Хоёр цэгээс шулуун шугамыг тодорхойл. Шулуун шугам. Шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдийг дайруул. M 1 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y- y 1 \u003d хэлбэртэй байна. к (x - x 1), (10.6)

хаана к - одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгээр дамждаг тул энэ цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (10.6) хангасан байх ёстой: y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 \u003d x 2 бол M 1 (x 1, y I) ба M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 \u003d y I бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг y \u003d y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь x тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг Ox тэнхлэгийг M 1 (a; 0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0; b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг шулуун шугамаар таслахыг заадаг.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол per өгсөн оноо Mo (x O; y o) нь өгөгдсөн тэг биш n = (A; B) векторт перпендикуляр байна.

Шулуун шугамын дурын M(x; y) цэгийг авч M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: өөрөөр хэлбэл,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг дуудна Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл .

Шугаманд перпендикуляр n = (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

Тэгшитгэлийг (10.8) гэж дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C \u003d -Ax o - Vu o - чөлөөт гишүүн. Тэгшитгэл (10.9) шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
шулуун өнгөрөх цэгийн координат ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. болон фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол утга юм
, голомтын хоорондох зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Үхрийн тэнхлэг дээр, гарал үүсэл нь голомтуудын дунд байрладаг эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа гол хагас тэнхлэгийн урт;б нь бага хагас тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

мөн A, B тогтмолууд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.Үнэт зүйлсээс хамаарна тогтмол A, Bболон C, дараах онцгой тохиолдлууд боломжтой:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - шугам эхийг дайран өнгөрдөг

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Axe + C \u003d 0) - шугам нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцдаг

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрүүдаливаа өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамаарна.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл

Тодорхойлолт.Декарт хэлээр тэгш өнцөгт систем(A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй координат вектор нь шулуунтай перпендикуляр, тэгшитгэлээр өгөгдсөн Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. (3, -1) перпендикуляр А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 үед бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулна: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуулна.Бид дараахийг авна. 3 - 2 + C = 0, тиймээс, C = -1 . Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах хүртэгчийг тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1 ≠ x 2 ба x = x 1 бол x 1 = x 2.

Бутархай = k гэж нэрлэдэг налуугийн хүчин зүйлЧигээрээ.

Жишээ. А(1, 2) ба В(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуу

Хэрэв нийт Ax + Wu + C = 0 нь дараах хэлбэрт хүргэнэ:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Цэг ба чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам болон шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг зааж өгч болно.

Тодорхойлолт.Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A α 1 + B α 2 = 0 нөхцөлийг хангасан тэг биш вектор (α 1, α 2) бүрийг шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2-ын хувьд бид C / A = -3, i.e. Хүссэн тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал –C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна. эсвэл

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм ань шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б- шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x - y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмүүдээс ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл

Ax + Vy + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг тоогоор үржүүлбэл гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл. Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг μ * С байхаар сонгох ёстой< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Жишээ. 12x - 5y - 65 \u003d 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Үүнийг бичих шаардлагатай. янз бүрийн төрөлЭнэ шугамын тэгшитгэлүүд.

сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ. Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Жишээ. А (-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. , энд x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг

Тодорхойлолт.Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Хэрвээ k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна. k 1 = -1/ k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB коэффициентүүд пропорциональ байх үед Ax + Vy + C \u003d 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 шулуун шугамууд зэрэгцээ байна. Хэрэв мөн С 1 = λС байвал шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгээр дамжин өнгөрөх ба y \u003d kx + b шулуунтай перпендикуляр шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем.Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Vy + C \u003d 0 шугам хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

(1)

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ. Шугаман хоорондын өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Жишээ. 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Шийдэл. Бид олдог: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. Гурвалжны оройг A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид AB талын тэгшитгэлийг олно. ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Хүссэн өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b. k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана. үүнээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3x + 2y - 34 = 0.

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

3D орон зайд гурван сонголт байдаг. харьцангуй байрлалхоёр шулуун шугам:

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, Бболон FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр илэрхийлж болно

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Тиймээс: 3 - 2 + С = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)болон M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2болон x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. А(1, 2) ба В(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,а б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

хэвийн тэгшитгэлЧигээрээ.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхлэлээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

а φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0болон A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай Мболон М 1:

(1)

Координатууд x 1болон 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, Бболон FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр илэрхийлж болно

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Тиймээс: 3 - 2 + С = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)болон M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2болон x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. А(1, 2) ба В(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,а б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхлэлээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

а φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0болон A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай Мболон М 1:

(1)

Координатууд x 1болон 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Энэ нийтлэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн сэдвийг үргэлжлүүлж байна: ийм төрлийн тэгшитгэлийг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж үзье. Теоремыг тодорхойлж, түүний баталгааг өгье; Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий тэгшитгэлээс шулуун шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжихийг олж мэдье. Бид онолыг бүхэлд нь зураг чимэглэл, практик асуудлыг шийдвэрлэх замаар нэгтгэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгш өнцөгт координатын системийг O x y хавтгай дээр өгье.

Теорем 1

A x + B y + C \u003d 0 хэлбэртэй, A, B, C нь зарим бодит тоо (A, B зэрэг тэгтэй тэнцүү биш) хэлбэртэй, эхний зэргийн тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог. хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем. Хариуд нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх аливаа шугамыг A, B, C утгуудын тодорхой багцын хувьд A x + B y + C = 0 хэлбэртэй тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Баталгаа

Энэ теорем нь хоёр цэгээс бүрдэх бөгөөд бид тус бүрийг батлах болно.

1. A x + B y + C = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулууныг тодорхойлж байгааг баталцгаая.

Координатууд нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирох M 0 (x 0 , y 0) цэг байг. Тиймээс: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасвал бид A шиг харагдах шинэ тэгшитгэлийг авна. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Энэ нь A x + B y + C = 0-тэй тэнцүү байна.

Үүссэн тэгшитгэл A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлвекторуудын перпендикуляр байдал n → = (A , B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) . Тиймээс M (x, y) цэгүүдийн олонлог нь тэгш өнцөгт координатын системд векторын чиглэлд перпендикуляр шулуун шугамыг тодорхойлдог n → = (A, B) . Энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж болно, гэхдээ дараа нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд перпендикуляр биш, A (x -) тэнцүү байх болно. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 нь үнэн биш байх болно.

Тиймээс A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх зарим шугамыг тодорхойлдог тул A x + B y + C \u003d 0 тэнцүү тэгшитгэлийг тодорхойлдог. ижил шугам. Ингээд бид теоремын эхний хэсгийг нотолсон.

1. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шулуун шугамыг A x + B y + C = 0 нэгдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлээр баталъя.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд шулуун а шугамыг тогтооцгооё; Энэ шугам өнгөрөх M 0 (x 0, y 0) цэг, мөн энэ шугамын хэвийн вектор n → = (A , B) .

Мөн шугамын хөвөгч цэг болох M (x, y) цэг байг. Энэ тохиолдолд n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд хоорондоо перпендикуляр байх ба тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүн null байна:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 тэгшитгэлийг дахин бичиж, C: C = - A x 0 - B y 0 -ийг тодорхойлж, эцэст нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлийг авъя.

Ингээд бид теоремын хоёр дахь хэсгийг баталж, бүхэл бүтэн теоремыг баталлаа.

Тодорхойлолт 1

Ийм харагдах тэгшитгэл A x + B y + C = 0 - энэ бол шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрO xy.

Батлагдсан теорем дээр үндэслэн бид тэгш өнцөгт координатын тогтмол систем дэх хавтгай дээр өгөгдсөн шулуун шугам ба түүний ерөнхий тэгшитгэл нь салшгүй холбоотой гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, анхны шугам нь түүний ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна; шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай тохирч байна.

Мөн x ба y хувьсагчийн А ба В коэффициентүүд нь шулуун шугамын хэвийн векторын координат болох нь теоремын баталгаанаас гарах бөгөөд энэ нь A x + B y + шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн. C = 0.

Санаж үз тодорхой жишээшулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамд тохирох 2 x + 3 y - 2 = 0 тэгшитгэлийг өгье. Энэ шугамын хэвийн вектор нь вектор юм n → = (2, 3) . Зураг дээр өгөгдсөн шулуун шугамыг зур.

Дараахь зүйлийг мөн маргаж болно: зураг дээр бидний харж буй шулуун шугамыг 2 x + 3 y - 2 = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно, учир нь өгөгдсөн шулуун шугамын бүх цэгүүдийн координатууд энэ тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Ерөнхий шулуун тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр λ тоогоор үржүүлснээр λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 тэгшитгэлийг авч болно. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцэх тул хавтгай дээрх ижил шугамыг дүрслэх болно.

Тодорхойлолт 2

Шулуун шугамын бүрэн ерөнхий тэгшитгэл- A, B, C тоонууд тэг биш байх A x + B y + C \u003d 0 шугамын ийм ерөнхий тэгшитгэл. Үгүй бол тэгшитгэл нь байна бүрэн бус.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн бүх хувилбаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

1. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 үед ерөнхий тэгшитгэл нь B y + C \u003d 0 болно. Ийм бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь тэгш өнцөгт координатын системийн O x y шулуун шугамыг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь O x тэнхлэгтэй параллель байх болно, учир нь x-ийн аливаа бодит утгын хувьд y хувьсагч нь утгыг авна. - С Б. Өөрөөр хэлбэл, A x + B y + C \u003d 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A \u003d 0, B ≠ 0 байх үед координат нь ижил тоотой тэнцүү (x, y) цэгүүдийн байршлыг тодорхойлдог. - С Б.
2. Хэрэв A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 бол ерөнхий тэгшитгэл нь y \u003d 0 болно. Ийм бүрэн бус тэгшитгэл x тэнхлэгийг тодорхойлно O x .
3. A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 байх үед бид бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл A x + C \u003d 0 болж, у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлно.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, тэгвэл бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь x \u003d 0 хэлбэрийг авах бөгөөд энэ нь координатын шугамын O y тэгшитгэл юм.
5. Эцэст нь A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 байх үед бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y \u003d 0 хэлбэртэй болно. Мөн энэ тэгшитгэл нь эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг дүрсэлдэг. Үнэн хэрэгтээ (0 , 0) хос тоо нь A x + B y = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул A · 0 + B · 0 = 0 байна.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн дээрх бүх төрлийг графикаар дүрслэн үзүүлье.

Жишээ 1

Өгөгдсөн шулуун нь у тэнхлэгтэй параллель байх ба 2 7 , - 11 цэгийг дайран өнгөрөх нь мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

У тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг A x + C \u003d 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн бөгөөд A ≠ 0 байна. Нөхцөл нь мөн шугам өнгөрөх цэгийн координатыг зааж өгөх бөгөөд энэ цэгийн координатууд нь бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн нөхцөлтэй тохирч байна A x + C = 0 , өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал зөв:

A 2 7 + C = 0

Үүнээс А-г тэгээс бусад утгыг өгснөөр С-г тодорхойлох боломжтой, жишээлбэл, A = 7. Энэ тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Бид A ба C коэффициентийг хоёуланг нь мэдэж, тэдгээрийг A x + C = 0 тэгшитгэлд орлуулж, шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг авна уу: 7 x - 2 = 0

Хариулт: 7 x - 2 = 0

Жишээ 2

Зураг нь шулуун шугамыг харуулсан тул түүний тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн зураг нь асуудлыг шийдвэрлэх анхны өгөгдлийг хялбархан авах боломжийг бидэнд олгодог. Өгөгдсөн шугам нь O x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (0 , 3) ​​цэгээр дамжин өнгөрч байгааг бид зурган дээрээс харж байна.

Абсциссатай параллель шулуун шугамыг бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно B y + С = 0. B ба C-ийн утгыг ол. (0, 3) цэгийн координатууд нь өгөгдсөн шулуун шугамыг дайран өнгөрч байгаа тул B y + С = 0 шулуун шугамын тэгшитгэлийг хангана, тэгвэл тэгшитгэл хүчинтэй болно: В · 3 + С = 0. В-г тэгээс өөр утгыг тохируулъя. B \u003d 1 гэж үзье, энэ тохиолдолд B · 3 + C \u003d 0 тэгшитгэлээс бид C: C \u003d - 3-ийг олж болно. Бидний хэрэглэдэг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ B ба C, бид шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна: y - 3 = 0.

Хариулт: y - 3 = 0.

Хавтгайн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл

Өгөгдсөн шугамыг M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжин өнгөрвөл түүний координатууд нь шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн: A x 0 + B y 0 + C = 0. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг ерөнхий зүүн ба баруун талаас хас бүрэн тэгшитгэлЧигээрээ. Бид дараахийг авна: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, энэ тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамждаг ба хэвийн вектор n → \u003d (A, B) .

Бидний олж авсан үр дүн нь шулуун шугамын хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон энэ шулуун шугамын тодорхой цэгийн координатуудын хувьд шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой болгож байна.

Жишээ 3

Шугаман өнгөрөх M 0 (- 3, 4) цэг ба энэ шугамын хэвийн вектор өгөгдсөн. n → = (1 , - 2) . Өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай өгөгдлийг олж авах боломжийг олгодог: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Дараа нь:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 у (у - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 у + 22 = 0

Асуудлыг өөрөөр шийдэж болох байсан. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y + C = 0 хэлбэртэй байна. Өгөгдсөн хэвийн вектор нь A ба B коэффициентүүдийн утгыг авах боломжийг танд олгоно, дараа нь:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Одоо шугам өнгөрөх бодлогын нөхцөлөөр өгөгдсөн М 0 (- 3, 4) цэгийг ашиглан С-ийн утгыг олъё. Энэ цэгийн координатууд нь x - 2 · y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Тиймээс C = 11. Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x - 2 · y + 11 = 0 .

Хариулт: x - 2 y + 11 = 0.

Жишээ 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 шулуун ба энэ шулуун дээр байрлах M 0 цэг өгөгдсөн. Зөвхөн энэ цэгийн абсцисс нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь - 3-тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн цэгийн ординатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

M 0 цэгийн координатын тэмдэглэгээг x 0 ба y 0 гэж тохируулъя. Анхны өгөгдөл нь x 0 \u003d - 3 гэдгийг харуулж байна. Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна. Дараа нь дараахь тэгш байдал үнэн болно.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ийг тодорхойлох: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Хариулт: - 5 2

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс шулуун шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү шилжих ба эсрэгээр.

Бидний мэдэж байгаагаар хавтгайд ижил шулуун шугамын тэгшитгэлийн хэд хэдэн төрөл байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг сонгох нь асуудлын нөхцлөөс хамаарна; түүний шийдэлд илүү тохиромжтойг нь сонгох боломжтой. Энд нэг төрлийн тэгшитгэлийг өөр төрлийн тэгшитгэл болгон хувиргах ур чадвар маш их хэрэг болдог.

Эхлээд A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлээс x - x 1 a x = y - y 1 a y каноник тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг авч үзье.

Хэрэв A ≠ 0 байвал бид B y нэр томъёог шилжүүлнэ баруун талерөнхий тэгшитгэл. Зүүн талд бид А-г хаалтнаас гаргаж авдаг. Үүний үр дүнд бид: A x + C A = - B y болно.

Энэ тэгшитгэлийг пропорциональ байдлаар бичиж болно: x + C A - B = y A .

Хэрэв B ≠ 0 байвал ерөнхий тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн A x гэсэн нэр томъёог үлдээж, бусдыг баруун тал руу шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна: A x \u003d - B y - C. Бид хаалтнаас - B-г гаргаж аваад: A x \u003d - B y + C B.

Тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар дахин бичье: x - B = y + C B A .

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник руу шилжих үед үйлдлийн алгоритмыг мэдэхэд хангалттай.

Жишээ 5

3 y - 4 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв. Үүнийг каноник тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

Бид анхны тэгшитгэлийг 3 y - 4 = 0 гэж бичнэ. Дараа нь бид алгоритмын дагуу ажилладаг: 0 x гэсэн нэр томъёо зүүн талд үлддэг; баруун талд нь бид хаалтнаас 3-ыг гаргаж авдаг; Бид дараахийг авна: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Үүссэн тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар бичье: x - 3 = y - 4 3 0 . Тиймээс бид каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хариулт: x - 3 = y - 4 3 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг параметрийн тэгшитгэл болгон хувиргахын тулд эхлээд каноник хэлбэрт шилжиж, дараа нь каноник тэгшитгэлпараметрийн тэгшитгэл рүү шууд .

Жишээ 6

Шулуун шугамыг 2 x - 5 y - 1 = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Одоо үүссэн каноник тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг λ-тэй тэнцүү авч үзье, тэгвэл:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Хариулт:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ерөнхий тэгшитгэлийг y = k x + b налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлд шилжүүлж болно, гэхдээ зөвхөн B ≠ 0 үед л. Зүүн талын шилжилтийн хувьд бид B y нэр томъёог орхиж, үлдсэн хэсэг нь баруун тийш шилждэг. Бид дараахийг авна: B y = - A x - C. Үүссэн тэгш байдлын хоёр хэсгийг тэгээс ялгаатай B -д хуваая: y = - A B x - C B .

Жишээ 7

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн: 2 x + 7 y = 0 . Та энэ тэгшитгэлийг налуугийн тэгшитгэл болгон хувиргах хэрэгтэй.

Шийдэл

Үйлдвэрлэе шаардлагатай арга хэмжээалгоритмын дагуу:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Хариулт: y = - 2 7 x .

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс x a + y b \u003d 1 хэлбэрийн сегмент дэх тэгшитгэлийг авахад хангалттай. Ийм шилжилтийг хийхийн тулд бид C тоог тэгш байдлын баруун талд шилжүүлж, үүссэн тэгш байдлын хоёр хэсгийг - С-д хувааж, эцэст нь x ба y хувьсагчдын коэффициентийг хуваагч руу шилжүүлнэ.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Жишээ 8

X - 7 y + 1 2 = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

1 2-ыг баруун тийш шилжүүлье: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Тэгшитгэлийн хоёр талыг -1/2-оор хуваана: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Хариулт: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ерөнхийдөө урвуу шилжилт нь бас хялбар байдаг: бусад төрлийн тэгшитгэлээс ерөнхийд шилжих.

Хэсэгт шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуутай тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бүх гишүүнийг цуглуулснаар хялбархан ерөнхий болгон хувиргаж болно.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Дараах схемийн дагуу каноник тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт шилжүүлнэ.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Параметрээс шилжихийн тулд эхлээд каноник руу, дараа нь ерөнхий рүү шилжих болно.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Жишээ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлүүд өгөгдсөн. Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

-аас шилжилтийг хийцгээе параметрийн тэгшитгэлканоник руу:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Каноникоос ерөнхий рүү шилжье:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ у - 4 = 0

Хариулт: y - 4 = 0

Жишээ 10

x 3 + y 1 2 = 1 хэрчмүүд дэх шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөв. руу шилжих шаардлагатай байна ерөнхий үзэлтэгшитгэл.

Шийдэл:

Тэгшитгэлийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичье.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Хариулт: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зурах

Дээр бид ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн векторын мэдэгдэж буй координат болон шугам өнгөрөх цэгийн координатаар бичиж болно гэж хэлсэн. Ийм шулуун шугамыг A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Үүнтэй ижил газарт бид холбогдох жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн.

Одоо илүү ихийг харцгаая нарийн төвөгтэй жишээнүүд, үүнд эхлээд хэвийн векторын координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Жишээ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 шулуунтай параллель шугам өгөгдсөн. Мөн өгөгдсөн шугам өнгөрөх M 0 (4 , 1) цэгийг мэддэг. Өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь шугамууд зэрэгцээ байгааг хэлж байгаа бол тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай шулууны хэвийн векторын хувьд бид n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 шугамын чиглүүлэх векторыг авдаг. y + 3 3 \u003d 0. Одоо бид шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай бүх өгөгдлийг мэдэж байна.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 у - 5 = 0

Хариулт: 2 х - 3 у - 5 = 0.

Жишээ 12

Өгөгдсөн шулуун нь x - 2 3 = y + 4 5 шулуунтай перпендикуляр эхийн эхийг дайран өнгөрдөг. Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн шугамын хэвийн вектор нь х - 2 3 = у + 4 5 шугамын чиглүүлэх вектор байх болно.

Дараа нь n → = (3 , 5) . Шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг, өөрөөр хэлбэл. O цэгээр (0, 0) . Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулъя.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Хариулт: 3 x + 5 y = 0.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу