Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл. Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл

Маягтын дифференциал тэгшитгэлийн зүүн хэсэг нь заримдаа зарим функцийн нийт дифференциал байдаг. Хэрэв функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээвэл дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл олдоно. Энэ нийтлэлд бид функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх аргыг тайлбарлах болно. онолын материалжишээ, даалгавар өгөх Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтшийдлүүд.

Дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь нөхцөл хангагдсан тохиолдолд U(x, y) = 0 зарим функцийн нийт дифференциал юм.

U(x, y) = 0 функцийн нийт дифференциал учир , тэгвэл хэрэв нөхцөл хангагдсан бол бид үүнийг баталж чадна . Үүний үр дүнд, .

Бидэнд байгаа системийн эхний тэгшитгэлээс . Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглан функцийг олж болно.

Энэ нь хүссэн U(x, y) = 0 функцийг олох болно.

Жишээ авч үзье.

Жишээ.

Хай нийтлэг шийдвэрдифференциал тэгшитгэл .

Шийдэл.

Энэ жишээнд . Учир нь нөхцөл хангагдсан

Үүний үр дүнд, зүүн таланхны дифференциал тэгшитгэлийн зарим функцийн нийт дифференциал U(x, y) = 0 . Бидний даалгавар бол энэ функцийг олох явдал юм.

Учир нь нь U(x, y) = 0 функцийн нийт дифференциал юм, тэгвэл . Бид системийн эхний тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулж, y-тэй холбоотой үр дүнг ялгадаг. . Нөгөө талаас системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид . Үүний үр дүнд,

Энд C нь дурын тогтмол юм.

Энэ замаар, анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь байна .

Функцийг нийт дифференциалаар нь олох өөр нэг арга бий. Энэ нь авахаас бүрдэнэ муруйн интегралТогтмол цэгээс (x 0 , y 0) хувьсах координаттай цэг хүртэл (x, y) : . Энэ тохиолдолд интегралын утга нь интегралын замаас хамаарахгүй. Холбоос нь координатын тэнхлэгтэй параллель байгаа тасархай шугамыг нэгтгэх зам болгон авах нь тохиромжтой.

Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол .

Шийдэл.

Нөхцөл байдлыг шалгая:

Ийнхүү дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн U(x, y) = 0 нийлбэр дифференциал юм. Энэ функцийг тооцоолох замаар олъё муруйн интеграл(1; 1) цэгээс (x, y) хүртэл . Интеграцийн замын хувьд бид тасархай шугамыг авна: олон шугамын эхний хэсэг нь (1, 1) цэгээс (x, 1) хүртэлх y = 1 шулуун шугамын дагуу өнгөрч, замын хоёр дахь хэсэг нь a. (x, 1) цэгээс (x, y) хүртэлх шулуун шугамын сегмент.

Тодорхойлолт 8.4.Маягтын дифференциал тэгшитгэл

хаана
дахь тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нийт дифференциалууд.

Ийм тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал гэдгийг анхаарна уу
.

Ерөнхий тохиолдолд (8.4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

(8.5) тэгшитгэлийн оронд тэгшитгэлийг авч үзэж болно

,

түүний шийдэл нь тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл (8.4). Тиймээс (8.4) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд функцийг олох шаардлагатай
. (8.4) тэгшитгэлийн тодорхойлолтын дагуу бид байна

(8.6)

Чиг үүрэг
Бид эдгээр нөхцлийн аль нэгийг (8.6) хангасан функцийг хайх болно:

хаана -аас хамааралгүй дурын функц юм .

Чиг үүрэг
илэрхийллийн хоёр дахь нөхцөл (8.6) хангагдсан байхаар тодорхойлогддог

(8.7)

(8.7) илэрхийллээс функц тодорхойлогдоно
. Үүнийг илэрхийлэлд орлуулж байна
анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг авна.

Асуудал 8.3.Тэгшитгэлийг нэгтгэх

Энд
.

Тиймээс энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна. Чиг үүрэг
Бид хэлбэрээр хайх болно

.

Нөгөө талаар,

.

Зарим тохиолдолд нөхцөл байдал
гүйцэтгэхгүй байж болно.

Дараа нь ийм тэгшитгэлийг интегралчлах хүчин зүйлээр үржүүлэх замаар авч үзэж буй төрөл болгон бууруулна. ерөнхий тохиолдол, нь зөвхөн функц юм эсвэл .

Хэрэв зарим тэгшитгэл нь зөвхөн хамаарах интегралч хүчин зүйлтэй бол , дараа нь томъёогоор тодорхойлно

харьцаа хаана байна зөвхөн функц байх ёстой .

Үүний нэгэн адил интеграцийн хүчин зүйл нь зөвхөн хамаарна , томъёогоор тодорхойлогдоно

харьцаа хаана байна
зөвхөн функц байх ёстой .

Дээрх харьцаанд, эхний тохиолдолд хувьсагчийн байхгүй байх , хоёрдугаарт - хувьсагч , нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн интегралчлагч хүчин зүйл байгаагийн шинж тэмдэг юм.

Асуудал 8.4.Энэ тэгшитгэлийг нийт дифференциал дахь тэгшитгэлд оруул.

.

Харилцааг авч үзье:

.

Сэдэв 8.2. Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт 8.5. Дифференциал тэгшитгэл
хэрэв хүссэн функцийн хувьд шугаман бол шугаман гэж нэрлэдэг , түүний дериватив мөн хүссэн функц болон түүний деривативын үржвэрийг агуулаагүй болно.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг дараах харьцаагаар илэрхийлнэ.

(8.8)

Хэрэв (8.8) харьцаатай бол баруун тал
, тэгвэл ийм тэгшитгэлийг шугаман нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Хэзээ баруун хэсэг
, тэгвэл ийм тэгшитгэлийг шугаман нэг төрлийн бус гэж нэрлэдэг.

(8.8) тэгшитгэл нь квадратуудад интегралдах боломжтой гэдгийг харуулъя.

Эхний шатанд бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үздэг.

Ийм тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үнэхээр,

;

/

Сүүлийн хамаарал нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойлно.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд тогтмолын деривативыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Аргын санаа нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй ижил хэлбэртэй боловч дурын тогтмол байдаг. зарим функцээр солигдсон
тодорхойлох. Тиймээс бидэнд байна:

(8.9)

(8.8)-д харгалзах илэрхийллийг орлуулах
болон
, бид авдаг

Сүүлийн илэрхийллийг (8.9) хамааралд орлуулснаар шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг авна.

Тиймээс шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэсэн хоёр квадратаар тодорхойлно.

Асуудал 8.5.Тэгшитгэлийг нэгтгэх

Тиймээс анхны тэгшитгэл нь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна.

Эхний шатанд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олно.

;

Хоёрдахь шатанд бид шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойлно.

,

хаана
нь тодорхойлох функц юм.

Тиймээс бидэнд байна:

-ын харьцааг орлуулах болон Анхны шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг олж авна.

;

;

.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах байдалтай байна.

.

Их сургуулийн оюутнууд ихэвчлэн мэдээлэл хайж байдаг "Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийн шийдлийг хэрхэн олох вэ?".Энэ хичээлээс та олж авах болно бүрэн зааварчилгаанэмэх түлхүүр гардуулах шийдлүүд. Эхлээд товч танилцуулга - нийт дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ? Нийт дифференциалын тэгшитгэлийн шийдийг хэрхэн олох вэ?
Цаашдын шинжилгээ бэлэн жишээнүүд, үүний дараа танд энэ сэдвээр асуулт байхгүй байж магадгүй.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл

Тодорхойлолт 1. M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг гэнэ. нийт дифференциал дахь тэгшитгэл, хэрэв тэнцүү тэмдгийн өмнөх хамаарал нь u(x,y) гэсэн хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал бол шударга томьёо
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (нэг)
Ийнхүү агуулгын хувьд анхны тэгшитгэл нь функцийн нийт дифференциал тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм
du(x,y)=0 .
Бидний олж авсан дифференциалыг нэгтгэх нийтлэг интеграл DU хэлбэрээр
u(x,y)=C. (2)
Тооцооллын хувьд, дүрмээр бол тогтмол нь тэгтэй тэнцүү байна.
Тооцооллын өмнө үргэлж асуулт гарч ирдэг "Өгөгдсөн DE нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл мөн эсэхийг хэрхэн шалгах вэ?"
Энэ асуултын хариулт нь дараах нөхцөл юм.

Нийт дифференциал шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл

Нийт дифференциалын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл ньхэсэгчилсэн деривативуудын хоорондын тэгш байдал
(3)
Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ юуны өмнө тэгшитгэл нь бүрэн дифференциал байгаа эсэх, эсвэл өөр боломжтой эсэхийг тодорхойлохын тулд шалгадаг.
Агуулгын хувьд энэ нөхцөл нь функцийн холимог деривативууд хоорондоо тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Томъёонд хамаарлыг харгалзан үзнэ
(4)
шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлнийт дифференциал байгаа эсэххэлбэрээр бичиж болно

Өгөгдсөн шалгуурыг тэгшитгэлийг нийт дифференциалтай нийцэж байгаа эсэхийг шалгахдаа ашигладаг боловч энэ сэдвийг судлахдаа багш нар өөр төрлийн тэгшитгэл асуухгүй.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Функцийн нийт дифференциалын хэсэгчилсэн деривативуудын (4) тэмдэглэгээнээс үзэхэд бид интегралчлалаар u(x,y)-ийг олох боломжтой болно.

Эдгээр томьёо нь тооцоололд сонголт хийх боломжийг олгодог тул интегралчлалын хувьд интегралыг практикт олоход хялбар хэсэгчилсэн деривативыг сонгодог.
Цаашид хоёрдугаарт чухал цэг - тодорхойгүй интегралпрототип юмөөрөөр хэлбэл "+ C"-г тодорхойлно.
Тиймээс, хэрэв бид хэсэгчилсэн дериватив M (x, y) -ийг "x" -тэй харьцуулбал ган нь y-ээс хамаарах ба эсрэгээр - хэрэв бид N (x, y) -ийг y-тэй харьцуулбал ган нь дараахь зүйлээс хамаарна. "x".
Цаашилбал, тогтмолыг тодорхойлохын тулд u(x, y)-ийн деривативыг интеграл хийсэн хувьсагчаас өөр хувьсагчийн хувьд авч, хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативтай тэнцүүлнэ.
Томъёонд энэ нь иймэрхүү харагдах болно

Дүрмээр бол зарим нэр томъёог хялбаршуулсан бөгөөд бид тогтмолын деривативын тэгшитгэлийг олж авдаг. Эхний тэгшитгэлийн хувьд бид авна

Эцэст нь тогтмолыг тодорхойлсны дараа ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Тэгш хэмтэй хэлбэрээр бид өөр тэгшитгэлийн хариултыг авдаг.
Бичлэг хийх нь зөвхөн төвөгтэй мэт санагддаг, үнэндээ практик дээр бүх зүйл илүү энгийн бөгөөд ойлгомжтой харагдаж байна. Нийт дифференциалын хувьд дараах бодлогод дүн шинжилгээ хийнэ үү.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийн бэлэн хариултууд

Жишээ 1

Шийдэл: тэгшитгэлийн зүүн тал нь бүрэн дифференциалнөхцөлөөс хойш зарим функц

Эндээс хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг бич"x" -ээс

мөн интеграцчлалаар бид түүний хэлбэрийг олдог

Тогтмолыг тодорхойлох -д хамаарах функцийн хэсэгчилсэн деривативыг ол"y" ба тэгшитгэлийн утгатай тэнцэнэ

Бид баруун болон зүүн талд байгаа ижил төстэй нэр томъёог цуцалж, дараа нь интегралчлалаар тогтмолыг олдог

Одоо бидэнд бичих бүх тоо байна дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлзэрэг

Яаж баталгаажуулах вэ нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схемЭнэ нь хэцүү биш бөгөөд хүн бүр үүнийг сурч чадна. Дифференциалын хүчин зүйлүүд нь шийдлийг олохын тулд тэдгээрийг нэгтгэж, ялгах шаардлагатай байдаг тул чухал юм.

Жишээ 2. (6.18) Дифференциал тэгшитгэлийн интегралыг ол

Шийдэл: Онолын дагуу нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгахын зэрэгцээ тэгшитгэлийн зүүн тал нь u(x,y) хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал байх ёстой.

Эндээс бид хэсэгчилсэн деривативыг авч, интегралаар дамжуулан функцийг олно

Бид хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцдог y ба дифференциал тэгшитгэлийн баруун талтай тэнцэнэ.

Дериватив нь хамаарлаар илэрхийлэгдэнэ

Тогтмолыг харгалзан бид хэлбэрээр олж авсан

Энэ тооцоонд энэ жишээдууссан.

Жишээ 3 (6.20)Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн зүүн тал нь нөхцөл байвал u(x; y) хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал байх болно.

Эндээс бид тэгшитгэлийг шийдэж эхэлнэ, эс тэгвээс хэсэгчилсэн деривативуудын аль нэгийг нэгтгэх болно

Дараа нь y хувьсагчтай холбоотой үүссэн функцын деривативыг олоод дифференциал хамаарлын баруун талтай тэнцүүлнэ.

Энэ нь y-ийн функц болох тогтмолыг олох боломжийг танд олгоно. Хэрэв бид дифференциал хамаарлыг илрүүлж эхэлбэл баруун тал, тэгвэл бид тогтмол нь x -ээс хамааралтай болохыг олж мэднэ. өөрчлөгдөөгүй байхад өгөгдсөн тэгшитгэлхэлбэртэй байна

Энэ жишээ шийдэгдсэн. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлБид томъёог бичиж болно

Сэдвийг нэгтгэхийн тулд эдгээр тэгшитгэлүүд нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл мөн эсэхийг бие даан шалгаж, тэдгээрийг шийднэ үү.
Энд та язгуур функц, тригонометр, экспонент, логарифм, нэг үгээр хэлбэл модуль, шалгалтанд танаас хүлээж болох бүх зүйл байна.
Үүний дараа энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх нь танд илүү хялбар болно.
Дараагийн өгүүллээс та хэлбэрийн тэгшитгэлтэй танилцах болно
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
нийт дифференциал дахь тэгшитгэлтэй хангалттай төстэй боловч хэсэгчилсэн деривативуудын тэгш байдлын нөхцлийг хангадаггүй. Эдгээрийг нэгтгэх хүчин зүйлийг хайж олох замаар өгөгдсөн тэгшитгэлийг нийт дифференциал дахь тэгшитгэл болгон үржүүлснээр тооцдог.

Тодорхойлолт: Маягтын тэгшитгэл

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

зүүн тал нь хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал бөгөөд үүнийг нийт дифференциал дахь тэгшитгэл гэнэ.

Хоёр хувьсагчийн энэ функцийг F(x,y) гэж тэмдэглэ. Тэгвэл (9) тэгшитгэлийг dF(x,y) = 0 гэж дахин бичиж болох ба энэ тэгшитгэл нь F(x,y) = C ерөнхий шийдэлтэй байна.

(9) хэлбэрийн тэгшитгэл өгье. Энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл мөн эсэхийг мэдэхийн тулд илэрхийлэл мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал. Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын биелэлтийг шалгах шаардлагатай

Өгөгдсөн илэрхийллийн хувьд (10) тэгш байдал (11) нь энгийн холбогдсон мужид (S) хангагдсан тул (10) илэрхийлэл нь (S) дахь зарим F(x,y) функцийн нийт дифференциал байна гэж үзье. .

Энэ эсрэг деривативыг олох дараах аргыг авч үзье. F(x,y) функцийг олох шаардлагатай

Энд функц (y) нь доор тодорхойлогдох болно. Томъёо (12)-аас энэ нь дараах байдалтай байна

талбайн бүх цэгүүдэд (S). Одоо бид (y) функцийг сонгосноор тэгш байдал бий болно

Үүнийг хийхийн тулд бид (12) томъёоны дагуу F(x, y)-ийн оронд түүний илэрхийлэлийг орлуулах шаардлагатай (14) тэгшитгэлийг дахин бичнэ.

Интеграл тэмдгийн дор y-г ялгаж үзье (үүнийг P(x, y) ба хоёр хувьсагчийн тасралтгүй функцууд учраас хийж болно):

(11)-ээр (16) интеграл тэмдгээр орлуулсан тул бид:

y дээр интеграл болгосны дараа бид (y) функцийг олох бөгөөд энэ нь (14) тэгш байдал хангагдсан байдлаар бүтээгдсэн. (13) ба (14) тэгш байдлыг ашигласнаар бид үүнийг харж байна

талбайд (S). (арван найман)

Жишээ 5. Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл мөн эсэхийг шалгаад шийд.

Энэ бол нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл юм. Үнэн хэрэгтээ, бид үүнийг баталж байна

мөн энэ нь илэрхийлэлд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл юм

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

зарим U(x,y) функцийн нийт дифференциал юм. Үүнээс гадна R-д тасралтгүй функцууд байдаг.

Иймд өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг интеграл болгохын тулд дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь нийт дифференциал байх функцийг олох шаардлагатай. Тэгвэл U(x,y) ийм функц байг

Зүүн ба баруун талыг x дээр нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

u(y)-г олохын тулд бид үүнийг ашигладаг

Олдсон u(y) утгыг (*) орлуулснаар бид эцэст нь U(x, y) функцийг олж авна.

Анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд (үргэлжлэл).

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт: Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

y" + P(x)y = f(x), (21)

Энд P(x) ба f(x) нь тасралтгүй функц юм.

Тэгшитгэлийн нэрийг дериватив y "-тэй холбон тайлбарлаж байна. шугаман функцу-аас өөрөөр хэлбэл (21) тэгшитгэлийг y" = - P(x) + f(x) гэж дахин бичвэл баруун тал нь у-г зөвхөн нэгдүгээр зэрэгт багтаана.

Хэрэв f(x) = 0 бол тэгшитгэл

yґ+ P(x) y = 0 (22)

шугаман гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэл. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл гэдэг нь ойлгомжтой.

y" + P(x)y = 0; ,

Хэрэв f(x) бол? 0, дараа нь тэгшитгэл

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө (21) тэгшитгэлийн хувьсагчдыг салгах боломжгүй.

Тэгшитгэл (21)-ийг дараах байдлаар шийднэ: бид U(x) ба V(x) хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр шийдлийг хайх болно:

Деривативыг олцгооё:

y" = U"V + хэт ягаан туяа" (25)

ба эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (1) орлуулна уу:

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Зүүн талд байгаа нэр томъёог бүлэглэе:

U "V + U \u003d f (x). (26)

(24) хүчин зүйлсийн аль нэгэнд нөхцөл тавъя, тухайлбал, V(x) функц нь (26) дахь дөрвөлжин хаалтанд байгаа илэрхийллийг ижил тэг болгон хувиргадаг гэж бодъё. Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм

V" + P(x)V = 0. (27)

Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл бөгөөд үүнээс бид V (x) -ийг олно.

Одоо аль хэдийн олдсон V(x) функцийн хувьд U V үржвэр нь тэгшитгэлийн (26) шийдэл байхаар U(x) функцийг олъё. Үүний тулд U(x) нь тэгшитгэлийн шийдэл байх ёстой

Энэ бол салж болох хувьсах тэгшитгэл, тиймээс

Олдсон (28) ба (30) функцийг (4) томъёонд орлуулснаар бид (21) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

Тиймээс авч үзсэн арга (Бернулли арга) нь шийдлийг бууруулдаг шугаман тэгшитгэл(21) салж болох хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн шийдэлд.

Жишээ 6. Тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг ол.

Энэ тэгшитгэл нь y ба y"-ийн хувьд шугаман биш боловч х-г хүссэн функц, y-г аргумент болгон авбал шугаман болж хувирна. Үнэнийг хэлэхэд, бид үүнийг олж авна.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд орлуулах аргыг (Бернулли) ашигладаг. Дараа нь бид x(y)=U(y)V(y) хэлбэрээр тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно. Бид тэгшитгэлийг авна:

Бид V(y) функцийг сонгосноор. Дараа нь

Байгаа стандарт харагдах байдал$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, энд зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм $F\left(x, y \right)$, нийт дифференциал дахь тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг.

Нийт дифференциал тэгшитгэлийг үргэлж $dF\left(x,y\right)=0$ гэж дахин бичиж болох бөгөөд $F\left(x,y\right)$ нь $dF\left(x, y) функц юм. \баруун)=P\left(x,y\баруун)\cdot dx+Q\left(x,y\баруун)\cdot dy$.

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэдэг $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; тэг баруун талын интеграл нь дурын тогтмол $C$-тай тэнцүү байна. Иймд энэ тэгшитгэлийн далд хэлбэрээр ерөнхий шийдэл нь $F\left(x,y\right)=C$ хэлбэртэй байна.

Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байхын тулд $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ нөхцөл хангагдсан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. . Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол $F\left(x,y\right)$ функц байгаа бөгөөд үүний төлөө бид дараахыг бичиж болно: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, эндээс бид хоёр хамаарлыг олж авна: $\ frac(\ хэсэгчилсэн F)(\хэсэг x) =P\зүүн(x,y\баруун)$ ба $\frac(\хэсэг F)(\хэсэг y) =Q\зүүн(x,y\баруун)$.

Бид $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$-ын $x$-ын эхний хамаарлыг нэгтгэж $F\left(x,y\right)=\int-ийг авна. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, энд $U\left(y\right)$ нь $y$-ын дурын функц юм.

$\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ хоёр дахь хамаарлыг хангахаар үүнийг сонгоцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид $F\left(x,y\right)$-ийн үр дүнгийн хамаарлыг $y$-тай харьцуулан ялгаж, үр дүнг $Q\left(x,y\right)$-тай тэнцүүлнэ. Бид дараахыг авна: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\right)$.

Дараагийн шийдэл нь:

• сүүлчийн тэгшитгэлээс бид $U"\left(y\right)$;
• $U"\left(y\right)$-г нэгтгэж, $U\left(y\right)$-г ол;
• $U\left(y\right)$-г $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ гэж орлуулах ба эцэст нь бид $F\left(x,y\right)$ функцийг авна.

\

Бид ялгааг олдог:

Бид $U"\left(y\right)$-г $y$ дээр нэгтгэж $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$-г олно.

Үр дүнг ол: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Бид ерөнхий шийдлийг $F\left(x,y\right)=C$ гэж бичнэ, тухайлбал:

Тодорхой шийдлийг олоорой $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0),y_(0) \right)$, энд $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Тодорхой шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.