Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлж болно. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн. дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

ТАРХАЛТ, ОНЦЛОГИЙН ХУУЛЬ

Санамсаргүй хувьсагчид

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн ангилал, тайлбарлах аргууд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох боловч аль нь урьдчилж мэдэгддэггүй хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд та зөвхөн утгыг зааж өгөх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь туршилтын үр дүнд авах нь гарцаагүй. Дараа нь бид эдгээр утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд гэж нэрлэх болно. Учир нь санамсаргүй утгатуршилтын санамсаргүй үр дүнг тоон байдлаар тодорхойлдог тул үүнийг гэж үзэж болно тоон шинж чанарсанамсаргүй үйл явдал.

Санамсаргүй хувьсагчдыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр, жишээлбэл, X..Y..Z, тэдгээрийн боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.

Гурван төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн байдаг:

Салангид; Үргэлжилсэн; Холимог.

ДискретЭнэ нь боломжит утгуудын тоо нь тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Хариуд нь элементүүдийг дугаарлаж болох олонлогийг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг. "Дискрет" гэдэг үг нь "тасралтгүй, бүрдсэн" гэсэн утгатай латин хэлнээс гаралтай. бие даасан хэсгүүд» .

Жишээ 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь n бүтээгдэхүүний багц дахь гэмтэлтэй X хэсгийн тоо юм. Үнэн хэрэгтээ энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь 0-ээс n хүртэлх бүхэл тоонуудын цуваа юм.

Жишээ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бай руу эхний цохилтоос өмнөх шидэлтийн тоо юм. 1-р жишээн дээрх шиг боломжит утгуудыг дугаарлаж болно, гэхдээ хязгаарлагдмал тохиолдолд боломжит утга нь хязгааргүй их тоо юм.

ҮргэлжилсэнЭнэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд боломжит утгууд нь тоон тэнхлэгийн тодорхой интервалыг байнга дүүргэдэг бөгөөд заримдаа энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх интервал гэж нэрлэгддэг. Тиймээс аливаа хязгаарлагдмал интервал дээр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй их байна.

Жишээ 3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь аж ахуйн нэгжийн сарын цахилгаан эрчим хүчний хэрэглээ юм.

Жишээ 4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өндөр хэмжигч ашиглан өндрийг хэмжихэд гарсан алдаа юм. Өндөр хэмжигчний ажиллах зарчмаас алдаа нь 0-ээс 2 м-ийн мужид оршдогийг мэдье.Иймд энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний оршин байх интервал нь 0-ээс 2 м хүртэлх интервал юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тоон тэнхлэг дээр түүний боломжит утгыг зааж, тархалтын хуулийг тогтоосон тохиолдолд бүрэн тодорхойлогдсон гэж үзнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгөгдсөн хуулийн дагуу эсвэл өгөгдсөн тархалтын хуулийн дагуу тархсан гэж хэлдэг. Хэд хэдэн магадлал, тархалтын функц, магадлалын нягтрал, шинж чанарын функцийг тархалтын хууль болгон ашигладаг.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн магадлалын тодорхойлолтыг өгдөг. Тархалтын хуулийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд аль нь илүү, аль нь бага гарч ирэхийг туршилтын өмнө шүүж болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр, аналитик (томьёоны хэлбэрээр) болон график хэлбэрээр тодорхойлж болно.

Хамгийн энгийн хэлбэрДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг өсөх дарааллаар жагсаасан хүснэгт (матриц) юм.

Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг. 1

Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x 1, x 2,... x n утгыг авахаас бүрдэх X 1, X 2,..., X n үйл явдлууд юм. Тохиромжгүй, цорын ганц боломжтой (хүснэгт санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг жагсаасан тул), өөрөөр хэлбэл. бүрэн бүлэг бүрдүүлнэ. Иймд тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.Иймээс аливаа дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд

(Энэ нэгж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын хооронд ямар нэгэн байдлаар тархсан байдаг тул "тархалт" гэсэн нэр томъёо).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, тэдгээрийн харгалзах магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурвал тархалтын цувааг графикаар дүрсэлж болно. Олж авсан цэгүүдийн холболт нь магадлалын тархалтын олон өнцөгт эсвэл олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг тасархай шугамыг үүсгэдэг (Зураг 1).

ЖишээСугалаанд: 5000 денийн үнэтэй машин багтсан. нэгж, 250 денийн үнэтэй 4 зурагт. нэгж, 200 денийн үнэ бүхий 5 видео бичигч. нэгж Нийт 1000 тасалбар 7 хоногийн турш худалдаалагдаж байна. нэгж Нэг тасалбар худалдаж авсан сугалаанд оролцогчийн авсан цэвэр хожлыг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд - нэг тасалбарын цэвэр ялалт нь 0-7 = -7 мөнгөтэй тэнцүү байна. нэгж (хэрэв тасалбар хожоогүй бол), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. нэгж (хэрэв тасалбар нь видеомагнитофон, зурагт эсвэл автомашины хожилтой бол). 1000 тасалбараас хожоогүй хүмүүсийн тоо 990, заасан хожил нь 5, 4, 1 гэдгийг харгалзан магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан бид олж авна.

Тодорхойлолт 1

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүний утгуудын багц хязгааргүй эсвэл хязгаарлагдмал боловч тоолж болохуйц байвал дискрет (тасралтгүй) гэж нэрлэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, утгыг нь дугаарлах боломжтой бол хэмжигдэхүүнийг салангид гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлж болно.

$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр зааж өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудыг өсөх дарааллаар зааж, хоёр дахь мөрөнд эдгээрийн харгалзах магадлалыг агуулна. үнэ цэнэ:

Зураг 1.

Энд $р1+ р2+ ... + рn = 1$ байна.

Энэ хүснэгт нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ойролцоо.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ цуваа нийлж, түүний нийлбэр $1$-тэй тэнцүү байна.

$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болох бөгөөд үүний тулд a эвдэрсэн шугам, $(xi;pi), i=1,2, ... n$ координаттай цэгүүдийг дараалан холбодог. Бидний авсан шугамыг нэрлэдэг түгээлтийн полигон.

Зураг 2.

$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мөн аналитик байдлаар (томъёог ашиглан) төлөөлж болно.

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Дискрет магадлал дээрх үйлдлүүд

Магадлалын онолын олон асуудлыг шийдвэрлэхдээ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тогтмол тоогоор үржүүлэх, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэмэх, үржүүлэх, зэрэгт орлуулах үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай. Эдгээр тохиолдолд санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд дараах дүрмийг баримтлах шаардлагатай.

Тодорхойлолт 3

Үржүүлэхдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ тогтмол $K$ нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $Y=KX,$ тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ зүүн(x_i\баруун)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Тодорхойлолт 4

$x$ ба $y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дууддаг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь олж авсан хоёр дахь хэмжигдэхүүний боломжит үнэ цэнээс хамаарахгүй бол.

Тодорхойлолт 5

Дүн$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=X+Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\баруун)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $ P \ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.

Тодорхойлолт 6

Үржүүлэх$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=XY санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.

Зарим $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ бүтээгдэхүүнүүд хоорондоо тэнцүү байж болохыг анхаарцгаая. Энэ тохиолдолд бүтээгдэхүүнийг нэмэх магадлал нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, хэрэв $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ тэгвэл $x_2y_3$ (эсвэл ижил $x_5y_7$) магадлал $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7-тэй тэнцүү байх болно. .$

Дээрх хэмжээ нь мөн адил хамаарна. Хэрэв $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6, $ бол $x_1+\ y_2$ (эсвэл ижил $x_4+\ y_6$) магадлал $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6-тай тэнцүү байх болно. доллар

$X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг түгээлтийн хуулиар тодорхойлсон:

Зураг 3.

$p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Дараа нь $X+Y$ нийлбэрийн тархалтын хууль хэлбэртэй байна.

Зураг 4.

Мөн $XY$ бүтээгдэхүүний хуваарилалтын хууль нь хэлбэртэй байх болно

Зураг 5.

Түгээлтийн функц

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тодорхойлолтыг мөн тархалтын функцээр өгдөг.

Геометрийн хувьд тархалтын функцийг $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $x$ цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тоон шулуун дээр дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал гэж тайлбарладаг.

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

Удирдамж

Захидлын боловсролын нягтлан бодох бүртгэлийн факультетийн (NISPO) оюутнуудын "Санамсаргүй хувьсагч" сэдвийг судлах

Горки, 2013 он

Санамсаргүй хувьсагч

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол үзэл баримтлал юм санамсаргүй хувьсагч . Санамсаргүй хувьсагч нь туршилтын үр дүнд олон боломжит утгаасаа зөвхөн нэгийг нь авдаг хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгддэггүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг салангид ба тасралтгүй . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (DRV) Энэ нь бие биенээсээ тусгаарлагдсан хязгаарлагдмал тооны утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. хэрэв энэ хэмжигдэхүүний боломжит утгыг дахин тооцоолох боломжтой бол. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн (CNV) Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд бүх боломжит утгууд нь тооны шугамын тодорхой интервалыг бүрэн дүүргэдэг.

Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн X, Y, Z гэх мэт том үсгээр тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэнэ.

Бичлэг
"санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал" гэсэн үг X 0.28-тай тэнцэх 5 утгыг авна.”

Жишээ 1 . Шоог нэг удаа шиднэ. Энэ тохиолдолд онооны тоог харуулсан 1-ээс 6 хүртэлх тоо гарч ирж болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(өнхрүүлсэн онооны тоо). Туршилтын үр дүнд энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 гэсэн зургаан утгын зөвхөн нэгийг нь авч болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн X DSV байна.

Жишээ 2 . Чулуу шидэхэд тодорхой зайг туулдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(чулуун нислэгийн зай). Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой интервалаас зөвхөн нэг утгыг авч болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн X NSV байдаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь авч болох утга, эдгээр утгыг авах магадлалаар тодорхойлогддог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын хамаарлыг нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль .

Хэрэв бүх боломжит утгууд мэдэгдэж байвал
санамсаргүй хувьсагч Xболон магадлал
Эдгээр утгуудын харагдах байдал, дараа нь DSV-ийн тархалтын хууль гэж үздэг Xмэдэгдэж байгаа бөгөөд хүснэгт хэлбэрээр бичиж болно:

Хэрэв цэгүүдийг тэгш өнцөгт координатын системд дүрсэлсэн бол DSV тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болно.
,
, …,
ба тэдгээрийг шулуун шугамын сегментүүдээр холбоно. Үүссэн дүрсийг тархалтын олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Жишээ 3 . Цэвэрлэх зориулалттай үр тариа нь 10% хогийн ургамал агуулдаг. 4 үр тариаг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(сонгосон дөрвөн дундах хогийн ургамлын тоо). DSV түгээлтийн хуулийг бий болгох Xба түгээлтийн полигон.

Шийдэл . Жишээ нөхцөлийн дагуу. Дараа нь:

DSV X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр бичиж, тархалтын олон өнцөгт байгуулъя.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн чухал шинж чанаруудыг шинж чанараар нь тодорхойлдог. Эдгээр шинж чанаруудын нэг нь хүлээгдэж буй үнэ цэнэ санамсаргүй хувьсагч.

DSV түгээлтийн хуулийг мэддэг байг X:

Математикийн хүлээлт DSV XЭнэ хэмжигдэхүүний утга тус бүрийн бүтээгдэхүүний нийлбэр ба харгалзах магадлал:
.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний бүх утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Тиймээс практик бодлогод энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгыг ихэвчлэн математикийн хүлээлт болгон авдаг.

Жишээ 8 . Буудагч 0.1, 0.45, 0.3, 0.15 магадлалаар 4, 8, 9, 10 оноо авдаг. Нэг удаагийн цохилтоор онооны тооны математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(оноо авсан онооны тоо). Дараа нь . Тиймээс нэг цохилтоор авсан онооны дундаж тоо 8.2, 10 цохилтоор 82 оноо авсан байна.

Үндсэн шинж чанарууд математикийн хүлээлтнь:

.

.

, Хаана
,
.

.

, Хаана XТэгээд Юбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

Ялгаа
дуудсан хазайлт санамсаргүй хувьсагч Xтүүний математик хүлээлтээс. Энэ ялгаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний математикийн хүлээлт нь тэг, i.e.
.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохын тулд бид математикийн хүлээлтээс гадна ашигладаг тархалт , энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд утгуудын тархалтыг (тархалтыг) тооцоолох боломжийг олгодог. Математикийн хүлээлттэй ижил төстэй хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг харьцуулахдаа "хамгийн сайн" утгыг тархалт багатай гэж үзнэ, өөрөөр хэлбэл. бага тархалт.

Зөрчил санамсаргүй хувьсагч Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт гэнэ: .

Практик асуудлуудад дисперсийг тооцоолоход эквивалент томьёог ашигладаг.

Дисперсийн үндсэн шинж чанарууд нь:

.

Санамсаргүй хувьсагч -аас хамааран тодорхой утгыг авах боломжтой хувьсагч юм янз бүрийн нөхцөл байдал, мөн эргээд санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дууддаг салангид , хэрэв түүний утгуудын багц нь хязгаарлагдмал эсвэл тоолох боломжтой бол.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээс гадна тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бас байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзье. Практикт тодорхой утгыг авч болох хэмжигдэхүүнүүд ихэвчлэн байдаг ч авч үзэж буй туршлага, үзэгдэл, ажиглалтад тэдгээр нь тус бүр ямар үнэ цэнийг авахыг найдвартай таамаглах боломжгүй юм. Жишээлбэл, дараагийн өдөр Москвад төрөх хөвгүүдийн тоо өөр байж болно. Энэ нь тэгтэй тэнцүү байж болно (нэг ч хүү төрөхгүй: бүх охид төрөх эсвэл шинэ төрсөн хүүхэд огт төрөхгүй), нэг, хоёр гэх мэт төгсгөлтэй тоо гарах хүртэл байж болно. n. Ийм утгууд нь: талбай дээрх чихрийн нишингийн үндэс, их бууны нисэх зай, багц дахь гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоо гэх мэт. Бид ийм хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй гэж нэрлэх болно. Эдгээр нь туршлага эсвэл ажиглалтын бүх боломжит үр дүнг тоон үүднээс тодорхойлдог.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ Хязгаарлагдмал тооны утгууд нь өдрийн туршид төрсөн хүүхдийн тоо байж болно нутаг дэвсгэр, автобусны зорчигчдын тоо, өдөрт Москвагийн метрогоор тээвэрлэсэн зорчигчдын тоо гэх мэт.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тоо нь хязгааргүй, гэхдээ тоолж болох олонлог байж болно. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд тэдгээрийг ямар нэг дарааллаар дугаарлаж болно, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын хооронд нэг нэгээр нь захидал харилцааг тогтоож болно. натурал тоонууд 1, 2, 3, ..., n.

Анхаар: магадлалын онолын шинэ, маш чухал ойлголт - хуваарилалтын хууль . Болъё Xхүлээн зөвшөөрч болно nүнэт зүйлс: . Бид бүгд өөр өөр (өөрөөр бол ижил хүмүүсийг нэгтгэх хэрэгтэй) бөгөөд өсөх дарааллаар байрлуулсан гэж бид таамаглах болно. Учир нь бүрэн шинж чанардискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн зөвхөн түүний бүх утгыг төдийгүй магадлалыг зааж өгөх ёстой , түүгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утга тус бүрийг авдаг, i.e. .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль аливаа дүрэм (функц, хүснэгт) дуудагдана х(x), энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой бүх төрлийн үйл явдлын магадлалыг олох боломжийг олгодог (жишээлбэл, энэ нь ямар нэг утгын жишээ байх эсвэл зарим интервалд орох магадлал).

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах хүснэгтийн хэлбэрээр тогтоох нь хамгийн энгийн бөгөөд тохиромжтой.

Утга			...
Магадлал			...

Энэ хүснэгтийг нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ойролцоо. Тархалтын цувралын дээд мөрөнд салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний (x) бүх боломжит утгуудыг өсөх дарааллаар жагсаасан ба доод мөрөнд эдгээр утгуудын магадлалыг ( х).

Үйл явдал нийцэхгүй бөгөөд цорын ганц боломжтой: тэдгээр нь үйл явдлын бүрэн системийг бүрдүүлдэг. Тиймээс тэдний магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.

.

Жишээ 1.Оюутны бүлэгт сугалаа зохион байгууллаа. 1000 рублийн үнэтэй хоёр зүйлийг худалдаж авах боломжтой. нэг нь 3000 рублийн үнэтэй. Нэг тасалбарыг 100 рублиэр худалдаж авсан оюутны цэвэр хожлын хэмжээг хуваарилах хуулийг гарга. Нийт 50 тасалбар зарагдсан.

Шийдэл. Бидний сонирхож буй санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол Xгурван утгыг авч болно: - 100 урэх. (хэрэв оюутан ялаагүй, гэхдээ тасалбарын төлбөрт төлсөн 100 рубль алдвал), 900 рубль. ба 2900 рубль. (бодит ялалт нь 100 рубль - тасалбарын үнээр буурсан). Эхний үр дүн 50-аас 47 удаа, хоёр дахь нь 2, гурав дахь нь нэг байна. Тиймээс тэдний магадлал нь: П(X=-100)=47/50=0,94 , П(X=900)=2/50=0,04 , П(X=2900)=1/50=0,02 .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xшиг харагдаж байна

Ялалтын хэмжээ	-100	900	2900
Магадлал	0,94	0,04	0,02

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц: барилга

Тархалтын цувааг зөвхөн салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнд зориулж байгуулж болно (дискрет бус санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд үүнийг бүтээх боломжгүй, хэрэв ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багцыг тоолох боломжгүй бол тэдгээрийг дээд хэсэгт жагсаах боломжгүй бол) хүснэгтийн эгнээ).

Бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд (дискрет ба салангид бус) тохиромжтой тархалтын хуулийн хамгийн ерөнхий хэлбэр нь тархалтын функц юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцэсвэл интеграл функцфункц гэж нэрлэдэг , энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлалыг тодорхойлдог Xхязгаарын утгаас бага буюу тэнцүү байна X.

Аливаа салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь тасалдалтай алхам функц бөгөөд түүний үсрэлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудтай харгалзах цэгүүдэд тохиолддог бөгөөд эдгээр утгуудын магадлалтай тэнцүү байна.

Жишээ 2.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X- шидэх үед буурсан онооны тоо шоо. Түүний тархалтын функцийг тооцоол.

Шийдэл. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа Xхэлбэртэй байна:

Утга	1	2	3	4	5	6
Магадлал	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Түгээлтийн функц Ф(x) нь 1/6 хэмжээтэй тэнцүү 6 үсрэлттэй (доорх зурагт).

Жишээ 3.Цүнхэнд 6 цагаан, 4 хар бөмбөг байна. Урдаас 3 бөмбөг сугалж авдаг. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дундах цагаан бөмбөгний тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Түүнд тохирсон хуваарилалтын хуулийг гарга.

X 0, 1, 2, 3 утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг ашиглан хамгийн хялбар тооцоолж болно. магадлалыг үржүүлэх дүрэм. Бид дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын дараах хуулийг олж авна.

Утга	0	1	2	3
Магадлал	1/30	3/10	1/2	1/6

Жишээ 4.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гаргана уу - нэг цохилтоор онох магадлал 0.1 бол байг дөрвөн цохилтоор онох тоо.

Шийдэл. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн таван өөр утгыг авч болно. Бид харгалзах магадлалыг ашиглан олдог. Бернуллигийн томъёо . At

n = 4 ,

х = 1,1 ,

q = 1 - х = 0,9 ,

м = 0, 1, 2, 3, 4

бид авдаг

Улмаар дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xшиг харагдаж байна

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлалыг Бернулли томъёогоор тодорхойлж чадвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах байдалтай байна. бином тархалт .

Хэрэв туршилтын тоо хангалттай их байвал эдгээр туршилтуудад сонирхолтой тохиолдол гарах магадлал өндөр байна мудаа, хуулийг дагаж мөрддөг Пуассоны тархалт .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц: тооцоо

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг тооцоолох Ф(X), хилийн утгаас бага буюу тэнцүү байгаа бүх утгуудын магадлалыг нэмэх шаардлагатай. X.

Жишээ 5.Хүснэгтэд жилийн хугацаанд салсан гэрлэлтийн тоо нь гэрлэлтийн үргэлжлэх хугацаанаас хамаарч байгааг харуулж байна. Дараагийн салсан гэрлэлт 5 жилээс бага буюу тэнцүү жил үргэлжилсэн байх магадлалыг ол.

Гэрлэлтийн үргэлжлэх хугацаа (жил)	Тоо	Магадлал	Ф(x)
0	10	0,002	0,002
1	80	0,013	0,015
2	177	0,029	0,044
3	209	0,035	0,079
4	307	0,051	0,130
5	335	0,056	0,186
6	358	0,060	0,246
7	413	0,069	0,314
8	432	0,072	0,386
9	402	0,067	0,453
10 ба түүнээс дээш	3287	0,547	1,000
Нийт	6010	1

Шийдэл. Магадлалыг харгалзах салсан гэрлэлтийн тоог хувааж тооцдог нийт тоо 6010. Дараагийн салсан гэрлэлт 5 жил үргэлжилсэн байх магадлал 0.056. Дараагийн салсан гэрлэлтийн үргэлжлэх хугацаа 5 жилээс бага буюу тэнцүү байх магадлал 0.186 байна. Бид үүнийг үнэ цэнийг нэмснээр олж авсан Ф(x) 4 жилийн хугацаатай гэрлэлтийн хувьд, 5 жилийн хугацаатай гэрлэлтийн магадлал.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль ба математикийн хүлээлт ба дисперсийн хоорондын хамаарал

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд ихэвчлэн мэдэгддэггүй, гэхдээ цувралын зарим утга эсвэл магадлалыг мэддэг, түүнчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба (эсвэл) дисперс, үүнд тусдаа хичээл зориулагдсан болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг гаргахад тус болох энэ хичээлээс зарим томъёог энд толилуулж, ийм асуудлыг шийдвэрлэх жишээг харцгаая.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба эдгээр утгуудын магадлал юм.

(1)

Тодорхойлолтоор салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн томъёо нь:

Ихэнхдээ дараахь тархалтын томъёо нь тооцоололд илүү тохиромжтой байдаг.

, (2)

Хаана .

Жишээ 6.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоёр утгыг авч болно. Энэ нь магадлал бүхий бага утгыг авдаг х= 0.6. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол X, хэрэв түүний математик хүлээлт ба дисперс нь мэдэгдэж байгаа бол .

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн илүү их утгыг авах магадлал x2 , нь 1 − 0.6 = 4-тэй тэнцүү байна. Математикийн хүлээлтийн томъёог (1) ашиглан бид үл мэдэгдэх нь бидний салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд болох тэгшитгэлийг үүсгэдэг.

Тархалтын томъёог (2) ашиглан бид үл мэдэгдэх нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд болох өөр нэг тэгшитгэлийг үүсгэдэг.

Олж авсан хоёр тэгшитгэлийн систем

орлуулах аргаар шийдвэрлэх. Эхний тэгшитгэлээс бид олж авдаг

Энэ илэрхийлэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид энгийн хувиргалтуудыг олж авна квадрат тэгшитгэл

,

7/5 ба −1 гэсэн хоёр үндэстэй. Эхний үндэс нь асуудлын нөхцөлийг хангадаггүй тул x2 < x 1 . Тиймээс салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн авч болох утгууд Xбидний жишээний нөхцлийн дагуу тэнцүү байна x1 = −1 Тэгээд x2 = 2 .