Давтан бие даасан туршилтын схем. Бернулли томъёо. Бернулли схем. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Давтан бие даасан туршилтуудыг Бернуллигийн туршилт гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв туршилт бүр зөвхөн хоёр боломжит үр дагавартай бөгөөд үр дүнгийн магадлал бүх туршилтын хувьд ижил хэвээр байвал.

Ихэвчлэн эдгээр хоёр үр дүнг "амжилт" (S) эсвэл "бүтэлгүйтэл" (F) гэж нэрлэдэг бөгөөд харгалзах магадлалыг тэмдэглэдэг. хболон q. Энэ нь ойлгомжтой х 0, q³ 0 ба х+q=1.

Туршилт бүрийн энгийн үйл явдлын орон зай нь Y ба H хоёр үйл явдлаас бүрдэнэ.

Энгийн үйл явдлын орон зай nБернуллигийн туршилтууд Ω 2 агуулсан nдараалал (гинж) болох анхан шатны үйл явдлууд n Y ба H тэмдэг. Энгийн үзэгдэл бүр нь дарааллын боломжит үр дүнгийн нэг юм nБернуллигийн туршилтууд. Туршилтууд нь бие даасан байдаг тул үржүүлэх теоремын дагуу магадлалыг үржүүлдэг, өөрөөр хэлбэл аливаа тодорхой дарааллын магадлал нь U ба H тэмдэгтүүдийг сольж олж авсан бүтээгдэхүүн юм. хболон qтус тус, жишээ нь: Р( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Бернулли тестийн үр дүнг ихэвчлэн 1 ба 0-ээр тэмдэглэж, дарааллаар нь анхан шатны үйл явдлыг тэмдэглэдэг болохыг анхаарна уу. nБернулли тестүүд - тэг ба нэгээс бүрдсэн гинж байдаг. Жишээ нь:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Бернуллигийн туршилт бол магадлалын онолд авч үзсэн хамгийн чухал схем юм. Энэхүү схемийг Швейцарийн математикч Ж.Бернулли (1654-1705) нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр энэ загварыг өөрийн бүтээлүүддээ гүнзгийрүүлэн судалжээ.

Энд бидний сонирхох гол асуудал бол энэ үйл явдлын магадлал хэд вэ nБернуллигийн шүүх хурал болсон мамжилт?

Хэрэв эдгээр нөхцөл хангагдсан бол бие даасан туршилтын явцад үйл явдал болох магадлал яг ажиглагдах болно м удаа (ямар туршилт хийхээс үл хамааран) тодорхойлогддог Бернулли томъёо:

(21.1)

хаана - үүсэх магадлал шалгалт бүрт, мөн
Энэ нь тухайн туршлагад үйл явдал тохиолдох магадлал юм Болоогүй.

Хэрэв бид авч үзвэл П n (м)функц болгон м, дараа нь магадлалын тархалтыг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг бином гэж нэрлэдэг. Энэ харилцааг судалж үзье П n (м)-аас м, 0£ м£ n.

Хөгжил Бм ( м = 0, 1, ..., n) бүрдэнэ янз бүрийн тооүйл явдлын тохиолдлууд ГЭХДЭЭ in nтестүүд нь таарахгүй бөгөөд бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг. Үүний үр дүнд,
.

Харьцааг авч үзье:

=
=
=
.

Тиймээс үүнийг дагадаг П n (м+1)>П n (м),хэрэв (n- м) х> (m+1)q, өөрөөр хэлбэл функц П n (м) нэмэгддэг бол м< np- q. Үүний нэгэн адил, П n (м+1)< П n (м),хэрэв (n- м) х< (m+1)q, өөрөөр хэлбэл П n (м)буурдаг бол м> np- q.

Тиймээс тоо бий м 0, энэ үед П n (м)хамгийн дээд үнэ цэнэдээ хүрдэг. Олъё м 0 .

Тооны утгын дагуу мБидэнд 0 байна П n (м 0)³ П n (м 0 -1) ба П n (м 0) ³ П n (м 0 +1), тиймээс

, (21.2)

. (21.3)

(21.2) ба (21.3) тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх м 0, бид дараахыг авна:

х/ м 0 ³ q/(n- м 0 +1) Þ м 0 £ np+ х,

q/(n- м 0 ) ³ х/(м 0 +1) Þ м 0 ³ np- q.

Тиймээс хүссэн тоо м 0 нь тэгш бус байдлыг хангадаг

np- q£ м 0 £ np+p. (21.4)

Учир нь х+q=1, тэгвэл (21.4) тэгш бусаар тодорхойлогдсон интервалын урт нь нэгтэй тэнцүү ба хамгийн багадаа нэг бүхэл тоо байна. м 0 тэгш бус байдлыг хангах (21.4):

1) хэрэв np - qбүхэл тоо бол хоёр утга байна м 0, тухайлбал: м 0 = np - qболон м 0 = np - q + 1 = np + х;

2) хэрэв np - q- бутархай, тэгвэл нэг тоо байна м 0 , тухайлбал дундах цорын ганц бүхэл тоо бутархай тоотэгш бус байдлаас олж авсан (21.4);

3) хэрэв npбүхэл тоо бол нэг тоо байна м 0, тухайлбал м 0 = np.

Тоо м 0-ийг үйл явдлын хамгийн их магадлалтай буюу хамгийн их магадлалтай утга (тоо) гэж нэрлэдэг Ацувралаар nбие даасан туршилтууд.

Энэ хичээлээр бид туршилтыг давтан хийх үед бие даасан туршилтын явцад тохиолдох үйл явдлын магадлалыг олох болно. . Туршилт бүрийн нэг буюу өөр үр дүнгийн магадлал нь бусад туршилтуудын үр дүнгээс хамаарахгүй бол туршилтыг бие даасан гэж нэрлэдэг. . Бие даасан туршилтыг ижил нөхцөлд болон өөр өөр нөхцөлд хийж болно. Эхний тохиолдолд бүх шүүх хуралдаанд тохиолдох үйл явдлын магадлал ижил байдаг бол хоёр дахь тохиолдолд шүүх хурал болгонд харилцан адилгүй байдаг.

Бие даасан дахин шалгалтын жишээ :

• төхөөрөмжийн зангилааны нэг буюу хоёр, гурван зангилаа бүтэлгүйтэх ба зангилаа тус бүрийн эвдрэл нь нөгөө зангилаанаас хамаардаггүй бөгөөд нэг зангилааны эвдрэлийн магадлал бүх туршилтанд тогтмол байдаг;
• Технологийн тодорхой нөхцөлд үйлдвэрлэсэн хэсэг буюу гурав, дөрөв, таван хэсэг нь стандарт бус болж хувирах ба нэг хэсэг нь бусад хэсгээс үл хамааран стандарт бус болж хувирах ба уг эд анги нь стандарт бус болох нь бүх туршилтанд тогтмол байдаг;
• бай руу хэд хэдэн сум хийснээс бусад буудлагын үр дүнгээс үл хамааран нэг, гурав, дөрвөн сум оносон бөгөөд бүх сорилтод бай онох магадлал тогтмол байдаг;
• зоос оруулах үед машин нь өөр ямар зоос оруулсан эсэхээс үл хамааран нэг, хоёр эсвэл өөр олон удаа зөв ажиллах бөгөөд машин зөв ажиллах магадлал бүх туршилтанд тогтмол байна.

Эдгээр үйл явдлыг нэг схемээр дүрсэлж болно. Туршилт бүрт үйл явдал бүр ижил магадлалаар тохиолддог бөгөөд өмнөх туршилтуудын үр дүн тодорхой болсон тохиолдолд энэ нь өөрчлөгдөхгүй. Ийм туршилтыг бие даасан гэж нэрлэдэг бөгөөд схемийг нэрлэдэг Бернулли схем . Ийм туршилтыг өөрийн үзэмжээр давтаж болно гэж үздэг. олон тоонынэг удаа.

Хэрэв магадлал бол хүйл явдал АТуршилт бүрт тогтмол байдаг бол магадлал nбие даасан туршилтын үйл явдал Аирнэ мудаа, дээр байрладаг Бернулли томъёо :

(хаана q= 1 – х- үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал)

Ийм төрлийн үйл явдал тохиолдох магадлалыг олох даалгавар өгье nбие даасан шүүх хурал ирнэ мнэг удаа.

Бернулли томъёо: асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1Хэсэг бүр стандарт байх магадлал 0.9 байвал санамсаргүй байдлаар сонгосон таван хэсгээс хоёр нь стандарт байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭ, санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь стандарт байхаас бүрддэг х=0.9 , стандарт бус байх магадлал q=1–х=0.1 . Асуудлын нөхцөл байдалд заасан үйл явдал (бид үүнийг тэмдэглэнэ AT) жишээ нь эхний хоёр хэсэг нь стандарт, дараагийн гурав нь стандарт бус байвал тохиолддог. Гэхдээ үйл явдал ATмөн эхний болон гурав дахь хэсэг нь стандарт, бусад нь стандарт бус, эсвэл хоёр, тав дахь хэсэг нь стандарт, бусад нь стандарт бус байвал тохиолддог. Үйл явдал болох өөр боломжууд бий. AT. Тэдгээрийн аль нэг нь авсан таван хэсгээс хоёр нь таваас аль ч газрыг эзэлдэг нь стандарт болж хувирдаг гэдгээрээ онцлог юм. Үүний үр дүнд, нийт тооүйл явдал тохиолдох янз бүрийн боломжууд ATнь хоёр стандарт хэсгийг таван газарт байрлуулах боломжуудын тоотой тэнцүү, i.e. таван элементийн хослолын тоо хоёроор тэнцүү ба .

Магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу боломж бүрийн магадлал нь таван хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс стандарт хэсгүүдийн харагдах байдалд тохирсон хоёр нь 0.9, үлдсэн гурав нь бусдын харагдах байдалд тохирсон байна. -стандарт хэсгүүд, 0.1-тэй тэнцүү, i.e. энэ магадлал нь . Эдгээр арван боломж нь үл нийцэх үйл явдал тул нэмэх теоремоор үйл явдлын магадлал AT, үүнийг бид тэмдэглэж байна

Жишээ 2Машин нэг цагийн дотор ажилчны анхаарлыг татах магадлал 0.6 байна. Машинуудын эвдрэл нь бие даасан гэж үзвэл нэг цагийн турш түүний үйлчилгээ үзүүлдэг дөрвөн машины аль нэг нь ажилчдын анхаарлыг татах магадлалыг ол.

Шийдэл. Ашиглаж байна Бернуллигийн томъёоцагт n=4 , м=1 , х=0.6 ба q=1–х=0.4, бид авна

Жишээ 3Учир нь хэвийн үйл ажиллагааШугаман дээрх авто баазад дор хаяж 8 машин байх ёстой бөгөөд энэ нь арав байна. Машин бүр шугам руу гарахгүй байх магадлал 0.1-тэй тэнцүү байна. Дараагийн өдөр депо хэвийн ажиллах магадлалыг ол.

Шийдэл. Autobase сайн ажиллах болно (үйл явдал Ф) хэрэв эсвэл найм нь мөрөнд орох бол (үйл явдал ГЭХДЭЭ), эсвэл ес (үйл явдал AT), эсвэл бүх арван машины үйл явдал (үйл явдал C). Магадлалын нэмэх теоремын дагуу,

Бид нэр томъёо бүрийг олдог Бернулли томъёоны дагуу. Энд n=10 , м=8; 10 ба х\u003d 1-0.1 \u003d 0.9, оноос хойш хмашин шугамд орох магадлалыг илэрхийлэх ёстой; тэгээд q=0.1 . Үүний үр дүнд бид авдаг

Жишээ 4Хэрэглэгчид 41 размерын эрэгтэй гутал хэрэгтэй байх магадлалыг 0.25 гэж үзье. Зургаан худалдан авагчаас дор хаяж хоёрт нь 41 размерын гутал хэрэгтэй байх магадлалыг ол.

Товч онол

Магадлалын онол нь хязгааргүй олон удаа давтагдах (наад зах нь онолын хувьд) туршилтуудыг авч үздэг. Зарим туршилтыг нэг удаа давтаарай, давталт бүрийн үр дүн нь өмнөх давталтын үр дүнгээс хамаарахгүй. Ийм цуврал давталтыг бие даасан туршилт гэж нэрлэдэг. Ийм туршилтын онцгой тохиолдол бол Бернуллигийн бие даасан туршилтууд, эдгээр нь хоёр нөхцөлөөр тодорхойлогддог:

1) туршилт бүрийн үр дүн нь "амжилт" эсвэл "бүтэлгүйт" гэсэн хоёр боломжит үр дүнгийн нэг юм.

2) дараагийн сорилт бүрт "амжилтанд хүрэх" магадлал нь өмнөх туршилтуудын үр дүнгээс хамаарахгүй бөгөөд тогтмол хэвээр байна.

Бернуллигийн теорем

Хэрэв Бернуллигийн бие даасан цуврал туршилтууд хийгдсэн бөгөөд тус бүр нь "амжилт" нь магадлалын дагуу явагддаг бол туршилтын "амжилт" яг нэг удаа тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

бүтэлгүйтэх магадлал хаана байна.

- элементүүдийн хослолын тоо (комбинаторикийн үндсэн томъёог үзнэ үү)

Энэ томъёог гэж нэрлэдэг Бернулли томъёо.

Бернулли томьёо нь хангалттай олон тооны туршилтын тусламжтайгаар олон тооны тооцоолол - магадлалыг нэмэх, үржүүлэхээс ангижрах боломжийг олгодог.

Бернуллигийн туршилтын схемийг мөн binomial схем гэж нэрлэдэг ба харгалзах магадлалыг binomial гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь бином коэффициентийг ашиглахтай холбоотой юм.

Бернулли схемийн дагуу хуваарилалт нь ялангуяа үйл явдлын хамгийн их магадлалтай тоог олох боломжийг олгодог.

Туршилтын тоо бол nгайхалтай, дараа нь таашаал аваарай:

Асуудлыг шийдэх жишээ

Даалгавар

Тодорхой ургамлын үрийн соёололт 70% байна. Тариалсан 10 үрээс: 8, хамгийн багадаа 8 байх магадлал хэд вэ; дор хаяж 8?

Асуудлын шийдэл

Бернулли томъёог ашиглая:

Манай тохиолдолд

Үйл явдал - 10 үрээс 8 нь нахиалдаг.

Үйл явдлыг дор хаяж 8-аар нэмэгдүүлээрэй (энэ нь 8, 9 эсвэл 10 гэсэн үг)

Үйл явдлыг дор хаяж 8-аар нэмэгдүүлээрэй (энэ нь 8.9 ​​эсвэл 10 гэсэн үг)

Хариулт

Дундшийдлийн зардал хяналтын ажил 700 - 1200 рубль (гэхдээ бүх захиалгын хувьд 300 рубльээс багагүй). Үнэ нь шийдвэрийн яаралтай байдал (өдөрөөс хэдэн цаг хүртэл) хүчтэй нөлөөлдөг. Шалгалт / тестийн онлайн тусламжийн үнэ - 1000 рубльээс. тасалбарын шийдлийн хувьд.

Програмыг шууд чат дээр үлдээж, өмнө нь даалгаврын нөхцөл байдлаас татгалзаж, шийдвэрлэх эцсийн хугацааг танд мэдэгдэнэ. Хариу өгөх хугацаа хэдэн минут байна.

Давтан бие даасан туршилтын тодорхойлолт. Магадлал ба хамгийн их магадлалтай тоог тооцоолох Бернулли томъёо. Бернулли томьёоны асимптотик томьёо (локал ба интеграл, Лапласын теоремууд). Интеграл теоремыг ашиглах. Санамсаргүй тохиолдлын хувьд Пуассоны томъёо.

Давтан бие даасан туршилтууд

Практикт хүн давтан давтагдах тест хэлбэрээр илэрхийлэгдэж болох ийм даалгавруудыг даван туулах шаардлагатай болдог бөгөөд үүний үр дүнд А үйл явдал тохиолдож болно, үгүй ​​ч байж болно. Үүний зэрэгцээ, үр дүн нь тус бүрийн "хувь хүний ​​тест биш, харин нийттодорхой тооны туршилтын үр дүнд А үйл явдал тохиолдох. Ийм бодлогод n туршилтын үр дүнд А үйл явдлын аль ч m тоо гарах магадлалыг тодорхойлох чадвартай байх ёстой. Туршилтууд бие даасан байх ба туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал тогтмол байх тохиолдлыг авч үзье. Ийм туршилтыг нэрлэдэг давтагдсан бие даагчид.

Бие даасан туршилтын жишээ нь хэд хэдэн багцын аль нэгээс авсан бүтээгдэхүүний тохиромжтой эсэхийг шалгах явдал юм. Хэрэв эдгээр багцууд ижил хэмжээний согогтой бол сонгосон бүтээгдэхүүн нь тухайн тохиолдол бүрт гэмтэлтэй байх магадлал тогтмол байна.

Бернулли томъёо

Үзэл баримтлалыг ашиглацгаая хэцүү үйл явдал, энэ нь i -р тест дэх А үзэгдлийн харагдах ба харагдахгүй байдлаас бүрдэх хэд хэдэн энгийн үйл явдлын хослолыг хэлнэ. n бие даасан туршилт хийцгээе, тэдгээр үйл явдал бүрт А нь p магадлалтай гарч ирэх эсвэл q=1-p магадлалаар гарч ирэхгүй. Эдгээр n туршилтын А үйл явдал яг m удаа тохиолдох ба тиймээс яг (n-m) удаа тохиолдохгүй гэдгээс бүрдэх B_m үйл явдлыг авч үзье. Тэмдэглэх A_i~(i=1,2,\ldots,(n))А үйл явдал тохиолдох , a \overline(A)_i - i-р туршилтанд А үйл явдал тохиолдохгүй байх. Туршилтын нөхцөл тогтвортой байгаа тул бид

А үйл явдал өөр өөр дараалал эсвэл хослолоор m удаа гарч, эсрэг үйлдлээр ээлжлэн гарч болно \overline(A) . Энэ төрлийн боломжит хослолын тоо нь n элементийн хослолын тоо m-тэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл C_n^m. Иймд B_m үйл явдлыг бие биедээ үл нийцэх цогц үйл явдлын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд гишүүний тоо нь C_n^m-тэй тэнцүү байна:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

Энд А үйл явдал бүтээгдэхүүн бүрт m удаа, \overline(A) - (n-m) удаа тохиолдох болно.

Бие даасан үйл явдлуудын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу томьёо (3.1)-д орсон нийлмэл үйл явдал бүрийн магадлал нь p^(m)q^(n-m) -тэй тэнцүү байна. Ийм үйл явдлын нийт тоо C_n^m -тэй тэнцүү тул үл нийцэх үйл явдлын магадлалын нэмэх теоремыг ашиглан бид B_m үйл явдлын магадлалыг олж авна (бид үүнийг P_(m,n) гэж тэмдэглэнэ)

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(эсвэл)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Формула (3.2) гэж нэрлэдэг Бернулли томъёо, мөн тус бүрд А үйл явдал тохиолдох магадлалын бие даасан байдал, тогтмол байдлын нөхцөлийг хангасан давтан туршилтыг гэнэ. Бернуллигийн туршилтууд, эсвэл Бернулли схем.

Жишээ 1. Эд ангиудыг боловсруулах үед хүлцлийн талбайн хил хязгаараас хэтрэх магадлал. токарь 0.07-тай тэнцүү. Ээлжийн явцад санамсаргүй байдлаар сонгосон таван хэсгээс нэг диаметрийн хэмжээ нь заасан хүлцэлтэй тохирохгүй байх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл. Асуудлын нөхцөл нь Бернулли схемийн шаардлагыг хангаж байна. Тиймээс, таамаглаж байна n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, (3.2) томъёогоор бид олж авна

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\ойролцоогоор0,\!262.

Жишээ 2. Ажиглалтаар зарим нутгаар 9-р сард 12 бороотой өдөр байгааг тогтоосон. Энэ сард санамсаргүй байдлаар авсан 8 хоногоос 3 өдөр нь бороо орох магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

P_(3;8)=C_8^3(\зүүн(\frac(12)(30)\баруун)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Үйл явдлын хамгийн их магадлалтай тоо

Хамгийн их магадлалтай харагдах байдал n бие даасан туршилтын А үйл явдал нь энэ тоонд харгалзах магадлал нь А үйл явдал тохиолдох бусад боломжит тоо бүрийн магадлалаас их буюу багагүй байх m_0 тоо юм. Хамгийн их магадлалтай тоог тодорхойлохын тулд тухайн үйл явдал тохиолдох боломжит тооны магадлалыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд тусдаа туршилтаар n туршилтын тоо болон А үйл явдал тохиолдох магадлалыг мэдэхэд хангалттай. Хамгийн их магадлалтай m_0 тоонд тохирох магадлалыг P_(m_0,n) гэж тэмдэглэе. Томъёо (3.2) ашиглан бид бичнэ

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n){m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Хамгийн их магадлалтай тооны тодорхойлолтын дагуу А үйл явдлын m_0+1 ба m_0-1 удаа тохиолдох магадлал нь хамгийн багадаа P_(m_0,n) магадлалаас хэтрэхгүй байх ёстой, i.e.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

P_(m_0,n) утга болон P_(m_0+1,n) ба P_(m_0-1,n) магадлалын илэрхийлэлүүдийг тэгш бус байдалд орлуулснаар бид олж авна.

Эдгээр тэгш бус байдлыг m_0-ийн хувьд шийдэж, бид олж авна

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Сүүлийн тэгш бус байдлыг нэгтгэн бид давхар тэгш бус байдлыг олж авах бөгөөд энэ нь хамгийн их магадлалтай тоог тодорхойлоход хэрэглэгддэг.

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Тэгш бусаар тодорхойлсон интервалын урт (3.4) нь нэгтэй тэнцүү, i.e.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

мөн үйл явдал n туршилтанд зөвхөн бүхэл тооны удаа тохиолдож болох тул дараахь зүйлийг санаж байх хэрэгтэй.

1) хэрэв np-q нь бүхэл тоо бол хамгийн их магадлалтай тооны хоёр утга байна: m_0=np-q ба m"_0=np-q+1=np+p ;

2) хэрэв np-q нь бутархай тоо бол хамгийн их магадлалтай нэг тоо байна, тухайлбал: тэгш бус байдлаас олж авсан бутархай тоонуудын хоорондох цорын ганц бүхэл тоо (3.4);

3) хэрэв np нь бүхэл тоо бол хамгийн их магадлалтай нэг тоо байна, тухайлбал: m_0=np .

N-ийн их утгын хувьд (3.3) томъёог ашиглах нь хамгийн их магадлалтай тоонд тохирох магадлалыг тооцоолоход тохиромжгүй юм. Хэрэв тэгш байдал (3.3) байвал бид Стирлингийн томъёог орлуулна

N!\ойролцоогоор(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

хангалттай том n-д хүчинтэй бөгөөд хамгийн их магадлалтай m_0=np тоог авбал хамгийн их магадлалтай тоонд тохирох магадлалын ойролцоо тооцооллын томъёог олж авна.

P_(m_0,n)\ойролцоогоор\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Жишээ 2. Үйлдвэрээс худалдааны баазад нийлүүлж буй зарим бүтээгдэхүүн \frac(1)(15) нь стандартын бүх шаардлагыг хангахгүй байгаа нь мэдэгдэж байна. Бааз руу 250 ширхэг бүтээгдэхүүн нийлүүлсэн. Стандартын шаардлага хангасан бүтээгдэхүүний хамгийн их магадлалтай тоог олж, энэ багцад хамгийн их магадлалтай тооны бүтээгдэхүүн байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Нөхцөлөөр n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Тэгш бус байдлын дагуу (3.4) бид байна

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

хаана 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Тиймээс стандартын шаардлагад нийцсэн бүтээгдэхүүн нь 250 ширхэг багцад хамгийн их магадлалтай байдаг. тэнцүү 234. Өгөгдлийг (3.5) томъёонд орлуулснаар багцад хамгийн их магадлалтай тооны зүйл байх магадлалыг тооцоолно.

P_(234,250)\ойролцоогоор\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\ойролцоогоор0,\!101

Орон нутгийн Лаплас теорем

Бернулли томьёог n-ийн том утгыг ашиглах нь маш хэцүү байдаг. Жишээлбэл, хэрэв n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, тэгвэл P_(30,50) магадлалыг олохын тулд илэрхийллийн утгыг тооцоолох шаардлагатай.

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Мэдээжийн хэрэг, асуулт гарч ирнэ: Бернулли томъёог ашиглахгүйгээр хүүгийн магадлалыг тооцоолох боломжтой юу? Та чадна гэж харагдаж байна. Орон нутгийн Лапласын теорем нь туршилтын тоо хангалттай их байвал n туршилтанд яг m удаа тохиолдох үйл явдлын магадлалыг ойролцоогоор олох боломжийг олгодог асимптотик томъёог өгдөг.

Теорем 3.1. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол А үйл явдал n туршилтад яг m удаа гарах P_(m,n) магадлал ойролцоогоор тэнцүү байна (илүү нарийвчлалтай, n ) функцын утга руу их

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))цагт.

Функцийн утгыг агуулсан хүснэгтүүд байдаг \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), аргументийн эерэг утгуудад харгалзах x . Учир нь сөрөг утгуудижил хүснэгтүүд аргументыг ашигладаг, учир нь \varphi(x) функц нь тэгш, i.e. \varphi(-x)=\varphi(x).

Тэгэхээр, А үйл явдал n туршилтанд яг m удаа гарч ирэх магадлал ойролцоогоор,

P_(m,n)\ойролцоогоор\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),хаана x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Жишээ 3. Туршилт бүрт тохиолдох А үйл явдлын магадлал 0.2 байвал 400 туршилтанд А үйл явдал яг 80 удаа тохиолдох магадлалыг ол.

Шийдэл. Нөхцөлөөр n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Бид асимптотик Лаплас томъёог ашигладаг.

P_(80,400)\ойролцоогоор\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

Асуудлын өгөгдлөөр тодорхойлсон x утгыг тооцоолъё:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Хүснэгтийн дагуу adj, 1 бид олдог \varphi(0)=0,\!3989. Хүссэн магадлал

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Бернулли томъёо нь ойролцоогоор ижил үр дүнд хүргэдэг (тэдгээрийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан тооцооллыг орхигдуулсан):

P_(80,100)=0,\!0498.

Лапласын интеграл теорем

n бие даасан туршилт явуулсан гэж бодъё, тус бүрд А үйл явдал тохиолдох магадлал тогтмол ба p-тэй тэнцүү байна. А үйл явдал n туршилтанд дор хаяж m_1, хамгийн ихдээ m_2 удаа гарч ирэх магадлалыг P_((m_1,m_2),n) тооцоолох шаардлагатай (товчлон хэлэхэд "m_1-ээс m_2 удаа" гэж хэлнэ). Үүнийг Лапласын интеграл теорем ашиглан хийж болно.

Теорем 3.2. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол ойролцоогоор P_((m_1,m_2),n) магадлал нь m_1-ээс m_2 хүртэлх туршилтуудад гарч ирнэ.

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \, dx,хаана.

Лапласын интеграл теоремыг хэрэглэх шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэхдээ тодорхойгүй интеграл байдаг тул тусгай хүснэгтүүдийг ашигладаг. \int(e^(-x^2/2)\,dx)дамжуулан илэрхийлээгүй үндсэн функцууд. Интеграл хүснэгт \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzапп-д өгсөн. 2, энд \Phi(x) функцын утгууд нь x-ийн эерэг утгуудын хувьд өгөгдсөн болно.<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 нь \Phi(x)=0,\!5 авч болно.

Тэгэхээр, ойролцоогоор m_1-ээс m_2 хүртэлх n бие даасан туршилтанд А үйл явдал тохиолдох магадлал,

P_((m_1,m_2),n)\ойролцоогоор\Phi(x"")-\Phi(x"),хаана x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Жишээ 4. Стандартын зөрчилтэй эд анги үйлдвэрлэсэн байх магадлал, p=0,\!2 . Санамсаргүй байдлаар сонгосон 400 стандарт бус хэсгүүдийн дунд 70-100 хэсэг байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Нөхцөлөөр p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Лапласын интеграл теоремыг ашиглая:

P_((70,100),400)\ойролцоогоор\Phi(x"")-\Phi(x").

Интеграцийн хязгаарыг тооцоолъё:

доогуур

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

дээд

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

Энэ замаар

P_((70,100),400)\ойролцоогоор\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Хүснэгтийн програмын дагуу. 2 олох

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Хүссэн магадлал

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Лапласын интеграл теоремын хэрэглээ

Хэрэв m тоо (n бие даасан туршилт дахь А үйл явдлын тохиолдлын тоо) m_1-ээс m_2 болж өөрчлөгдвөл бутархай \frac(m-np)(\sqrt(npq))-аас өөрчлөгдөнө \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"өмнө \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Иймд Лапласын интеграл теоремыг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\баруун\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Харьцангуй давтамж \frac(m)(n)-ийн p тогтмол магадлалаас хазайх магадлалыг олох даалгавар өгье. үнэмлэхүй үнэ цэнэөгөгдсөн тооноос хэтрэхгүй \varepsilon>0 . Өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдлын магадлалыг олно \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, энэ нь адилхан -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Энэ магадлалыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ. P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Томьёог (3.6) харгалзан энэ магадлалыг бид олж авна

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) ))\ баруун).

Жишээ 5. Хэсэг нь стандарт бус байх магадлал, p=0,\!1 . Санамсаргүй байдлаар сонгосон 400 хэсгээс стандарт бус хэсгүүдийн харагдах давтамж нь үнэмлэхүй утгаараа p=0,\!1 магадлалаас 0.03-аас ихгүй хазайх магадлалыг ол.

Шийдэл. Нөхцөлөөр n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Бид магадлалыг олох хэрэгтэй P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). (3.7) томъёог ашиглан бид олж авна

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

Хүснэгтийн програмын дагуу. 2 бид \Phi(2)=0,\!4772 , тиймээс 2\Phi(2)=0,\!9544 . Тэгэхээр хүссэн магадлал нь ойролцоогоор 0.9544-тэй тэнцүү байна. Хүлээн авсан үр дүнгийн утга нь дараах байдалтай байна: хэрэв бид тус бүр нь 400 хэсгээс бүрдэх хангалттай олон тооны дээж авбал эдгээр дээжийн ойролцоогоор 95.44% нь p=0,\!1 тогтмол магадлалаас харьцангуй давтамжийн хазайлт юм. үнэмлэхүй утга нь 0.03-аас хэтрэхгүй.

Боломжгүй үйл явдлын Пуассон томъёо

Хэрэв тусдаа туршилтын явцад үйл явдал тохиолдох магадлал p тэгтэй ойролцоо байвал тэр ч байтугай их тоо n -ийг туршина, гэхдээ np бүтээгдэхүүний бага утгатай бол Лапласын томьёогоор олж авсан P_(m, n) магадлал нь хангалттай нарийвчлалгүй бөгөөд өөр ойролцоо томьёо хэрэгтэй болно.

Теорем 3.3. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол боловч бага бол бие даасан туршилтын тоо n хангалттай их боловч np=\lambda үржвэрийн утга бага хэвээр байвал (араваас илүүгүй) магадлал Эдгээр туршилтуудад А үйл явдал m удаа тохиолдоно,

P_(m,n)\ойролцоогоор\фрак(\ламбда^м)(м\,e^{-\lambda}. !}

Пуассоны томъёог ашиглан тооцооллыг хялбарчлахын тулд Пуассон функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэсэн болно. \frac(\ламбда^м)(м\,e^{-\lambda} !}(Хавсралт 3-ыг үзнэ үү).

Жишээ 6. Стандарт бус эд анги үйлдвэрлэх магадлалыг 0.004 гэж үзье. 1000 хэсэг дотор 5 стандарт бус хэсэг байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Энд n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Гурван тоо бүгд теорем 3.3-ын шаардлагыг хангаж байгаа тул P_(5,1000) хүссэн үзэгдлийн магадлалыг олохын тулд Пуассоны томьёог ашиглана. \lambda=4;m=5-тай Пуассон функцийн утгын хүснэгтийн дагуу (хэрэглээ. 3) бид олж авна. P_(5,1000)\ойролцоогоор0,\!1563.

Ижил үйл явдлын магадлалыг Лапласын томъёогоор олъё. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд m=5-д харгалзах x утгыг тооцоолно.

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\ойролцоогоор\frac(1)(1,\!996)\ойролцоогоор0 ,\!501.

Тиймээс Лапласын томъёоны дагуу хүссэн магадлал

P_(5,1000)\ойролцоогоор\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\ойролцоогоор\frac(0,\!3519)(1,\!996)\ойролцоогоор0,\ !1763

мөн Бернулли томьёоны дагуу түүний яг утгыг илэрхийлнэ

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\ойролцоогоор0,\!1552.

Энэ замаар, харьцангуй алдааЛапласын ойролцоо томъёог ашиглан P_(5,1000) магадлалыг тооцоолох нь

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\ойролцоогоор0,\!196, эсвэл 13,\!6\%

мөн Пуассоны томъёоны дагуу -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\ойролцоогоор0,\!007, эсвэл 0,\!7\%

Энэ нь хэд дахин бага гэсэн үг юм.
Дараагийн хэсэг рүү шилжинэ үү
Нэг хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолохын тулд ActiveX хяналтыг идэвхжүүлсэн байх ёстой!

1

1. Боголюбов А.Н. Математик. Механик: намтар гарын авлага. - Киев: Наукова Думка, 1983 он.

2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Хөдөө аж ахуйн их дээд сургуулийн эдийн засгийн мэргэжлээр суралцаж буй оюутнуудын судалж буй математикийн хичээлүүдийн тэргүүлэх чиглэлийн дүн шинжилгээ, үнэлгээ // Ставрополь хотын ХК-ийн мэдээллийн товхимол. - 2013. - No1 (9). - P. 6-10.

3. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Хэрэглээний хэтийн төлөв математик аргуудэдийн засгийн судалгаанд // Газар тариалангийн шинжлэх ухаан, бүтээлч байдал, өсөлт. - 2013. - S. 255-257.

Математикийн хувьд ижил нөхцөл, туршилт эсвэл туршилтыг олон тооны давталттай асуудлууд ихэвчлэн гардаг. Туршилт бүрийн үр дүнг өмнөхөөсөө тэс өөр үр дүн гэж үзнэ. Үр дүнгийн хамаарал бас ажиглагдахгүй. Туршилтын үр дүнд үндсэн үр дагаврын хэд хэдэн боломжуудыг ялгаж салгаж болно: үйл явдал үүсэх (A) эсвэл А-г нөхөх үйл явдал тохиолдох.

Тэгвэл Р(А) үзэгдлийн тохиолдох магадлалыг тогтмол бөгөөд р (0)-тэй тэнцүү гэж үзэхийг оролдъё.<р<1).

Ийм сорилтуудын жишээ нь зоос шидэх, харанхуй уутнаас хар, цагаан бөмбөлөг гаргаж авах, хар цагаан туулай төрүүлэх гэх мэт олон тооны даалгавар байж болно.

Ийм туршилтыг давтан бие даасан туршилтын тохиргоо эсвэл Бернулли схем гэж нэрлэдэг.

Жейкоб Бернулли эм зүйчийн гэр бүлд төржээ. Аав нь хүүдээ анагаах ухааны замд сургах гэж оролдсон ч Ж.Бернулли өөрөө математикт сонирхолтой болж, улмаар энэ нь түүний мэргэжил болжээ. Магадлал ба тооны онол, цуврал ба дифференциал тооцооны сэдэвт бүтээлүүддээ янз бүрийн цом эзэмшдэг. Гюйгенсийн "Мөрийтэй тоглоомын тооцооллын тухай" бүтээлээс магадлалын онолыг судалж үзээд Жейкоб үүнийг сонирхож эхэлсэн. Энэ номонд "магадлал" гэсэн ойлголтын тодорхой тодорхойлолт ч байгаагүй. Математикт магадлалын онолын орчин үеийн ихэнх ойлголтыг нэвтрүүлсэн хүн бол Ж.Бернулли юм. Бернулли бас их тооны хуулийн хувилбарыг анхлан илэрхийлсэн хүн юм. Жейкобын нэрийг янз бүрийн ажил, теорем, схемээр авч үздэг: "Бернуллийн тоо", "Бернулли олон гишүүнт", "Бернулли дифференциал тэгшитгэл", "Бернуллийн тархалт", "Бернулли тэгшитгэл".

Дахин давталт руугаа орцгооё. Дээр дурдсанчлан, янз бүрийн туршилтуудын үр дүнд хоёр үр дүн гарах боломжтой: А үйл явдал гарч ирэх эсвэл энэ үйл явдлын эсрэг. Бернулли схем нь өөрөө ердийн чөлөөт туршилтуудын n-р тооны үйлдвэрлэлийг илэрхийлдэг бөгөөд эдгээр туршилт бүрт бидэнд хэрэгтэй А үйл явдал гарч ирж магадгүй (энэ үйл явдлын магадлал нь мэдэгдэж байна: P (A) \u003d p), А үйл явдлын эсрэг үйл явдлын магадлалыг q \u003d P ( A) = 1-p гэж тэмдэглэв. Үл мэдэгдэх тоог турших үед А үйл явдал яг k удаа тохиолдох магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай.

Бернулли схемийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн нөхцөл бол тогтмол байдал гэдгийг санах нь чухал юм. Үүнгүйгээр схем нь бүх утгыг алддаг.

Энэ схемийг янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй асуудлуудыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно: энгийн (ижил зоос) -аас нарийн төвөгтэй (сонирхолтой) хүртэл. Гэсэн хэдий ч Бернулли схемийг ихэвчлэн янз бүрийн бүтээгдэхүүний шинж чанарыг хянах, янз бүрийн механизмд итгэхтэй холбоотой ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Зөвхөн асуудлыг шийдэхийн тулд ажил эхлэхийн өмнө бүх нөхцөл, үнэ цэнийг урьдчилан мэдэж байх ёстой.

Магадлалын онолын бүх асуудлууд нөхцөл байдалд тогтмол болж буурдаггүй. Харанхуй уутанд хийсэн хар цагаан бөмбөгийг жишээ болгон авч үзвэл: нэг бөмбөг зурахад уутанд байгаа бөмбөгний тоо, өнгөний харьцаа өөрчлөгдсөн нь магадлал өөрөө өөрчлөгдсөн гэсэн үг юм.

Гэсэн хэдий ч хэрэв бидний нөхцөл тогтмол байвал бид А үйл явдал n-ээс яг k удаа тохиолдох магадлалыг биднээс үнэн зөв тодорхойлж чадна.

Энэ баримтыг Жейкоб Бернулли эмхэтгэн теорем болгон бичсэн бөгөөд хожим нь түүний нэрээр алдаршжээ. "Бернуллийн теорем" бол магадлалын онолын гол теоремуудын нэг юм. Энэ нь анх Ж.Бернуллигийн "Таамаглалын урлаг" бүтээлд хэвлэгдсэн. Энэ теорем юу вэ? “Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол байвал бие биенээсээ хамааралгүй n туршилтанд үйл явдал k удаа тохиох Pk,n магадлал нь: , энд q=1-p .”

Томъёоны үр дүнтэй байдлын нотолгоонд даалгавруудыг өгч болно.

Даалгавар №1:

Сард хадгалах n ширхэг шилэн савнаас к нь эвдэрсэн байна. Санамсаргүй байдлаар нэг сая лааз авав. Эдгээр савны дунд би хагарахгүй байх магадлалыг ол. n=250, k=10, m=8, l=4.

Шийдэл: Бидэнд утгууд бүхий Бернулли схем байна.

p=10/250=0.04 (банк задрах магадлал);

n=8 (туршилтын тоо);

k=8-4=4 (хагарсан лонхтой тоо).

Бид Бернулли томъёог ашигладаг

Авсан:

Хариулт: 0.0141

Даалгавар №2:

Үйлдвэрлэлд гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх магадлал 0.2 байна. Энэ үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн 10 бүтээгдэхүүнээс яг k нь сайн нөхцөлд байх магадлалыг ол. k = 0, 1, 10-ийн шийдлийг ажиллуул.

Бид P=1-0.2=0.8 магадлалтай цагт нэг удаа болдог засвар үйлчилгээ хийх боломжтой эд анги үйлдвэрлэх А үйл явдлыг сонирхож байна. Өгөгдсөн үйл явдал k удаа тохиолдох магадлалыг олох хэрэгтэй. А үйл явдал нь "А биш" үйл явдлын эсрэг, өөрөөр хэлбэл. алдаатай бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх.

Иймд бидэнд: n=10; p=0.8; q=0.2.

Үүний үр дүнд бид үйлдвэрлэсэн 10 бүтээгдэхүүнээс бүх бүтээгдэхүүн гэмтэлтэй (k=0), нэг бүтээгдэхүүн сайн нөхцөлд байх (k=1), ямар ч гэмтэлгүй байх (k=10) магадлалыг оллоо. :

Эцэст нь хэлэхэд орчин үед олон эрдэмтэд "Бернулли томьёо" нь байгалийн хууль тогтоомжид үл нийцэх бөгөөд түүнийг ашиглахгүйгээр асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой гэдгийг нотлохыг хичээж байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь боломжтой, магадлалын онолын ихэнх асуудлыг Бернулли томъёогүйгээр хийж болно, гол зүйл бол их хэмжээний тоонд андуурч болохгүй.

Ном зүйн холбоос

Хомутова Е.А., Калиниченко В.А. Магадлалын онол дахь БЕРНУЛЛИЙН ТОМЪЁО // Олон улсын оюутны эрдэм шинжилгээний эмхэтгэл. - 2015. - No 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (хандах огноо: 03/12/2019). "Байгалийн түүхийн академи" хэвлэлийн газраас эрхлэн гаргадаг сэтгүүлүүдийг та бүхэнд хүргэж байна.