Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлж болно. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын жигд ба экспоненциал хуулиуд
Энэ асуудлыг удаан хугацаанд нарийвчлан судалж, ихэнх нь өргөн хэрэглээ 1958 онд Жорж Бокс, Мервин Мюллер, Жорж Марсаглиа нарын санал болгосон туйлын координатын аргыг гаргаж авсан. Энэ аргаЭнэ нь дараах байдлаар хүлээлт 0, дисперс 1 бүхий бие даасан хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хосыг олж авах боломжийг бидэнд олгоно.
Энд Z 0 ба Z 1 нь хүссэн утгууд, s = u 2 + v 2, u ба v нь 0 нөхцөл хангагдсан байхаар сонгосон (-1, 1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.< s < 1.
Олон хүмүүс эдгээр томъёог ямар ч бодолгүйгээр ашигладаг бөгөөд олон хүмүүс ашигладаг тул тэдний оршин тогтнохыг сэжиглэдэггүй бэлэн хэрэгжүүлэлтүүд. Гэвч “Энэ томъёо хаанаас ирсэн бэ? Тэгээд яагаад нэг дор хэд хэд авдаг юм бэ?" Дараа нь би эдгээр асуултуудад тодорхой хариулт өгөхийг хичээх болно.
Эхлэхийн тулд магадлалын нягтрал, санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц, урвуу функц гэж юу болохыг сануулъя. Тархалтыг f(x) нягтын функцээр тодорхойлсон тодорхой санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна гэж бодъё, энэ нь дараах хэлбэртэй байна.
Энэ нь өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга (A, B) интервалд байх магадлал нь сүүдэрлэсэн талбайн талбайтай тэнцүү гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бүхэл бүтэн сүүдэрлэсэн талбайн талбай нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь ямар ч тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга f функцийг тодорхойлох мужид орох болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь нягтын функцийн интеграл юм. Тэгээд дотор энэ тохиолдолдтүүнийг ойролцоогоор харахийм байх болно:
Энд байгаа утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нь B магадлал бүхий А-аас бага байх болно. Үүний үр дүнд функц хэзээ ч буурахгүй бөгөөд түүний утгууд интервалд оршдог.
Урвуу функц нь анхны функцийн утгыг шилжүүлсэн тохиолдолд анхны функцэд аргумент буцаадаг функц юм. Жишээлбэл, x 2 функцийн хувьд урвуу нь үндсийг задлах функц, sin(x)-ийн хувьд arcsin(x) гэх мэт.
Ихэнх псевдор санамсаргүй тооны генераторууд нь зөвхөн жигд тархалтыг гаралт болгон гаргадаг тул үүнийг өөр нэг рүү хөрвүүлэх шаардлага байнга гардаг. Энэ тохиолдолд хэвийн Гауссын хувьд:
Бүх хувиргах аргын үндэс жигд хуваарилалталь нэг нь урвуу хувиргах арга юм. Энэ нь дараах байдлаар ажилладаг. Шаардлагатай тархалтын функцтэй урвуу функц олдож, (0, 1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аргумент болгон түүнд шилжүүлнэ. Гаралтын үед бид шаардлагатай хуваарилалт бүхий утгыг олж авдаг. Тодорхой болгохын тулд би дараах зургийг өгч байна.
Тиймээс нэгэн жигд сегмент нь шинэ хуваарилалтын дагуу түрхэж, өөр тэнхлэгт чиглэгддэг. урвуу функц. Гэхдээ асуудал бол Гауссын тархалтын нягтын интегралыг тооцоолоход амаргүй тул дээрх эрдэмтэд хуурах хэрэгтэй болсон.
k бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратуудын нийлбэрийн тархалт болох хи-квадрат тархалт (Пирсоны тархалт) байдаг. Мөн k = 2 тохиолдолд энэ тархалт экспоненциал болно.
Энэ нь хэрэв цэг дээр гэсэн үг тэгш өнцөгт системкоординатууд нь санамсаргүй байдлаар тархсан X ба Y координатууд байх ба эдгээр координатуудыг туйлын системд (r, θ) хөрвүүлсний дараа радиусын квадрат (эх цэгээс цэг хүртэлх зай) экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдана. , учир нь радиусын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэр юм ( Пифагорын хуулийн дагуу). Онгоц дээрх ийм цэгүүдийн тархалтын нягт дараах байдалтай байна.
Энэ нь бүх чиглэлд тэнцүү тул θ өнцөг нь 0-ээс 2π хүртэлх мужид жигд тархалттай байх болно. Үүний эсрэгээр мөн адил: хэрэв та туйлын координатын систем дэх цэгийг хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн (өнцөг жигд тархсан өнцөг ба экспоненциалаар тархсан радиус) ашиглан тодорхойлох юм бол энэ цэгийн тэгш өнцөгт координатууд нь бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байх болно. Мөн ижил урвуу хувиргах аргыг ашиглан жигд тархалтаас экспоненциал тархалтыг олж авах нь илүү хялбар байдаг. Энэ бол туйлын Бокс-Мюллер аргын мөн чанар юм.
Одоо томъёонуудыг гаргаж авцгаая.
(1)
r ба θ-ийг олж авахын тулд (0, 1) интервалд жигд тархсан хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үүсгэх шаардлагатай (тэдгээрийг u ба v гэж нэрлэе), тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтыг (v гэж үзье) экспоненциал руу хөрвүүлэх шаардлагатай. радиусыг олж авна. Экспоненциал тархалтын функц дараах байдалтай байна.
Үүний урвуу функц нь:
Нэг төрлийн тархалт нь тэгш хэмтэй байдаг тул хувиргалт нь функцтэй ижилхэн ажиллана
Хи квадратын тархалтын томъёоноос λ = 0.5 байна. Энэ функцэд λ, v-г орлуулаад радиусын квадратыг, дараа нь радиусыг өөрөө авна.
Нэгж сегментийг 2π хүртэл сунгах замаар бид өнцгийг олж авна.
Одоо бид (1) томъёонд r ба θ-г орлуулж дараахийг авна.
(2)
Эдгээр томъёог ашиглахад аль хэдийн бэлэн болсон байна. X ба Y нь бие даасан бөгөөд 1-ийн дисперс, математикийн хүлээлт 0-тэй хэвийн тархалттай байх болно. Бусад шинж чанартай тархалтыг олж авахын тулд функцийн үр дүнг стандарт хазайлтаар үржүүлж, нэмэхэд хангалттай. хүлээгдэж буй үнэ цэнэ.
Гэхдээ үүнээс салах арга бий тригонометрийн функцууд, тойргийн санамсаргүй цэгийн тэгш өнцөгт координатаар шууд бус харин шууд бусаар өнцгийг тогтоох. Дараа нь эдгээр координатуудаар дамжуулан радиус векторын уртыг тооцоолж, дараа нь х, у-г тус тус хувааж косинус ба синусыг олох боломжтой болно. Энэ нь яаж, яагаад ажилладаг вэ?
Нэгж радиустай тойрогт жигд тархсан цэгүүдээс санамсаргүй цэгийг сонгож, энэ цэгийн радиус векторын уртын квадратыг s үсгээр тэмдэглэе.
Сонголтыг (-1, 1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй тэгш өнцөгт х, у координатыг зааж, тойрогт хамааралгүй цэгүүдийг, мөн радиус векторын өнцөг байх төв цэгийг хаяна. тодорхойлогдоогүй байна. Өөрөөр хэлбэл 0 нөхцөлийг хангасан байх ёстой< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Бид өгүүллийн эхэнд байгаа томъёог авдаг. Энэ аргын сул тал нь тойрогт ороогүй цэгүүдийг хаях явдал юм. Энэ нь үүсгэсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөвхөн 78.5% -ийг ашигладаг гэсэн үг юм. Хуучин компьютерууд дээр тригонометрийн функц дутагдалтай хэвээр байсан том давуу тал. Одоо нэг процессорын команд синус болон косинусыг аль алиныг нь хормын дотор тооцоолоход эдгээр аргууд өрсөлдөж чадна гэж би бодож байна.
Би хувьдаа хоёр асуулт хэвээр байна:
- s-ийн утга яагаад жигд тархсан бэ?
- Хоёр хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратуудын нийлбэр яагаад экспоненциалаар тархсан бэ?
Хэрэв ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ижил төстэй хувиргалт хийвэл түүний квадратын нягтын функц нь гиперболатай төстэй болно. Ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр квадратыг нэмэх нь давхар интегралтай холбоотой илүү төвөгтэй процесс юм. Үр дүн нь экспоненциал тархалт байх болно гэдгийг би хувьдаа энд шалгах хэрэгтэй практик аргаэсвэл аксиом гэж хүлээн зөвшөөр. Сонирхсон хүмүүст би эдгээр номноос мэдлэг олж авах сэдвийг сайтар судалж үзэхийг зөвлөж байна.
- Ventzel E.S. Магадлалын онол
- Knut D.E. Програмчлалын урлаг, 2-р боть
Дүгнэж хэлэхэд, JavaScript дээр ердийн тархсан санамсаргүй тоо үүсгэгчийг хэрэгжүүлэх жишээ энд байна.
Функц Gauss() ( var бэлэн = худал; var second = 0.0; this.next = функц(дундаж, dev) ( дундаж = дундаж == тодорхойгүй ? 0.0: дундаж; dev = dev == тодорхойгүй ? 1.0: dev; хэрэв ( this.ready) ( this.ready = худал; буцаах this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - s = u * u + v * v while (s > 1.0 || s == 0.0).ready = return r * v * dev +; дундаж ) ) g = new Gauss(); // объект үүсгэх a = g.next(); // хос утгыг үүсгээд эхнийхийг нь авна b = g.next(); // хоёр дахь утгыг авах c = g.next(); // хос утгыг дахин үүсгээд эхнийхийг нь аваарай
Параметрүүдийн дундаж (математикийн хүлээлт) болон dev (стандарт хазайлт) нь сонголттой. Логарифм нь байгалийн шинж чанартай гэдэгт би таны анхаарлыг хандуулж байна.
Бүлэг 6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.
§ 1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт ба тархалтын функц.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын багц нь тоолж баршгүй бөгөөд ихэвчлэн төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг илэрхийлдэг.
Санамсаргүй утгаМагадлалын орон зайд (W, S, P) тодорхойлогдсон x(w) гэж нэрлэдэг Үргэлжилсэн(Үнэхээр тасралтгүй) W, хэрэв сөрөг бус функц байгаа бол аль ч х-ийн хувьд Fx(x) тархалтын функцийг интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Функцийг функц гэж нэрлэдэг магадлалын тархалтын нягт.
Тодорхойлолт нь тархалтын нягтын функцийн шинж чанарыг илэрхийлдэг.
1..gif" өргөн "97" өндөр "51">
3. Тасралтгүй байдлын цэгүүдэд тархалтын нягт нь тархалтын функцийн деривативтай тэнцүү байна: .
4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах интервалд орох магадлалыг тодорхойлдог тул тархалтын нягт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлдог.
5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авах магадлал тэг: . Тиймээс дараахь тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна.
Тархалтын нягтын функцийн графикийг нэрлэнэ тархалтын муруй, ба тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах талбай нь нэгдэлтэй тэнцүү байна. Тэгвэл геометрийн хувьд x0 цэг дээрх Fx(x) тархалтын функцийн утга нь тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах ба x0 цэгийн зүүн талд байрлах талбай юм.
Даалгавар 1.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.
С тогтмолыг тодорхойлж, Fx(x) тархалтын функцийг байгуулж, магадлалыг тооцоол.
Шийдэл.Тогтмол С нь бидэнд байгаа нөхцөлөөс олддог.
үүнээс C=3/8.
Fx(x) түгээлтийн функцийг бий болгохын тулд интервал нь аргумент x (тоон тэнхлэг)-ийн утгын мужийг гурван хэсэгт хуваадаг болохыг анхаарна уу: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" өргөн "264" өндөр "49">
хагас тэнхлэг дээрх x нягт тэг учраас. Хоёр дахь тохиолдолд
Эцэст нь, сүүлийн тохиолдолд, x>2 үед,
Хагас тэнхлэгт нягтрал алга болдог тул. Тиймээс түгээлтийн функцийг олж авна
Магадлал Томъёог ашиглан тооцоолъё. Тиймээс,
§ 2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэТасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, томъёогоор тодорхойлно.
баруун талын интеграл үнэмлэхүй нийлбэл.
Тархалт x-ийг томъёогоор тооцоолж болно 
, мөн түүнчлэн, салангид тохиолдолд, томъёоны дагуу https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд 5-р бүлэгт өгөгдсөн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна.
Асуудал 2. Бодлого 1-ийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн хувьд математикийн хүлээлт ба дисперсийг тооцоол .
Шийдэл.
Энэ нь гэсэн үг
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" өргөн "184" өндөр "69 src=">
Нэг төрлийн тархалтын нягтын графикийг Зураг дээр үзнэ үү. .
Зураг.6.2. Түгээлтийн функц ба тархалтын нягт. нэгдсэн хууль
Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц Fx(x) нь тэнцүү байна
Fx(x)= 
Хүлээлт ба зөрүү; .
Экспоненциал (экпоненциал) тархалт.Сөрөг бус утгыг авдаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн x нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын тархалттай тэнцүү бол l>0 параметртэй экспоненциал тархалттай байна.
рx(x)= 
Цагаан будаа. 6.3. Экспоненциал хуулийн тархалтын функц ба тархалтын нягт.
Экспоненциал тархалтын тархалтын функц нь хэлбэртэй байна
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" өргөн="17" өндөр="41">.gif" өргөн="13" өндөр="15"> ба түүний тархалтын нягт нь тэнцүү бол
.
Дамжуу гэдэг нь ердийн хуулийн дагуу тархсан бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүний олонлогийг параметр болон параметрүүдтэй илэрхийлнэ.
Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь тэнцүү байна
.
Цагаан будаа. 6.4. Тархалтын функц ба хэвийн тархалтын нягт
Хэвийн тархалтын параметрүүд нь математикийн хүлээлт юм https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Онцгой тохиолдолд хэзээ https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" өргөн "44" өндөр "21 src="> хэвийн тархалтдуудсан Стандарт, мөн ийм тархалтын ангиллыг https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
ба түгээлтийн функц
Ийм интегралыг аналитик аргаар тооцоолох боломжгүй (үүнийг "квадрат" хэлбэрээр авдаггүй) тул функцэд зориулж хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн болно. Энэ функц нь 4-р бүлэгт танилцуулсан Лаплас функцтэй холбоотой
,
дараах хамаарлаар 
. Дурын параметрийн утгуудын хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хамаарлыг ашиглан Лаплас функцтэй холбоотой:
.
Иймд ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно.
.
Сөрөг бус х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг h=lnx логарифм нь хэвийн хуульд захирагдаж байвал логнормаль тархалттай хэмжигдэхүүн гэнэ. Логнормаль тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утга ба дисперс нь Mx= ба Dx= байна.
Даалгавар 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> гэж өгье.
Шийдэл.Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Лапласын тархалт fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> функцээр өгөгдсөн ба эгц нь gx=3 байна.
Зураг.6.5. Лапласын тархалтын нягтын функц.
Санамсаргүй хувьсагч x нь тархсан байна Вейбуллийн хууль, хэрэв энэ нь https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">-тэй тэнцүү хуваарилалтын нягтын функцтэй бол
Вейбуллийн хуваарилалт нь олон хүний бүтэлгүйтэх хугацааг зохицуулдаг техникийн төхөөрөмж. Энэ профайлын даалгаварт чухал шинж чанар l(t)= хамаарлаар тодорхойлогддог t насны судлагдсан элементүүдийн бүтэлгүйтлийн түвшин (нас баралтын түвшин) l(t) юм. Хэрэв a=1 байвал Вейбуллийн тархалт экспоненциал тархалт, хэрэв a=2 бол тархалт гэж нэрлэгддэг тархалт болж хувирна. Рэйли.
Вейбуллийн тархалтын математик хүлээлт: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, Г(а) нь Эйлер юм. функц .
Хэрэглээний статистикийн янз бүрийн асуудалд "тасалсан" хуваарилалт ихэвчлэн тулгардаг. Жишээлбэл, татварын албаЖилийн орлого нь татварын хуулиар тогтоосон тодорхой босго c0-ээс давсан иргэдийн орлогын хуваарилалтыг сонирхож байна. Эдгээр хуваарилалт нь Паретогийн тархалттай ойролцоогоор таарч байна. Парето хуваарилалтфункцээр өгөгдсөн
Fx(x)=P(x
Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Даалгавар 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтыг ол.
Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад ийм байна
Дараа нь функц интервал дээрх монотон ба дифференциал функц бөгөөд урвуу функцтэй 
дериватив нь тэнцүү Тиймээс,
§ 5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос
x ба h хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Дараа нь хос (x, h) нь хавтгай дээрх "санамсаргүй" цэгийг тодорхойлно. (x, h) хосыг дуудна санамсаргүй векторэсвэл хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
Хамтарсан хуваарилалтын функцсанамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h ба функцийг F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> гэж нэрлэдэг. үе мөчний нягтрал x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн магадлалын тархалтыг ийм функц гэнэ 
.
Хамтарсан тархалтын нягтын энэхүү тодорхойлолтын утга нь дараах байдалтай байна. Хавтгай дээрх мужид "санамсаргүй цэг" (x, h) унах магадлалыг гурван хэмжээст дүрс буюу гадаргуугаар хязгаарлагдсан "муруй" цилиндрийн эзэлхүүнээр тооцдог https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хамгийн энгийн жишээ бол хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүн юм багц дээр жигд хуваарилалтА. Хязгаарлагдмал M олонлогийг талбайгаар өгье. Энэ нь дараах холбоосын нягтаар тодорхойлогддог (x, h) хосын тархалтаар тодорхойлогддог.
Даалгавар 5.Хоёр хэмжээст санамсаргүй вектор (x, h) гурвалжин дотор жигд тархсан байг. x>h тэгш бус байдлын магадлалыг тооцоол.
Шийдэл.Заасан гурвалжны талбай нь тэнцүү байна (Зураг No. үзнэ үү). Хоёр хэмжээст жигд тархалтын тодорхойлолтын ачаар x, h санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна.
Үйл явдал нь олонлогтой тохирч байна 
онгоцонд, өөрөөр хэлбэл хагас онгоц. Дараа нь магадлал
Хагас B хавтгайд холбоосын нягтрал https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> багцаас гадуур тэг байна. хагас хавтгай В нь хоёр олонлогт хуваагддаг ба https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> болон , хоёр дахь интеграл нь тэнцүү байна. тэг, учир нь тэнд үе мөчний нягт тэгтэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас
Хэрэв хосын (x, h) хамтарсан тархалтын нягтыг өгвөл x ба h бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг гэнэ. хувийн нягтралДараахь томъёог ашиглан тооцоолно.
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" өргөн "224" өндөр "23 src=">
рx(х), рh(у) нягтралтай тасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд бие даасан байдал нь
Даалгавар 6.Өмнөх бодлогын нөхцөлд x ба h санамсаргүй векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд бие даасан эсэхийг тодорхойлно уу?
Шийдэл. Хэсэгчилсэн нягт ба . Бидэнд байгаа:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" өргөн "283" өндөр "61 src=">
Мэдээжийн хэрэг, манай тохиолдолд https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> нь x ба h хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан нягт бөгөөд j( x, y) нь хоёр аргументын функц юм
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" өргөн "184" өндөр "152 src=">
Даалгавар 7.Өмнөх асуудлын нөхцөлд тооцоол.
Шийдэл.Дээрх томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
.
Гурвалжныг төлөөлж байна
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" өргөн "479" өндөр "59">
§ 5. Хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягт
x ба h нь нягтралтай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт x + h-ийг томъёогоор тооцоолно эргэлт
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Нийлбэрийн нягтыг тооцоол.
Шийдэл. x ба h нь параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан тул тэдгээрийн нягт нь тэнцүү байна.
Тиймээс,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Хэрэв x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">сөрөг, тиймээс . Тиймээс хэрэв https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Тиймээс бид хариултыг авсан:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нь ихэвчлэн 0 ба 1 параметрүүдээр тархдаг. x1 ба x2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд хэвийн байна. a1, a2 параметртэй тархалтууд x1, x2, ... xn санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тархсан ба хамааралгүй бөгөөд ижил тархалтын нягтын функцтэй болохыг батал.
.
Утгын тархалтын функц ба тархалтын нягтыг ол:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)
Санамсаргүй хувьсагч x1, x2, ... xn нь бие даасан бөгөөд [a, b] интервалд жигд тархсан байна. Хэмжигдэхүүний тархалтын хуваарилалтын функц ба нягтын функцийг ол
x(1) = min (x1,x2, ... xn) ба x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> гэдгийг батал.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Кошигийн хуулийн дагуу тархсан Олно: a) коэффициент a; б) түгээлтийн функц; в) интервалд унах магадлал (-1, 1). x-ийн математикийн хүлээлт байхгүй гэдгийг харуул. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь l (l>0) параметртэй Лапласын хуульд захирагдана: a коэффициентийг ол; тархалтын нягтын график, хуваарилалтын функцийг байгуулах; Mx ба Dx-г олох; үйл явдлын магадлалыг ол (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Тархалтын нягтын томъёог бичээд Mx, Dx-ийг ол.
Тооцооллын даалгавар.
Санамсаргүй А цэг нь R радиустай тойрогт жигд тархалттай байна. Тойргийн төв хүртэлх цэгээс r зайны математик хүлээлт ба дисперсийг ол. r2 утга нь сегмент дээр жигд тархсан болохыг харуул. 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. 
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. 
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. 
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), , дисперс ба магадлалыг санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тархалтын функцтэй 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал, математикийн хүлээлт, дисперс ба магадлалыг тооцоолох Функцийг шалгах = 
санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц байж болно. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол: Mx ба Dx. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Тархалтын нягтыг бичнэ үү. Түгээлтийн функцийг ол. Хэсэг болон сегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг ол. Тархалтын нягт x нь тэнцүү байна
.
Тогтмол c, тархалтын нягт h = ба магадлалыг ол
P (0.25 Компьютерийн доголдолгүй ажиллах хугацааг l = 0.05 (цагт алдаа) параметр бүхий экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилдаг, өөрөөр хэлбэл нягтралын функцтэй байдаг. p(x) = Тодорхой асуудлыг шийдэхийн тулд машиныг 15 минутын турш асуудалгүй ажиллуулах шаардлагатай. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад алдаа гарвал шийдэл дууссаны дараа л алдааг илрүүлж, асуудлыг дахин шийддэг. Олно: а) асуудлыг шийдвэрлэх явцад нэг ч доголдол гарахгүй байх магадлал; б) асуудлыг шийдвэрлэх дундаж хугацаа. 24 см урт саваа хоёр хэсэгт хуваагдана; Бид таслах цэгийг бариулын бүхэл бүтэн уртын дагуу жигд хуваарилсан гэж үзнэ. Ихэнх савааны дундаж урт хэд вэ? 12 см урттай хэсгийг санамсаргүй байдлаар хоёр хэсэгт хуваана. Зүссэн цэг нь сегментийн бүх уртын дагуу жигд тархсан байна. Сегментийн жижиг хэсгийн дундаж урт хэд вэ? Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг ол a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); в) h3 =. Хэрэв x нь тасралтгүй тархалтын функцтэй болохыг харуул F(x) = P(x Х ба h хоёр бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын функц ба тархалтын функцийг хэрчмүүд дээр жигд тархалтын хуультай, тус тус ол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд нягтралтай экспоненциал тархалттай байдаг Өмнө дурьдсанчлан, магадлалын хуваарилалтын жишээнүүд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн
X нь: Нэгдмэл ба экспоненциал тархалтын хууль, магадлалын томъёо, авч үзэж буй функцүүдийн тоон шинж чанарын тухай ойлголтыг өгье. Автобусууд цагийн хуваарийн дагуу явдаг. Хөдөлгөөний интервал 7 мин. Ол: a) зогсоол дээр ирсэн зорчигч дараагийн автобусыг хоёр минутаас бага хугацаагаар хүлээх магадлалыг; б) зогсоол дээр ирсэн зорчигч дараагийн автобусыг дор хаяж гурван минут хүлээх магадлал; в) X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба стандарт хазайлт - зорчигчийн хүлээх хугацаа. Шийдэл.
1. Бодлогын нөхцлийн дагуу тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (зорчигч хүлээх хугацаа) жигд тархсан
хоёр автобус ирэх хооронд. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын интервалын урт нь b-a=7, энд a=0, b=7 байна. 2. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (5;7) интервалд орвол хүлээх хугацаа хоёр минутаас бага байх болно. Өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг бид томъёогоор олно. P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 3. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0;4) интервалд орсон тохиолдолд хүлээх хугацаа дор хаяж гурван минут (өөрөөр хэлбэл гурваас долоон минут) байх болно. Өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг бид томъёогоор олно. P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 4. Тасралтгүй, жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлт – зорчигчийн хүлээх хугацаа – дараах томьёог ашиглан олно. M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3.5. 5. Тасралтгүй, жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн стандарт хазайлт – зорчигчийн хүлээх хугацаа – дараах томьёог ашиглан олно. σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02. Экспоненциал тархалтыг x ≥ 0 хувьд f(x) = 5e – 5x нягтаар өгөгдсөн. Шаардлагатай: a) түгээлтийн функцийн илэрхийлэл бичих; б) туршилтын үр дүнд X (1;4) интервалд орох магадлалыг ол; в) туршилтын үр дүнд X ≥ 2 байх магадлалыг ол; d) M(X), D(X), σ(X)-ыг тооцоол. Шийдэл.
1. Нөхцөл өгөгдсөн тул экспоненциал тархалт
, дараа нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтын томъёоноос бид λ = 5-ыг авна. Тэгвэл тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй болно. 2. Туршилтын үр дүнд X (1;4) интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор олно. 3. Туршилтын үр дүнд X ≥ 2 байх магадлалыг дараах томъёогоор олох магадлал: P(a)< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞. 4. Экспоненциал тархалтыг ол: Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд (түүний оршин тогтнох бүсэд, жишээлбэл, интервалд) ижил магадлалтай байх үед тархалтыг жигд гэж үздэг. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна. Түгээлтийн нягтрал: Цагаан будаа. Тархалтын функц (зүүн) ба тархалтын нягт (баруун) графикууд. Нэг төрлийн хуваарилалт - ойлголт ба төрлүүд. "Нэгдмэл хуваарилалт" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн дискрет тархалт Тодорхойлолт 1. 1, 2, ..., n утгуудыг авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь Pm = P(X = m) = 1/n, m = 1 бол жигд тархалттай байна. ..., n. Энэ нь ойлгомжтой. Дараах асуудлыг авч үзье. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд Тодорхойлолт 5. Интервал дээр утгыг авдаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь тархалтын нягт нь хэлбэртэй байвал жигд тархалттай байна. (1) Үүнийг шалгахад хялбар, . Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол .... Хэвийн тархалтын хуулиуд Нэгдмэл, экспоненциал болон Нэгт хуулийн магадлалын нягтын функц нь дараах байдалтай байна: (10.17) Үүнд a ба b тоонууд өгөгдсөн бол a< b; a и b – это параметры равномерного закона.
Найдем функцию распределения F(x)... . Магадлалын жигд тархалт нь хамгийн энгийн бөгөөд салангид эсвэл тасралтгүй байж болно. Дискрет жигд тархалт гэдэг нь SV утга тус бүрийн магадлал ижил байх тархалтыг хэлнэ, өөрөөр хэлбэл: N нь тоо... . Тодорхойлолт 16. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тухайн сегмент дээр энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь тогтмол бөгөөд түүний гадна талд тэгтэй тэнцүү бол тухайн сегмент дээр жигд тархалттай байна, өөрөөр хэлбэл (45) Нэг жигд тархалтын нягтын графикийг үзүүлэв... Одоо практикт ихэвчлэн хэрэглэгддэг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт руу шилжье. Тасралтгүй r.v. Xдуудсан жигд тархсансегмент дээр [ а,
б], хэрэв түүний магадлалын нягт нь энэ сегмент дээр тогтмол, гадна талд нь 0-тэй тэнцүү бол (өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн) Xсегмент дээр төвлөрсөн [ а,
б], дээр нь тогтмол нягттай байдаг). Энэ тодорхойлолтын дагуу нягтрал нь сегмент дээр жигд тархсан. а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхэлбэртэй байна: Хаана -тайтодорхой тоо байдаг. Гэсэн хэдий ч [ сегмент дээр төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн магадлалын нягтын шинж чанарыг ашиглан олоход хялбар байдаг. а,
б]:
N.s.v-ийн хуваарилалтын жигд байдлыг шүүнэ. Xдараах үндэслэлээр боломжтой. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь [ интервал дээр жигд тархалттай байна. а,
б], хэрэв энэ нь зөвхөн энэ сегментээс утгыг авдаг бөгөөд энэ сегментийн аль ч тоо нь энэ сегментийн бусад тоонуудаас энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга байх утгаараа давуу талгүй бол. Нэг төрлийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд зогсолт дээр тээвэрлэх хүлээх хугацаа (хөдөлгөөний тогтмол интервалтай, хүлээх хугацаа энэ интервалд жигд тархдаг), тоог бүхэл тоо болгон дугуйлах алдаа (нэгдмэл) зэрэг утгуудыг багтаадаг. [−0.5 ,
0.5
]) мөн бусад. Түгээлтийн функцийн төрөл Ф(x)
а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xмэдэгдэж буй магадлалын нягтралаар хайсан е(x)
тэдгээрийн холболтын томъёог ашиглан Зураг нь магадлалын нягтын графикуудыг харуулж байна е(x)
болон түгээлтийн функцууд е(x)
жигд тархсан сегмент [ а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн X
: Нэг жигд тархсан сегментийн хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлт, горим ба медиан [ а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xмагадлалын нягтаар тооцоолно е(x)
ердийн байдлаар (мөн энгийн дүр төрхөөс болж е(x)
). Үр дүн нь дараах томъёо юм. болон загвар г(X)
интервал дахь дурын тоо байна [ а,
б]. Нэг жигд тархсан сегментийг цохих магадлалыг олцгооё. а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xинтервалд Тиймээс жигд тархсан сегментийг цохих магадлал [ а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xинтервалд Жишээ. Автобусны завсарлага 10 минут байна. Автобусны буудал дээр ирсэн зорчигч 3 минут хүрэхгүй хугацаанд автобусаа хүлээх магадлал хэд вэ? Автобус хүлээх хугацаа дунджаар хэд вэ? Байгалийн ухаан, эдийн засаг, сэтгэл судлал, социологи, цэргийн шинжлэх ухаан гэх мэт олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ийм тархалттай байдаг тул магадлалын онол, математик статистик, тэдгээрийн хэрэглээнд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ хуваарилалт нь хязгаарлах хууль бөгөөд бусад олон хуваарилалтын хуулиуд (байгалийн тодорхой нөхцөлд) ханддаг. Хэвийн тархалтын хуулийг ашиглан аливаа шинж чанартай олон бие даасан санамсаргүй хүчин зүйлсийн үйлчлэлд хамаарах үзэгдлүүд, тэдгээрийн тархалтын аливаа хуулийг мөн дүрсэлсэн болно. Тодорхойлолт руу шилжье. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархсан гэж нэрлэдэг ердийн хууль (эсвэл Гауссын хууль), хэрэв түүний магадлалын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал: тоонууд хаана байна АТэгээд σ
(σ>0
) нь энэхүү тархалтын параметрүүд юм. Өмнө дурьдсанчлан, Гауссын санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь олон тооны хэрэглээтэй байдаг. Энэ хуульд заасны дагуу хэмжих хэрэгслийн хэмжилтийн алдаа, буудах үед байны төвөөс хазайх, үйлдвэрлэсэн эд ангиудын хэмжээ, хүмүүсийн жин, өндөр, жилийн хур тунадас, нярайн тоо, бусад олон зүйлийг хуваарилдаг. Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын өгөгдсөн томьёо нь дээр дурдсанчлан хоёр параметрийг агуулна. АТэгээд σ
, тиймээс эдгээр параметрүүдийн утгаас хамааран өөр өөр функцүүдийн бүлгийг тодорхойлдог. Хэрэв бид хэвийн тархалтын магадлалын нягтралд функцийг судлах, график зурах математикийн шинжилгээний ердийн аргуудыг хэрэглэвэл дараах дүгнэлтийг гаргаж болно. түүний гулзайлтын цэгүүд юм. Хүлээн авсан мэдээлэл дээр үндэслэн бид магадлалын нягтын графикийг байгуулдаг е(x)
хэвийн тархалт (үүнийг Гауссын муруй гэж нэрлэдэг - зураг). Параметрүүдийн өөрчлөлт хэрхэн нөлөөлж байгааг олж мэдье АТэгээд σ
Гауссын муруй хэлбэрт. Параметрийн өөрчлөлт нь тодорхой байна (үүнийг хэвийн тархалтын нягтын томъёоноос харж болно) Амуруйн хэлбэрийг өөрчилдөггүй, зөвхөн тэнхлэгийн дагуу баруун эсвэл зүүн тийш шилжихэд хүргэдэг X. Хараат байдал σ
илүү төвөгтэй. Дээрх судалгаанаас харахад хамгийн их утга ба гулзайлтын цэгүүдийн координат нь параметрээс хэрхэн хамаардаг нь тодорхой байна. σ
. Нэмж дурдахад бид аливаа параметрийн хувьд үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй АТэгээд σ
Гауссын муруйн доорх талбай 1-тэй тэнцүү хэвээр байна (энэ нь магадлалын нягтын ерөнхий шинж чанар юм). Дээрхээс харахад параметр нь нэмэгдэж байна σ
муруй нь хавтгай болж, тэнхлэгийн дагуу сунадаг X. Зураг нь параметрийн өөр өөр утгуудын Гауссын муруйг харуулж байна σ
(σ
1
<
σ< σ
2
) ба ижил параметрийн утга А. Параметрүүдийн магадлалын утгыг олж мэдье АТэгээд σ
хэвийн тархалт. Гауссын муруйны тэгш хэмээс аль хэдийн тоогоор дамжин өнгөрөх босоо шугамтай харьцуулахад Атэнхлэг дээр Xдундаж утга нь тодорхой байна (өөрөөр хэлбэл математикийн хүлээлт М(X)) хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй тэнцүү байна А. Үүнтэй ижил шалтгаанаар горим ба медиан нь a тоотой тэнцүү байх ёстой. Тохиромжтой томъёог ашиглан үнэн зөв тооцоолол нь үүнийг баталж байна. Хэрэв бид дээр бичсэн илэрхийллийг ашиглавал е(x)
дисперсийн томъёонд орлуулна Тиймээс хэвийн тархалтын параметрүүдийн магадлалын утга АТэгээд σ
дараачийн. Хэрэв r.v. XАТэгээд σ
А σ.
Одоо түгээлтийн функцийг олцгооё Ф(x)
санамсаргүй хувьсагчийн хувьд X, магадлалын нягтын хувьд дээрх илэрхийллийг ашиглан хэвийн хуулийн дагуу тархсан е(x)
болон томъёо Хаана F(x)- гэж нэрлэгддэг Лаплас функцгэсэн хэлбэртэй байна Лапласын функцийг илэрхийлэх интегралыг бас авдаггүй (гэхдээ тус бүрийн хувьд XЭнэ интегралыг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар ойролцоогоор тооцоолж болно). Гэсэн хэдий ч магадлалын онолын аливаа сурах бичгийн төгсгөлд функцийн утгыг тодорхойлох хүснэгт байдаг тул үүнийг тооцоолох шаардлагагүй болно. F(x)өгөгдсөн утгад X. Дараахь зүйлд бидэнд Лаплас функцийн хачирхалтай шинж чанар хэрэгтэй болно. Ф(−х)=−F(x)бүх тооны хувьд X. Одоо хэвийн тархсан r.v байх магадлалыг олцгооё. Xзаасан тоон интервалаас утгыг авна (α,
β)
. Түгээлтийн функцийн ерөнхий шинж чанараас Р(α<
X<
β)=
Ф(β)
−
Ф(α)
. Орлуулах α
Тэгээд
β
дээрх илэрхийлэлд Ф(x)
, бид авдаг Дээр дурдсанчлан хэрэв r.v. Xпараметрүүдээр хэвийн тархсан АТэгээд σ
, тэгвэл түүний дундаж утга байна А, ба стандарт хазайлт нь тэнцүү байна σ.
Тийм ч учраас дундажэнэ r.v-ийн утгын хазайлт. дугаараас туршиж үзэхэд Атэнцүү байна σ.
Гэхдээ энэ бол дундаж хазайлт юм. Тиймээс илүү том хазайлт боломжтой. Дундаж утгаас тодорхой хазайлт хэр боломжтой болохыг олж мэдье. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга хэвийн хуулийн дагуу тархсан байх магадлалыг олъё Xдундажаас хазайх M(X)=aтодорхой δ тооноос бага, өөрөөр хэлбэл. Р(|
X−
а|<δ
): . Тиймээс, Энэ тэгш байдлыг орлуулах δ=3σ, бид r.v-ийн утга байх магадлалыг олж авна. X(нэг туршилтаар) дундаж утгаас гурав дахин бага зөрүүтэй байна σ
(Бидний санаж байгаагаар дундаж хазайлттай тэнцүү байна σ
): (утга F(3)Лаплас функцийн утгуудын хүснэгтээс авсан). Бараг л 1
! Дараа нь эсрэг үйл явдлын магадлал (утга нь үүнээс багагүй хазайх болно 3σ) тэнцүү байна 1
−0.997=0.003
, энэ нь маш ойрхон байна 0
. Тиймээс энэ үйл явдал "бараг боломжгүй" −
маш ховор тохиолддог (дунджаар 3
хугацаа хэтэрсэн 1000
). Энэхүү үндэслэл нь алдартай "гурван сигма дүрэм"-ийн үндэслэл юм. Гурван сигма дүрэм. Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн нэг тестээр-аас бараг дунджаас илүү хазайдаггүй 3σ. Бид нэг шалгалтын тухай ярьж байгааг дахин онцолж хэлье. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон тест байгаа бол түүний зарим утгууд дунджаас цааш шилжих боломжтой. 3σ. Үүнийг дараах байдлаар баталж байна Жишээ. Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг 100 туршилтанд оруулах магадлал хэд вэ? Xнаад зах нь түүний утгуудын нэг нь дунджаас стандарт хазайлтаас гурав дахин их хазайх уу? 1000 тест яах вэ? Шийдэл. Үйл явдал болъё Асанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг турших үед гэсэн үг Xтүүний утга дунджаас илүү хазайсан 3σ.Энэ үйл явдлын магадлалыг саяхан тодруулсан p=P(A)=0.003.Ийм 100 туршилт хийсэн. Бид үйл явдал болох магадлалыг олж мэдэх хэрэгтэй Аболсон ядажудаа, өөрөөр хэлбэл. аас ирсэн 1
өмнө 100
нэг удаа. Энэ бол параметртэй Бернулли хэлхээний ердийн асуудал юм n=100
(бие даасан туршилтын тоо), p=0.003(үйл явдлын магадлал Анэг туршилтанд) q=1−
х=0.997
. олох хэрэгтэй Р 100
(1≤
к≤100)
. Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг эхлээд эсрэг үйл явдлын магадлалыг олох нь илүү хялбар байдаг Р 100
(0)
- үйл явдал болох магадлал Анэг ч удаа тохиолдоогүй (өөрөөр хэлбэл 0 удаа тохиолдсон). Үйл явдлын магадлал ба түүний эсрэг талын хоорондох холбоог харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна. Тийм ч бага биш. Энэ нь тохиолдож магадгүй (дунджаар ийм дөрвөн цуврал туршилт бүрт тохиолддог). At 1000
ижил схемийг ашиглан туршилтыг хийснээр дор хаяж нэг хазайлтын магадлал нь үүнээс илүү байгааг олж авах боломжтой. 3σ, тэнцүү: . Тиймээс бид дор хаяж нэг ийм хазайлтыг маш их итгэлтэйгээр хүлээж чадна. Жишээ. Тодорхой насны бүлгийн эрэгтэйчүүдийн өндөр нь математикийн хүлээлтээр хэвийн хуваарилагддаг а, ба стандарт хазайлт σ
. Ямар хувь хэмжээний костюмтай вэ көсөлтийг тухайн насны бүлгийн нийт үйлдвэрлэлд оруулах ёстой бол кӨсөлтийг дараахь хязгаарлалтаар тодорхойлно. 1
өндөр :
158
−
164 см 2өндөр : 164 − 170см 3өндөр : 170 − 176см 4өндөр : 176 − 182 см Шийдэл. Дараах параметрийн утгуудаар асуудлыг шийдье. a=178,σ=6,к=3
. r.v. X
−
санамсаргүй байдлаар сонгогдсон хүний өндөр (энэ нь өгөгдсөн параметрүүдээр хэвийн тархсан). Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон хүнд хэрэгтэй байх магадлалыг олцгооё 3
-р өндөр. Лаплас функцийн сондгой байдлыг ашиглах F(x)болон түүний утгуудын хүснэгт: P(170 
.
. Тэдний нийлбэрийн тархалтын нягтыг ол. Х нь интервал дээр жигд тархалттай, h нь l параметртэй экспоненциал тархалттай x ба h бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг ол. П-г ол 
, хэрэв x нь: a) a ба s2 параметртэй хэвийн тархалт; b) l параметртэй экспоненциал тархалт; в) сегмент дэх жигд тархалт [-1;1]. x, h-ийн хамтарсан тархалт нь квадрат жигд байна
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Магадлалыг ол 
. x ба h бие даасан байна уу? K= гурвалжин дотор x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос жигд тархсан байна. x ба h нягтыг тооцоол. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан мөн үү? Магадлалыг ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд сегмент болон [-1,1] дээр жигд тархсан. Магадлалыг ол. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (x, h) нь (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) оройтой квадратад жигд тархсан байна. (1, -1) цэг дээрх хамтарсан тархалтын функцийн утгыг ол. Санамсаргүй вектор (x, h) эх цэг дээр төвтэй 3 радиустай тойрог дотор жигд тархсан байна. Хамтарсан тархалтын нягтын илэрхийлэл бич. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай эсэхийг тодорхойл. Магадлалыг тооцоол. Хос санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь орой нь (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) цэгүүдтэй трапецын дотор жигд тархсан байна. Энэ хос санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын нягт ба бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг ол. x ба h хамааралтай юу? Санамсаргүй хос (x, h) нь хагас тойрог дотор жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. x ба h хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна 
.
x, h нягтыг ол. x ба h-ийн хамаарлын асуултыг судал. Санамсаргүй хос (x, h) олонлог дээр жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. M(xh)-г ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд Find параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг.Индекс Нэг төрлийн хуваарилалтын хууль Экспоненциал тархалтын хууль
Тодорхойлолт
Дүрэмт хувцас гэж нэрлэдэг
Сегмент дээр нягт нь тогтмол хэвээр байх ба хэлбэртэй үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалт
Экспоненциал гэж нэрлэдэг
хэлбэртэй нягтралаар тодорхойлогддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалт
Энд λ нь тогтмол эерэг утга юмТүгээлтийн функц
Магадлал
интервал руу унаж байна
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ
Тархалт
Стандарт хэлбэлзэл
"Нэгдмэл ба экспоненциал тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Даалгавар 1.
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.Даалгавар 2.
П(а< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
1
. Үүнийг дагадаг 
, хаана 
. Тиймээс нягт нь сегмент дээр жигд тархсан [ а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхэлбэртэй байна:
.
. Холбогдох тооцооллын үр дүнд бид хуваарилалтын функцийн дараах томъёог олж авна Ф(x)
жигд тархсан сегмент [ а,
б] санамсаргүй хэмжигдэхүүн X
:
.
, дотор бүрэн хэвтэж байна [ а,
б]. Түгээлтийн функцийн мэдэгдэж буй хэлбэрийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.
, дотор бүрэн хэвтэж байна [ а,
б], энэ интервалын байрлалаас хамаарахгүй, зөвхөн түүний уртаас хамаарах ба энэ урттай шууд пропорциональ байна.Хэвийн тархалт
,
, дараа нь интегралыг (нэлээд төвөгтэй) тооцоолсны дараа бид хариулт дахь тоог авна. σ
2
. Тиймээс санамсаргүй хувьсагчийн хувьд X, ердийн хуулийн дагуу тархсан дараах үндсэн тоон шинж чанарыг олж авсан.
. Орлуулах үед е(x)
үр дүн нь "аваагүй" интеграл юм. Илэрхийллийг хялбарчлахын тулд юу ч хийж болно Ф(x),
Энэ функцийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
,
.
.
.
