Урвуу функцийн дериватив ба параметрээр өгөгдсөн функц. Далд байдлаар өгөгдсөн функцийн дериватив. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Энэ догол мөрөнд бүх зүйл маш энгийн байдаг. Бичиж болно ерөнхий томъёопараметрийн хувьд өгөгдсөн функц, гэхдээ ойлгомжтой болгохын тулд би тэр даруй бичих болно тодорхой жишээ. Параметрийн хэлбэрээр функцийг хоёр тэгшитгэлээр өгөгдөнө: . Ихэнхдээ тэгшитгэлийг буржгар хаалтанд биш, харин дарааллаар бичдэг:,.

Хувьсагчийг параметр гэж нэрлэдэг бөгөөд "хасах хязгааргүй" -ээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэл утгыг авч болно. Жишээлбэл, утгыг авч үзээд үүнийг хоёр тэгшитгэлд орлуулна уу: . Эсвэл хүмүүнлэгээр: "х нь дөрөвтэй тэнцүү бол y нь нэгтэй тэнцүү". Та координатын хавтгай дээрх цэгийг тэмдэглэж болох бөгөөд энэ цэг нь параметрийн утгатай тохирно. Үүний нэгэн адил та "te" параметрийн аль ч утгын цэгийг олох боломжтой. "Энгийн" функцийн хувьд параметрийн хувьд өгөгдсөн функцийн Америкийн индианчуудын хувьд бүх эрхийг хүндэтгэдэг: та график зурах, дериватив олох гэх мэт боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв параметрийн өгөгдсөн функцийн графикийг бүтээх шаардлагатай бол миний геометрийн програмыг хуудаснаас татаж аваарай. Математикийн томьёоболон ширээ.

Хамгийн энгийн тохиолдолд функцийг тодорхой илэрхийлэх боломжтой. Бид эхний тэгшитгэлийн параметрийг илэрхийлнэ. ба үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу: . Үр дүн нь ердийн куб функц юм.

Илүү "хүнд" тохиолдолд ийм заль мэх ажиллахгүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь параметрийн функцийн деривативыг олох томъёо байдаг.

Бид "te хувьсагчтай холбоотой тоглогч"-ын деривативыг олдог.

Ялгаварлах бүх дүрэм, деривативын хүснэгт нь мэдээжийн хэрэг үсгийн хувьд хүчинтэй, иймээс, дериватив олох үйл явцад шинэлэг зүйл байхгүй. Хүснэгтийн бүх "х"-г "te" үсгээр солих хэрэгтэй.

Бид "te" хувьсагчтай холбоотой x-ийн деривативыг олно.

Одоо зөвхөн олдсон деривативуудыг манай томъёонд орлуулахад л үлдлээ.

Бэлэн. Дериватив нь функцын нэгэн адил параметрээс хамаарна.

Тэмдэглэгээний хувьд томьёонд бичихийн оронд "х" гэсэн "ердийн" дериватив тул үүнийг зүгээр л доод тэмдэггүйгээр бичиж болно. Гэхдээ уран зохиолд үргэлж хувилбар байдаг, тиймээс би стандартаас хазайхгүй.

Жишээ 6

Бид томъёог ашигладаг

AT Энэ тохиолдолд:

Энэ замаар:

Параметр функцийн деривативыг олох нэг онцлог нь алхам бүрт үр дүнг аль болох хялбарчлах нь давуу талтай. Тиймээс, авч үзсэн жишээн дээр олохдоо би үндэс дор хаалт нээв (хэдийгээр би үүнийг хийгээгүй байж магадгүй). Орлуулж, томъёонд оруулахад олон зүйл сайн буурах магадлал өндөр байна. Хэдийгээр болхи хариулттай жишээнүүд мэдээж бий.

Жишээ 7

Параметрээр өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Нийтлэлд Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн ердийн асуудлууд Бид функцийн хоёр дахь деривативыг олох шаардлагатай жишээг авч үзсэн. Параметрээр өгөгдсөн функцийн хувьд та хоёр дахь деривативыг олох боломжтой бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно: . Хоёрдахь деривативыг олохын тулд эхлээд эхний деривативыг олох хэрэгтэй гэдэг нь ойлгомжтой.

Жишээ 8

Параметрээр өгөгдсөн функцийн эхний ба хоёрдугаар деривативыг ол

Эхлээд анхны деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Олсон деривативуудыг томъёонд орлуулна. Энгийн байхын тулд бид тригонометрийн томъёог ашигладаг.

Параметр функцийн деривативыг олох асуудалд хялбарчлахын тулд ихэвчлэн ашигладаг болохыг би анзаарсан. тригонометрийн томъёо . Тэдгээрийг санаж эсвэл гартаа байлгаж, завсрын үр дүн, хариулт бүрийг хялбарчлах боломжийг бүү алдаарай. Юуны төлөө? Одоо бид -ийн деривативыг авах ёстой бөгөөд энэ нь -ийн деривативыг олохоос хамаагүй дээр.

Хоёр дахь деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг: .

Өөрийнхөө томъёог харцгаая. Өмнөх алхамд хуваагч аль хэдийн олдсон. "te" хувьсагчтай холбоотой анхны деривативын дериватив болох тоологчийг олоход л үлдлээ.

Дараахь томъёог ашиглахад л үлддэг.

Материалыг нэгтгэхийн тулд би бие даасан шийдлийн хэд хэдэн жишээг санал болгож байна.

Жишээ 9

Жишээ 10

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийг олох

Танд амжилт хүсье!

Энэ хичээл хэрэг болсон гэж найдаж байна, одоо та далд функц болон параметрийн функцүүдийн деривативуудыг хялбархан олох боломжтой боллоо.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3: Шийдэл:






Энэ замаар:

Хавтгай дээрх шугамын тодорхойлолтыг авч үзье, үүнд x, y хувьсагчууд нь гурав дахь хувьсагчийн t (параметр гэж нэрлэгддэг) функцууд болно.

Үнэ цэнэ бүрийн хувьд тзарим интервалаас тодорхой утгуудтай тохирч байна xболон y, ба, иймээс хавтгайн тодорхой M(x, y) цэг. Хэзээ төгөгдсөн интервалаас бүх утгууд, дараа нь цэгээр дамждаг М (x, y) зарим мөрийг дүрсэлдэг Л. (2.2) тэгшитгэлийг шугамын параметрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг Л.

Хэрэв x = φ(t) функц нь урвуу t = Ф(x) байвал энэ илэрхийллийг y = g(t) тэгшитгэлд орлуулснаар бид y = g(Ф(х))-ийг олж авна. yфункцээр x. Энэ тохиолдолд (2.2) тэгшитгэлийг функцийг тодорхойлно гэж хэлнэ yпараметрийн хувьд.

Жишээ 1Болъё М (х, у)радиусын тойргийн дурын цэг юм Рба гарал үүсэл дээр төвлөрсөн. Болъё т- тэнхлэг хоорондын өнцөг Үхэрба радиус ОМ(Зураг 2.3-ыг үз). Дараа нь x, yдамжуулан илэрхийлсэн т:

Тэгшитгэл (2.3) нь тойргийн параметрийн тэгшитгэл юм. (2.3) тэгшитгэлээс t параметрийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэл бүрийг квадрат болгож, нэмбэл: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) эсвэл x 2 + y 2 \u003d R 2 - тойргийн тэгшитгэлийг авна. Декартын координатын системд. Энэ нь хоёр функцийг тодорхойлдог: Эдгээр функц тус бүрийг параметрийн тэгшитгэлээр (2.3) өгөгдсөн боловч эхний функцийн хувьд , хоёр дахь функцийн хувьд .

Жишээ 2. Параметрийн тэгшитгэл

хагас тэнхлэг бүхий эллипсийг тодорхойлно а, б(Зураг 2.4). Тэгшитгэлээс параметрийг хасах т, бид авдаг каноник тэгшитгэлзуйван:

Жишээ 3. Хэрэв энэ тойрог шулуун шугамын дагуу гулсахгүйгээр эргэлдэж байвал тойрог дээр хэвтэж буй цэгээр дүрслэгдсэн шугамыг циклоид гэнэ (Зураг 2.5). Циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг танилцуулъя. Өнхрөх тойргийн радиусыг тэнцүү болго а, цэг М, циклоидыг дүрсэлсэн, хөдөлгөөний эхэнд гарал үүсэлтэй давхцсан.

Координатуудыг тодорхойлъё x, y оноо Мтойрог өнцгөөр эргэлдсэний дараа т
(Зураг 2.5), t = ÐMCB. Нуман урт МБсегментийн урттай тэнцүү байна ОБ,тойрог гулсахгүйгээр эргэлддэг тул

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - зардал).

Тиймээс циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.

Параметрийг өөрчлөх үед т 0-ээс 2πтойрог нэг эргэлтээр эргэлдэж байхад цэг Мциклоидын нэг нумыг дүрсэлдэг. Тэгшитгэл (2.5) тодорхойлно yфункцээр x. Хэдийгээр функц x = a(t - sint)урвуу функцтэй боловч энгийн функцээр илэрхийлэгдээгүй тул функц у = f(x)үндсэн функцээр илэрхийлэгдэхгүй.

(2.2) тэгшитгэлээр параметрээр өгөгдсөн функцийг ялгахыг авч үзье. t өөрчлөлтийн тодорхой интервал дахь x = φ(t) функц нь урвуу функцтэй байна t = Ф(x), дараа нь y = g(Ф(x)). Болъё x = φ(t), у = г(т)деривативтай ба x"t≠0. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу y"x=y"t×t"x.Ялгаварлах дүрэмд үндэслэсэн урвуу функц, ийм учраас:

Үүссэн томъёо (2.6) нь параметрээр өгөгдсөн функцийн деривативыг олох боломжийг олгодог.

Жишээ 4. Функцийг үзье y, хамаарна x, параметрийн дагуу тохируулагдсан:

Шийдэл. .
Жишээ 5Налууг олох кпараметрийн утгад тохирох M 0 цэг дэх циклоид руу шүргэгч .
Шийдэл.Циклоид тэгшитгэлээс: y" t = asint, x" t = a(1 - зардал),тийм учраас

Нэг цэг дэх шүргэгчийн налуу М0 утгатай тэнцүү байнацагт t 0 \u003d π / 4:

ФУНКЦИЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Функцийг нэг цэгт оруулъя x0деривативтай. Тодорхойлолтоор:
тиймээс хязгаарын шинж чанараар (1.8-р хэсэг) , хаана аүед хязгааргүй жижиг байна ∆x → 0. Эндээс

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 байх тул тэгш байдлын хоёр дахь гишүүн (2.7) хязгааргүй бага байна илүү өндөр дараалал, тай харьцуулахад , тиймээс Δy ба f "(x 0) × Δx нь тэнцүү, хязгааргүй бага (f "(x 0) ≠ 0-ийн хувьд).

Тиймээс Δy функцийн өсөлт нь хоёр гишүүнээс бүрдэх бөгөөд эхний f "(x 0) × Δx нь гол хэсэг Δy-ийн өсөлт, Δx-тэй харьцуулахад шугаман (f "(x 0) ≠ 0-ийн хувьд).

Дифференциал x 0 цэг дэх f(x) функцийг функцийн өсөлтийн үндсэн хэсэг гэж нэрлэх ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ. dyэсвэл df(x0). Үүний үр дүнд,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Жишээ 1Функцийн дифференциалыг ол dy y \u003d x 2 функцийн хувьд Δy функцийн өсөлт дараах тохиолдолд:
1) дур зоргоороо xболон Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

Шийдэл

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Хэрэв x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1 бол Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; dy = 40×0.1= 4.

Бид тэгш байдлыг (2.7) дараах хэлбэрээр бичнэ.

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Δy-ийн өсөлт нь дифференциалаас ялгаатай dyΔx-тэй харьцуулахад хязгааргүй өндөр дараалалтай тул ойролцоогоор тооцоололд Δx хангалттай бага бол ойролцоогоор Δy ≈ dy тэгшитгэлийг ашиглана.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0) гэдгийг харгалзан бид ойролцоогоор томъёог олж авна.

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Жишээ 2. Ойролцоогоор тооцоол.

Шийдэл.Үүнд:

(2.10) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс ≈ 2.025 байна.

Дифференциалын геометрийн утгыг авч үзье df(x0)(Зураг 2.6).

M 0 (x0, f (x 0)) цэгийн y = f (x) функцийн график руу шүргэгчийг зурж, шүргэгч KM0 ба Ox тэнхлэгийн хоорондох өнцөгийг φ, дараа нь f "(x 0) гэж үзье. ) = tgφ.ΔM0NP-ээс:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Гэхдээ PN нь x нь x 0-ээс x 0 + Δx болж өөрчлөгдөх үед шүргэгч ординатын өсөлт юм.

Иймд x 0 цэг дээрх f(x) функцийн дифференциал нь шүргэгч ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.

Функцийн дифференциалыг олъё
y=x. (x)" = 1 тул dx = 1 × Δx = Δx байна. Бид x бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь түүний өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл dx = Δx байна гэж үздэг.

Хэрэв x нь дурын тоо бол (2.8) тэгшитгэлээс бид df(x) = f "(x)dx, эндээс авна. .
Тиймээс y = f(x) функцийн дериватив нь түүний дифференциалыг аргументийн дифференциалтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Функцийн дифференциалын шинж чанарыг авч үзье.

Хэрэв u(x), v(x) нь дифференциалагдах функц бол дараах томъёонууд үнэн байна.

Эдгээр томьёог батлахын тулд нийлбэр, үржвэр, хэсгийн үүсмэл томъёог ашигладаг. Жишээлбэл (2.12) томъёог баталцгаая.

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Комплекс функцийн дифференциалыг авч үзье: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Дараа нь dy = y" t dt, харин y" t = y" x ×x" t , тэгэхээр dy =y" x x" t dt. харгалзан үзвэл,

гэсэн x" t = dx, бид dy = y" x dx =f "(x)dx авна.

Тиймээс y \u003d f (x) нийлмэл функцийн дифференциал нь x \u003d φ (t) нь dy \u003d f "(x) dx хэлбэртэй, x нь бие даасан хувьсагчтай адил байна. Энэ шинж чанар гэж нэрлэдэг хэлбэрийн инвариант дифференциал а.

Функцийг параметрийн аргаар өгье.
(1)
параметр гэж нэрлэгддэг хувьсагч хаана байна. Мөн хувьсагчийн ямар нэг утгад үүсмэл болон функцүүд байг. Түүнээс гадна функц нь тухайн цэгийн зарим хэсэгт урвуу функцтэй байдаг. Дараа нь (1) функц нь параметрийн хэлбэрээр дараах томъёогоор тодорхойлогддог цэг дээр деривативтай байна.
(2)

Энд ба функцүүдийн деривативууд ба хувьсагчийн хувьд (параметр) байна. Тэдгээрийг ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичдэг.
;
.

Дараа нь (2) системийг дараах байдлаар бичиж болно.

Баталгаа

Нөхцөлөөр бол функц нь урвуу функцтэй байна. гэж тэмдэглэе
.
Дараа нь анхны функцийг цогц функцээр илэрхийлж болно:
.
Комплекс ба урвуу функцийг ялгах дүрмийг ашиглан түүний уламжлалыг олцгооё.
.

Дүрэм нь батлагдсан.

Хоёр дахь аргаар нотлох

: цэг дээрх функцийн деривативын тодорхойлолтод үндэслэн деривативыг хоёр дахь аргаар олъё.
.
Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
.
Дараа нь өмнөх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Функц нь урвуу функцтэй гэдгийг цэгийн ойролцоо ашиглая.
Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
; ;
; .
Бутархайн тоо ба хуваагчийг дараах байдлаар хуваа.
.
-д. Дараа нь
.

Дүрэм нь батлагдсан.

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

Дээд эрэмбийн деривативыг олохын тулд хэд хэдэн удаа ялгах шаардлагатай. Дараах хэлбэрийн параметрийн аргаар өгөгдсөн функцийн хоёр дахь деривативыг олох хэрэгтэй гэж үзье.
(1)

Томъёо (2)-ын дагуу бид параметрийн дагуу тодорхойлогддог эхний деривативыг олдог.
(2)

Эхний деривативыг хувьсагчаар тэмдэглэ.
.
Дараа нь хувьсагчтай холбоотой функцийн хоёр дахь деривативыг олохын тулд хувьсагчтай холбоотой функцийн эхний деривативыг олох хэрэгтэй. Хувьсагчийн хувьсагчийн хамаарлыг мөн параметрийн аргаар тодорхойлно.
(3)
(3) томъёог (1) ба (2) томъёотой харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олно.

Одоо үр дүнг функц болон функцээр илэрхийлье. Үүнийг хийхийн тулд бид бутархайн деривативын томъёог орлуулж хэрэглэнэ.
.
Дараа нь
.

Эндээс бид хувьсагчийн хувьд функцийн хоёр дахь деривативыг олж авна.

Үүнийг мөн параметрийн хэлбэрээр өгдөг. Эхний мөрийг дараах байдлаар бичиж болно гэдгийг анхаарна уу.
.

Процессыг үргэлжлүүлснээр гуравдагч ба түүнээс дээш эрэмбийн хувьсагчаас функцүүдийн деривативыг олж авах боломжтой.

Деривативын тэмдэглэгээг оруулахгүй байх боломжтойг анхаарна уу. Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
;
.

Жишээ 1

Параметрийн аргаар өгөгдсөн функцийн деривативыг ол.

Шийдэл

Бид болон -ын деривативуудыг олдог.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
.
Бид өргөдөл гаргана:

.
Энд.

.
Энд.

Хүссэн дериватив:
.

Хариулах

Жишээ 2

Параметрээр илэрхийлсэн функцийн деривативыг ол.

Шийдэл

Хүчин чадлын функц ба үндэсийн томъёог ашиглан хаалтуудыг нээцгээе.
.

Бид деривативыг олдог:

.

Бид деривативыг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийг нэвтрүүлж, нийлмэл функцийн деривативын томъёог хэрэглэнэ.

.

Бид хүссэн деривативыг олдог:
.

Хариулах

Жишээ 3

1-р жишээнд параметрийн дагуу өгөгдсөн функцийн хоёр ба гурав дахь деривативыг ол.

Шийдэл

Жишээ 1 дээр бид эхний эрэмбийн деривативыг олсон:

Тэмдэглэгээг танилцуулъя. Дараа нь функц нь -тэй холбоотой дериватив юм. Энэ нь параметрийн дагуу тохируулагдсан:

-тэй холбоотой хоёр дахь деривативыг олохын тулд -тэй холбоотой эхний деривативыг олох хэрэгтэй.

-ын хувьд бид ялгадаг.
.
Бид 1-р жишээнээс деривативыг олсон:
.
Хоёрдахь эрэмбийн дериватив нь дараахтай харьцуулахад эхний дарааллын деривативтай тэнцүү байна.
.

Тиймээс бид параметрийн хэлбэрийн хувьд хоёр дахь эрэмбийн деривативыг олсон.

Одоо бид гурав дахь эрэмбийн деривативыг оллоо. Тэмдэглэгээг танилцуулъя. Дараа нь параметрийн аргаар өгөгдсөн функцийн эхний деривативыг олох хэрэгтэй.

-д хамаарах деривативыг бид олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид ижил төстэй хэлбэрээр дахин бичнэ:
.
-аас
.

Гурав дахь дарааллын дериватив нь дараахтай харьцуулахад эхний дарааллын деривативтай тэнцүү байна.
.

Сэтгэгдэл

-ийн дериватив болох ба хувьсагчдыг оруулахгүй байх боломжтой. Дараа нь та дараах байдлаар бичиж болно.
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Хариулах

Параметрийн дүрслэлд хоёр дахь эрэмбийн дериватив байна дараагийн харах:

Гурав дахь дарааллын дериватив.

Функцийг хэд хэдэн аргаар тодорхойлж болно. Энэ нь түүнийг тохируулахдаа ашигладаг дүрмээс хамаарна. Функцийн тодорхойлолтын тодорхой хэлбэр нь y = f (x) юм. Түүний тайлбар боломжгүй эсвэл тохиромжгүй тохиолдол байдаг. Хэрэв (a; b) интервалаар t параметрийг тооцоолох шаардлагатай хосуудын багц (x; y) байвал. x = 3 cos t y = 3 sin t системийг 0 ≤ t-тэй шийдэхийн тулд< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Параметр функцийн тодорхойлолт

Эндээс бид t ∈ (a ; b) утгын хувьд x = φ (t) , y = ψ (t) нь тодорхойлогдсон бөгөөд x = φ (t) -ийн хувьд урвуу функц t = Θ (x) байна. Бид даалгаврын тухай ярьж байна параметрийн тэгшитгэл y = ψ (Θ (x)) хэлбэрийн функцууд.

Функцийг судлахын тулд x-ийн деривативыг хайх шаардлагатай тохиолдол байдаг. y x " = ψ " (t) φ " (t) хэлбэрийн параметрийн өгөгдсөн функцийн деривативын томъёог авч үзье, 2 ба n-р эрэмбийн деривативын талаар ярилцъя.

Параметрээр өгөгдсөн функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Бидэнд x = φ (t) , y = ψ (t) , тодорхойлогдсон ба t ∈ a -ийн хувьд ялгах боломжтой; b , энд x t " = φ " (t) ≠ 0 ба x = φ (t) , дараа нь t = Θ (x) хэлбэрийн урвуу функц байна.

Эхлээд та параметрийн даалгавараас тодорхой даалгавар руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) хэлбэрийн нарийн төвөгтэй функцийг авах шаардлагатай бөгөөд энд аргумент x байна.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох дүрэмд үндэслэн бид y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x гэсэн утгыг олж авна.

Эндээс харахад t = Θ (x) ба x = φ (t) нь урвуу функцийн томьёо Θ "(x) = 1 φ" (t) , дараа нь y "x = ψ" Θ (x) Θ " гэсэн урвуу функцууд болохыг харуулж байна. (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Ялгах дүрмийн дагуу деривативын хүснэгтийг ашиглан хэд хэдэн жишээг шийдвэрлэх талаар ярилцъя.

Жишээ 1

x = t 2 + 1 y = t функцийн деривативыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t гэсэн утгатай тул φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1 болно. Гарсан томъёог ашиглан хариултыг дараах хэлбэрээр бичих шаардлагатай.

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 т

Хариулт: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1.

Функцийн деривативтай ажиллахдаа t параметр нь деривативын утгууд болон параметрийн тодорхойлсон функцийн хоорондын холболтыг эдгээр аргументтай холбохгүй байхын тулд ижил параметрээр х аргументийн илэрхийлэлийг зааж өгдөг. үнэт зүйлс таарч байна.

Параметрээр өгөгдсөн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг тодорхойлохын тулд та үүссэн функц дээр нэгдүгээр эрэмбийн деривативын томъёог ашиглах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь бид үүнийг олж авна.

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Жишээ 2

Өгөгдсөн x = cos (2 t) y = t 2 функцийн 2 ба 2-р эрэмбийн деривативуудыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 болохыг олж авна.

Дараа нь хувиргасны дараа

φ "(t) \u003d cos (2 т)" \u003d - нүгэл (2 т) 2 т " \u003d - 2 нүгэл (2 т) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 т

Үүнээс үзэхэд y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

1-р эрэмбийн деривативын хэлбэр нь x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) гэдгийг бид олж мэднэ.

Үүнийг шийдэхийн тулд та хоёрдугаар эрэмбийн дериватив томъёог ашиглах хэрэгтэй. Бид ийм илэрхийлэл авдаг

y x "" \u003d - t нүгэл (2 т) φ "t \u003d - t " нүгэл (2 т) - т (нүгэл (2 т)) " нүгэл 2 (2 т) - 2 нүгэл (2 т) = = 1 нүгэл (2 т) - t cos (2 т) (2 т) " 2 син 3 (2 т) = нүгэл (2 т) - 2 т кос (2 т) 2 нүгэл 3 (2 т)

Дараа нь параметрийн функцийг ашиглан 2-р эрэмбийн деривативыг тохируулна

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Үүнтэй төстэй шийдлийг өөр аргаар шийдэж болно. Дараа нь

φ "t \u003d (cos (2 т)) " \u003d - нүгэл (2 т) 2 т " \u003d - 2 нүгэл (2 т) ⇒ φ "" t \u003d - 2 нүгэл (2 т) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 т) " = 2

Тиймээс бид үүнийг олж авдаг

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 син (2 т) - 2 т (- 4 cos) (2 т)) - 2 нүгэл 2 т 3 \u003d \u003d нүгэл (2 т) - 2 т cos (2 т) 2 с и н 3 (2 т)

Хариулт: y "" x \u003d нүгэл (2 т) - 2 т cos (2 т) 2 с i n 3 (2 т)

Үүний нэгэн адил параметрээр тодорхойлсон функцтэй дээд эрэмбийн деривативууд олддог.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Логарифмын ялгаа

Дериватив үндсэн функцууд

Ялгаварлах үндсэн дүрмүүд

Функцийн дифференциал

гэр шугаман хэсэгфункцийн өсөлт АД xфункцийн дифференциал байдлын тодорхойлолтод

Д f=f(x)-f(x 0)=А(х-х 0)+o(х-х 0), x®x 0

функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг е(x) цэг дээр x 0 ба тэмдэглэсэн

df(x 0)=f¢(x 0) D x= AД x.

Дифференциал нь тухайн цэгээс хамаарна x 0 ба өсөлтөөс D x.Д дээр xбие даасан хувьсагч гэж үзэж байхад, тэгэхээр цэг бүрт дифференциал байна шугаман функцөсөлтөөс D x.

Хэрэв бид функц гэж үзвэл е(x)=x, тэгвэл бид авна dx=Д x, dy = Нэмэлт. Энэ нь Лейбницийн тэмдэглэгээтэй нийцдэг

Шүргэгчийн ординатын өсөлт гэж дифференциалын геометрийн тайлбар.

Цагаан будаа. 4.3

1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Үр дагавар. (харьц(x))¢=харьц ¢(x), (в 1 е 1 (x)+…+c n f n(x))¢= в 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 ба дериватив нь байна f¢=(u¢v-v¢ у)/v 2 .

Товчхондоо бид тэмдэглэх болно u=u(x), у 0 =у(x 0), дараа нь

D цэгийн хязгаарыг давж байна x® 0 Бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авдаг.

5) Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Теорем. Хэрэв f¢ байгаа бол(x 0), g¢(x 0)болон x 0 =g(т 0), дараа нь зарим хороололд т 0 тодорхойлсон нарийн төвөгтэй функце(g(т)), энэ нь t цэг дээр ялгагдах боломжтой 0 болон

Баталгаа.

е(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(х-х 0)+ а( x)(х-х 0), xÎ У(x 0).

е(g(т))-f(g(т 0))= f¢(x 0)(g(т)-г(т 0))+ а( g(т))(g(т)-г(т 0)).

Энэ тэгш байдлын хоёр талыг (-д хуваа) т - т 0) болон хязгаарт шилжих t®t 0 .

6) Урвуу функцийн деривативын тооцоо.

Теорем. f нь тасралтгүй, хатуу монотон байна[а,б]. x цэг дээр байг 0 Î( а,б)байдаг f¢(x 0)¹ 0 , тэгвэл урвуу функц x=f -1 (y)y цэг дээр байна 0 -тэй тэнцүү дериватив

Баталгаа. Бид итгэж байна ехатуу monotonically нэмэгдэж, дараа нь е -1 (y) тасралтгүй, нэг хэвийн өсөлттэй байна [ е(а), f(б)]. тавья y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0=D x,

y-y 0=D y. Урвуу функцийн тасралтгүй байдлын улмаас D y®0 Þ Д x®0, бидэнд байна

Хязгаарыг давснаар бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авдаг.

7) Дериватив жигд функцсондгой, сондгой функцын дериватив нь тэгш байна.

Үнэхээр, хэрэв x®-x 0 , дараа нь - x® x 0 , тийм учраас

Сондгой функцийн хувьд тэгш функцийн хувьд

1) f= const, f¢(x)=0.

2) е(x)=x, f¢(x)=1.

3) е(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) е(x)=a x,(а х)¢ = x ln а.

5) ln а.

6) е(x)=ln x,

Үр дагавар. (тэгш функцийн дериватив нь сондгой)

7) (хм )¢= м xм-1 , x>0, xм =eм ln x .

8) (нүгэл x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- нүгэл x,(cos x)¢= (нүгэл( x+ p/2)) ¢= учир нь( x+ p/2)=-нүгэл x.

10) (тг x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/sin2 x.

16) ш x, ch x.

f(x),, үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг f¢(x)=f(x)(ln е(x))¢ .

Ижил томъёог өөрөөр авч болно е(x)=e ln е(x) , f¢=e ln е(x) (ln е(x))¢.

Жишээ. Функцийн деривативыг тооцоол f=x x.

=x x = x x = x x = x x(Ln x + 1).

Хавтгай дээрх цэгүүдийн байршил

функцийн график гэж нэрлэгдэх болно, параметрийн дагуу өгөгдсөн. Тэд мөн функцийн параметрийн тодорхойлолтын талаар ярьдаг.

Тайлбар 1.Хэрвээ x, yтасралтгүй дээр [а,б] болон x(т) сегмент дээр хатуу монотон (жишээ нь, хатуу монотон нэмэгдэж), дараа нь [ а,б], a=x(а) ,b=x(б) функцийг тодорхойлсон е(x)=y(т(x)), хаана т(x) – x(t)-ын эсрэг функц. Энэ функцийн график нь функцийн графиктай ижил байна

Хэрэв хамрах хүрээ Параметрээр тодорхойлогдсон функцийг хязгаарлагдмал тооны сегментүүдэд хувааж болно ,k= 1,2,…,n,функц тус бүр дээр x(т) нь хатуу монотон, дараа нь параметрийн тодорхойлогдсон функц нь хязгаарлагдмал тооны энгийн функцүүдэд задардаг. f k(x)=y(т -1 (x)) хамрах хүрээтэй [ x(а к), x(б к)] өгсөх хэсгүүдэд зориулагдсан x(т) болон домэйнуудтай [ x(б к), x(а к)] функцын буурах хэсгүүдийн хувьд x(т). Ийм аргаар олж авсан функцуудыг параметрийн тодорхойлогдсон функцийн нэг утгатай салбар гэж нэрлэдэг.

Зураг дээр параметрийн тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав

Сонгосон параметржилтийн тусламжтайгаар тодорхойлолтын домэйн sin(2 т), яг: тÎ тÎ ,тÎ ,тÎ , Үүний дагуу график нь эдгээр хэсгүүдэд тохирох таван нэг утгатай салбар болгон хуваагдана.

Цагаан будаа. 4.4

Цагаан будаа. 4.5

Та ижил цэгүүдийн өөр параметржуулалтыг сонгож болно

Энэ тохиолдолд ийм дөрвөн салбар л байх болно. Тэд хатуу монотон байдлын хэсгүүдэд тохирох болно тÎ ,тÎ , тÎ ,тÎ функцууд нүгэл (2 т).

Цагаан будаа. 4.6

sin функцийн монотон байдлын дөрвөн хэсэг(2 т) урт сегмент дээр.

Цагаан будаа. 4.7

Нэг зураг дээрх хоёр графикийн дүрс нь хоёр функцийн монотон байдлын талбайг ашиглан параметрийн дагуу өгөгдсөн функцийн графикийг ойролцоогоор дүрслэх боломжийг олгодог.

Жишээлбэл, сегментэд тохирох эхний салбарыг авч үзье тÎ . Энэ хэсгийн төгсгөлд функц x=нүгэл (2 т) -1 утгыг авна ба 1 , тиймээс энэ салбарыг [-1,1] дээр тодорхойлох болно. Үүний дараа та хоёр дахь функцийн монотон байдлын хэсгүүдийг харах хэрэгтэй у=учир нь( т), тэр эмэгтэйд байгаа монотон байдлын хоёр талбар . Энэ нь эхний салбар нь монотоникийн хоёр сегменттэй гэж хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Графикийн төгсгөлийн цэгүүдийг олсны дараа та графикийн нэг хэвийн байдлын мөн чанарыг харуулахын тулд тэдгээрийг шулуун шугамаар холбож болно. Үүнийг салбар бүрээр хийсний дараа бид графикийн нэг утгатай салбаруудын монотон хэсгүүдийг олж авна (зураг дээр тэдгээрийг улаанаар тодруулсан болно)

Цагаан будаа. 4.8

Эхний ганц салбар е 1 (x)=y(т(x)) , хэсэгт харгалзах -ээр тодорхойлогдох болно xн[-1,1] . Эхний ганц салбар тÎ , xО[-1,1].

Бусад гурван салбар бүгд [-1,1]-г өөрийн домэйн болгон ашиглах болно .

Цагаан будаа. 4.9

Хоёр дахь салбар тÎ xО[-1,1].

Цагаан будаа. 4.10

Гурав дахь салбар тÎ xн[-1,1]

Цагаан будаа. 4.11

Дөрөв дэх салбар тÎ xн[-1,1]

Цагаан будаа. 4.12

Сэтгэгдэл 2. Ижил функц өөр өөр параметрийн даалгавартай байж болно. Ялгаа нь аль алинд нь хоёуланд нь хамааралтай байж болно x(т),y(т) , болон тодорхойлолтын домэйн эдгээр функцууд.

Нэг функцийн өөр өөр параметрийн даалгаврын жишээ

болон тн[-1, 1] .

Тайлбар 3.Хэрэв x,y үргэлжилсэн байвал , x(т)-сегмент дээр хатуу монотон мөн деривативууд байдаг y¢(т 0),x¢(т 0)¹0, тэгвэл тэнд байна f¢(x 0)= .

Үнэхээр, .

Сүүлийн мэдэгдэл нь параметрийн хувьд тодорхойлогдсон функцийн нэг утгатай салбаруудад мөн хамаарна.

4.2 Дээд эрэмбийн дериватив ба дифференциал

Дээд дериватив ба дифференциал. Параметрээр өгөгдсөн функцүүдийн ялгаа. Лейбницийн томъёо.