Вектор хоорондын вектор ба өнцгийг ол. Векторуудын скаляр үржвэр. Векторуудын хоорондох өнцөг

Скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд (цаашид SP гэх). Хайрт найзууд! Математикийн шалгалт нь векторыг шийдвэрлэх хэд хэдэн асуудлыг багтаасан болно. Бид аль хэдийн зарим асуудлыг авч үзсэн. Та тэдгээрийг "Векторууд" ангилалаас харж болно. Ерөнхийдөө векторын онол нь энгийн, гол зүйл бол үүнийг тууштай судлах явдал юм. Сургуулийн математикийн хичээлийн вектортой тооцоолол, үйлдлүүд нь энгийн, томъёо нь төвөгтэй биш юм. Орж харах . Энэ нийтлэлд бид векторуудын хамтарсан бизнес (шалгалтанд орсон) даалгавруудыг шинжлэх болно. Одоо онолд "бүртэх":

Х Векторын координатыг олохын тулд түүний төгсгөлийн координатаас хасах хэрэгтэйтүүний эхлэлийн харгалзах координатууд

Мөн цааш нь:

*Векторын уртыг (модуль) дараах байдлаар тодорхойлно.

Эдгээр томъёог цээжлэх ёстой!!!

Векторуудын хоорондох өнцгийг харуулъя.

Энэ нь 0-ээс 180 0 хооронд хэлбэлзэж болох нь тодорхой байна(эсвэл 0-ээс Пи хүртэл радианаар).

Бид скаляр бүтээгдэхүүний тэмдгийн талаар зарим дүгнэлт хийж болно. Векторуудын урт эерэг байх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр скаляр бүтээгдэхүүний тэмдэг нь векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын утгаас хамаарна.

Боломжит тохиолдлууд:

1. Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг хурц (0 0-ээс 90 0 хүртэл) байвал өнцгийн косинус эерэг утгатай байна.

2. Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо (90 0-ээс 180 0 хүртэл) байвал өнцгийн косинус сөрөг утгатай байна.

*Тэг градусын үед, өөрөөр хэлбэл векторууд ижил чиглэлтэй байх үед косинус нь нэгтэй тэнцүү байх ба үүний дагуу үр дүн нь эерэг байх болно.

180 o үед, өөрөөр хэлбэл векторууд эсрэг чиглэлтэй байх үед косинус нь хасах нэгтэй тэнцүү байна.мөн үр дүн нь сөрөг байх болно.

Одоо ЧУХАЛ ЦЭГ!

90 o үед, өөрөөр хэлбэл векторууд бие биендээ перпендикуляр байх үед косинус нь тэг байх тул хамтарсан үйлдвэр тэг болно. Энэ баримт (үр дагавар, дүгнэлт) нь бидний ярьж буй олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг харьцангуй байрлалвекторууд, үүнд математикийн даалгаврын нээлттэй банкинд багтсан даалгаварууд орно.

Өгөгдсөн векторууд перпендикуляр шулуун дээр байгаа тохиолдолд л скаляр үржвэр тэгтэй тэнцүү байна.

Тиймээс SP векторуудын томъёо нь:

Хэрэв векторуудын координатууд эсвэл тэдгээрийн эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийн координатууд мэдэгдэж байвал векторуудын хоорондох өнцгийг үргэлж олж болно.

Даалгавруудыг авч үзье:

27724 a ба b векторуудын дотоод үржвэрийг ол.

Векторуудын скаляр үржвэрийг бид хоёр томъёоны аль нэгийг ашиглан олж болно.

Векторуудын хоорондох өнцөг тодорхойгүй боловч бид векторуудын координатыг хялбархан олж, дараа нь эхний томъёог ашиглана. Хоёр векторын эхлэл нь гарал үүсэлтэй давхцаж байгаа тул эдгээр векторуудын координат нь тэдгээрийн төгсгөлийн координаттай тэнцүү байна.

Векторын координатыг хэрхэн олох талаар тайлбарласан болно.

Бид тооцоолно:

Хариулт: 40

Векторуудын координатыг олж, томъёог ашиглана уу.

Векторын координатыг олохын тулд векторын төгсгөлийн координатаас түүний эхлэлийн харгалзах координатыг хасах шаардлагатай.

Бид скаляр үржвэрийг тооцоолно:

Хариулт: 40

a ба b векторуудын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

Векторуудын координатууд дараах хэлбэртэй байна.

Векторуудын хоорондох өнцгийг олохын тулд векторуудын скаляр үржвэрийн томъёог ашиглана.

Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус:

Үүний үр дүнд:

Эдгээр векторуудын координатууд нь:

Тэдгээрийг томъёонд оруулъя:

Векторуудын хоорондох өнцөг нь 45 градус байна.

Хариулт: 45

Заавар

Хавтгай дээр тэгээс өөр хоёр вектор өгөгдсөн байг, нэг цэгээс зурсан: координаттай А вектор (х1, у1) В координаттай (х2, у2). Булантэдгээрийн хоорондохыг θ гэж тэмдэглэнэ. θ өнцгийн хэмжүүрийг олохын тулд скаляр үржвэрийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй.

Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо бөгөөд өөрөөр хэлбэл (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Одоо эндээс өнцгийн косинусыг илэрхийлэх хэрэгтэй: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Хоёр тэгээс өөр векторын үржвэр нь харгалзах векторуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү тул (A,B)=x1*x2+y1*y2 томъёог ашиглан скаляр үржвэрийг олж болно. Хэрэв тэгээс өөр векторуудын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол векторууд перпендикуляр (тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90 градус) бөгөөд цаашдын тооцооллыг орхигдуулж болно. Хэрэв хоёр векторын скаляр үржвэр эерэг байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг болно векторуудхурц ба сөрөг бол өнцөг нь мохоо байна.

Одоо |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²) томъёог ашиглан А ба В векторуудын уртыг тооцоол. Векторын уртыг дараах байдлаар тооцоолно Квадрат язгууртүүний координатын квадратуудын нийлбэрээс.

Скаляр үржвэрийн олдсон утгууд ба векторуудын уртыг 2-р алхамд олж авсан өнцгийн томъёонд орлуулна, өөрөөр хэлбэл cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Одоо -ийн утгыг мэдэж, хоорондох өнцгийн хэмжүүрийг олох векторуудта Bradis хүснэгтийг ашиглах эсвэл эндээс авах хэрэгтэй: θ=arccos(cos(θ)).

Хэрэв А ба В векторууд гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн бөгөөд тус тус (x1, y1, z1) ба (x2, y2, z2) координаттай байвал өнцгийн косинусыг олоход нэг координат нэмэгдэнэ. Энэ тохиолдолд косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хэрэв хоёр векторыг нэг цэгээс зураагүй бол тэдгээрийн хоорондох өнцгийг параллель орчуулгаар олохын тулд эдгээр векторуудын эхлэлийг нэгтгэх хэрэгтэй.
Хоёр векторын хоорондох өнцөг нь 180 градусаас их байж болохгүй.

Эх сурвалжууд:

• вектор хоорондын өнцгийг хэрхэн тооцоолох
• Шугаман ба хавтгай хоорондын өнцөг

Физик, шугаман алгебрийн хэрэглээний болон онолын олон асуудлыг шийдэхийн тулд векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай. Энэхүү энгийн мэт санагдах ажил нь скаляр бүтээгдэхүүний мөн чанар, энэ бүтээгдэхүүний үр дүнд ямар үнэ цэнэ гарч ирэхийг тодорхой ойлгохгүй бол маш их бэрхшээл учруулж болзошгүй юм.

Заавар

Вектор шугаман орон зай дахь векторуудын хоорондох өнцөг − хамгийн бага өнцөгүед, векторуудын кодиректорт хүрсэн байна. Векторуудын нэг нь эхлэх цэгийнхээ эргэн тойронд явагддаг. Тодорхойлолтоос харахад өнцгийн утга 180 градусаас хэтрэхгүй байх нь тодорхой болно (алхамыг үзнэ үү).

Энэ тохиолдолд шугаман орон зайд векторуудыг зэрэгцээ шилжүүлэх үед тэдгээрийн хоорондох өнцөг өөрчлөгддөггүй гэж маш зөв гэж үздэг. Тиймээс өнцгийн аналитик тооцоололд векторуудын орон зайн чиг баримжаа нь хамаагүй.

Цэгийн үржвэрийн үр дүн нь тоо, өөрөөр хэлбэл скаляр юм. Цаашдын тооцоололд алдаа гаргахгүйн тулд (үүнийг мэдэх нь чухал) санаарай. Хавтгай дээр эсвэл векторын орон зайд байрлах скаляр үржвэрийн томъёо нь хэлбэртэй байна (алхамын зургийг үзнэ үү).

Хэрэв векторууд орон зайд байрладаг бол тооцооллыг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэнэ. Цорын ганц зүйл бол ногдол ашигт нэр томъёоны харагдах байдал байх болно - энэ нь өргөдөл гаргагчийн нэр томъёо юм, i.e. векторын гурав дахь бүрэлдэхүүн хэсэг. Үүний дагуу векторуудын модулийг тооцоолохдоо z бүрэлдэхүүн хэсгийг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь орон зайд байрлах векторуудын хувьд сүүлчийн илэрхийлэлийг дараах байдлаар хувиргана (алхамын 6-р зургийг үз).

Вектор нь өгөгдсөн чиглэлтэй шугамын хэсэг юм. Векторуудын хоорондох өнцөг нь жишээлбэл, векторын тэнхлэг дээрх проекцын уртыг олох үед физик утгатай байдаг.

Заавар

Цэгний үржвэрийн тооцоог ашиглан тэг биш хоёр векторын хоорондох өнцөг. Тодорхойлолтоор бүтээгдэхүүн нь урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн үржвэртэй тэнцүү байна. Нөгөө талаас координат (x1; y1) ба b координаттай (x2; y2) хоёр векторын дотоод үржвэрийг тооцоолно: ab = x1x2 + y1y2. Эдгээр хоёр аргын дотроос цэгийн үржвэр нь векторуудын хооронд өнцгийг тогтооход хялбар байдаг.

Векторуудын урт эсвэл модулийг ол. Бидний a ба b векторуудын хувьд: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Векторуудын координатыг хосоор нь үржүүлж дотоод үржвэрийг ол: ab = x1x2 + y1y2. Цэгийн үржвэрийн тодорхойлолтоос ab = |a|*|b|*cos α, энд α нь векторуудын хоорондох өнцөг юм. Дараа нь бид x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α-г авна. Дараа нь cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Брэдисийн хүснэгтүүдийг ашиглан α өнцгийг ол.

Холбоотой видеонууд

тэмдэглэл

Скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн скаляр шинж чанар юм.

Хавтгай бол геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Хавтгай бол мэдэгдэл үнэн болох гадаргуу юм - түүний хоёр цэгийг холбосон аливаа шулуун шугам нь бүхэлдээ энэ гадаргууд хамаарна. Онгоцыг ихэвчлэн α, β, γ гэх мэт Грек үсгээр тэмдэглэдэг. Хоёр хавтгай нь хоёр хавтгайд хамаарах шулуун шугамаар үргэлж огтлолцдог.

Заавар

-ийн огтлолцол дээр үүссэн α ба β хагас хавтгайг авч үзье. Шулуун шугамаас үүссэн өнцөг a, хоёр талт өнцөгт α ба β хоёр хагас хавтгай. Энэ тохиолдолд хоёр талт өнцгийг үүсгэдэг хагас хавтгайг хавтгайн огтлолцох шугамыг ирмэг гэж нэрлэдэг. хоёр талт өнцөг.

хоёр талт өнцөг гэх мэт хавтгай булан, градусаар. Хоёр өнцөгт өнцөг үүсгэхийн тулд түүний нүүрэн дээрх дурын О цэгийг сонгох шаардлагатай.Хоёр талд нь О цэгээр хоёр а туяа татагдана. Үүссэн AOB өнцгийг хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг a гэнэ.

Тэгэхээр V = (a, b, c) вектор ба A x + B y + C z = 0 хавтгай өгөгдсөн ба энд A, B, C нь хэвийн N-ийн координатууд байна. Дараа нь өнцгийн косинус. V ба N векторуудын хоорондох α нь: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Өнцгийн утгыг градус эсвэл радианаар тооцоолохын тулд үүссэн илэрхийллээс косинустай урвуу функцийг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. арккосин: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Жишээ нь: олох буланхооронд вектор(5, -3, 8) ба онгоц, өгсөн ерөнхий тэгшитгэл 2 x - 5 y + 3 z = 0. Шийдэл: N = (2, -5, 3) хавтгайн хэвийн векторын координатыг бич. Бүгдийг орлуулах мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэдээрх томъёонд: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Холбоотой видеонууд

Тэгшитгэл бичээд түүнээс косинусыг тусгаарла. Нэг томьёоны дагуу векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн уртыг өөр хоорондоо болон косинусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. өнцөг, нөгөө талаас - тэнхлэг бүрийн дагуух координатын бүтээгдэхүүний нийлбэр. Хоёр томьёог тэнцүүлээд бид косинус гэж дүгнэж болно өнцөгкоординатын үржвэрийн нийлбэрийг векторуудын уртын үржвэрт харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байх ёстой.

Үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр векторыг тодорхойлох хэрэгтэй. Тэдгээр нь 3D декартын системд өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн эхлэх цэгүүд нь сүлжээнд байна гэж бодъё. Эхний векторын чиглэл ба хэмжээг (X₁,Y₁,Z₁) цэгээр, хоёр дахь нь - (X₂,Y₂,Z₂), өнцгийг γ үсгээр тэмдэглэнэ. Дараа нь вектор тус бүрийн урт нь жишээлбэл, Пифагорын теоремын дагуу координатын тэнхлэг тус бүр дээрх проекцоор үүсгэгдсэн байж болно: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) ба √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Өмнөх алхамд томъёолсон томъёонд эдгээр илэрхийллийг орлуулснаар та тэнцүү байдлыг олж авна: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

нийлбэр квадрат гэсэн баримтыг ашигла синусболон хамтран ажиллах синус-аас өнцөгнэг үнэ цэнэ үргэлж нэгийг өгдөг. Тиймээс өмнөх алхам дээр олж авсан зүйлийг өсгөх замаар хамтран синусквадрат болон нэгдлээс хасах, дараа нь квадрат язгуур, та асуудлыг шийднэ. Хүссэн томъёогоо бичнэ үү ерөнхий үзэл: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²))).

Векторуудын цэгийн үржвэр

Бид векторуудтай үргэлжлүүлэн харьцдаг. Эхний хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудБид векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат, вектортой холбоотой хамгийн энгийн бодлогуудыг авч үзсэн. Хэрэв та хайлтын системээс анх удаа энэ хуудсанд нэвтэрсэн бол дээрх танилцуулга өгүүллийг уншихыг зөвлөж байна, учир нь материалыг өөртөө шингээхийн тулд миний ашигладаг нэр томъёо, тэмдэглэгээнд шилжих хэрэгтэй. үндсэн мэдлэгвекторуудын тухай, анхан шатны бодлогуудыг шийдвэрлэх чадвартай байх. Энэ хичээл нь сэдвийн логик үргэлжлэл бөгөөд үүнд би векторуудын скаляр үржвэрийг ашигладаг ердийн даалгавруудыг нарийвчлан шинжлэх болно. Энэ их ЧУХАЛ үйл ажиллагаа . Жишээнүүдийг алгасахгүй байхыг хичээгээрэй, тэдгээр нь ашигтай урамшуулалтай байдаг - дадлага нь хамрагдсан материалыг нэгтгэж, аналитик геометрийн нийтлэг асуудлыг шийдвэрлэхэд "гараа авахад" тусална.

Вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх.... Математикчид өөр зүйл бодож олоогүй гэж бодох нь гэнэн хэрэг болно. Өмнө нь авч үзсэн үйлдлүүдээс гадна векторуудтай өөр хэд хэдэн үйлдлүүд байдаг, тухайлбал: векторуудын цэгэн үржвэр, векторуудын хөндлөн үржвэрболон векторуудын холимог бүтээгдэхүүн. Векторуудын скаляр үржвэр нь бидэнд сургуулиасаа танил, нөгөө хоёр бүтээгдэхүүн нь дээд математикийн курстэй холбоотой байдаг. Сэдвүүд нь энгийн, олон асуудлыг шийдэх алгоритм нь хэвшмэл, ойлгомжтой байдаг. Цорын ганц зүйл. Тохиромжтой хэмжээний мэдээлэл байгаа тул бүх зүйлийг нэг дор эзэмшиж, шийдэхийг оролдох нь зохисгүй юм. Энэ нь даммигийн хувьд ялангуяа үнэн юм, надад итгээрэй, зохиолч математикийн Чикатило шиг мэдрэхийг огт хүсэхгүй байна. Яахав, математикаас ч биш, мэдээжийн хэрэг, бас =) Илүү бэлтгэлтэй сурагчид материалыг сонгон ашиглаж, тодорхой утгаараа дутуу мэдлэгийг "эзэмшиж" чадна, таны хувьд би хор хөнөөлгүй Гүн Дракула болно =)

Эцэст нь, хаалгыг бага зэрэг онгойлгож, хоёр вектор бие биетэйгээ уулзах үед юу болохыг харцгаая.

Векторуудын скаляр үржвэрийн тодорхойлолт.
Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарууд. Ердийн даалгаварууд

Цэгтэй бүтээгдэхүүний тухай ойлголт

Эхлээд тухай векторуудын хоорондох өнцөг. Хүн бүр векторуудын хоорондох өнцөг гэж юу болохыг зөн совингоор ойлгодог гэж би бодож байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд арай илүү. Үнэгүй тэгээс бусад векторуудыг авч үзье. Хэрэв бид эдгээр векторуудыг дурын цэгээс хойшлуулбал олон хүн оюун санааны хувьд аль хэдийн танилцуулсан зургийг олж авна.

Би хүлээн зөвшөөрч байна, энд би нөхцөл байдлыг зөвхөн ойлголтын түвшинд тайлбарласан. Хэрэв танд векторуудын хоорондох өнцгийн нарийн тодорхойлолт хэрэгтэй бол сурах бичигт хандана уу, гэхдээ практик даалгаврын хувьд бидэнд зарчмын хувьд энэ хэрэггүй. Мөн ЭНД БА ЦААШИД би тэг векторуудыг практик ач холбогдол багатай тул заримдаа үл тоомсорлодог. Дараах мэдэгдлүүдийн заримыг онолын хувьд дутуу дулимаг гэж зэмлэж болох сайтын ахисан түвшний зочдод зориулж би захиалга өгсөн.

0-ээс 180 градус хүртэл (0-ээс радиан хүртэл) утгыг авч болно. Аналитик байдлаар энэ баримтыг давхар тэгш бус байдлаар бичсэн болно. эсвэл (радианаар).

Уран зохиолд өнцгийн дүрсийг орхигдуулж, зүгээр л бичдэг.

Тодорхойлолт:Хоёр векторын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү ТООН юм.

Одоо энэ бол нэлээд хатуу тодорхойлолт юм.

Бид чухал мэдээлэлд анхаарлаа хандуулдаг:

Зориулалт:скаляр үржвэрийг эсвэл энгийнээр тэмдэглэнэ.

Үйлдлийн үр дүн нь ДУГААР юм: Векторыг вектороор үржүүлж тоо гарна. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв векторуудын урт нь тоо, өнцгийн косинус нь тоо бол тэдгээрийн үржвэр болно. мөн тоо байх болно.

Халаалтын хэдхэн жишээ:

Жишээ 1

Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг . AT Энэ тохиолдолд:

Хариулт:

Косинусын утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт. Би үүнийг хэвлэхийг зөвлөж байна - энэ нь цамхагийн бараг бүх хэсэгт шаардагдах бөгөөд олон удаа шаардагдах болно.

Зөвхөн математикийн үүднээс авч үзвэл скаляр үржвэр нь хэмжээсгүй, өөрөөр хэлбэл үр дүн нь энэ тохиолдолд зүгээр л тоо юм. Физикийн асуудлуудын үүднээс авч үзвэл скаляр бүтээгдэхүүн нь үргэлж тодорхой физик утгатай байдаг, өөрөөр хэлбэл үр дүнгийн дараа нэг буюу өөр физик нэгжийг зааж өгөх ёстой. Хүчний ажлыг тооцоолох каноник жишээг ямар ч сурах бичгээс олж болно (томьёо нь яг цэгийн бүтээгдэхүүн юм). Хүчний ажлыг Жоулаар хэмждэг тул хариултыг жишээлбэл, тодорхой бичсэн болно.

Жишээ 2

Хэрвээ олоорой , мөн векторуудын хоорондох өнцөг нь .

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Векторуудын хоорондох өнцөг ба цэгийн бүтээгдэхүүний утга

Жишээ 1-д скаляр үржвэр эерэг, 2-р жишээнд сөрөг байна. Скаляр үржвэрийн тэмдэг юунаас хамаардаг болохыг олж мэдье. Бидний томъёог харцгаая: . Тэг биш векторуудын урт нь үргэлж эерэг байдаг: , тиймээс тэмдэг нь зөвхөн косинусын утгаас хамаарна.

Жич: Доорх мэдээллийг илүү сайн ойлгохын тулд гарын авлага дахь косинусын графикийг судлах нь дээр График ба функцийн шинж чанарууд. Косинус сегмент дээр хэрхэн ажиллахыг харна уу.

Өмнө дурьдсанчлан, векторуудын хоорондох өнцөг нь дотроо янз бүр байж болно , мөн үүний зэрэгцээ энэ нь боломжтой юм дараах тохиолдлууд:

1) Хэрэв буланвекторуудын хооронд халуун ногоотой: (0-ээс 90 градус хүртэл), дараа нь , ба цэгийн бүтээгдэхүүн эерэг байх болно хамтран найруулсан, тэгвэл тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тэг гэж үзэх бөгөөд скаляр үржвэр нь мөн эерэг байх болно. -ээс хойш томъёог хялбаршуулсан: .

2) Хэрэв буланвекторуудын хооронд тэнэг: (90-ээс 180 градус хүртэл), дараа нь , мөн үүний дагуу, цэгийн бүтээгдэхүүн сөрөг байна: . Онцгой тохиолдол: хэрэв векторууд эсрэг чиглэсэн, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг харгалзан үзнэ байрлуулсан: (180 градус). Скаляр бүтээгдэхүүн нь мөн сөрөг байна, оноос хойш

Эсрэг заалтууд нь бас үнэн юм:

1) Хэрэв бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг хурц байна. Эсвэл векторууд нь кодиректортой байдаг.

2) Хэрэв бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байна. Эсвэл векторууд эсрэгээрээ чиглэнэ.

Гэхдээ гурав дахь тохиолдол нь онцгой анхаарал татаж байна:

3) Хэрэв буланвекторуудын хооронд Чигээрээ: (90 градус) дараа нь ба цэгийн бүтээгдэхүүн тэг байна: . Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл . Компакт мэдэгдлийг дараах байдлаар томъёолсон болно. Өгөгдсөн векторууд ортогональ байвал хоёр векторын скаляр үржвэр нь тэг болно. Богино математик тэмдэглэгээ:

! Анхаарна уу : давт Математик логикийн үндэс: хоёр талт логик үр дагаврын дүрсийг ихэвчлэн "хэрэв ба зөвхөн дараа нь", "хэрэв л бол" гэж уншдаг. Таны харж байгаагаар сумнууд нь хоёр чиглэлд чиглэгддэг - "Үүнээс хойш үүнийг дагаж, эсрэгээр - үүнээс үүнийг дагаж байна." Дашрамд хэлэхэд нэг талын дагах дүрсээс юугаараа ялгаатай вэ? Icon нэхэмжлэл зөвхөн тэр"Үүнээс хойш үүнийг дагадаг" гэсэн үг, харин эсрэгээр нь үнэн гэдгийг биш. Жишээ нь: , гэхдээ амьтан бүр ирвэс биш тул энэ тохиолдолд дүрсийг ашиглах боломжгүй. Үүний зэрэгцээ, дүрсний оронд чаднанэг талын дүрсийг ашиглах. Жишээлбэл, асуудлыг шийдэж байхдаа векторууд нь ортогональ байна гэж дүгнэсэн. - ийм бичлэг нь зөв, тэр ч байтугай илүү тохиромжтой байх болно .

Гурав дахь тохиолдол нь практик ач холбогдолтой юм., учир нь энэ нь векторууд ортогональ эсэхийг шалгах боломжийг олгодог. Бид энэ асуудлыг хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт шийдэх болно.

Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанар

Хоёр вектор байх үеийн нөхцөл байдал руу буцъя хамтран найруулсан. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн хоорондох өнцөг тэг, , скаляр үржвэрийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэрэв векторыг өөрөө үржүүлбэл юу болох вэ? Вектор нь өөртэйгээ хамт чиглэгддэг нь тодорхой тул дээрх хялбаршуулсан томъёог ашиглана.

дугаарыг дуудаж байна скаляр квадратвектор , мөн гэж тэмдэглэнэ.

Энэ замаар, векторын скаляр квадрат нь өгөгдсөн векторын уртын квадраттай тэнцүү байна.

Энэ тэгшитгэлээс та векторын уртыг тооцоолох томъёог авч болно.

Хэдийгээр энэ нь ойлгомжгүй мэт боловч хичээлийн даалгавар нь бүх зүйлийг байранд нь оруулах болно. Асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд бас хэрэгтэй цэгийн бүтээгдэхүүний шинж чанар.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд:

1) - нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой эсвэл хувирахскаляр бүтээгдэхүүний хууль.

2) - хуваарилалт эсвэл түгээхскаляр бүтээгдэхүүний хууль. Энгийнээр хэлэхэд та хаалт нээж болно.

3) - хослол эсвэл ассоциативскаляр бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг скаляр үржвэрээс гаргаж авч болно.

Ихэнхдээ бүх төрлийн өмчийг (үүнийг бас нотлох шаардлагатай!) Оюутнууд шаардлагагүй хог хаягдал гэж ойлгодог бөгөөд үүнийг шалгалтын дараа шууд цээжилж, аюулгүйгээр мартах хэрэгтэй. Энд хамгийн чухал зүйл бол бүтээгдэхүүн нь хүчин зүйлийн өөрчлөлтөөс өөрчлөгддөггүй гэдгийг хүн бүр нэгдүгээр ангиасаа мэддэг байх шиг байна. Би танд анхааруулах ёстой, дээд математикт ийм хандлагатай бол аливаа зүйлийг будлиулахад хялбар байдаг. Тиймээс, жишээлбэл, солих шинж чанар нь хүчин төгөлдөр бус байна алгебрийн матрицууд. хувьд энэ нь үнэн биш юм векторуудын хөндлөн үржвэр. Тиймээс, юу хийж болох, юу хийж болохгүйг ойлгохын тулд дээд математикийн явцад таарах аливаа шинж чанарыг судлах нь дээр.

Жишээ 3

.

Шийдэл:Эхлээд векторын нөхцөл байдлыг тодруулъя. Энэ бүхэн юуны тухай вэ? and векторуудын нийлбэр нь сайн тодорхойлогдсон вектор бөгөөд үүнийг -ээр тэмдэглэнэ. Вектор бүхий үйлдлийн геометрийн тайлбарыг нийтлэлээс олж болно Дамми нарт зориулсан векторууд. Вектортой ижил яншуй нь векторуудын нийлбэр ба .

Тиймээс нөхцөлийн дагуу скаляр үржвэрийг олох шаардлагатай. Хэрэгжүүлэх санаа нь ажлын томъёо , гэхдээ асуудал нь бид векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Гэхдээ нөхцөл байдалд ижил төстэй параметрүүдийг векторуудад өгсөн тул бид өөр замаар явна:

(1) Бид векторуудын илэрхийлэлийг орлуулдаг.

(2) Бид олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтуудыг нээдэг, бүдүүлэг хэллэгийг нийтлэлээс олж болно. Нарийн төвөгтэй тооэсвэл Бутархай-рационал функцийн интеграл. Би өөрийгөө давтахгүй =) Дашрамд хэлэхэд, скаляр бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанар нь хаалт нээх боломжийг бидэнд олгодог. Бидэнд эрх бий.

(3) Эхний болон сүүлчийн нөхцлөөр бид векторуудын скаляр квадратуудыг нягт бичдэг. . Хоёр дахь гишүүнд бид скаляр үржвэрийн солигдох чадварыг ашигладаг: .

(4) Энд ижил төстэй нэр томъёо байна: .

(5) Эхний нэр томъёонд бид саяхан дурдсан скаляр квадрат томъёог ашигладаг. Сүүлийн үед тус тус ижил зүйл ажилладаг: . Хоёр дахь нэр томъёо нь стандарт томъёоны дагуу өргөжсөн .

(6) Эдгээр нөхцлийг орлуулна уу , мөн эцсийн тооцоог АНХААРУУЛГА хийх.

Хариулт:

Сөрөг утгатайцэгийн үржвэр нь векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байна гэдгийг харуулж байна.

Даалгавар нь ердийн зүйл тул бие даасан шийдлийн жишээ энд байна.

Жишээ 4

Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол векторуудын скаляр үржвэрийг ол .

Одоо өөр нэг нийтлэг даалгавар бол зөвхөн векторын уртын шинэ томъёонд зориулагдсан. Энд байгаа тэмдэглэгээ нь бага зэрэг давхцах тул тодорхой болгохын тулд би үүнийг өөр үсгээр дахин бичих болно.

Жишээ 5

Хэрэв векторын уртыг ол .

Шийдэлдараах байдалтай байх болно.

(1) Бид вектор илэрхийлэлийг өгдөг.

(2) Бид "ve" векторын хувьд бүхэл тоон илэрхийлэлтэй байхад уртын томъёог ашигладаг.

(3) Бид нийлбэрийн квадратын хувьд сургуулийн томъёог ашигладаг. Энэ нь хэрхэн сониуч байдлаар ажиллаж байгааг анхаарч үзээрэй: - үнэндээ энэ бол ялгааны квадрат бөгөөд үнэндээ тийм юм. Хүссэн хүмүүс векторуудыг газар дээр нь өөрчилж болно: - Нэр томъёоны өөрчлөлт хүртэл ижил зүйл болсон.

(4) Дараах нь өмнөх хоёр асуудлаас аль хэдийн танил болсон.

Хариулт:

Бид уртын тухай ярьж байгаа тул хэмжээсийг "нэгж" гэж зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Жишээ 6

Хэрэв векторын уртыг ол .

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Бид скаляр бүтээгдэхүүнээс хэрэгтэй зүйлсийг шахсаар байна. Томьёогоо дахин харцгаая . Пропорциональ дүрмээр бид векторуудын уртыг зүүн талын хуваагч руу дахин тохируулна.

Эд ангиудыг сольж үзье:

Энэ томъёоны утга нь юу вэ? Хэрэв хоёр векторын урт ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь мэдэгдэж байгаа бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийн косинус, улмаар өнцгийг өөрөө тооцоолж болно.

Скаляр үржвэр нь тоо мөн үү? Тоо. Векторын урт нь тоо мөн үү? Тоонууд. Тэгэхээр бутархай нь бас тоо юм. Хэрэв өнцгийн косинус мэдэгдэж байвал: , дараа нь ашиглана урвуу функцбуланг өөрөө олоход хялбар байдаг: .

Жишээ 7

Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг:

Дээр эцсийн шатТооцооллын хувьд хуваагч дахь зохисгүй байдлыг арилгах аргыг ашигласан. Оновчгүй байдлыг арилгахын тулд тоо, хуваагчийг үржүүлсэн.

Тэгэхээр хэрэв , дараа нь:

Урвуу утгууд тригонометрийн функцууд-аар олж болно тригонометрийн хүснэгт. Хэдийгээр энэ нь ховор тохиолддог. Аналитик геометрийн асуудлуудад зарим болхи баавгай илүү олон удаа гарч ирдэг бөгөөд өнцгийн утгыг тооцоолуур ашиглан ойролцоогоор олох шаардлагатай болдог. Үнэндээ бид энэ зургийг дахин дахин харах болно.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд хэмжээсийг зааж өгөхөө бүү мартаарай - радиан ба градус. Би хувьдаа санаатайгаар "бүх асуултыг арилгах" тулд хоёуланг нь зааж өгөхийг илүүд үздэг (мэдээжийн хэрэг, нөхцөлөөр хариултыг зөвхөн радианаар эсвэл зөвхөн градусаар өгөх шаардлагагүй бол).

Одоо та илүү хэцүү ажлыг бие даан даван туулах боломжтой болно.

Жишээ 7*

Векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөв. , векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Даалгавар нь олон талттай адил хэцүү биш юм.
Шийдлийн алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе:

1) Нөхцөлийн дагуу ба векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай тул та томъёог ашиглах хэрэгтэй. .

2) Бид скаляр үржвэрийг олно (Жишээ No3, 4-ийг үз).

3) Векторын урт ба векторын уртыг ол (Жишээ No5, 6-г үзнэ үү).

4) Шийдлийн төгсгөл нь жишээ №7-тэй давхцаж байна - бид тоог мэддэг бөгөөд энэ нь өнцгийг өөрөө олоход хялбар гэсэн үг юм.

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хичээлийн хоёр дахь хэсэг нь ижил цэгийн бүтээгдэхүүнд зориулагдсан болно. Координатууд. Энэ нь эхний хэсгээс илүү хялбар байх болно.

Векторуудын цэгийн үржвэр,
ортонормаль суурь дээр координатаар өгөгдсөн

Хариулт:

Координатуудтай харьцах нь илүү тааламжтай гэдгийг хэлэх шаардлагагүй.

Жишээ 14

Хэрэв векторуудын скаляр үржвэрийг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Энд та үйлдлийн ассоциацийг ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл тоолохгүй, харин скаляр үржвэрээс гурвыг нэн даруй гаргаж аваад хамгийн сүүлд үржүүлнэ. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариулт.

Догол мөрний төгсгөлд векторын уртыг тооцоолох өдөөн хатгасан жишээ:

Жишээ 15

Векторуудын уртыг ол , хэрэв

Шийдэл:Өмнөх хэсгийн арга нь дахин санал болгож байна: гэхдээ өөр арга бий:

Векторыг олъё:

Мөн түүний урт нь энгийн томъёоны дагуу :

Скаляр бүтээгдэхүүн энд огт хамаагүй!

Векторын уртыг тооцоолоход энэ нь хэр зэрэг ажиллахгүй байна вэ:
Зогс. Векторын уртын тодорхой шинж чанарыг яагаад ашиглаж болохгүй гэж? Векторын уртын талаар юу хэлж болох вэ? Энэ вектор нь вектороос 5 дахин урт байна. Чиглэл нь эсрэгээрээ, гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь бид уртын тухай ярьж байна. Мэдээжийн хэрэг, векторын урт нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна модульвекторын уртын тоо:
- модулийн тэмдэг нь тооны боломжит хасахыг "иддэг".

Энэ замаар:

Хариулт:

Координатаар өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёо

одоо бидэнд байна бүрэн мэдээлэл, ингэснээр вектор хоорондын өнцгийн косинусын өмнө гаргаж авсан томьёо вектор координатаар илэрхийлнэ:

Хавтгай векторуудын хоорондох өнцгийн косинусболон , ортонормаль үндэслэлээр өгөгдсөн, томъёогоор илэрхийлнэ:
.

Сансрын векторуудын хоорондох өнцгийн косинус, ортонормаль үндэслэлээр өгөгдсөн, томъёогоор илэрхийлнэ:

Жишээ 16

Гурвалжны гурван оройг өгөв. Ол (орой өнцөг).

Шийдэл:Нөхцөлөөр зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ:

Шаардлагатай өнцгийг ногоон нумаар тэмдэглэнэ. Сургуулийн өнцгийн тэмдэглэгээг нэн даруй эргэн сана: - Онцгой анхааралдээр дундүсэг - энэ бол бидэнд хэрэгтэй өнцгийн орой юм. Товчхондоо энгийнээр бичиж болно.

Зургаас харахад гурвалжны өнцөг нь векторуудын хоорондох өнцөгтэй давхцаж байгаа нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл: .

Сэтгэцийн хувьд хийсэн шинжилгээг хэрхэн хийх талаар сурах нь зүйтэй.

Векторуудыг олцгооё:

Скаляр үржвэрийг тооцоолъё:

Мөн векторуудын уртууд:

Өнцгийн косинус:

Энэ бол даалгаврын дарааллыг би хуурамч хүмүүст санал болгож байна. Илүү дэвшилтэт уншигчид тооцооллыг "нэг мөрөнд" бичиж болно.

"Муу" косинусын утгын жишээ энд байна. Үүссэн утга нь эцсийн биш тул үгүй онцгой утгахуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.

Өнцгийг олъё:

Хэрэв та зургийг харвал үр дүн нь нэлээд үнэмшилтэй байна. Өнцгийг шалгахын тулд мөн протектороор хэмжиж болно. Мониторын бүрээсийг гэмтээж болохгүй =)

Хариулт:

Хариуд нь үүнийг мартаж болохгүй гурвалжны өнцгийн талаар асуув(мөн векторуудын хоорондох өнцгийн тухай биш), яг хариултыг зааж өгөхөө бүү мартаарай: болон өнцгийн ойролцоо утгыг: тооцоолуураар олсон.

Энэ үйл явцад таалагдсан хүмүүс өнцгийг тооцоолж, каноник тэгш байдал үнэн эсэхийг шалгах боломжтой

Жишээ 17

Гурвалжин нь огторгуйд оройнуудынх нь координатаар өгөгдсөн. ба талуудын хоорондох өнцгийг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт

Жижиг эцсийн хэсэгскаляр бүтээгдэхүүн мөн "оролцож" байгаа төсөөлөлд зориулагдана:

Вектор дээр векторыг проекцлох. Координатын тэнхлэг дээрх вектор проекц.
Вектор чиглэлийн косинусууд

Векторуудыг авч үзье:

Бид векторыг вектор дээр проекц хийдэг бөгөөд үүний тулд векторын эхлэл ба төгсгөлийг орхигдуулдаг перпендикулярвектор бүрт (ногоон тасархай шугам). Гэрлийн туяа вектор дээр перпендикуляр унаж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь сегмент (улаан шугам) нь векторын "сүүдэр" болно. Энэ тохиолдолд векторын вектор дээрх проекц нь сегментийн УРТ болно. Өөрөөр хэлбэл ТӨСӨЛ БОЛ ТООН.

Энэ ДУГААР дараах байдлаар тэмдэглэгдэнэ: , "том вектор" нь векторыг илэрхийлнэ АЛЬтөсөл, "жижиг дэд тэмдэгт вектор" нь векторыг илэрхийлдэг ДЭЭРаль нь төлөвлөж байна.

Энэ оруулга нь өөрөө "a" векторын "be" вектор дээрх проекц" гэсэн утгатай.

Хэрэв "be" вектор "хэт богино" байвал яах вэ? Бид "be" векторыг агуулсан шулуун шугамыг зурна. Мөн "a" вектор аль хэдийн төлөвлөгдсөн болно "be" векторын чиглэлд, энгийнээр - "be" векторыг агуулсан шулуун шугам дээр. Хэрэв "a" векторыг гучин хаант улсад байрлуулбал ижил зүйл тохиолдох болно - энэ нь "be" векторыг агуулсан мөрөнд амархан проекцлох болно.

Хэрэв өнцөгвекторуудын хооронд халуун ногоотой(зураг дээрх шиг), дараа нь

Хэрэв векторууд ортогональ, дараа нь (проекц нь хэмжээс нь тэг гэж тооцогддог цэг юм).

Хэрэв өнцөгвекторуудын хооронд тэнэг(зураг дээр векторын сумыг оюун ухаанаараа дахин зохион байгуулна), дараа нь (ижил урттай, гэхдээ хасах тэмдгээр авсан).

Эдгээр векторуудыг нэг цэгээс хойш тавь:

Мэдээжийн хэрэг, векторыг хөдөлгөхөд түүний проекц өөрчлөгдөхгүй

Геометрийг судлахдаа векторын сэдвээр олон асуулт гарч ирдэг. Векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай үед оюутан тодорхой бэрхшээлтэй тулгардаг.

Үндсэн нэр томъёо

Векторуудын хоорондох өнцгийг авч үзэхээсээ өмнө векторын тодорхойлолт, вектор хоорондын өнцгийн тухай ойлголттой танилцах шаардлагатай.

Вектор нь чиглэлтэй сегмент, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл тодорхойлогдсон сегмент юм.

Нийтлэг гарал үүсэлтэй хавтгай дээрх хоёр векторын хоорондох өнцөг нь аль нэг векторыг тойрон хөдөлгөхөд шаардагдах өнцөгүүдийн хамгийн бага нь юм. нийтлэг цэг, тэдгээрийн чиглэл давхцах хүртэл.

Уусмалын томъёо

Вектор гэж юу болох, түүний өнцөг хэрхэн тодорхойлогддогийг ойлгосны дараа векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолж болно. Үүний шийдлийн томъёо нь маш энгийн бөгөөд түүний хэрэглээний үр дүн нь өнцгийн косинусын утга байх болно. Тодорхойлолтоор энэ нь векторуудын скаляр үржвэр ба тэдгээрийн уртын үржвэрийн коэффициенттэй тэнцүү байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийг үржүүлэгч векторуудын харгалзах координатын нийлбэрийг өөр хоорондоо үржүүлсэн гэж үзнэ. Векторын урт буюу түүний модулийг координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тооцдог.

Өнцгийн косинусын утгыг хүлээн авсны дараа та тооцоолуур эсвэл тригонометрийн хүснэгт ашиглан өнцгийн утгыг өөрөө тооцоолж болно.

Жишээ

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдсэний дараа харгалзах асуудлын шийдэл нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой болно. Жишээ болгон өнцгийн хэмжээг олох энгийн бодлогыг авч үзье.

Юуны өмнө, шийдвэрлэхэд шаардлагатай векторуудын урт ба тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний утгыг тооцоолох нь илүү тохиромжтой байх болно. Дээрх тайлбарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн өнцгийн косинусын утгыг тооцоолно.

Энэ тоо нь таван нийтлэг косинусын утгын нэг биш тул өнцгийн утгыг авахын тулд та тооцоолуур эсвэл Брадисын тригонометрийн хүснэгтийг ашиглах хэрэгтэй болно. Гэхдээ векторуудын хоорондох өнцгийг олохын өмнө нэмэлт сөрөг тэмдгээс ангижрахын тулд томъёог хялбаршуулж болно.

Эцсийн хариултыг үнэн зөв байлгахын тулд энэ хэлбэрээр үлдээж болно, эсвэл та өнцгийн утгыг градусаар тооцоолж болно. Брадисын хүснэгтийн дагуу түүний утга нь ойролцоогоор 116 градус 70 минут байх бөгөөд тооцоолуур нь 116.57 градусын утгыг харуулах болно.

n хэмжээст орон зайд өнцгийн тооцоо

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр векторыг авч үзэхэд тэдгээр нь нэг хавтгайд ороогүй бол аль өнцгийн тухай ярьж байгааг ойлгоход илүү хэцүү болно. Ойлголтыг хялбарчлахын тулд та тэдгээрийн хоорондох хамгийн бага өнцгийг үүсгэдэг хоёр огтлолцсон сегментийг зурж болох бөгөөд энэ нь хүссэн нэг байх болно. Векторт гурав дахь координат байгаа хэдий ч вектор хоорондын өнцгийг хэрхэн тооцоолох үйл явц өөрчлөгдөхгүй. Скаляр үржвэр, векторуудын модуль, тэдгээрийн квиентийн арккосиныг тооцоолж, энэ асуудлын хариулт болно.

Геометрийн хувьд ихэвчлэн гурваас дээш хэмжээст орон зайд асуудал гардаг. Гэхдээ тэдний хувьд хариултыг олох алгоритм нь ижил төстэй харагдаж байна.

0 ба 180 градусын ялгаа

Векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолоход зориулагдсан асуудлын хариултыг бичихэд гаргадаг нийтлэг алдаануудын нэг бол векторууд параллель, өөрөөр хэлбэл хүссэн өнцөг нь 0 эсвэл 180 градус болсон гэж бичих шийдвэр юм. Энэ хариулт буруу байна.

Шийдлийн үр дүнд 0 градусын өнцгийн утгыг хүлээн авсны дараа зөв хариулт нь векторуудыг хамтарсан чиглэлтэй, өөрөөр хэлбэл векторууд ижил чиглэлтэй байх болно. 180 градусыг авах тохиолдолд векторууд нь эсрэг чиглэлтэй байх болно.

Тодорхой векторууд

Векторуудын хоорондох өнцгийг олсноор дээр дурдсан хамтарсан болон эсрэг чиглэлтэй төрлөөс гадна тусгай төрлүүдийн аль нэгийг олж болно.

• Нэг хавтгайд параллель хэд хэдэн векторыг coplanar гэж нэрлэдэг.
• Урт болон чиглэлийн хувьд ижил векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг.
• Чиглэлээс үл хамааран нэг шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар гэж нэрлэдэг.
• Хэрэв векторын урт нь тэг, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл давхцаж байвал тэг, нэг бол нэг гэж нэрлэдэг.

Хоёр векторын хоорондох өнцөг , :

Хэрэв хоёр векторын хоорондох өнцөг хурц байвал тэдгээрийн цэгэн бүтээгдэхүүн эерэг байна; векторуудын хоорондох өнцөг мохоо бол эдгээр векторуудын скаляр үржвэр сөрөг байна. Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн эдгээр векторууд ортогональ байвал тэг болно.

Дасгал хийх.ба векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Шийдэл.Хүссэн өнцгийн косинус

16. Шулуун, шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох

Шугаман ба хавтгай хоорондын өнцөгЭнэ шугамыг огтолж, перпендикуляр биш байгаа нь шугам ба түүний энэ хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм.

Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тодорхойлох нь шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь огтлолцсон хоёр шугамын хоорондох өнцөг юм: шугам өөрөө ба түүний хавтгай дээрх проекц. Тиймээс шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь хурц өнцөг юм.

Перпендикуляр шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тэнцүү гэж үзэх ба параллель шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг огт тогтоогоогүй, эсвэл -тэй тэнцүү гэж үзнэ.

§ 69. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тооцоо.

Сансар огторгуй дахь хоёр шулууны хоорондох өнцгийг тооцоолох асуудлыг хавтгай дээрхтэй ижил аргаар шийддэг (§ 32). Шугаман хоорондын өнцгийг φ-ээр тэмдэглэнэ л 1 ба л 2 , мөн ψ дамжуулан - чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг а болон б эдгээр шулуун шугамууд.

Дараа нь бол

ψ 90 ° (Зураг 206.6), дараа нь φ = 180 ° - ψ. Энэ хоёр тохиолдолд cos φ = |cos ψ| тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Томъёогоор (1) § 20 бидэнд байна

Үүний үр дүнд,

Шугамануудыг тэдгээрийн канон тэгшитгэлээр өгье

Дараа нь шугамын хоорондох φ өнцгийг томъёогоор тодорхойлно

Хэрэв шугамуудын аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) каноник бус тэгшитгэлээр өгсөн бол өнцгийг тооцоолохын тулд та эдгээр шугамын чиглэлийн векторуудын координатыг олж, дараа нь (1) томъёог ашиглах хэрэгтэй.

17. Зэрэгцээ шулуунууд, Параллель шулуунуудын теоремууд

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх хоёр шугамыг дууддаг Зэрэгцээхэрэв тэдэнд нийтлэг зүйл байхгүй бол.

Гурван хэмжээст хоёр шугамыг нэрлэдэг Зэрэгцээхэрэв тэд нэг хавтгайд хэвтэж, нийтлэг цэггүй бол.

Хоёр векторын хоорондох өнцөг.

Цэг бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос:

.

Хоёр векторын ортогональ байдлын нөхцөл:

Хоёр векторын коллинеар байдлын нөхцөл:

.

Тодорхойлолт 5 -аас дагана. Үнэн хэрэгтээ, векторын үржвэрийг тоогоор тодорхойлсноор дараах байдалтай байна. Тиймээс векторын тэгш байдлын дүрэмд үндэслэн бид , , , гэж бичдэг . Харин векторыг тоогоор үржүүлснээр үүсэх вектор нь вектортой ижил байна.

Вектор-вектор проекц:

.

Жишээ 4. Өгөгдсөн оноо , , , .

Скаляр үржвэрийг ол.

Шийдэл. координатаар нь өгөгдсөн векторуудын скаляр үржвэрийн томъёогоор олно. Учир нь

, ,

Жишээ 5Өгөгдсөн оноо , , , .

Төсөл олох.

Шийдэл. Учир нь

, ,

Төсөөллийн томъёонд үндэслэн бид байна

.

Жишээ 6Өгөгдсөн оноо , , , .

ба векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл. Векторууд гэдгийг анхаарна уу

, ,

координатууд нь пропорциональ биш тул тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай биш юм.

.

Эдгээр векторууд нь мөн перпендикуляр биш, учир нь тэдгээрийн цэгийн үржвэр нь .

Олъё,

Булан томъёоноос ол:

.

Жишээ 7Аль векторуудад зориулагдсан болохыг тодорхойлох collinear.

Шийдэл. Коллинеарын хувьд векторуудын харгалзах координатууд мөн пропорциональ байх ёстой, өөрөөр хэлбэл:

.

Эндээс болон .

Жишээ 8. Векторын ямар утгыг тодорхойлох болон перпендикуляр байна.

Шийдэл. Вектор ба тэдгээрийн цэгийн үржвэр нь тэг байвал перпендикуляр байна. Энэ нөхцлөөс бид: . Тэр бол, .

Жишээ 9. Хай , хэрэв , , .

Шийдэл. Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанараас шалтгаалан бид дараах байдалтай байна.

Жишээ 10. ба , хаана ба векторуудын хоорондох өнцгийг ол - нэгж векторууд ба векторуудын хоорондох өнцөг ба 120o-тэй тэнцүү байна.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: , ,

Эцэст нь бидэнд байна: .

5 Б. вектор бүтээгдэхүүн.

Тодорхойлолт 21.вектор урлагвектороос векторыг вектор гэж нэрлэдэг, эсвэл дараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогддог.

1) Векторын модуль нь , энд векторуудын хоорондох өнцөг ба , i.e. .

Үүнээс үзэхэд вектор үржвэрийн модуль нь тоон утгатай байна талбайтай тэнцүүВекторууд дээр болон талууд дээр баригдсан параллелограмм.

2) Вектор нь вектор тус бүрд перпендикуляр ба ( ; ), i.e. векторууд дээр баригдсан параллелограммын хавтгайд перпендикуляр ба .

3) Векторыг төгсгөлөөс нь авч үзвэл вектороос вектор руу хамгийн богино эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг байхаар чиглэгддэг (, , векторууд нь баруун гурвалжин үүсгэдэг).

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Геометрийг судлахдаа векторын сэдвээр олон асуулт гарч ирдэг. Векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай үед оюутан тодорхой бэрхшээлтэй тулгардаг.

Үндсэн нэр томъёо

Векторуудын хоорондох өнцгийг авч үзэхээсээ өмнө векторын тодорхойлолт, вектор хоорондын өнцгийн тухай ойлголттой танилцах шаардлагатай.

Вектор нь чиглэлтэй сегмент, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл тодорхойлогдсон сегмент юм.

Нийтлэг гарал үүсэлтэй хавтгай дээрх хоёр векторын хоорондох өнцөг нь нийтлэг цэгийн эргэн тойронд векторуудын аль нэгийг чиглэлүүд нь давхцах байрлалд шилжүүлэх шаардлагатай өнцгүүдийн хамгийн бага нь юм.

Уусмалын томъёо

Вектор гэж юу болох, түүний өнцөг хэрхэн тодорхойлогддогийг ойлгосны дараа векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолж болно. Үүний шийдлийн томъёо нь маш энгийн бөгөөд түүний хэрэглээний үр дүн нь өнцгийн косинусын утга байх болно. Тодорхойлолтоор энэ нь векторуудын скаляр үржвэр ба тэдгээрийн уртын үржвэрийн коэффициенттэй тэнцүү байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийг үржүүлэгч векторуудын харгалзах координатын нийлбэрийг өөр хоорондоо үржүүлсэн гэж үзнэ. Векторын урт буюу түүний модулийг координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тооцдог.

Өнцгийн косинусын утгыг хүлээн авсны дараа та тооцоолуур эсвэл тригонометрийн хүснэгт ашиглан өнцгийн утгыг өөрөө тооцоолж болно.

Жишээ

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдсэний дараа харгалзах асуудлын шийдэл нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой болно. Жишээ болгон өнцгийн хэмжээг олох энгийн бодлогыг авч үзье.

Юуны өмнө, шийдвэрлэхэд шаардлагатай векторуудын урт ба тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний утгыг тооцоолох нь илүү тохиромжтой байх болно. Дээрх тайлбарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн өнцгийн косинусын утгыг тооцоолно.

Энэ тоо нь таван нийтлэг косинусын утгын нэг биш тул өнцгийн утгыг авахын тулд та тооцоолуур эсвэл Брадисын тригонометрийн хүснэгтийг ашиглах хэрэгтэй болно. Гэхдээ векторуудын хоорондох өнцгийг олохын өмнө нэмэлт сөрөг тэмдгээс ангижрахын тулд томъёог хялбаршуулж болно.

Эцсийн хариултыг үнэн зөв байлгахын тулд энэ хэлбэрээр үлдээж болно, эсвэл та өнцгийн утгыг градусаар тооцоолж болно. Брадисын хүснэгтийн дагуу түүний утга нь ойролцоогоор 116 градус 70 минут байх бөгөөд тооцоолуур нь 116.57 градусын утгыг харуулах болно.

n хэмжээст орон зайд өнцгийн тооцоо

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр векторыг авч үзэхэд тэдгээр нь нэг хавтгайд ороогүй бол аль өнцгийн тухай ярьж байгааг ойлгоход илүү хэцүү болно. Ойлголтыг хялбарчлахын тулд та тэдгээрийн хоорондох хамгийн бага өнцгийг үүсгэдэг хоёр огтлолцсон сегментийг зурж болох бөгөөд энэ нь хүссэн нэг байх болно. Векторт гурав дахь координат байгаа хэдий ч вектор хоорондын өнцгийг хэрхэн тооцоолох үйл явц өөрчлөгдөхгүй. Скаляр үржвэр, векторуудын модуль, тэдгээрийн квиентийн арккосиныг тооцоолж, энэ асуудлын хариулт болно.

Геометрийн хувьд ихэвчлэн гурваас дээш хэмжээст орон зайд асуудал гардаг. Гэхдээ тэдний хувьд хариултыг олох алгоритм нь ижил төстэй харагдаж байна.

0 ба 180 градусын ялгаа

Векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолоход зориулагдсан асуудлын хариултыг бичихэд гаргадаг нийтлэг алдаануудын нэг бол векторууд параллель, өөрөөр хэлбэл хүссэн өнцөг нь 0 эсвэл 180 градус болсон гэж бичих шийдвэр юм. Энэ хариулт буруу байна.

Шийдлийн үр дүнд 0 градусын өнцгийн утгыг хүлээн авсны дараа зөв хариулт нь векторуудыг хамтарсан чиглэлтэй, өөрөөр хэлбэл векторууд ижил чиглэлтэй байх болно. 180 градусыг авах тохиолдолд векторууд нь эсрэг чиглэлтэй байх болно.

Тодорхой векторууд

Векторуудын хоорондох өнцгийг олсноор дээр дурдсан хамтарсан болон эсрэг чиглэлтэй төрлөөс гадна тусгай төрлүүдийн аль нэгийг олж болно.

• Нэг хавтгайд параллель хэд хэдэн векторыг coplanar гэж нэрлэдэг.
• Урт болон чиглэлийн хувьд ижил векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг.
• Чиглэлээс үл хамааран нэг шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар гэж нэрлэдэг.
• Хэрэв векторын урт нь тэг, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл давхцаж байвал тэг, нэг бол нэг гэж нэрлэдэг.

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?

надад туслаач! Би томьёог мэдэж байгаа ч ойлгохгүй байна
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Александр Титов

Тэдний координатаар өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцгийг стандарт алгоритмын дагуу олно. Эхлээд та a ба b векторуудын скаляр үржвэрийг олох хэрэгтэй: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Энд бид эдгээр векторуудын координатыг орлуулж, дараахь зүйлийг авч үзье.
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Дараа нь бид вектор бүрийн уртыг тодорхойлно. Векторын урт буюу модуль нь түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур юм.
|а| = үндэс (x1^2 + y1^2 + z1^2) = үндэс (8^2 + 10^2 + 4^2) = үндэс (64 + 100 + 16) = 180-ийн үндэс = 6 үндэс 5
|б| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) -ийн квадрат язгуур = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) -ийн квадрат язгуур = (25 + 400 + 100) -ийн квадрат язгуур ) = 525-ын квадрат язгуур = 21-ийн 5 үндэс.
Бид эдгээр уртыг үржүүлдэг. Бид 105-аас 30 үндэс авдаг.
Эцэст нь бид векторуудын скаляр үржвэрийг эдгээр векторуудын уртын үржвэрт хуваана. Бид -200 / (105-аас 30 үндэс) эсвэл авдаг
- (105-ын 4 үндэс) / 63. Энэ нь векторуудын хоорондох өнцгийн косинус юм. Мөн өнцөг нь өөрөө энэ тооны нумын косинустай тэнцүү байна
f \u003d arccos (105-ын 4 үндэс) / 63.
Хэрэв би зөв тооцоолсон бол.

Векторуудын координатаас вектор хоорондын өнцгийн синусыг хэрхэн тооцох вэ

Михаил Ткачев

Бид эдгээр векторуудыг үржүүлдэг. Тэдний цэгийн үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.
Өнцөг нь бидэнд мэдэгдэхгүй ч координатууд нь мэдэгддэг.
Үүнийг математикийн хувьд ингэж бичье.
Өгөгдсөн векторууд a(x1;y1) ба b(x2;y2) байг.
Дараа нь

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Бид маргаж байна.
векторуудын a*b-скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын координатын харгалзах координатын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл x1*x2+y1*y2-тай тэнцүү байна.

|a|*|b|-векторын уртын үржвэр нь √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)-тэй тэнцүү байна.

Тэгэхээр векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Өнцгийн косинусыг мэдсэнээр бид түүний синусыг тооцоолж болно. Үүнийг хэрхэн хийх талаар ярилцъя:

Хэрэв өнцгийн косинус эерэг бол энэ өнцөг нь дөрөвний 1 эсвэл 4 хэсэгт байрладаг тул түүний синус нь эерэг эсвэл сөрөг байна. Гэхдээ векторуудын хоорондох өнцөг нь 180 градусаас бага буюу тэнцүү байх тул түүний синус эерэг байна. Косинус сөрөг байвал бид үүнтэй адил маргаж байна.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ингээд л болоо)))) ойлгоход амжилт хүсье)))

Дмитрий Левищев

Шууд синус хийх боломжгүй гэдэг нь үнэн биш юм.
Томъёос гадна:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Энэ нь бас байдаг:
||=|a|*|b|*sin А
Өөрөөр хэлбэл, скаляр бүтээгдэхүүний оронд та вектор бүтээгдэхүүний модулийг авч болно.