтийн функц
Түгээлтийн цувралын дагуу хүн зохиож болно түгээлтийн функцдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $F(x)=P(X\lt x)$. Энэ функц нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн зарим $x$ тооноос бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог. Барилгын жишээнүүд нарийвчилсан тооцоололболон графикуудыг доорх жишээнүүдээс олох болно.
Шийдвэрлэсэн асуудлын жишээ
Даалгавар 1.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэд хэдэн тархалтаар өгөгддөг.
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Түгээлтийн полигон ба $F(x)$ тархалтын функцийг байгуул. Тооцоолох: $M[X], D[X], \sigma[X]$, түүнчлэн хэлбэлзлийн коэффициент, хазайлт, хазайлт, горим ба медиан.
Даалгавар 2.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн тархалтын хууль өгөгдсөн.Шаардлагатай:
a) X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт M(x), дисперс D(x) ба стандарт хазайлт (x) -ийг тодорхойлох; б) энэ тархалтын графикийг байгуул.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0.02 0.38 0.30 0.16 0.08 0.04 0.02
Даалгавар 3.Өгөгдсөн тархалтын цуваатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн хувьд
-1 0 1 8
0.2 0.1 $r_1$ $r_2$
A) $M(X)=0.5$ байхаар $p_1$ ба $p_2$-г ол
B) үүний дараа $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцоолж, тархалтын функцийг графикаар зур.
Даалгавар 4.Дискрет RV $X$ нь зөвхөн хоёр утгыг авч болно: $x_1$ ба $x_2$, $x_1 \lt x_2$. Боломжит утгын $P$ магадлал, математикийн хүлээлт $M(x)$, $D(x)$ хэлбэлзэл тодорхой байна. Олно: 1) Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль; 2) RV $X$-ийн тархалтын функц; 3) $F(x)$ график.
$P=0.3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$
Даалгавар 5.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 2, 4, 6 гэсэн гурван утгыг авна. $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$ байвал эдгээр утгуудын магадлалыг ол.
Даалгавар 6.Дискрет r.v-ийн тархалтын цуврал. $X$. R.v-ийн байрлал ба тархалтын тоон шинж чанарыг ол. $X$. m.o олох. ба r.v-ийн тархалт. $Y=X/2-2$ r.v-ийн тархалтын цувралыг бичихгүйгээр. $Y$, үр дүнг үүсгэх функцээр шалгана уу.
R.v-ийн тархалтын функцийг байгуул. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦
Даалгавар 7.$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг дараах хүснэгтээр (тархалтын цуваа) өгсөн болно.
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Хуваарилалтын хүснэгтэд дутуу утгыг тодорхойлно уу. Түгээлтийн үндсэн тоон шинж чанарыг тооцоол: $M_x, D_x, \sigma_x$. $F(x)$ тархалтын функцийг олж байгуул. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн дараах утгыг авах магадлалыг тодорхойл.
A) 6-аас дээш
B) 12-аас бага;
C) 9-өөс ихгүй байна.
Даалгавар 8.Асуудалд дараахь зүйлийг олох шаардлагатай: а) математикийн хүлээлт; б) тархалт; в) хүснэгтэд өгөгдсөн тархалтын өгөгдсөн хуулийн дагуу дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн стандарт хазайлт (хүснэгтийн эхний мөрөнд боломжит утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд боломжит утгуудын магадлалыг харуулав).
Даалгавар 9.$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөгдсөн (эхний мөрөнд $ x_i $ боломжит утгууд, хоёр дахь мөрөнд $ p_i $ боломжит утгуудын магадлалыг харуулав).
Олно:
A) математикийн хүлээлт $M(X)$, дисперс $D(X)$ ба стандарт хазайлт $\сигма(X)$;
B) $F(x)$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг зохиож, графикийг нь байгуулах;
C) $F(x)$ тархалтын функцийг ашиглан $x_2 \lt X \lt x_4$ завсарт $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлалыг тооцоолох;
D) $Y=100-2X$ утгын тархалтын хуулийг гаргах;
E) $Y$ эмхэтгэсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг хоёр аргаар тооцоолох, i.e. ашиглах
Математикийн хүлээлт ба дисперсийн шинж чанар, түүнчлэн $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиар шууд.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Даалгавар 10.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хүснэгтэд өгсөн болно. Түүний эхний ба төв мөчийг 4 хүртэлх дарааллаар тооцоол. $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi үйл явдлын магадлалыг ол. доллар.
X0 0.3 0.6 0.9 1.2
P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хамгийн нийтлэг хуулиудыг бид ялгаж салгаж болно.
- Бином тархалтын хууль
- Пуассоны тархалтын хууль
- Геометрийн тархалтын хууль
- Гипергеометрийн тархалтын хууль
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн тархалтын хувьд тэдгээрийн утгын магадлал, түүнчлэн тоон шинж чанаруудыг (математикийн хүлээлт, дисперс гэх мэт) тооцооллыг тодорхой "томьёо" -ын дагуу гүйцэтгэдэг. Тиймээс эдгээр төрлийн тархалт, тэдгээрийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь маш чухал юм.
1. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ утгуудыг $P\left(X=k\right)= магадлалтай авсан тохиолдолд хоёрт магадлалын тархалтад хамаарна. C^k_n\cdot p^k\cdot (\зүүн(1-p\баруун))^(n-k)$. Үнэн хэрэгтээ $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $A$ үйл явдлын $n$-д тохиолдсон тоо юм. бие даасан туршилтууд. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \цэгүүд & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\баруун) & P_n\left(1\баруун) & \цэгүүд & P_n\left(n\баруун) \\
\hline
\end(массив)$
Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд хүлээлт нь $M\left(X\right)=np$, дисперс нь $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ байна.
Жишээ . Айлын хоёр хүүхэдтэй. Хүү, охин хоёрын төрөх магадлалыг $0.5$-тэй тэнцүү гэж үзээд $\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүн буюу гэр бүлийн хөвгүүдийн тоог хуваарилах хуулийг ол.
$\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг гэр бүлийн хөвгүүдийн тоо гэж үзье. $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$-ын авч чадах утгууд. Эдгээр утгын магадлалыг $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) томъёогоор олж болно. )$, энд $n =2$ - бие даасан туршилтын тоо, $p=0.5$ - $n$ туршилтын цувралд үйл явдал тохиолдох магадлал. Бид авах:
$P\left(\xi =0\баруун)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\баруун))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$
$P\left(\xi =1\баруун)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\зүүн(1-0.5\баруун))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\баруун)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\баруун))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$
Дараа нь $\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь $0,\ 1,\ 2$ утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондох харгалзах байдал юм, жишээлбэл:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(массив)$
Түгээлтийн хуулийн магадлалын нийлбэр $1$-тэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 = $1.
Хүлээгдэж буй $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, зөрүү $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\баруун)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, стандарт хазайлт $\sigma \left(\xi \баруун)=\sqrt(D\left(\xi \баруун))=\sqrt(0.5 )\ойролцоогоор $0.707.
2. Пуассоны тархалтын хууль.
Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоо $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Сэтгэгдэл. Энэхүү тархалтын онцлог нь туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн бид $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ гэсэн тооцоог олдог, хэрэв олж авсан тооцоолол хоорондоо ойролцоо байвал бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Пуассоны тархалтын хуульд захирагдана гэж батлах үндэслэлтэй.
Жишээ . Пуассоны хуваарилалтын хуульд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: маргааш үйлчилгээ үзүүлэх машины тоо. дүүргэх станц; үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний доголдолтой зүйлийн тоо.
Жишээ . Тус үйлдвэр бааз руу 500 долларын бүтээгдэхүүн илгээсэн. Бүтээгдэхүүнийг тээвэрлэх явцад гэмтэх магадлал 0.002 доллар байна. Гэмтсэн бүтээгдэхүүний тоотой тэнцүү $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол; Энэ нь $ M \ зүүн (X \ баруун), \ D \ зүүн (X \ баруун) $ -тай тэнцүү байна.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ гэмтсэн зүйлсийн тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ параметртэй Пуассоны тархалтын хуульд хамаарна. Утгын магадлал нь $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) байна.}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\зүүн(X=5\баруун)=((1^5)\(5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\зүүн(X=6\баруун)=((1^6)\(6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}
$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(массив)$
Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлт ба дисперс нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд $\lambda $ параметртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1. доллар.
3. Геометрийн тархалтын хууль.
Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ натурал утгуудыг авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) магадлалтай. баруун)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тэгвэл бид ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагдана гэж хэлье. Үнэн хэрэгтээ геометрийн тархалт нь Бернуллигийн анхны амжилтанд хүрэх туршилт юм.
Жишээ . Геометрийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: бай руу эхний цохилтоос өмнөх цохилтын тоо; анхны алдаа гарахаас өмнө төхөөрөмжийн туршилтын тоо; Эхний толгой дээшлэхээс өмнө зоос шидсэн тоо гэх мэт.
Геометрийн тархалтад хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) байна. /p^ 2$.
Жишээ . Загасыг түрсээ шахах газар руу зөөх замд 4 долларын цоож байдаг. Цоож бүрээр загас өнгөрөх магадлал $p=3/5$ байна. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг байгуулна - цоожны эхний зогсолтоос өмнө загасны хажуугаар дамжин өнгөрсөн түгжээний тоо. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$-г олоорой.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ нь шлюз дээрх эхний зогсолтоос өмнө загасны хажуугаар өнгөрсөн шлюзийн тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагддаг. $X санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгууд нь: 1, 2, 3, 4. Эдгээр утгын магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, Үүнд: $ p=2/5$ - цоожоор загас баригдах магадлал, $q=1-p=3/5$ - цоожоор дамжин өнгөрөх загасны магадлал, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^0=((2)\ дээш(5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\(5)-аас дээш)\cdot ((3)\(5)-аас дээш)=((6)\(25)-аас дээш)=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^2=((2)\ (5))\cdot ((9)\(25)-аас дээш)=((18)\(125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(() (3)\(5))\баруун))^4=((27)\(125))=0.216.$
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\зүүн(X_i\баруун) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(массив)$
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Тархалт:
$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2=)0,4\cdot (\ зүүн(1-2,176\баруун))^2+0,24\cdot (\зүүн(2-2,176\баруун))^2+0,144\cdot (\зүүн(3-2,176\баруун))^2+$
$+\ 0.216\cdot (\зүүн(4-2.176\баруун))^2\ойролцоогоор 1.377.$
Стандарт хэлбэлзэл:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ойролцоогоор 1,173.$
4. Гипергеометрийн тархалтын хууль.
Хэрэв $N$ объект байгаа бол $m$ объектууд нь өгөгдсөн өмчтэй байна. Санамсаргүй байдлаар солихгүйгээр $n$ объектуудыг гаргаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн дотор $k$ объектууд өгөгдсөн шинж чанартай байдаг. Гипергеометрийн тархалт нь түүвэр дэх яг $k$ объектууд өгөгдсөн шинж чанартай байх магадлалыг тооцоолох боломжийг олгодог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүвэр дэх өгөгдсөн шинж чанартай объектын тоо гэж үзье. Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлал:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Сэтгэгдэл. Excel $f_x$ функцийн шидтэний HYPERGEOMET статистик функц нь тодорхой тооны туршилт амжилттай болох магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог.
$f_x\to $ статистик$\to$ ГИПЕРГЕОМЕТ$\to$ БОЛЖ БАЙНА УУ. Та бөглөх шаардлагатай харилцах цонх гарч ирнэ. График дээр Дээжийн_амжилтын_тоо$k$-ын утгыг зааж өгнө. дээжийн_хэмжээ$n$-тай тэнцэнэ. График дээр Хүн амын_амжилтын_тоо$m$-ын утгыг зааж өгнө. Хүн амын_хэмжээдоллар N$-тай тэнцэнэ.
Геометрийн тархалтын хуульд хамаарах $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) байна. (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over(N-1))$.
Жишээ . Тус банкны зээлийн хэлтэст санхүүгийн дээд боловсролтой 5, хууль зүйн дээд боловсролтой 3 мэргэжилтэн ажиллаж байна. Банкны удирдлага санамсаргүй байдлаар сонгон 3 мэргэжилтэнг ахисан түвшний сургалтад явуулахаар болсон.
a) Ахисан түвшний сургалтад чиглүүлэх боломжтой санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтнүүдийн тоог цувралаар гаргах;
б) Энэ тархалтын тоон шинж чанарыг ол.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь сонгогдсон 3 хүний дундаас санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтнүүдийн тоо гэж үзье. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$-ын авч чадах утгууд. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь гипергеометрийн тархалтын дагуу дараах параметрүүдээр хуваарилагдана: $N=8$ - популяцийн хэмжээ, $m=5$ - популяцийн амжилтын тоо, $n=3$ - түүврийн хэмжээ, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - түүврийн амжилтын тоо. Дараа нь $P\left(X=k\right)$ магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолж болно: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ гаруй C_( N)^(n) ) $. Бидэнд байгаа:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\(56))\ойролцоогоор 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\(56))\ойролцоогоор 0.268;$
$P\зүүн(X=2\баруун)=((C^2_5\cdot C^1_3)\(C^3_8))=((15)\(28))\ойролцоогоор 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\(28))\ойролцоогоор 0.179.$
Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(массив)$
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг $X$-ын дагуу тооцоолъё ерөнхий томъёогипергеометрийн тархалт.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\(8)-аас дээш)=1,875.$
$D\зүүн(X\баруун)=((нм\зүүн(1-((м)\(N))\баруун)\зүүн(1-((n)\(N))\баруун)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\(8) ))\баруун))\(8-1))=((225)\(448))\ойролцоогоор 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ойролцоогоор 0.7085.$
Тодорхойлолт 1
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүний утгуудын багц хязгааргүй эсвэл хязгаарлагдмал боловч тоолж болохуйц байвал дискрет (тасралтгүй) гэж нэрлэдэг.
Өөрөөр хэлбэл, утгыг нь тоолж болох юм бол хэмжигдэхүүнийг салангид гэж нэрлэдэг.
Та тархалтын хуулийг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлж болно.
$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг өсөх дарааллаар, хоёр дахь мөрөнд харгалзах магадлалыг зааж өгсөн болно. Эдгээр утгуудаас:
Зураг 1.
Энд $p1+ p2+ ... + pn = 1$.
Энэ хүснэгт нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ойролцоо.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ цуваа нийлж, нийлбэр нь $1$-тэй тэнцүү байна.
$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болох бөгөөд үүний тулд координатын системд (тэгш өнцөгт) байгуулдаг. эвдэрсэн шугам, $(xi;pi), i=1,2, ... n$ координаттай цэгүүдийг дараалан холбодог. Дуудсан шугам түгээлтийн полигон.
Зураг 2.
$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мөн аналитик байдлаар (томъёог ашиглан) төлөөлж болно.
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.
Дискрет магадлал дээрх үйлдлүүд
Магадлалын онолын олон асуудлыг шийдвэрлэхдээ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тогтмол тоогоор үржүүлэх, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэмэх, үржүүлэх, зэрэгт хүргэх үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай. Эдгээр тохиолдолд санамсаргүй дискрет хувьсагчийн хувьд дараах дүрмийг баримтлах шаардлагатай.
Тодорхойлолт 3
Үржүүлэх замаардискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ тогтмол $K$ нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $Y=KX,$ нь тэгшитгэлээс шалтгаална: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\баруун)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$
Тодорхойлолт 4
$x$ ба $y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дууддаг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь хоёр дахь утгыг олж авсан боломжит утгуудаас хамаарахгүй бол.
Тодорхойлолт 5
нийлбэр$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=X+Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээс үүдэлтэй: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\баруун)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $ P \ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.
Тодорхойлолт 6
Үржүүлэх замаар$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=XY санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээс үүдэлтэй: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.
Зарим $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ бүтээгдэхүүнүүд хоорондоо тэнцүү байж болохыг анхаарцгаая. Энэ тохиолдолд бүтээгдэхүүнийг нэмэх магадлал нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл, хэрэв $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ тэгвэл $x_2y_3$ (эсвэл ижил $x_5y_7$) магадлал $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7-тэй тэнцүү байх болно. .$
Дээрх хэмжээ нь мөн адил хамаарна. Хэрэв $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6, $ бол $x_1+\ y_2$ (эсвэл ижил $x_4+\ y_6$) магадлал $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6 болно.$
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ болон $Y$ нь тархалтын хуулиар өгөгдсөн байг.
Зураг 3
$p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Дараа нь $X+Y$ нийлбэрийн тархалтын хууль дараах байдалтай байна.
Зураг 4
Мөн $XY$ бүтээгдэхүүний хуваарилалтын хууль нь хэлбэртэй байх болно
Зураг 5
түгээлтийн функц
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тодорхойлолтыг мөн тархалтын функцээр өгдөг.
Геометрийн хувьд тархалтын функцийг $X$ цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр бодит шулуун дээр дүрслэгдсэн утгыг $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлал гэж тайлбарладаг.
