Эллипсийн голомтуудын координатыг хэрхэн олох вэ. Хоёрдахь эрэмбийн шугамууд. Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл. Тойрог
Хоёрдахь эрэмбийн шугамууд.
Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл. Тойрог
Нарийвчилсан судалгаа хийсний дараа хавтгай дээрх шулуун шугамуудБид хоёр хэмжээст ертөнцийн геометрийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Бооцоо хоёр дахин нэмэгдэж, би таныг зууван, гипербол, параболын ердийн төлөөлөл болох үзэсгэлэнт галлерейд зочлохыг урьж байна. хоёр дахь дарааллын шугамууд. Аялал аль хэдийн эхэлсэн бөгөөд товч мэдээлэлМузейн янз бүрийн давхарт тавигдсан бүхэл бүтэн үзэсгэлэнгийн талаар:
Алгебрийн шугамын тухай ойлголт ба түүний дараалал
Хавтгай дээрх шугамыг нэрлэдэг алгебрийн, хэрэв байгаа бол аффины координатын системтүүний тэгшитгэл нь хэлбэрийн нөхцлөөс бүрдэх олон гишүүнт хэлбэртэй байна (бодит тоо, сөрөг бус бүхэл тоо).
Таны харж байгаагаар алгебрийн шугамын тэгшитгэл нь синус, косинус, логарифм болон бусад функциональ гоо сайхныг агуулаагүй болно. Зөвхөн "x" ба "y" дотор сөрөг бус бүхэл тооградус.
Шугамын дараалалтүүнд орсон нэр томъёоны дээд утгатай тэнцүү байна.
Холбогдох теоремын дагуу алгебрийн шугамын тухай ойлголт, түүний дараалал нь сонголтоос хамаардаггүй. аффины координатын систем, тиймээс, хялбар байх үүднээс бид дараагийн бүх тооцооллыг хийгдэнэ гэж үзэж байна Декарт координатууд.
Ерөнхий тэгшитгэлХоёрдахь эрэмбийн мөрөнд , хаана гэсэн хэлбэртэй байна 
дурын бодит тоонууд (үржүүлэгчээр бичих нь заншилтай байдаг - "хоёр"), мөн коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.
Хэрэв бол тэгшитгэл нь хялбарчлагдана 
, хэрэв коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь яг тохирно "хавтгай" шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл, илэрхийлдэг эхний захиалгын мөр.
Олон хүмүүс шинэ нэр томъёоны утгыг ойлгосон боловч материалыг 100% шингээхийн тулд бид хуруугаа залгуурт наа. Шугамын дарааллыг тодорхойлохын тулд дахин давт бүх нөхцөлтүүний тэгшитгэлүүд ба тэдгээрийн тус бүрийг олно эрх мэдлийн нийлбэрирж буй хувьсагчид.
Жишээлбэл:
нэр томьёо нь 1-р зэргийн "x" -ийг агуулна;
нэр томъёо нь 1-р зэрэглэлд "Y" -ийг агуулна;
нэр томъёонд хувьсагч байхгүй тул тэдгээрийн чадлын нийлбэр нь тэг байна.
Одоо тэгшитгэл яагаад шугамыг тогтоож байгааг олж мэдье хоёрдугаартзахиалга:
нэр томьёо нь 2-р зэрэглэлийн "x"-г агуулдаг;
нэр томъёо нь хувьсагчдын градусын нийлбэртэй байна: 1 + 1 = 2;
нэр томьёо нь 2-р зэрэглэлийн "y" -ийг агуулдаг;
бусад бүх нэр томъёо - багазэрэг.
Хэрэв бид тэгшитгэлдээ нэмж нэмбэл, гэж хэлвэл энэ нь аль хэдийн тодорхойлогдох болно гурав дахь дарааллын шугам. 3-р эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь хувьсагчийн зэрэглэлийн нийлбэр нь 3-тай тэнцүү нэр томъёоны "бүрэн багц"-ыг агуулсан байх нь ойлгомжтой.
, коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.
Нэг буюу хэд хэдэн тохиромжтой нэр томъёог агуулсан тохиолдолд 
, дараа нь бид ярилцах болно 4-р дарааллын шугам, гэх мэт.
Бид 3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн алгебрийн шугамуудтай, ялангуяа танилцахдаа нэгээс олон удаа ажиллах шаардлагатай болно. туйлын координатын систем.
Гэсэн хэдий ч, ерөнхий тэгшитгэл рүү буцаж очоод түүний хамгийн энгийн сургуулийн хувилбаруудыг эргэн санацгаая. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг хялбархан багасгаж болох парабола нь өөрийгөө харуулж байна ерөнхий үзэл, ба эквивалент тэгшитгэлтэй гипербол . Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч жигд биш ....
Чухал сул тал ерөнхий тэгшитгэлЭнэ нь ямар шугам тавих нь бараг үргэлж тодорхойгүй байдагт оршино. Хамгийн энгийн тохиолдолд ч гэсэн та үүнийг хэтрүүлэн хэлнэ гэдгийг шууд ойлгохгүй байх болно. Ийм зохион байгуулалт нь зөвхөн нүүр будалтанд сайн байдаг тул аналитик геометрийн явцад ердийн асуудлыг авч үздэг. 2-р эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах.
Тэгшитгэлийн каноник хэлбэр нь юу вэ?
Энэ нь нийтлэг юм стандарт харагдах байдалХэдхэн секундын дотор ямар геометрийн объектыг тодорхойлох нь тодорхой болох үед тэгшитгэлүүд. Үүнээс гадна каноник хэлбэр нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Тиймээс, жишээлбэл, by каноник тэгшитгэл "хавтгай" шулуун, нэгдүгээрт, энэ нь шулуун шугам гэдэг нь шууд тодорхой болж, хоёрдугаарт, түүнд хамаарах цэг, чиглэлийн вектор нь энгийн харагдаж байна.
Мэдээжийн хэрэг, ямар ч 1-р захиалгын шугамшулуун шугамыг илэрхийлнэ. Хоёр давхарт биднийг сахигч байхаа больсон, харин есөн барималаас бүрдсэн илүү олон янзын компани байдаг.
Хоёрдахь эрэмбийн шугамын ангилал
Үйлдлийн тусгай багцын тусламжтайгаар аливаа хоёр дахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг аль нэг болгон бууруулна дараах төрлүүд:
(болон эерэг бодит тоонууд)
1) 
нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм;
2) гиперболын каноник тэгшитгэл;
3) 
параболын каноник тэгшитгэл юм;
4) – төсөөлөлтэйэллипс;
5) - огтлолцсон хос шугам;
6) - хос төсөөлөлтэйогтлолцох шугам (гарал үүсэл дээр огтлолцох цорын ганц бодит цэгтэй);
7) - хос зэрэгцээ шугам;
8) - хос төсөөлөлтэйзэрэгцээ шугамууд;
9) нь давхцаж буй хос шугам юм.
Зарим уншигчид жагсаалт бүрэн бус байна гэсэн сэтгэгдэл төрүүлж магадгүй юм. Жишээлбэл, 7-р догол мөрөнд тэгшитгэл нь хосыг тогтоодог шууд, тэнхлэгтэй параллель байх ба асуулт гарч ирнэ: y тэнхлэгтэй параллель шугамуудыг тодорхойлох тэгшитгэл хаана байна вэ? Хариулт: тэр канон гэж тооцогддоггүй. Шулуун шугамууд нь 90 градусаар эргэлдсэн ижил стандарт тохиолдлыг төлөөлдөг бөгөөд ангилалд нэмэлт оруулга нь үндсэндээ шинэ зүйл агуулаагүй тул шаардлагагүй болно.
Тэгэхээр ес, ердөө ес байна төрөл бүрийн 2-р дарааллын мөрүүд, гэхдээ практик дээр хамгийн түгээмэл эллипс, гипербол, парабол.
Эхлээд эллипсийг харцгаая. Ердийнх шигээ би байгаа зүйлүүд дээр анхаарлаа хандуулдаг их ач холбогдолАсуудлыг шийдвэрлэхийн тулд, хэрэв танд томьёоны нарийвчилсан гаралт, теоремын баталгаа хэрэгтэй бол жишээлбэл, Базылев / Атанасян эсвэл Александровын сурах бичгийг үзнэ үү.
Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл
Үг үсгийн алдаа ... "зууван хэлбэрийг хэрхэн бүтээх", "зууван ба зууван хоёрын ялгаа", "элебсийн хазгай" зэрэг сонирхолтой зарим Yandex хэрэглэгчдийн алдааг давтахгүй байхыг хүсье.
Зуувангийн каноник тэгшитгэл нь эерэг бодит тоонууд ба гэсэн хэлбэртэй байна. Би эллипсийн тодорхойлолтыг дараа нь томъёолох болно, гэхдээ одоохондоо яриагаа түр завсарлаж, нийтлэг асуудлыг шийдэх цаг болжээ.
Хэрхэн эллипс барих вэ?
Тийм ээ, үүнийг аваад зүгээр л зур. Даалгавар нь нийтлэг байдаг бөгөөд оюутнуудын нэлээд хэсэг нь зураг зурах чадваргүй байдаг.
Жишээ 1
эллипс барих тэгшитгэлээр өгөгдсөн
Шийдэл: эхлээд бид тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулна: 
Яагаад авчрах вэ? Каноник тэгшитгэлийн нэг давуу тал нь шууд тодорхойлох боломжийг олгодог эллипсийн оройнуудцэгүүд дээр байгаа . Эдгээр цэг бүрийн координат нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг.
AT Энэ тохиолдолд :
Шугамын сегментдуудсан гол тэнхлэгэллипс;
шугамын сегмент – бага тэнхлэг;
тоо 
дуудсан хагас том тэнхлэгэллипс;
тоо 
– хагас жижиг тэнхлэг.
бидний жишээнд: .
Энэ эсвэл өөр эллипс хэрхэн харагддагийг хурдан төсөөлөхийн тулд түүний канон тэгшитгэлийн "a" ба "be" утгыг харна уу.
Бүх зүйл сайхан, цэвэрхэн, үзэсгэлэнтэй, гэхдээ нэг анхааруулга байна: би програмыг ашиглан зураг зурж дуусгасан. Мөн та ямар ч програмаар зурж болно. Гэсэн хэдий ч хатуу ширүүн бодит байдал дээр алаг цаас ширээн дээр хэвтэж, хулганууд бидний гарыг тойрон бүжиглэдэг. Урлагийн авьяастай хүмүүс мэдээжийн хэрэг маргаж болно, гэхдээ танд бас хулгана (жижиг ч гэсэн) бий. Хүн төрөлхтөн захирагч, луужин, протектор болон зурах бусад энгийн хэрэгслийг зохион бүтээсэн нь дэмий хоосон биш юм.
Энэ шалтгааны улмаас бид зөвхөн оройг нь мэддэг тул эллипсийг нарийн зурах боломжгүй юм. Хэрэв эллипс жижиг бол, жишээлбэл, хагас тэнхлэгтэй бол зүгээр. Үүний зэрэгцээ та зургийн масштаб, үүний дагуу хэмжээсийг багасгаж болно. Гэхдээ дотор ерөнхий тохиолдолнэмэлт оноо олох нь маш их хүсч байна.
Зууван бүтээх хоёр арга байдаг - геометрийн болон алгебрийн. Богино алгоритм, зураг зурахад ихээхэн эмх замбараагүй байдаг тул би луужин, захирагчаар барих дургүй. Яаралтай тохиолдолд сурах бичгийг уншина уу, гэхдээ бодит байдал дээр алгебрийн хэрэгслийг ашиглах нь илүү оновчтой юм. Ноорог дээрх эллипсийн тэгшитгэлээс бид хурдан илэрхийлнэ: 
Дараа нь тэгшитгэлийг хоёр функцэд хуваана: 
– эллипсийн дээд нумыг тодорхойлно; 
– эллипсийн доод нумыг тодорхойлно.
Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипс нь координатын тэнхлэгүүдтэй, түүнчлэн гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Энэ нь гайхалтай юм - тэгш хэм нь бараг үргэлж үнэ төлбөргүй байдаг. Мэдээжийн хэрэг, координатын 1-р улиралтай ажиллахад хангалттай тул бидэнд функц хэрэгтэй байна 
. Энэ нь абсцисс бүхий нэмэлт цэгүүдийг олохыг санал болгож байна 
. Бид тооцоолуур дээр гурван SMS дарсан: 
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв тооцоололд ноцтой алдаа гарвал энэ нь барилгын ажлын явцад шууд тодорхой болох нь таатай байна.
Бид зурган дээрх цэгүүдийг (улаан өнгө), үлдсэн нуман дээрх тэгш хэмтэй цэгүүдийг ( Цэнхэр өнгө) ба бүх компанийг шугамаар сайтар холбоно. 
Эхний ноорог нимгэн, нимгэн зурж, дараа нь харандаа дээр дарах нь дээр. Үр дүн нь нэлээд зохистой эллипс байх ёстой. Дашрамд хэлэхэд энэ муруй юу болохыг мэдмээр байна уу?
Эллипсийн тодорхойлолт. Эллипсийн голомт ба эллипсийн хазгай
Эллипс бол онцгой тохиолдолзууван. "Зууван" гэдэг үгийг филистийн утгаар ("хүүхэд зууван зурсан" гэх мэт) ойлгож болохгүй. Энэ бол нарийн томъёолол бүхий математикийн нэр томъёо юм. Энэ хичээлийн зорилго нь аналитик геометрийн стандарт хичээлд бараг анхаарал хандуулдаггүй зууван ба тэдгээрийн төрөл бүрийн онолыг авч үзэхгүй байх явдал юм. Мөн одоогийн хэрэгцээ шаардлагад нийцүүлэн бид зууван хэлбэрийн хатуу тодорхойлолт руу нэн даруй очдог.
Зууван- энэ нь хавтгайн бүх цэгүүдийн багц бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүр хүртэлх зайны нийлбэр юм. заль мэхэллипс нь тоон үзүүлэлтээр тогтмол утга юм урттай тэнцүү байнаЭнэ эллипсийн гол тэнхлэг: .
Энэ тохиолдолд голомтын хоорондох зай нь энэ утгаас бага байна: .
Одоо илүү тодорхой болно: 
Цэнхэр цэг нь эллипс дээр "унадаг" гэж төсөөлөөд үз дээ. Тиймээс бид эллипсийн аль ч цэгийг авахаас үл хамааран сегментүүдийн уртын нийлбэр үргэлж ижил байх болно.
Бидний жишээн дээр нийлбэрийн утга үнэхээр наймтай тэнцэж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Эллипсийн баруун оройд "em" цэгийг оюун ухаанаар байрлуулж, дараа нь шалгах шаардлагатай байсан: .
Зууван зурах өөр нэг арга бол эллипсийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Дээд математик нь заримдаа хурцадмал байдал, стрессийн шалтгаан болдог тул дахин ачааллыг буулгах цаг болжээ. Нэг цаас эсвэл том картон цаас аваад ширээн дээр хоёр хадаасаар бэхлээрэй. Эдгээр нь заль мэх болно. Хумсны цухуйсан толгойн дээр ногоон утас уяж, харандаагаар бүхэлд нь татна. Харандааны хүзүү нь эллипсэд хамаарах нэгэн цагт байх болно. Одоо харандаагаа цаасан дээр чиглүүлж, ногоон утсыг маш чанга байлга. Эхлэх цэг рүү буцах хүртлээ үйл явцыг үргэлжлүүлээрэй ... маш сайн ... зургийг эмчээс баталгаажуулахын тулд багшид өгч болно =)
Эллипсийн фокусыг хэрхэн олох вэ?
Дээрх жишээн дээр би "бэлэн" фокусын цэгүүдийг дүрсэлсэн бөгөөд одоо бид тэдгээрийг геометрийн гүнээс хэрхэн гаргаж авах талаар сурах болно.
Хэрэв эллипсийг каноник тэгшитгэлээр өгсөн бол түүний голомтууд нь координаттай байна 
, энэ хаана байна голомт бүрээс эллипсийн тэгш хэмийн төв хүртэлх зай.
Тооцоолол нь уурын манжингаас илүү хялбар байдаг: 
! "ce" гэсэн утгатай бол заль мэхний тодорхой координатыг тодорхойлох боломжгүй юм!Би давтан хэлэхэд энэ бол Фокус бүрээс төв хүртэлх зай(ерөнхий тохиолдолд яг гарал үүсэлтэй байх албагүй).
Тиймээс голомтын хоорондох зайг эллипсийн каноник байрлалтай холбож болохгүй. Өөрөөр хэлбэл, эллипсийг өөр газар нүүлгэж болох бөгөөд утга нь өөрчлөгдөхгүй байхад голомтууд нь аяндаа координатаа өөрчилнө. Сэдвийг цаашид судлахдаа үүнийг анхаарч үзээрэй.
Зуувангийн хазгай байдал ба түүний геометрийн утга
Эллипсийн хазгай байдал нь доторх утгыг авч болох харьцаа юм.
Манай тохиолдолд:
Зууван хэлбэр нь түүний хазгай байдлаас хэрхэн хамаардаг болохыг олж мэдье. Үүний төлөө зүүн ба баруун оройг засахавч үзэж буй эллипсийн, өөрөөр хэлбэл хагас гол тэнхлэгийн утга тогтмол байх болно. Дараа нь хазгай байдлын томъёо нь дараах хэлбэртэй болно.
Нэгдмэл байдлын хазгай байдлын утгыг ойролцоогоор тооцоолж эхэлцгээе. Энэ нь зөвхөн тохиолдолд л боломжтой. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? ... заль мэх санаж байна 
. Энэ нь эллипсийн голомтууд нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу хажуугийн орой хүртэл "тархах" болно гэсэн үг юм. "Ногоон сегментүүд нь резин биш" тул эллипс нь тэнхлэг дээр бэхлэгдсэн нимгэн, нимгэн хиам болж хувирах нь гарцаагүй.
Энэ замаар, Хэрхэн илүү ойр утгатайэллипсийн хазайлт нь нэгдмэл байх тусам эллипс илүү гонзгой байна.
Одоо эсрэг үйл явцыг дуурайж үзье: эллипсийн голомт 
бие бие рүүгээ чиглэн төв рүү ойртлоо. Энэ нь "ce"-ийн утга багасч байгаа бөгөөд үүний дагуу хазгай байдал тэг болох хандлагатай байна гэсэн үг юм.
Энэ тохиолдолд "ногоон сегментүүд" эсрэгээрээ "бөглөрч", эллипсийн шугамыг дээш доош "түлхэж" эхэлнэ.
Энэ замаар, Хачирхалтай утга тэг рүү ойртох тусам эллипс илүү их харагддаг... голомтууд нь гарал үүслээр амжилттай дахин нэгдэх үед хязгаарлах тохиолдлыг харна уу:
Тойрог бол эллипсийн онцгой тохиолдол юм
Үнэн хэрэгтээ хагас тэнхлэгийн тэгшитгэлийн хувьд эллипсийн каноник тэгшитгэл нь "a" радиусын гарал үүслийн төвтэй сургуулиас сайн мэддэг дугуй тэгшитгэл рүү рефлексээр хувирдаг хэлбэрийг авдаг.
Практикт "ярьдаг" "er" үсэг бүхий тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг:. Радиусыг сегментийн урт гэж нэрлэдэг бөгөөд тойргийн цэг бүрийг радиусын зайгаар төвөөс зайлуулдаг.
Зуувангийн тодорхойлолт бүрэн зөв хэвээр байгааг анхаарна уу: голомтууд таарч, тойрог дээрх цэг бүрийн тохирох сегментүүдийн уртын нийлбэр нь тогтмол утга юм. Учир нь голомт хоорондын зай нь дурын тойргийн хазгай нь тэг байна.
Тойрог амархан бөгөөд хурдан бүтээдэг тул өөрийгөө луужингаар зэвсэглэхэд хангалттай. Гэсэн хэдий ч заримдаа түүний зарим цэгүүдийн координатыг олж мэдэх шаардлагатай байдаг, энэ тохиолдолд бид танил замаар явдаг - бид тэгшитгэлийг хөгжилтэй Матан хэлбэрт оруулдаг.
дээд хагас тойргийн функц юм;
доод хагас тойргийн функц юм.
Дараа нь бид хүссэн утгыг олно. ялгах боломжтой, нэгтгэхболон бусад сайн зүйлсийг хий.
Нийтлэл нь мэдээжийн хэрэг, зөвхөн лавлагааны зориулалттай, гэхдээ энэ ертөнцөд хайргүйгээр яаж амьдрах вэ? Бүтээлч даалгавартөлөө бие даасан шийдвэр
Жишээ 2
Эллипсийн аль нэг голомт ба хагас жижиг тэнхлэг нь тодорхой бол (төв нь эхэнд байгаа) каноник тэгшитгэлийг зохио. Зурган дээр орой, нэмэлт цэгүүдийг олж, шугам зур. Эксцентриситетийг тооцоол.
Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, зураг зурах
Үйлдэл нэмье:
Эллипсийг эргүүлж, орчуулна
Эллипсийн каноник тэгшитгэл, тухайлбал, энэ муруйн тухай анх дурдсанаас хойш сониуч сэтгэлгээг зовоодог оньсого нь нөхцөл байдал руу буцаж орцгооё. Энд бид эллипсийг авч үзсэн 
, гэхдээ практик дээр тэгшитгэлийг хийж чадахгүй 
? Эцсийн эцэст, энд ч бас эллипс шиг харагдаж байна!
Ийм тэгшитгэл ховор боловч тааралддаг. Мөн энэ нь эллипсийг тодорхойлдог. Мистикийг арилгацгаая: 
Барилга угсралтын үр дүнд манай төрөлх эллипс 90 градусаар эргэлддэг. Тэр бол, 
- энэ бол канон бус оруулгаэллипс 
. Бичлэг!- тэгшитгэл 
тэнхлэг дээр эллипсийн тодорхойлолтыг хангах цэгүүд (фокус) байхгүй тул өөр эллипсийг заагаагүй болно.
Тодорхойлолт 7.1. F 1 ба F 2 тогтмол хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь өгөгдсөн тогтмол болох хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. эллипс.
Зуувангийн тодорхойлолт нь түүнийг геометрийн аргаар бүтээх дараах аргыг өгдөг. Бид хавтгай дээр F 1 ба F 2 гэсэн хоёр цэгийг засч, сөрөг бус тогтмол утгыг 2а-аар тэмдэглэнэ. F 1 ба F 2 цэгүүдийн хоорондох зайг 2c-тэй тэнцүү болго. Жишээ нь, хоёр зүүний тусламжтайгаар F 1 ба F 2 цэгүүдэд 2а урттай сунадаггүй утас бэхлэгдсэн байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь зөвхөн ≥ c үед л боломжтой гэдэг нь ойлгомжтой. Утсыг харандаагаар татаж, зураас зурж, эллипс хэлбэртэй болно (Зураг 7.1).
Хэрэв a ≥ c бол тайлбарласан багц хоосон биш болно. a = c үед эллипс нь F 1 ба F 2 төгсгөлтэй сегмент бөгөөд c = 0 үед i.e. хэрэв эллипсийн тодорхойлолтод заасан тогтмол цэгүүд давхцаж байвал энэ нь a радиустай тойрог юм. Эдгээр доройтсон тохиолдлуудаас татгалзаж, бид дүрмээр бол a > c > 0 гэж таамаглах болно.
Зуувангийн 7.1-р тодорхойлолт дахь F 1 ба F 2 тогтмол цэгүүдийг (7.1-р зургийг үз) гэж нэрлэдэг. эллипсийн заль мэх, тэдгээрийн хоорондох зайг 2c-ээр тэмдэглэсэн, - фокусын урт, мөн F 1 M ба F 2 M сегментүүд нь эллипс дээрх дурын M цэгийг голомтууд нь холбосон, - фокусын радиус .
Зууван хэлбэр нь фокусын уртаар бүрэн тодорхойлогддог |F 1 F 2 | = 2с ба параметр a, ба түүний хавтгай дээрх байрлал - хос F 1 ба F 2 цэгээр.
Зуувангийн тодорхойлолтоос харахад энэ нь F 1 ба F 2 голомтуудыг дайран өнгөрч буй шулуун шугам, түүнчлэн F 1 F 2 сегментийг хагасаар хувааж, түүнд перпендикуляр шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй байна (Зураг 1). 7.2, а). Эдгээр мөрүүдийг нэрлэдэг эллипс тэнхлэгүүд. Тэдний огтлолцлын О цэг нь эллипсийн тэгш хэмийн төв бөгөөд үүнийг нэрлэдэг эллипсийн төв, мөн эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд (Зураг 7.2, а дахь A, B, C, D цэгүүд) - эллипсийн оройнууд.
a тоог дууддаг эллипсийн хагас том тэнхлэг, ба b = √ (a 2 - c 2) - түүний хагас жижиг тэнхлэг. c > 0-ийн хувьд гол хагас тэнхлэг a нь эллипсийн голомттой ижил тэнхлэгт байрлах оройнуудынх нь төвөөс (Зураг 1-ийн A ба B оройнууд) хүртэлх зайтай тэнцүү болохыг хялбархан харж болно. 7.2, a) ба бага хагас тэнхлэг b нь төвийн эллипсээс түүний бусад хоёр орой хүртэлх зайтай тэнцүү байна (Зураг 7.2, а дахь C ба D орой).
Эллипсийн тэгшитгэл. F 1 ба F 2 цэгүүд, гол тэнхлэг 2a дээр голомттой хавтгай дээрх зарим эллипсийг авч үзье. 2c нь фокусын урт, 2c = |F 1 F 2 |
Бид тэгш өнцөгт координатын системийг Oxy-г хавтгай дээр сонгодог бөгөөд түүний гарал үүсэл нь эллипсийн төвтэй давхцаж, голомтууд нь дээр байна. абсцисса(Зураг 7.2, b). Энэ координатын системийг нэрлэдэг каноникавч үзэж буй эллипсийн хувьд, харгалзах хувьсагч нь байна каноник.
Сонгосон координатын системд голомтууд нь F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) координатуудтай байна. Цэгүүдийн хоорондох зайны томъёог ашиглан |F 1 M| нөхцөлийг бичнэ + |F 2 M| = 2a координатаар:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Энэ тэгшитгэл нь хоёр квадрат радикал агуулсан учир тохиромжгүй юм. Тиймээс үүнийг өөрчилье. (7.2) тэгшитгэлийн хоёр дахь радикалыг шилжүүлье баруун талба квадрат:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Хаалтуудыг нээж, ижил нэр томъёог багасгасны дараа бид авна
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
Энд ε = c/a. Хоёр дахь радикалыг арилгахын тулд бид квадратын үйлдлийг давтан хийнэ: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, эсвэл оруулсан параметрийн ε утгыг өгвөл (a 2 - c 2) ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 тул
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
(7.4) тэгшитгэлийг эллипс дээр байрлах бүх цэгүүдийн координатууд хангана. Гэхдээ энэ тэгшитгэлийг гаргахдаа анхны тэгшитгэлийн (7.2) ижил бус хувиргалтыг ашигласан - дөрвөлжин радикалуудыг арилгадаг хоёр квадрат. Хоёр тал нь ижил тэмдэгтэй хэмжигдэхүүнүүдийг агуулж байвал тэгшитгэлийг квадрат болгох нь тэнцүү хувиргалт юм, гэхдээ бид үүнийг хувиргалтдаа шалгаагүй.
Дараахь зүйлийг авч үзвэл бид хувиргалтын эквивалентыг шалгахгүй байж магадгүй. F 1 ба F 2 , |F 1 F 2 | хос цэг = 2c, хавтгай дээр эдгээр цэгүүдэд голомт бүхий эллипсийн гэр бүлийг тодорхойлно. F 1 F 2 сегментийн цэгүүдээс бусад хавтгайн цэг бүр нь заасан гэр бүлийн зарим эллипст хамаарна. Энэ тохиолдолд фокусын радиусын нийлбэр нь тодорхой эллипсийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тул хоёр эллипс огтлолцохгүй. Тиймээс, огтлолцолгүй эллипсийн дүрсэлсэн гэр бүл нь F 1 F 2 сегментийн цэгүүдээс бусад бүх хавтгайг хамардаг. a параметрийн өгөгдсөн утгаар (7.4) тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн багцыг авч үзье. Энэ олонлогийг хэд хэдэн эллипсийн хооронд тарааж болох уу? Олонлогийн зарим цэгүүд нь хагас том тэнхлэгтэй эллипст хамаарагдана a. Энэ олонлогт хагас том тэнхлэгтэй эллипс дээр байрлах цэг байг. Дараа нь энэ цэгийн координатууд тэгшитгэлд захирагдана
тэдгээр. (7.4) ба (7.5) тэгшитгэлүүд байна ерөнхий шийдлүүд. Гэсэн хэдий ч системийг шалгахад хялбар байдаг
ã ≠ a-д шийдэл байхгүй. Үүнийг хийхийн тулд, жишээлбэл, x-г эхний тэгшитгэлээс хасахад хангалттай.
Энэ нь хувиргасны дараа тэгшитгэлд хүргэдэг
ã ≠ a-ийн шийдэл байхгүй, учир нь . Тэгэхээр (7.4) нь хагас том тэнхлэг a > 0, бага хагас тэнхлэг b = √ (a 2 - c 2) > 0 байх эллипсийн тэгшитгэл юм. Үүнийг гэнэ. эллипсийн каноник тэгшитгэл.
Эллипс харах.Дээр авч үзсэн эллипс байгуулах геометрийн арга нь хангалттай санааг өгдөг Гадаад төрхэллипс. Гэхдээ эллипсийн хэлбэрийг түүний каноник тэгшитгэлийн тусламжтайгаар судалж болно (7.4). Жишээлбэл, y ≥ 0-ийг авч үзвэл та y-г x-ээр илэрхийлж болно: y = b√(1 - x 2 /a 2), мөн энэ функцийг судалж үзээд түүний графикийг байгуулж болно. Зууван бүтээх өөр нэг арга бий. Эллипсийн (7.4) каноник координатын системийн эхэнд төвлөрсөн a радиустай тойргийг x 2 + y 2 = a 2 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Хэрэв энэ нь a/b > 1 коэффициенттэй хамт шахагдсан бол у тэнхлэг, тэгвэл та x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, өөрөөр хэлбэл эллипс гэсэн тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруйг авна.
Тайлбар 7.1.Хэрэв ижил тойрог нь a/b коэффициентээр шахагдсан бол
Эллипсийн хазгай. Эллипсийн фокусын уртыг гол тэнхлэгт нь харьцуулсан харьцааг нэрлэнэ эллипсийн хазгайба ε-ээр тэмдэглэнэ. Өгөгдсөн эллипсийн хувьд
каноник тэгшитгэл (7.4), ε = 2c/2a = с/а. Хэрэв (7.4)-д a ба b параметрүүд нь тэгш бус байдлаар хамааралтай бол a
c = 0-ийн хувьд эллипс тойрог болж хувирах үед ε = 0. Бусад тохиолдолд 0.
(7.3) тэгшитгэл (7.4) ба (7.2) тэгшитгэлүүд нь тэнцүү учраас (7.4) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Тиймээс (7.3) нь мөн эллипс тэгшитгэл юм. Үүнээс гадна (7.3) хамаарал нь |F 2 M| уртын радикалгүй энгийн томьёог гаргаж өгсөнөөрөө сонирхолтой юм. эллипсийн M(x; y) цэгийн фокусын радиусуудын нэг: |F 2 M| = a + εx.
Хоёрдахь фокусын радиусын ижил төстэй томъёог тэгш хэмийг харгалзан үзэх эсвэл (7.2) тэгшитгэлийг квадрат болгохын өмнө эхний радикалыг хоёр дахь нь биш харин баруун талд шилжүүлсэн тооцоог давтах замаар олж авч болно. Тиймээс эллипс дээрх дурын M(x; y) цэгийн хувьд (7.2-р зургийг үз).
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
ба эдгээр тэгшитгэл бүр нь эллипс тэгшитгэл юм.
Жишээ 7.1.Хагас том тэнхлэг 5, хазгай 0.8-тай эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олоод байгуулъя.
Эллипсийн гол хагас тэнхлэгийг a = 5 ба хазгай ε = 0.8 гэдгийг мэдэж байгаа тул түүний жижиг хагас тэнхлэг b-ийг олно. b \u003d √ (a 2 - c 2) ба c \u003d εa \u003d 4 тул b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Тиймээс каноник тэгшитгэл нь x 2 / 5 2 хэлбэртэй байна. + y 2 / 3 2 \u003d 1. Зууван барихын тулд талууд нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй параллель, түүний тэнхлэгтэй тэнцүү, каноник координатын системийн эхэнд төвтэй тэгш өнцөгт зурах нь тохиромжтой. харгалзах тэнхлэгүүд (Зураг 7.4). Энэ тэгш өнцөгт нь огтлолцдог
A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) оройнууд дээрх эллипсийн тэнхлэгүүд ба эллипс өөрөө дотор нь бичээстэй байна. Зураг дээр. 7.4-т мөн эллипсийн F 1.2 (±4; 0) голомтыг харуулав.
Эллипсийн геометрийн шинж чанарууд.(7.6) дахь эхний тэгшитгэлийг |F 1 M| гэж дахин бичье = (а/ε - x)ε. F 1 фокус нь эллипст хамаарахгүй тул a > c-ийн хувьд a / ε - x-ийн утга эерэг болохыг анхаарна уу. Энэ утга нь энэ шугамын зүүн талд байрлах M(x; y) цэгээс d: x = a/ε босоо шугам хүртэлх зай юм. Зууван тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно
|F 1 M|/(а/ε - x) = ε
Энэ эллипс нь F 1 M фокусын радиусын уртыг шулуун шугамын d хүртэлх зайд харьцуулсан харьцаа нь ε-тэй тэнцүү тогтмол утгатай хавтгайн M (x; y) цэгүүдээс бүрддэг гэсэн үг юм (Зураг 1). 7.5).
d шугам нь x \u003d -a / ε тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийн төвтэй харьцуулахад d-тэй тэгш хэмтэй "давхар" - босоо шугамтай d. d-ийн хувьд эллипсийг дүрсэлсэн болно. г-тэй адил арга замаар. d ба d" хоёр мөрийг дуудна эллипсийн чиглүүлэлтүүд. Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь түүний голомтууд байрладаг эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр бөгөөд эллипсийн төвөөс a / ε = a 2 / c зайд тусгаарлагдана (7.5-р зургийг үз).
Директриксээс түүнд хамгийн ойр байрлах фокус хүртэлх p зайг нэрлэнэ эллипсийн фокусын параметр. Энэ параметр нь тэнцүү байна
p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c
Эллипс нь өөр нэг чухал геометрийн шинж чанартай: F 1 M ба F 2 M фокусын радиусууд нь M цэг дээр эллипстэй шүргэнэ. тэнцүү өнцөг(Зураг 7.6).
Энэ өмч нь тодорхой физик утгатай. Хэрэв гэрлийн эх үүсвэрийг F 1 фокус дээр байрлуулсан бол эллипсээс тусгасны дараа энэ фокусаас гарч буй цацраг нь хоёр дахь фокусын радиусын дагуу явах болно, учир нь тусгасны дараа тусгалын өмнөхтэй ижил өнцөгт байх болно. . Тиймээс F 1 фокусыг орхиж буй бүх туяа нь хоёр дахь фокус F 2 болон эсрэгээр төвлөрөх болно. Энэхүү тайлбар дээр үндэслэн энэ өмчийг нэрлэдэг эллипсийн оптик шинж чанар.
Зуйван гэдэг нь хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал, тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр F_1, F_2 нь тогтмол утга (2a) бөгөөд эдгээрийн хоорондох зайнаас (2c) их байна. оноо өгсөн(Зураг 3.36, а). Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг эллипсийн фокусын шинж чанар.
Эллипсийн фокусын шинж чанар
F_1 ба F_2 цэгүүдийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 2c=F_1F_2 - фокусын урт, сегментийн дунд цэг O F_1F_2 - эллипсийн төв, тоо 2a - эллипсийн гол тэнхлэгийн урт (тус тусад нь, тоо a - эллипсийн гол хагас тэнхлэг). Зуувангийн дурын М цэгийг голомтууд нь холбосон F_1M ба F_2M хэрчмүүдийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Зуувангийн хоёр цэгийг холбосон шугамыг эллипсийн хөвч гэж нэрлэдэг.
e=\frac(c)(a) харьцааг эллипсийн хазайлт гэнэ. Тодорхойлолтоос (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Эллипсийн геометрийн тодорхойлолт, фокусын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - эллипсийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам:
Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.36, в). Эллипсийн төв О-г координатын системийн эхлэл гэж авна; голомтоор дайран өнгөрөх шулуун шугамыг (фокусын тэнхлэг эсвэл эллипсийн эхний тэнхлэг) бид абсцисса тэнхлэг болгон авах болно (үүн дээрх эерэг чиглэлийг F_1 цэгээс F_2 цэг хүртэл); фокусын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг эллипсийн төвөөр (зуувангийн хоёр дахь тэнхлэг) дайран өнгөрч, бид y тэнхлэг болгон авах болно (y тэнхлэг дээрх чиглэлийг сонгосон байхаар) тэгш өнцөгт системкоординатууд Окси зөв болсон).
Фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийг томъёолъё. Сонгосон координатын системд бид голомтын координатыг тодорхойлно F_1(-c,0),~F_2(c,0). Эллипсэд хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Энэ тэгш байдлыг координат хэлбэрээр бичвэл бид дараахь зүйлийг авна.
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Бид хоёр дахь радикалыг баруун тал руу шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, ижил төстэй нөхцөлүүдийг өгнө.
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Зүүн баруун сум ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-т хуваахдаа тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно.
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Зүүн баруун сум~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Тэмдэглэх b=\sqrt(a^2-c^2)>0, бид авдаг b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Хоёр хэсгийг a^2b^2\ne0-д хувааснаар бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ.
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Тиймээс сонгосон координатын систем нь каноник юм.
Хэрэв эллипсийн голомтууд давхцаж байвал a=b тул эллипс нь тойрог болно (Зураг 3.36.6). Энэ тохиолдолд цэг дээр гарал үүсэлтэй аливаа тэгш өнцөгт координатын систем O\equiv F_1\equiv F_2, мөн x^2+y^2=a^2 тэгшитгэл нь О төвтэй, a радиустай тойргийн тэгшитгэл юм.
Буцаж тайлбарласнаар координатууд нь (3.49) тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгүүд зөвхөн эллипс гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд хамаардаг болохыг харуулж болно. Өөрөөр хэлбэл эллипсийн аналитик тодорхойлолт нь эллипсийн фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолттой дүйцэхүйц байна.
Эллипсийн лавлах шинж чанар
Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгээс ижил \frac(a^2)(c) зайд параллель өнгөрөх хоёр шулуун шугам юм. c=0-ийн хувьд эллипс нь тойрог байх үед ямар ч директрикс байхгүй (бид чиглүүлэлтүүд хязгааргүй хасагдсан гэж үзэж болно).
0 хазгайтай эллипс
Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, фокус F_2 ба directrix d_2 (Зураг 3.37.6) нөхцөл \frac(r_2)(\rho_2)=eкоординат хэлбэрээр бичиж болно:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\баруун)
Ухаангүй байдлаас ангижрах, солих e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ (3.49). Фокус F_1 ба чиглүүлэлтийн хувьд ижил төстэй үндэслэлийг хийж болно d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Туйлын координат дахь эллипсийн тэгшитгэл
F_1r\varphi (Зураг 3.37,c ба 3.37(2)) туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
Энд p=\frac(b^2)(a) нь эллипсийн фокусын параметр юм.
Уг нь туйлын координатын системийн туйлаар эллипсийн зүүн фокус F_1, туйлын тэнхлэгээр F_1F_2 туяаг сонгоцгооё (Зураг 3.37, в). Дараа нь дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд эллипсийн геометрийн тодорхойлолтын (фокусын шинж чанар) дагуу бид r+MF_2=2a байна. Бид M(r,\varphi) ба F_2(2c,0) цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлнэ (2.8 тайлбарын 2-р хэсгийг үзнэ үү):
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Тиймээс координатын хэлбэрээр F_1M+F_2M=2a эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дөрвөлжин, радикалыг тусгаарлаж, 4-т хувааж, ижил төстэй нэр томъёог өгнө:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Зүүн баруун сум~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Бид туйлын радиусыг r илэрхийлж, орлуулалтыг хийнэ e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Зууван тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн геометрийн утга
Зууван (зураг 3.37, а-г үз) координатын тэнхлэгүүдтэй (zllips-ийн орой) огтлолцох цэгүүдийг олцгооё. Тэгшитгэлд y=0 гэж орлуулснаар эллипсийн абсцисса тэнхлэгтэй (фокусын тэнхлэгтэй) огтлолцох цэгүүдийг олно: x=\pm a . Тиймээс эллипс доторх фокусын тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2a-тай тэнцүү байна. Энэ сегментийг дээр дурдсанчлан эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд a тоо нь эллипсийн гол хагас тэнхлэг юм. x=0-г орлуулахад y=\pm b болно. Иймд эллипсийн дотор хаалттай эллипсийн хоёр дахь тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2b-тэй тэнцүү байна. Энэ сегментийг эллипсийн бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба b тоог эллипсийн бага хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Үнэхээр, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, мөн b=a тэгшитгэл нь зөвхөн эллипс тойрог байх үед c=0 тохиолдолд л гарна. Хандлага k=\frac(b)(a)\leqslant1эллипсийн агшилтын коэффициент гэж нэрлэдэг.
Тайлбар 3.9
1. x=\pm a,~y=\pm b шулуунууд нь эллипс байрлах координатын хавтгай дээрх үндсэн тэгш өнцөгтийг хязгаарладаг (Зураг 3.37, а-г үз).
2. Эллипсийг дараах байдлаар тодорхойлж болно тойргийг диаметртэй нь ойртуулах замаар олж авсан цэгүүдийн байрлал.
Үнэн хэрэгтээ тэгш өнцөгт координатын Oxy системд тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=a^2 хэлбэртэй байна. 0-ийн коэффициенттэй x тэнхлэгт шахагдсан үед \эхлэх(тохиолдлууд)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(тохиолдлууд) Тойргийн тэгшитгэлд x=x" ба y=\frac(1)(k)y"-г орлуулснаар M(x) цэгийн M"(x",y") зургийн координатын тэгшитгэл гарна. ,y): (x")^2+(\зүүн(\frac(1)(k)\cdot y"\баруун)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} Учир нь b=k\cdot a . Энэ бол эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. 3. Координатын тэнхлэгүүд (каноник координатын систем) нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд (зуувангийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг) бөгөөд түүний төв нь тэгш хэмийн төв юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M(x,y) цэг нь эллипсэд хамаарна. тэгвэл координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) ба M""(-x,y) цэгүүд мөн адил эллипсэд хамаарна. 4. Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэлээс r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Зураг 3.37, в-ийг үзнэ үү), фокусын параметрийн геометрийн утгыг тодруулсан - энэ нь фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусаар дамждаг эллипсийн хөвчний хагасын урт юм ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Хачирхалтай e нь эллипсийн хэлбэр, тухайлбал эллипс ба тойргийн хоорондох ялгааг тодорхойлдог. e нь том байх тусам эллипс уртасч, e тэг рүү ойртох тусам эллипс тойрогт ойртоно (Зураг 3.38, а). Үнэн хэрэгтээ, e=\frac(c)(a) ба c^2=a^2-b^2 гэж үзвэл бид олж авна. E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\баруун )\^2=1-k^2,
!} Энд k нь эллипсийн агшилтын коэффициент, 0 6. Тэгшитгэл \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1төлөө a
7. Тэгшитгэл \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bО "(x_0, y_0) цэг дээр төвлөрсөн эллипсийг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель (Зураг 3.38, в). Энэ тэгшитгэлийг параллель орчуулгыг ашиглан каноник болгон бууруулсан (3.36). a=b=R хувьд тэгшитгэл (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойргийг дүрсэлдэг"(x_0,y_0) . Эллипсийн параметрийн тэгшитгэлканоник координатын системд хэлбэртэй байна \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(тохиолдлууд)0\leqslant t<2\pi.
Үнэн хэрэгтээ эдгээр илэрхийллийг (3.49) тэгшитгэлд орлуулснаар бид \cos^2t+\sin^2t=1 гэсэн үндсэн тригонометрийн адилтгалд хүрнэ. Жишээ 3.20.эллипс зурах \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1каноник координатын системд Окси . Хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазгай байдал, харьцаа, фокусын параметр, директрисын тэгшитгэлийг ол. Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлийг каноник тэгшитгэлтэй харьцуулж үзвэл хагас тэнхлэгийг тодорхойлно: a=2 - гол хагас тэнхлэг, b=1 - эллипсийн жижиг хагас тэнхлэг. Бид 2a=4,~2b=2 талуудтай, эхэнд төвлөрсөн үндсэн тэгш өнцөгтийг байгуулна (Зураг 3.39). Эллипсийн тэгш хэмийг харгалзан бид үүнийг үндсэн тэгш өнцөгт рүү оруулна. Шаардлагатай бол эллипсийн зарим цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, x=1-ийг эллипс тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв y^2=\frac(3)(4) \дөрөв \Зүүн баруун сум \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Тиймээс координаттай цэгүүд \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\баруун)- зуйван хэлбэртэй. Шахалтын харьцааг тооцоол k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); фокусын урт 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); хазгай байдал e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); фокусын параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Бид директорын тэгшитгэлийг бүтээдэг. x=\pm\frac(a^2)(c)~\Зүүн баруун сум~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна a нь хагас гол тэнхлэг; b - бага хагас тэнхлэг. F1(c,0) ба F2(-c,0) − c цэгүүдийг дуудна a, b - эллипсийн хагас тэнхлэгүүд. Каноник тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол эллипсийн фокус, хазгай, директрисын олох. Гиперболын тодорхойлолт. Гиперболын голомт. Тодорхойлолт. Гипербола гэдэг нь фокус гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн хоёр цэгээс холын зөрүүний модуль нь фокусын хоорондох зайнаас бага тогтмол утгатай байх хавтгай дахь цэгүүдийн багц юм. Тодорхойлолтоор |r1 – r2|= 2a. F1, F2 нь гиперболын голомт юм. F1F2 = 2c. Гиперболын каноник тэгшитгэл. Гиперболын хагас тэнхлэгүүд. Хэрэв түүний канон тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол гипербола байгуулах. Каноник тэгшитгэл: Гиперболын хагас гол тэнхлэг нь тэнхлэгийн эерэг ба сөрөг тал дээр (газар үүсэлтэй харьцуулахад зүүн ба баруун) гиперболын хоёр салбар хоорондын хамгийн бага зайны хагас юм. Эерэг тал дээр байрлах салбаруудын хувьд хагас тэнхлэг нь дараахтай тэнцүү байна. Хэрэв бид үүнийг конус хэсэг ба хазгайгаар илэрхийлбэл илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй болно. Хэрэв каноник тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол гиперболын фокус, эксцентриситет, директрисын олох. Гиперболын хазгай байдал Тодорхойлолт. Энэ харьцааг гиперболын эксцентриситет гэж нэрлэдэг бөгөөд энд c - голомтын хоорондох зайны хагас нь бөгөөд жинхэнэ хагас тэнхлэг юм. c2 - a2 = b2 гэдгийг харгалзан үзвэл: Хэрэв a \u003d b, e \u003d бол гиперболыг тэгш талт (тэнцүү талт) гэж нэрлэдэг. Гиперболын чиглүүлэлтүүд Тодорхойлолт. Гиперболын бодит тэнхлэгт перпендикуляр, төвөөс нь a/e зайд тэгш хэмтэй байрлалтай хоёр шугамыг гиперболын директорууд гэнэ. Тэдний тэгшитгэл нь: Теорем. Хэрэв r нь гиперболын дурын М цэгээс зарим фокус хүртэлх зай, d нь ижил цэгээс энэ фокустай харгалзах директор хүртэлх зай бол r/d харьцаа нь хазгайтай тэнцүү тогтмол утга юм. Параболын тодорхойлолт. Параболагийн фокус ба чиглүүлэлт. Парабола. Парабола гэдэг нь өгөгдсөн тогтмол цэг болон өгөгдсөн шулуунаас ижил зайтай цэгүүдийн байрлал юм. Тодорхойлолтод дурдсан цэгийг параболын фокус гэж нэрлэдэг ба шулуун шугамыг түүний чиглүүлэлт гэж нэрлэдэг. Параболагийн каноник тэгшитгэл. параболын параметр. Парабол барих. Тэгш өнцөгт координатын систем дэх параболын каноник тэгшитгэл нь: (эсвэл тэнхлэгүүд урвуу байвал). p параметрийн өгөгдсөн утгын хувьд параболыг барих ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ. Параболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг зурж, түүн дээр KF=p хэрчмийг тавь; Directrix DD1 нь тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр K цэгээр дамждаг; Параболын 0 оройг авахын тулд KF сегментийг хагасаар хуваана; Хэд хэдэн дурын цэгүүд 1, 2, 3, 5, 6 нь тэдгээрийн хооронд аажмаар нэмэгдэж буй зайг дээд талаас хэмждэг; Эдгээр цэгүүдээр дамжуулан параболын тэнхлэгт перпендикуляр туслах шугамууд татагдана; Туслах шулуун шугамууд дээр серифийг шулуун шугамаас чиглүүлэлт хүртэлх зайтай тэнцүү радиусаар хийдэг; Үүссэн цэгүүд нь гөлгөр муруйгаар холбогддог. Зуйван гэдэг нь хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал, тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр F_1, F_2 нь эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайнаас (2c) их (2а) тогтмол утга юм (Зураг 1). 3.36, a). Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг эллипсийн фокусын шинж чанар. F_1 ба F_2 цэгүүдийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 2c=F_1F_2 нь фокусын урт, F_1F_2 сегментийн О дунд цэг нь эллипсийн төв, 2a тоо нь зуувангийн гол тэнхлэгийн урт юм. эллипс (тус тусад нь a тоо нь эллипсийн гол хагас тэнхлэг юм). Зуувангийн дурын М цэгийг голомтууд нь холбосон F_1M ба F_2M хэрчмүүдийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Зуувангийн хоёр цэгийг холбосон шугамыг эллипсийн хөвч гэж нэрлэдэг. e=\frac(c)(a) харьцааг эллипсийн хазайлт гэнэ. Тодорхойлолтоос (2a>2c) 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). Эллипсийн геометрийн тодорхойлолт, фокусын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - эллипсийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам: Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.36, в). Эллипсийн төв О-г координатын системийн эхлэл гэж авна; голомтоор дайран өнгөрөх шулуун шугамыг (фокусын тэнхлэг эсвэл эллипсийн эхний тэнхлэг) бид абсцисса тэнхлэг болгон авах болно (үүн дээрх эерэг чиглэлийг F_1 цэгээс F_2 цэг хүртэл); фокусын тэнхлэгт перпендикуляр, эллипсийн төвийг (зуувангийн хоёр дахь тэнхлэг) дайран өнгөрөх шулуун шугамыг у тэнхлэг болгон авна (у тэнхлэг дээрх чиглэлийг тэгш өнцөгт координатын систем Oxy зөв байхаар сонгосон). ). Фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийг томъёолъё. Сонгосон координатын системд бид голомтын координатыг тодорхойлно F_1(-c,0),~F_2(c,0). Эллипсэд хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. Энэ тэгш байдлыг координат хэлбэрээр бичвэл бид дараахь зүйлийг авна. \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. Бид хоёр дахь радикалыг баруун тал руу шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, ижил төстэй нөхцөлүүдийг өгнө. (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Зүүн баруун сум ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx. 4-т хуваахдаа тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно. a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Зүүн баруун сум~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). Тэмдэглэх b=\sqrt(a^2-c^2)>0, бид авдаг b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Хоёр хэсгийг a^2b^2\ne0-д хувааснаар бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ. \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. Тиймээс сонгосон координатын систем нь каноник юм. Хэрэв эллипсийн голомтууд давхцаж байвал a=b тул эллипс нь тойрог болно (Зураг 3.36.6). Энэ тохиолдолд цэг дээр гарал үүсэлтэй аливаа тэгш өнцөгт координатын систем O\equiv F_1\equiv F_2, мөн x^2+y^2=a^2 тэгшитгэл нь О төвтэй, a радиустай тойргийн тэгшитгэл юм. Буцаж тайлбарласнаар координатууд нь (3.49) тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгүүд зөвхөн эллипс гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд хамаардаг болохыг харуулж болно. Өөрөөр хэлбэл эллипсийн аналитик тодорхойлолт нь эллипсийн фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолттой дүйцэхүйц байна. Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгээс ижил \frac(a^2)(c) зайд параллель өнгөрөх хоёр шулуун шугам юм. c=0-ийн хувьд эллипс нь тойрог байх үед ямар ч директрикс байхгүй (бид чиглүүлэлтүүд хязгааргүй хасагдсан гэж үзэж болно). 0 хазгайтай эллипс Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, фокус F_2 ба directrix d_2 (Зураг 3.37.6) нөхцөл \frac(r_2)(\rho_2)=eкоординат хэлбэрээр бичиж болно: \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\баруун) Ухаангүй байдлаас ангижрах, солих e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ (3.49). Фокус F_1 ба чиглүүлэлтийн хувьд ижил төстэй үндэслэлийг хийж болно d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e. F_1r\varphi (Зураг 3.37,c ба 3.37(2)) туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) Энд p=\frac(b^2)(a) нь эллипсийн фокусын параметр юм. Уг нь туйлын координатын системийн туйлаар эллипсийн зүүн фокус F_1, туйлын тэнхлэгээр F_1F_2 туяаг сонгоцгооё (Зураг 3.37, в). Дараа нь дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд эллипсийн геометрийн тодорхойлолтын (фокусын шинж чанар) дагуу бид r+MF_2=2a байна. Бид M(r,\varphi) ба F_2(2c,0) цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлнэ (харна уу): \эхлэх(зэрэгцүүлсэн)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) Тиймээс координатын хэлбэрээр F_1M+F_2M=2a эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дөрвөлжин, радикалыг тусгаарлаж, 4-т хувааж, ижил төстэй нэр томъёог өгнө: r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Зүүн баруун сум~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. Бид туйлын радиусыг r илэрхийлж, орлуулалтыг хийнэ e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Q.E.D. Зууван (зураг 3.37, а-г үз) координатын тэнхлэгүүдтэй (zllips-ийн орой) огтлолцох цэгүүдийг олцгооё. Тэгшитгэлд y=0 гэж орлуулснаар эллипсийн абсцисса тэнхлэгтэй (фокусын тэнхлэгтэй) огтлолцох цэгүүдийг олно: x=\pm a . Тиймээс эллипс доторх фокусын тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2a-тай тэнцүү байна. Энэ сегментийг дээр дурдсанчлан эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд a тоо нь эллипсийн гол хагас тэнхлэг юм. x=0-г орлуулахад y=\pm b болно. Иймд эллипсийн дотор хаалттай эллипсийн хоёр дахь тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2b-тэй тэнцүү байна. Энэ сегментийг эллипсийн бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба b тоог эллипсийн бага хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Үнэхээр, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, мөн b=a тэгшитгэл нь зөвхөн эллипс тойрог байх үед c=0 тохиолдолд л гарна. Хандлага k=\frac(b)(a)\leqslant1эллипсийн агшилтын коэффициент гэж нэрлэдэг. Тайлбар 3.9 1. x=\pm a,~y=\pm b шулуунууд нь эллипс байрлах координатын хавтгай дээрх үндсэн тэгш өнцөгтийг хязгаарладаг (Зураг 3.37, а-г үз). 2. Эллипсийг дараах байдлаар тодорхойлж болно тойргийг диаметртэй нь ойртуулах замаар олж авсан цэгүүдийн байрлал. Үнэн хэрэгтээ тэгш өнцөгт координатын Oxy системд тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=a^2 хэлбэртэй байна. 0-ийн коэффициенттэй x тэнхлэгт шахагдсан үед \эхлэх(тохиолдлууд)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(тохиолдлууд) Тойргийн тэгшитгэлд x=x" ба y=\frac(1)(k)y"-г орлуулснаар M(x) цэгийн M"(x",y") зургийн координатын тэгшитгэл гарна. ,y): (x")^2+(\зүүн(\frac(1)(k)\cdot y"\баруун)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} Учир нь b=k\cdot a . Энэ бол эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. 3. Координатын тэнхлэгүүд (каноник координатын систем) нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд (зуувангийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг) бөгөөд түүний төв нь тэгш хэмийн төв юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M(x,y) цэг нь эллипсэд хамаарна. тэгвэл координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) ба M""(-x,y) цэгүүд мөн адил эллипсэд хамаарна. 4. Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэлээс r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Зураг 3.37, в-ийг үз), фокусын параметрийн геометрийн утгыг тодруулсан - энэ нь фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусын дундуур дамждаг эллипсийн хөвчний хагас урт юм (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Хачирхалтай e нь эллипсийн хэлбэр, тухайлбал эллипс ба тойргийн хоорондох ялгааг тодорхойлдог. e нь том байх тусам эллипс уртасч, e тэг рүү ойртох тусам эллипс тойрогт ойртоно (Зураг 3.38, а). Үнэн хэрэгтээ, e=\frac(c)(a) ба c^2=a^2-b^2 гэж үзвэл бид олж авна. e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\баруун )\^2=1-k^2,
!} Энд k нь эллипсийн агшилтын коэффициент, 0 6. Тэгшитгэл \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1төлөө a 7. Тэгшитгэл \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bО "(x_0, y_0) цэг дээр төвлөрсөн эллипсийг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель (Зураг 3.38, в). Энэ тэгшитгэлийг параллель орчуулгыг ашиглан каноник болгон бууруулсан (3.36). a=b=R хувьд тэгшитгэл (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойргийг дүрсэлдэг"(x_0,y_0) . Эллипсийн параметрийн тэгшитгэлканоник координатын системд хэлбэртэй байна \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(тохиолдлууд)0\leqslant t<2\pi.
Үнэн хэрэгтээ эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (3.49) орлуулснаар бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдалд хүрнэ. \cos^2t+\sin^2t=1. Жишээ 3.20.эллипс зурах \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1каноник координатын системд Окси . Хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазгай байдал, харьцаа, фокусын параметр, директрисын тэгшитгэлийг ол. Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлийг каноник тэгшитгэлтэй харьцуулж үзвэл хагас тэнхлэгийг тодорхойлно: a=2 - гол хагас тэнхлэг, b=1 - эллипсийн жижиг хагас тэнхлэг. Бид 2a=4,~2b=2 талуудтай, эхэнд төвлөрсөн үндсэн тэгш өнцөгтийг байгуулна (Зураг 3.39). Эллипсийн тэгш хэмийг харгалзан бид үүнийг үндсэн тэгш өнцөгт рүү оруулна. Шаардлагатай бол эллипсийн зарим цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, x=1-ийг эллипс тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв y^2=\frac(3)(4) \дөрөв \Зүүн баруун сум \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Тиймээс координаттай цэгүүд \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\баруун)- зуйван хэлбэртэй. Шахалтын харьцааг тооцоол k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); фокусын урт 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); хазгай байдал e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); фокусын параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Бид директорын тэгшитгэлийг бүтээдэг. x=\pm\frac(a^2)(c)~\Зүүн баруун сум~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл
Тооцоолохын тулд ActiveX хяналтыг идэвхжүүлсэн байх ёстой!
Эллипсийн фокусын шинж чанар
Эллипсийн лавлах шинж чанар
Туйлын координат дахь эллипсийн тэгшитгэл
Зууван тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн геометрийн утга
Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл
