1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл. Нэг төрлийн тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)

Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл юм
, энд f нь функц юм.

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн тодорхойлох

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг тодорхойлохын тулд t тогтмолыг оруулж, y-г ty, x-г tx-ээр солих шаардлагатай: y → ty , x → tx . Хэрэв t буурсан бол энэ нь нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Ийм хувиргалттай y′ дериватив өөрчлөгддөггүй.
.

Жишээ

Өгөгдсөн тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг тодорхойл

Шийдэл

Бид y → ty , x → tx өөрчлөлтийг хийдэг.


t-д хуваана 2 .

.
Тэгшитгэлд t агуулаагүй болно. Тиймээс энэ нь нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм.

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Нэг төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг y = ux орлуулгыг ашиглан салгах хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулна. Үүнийг үзүүлье. Тэгшитгэлийг авч үзье:
(i)
Бид орлуулалт хийдэг:
y=ux
Энд u нь x функц юм. x-ээр ялгах:
y' =
Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна (i).
,
,
(ii) .
Тусдаа хувьсагч. dx-ээр үржүүлж, x-д хуваа ( f(u) - u).

Ф (u) - u ≠ 0болон x ≠ 0 бид авах:

Бид нэгтгэдэг:

Тиймээс бид тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авлаа (i)квадратаар:

Бид интегралын тогтмол C-г орлоно бүртгэл C, дараа нь

Бид модулийн тэмдгийг орхигдуулдаг, учир нь хүссэн тэмдэгтогтмол С-ийн тэмдгийн сонголтоор тодорхойлогдоно. Дараа нь ерөнхий интеграл нь дараах хэлбэртэй болно.

Дараа нь хэргийг авч үзье f (у) - u = 0.
Хэрэв энэ тэгшитгэл нь үндэстэй бол тэдгээр нь тэгшитгэлийн шийдэл болно (ii). Тэгшитгэлээс хойш (ii)анхны тэгшитгэлтэй таарахгүй байгаа бол та үүнийг шалгах хэрэгтэй нэмэлт шийдлүүданхны тэгшитгэлийг хангана (i).

Хувиргах явцад бид аливаа тэгшитгэлийг ямар нэгэн функцээр хуваадаг бөгөөд үүнийг g гэж тэмдэглэдэг (х, у), дараа нь цаашдын хувиргалтууд g хувьд хүчинтэй байна (x, y) ≠ 0. Иймд хэрэг Г (x, y) = 0.

Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгацгаая. Бид y → ty , x → tx өөрчлөлтийг хийдэг. Энэ тохиолдолд y′ → y′ .
,
,
.
Бид т-ээр бууруулна.

Тогтмол t буурсан байна. Тиймээс тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна.

Бид y = ux орлуулалтыг хийдэг, энд u нь x функц юм.
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу.
,
,
,
.
x ≥-ийн хувьд 0 , |x| =x. x ≤-ийн хувьд 0 , |x| = - x . Бид |x| гэж бичнэ = x дээд тэмдэг нь x ≥ утгыг илэрхийлнэ гэсэн үг 0 , доод нь - x ≤ утгууд хүртэл 0 .
,
dx-ээр үржүүлж, хуваана.

Чамд 2 - 1 ≠ 0 бидэнд байгаа:

Бид нэгтгэдэг:

Хүснэгтийн интеграл,
.

Томъёог хэрэгжүүлье:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
a = u, байг.
.
Модуль ба логарифмын хоёр хэсгийг ав,
.
Эндээс
.

Тиймээс бидэнд:
,
.
Шаардлагатай тэмдэг нь тогтмол C-ийн тэмдгийг сонгох замаар хангагдсан тул бид модулийн тэмдгийг орхигдуулдаг.

x-ээр үржүүлж, ux = y-г орлуулна.
,
.
Үүнийг квадрат болгоё.
,
,
.

Одоо хэргийг авч үзье, u 2 - 1 = 0 .
Энэ тэгшитгэлийн үндэс
.
y = x функцууд анхны тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг.

Хариулт

,
,
.

Лавлагаа:
Н.М. Гүнтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн асуудлын цуглуулга, Лан, 2003.

Жишээлбэл, функц
оноос хойш эхний хэмжээсийн нэгэн төрлийн функц юм

оноос хойш гурав дахь хэмжээсийн нэгэн төрлийн функц юм

оноос хойш тэг хэмжээсийн нэгэн төрлийн функц юм

, өөрөөр хэлбэл
.

Тодорхойлолт 2. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y" = е(x, y) функц байвал нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг е(x, y) нь нэгэн төрлийн тэг хэмжээст функц юм x болон yэсвэл тэдний хэлснээр е(x, y) нь тэг зэрэгтэй нэгэн төрлийн функц юм.

Үүнийг төлөөлж болно

Энэ нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (3.3) хэлбэрт шилжүүлж болох дифференциал тэгшитгэл гэж тодорхойлох боломжийг олгодог.

Солих
нэг төрлийн тэгшитгэлийг салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулна. Үнэхээр, орлуулалтын дараа у=xzбид авдаг
,
Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олно.

,

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд.

Δ Бид таамаглаж байна у=zx,
Бид эдгээр илэрхийллийг орлуулж байна y болон dyЭнэ тэгшитгэлд:
эсвэл
Хувьсагчдыг ялгах:
ба нэгтгэх:
,

Солих zдээр , бид авдаг
.

Жишээ 2 Хай нийтлэг шийдвэртэгшитгэл.

Δ Энэ тэгшитгэлд П (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xyнь хоёр дахь хэмжээсийн нэгэн төрлийн функцууд тул энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна. Үүнийг төлөөлж болно
мөн дээрхтэй ижил аргаар шийднэ. Гэхдээ бид өөр тэмдэглэгээ ашигладаг. тавья y = zx, хаана dy = zdx + xdz. Эдгээр илэрхийлэлийг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар бид болно

dx+2 zxdz = 0 .

Бид тоолж, хувьсагчдыг ялгадаг

.

Бид энэ тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэгтгэдэг

, хаана

тэр бол
. Хуучин функц руу буцах
ерөнхий шийдлийг олох


Жишээ 3 . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Δ Өөрчлөлтийн гинжин хэлхээ: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Лекц 8

4. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд тэгшитгэлийн баруун тал гэж нэрлэгддэг чөлөөт нэр томъёо юм. Энэ хэлбэрээр бид шугаман тэгшитгэлийг дараах байдлаар авч үзэх болно.

Хэрвээ
0, тэгвэл (4.1а) тэгшитгэлийг шугаман нэгэн төрлийн бус гэнэ. Хэрэв
0 бол тэгшитгэл хэлбэрийг авна

ба шугаман нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

(4.1а) тэгшитгэлийн нэрийг үл мэдэгдэх функцээр тайлбарлав y ба түүний дериватив үүнийг шугаман байдлаар оруулна, өөрөөр хэлбэл. нэгдүгээр зэрэгт.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлд хувьсагчдыг тусгаарлана. Үүнийг маягтаар дахин бичиж байна
хаана
ба нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг авна.
,тэдгээр.

Хуваах үед бид шийдвэрээ алддаг
. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид үүнийг гэж үзвэл олсон шийдлийн бүлэгт (4.3) багтаж болно FROMмөн 0 утгыг авч болно.

(4.1a) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг. дагуу Бернулли арга, шийдлийг хоёр функцийн үржвэр болгон хайж байна X:

Эдгээр функцүүдийн аль нэгийг зөвхөн бүтээгдэхүүнээс хойш дур зоргоороо сонгож болно Хэт ягаан туяа анхны тэгшитгэлийг хангах ёстой, нөгөөг нь (4.1a) тэгшитгэлийн үндсэн дээр тодорхойлно.

Тэгш байдлын хоёр талыг ялгаж (4.4) бид олно
.

Үүссэн дериватив илэрхийллийг орлуулах , түүнчлэн үнэ цэнэ цагт (4.1a) тэгшитгэлд оруулбал бид олж авна
, эсвэл

тэдгээр. функц болгон vнэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдийг авна (4.6):

(Энд Cбичих нь заавал байх ёстой, эс тэгвээс та ерөнхий биш, харин тодорхой шийдлийг авах болно).

Тиймээс (4.4)-ийг орлуулсны үр дүнд (4.1а) тэгшитгэл (4.6) ба (4.7) салангид хувьсагчтай хоёр тэгшитгэл болж буурч байгааг бид харж байна.

Орлуулах
болон v(x)-ыг (4.4) томъёонд оруулснаар бид эцэст нь олж авна

,

.

Жишээ 1 Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

 Бид тавьсан
, дараа нь
. Орлуулах илэрхийлэл болон анхны тэгшитгэлд бид олж авна
эсвэл
(*)

Бид коэффициентийг тэгтэй тэнцүүлж байна :

Үр дүнгийн тэгшитгэл дэх хувьсагчдыг салгах нь бидэнд байна


(дурын тогтмол C битгий бичээрэй), тиймээс v= x. Үнэ цэнэ олсон vтэгшитгэлд орлуулах (*):

,
,
.

Үүний үр дүнд,
анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

(*) тэгшитгэлийг ижил төстэй хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу:

.

Функцийг санамсаргүй байдлаар сонгох у, гэхдээ үгүй v, бид таамаглаж болно
. Шийдвэрлэх энэ арга нь зөвхөн солих замаар авч үзсэнээс ялгаатай vдээр у(Тиймээс удээр v), ингэснээр эцсийн утга цагтадилхан болж хувирдаг.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг олж авдаг.

Заримдаа нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл нь шугаман болдог гэдгийг анхаарна уу цагтбие даасан хувьсагч гэж үзэх ба x- хамааралтай, өөрөөр хэлбэл. дүрүүдийг өөрчлөх x болон y. Ингэсэн тохиолдолд үүнийг хийж болно xболон dxтэгшитгэлийг шугаман байдлаар оруулна.

Жишээ 2 . тэгшитгэлийг шийд
.

Гаднах төрхөөрөө бол энэ тэгшитгэл нь функцийн хувьд шугаман биш юм цагт.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид авч үзвэл xфункцээр цагт, тэгвэл үүнийг өгсөн
, хэлбэрт оруулж болно

(4.1 б)

Солих дээр , бид авдаг
эсвэл
. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг бүтээгдэхүүнд хуваах Иди, хэлбэрт аваачна уу

, эсвэл
. (**)

Энд P(y)=,
. Энэ бол шугаман тэгшитгэл юм x. Бид итгэж байна
,
. Эдгээр илэрхийллийг (**) гэж орлуулснаар бид олж авна

эсвэл
.

Бид V-г сонгохдоо тэгж байна
,
, хаана
;
. Тэгвэл бидэнд байна
,
,
.

Учир нь
, дараа нь бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд хэлбэрээр ирдэг

.

(4.1a) тэгшитгэлд байгааг анхаарна уу. П(x) ба Q (x) зөвхөн функц хэлбэрээр тохиолдож болохгүй x, гэхдээ бас тогтмолууд: П= а,Q= б. Шугаман тэгшитгэл

мөн y= орлуулгыг ашиглан шийдэж болно Хэт ягаан туяа болон хувьсагчдыг салгах:

;
.

Эндээс
;
;
; хаана
. Логарифмаас салснаар бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна

(энд
).

At б= 0 бид тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ

(Экспоненциал өсөлтийн тэгшитгэлийг (2.4) үзнэ үү).
).

Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (4.2) нэгтгэнэ. Дээр дурдсанчлан түүний шийдэл (4.3) хэлбэртэй байна. Бид хүчин зүйлийг авч үзэх болно FROM(4.3) -ын функцээр X, өөрөөр хэлбэл үндсэндээ хувьсагчийн өөрчлөлт хийх

хаанаас, нэгтгэх, бид олдог

(4.14)-д заасны дагуу (мөн (4.9)-ийг үзнэ үү) нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (4.3) болон тодорхойлогдсон нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү болохыг анхаарна уу. (4.14)-д (болон (4.9)-д) хоёр дахь нэр томъёогоор).

Тодорхой тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дээрх тооцооллыг давтан хийх ёстой бөгөөд төвөгтэй томъёог (4.14) ашиглах ёсгүй.

Бид Лагранжийн аргыг авч үзсэн тэгшитгэлд ашигладаг жишээ 1 :

.

Бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг нэгтгэдэг
.

Хувьсагчдыг салгаснаар бид олж авна
болон түүнээс цааш
. Илэрхийллийг томъёогоор шийдвэрлэх y = Cx. Анхны тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр хайж байна y = C(x)x. Энэ илэрхийллийг өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна
;
;
,
. Анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

.

Дүгнэж хэлэхэд Бернулли тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон бууруулсан болохыг бид тэмдэглэж байна

, ( )

гэж бичиж болно

.

солих
Энэ нь шугаман тэгшитгэл болж буурсан:

,
,
.

Бернулли тэгшитгэлийг мөн дээр дурдсан аргуудаар шийддэг.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

 Өөрчлөлтийн гинжин хэлхээ:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


f(x,y) функцийг дуудна нэгэн төрлийн функцтэдгээрийн хэмжээсийн аргументуудын n хэрэв таних тэмдэг f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Жишээлбэл, f(x,y)=x^2+y^2-xy функц нь хоёр дахь хэмжээсийн нэгэн төрлийн функц юм, учир нь

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

n=0-ийн хувьд бид тэг хэмжээст функцтэй байна. Жишээлбэл, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)оноос хойш нэгэн төрлийн тэг хэмжээст функц юм

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Маягтын дифференциал тэгшитгэл \frac(dy)(dx)=f(x,y) f(x,y) нь тэг хэмжээсийн аргументуудын нэгэн төрлийн функц бол x ба y-ийн хувьд нэгэн төрлийн гэж хэлнэ. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг үргэлж дараах байдлаар илэрхийлж болно

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\баруун).

Хүссэн шинэ u=\frac(y)(x) функцийг оруулснаар (1) тэгшитгэлийг хувьсагчдыг ялгах тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Хэрэв u=u_0 нь \varphi(u)-u=0 тэгшитгэлийн язгуур бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл u=u_0 эсвэл y=u_0x (эх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун) болно.

Сэтгэгдэл.Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг (1) хэлбэрт оруулах шаардлагагүй. Та y=ux орлуулалтыг шууд хийж болно.

Жишээ 1Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийд xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ y"=\sqrt(1-(\зүүн(\frac(y)(x)\баруун)\^2}+\frac{y}{x} !}Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэл нь x ба у-ийн хувьд нэгэн төрлийн болж хувирна. u=\frac(y)(x) , эсвэл y=ux ийг тавья. Дараа нь y"=xu"+u . Тэгшитгэлд y ба y"-ийн илэрхийлэлүүдийг орлуулснаар бид олж авна x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Хувьсагчдыг ялгах: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Эндээс интеграцийн аргаар бид олдог

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), эсвэл \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

C_1|x|=\pm(C_1x) нь \pm(C_1)=C-г илэрхийлдэг тул бид олж авна. \arcsin(u)=\ln(Cx), хаана |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)эсвэл e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u-г \frac(y)(x) -ээр орлуулснаар бид ерөнхий интегралтай болно \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Эндээс ерөнхий шийдэл нь: y=x\sin\ln(Cx) .

Хувьсагчдыг салгахдаа бид тэгшитгэлийн хоёр талыг x\sqrt(1-u^2) үржвэрт хуваасан тул энэ үржвэрийг тэг болгож хувиргах шийдлийг алдаж болзошгүй.

Одоо x=0 ба \sqrt(1-u^2)=0 гэж тавья. Харин x\ne0 орлуулалтын улмаас u=\frac(y)(x) ба \sqrt(1-u^2)=0 хамаарлаас бид үүнийг олж авна. 1-\frac(y^2)(x^2)=0, эндээс y=\pm(x) . Шууд баталгаажуулалтаар бид y=-x ба y=x функцууд нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийд мөн эсэхийг шалгадаг.

Жишээ 2Нэг төрлийн тэгшитгэлийн C_\alpha интеграл муруйн бүлгийг авч үзье. y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\баруун). Энэхүү нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруйн харгалзах цэгүүдийн шүргэгч нь хоорондоо параллель байгааг харуул.

Жич:Бид залгах болно хамааралтай C_\alpha муруйн дээрх цэгүүд нь эхээс эхлэн нэг туяа дээр байрладаг.

Шийдэл.Холбогдох цэгүүдийн тодорхойлолтоор бид байна \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), ингэснээр тэгшитгэлийн өөрийнх нь ачаар y"=y"_1, энд y" ба y"_1 нь C_\alpha ба C_(\alpha_1) интеграл муруйнуудын шүргэгчийн налуу, M ба цэгүүд юм. M_1 тус тус (Зураг 12).

Нэг төрлийн болгон бууруулах тэгшитгэл

ГЭХДЭЭ.Маягтын дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\баруун).

Энд a,b,c,a_1,b_1,c_1 тогтмол ба f(u) байна тасралтгүй функцтүүний аргументийн у .

Хэрэв c=c_1=0 бол (3) тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байх ба дээрх шиг интегралдах болно.

Хэрэв c,c_1 тоонуудын ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай бол хоёр тохиолдлыг ялгах хэрэгтэй.

1) Тодорхойлогч \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. h ба k нь тодорхойгүй тогтмол хэвээр байгаа x=\xi+h,~y=\eta+k томъёоны дагуу \xi ба \eta шинэ хувьсагчдыг оруулснаар бид (3) тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав.

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\ баруун).

Системийн шийдэл болгон h ба k-г сонгох шугаман тэгшитгэл

\эхлэх(тохиолдлууд)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\төгсгөл(тохиолдлууд)~(\Дельта\ne0),

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авна \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\зүүн(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\баруун). Түүний ерөнхий интегралыг олж, \xi-г x-h-ээр, \eta-г y-k-ээр сольсноор бид (3) тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.

2) Тодорхойлогч \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Систем (4)-д ерөнхий тохиолдолшийдэл байхгүй бөгөөд дээрх аргыг хэрэглэх боломжгүй; энэ тохиолдолд \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, тиймээс (3) тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\баруун). z=ax+by орлуулалт нь салгаж болох хувьсагчийн тэгшитгэлд хүргэдэг.

Жишээ 3тэгшитгэлийг шийд (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Шийдэл.Шугаман системийг авч үзье алгебрийн тэгшитгэл \эхлэх(тохиолдол)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\төгсгөл(тохиолдол)

Энэ системийн тодорхойлогч \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй x_0=-1,~y_0=3 . Бид орлуулалтыг хийнэ x=\xi-1,~y=\eta+3 . Дараа нь тэгшитгэл (5) хэлбэрийг авна

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. \eta=u\xi-г тохируулснаар бид авна

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, хаана (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Хувьсагчдыг салгах \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Интеграцид бид олдог \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)эсвэл \xi^2(1+2u-u^2)=C .

x,~y хувьсагч руу буцах:

(x+1)^2\зүүн=C_1эсвэл x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Жишээ 4тэгшитгэлийг шийд (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Шийдэл.Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем \эхлэх(тохиолдол)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\төгсгөл(тохиолдол)нийцэхгүй. Энэ тохиолдолд өмнөх жишээнд ашигласан арга нь тохиромжгүй болно. Тэгшитгэлийг нэгтгэхийн тулд бид x+y=z , dy=dz-dx орлуулалтыг ашиглана. Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Хувьсагчдыг салгаснаар бид олж авна

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0иймээс x-2z-3\ln|z-2|=C.

x,~y хувьсагч руу буцвал бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

Б.Заримдаа y=z^\alpha хувьсагчийг өөрчилснөөр тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн болгож бууруулж болно. Тэгшитгэлийн бүх гишүүн ижил хэмжээстэй байх тохиолдолд x хувьсагчийг 1 хэмжигдэхүүн, у хувьсагчийг \alpha хэмжигдэхүүнийг, \frac(dy)(dx) деривативыг өгөгддөг. хэмжээ \alpha-1 .

Жишээ 5тэгшитгэлийг шийд (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Шийдэл.Сэлгээ хийх y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\альфа-1))\,dz, энд \alpha нь одоохондоо дурын тоо бөгөөд бид үүнийг дараа сонгох болно. Тэгшитгэлд y ба dy-ийн илэрхийлэлүүдийг орлуулснаар бид олж авна

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0эсвэл \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

x^2z^(3\alpha-1) хэмжээстэй болохыг анхаарна уу 2+3\альфа-1=3\альфа+1, z^(\alpha-1) нь \alpha-1 , xz^(3\alpha) нь 1+3\alpha хэмжээстэй. Бүх нэр томъёоны хэмжилтүүд ижил байвал үүссэн тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байх болно, i.e. нөхцөл хангагдсан бол 3\альфа+1=\альфа-1, эсвэл \alpha-1 .

y=\frac(1)(z) ; анхны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0эсвэл (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Одоо тавья z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Дараа нь энэ тэгшитгэл хэлбэрийг авна (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, хаана u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Энэ тэгшитгэл дэх хувьсагчдыг салгах \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Интеграцид бид олдог

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)эсвэл \frac(x(u^2+1))(u)=C.

u-г \frac(1)(xy) -аар орлуулснаар 1+x^2y^2=Cy тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гарч ирнэ.

Тэгшитгэл нь бас байна ойлгомжтой шийдэл y=0 , энэ нь C\to\infty үед ерөнхий интегралаас гарна, хэрэв интегралыг дараах байдлаар бичвэл y=\frac(1+x^2y^2)(C), дараа нь C\to\infty гэсэн хязгаарт очно. Тиймээс y=0 функц нь анхны тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолохын тулд ActiveX хяналтыг идэвхжүүлсэн байх ёстой!

1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд u=y/x орлуулалтыг ашиглана, өөрөөр хэлбэл u нь х-ээс хамаарах шинэ үл мэдэгдэх функц юм. Тиймээс y=ux. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглан y’ деривативыг олно: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (х’=1 тул). Бичгийн өөр хэлбэрийн хувьд: dy=udx+xdu. Орлуулсны дараа бид тэгшитгэлийг хялбарчилж, салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлд хүрнэ.

1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийд

Бид энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгадаг (Нэг төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн тодорхойлохыг үзнэ үү). Баталгаажуулж, бид u=y/x, эндээс y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u гэж солино. Орлуулах: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Бүтээгдэхүүний логарифмаас хойш нийлбэртэй тэнцүү байналогарифм, ln(ux)=lnu+lnx. Эндээс

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Ижил нэр томъёог авчирсны дараа: u'x+u=u(1+lnu). Одоо хаалтуудыг өргөжүүл

u'x+u=u+u lnu. Хоёр хэсэг хоёулаа u-г агуулдаг тул u'x=ul·lnu. u нь х-ийн функц учраас u’=du/dx. Орлуулах

Бид салж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг авсан. Бид хувьсагчдыг салгаж, тэдгээрийн аль алиныг нь dx-ээр үржүүлж, x u lnu-д хуваадаг.

Бид нэгтгэдэг:

Зүүн талд нь хүснэгт хэлбэрийн интеграл байна. Баруун талд бид t=lnu орлуулалтыг хийнэ, үүнээс dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Гэхдээ ийм тэгшитгэлд С-ийн оронд ln│C│ авах нь илүү тохиромжтой гэдгийг бид аль хэдийн хэлэлцсэн. Дараа нь

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Логарифмын шинж чанараар: ln│t│=ln│Сx│. Тиймээс t=Cx. (нөхцөлөөр, x>0). Урвуу орлуулалт хийх цаг боллоо: lnu=Cx. Мөн өөр нэг урвуу орлуулалт:

Логарифмын шинж чанарын дагуу:

Энэ бол тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

x·u·lnu≠0 (х≠0,u≠0, lnu≠0, эндээс u≠1 гэсэн үг) нөхцөлийн үржвэрийг эргэн сана. Харин нөхцөлийн x≠0 нь u≠1 хэвээр байгаа тул x≠y. Ерөнхий шийдэлд y=x (x>0) орсон нь ойлгомжтой.

2) y(1)=2 анхны нөхцлүүдийг хангасан y’=x/y+y/x тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн интегралыг ол.

Нэгдүгээрт, бид энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгана (хэдийгээр y/x ба x/y гэсэн нэр томъёо байгаа нь үүнийг шууд бусаар харуулж байна). Дараа нь бид u=y/x, эндээс y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u гэсэн орлуулалтыг хийнэ. Бид үүссэн илэрхийлэлүүдийг тэгшитгэлд орлуулна.

u'x+u=1/u+u. Хялбарчлах:

u'x=1/u. u нь x-ийн функц учраас u’=du/dx:

Бид салж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг авсан. Хувьсагчдыг салгахын тулд бид хоёр хэсгийг dx ба u-аар үржүүлж, x-д хуваана (х≠0 нөхцөлөөр, тэгэхээр u≠0 ч гэсэн шийдвэрийн алдагдалгүй гэсэн үг).

Бид нэгтгэдэг:

ба хоёр хэсэгт хүснэгтэн интеграл байгаа тул бид шууд авна

Урвуу орлуулалт хийх:

Энэ бол тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Бид y(1)=2 анхны нөхцөлийг ашиглан, өөрөөр хэлбэл y=2, x=1-ийг үр дүнгийн шийдэлд орлуулна.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг ол:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

u=y/x, эндээс y=ux, dy=xdu+udx гэж өөрчил. Бид орлоно:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Бид хаалтнаас x²-г гаргаж, хоёр хэсгийг нь хуваана (x≠0 гэж үзвэл):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Хаалтуудыг өргөжүүлж, хялбаршуулна уу:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. du болон dx-тэй нэр томъёог бүлэглэх:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Бид нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас гаргаж авдаг:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Хувьсагчдыг ялгах:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг xu(u²+1)≠0 гэж хуваана (үүний дагуу бид x≠0 (аль хэдийн тэмдэглэсэн), u≠0 шаардлагыг нэмнэ):

Бид нэгтгэдэг:

Тэгшитгэлийн баруун талд хүснэгтэн интеграл байна. рационал бутархайзүүн талд бид үндсэн хүчин зүйлүүдэд задардаг.

(эсвэл хоёрдахь интегралд дифференциал тэмдгийн доор оруулахын оронд t=1+u², dt=2udu - хэн дуртай нь гэсэн орлуулалтыг хийх боломжтой байсан). Бид авах:

Логарифмын шинж чанарын дагуу:

Урвуу солих

u≠0 нөхцөлийг эргэн сана. Тиймээс y≠0. C=0 y=0 үед шийдлийн алдагдал байхгүй, y=0 ерөнхий интегралд орно.

Сэтгэгдэл

Хэрэв та нэр томъёог зүүн талд x-тэй үлдээвэл шийдлийг өөр хэлбэрээр авах боломжтой.

Энэ тохиолдолд интеграл муруйны геометрийн утга нь Ой тэнхлэг дээр төвлөрч, гарал үүслийг дайран өнгөрч буй тойргийн гэр бүл юм.

Өөрийгөө шалгах даалгавар:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Бид тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгасны дараа u=y/x, эндээс y=ux, dy=xdu+udx гэж орлуулна. Нөхцөлд орлуулна: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг x²≠0-д хуваавал (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0 болно. Эндээс dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Хялбарчилбал, бид дараах байдалтай байна: dx-xudu=0. Иймээс xudu=dx, udu=dx/x. Хоёр хэсгийг нэгтгэж үзье:

Зогс! Бүгдээрээ энэ төвөгтэй томъёог ойлгохыг хичээцгээе.

Эхний ээлжинд зарим коэффициент бүхий зэрэглэлийн эхний хувьсагч байх ёстой. Манай тохиолдолд энэ

Манай тохиолдолд ийм байна. Бидний олж мэдсэнээр энэ нь эхний хувьсагчийн зэрэг нийлдэг гэсэн үг юм. Мөн нэгдүгээр зэрэглэлийн хоёр дахь хувьсагч нь байрандаа байна. Коэффицент.

Бидэнд байгаа.

Эхний хувьсагч нь экспоненциал, хоёр дахь хувьсагч нь квадрат, коэффициенттэй байна. Энэ бол тэгшитгэлийн сүүлчийн гишүүн юм.

Таны харж байгаагаар бидний тэгшитгэл нь томьёоны хэлбэрийн тодорхойлолттой тохирч байна.

Тодорхойлолтын хоёр дахь (амаар) хэсгийг авч үзье.

Бидэнд хоёр үл мэдэгдэх зүйл байна. Энд нэгдэж байна.

Бүх нэр томъёог авч үзье. Тэдгээрийн дотор үл мэдэгдэх зэрэглэлийн нийлбэр нь ижил байх ёстой.

Эрх мэдлийн нийлбэр тэнцүү байна.

Эрх мэдлийн нийлбэр нь (at ба at) тэнцүү байна.

Эрх мэдлийн нийлбэр тэнцүү байна.

Таны харж байгаагаар бүх зүйл тохирсон!

Одоо нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

Аль тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн болохыг тодорхойлно уу.

Нэг төрлийн тэгшитгэл- Дугаарласан тэгшитгэлүүд:

Тэгшитгэлийг тусад нь авч үзье.

Хэрэв бид гишүүн бүрийг өргөтгөх замаар хуваах юм бол бид авна

Мөн энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхойлолтод бүрэн багтдаг.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээ 2

Тэгшитгэлийг хувааж үзье.

Бидний нөхцөлийн дагуу y тэнцүү байж болохгүй. Тиймээс бид аюулгүйгээр хувааж болно

Орлуулах замаар бид энгийн зүйлийг олж авдаг квадрат тэгшитгэл:

Энэ нь багасгасан квадрат тэгшитгэл учраас бид Виета теоремыг ашигладаг.

Урвуу орлуулалт хийснээр бид хариултыг авна

Хариулт:

Жишээ 3

Тэгшитгэлийг (нөхцөлөөр) хуваа.

Хариулт:

Жишээ 4

Хэрвээ олоорой.

Энд та хуваах биш, харин үржүүлэх хэрэгтэй. Бүхэл тэгшитгэлийг дараах байдлаар үржүүлнэ.

Орлуулж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

Урвуу орлуулалт хийснээр бид дараах хариултыг авна.

Хариулт:

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь дээр дурдсан шийдлийн аргуудаас ялгаатай биш юм. Зөвхөн энд, бусад зүйлсийн дунд та бага зэрэг тригонометрийг мэдэх хэрэгтэй. Мөн шийдэх чадвартай байх тригонометрийн тэгшитгэл(Үүний тулд та хэсгийг уншиж болно).

Ийм тэгшитгэлийг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 5

Тэгшитгэлийг шийд.

Бид ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг харж байна: тэдгээр нь үл мэдэгдэх бөгөөд тэдгээрийн хүчин чадлын нийлбэр нь гишүүн бүрт тэнцүү байна.

Ижил төрлийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэцүү биш боловч тэгшитгэлийг хуваахаас өмнө дараах тохиолдлыг анхаарч үзээрэй.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. Гэхдээ синус ба косинус нь нэгэн зэрэг тэнцүү байж болохгүй, учир нь үндсэн зүйлийн дагуу тригонометрийн ижилсэл. Тиймээс бид үүнийг аюулгүйгээр хувааж болно:

Тэгшитгэл багассан тул Вьета теоремын дагуу:

Хариулт:

Жишээ 6

Тэгшитгэлийг шийд.

Жишээлбэл, та тэгшитгэлийг хуваах хэрэгтэй. Дараах тохиолдолд тохиолдлыг авч үзье.

Гэхдээ синус ба косинус нь нэгэн зэрэг тэнцүү байж болохгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын дагуу. Тийм ч учраас.

Орлуулалт хийж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

Урвуу орлуулалтыг хийж, дараахыг олцгооё.

Хариулт:

Нэг төрлийн экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг дээр дурдсантай ижил аргаар шийддэг. Хэрэв та хэрхэн шийдэхээ мартсан бол экспоненциал тэгшитгэл- холбогдох хэсгийг үзнэ үү ()!

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 7

Тэгшитгэлийг шийд

Хэрхэн яаж төсөөлөөд үз дээ:

Бид хоёр хувьсагч, нийлбэр зэрэгтэй ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг харж байна. Тэгшитгэлийг дараахь байдлаар хуваая.

Таны харж байгаагаар орлуулалт хийсний дараа бид багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авдаг (энэ тохиолдолд тэгээр хуваахаас айх шаардлагагүй - энэ нь үргэлж тэгээс их байдаг):

Виетийн теоремын дагуу:

Хариулт: .

Жишээ 8

Тэгшитгэлийг шийд

Хэрхэн яаж төсөөлөөд үз дээ:

Тэгшитгэлийг дараахь байдлаар хуваая.

Орлуулж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

Үндэс нь нөхцөлийг хангадаггүй. Бид урвуу орлуулалтыг хийж, дараахь зүйлийг олно.

Хариулт:

Нэг төрлийн тэгшитгэл. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Эхлээд нэг асуудлын жишээг ашиглан танд сануулъя Нэг төрлийн тэгшитгэл гэж юу вэ, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл гэж юу вэ.

Асуудлыг шийдэх:

Хэрвээ олоорой.

Эндээс та нэг сонин зүйлийг анзаарч болно: хэрэв бид нэр томъёо бүрийг хуваах юм бол бид дараахь зүйлийг авна.

Өөрөөр хэлбэл, одоо тусдаа ба, - одоо хүссэн утга нь тэгшитгэл дэх хувьсагч юм. Энэ бол энгийн квадрат тэгшитгэл бөгөөд үүнийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдвэрлэхэд хялбар байдаг: язгууруудын үржвэр тэнцүү, нийлбэр нь тоонууд юм.

Хариулт:

Маягтын тэгшитгэл

нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл бөгөөд түүний гишүүн бүрт эдгээр үл мэдэгдэх хүчний ижил нийлбэр байдаг. Жишээлбэл, дээрх жишээнд энэ дүн нь тэнцүү байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг энэ зэрэгт үл мэдэгдэх аль нэгэнд хуваах замаар гүйцэтгэнэ.

Мөн хувьсагчийн дараагийн өөрчлөлт: . Тиймээс бид нэг үл мэдэгдэх градусын тэгшитгэлийг олж авна.

Ихэнхдээ бид хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлтэй (өөрөөр хэлбэл квадрат) тулгардаг бөгөөд бид тэдгээрийг шийдэж чадна.

Бүхэл тэгшитгэлийг хувьсагчид хуваах (мөн үржүүлэх) нь энэ хувьсагч тэгтэй тэнцүү байж чадахгүй гэдэгт итгэлтэй байгаа тохиолдолд л боломжтой гэдгийг анхаарна уу! Жишээлбэл, хэрэв биднээс олохыг хүсэх юм бол бид үүнийг шууд ойлгодог, учир нь үүнийг хуваах боломжгүй юм. Энэ нь тийм ч тодорхой биш тохиолдолд энэ хувьсагч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд тусад нь шалгах шаардлагатай. Жишээлбэл:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Бид эндээс ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг харж байна: тэдгээр нь үл мэдэгдэх бөгөөд тэдгээрийн хүчин чадлын нийлбэр нь гишүүн бүрт тэнцүү байна.

Гэхдээ квадрат тэгшитгэлийг хүндэтгэн хувааж, олж авахын өмнө бид хэзээ болохыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , иймээс, . Гэхдээ синус ба косинус нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын дагуу:. Тиймээс бид үүнийг аюулгүйгээр хувааж болно:

Энэ шийдэл нь бүрэн тодорхой болсон гэж найдаж байна уу? Үгүй бол хэсгийг уншина уу. Хэрэв энэ нь хаанаас ирсэн нь тодорхойгүй бол та бүр эрт - хэсэг рүү буцах хэрэгтэй.

Өөрийнхөө төлөө шийд:

1. Хэрвээ олоорой.
2. Хэрвээ олоорой.
3. Тэгшитгэлийг шийд.

Энд би нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг товч бичнэ.

Шийдэл:

Хариулт: .

Энд хуваах биш, харин үржүүлэх шаардлагатай:

Хариулт:

Хэрэв та тригонометрийн тэгшитгэлийг хараахан үзэж амжаагүй бол энэ жишээг алгасаж болно.

Энд бид хуваах шаардлагатай тул эхлээд зуу нь тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгаарай.

Мөн энэ нь боломжгүй юм.

Хариулт: .

Нэг төрлийн тэгшитгэл. ҮНДСЭН ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧ

Бүх нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг хувьсагчийн зэрэг болон цаашдын өөрчлөлт дэх үл мэдэгдэх аль нэгэнд хуваах хүртэл бууруулна.

Алгоритм:

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш сайхан байна.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг олж мэдсэн. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай хүргэлтУлсын нэгдсэн шалгалт, дээд сургуульд төсвөөр элсэх, хамгийн гол нь насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье ...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ бол гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь ... илүү аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДЭВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА ДҮҮРГЭЭРЭЙ.

Шалгалтанд танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно асуудлыг цаг тухайд нь шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (ОЛОН!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл үүнийг цаг тухайд нь хийхгүй байх болно.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та олон удаа давтах хэрэгтэй.

Та хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой гарцаагүй шийдэлтэй нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та манай даалгавруудыг (шаардлагагүй) ашиглаж болно, бид мэдээж зөвлөж байна.

Бидний даалгаврын тусламжтайгаар гар хүрэхийн тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг тайлах - 299 рубль.
2. Хичээлийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгавруудын хандалтыг нээнэ үү - 499 рубль.

Тийм ээ, бид сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг нэн даруй нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын туршид олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онолоор бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би яаж шийдэхээ мэднэ” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг олж, шийдээрэй!