Бутархай шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ашигладаг.Энэ аргыг тэгшитгэлийн тал бүр дээр нэг оновчтой илэрхийлэл бүхий өгөгдсөн тэгшитгэлийг бичих боломжгүй үед (мөн хөндлөн үржүүлэх аргыг ашиглах) ашигладаг. Энэ аргыг 3 ба түүнээс дээш бутархайтай оновчтой тэгшитгэл өгөхөд ашигладаг (хоёр бутархай тохиолдолд хөндлөн үржүүлэх нь илүү дээр юм).

Бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг (эсвэл хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг) ол. NOZ бол хамгийн бага тоо, энэ нь хуваагч бүрт жигд хуваагддаг.

• Заримдаа NOZ нь тодорхой тоо байдаг. Жишээлбэл: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6 гэсэн тэгшитгэл өгөгдсөн бол 3, 2, 6 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байх нь ойлгомжтой.
• Хэрэв NOD тодорхойгүй бол хамгийн том хуваагчийн үржвэрийг бичиж, тэдгээрийн дотроос бусад хуваагчийн үржвэрийг ол. Та ихэвчлэн хоёр хуваагчийг үржүүлснээр NOD-ийг олох боломжтой. Жишээлбэл, x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 тэгшитгэл өгөгдсөн бол NOZ = 8*9 = 72 болно.
• Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн хуваагч хувьсагчийг агуулж байвал процесс нь арай илүү төвөгтэй (гэхдээ боломжгүй биш) болно. Энэ тохиолдолд NOZ нь хуваагч бүрт хуваагдах илэрхийлэл (хувьсагч агуулсан) юм. Жишээлбэл, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) тэгшитгэлд энэ илэрхийлэл нь хуваагч бүрт хуваагддаг тул: 3x(x-1)/(x) -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Бутархай тус бүрийн хүртэгч ба хуваагчийг хоёуланг нь NOZ-ийг бутархай тус бүрийн харгалзах хуваагчаар хуваасны үр дүнтэй тэнцүү тоогоор үржүүлнэ. Та тоологч болон хуваагчийг хоёуланг нь ижил тоогоор үржүүлж байгаа тул та бутархайг 1-ээр үр дүнтэй үржүүлж байна (жишээлбэл, 2/2 = 1 эсвэл 3/3 = 1).

• Тиймээс бидний жишээн дээр x/3-ыг 2/2-оор үржүүлж 2x/6, 1/2-ыг 3/3-аар үржүүлж 3/6 (3x + 1/6 нь хуваагч учраас үржүүлэх шаардлагагүй) 6).
• Хувьсагч нь хуваарьт байгаа үед ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Бидний хоёр дахь жишээнд NOZ = 3x(x-1), тэгэхээр 5/(x-1) удаа (3x)/(3x) нь 5(3x)/(3x)(x-1); 3(x-1)/3x(x-1)-ийг авахын тулд 1/х үржвэр 3(x-1)/3(x-1); 2/(3x)-ийг (x-1)/(x-1)-ээр үржүүлэхэд 2(x-1)/3x(x-1) гарна.

x ол.Одоо та бутархайг багасгасан Ерөнхий хуваарь, та хуваагчаас салж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн тал бүрийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлнэ. Дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг шийд, өөрөөр хэлбэл "x" -ийг ол. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн нэг талд хувьсагчийг тусгаарла.

• Бидний жишээнд: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Та 2 бутархай нэмж болно ижил хуваагч, тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ үү: (2х+3)/6=(3х+1)/6. Тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-аар үржүүлж, хуваагчаас сал: 2x+3 = 3x +1. Үүнийг шийдэж, x = 2-г авна уу.
• Бидний хоёр дахь жишээнд (хувьсагчтай хуваарьтай) тэгшитгэл нь (нийтлэг хуваагч руу бууруулсны дараа): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) байна. -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Тэгшитгэлийн хоёр талыг NOZ-аар үржүүлснээр та хуваагчаас салж, дараахийг авна: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), эсвэл 15x = 3x - 3 + 2x -2, эсвэл 15x = x - 5 Шийдэж гарга: x = -5/14.

Бид үргэлжлүүлэн ярьж байна тэгшитгэлийн шийдэл. Энэ нийтлэлд бид анхаарлаа хандуулах болно рационал тэгшитгэлба нэг хувьсагчтай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарчмууд. Эхлээд ямар төрлийн тэгшитгэлийг рационал гэж нэрлэдэгийг олж мэдье, бүхэл тоон рационал ба бутархай рационал тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг өгч, жишээ татъя. Цаашид бид оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмуудыг олж авах бөгөөд мэдээжийн хэрэг шаардлагатай бүх тайлбар бүхий ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Дууссан тодорхойлолтууд дээр үндэслэн бид оновчтой тэгшитгэлийн хэд хэдэн жишээг өгдөг. Жишээлбэл, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , бүгд рационал тэгшитгэл юм.

Үзүүлсэн жишээнүүдээс харахад рационал тэгшитгэлүүд болон бусад төрлийн тэгшитгэлүүд нь нэг хувьсагчтай эсвэл хоёр, гурав гэх мэт байж болно. хувьсагч. Дараагийн догол мөрөнд бид нэг хувьсагчтай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар ярих болно. Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхмөн тэдний олон тоо онцгой анхаарал хандуулах ёстой.

Рационал тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоонд хуваахаас гадна бүхэл ба бутархай гэж хуваадаг. Холбогдох тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт.

Рационал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бүхэлд нь, хэрэв түүний зүүн ба баруун хэсэг нь бүхэл тоон рационал илэрхийлэл бол.

Тодорхойлолт.

Хэрэв рационал тэгшитгэлийн хэсгүүдийн ядаж нэг нь бутархай илэрхийлэл байвал ийм тэгшитгэлийг гэнэ. бутархай оновчтой(эсвэл бутархай оновчтой).

Бүхэл тоон тэгшитгэл нь хувьсагчаар хуваагдахгүй, харин эсрэгээр, бутархай рационал тэгшитгэл нь хувьсагчаар (эсвэл хуваагч дахь хувьсагч) хуваахыг заавал агуулна. Тэгэхээр 3 x+2=0 ба (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5нь бүхэл бүтэн рационал тэгшитгэл бөгөөд тэдгээрийн аль аль нь бүхэл тоон илэрхийлэл юм. А ба x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 нь бутархай рационал тэгшитгэлийн жишээ юм.

Энэ догол мөрийг дуусгахдаа шугаман тэгшитгэл ба квадрат тэгшитгэлүүд нь бүхэл бүтэн рационал тэгшитгэл гэдгийг анхаарч үзье.

Бүхэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бүхэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол аргуудын нэг бол тэдгээрийг эквивалент болгон бууруулах явдал юм алгебрийн тэгшитгэл. Дараах тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтыг хийснээр үүнийг үргэлж хийж болно.

• эхлээд анхны бүхэл тэгшитгэлийн баруун талын илэрхийллийг шилжүүлнэ зүүн талбаруун талдаа тэг авахын тулд эсрэг тэмдэгтэй;
• Үүний дараа тэгшитгэлийн зүүн талд, үр дүнд нь стандарт харагдах байдал.

Үр дүн нь алгебрийн тэгшитгэл, энэ нь анхны бүхэл тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. Тиймээс хамгийн ихдээ энгийн тохиолдлуудБүхэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь шугаман буюу квадрат тэгшитгэл, болон дотор ерөнхий тохиолдол– n зэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэлд. Тодорхой болгохын тулд жишээний шийдэлд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Бүхэл тэгшитгэлийн язгуурыг ол 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Шийдэл.

Энэ бүхэл тэгшитгэлийн шийдийг эквивалент алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулъя. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд илэрхийллийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, үр дүнд нь тэгшитгэлд хүрнэ. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Хоёрдугаарт, бид зүүн талд үүссэн илэрхийллийг шаардлагатай үйлдлүүдийг хийснээр стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргадаг. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Ингээд анхны бүхэл тоон тэгшитгэлийн шийдийг x 2 −5·x−6=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдэлд буулгав.

Түүний ялгах чадварыг тооцоол D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, энэ нь эерэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай гэсэн үг бөгөөд бид үүнийг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёогоор олно.

Бүрэн итгэлтэй байхын тулд хийцгээе тэгшитгэлийн язгууруудыг шалгах. Эхлээд бид язгуур 6-г шалгаж, анхны бүхэл тэгшитгэл дэх x хувьсагчийн оронд орлуулна. 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, энэ нь ижил, 63=63 . Энэ бол хүчинтэй тоон тэгшитгэл учраас x=6 нь үнэхээр тэгшитгэлийн үндэс юм. Одоо бид −1 үндсийг шалгаж байна 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, эндээс, 0=0 . x=−1-ийн хувьд анхны тэгшитгэл нь мөн жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирсан тул x=−1 нь мөн тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

6 , −1 .

Энд "бүхэл тэгшитгэлийн хүч" гэсэн нэр томъёо нь бүхэл тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл хэлбэрээр илэрхийлэхтэй холбоотой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бид холбогдох тодорхойлолтыг өгдөг:

Тодорхойлолт.

Бүхэл тэгшитгэлийн зэрэгтүүнтэй тэнцэх алгебрийн тэгшитгэлийн зэрэг гэж нэрлэнэ.

Энэ тодорхойлолтын дагуу өмнөх жишээн дэх тэгшитгэл бүхэлдээ хоёр дахь зэрэгтэй байна.

Үүн дээр нэг биш бол бүхэл бүтэн рационал тэгшитгэлийн шийдлээр дуусгаж болно, гэхдээ .... Мэдэгдэж байгаагаар хоёр дахь градусаас өндөр алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь ихээхэн бэрхшээлтэй холбоотой бөгөөд дөрөв дэхээс өндөр зэрэгтэй тэгшитгэлийн хувьд ийм тэгшитгэл огт байдаггүй. ерөнхий томъёоүндэс. Тиймээс гурав, дөрөв, түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийг бүхэлд нь шийдэхийн тулд бусад шийдлийн аргуудыг ашиглах шаардлагатай болдог.

Ийм тохиолдолд заримдаа үндэслэлтэй бүхэл бүтэн оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга барил байдаг хүчин зүйлчлэлийн арга. Үүний зэрэгцээ дараах алгоритмыг баримтална.

• эхлээд тэд тэгшитгэлийн баруун талд тэг байхыг эрэлхийлдэг, үүний тулд тэд илэрхийллийг бүхэл тэгшитгэлийн баруун талаас зүүн тийш шилжүүлдэг;
• Дараа нь зүүн талд гарсан илэрхийлэлийг хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр болгон харуулсан бөгөөд энэ нь хэд хэдэн энгийн тэгшитгэлийн багц руу шилжих боломжийг олгодог.

Бүтэн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх дээрх алгоритм шаардлагатай дэлгэрэнгүй тайлбарЖишээлбэл.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг бүхэлд нь шийд (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Шийдэл.

Нэгдүгээрт, ердийнх шигээ бид илэрхийллийг тэгшитгэлийн баруун талаас зүүн тал руу шилжүүлж, тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болохгүй. (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Эндээс харахад үүссэн тэгшитгэлийн зүүн талыг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргах нь зохисгүй, учир нь энэ нь хэлбэрийн дөрөв дэх зэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг өгөх болно. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, түүний шийдэл нь хэцүү.

Нөгөөтэйгүүр, үүссэн тэгшитгэлийн зүүн талд x 2 −10·x+13 байх нь ойлгомжтой бөгөөд ингэснээр түүнийг үржвэр болгон төлөөлөх болно. Бидэнд байгаа (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны бүхэл тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд үүнийг эргээд x 2 −10·x+13=0 ба x 2 −2·x−1=0 гэсэн хоёр квадрат тэгшитгэлийн багцаар сольж болно. Тэдний үндсийг олох мэдэгдэж байгаа томъёонуудялгаварлан гадуурхах үндэс нь хэцүү биш, үндэс нь тэнцүү байна. Эдгээр нь анхны тэгшитгэлийн хүссэн үндэс юм.

Хариулт:

Энэ нь бүхэл бүтэн оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тустай. шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга. Зарим тохиолдолд энэ нь анхны бүхэл тэгшитгэлийн зэрэглэлээс бага зэрэгтэй тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог.

Жишээ.

Рационал тэгшитгэлийн жинхэнэ язгуурыг ол (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Шийдэл.

Энэхүү рационал тэгшитгэлийг бүхэлд нь алгебрийн тэгшитгэл болгон багасгах нь тийм ч сайн санаа биш, учир нь энэ тохиолдолд рационал үндэсгүй 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай болно. Тиймээс та өөр шийдлийг хайх хэрэгтэй болно.

Эндээс харахад та шинэ y хувьсагч оруулж, x 2 +3 x илэрхийллийг түүгээр сольж болно. Ийм орлуулалт нь биднийг бүхэл тэгшитгэл рүү хөтөлдөг (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , энэ нь −2 (y−4) илэрхийллийг зүүн тал руу шилжүүлж, тэнд үүссэн илэрхийлэлийг дараа нь хувиргасны дараагаар өөрчлөгдөнө. , y 2 +4 y+3=0 тэгшитгэлд бууруулна. Энэ y=−1 ба y=−3 тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хялбар, жишээлбэл, Вьетагийн теоремын урвуу теорем дээр үндэслэн олж болно.

Одоо шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргын хоёрдугаар хэсэг буюу урвуу орлуулалт руу шилжье. Урвуу орлуулалтыг хийсний дараа бид x 2 +3 x=−1 ба x 2 +3 x=−3 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнийг x 2 +3 x+1=0 ба x 2 +3 x+3 гэж дахин бичиж болно. =0. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёоны дагуу бид эхний тэгшитгэлийн язгуурыг олно. Хоёрдахь квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ) тул бодит язгуургүй.

Хариулт:

Ерөнхийдөө бид өндөр зэрэглэлийн бүхэл бүтэн тэгшитгэлтэй харьцахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх стандарт бус арга эсвэл хиймэл техник хайхад үргэлж бэлэн байх ёстой.

Бутархай рационал тэгшитгэлийн шийдэл

Нэгдүгээрт, p(x) ба q(x) нь рационал бүхэл тоон илэрхийлэл болох хэлбэрийн бутархай рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгоход хэрэгтэй болно. Дараа нь бид үлдсэн бутархай рационал тэгшитгэлийн шийдлийг заасан хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдэлд хэрхэн бууруулахыг харуулах болно.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэг нь дээр суурилдаг дараах мэдэгдэл: тоон бутархай u/v , энд v нь тэгээс өөр тоо (өөрөөр бол бид тааралдана, энэ нь тодорхойлогдоогүй), хэрэв түүний тоологч нь тэг байвал, өөрөөр хэлбэл, зөвхөн u=0 бол тэг болно. Энэхүү мэдэгдлийн ачаар тэгшитгэлийн шийд нь p(x)=0 ба q(x)≠0 гэсэн хоёр нөхцөл биелэгдэнэ.

Энэхүү дүгнэлт нь дараах байдалтай нийцэж байна бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм. Маягтын бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх

• p(x)=0 бүх рационал тэгшитгэлийг шийд;
• мөн олдсон язгуур бүрийн хувьд q(x)≠0 нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгана
• хэрэв үнэн бол энэ үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно;
• Хэрэв тийм биш бол энэ язгуур нь гаднах, өөрөөр хэлбэл анхны тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дуут алгоритмыг ашиглах жишээнд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Энэ нь p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 гэсэн хэлбэрийн бутархай рационал тэгшитгэл юм.

Энэ төрлийн бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын дагуу бид эхлээд 3·x−2=0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн үндэс нь x=2/3 .

Энэ язгуурыг шалгах, өөрөөр хэлбэл 5·x 2 −2≠0 нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах л үлдлээ. 5 x 2 −2 илэрхийлэлд x-ийн оронд 2/3 тоог орлуулбал . Нөхцөл хангагдсан тул x=2/3 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

2/3 .

Бутархай рационал тэгшитгэлийн шийдэлд арай өөр байр сууринаас хандаж болно. Энэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийн х хувьсагчийн бүхэл p(x)=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл та үүнийг дагаж болно бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм :

• p(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэх;
• ODZ хувьсагчийг олох x ;
• зөвшөөрөгдөх утгын бүсэд хамаарах үндсийг авна - тэдгээр нь анхны бутархай оновчтой тэгшитгэлийн хүссэн үндэс юм.

Жишээлбэл, энэ алгоритмыг ашиглан бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Эхлээд бид x 2 −2·x−11=0 квадрат тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үндсийг тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёог ашиглан тооцоолж болно D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, ба .

Хоёрдугаарт, бид анхны тэгшитгэлийн хувьд x хувьсагчийн ODZ-ийг олно. Энэ нь x 2 +3 x≠0, x (x+3)≠0 , эндээс x≠0 , x≠−3 тэй ижил бүх тооноос бүрдэнэ.

Эхний алхамд олдсон үндэс нь ODZ-д орсон эсэхийг шалгах хэвээр байна. Мэдээж тийм. Тиймээс анхны бутархай рационал тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Хариулт:

Хэрэв ODZ амархан олдвол энэ арга нь эхнийхээс илүү ашигтай бөгөөд p(x)=0 тэгшитгэлийн үндэс нь иррациональ, жишээ нь , эсвэл рационал, гэхдээ нэлээд том хэмжээтэй байвал ялангуяа ашигтай гэдгийг анхаарна уу. тоологч ба/эсвэл хуваагч, жишээлбэл, 127/1101 ба -31/59 . Энэ нь ийм тохиолдолд q(x)≠0 нөхцөлийг шалгахад ихээхэн хэмжээний тооцоолох хүчин чармайлт шаардагдах бөгөөд ODZ-аас гадны үндэсийг хасах нь илүү хялбар байдагтай холбоотой юм.

Бусад тохиолдолд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед, ялангуяа p(x)=0 тэгшитгэлийн язгуур бүхэл тоо байх үед дээрх алгоритмуудын эхнийхийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг. Өөрөөр хэлбэл p(x)=0 тэгшитгэлийн үндсийг нэн даруй олж, дараа нь q(x)≠0 нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгаж, ODZ-ийг олохгүй, дараа нь тэгшитгэлийг шийдэх нь зүйтэй юм. Энэ ODZ дээр p(x)=0 . Энэ нь ийм тохиолдолд ODZ-ийг олохоос илүүтэйгээр шалгалт хийх нь ихэвчлэн хялбар байдагтай холбоотой юм.

Төлөвлөсөн нюансуудыг харуулахын тулд хоёр жишээний шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид бүхэл тэгшитгэлийн үндсийг олно (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, бутархайн тоог ашиглан эмхэтгэсэн. Энэ тэгшитгэлийн зүүн тал нь үржвэр, баруун тал нь тэг тул тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх аргын дагуу энэ тэгшитгэл нь 2 x−1=0 , x−6= дөрвөн тэгшитгэлийн олонлогтой тэнцүү байна. 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Эдгээр тэгшитгэлүүдийн гурав нь шугаман, нэг нь квадрат, бид тэдгээрийг шийдэж чадна. Эхний тэгшитгэлээс бид x=1/2, хоёр дахь нь - x=6, гурав дахь нь - x=7, x=−2, дөрөв дэх нь - x=−1 гэж олно.

Олдсон үндсийг ашиглан анхны тэгшитгэлийн зүүн талд байрлах бутархайн хуваагч алга болохгүй эсэхийг шалгах нь маш хялбар бөгөөд ODZ-ийг тодорхойлох нь тийм ч хялбар биш юм, учир нь үүнийг шийдэх шаардлагатай болно. тав дахь зэрэглэлийн алгебрийн тэгшитгэл. Тиймээс бид үндсийг нь шалгахын тулд ODZ-ийг олохоос татгалзах болно. Үүнийг хийхийн тулд илэрхийлэл дэх х хувьсагчийн оронд тэдгээрийг ээлжлэн орлуулна x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, орлуулсны дараа олж аваад, тэгтэй харьцуулна уу: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Тиймээс 1/2, 6 ба −2 нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн хүссэн үндэс, 7 ба −1 нь гадны үндэс юм.

Хариулт:

1/2 , 6 , −2 .

Жишээ.

Бутархай рационал тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид тэгшитгэлийн язгуурыг олно (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Энэ тэгшитгэл нь квадрат 5·x 2 −7·x−1=0 ба шугаман x−2=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцэнэ. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёоны дагуу бид хоёр язгуурыг олох ба хоёр дахь тэгшитгэлээс бид x=2 байна.

Олдсон x утгууд дээр хуваагч алга болохгүй эсэхийг шалгах нь тааламжгүй юм. Анхны тэгшитгэл дэх х хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тодорхойлох нь маш энгийн. Тиймээс бид ОДХ-оор дамжуулан ажиллана.

Манай тохиолдолд анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн х хувьсагчийн ODZ нь x 2 +5·x−14=0 нөхцөл хангагдсанаас бусад бүх тооноос бүрдэнэ. Энэхүү квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь x=−7 ба x=2 бөгөөд үүнээс бид ODZ-ийн талаар дүгнэлт хийж байна: энэ нь бүх x-ээс бүрддэг тул .

Олдсон үндэс ба x=2 нь зөвшөөрөгдөх утгын бүсэд хамаарах эсэхийг шалгахад л үлддэг. Үндэс - хамаарах тул тэдгээр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс бөгөөд x=2 хамаарахгүй тул энэ нь гадны үндэс юм.

Хариулт:

Маягтын бутархай рационал тэгшитгэл нь тоологч дахь тоог агуулсан, өөрөөр хэлбэл p (x) нь ямар нэг тоогоор илэрхийлэгдэх тохиолдлуудад тусад нь авч үзэх нь ашигтай байх болно. Хаана

• хэрэв энэ тоо тэгээс ялгаатай бол тэгшитгэл нь үндэсгүй, учир нь түүний тоологч нь тэг байвал бутархай нь тэг болно;
• хэрэв энэ тоо тэг бол тэгшитгэлийн үндэс нь ODZ-ийн дурын тоо байна.

Жишээ.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн хуваарьт тэгээс өөр тоо байгаа тул ямар ч х-ийн хувьд энэ бутархайн утга тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Тиймээс энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Хариулт:

үндэс байхгүй.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэхүү бутархай рационал тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн тоологч нь тэг тул энэ бутархайн утга нь утга учиртай аливаа x-ийн хувьд тэг болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ хувьсагчийн DPV-ээс x-ийн дурын утга юм.

Энэ зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тодорхойлоход л үлдэж байна. Үүнд x 4 +5 x 3 ≠0 гэсэн бүх x утгууд багтана. x 4 +5 x 3 \u003d 0 тэгшитгэлийн шийдлүүд нь 0 ба -5 байна, учир нь энэ тэгшитгэл нь x 3 (x + 5) \u003d 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь эргээд хослолтой тэнцүү байна. x 3 \u003d 0 ба x +5=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн язгуурууд эндээс харагдаж байна. Тиймээс хүлээн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүссэн муж нь x=0 ба x=−5-аас бусад дурын x байна.

Тиймээс бутархай рационал тэгшитгэл нь тэг ба хасах таваас бусад тоонууд болох хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.

Хариулт:

Эцэст нь дурын бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх тухай ярих цаг болжээ. Тэдгээрийг r(x)=s(x) гэж бичиж болох ба энд r(x) ба s(x) нь рационал илэрхийлэл бөгөөд ядаж нэг нь бутархай байна. Урагшаа харахад тэдний шийдэл нь бидэнд аль хэдийн танил болсон хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд буурсан гэж бид хэлж байна.

Тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө хэсэг рүү эсрэг тэмдэгтэй гишүүнийг шилжүүлэх нь эквивалент тэгшитгэлд хүргэдэг нь мэдэгдэж байгаа тул r(x)=s(x) тэгшитгэл нь r(x)−s тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. (x)=0 .

Энэ илэрхийлэлтэй ямар ч ижил тэнцүү байж болно гэдгийг бид бас мэднэ. Иймээс бид r(x)−s(x)=0 тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа рационал илэрхийллийг , хэлбэрийн ижил тэнцүү рационал бутархай болгон хувиргаж болно.

Тиймээс бид анхны бутархай рационал тэгшитгэлээс r(x)=s(x) тэгшитгэл рүү шилжих ба түүний шийдэл нь дээр дурдсанчлан p(x)=0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл буурдаг.

Гэхдээ энд r(x)−s(x)=0-ийг , дараа нь p(x)=0 гэж солих үед x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ өргөжиж болохыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. .

Иймд бидний хүрсэн анхны r(x)=s(x) тэгшитгэл ба p(x)=0 тэгшитгэл нь тэнцүү биш байж болох ба p(x)=0 тэгшитгэлийг шийдснээр язгуур гарна. Энэ нь r(x)=s(x) анхны тэгшитгэлийн гадаад үндэс байх болно. Хариулт дахь гадны язгууруудыг шалгах эсвэл анхны тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах эсэхийг тодорхойлох, оруулахгүй байх боломжтой.

Бид энэ мэдээллийг тоймлон хүргэж байна бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм r(x)=s(x). r(x)=s(x) бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд заавал хийх ёстой

• Эсрэг тэмдгээр илэрхийллийг баруун талаас нь хөдөлгөж баруун талд нь тэг авна.
• Тэгшитгэлийн зүүн талд бутархай ба олон гишүүнттэй үйлдлүүдийг хийж, үүнийг хэлбэрийн оновчтой бутархай болгон хувиргана.
• p(x)=0 тэгшитгэлийг шийд.
• Анхны тэгшитгэлд орлуулах эсвэл анхны тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах эсэхийг шалгах замаар хийдэг гаднах язгууруудыг тодорхойлж, хасах.

Илүү тодорхой болгохын тулд бид бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гинжийг бүхэлд нь харуулах болно.
.

Өгөгдсөн мэдээллийн хэсгийг тодруулахын тулд шийдлийн дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзье.

Жишээ.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид дөнгөж олж авсан шийдлийн алгоритмын дагуу ажиллах болно. Эхлээд бид тэгшитгэлийн баруун талаас зүүн тал руу нэр томъёог шилжүүлж, үр дүнд нь тэгшитгэл рүү шилждэг.

Хоёрдахь алхамд бид үүссэн тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархай рационал илэрхийлэлийг бутархай хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид цутгамал хийдэг рационал бутархайнийтлэг хуваагч руу болон гарсан илэрхийллийг хялбарчлах: . Тиймээс бид тэгшитгэлд хүрнэ.

Дээр дараагийн алхам−2 x−1=0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. x=−1/2-г ол.

Олдсон тоо −1/2 нь анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур мөн эсэхийг шалгах л үлдлээ. Үүнийг хийхийн тулд та анхны тэгшитгэлийн ODZ хувьсагч х-г шалгаж эсвэл олох боломжтой. Хоёр аргыг хоёуланг нь харуулъя.

Шалгалтаар эхэлцгээе. Анхны тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд −1/2 тоог орлуулбал ижил −1=−1 болно. Орлуулалт нь зөв тоон тэгшитгэлийг өгдөг тул x=−1/2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Одоо бид алгоритмын сүүлчийн алхамыг ODZ-ээр дамжуулан хэрхэн гүйцэтгэж байгааг харуулах болно. Анхны тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь −1 ба 0-ээс бусад бүх тоонуудын багц юм (х=−1 ба x=0 үед бутархайн хуваагч алга болно). Өмнөх алхамд олдсон x=−1/2 үндэс нь ODZ-д хамаарах тул x=−1/2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

−1/2 .

Өөр нэг жишээг авч үзье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Бид бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй, алгоритмын бүх үе шатыг авч үзье.

Эхлээд бид нэр томъёог баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, бид авна.

Хоёрдугаарт, бид зүүн талд үүссэн илэрхийллийг хувиргадаг: . Үүний үр дүнд бид x=0 тэгшитгэлд хүрнэ.

Үүний үндэс нь ойлгомжтой - энэ нь тэг юм.

Дөрөв дэх алхамд олсон үндэс нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн гаднах үндэс биш эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг анхны тэгшитгэлд орлуулах үед илэрхийлэл үүснэ. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тэгээр хуваагдахыг агуулдаг тул утгагүй юм. Эндээс бид 0 нь гадны язгуур гэж дүгнэж байна. Тиймээс анхны тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

7 , энэ нь тэгшитгэлд хүргэдэг. Эндээс бид зүүн талын хуваагч дахь илэрхийлэл нь баруун талаас нь тэнцүү байх ёстой гэж дүгнэж болно, өөрөөр хэлбэл, . Одоо бид гурвын хоёр хэсгээс хасна: . Аналогоор, хаанаас, цаашлаад.

Шалгалтаас харахад олдсон язгуур хоёулаа анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт:

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 14 цагаас 1-р хэсэг. Боловсролын байгууллагын оюутнуудад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебр: 9-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Хичээлийн зорилго:

Заавар:

• бутархай рационал тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг бий болгох;
• бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг авч үзэх;
• бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм, түүний дотор бутархай нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлийг авч үзэх;
• бутархай рационал тэгшитгэлийн шийдлийг алгоритмын дагуу заах;
• туршилтын ажил хийх замаар тухайн сэдвийг эзэмшсэн түвшинг шалгах.

Хөгжиж байна:

• олж авсан мэдлэгээрээ зөв ажиллах, логикоор сэтгэх чадварыг хөгжүүлэх;
• оюуны чадварыг хөгжүүлэх ба сэтгэцийн үйл ажиллагаа- дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, харьцуулах, нэгтгэх;
• санаачлагыг хөгжүүлэх, шийдвэр гаргах чадвар, тэнд зогсохгүй байх;
• хөгжил шүүмжлэлтэй сэтгэлгээ;
• судалгааны ур чадварыг хөгжүүлэх.

Хүмүүжүүлэх:

• хүмүүжил танин мэдэхүйн сонирхолсэдэв рүү;
• боловсролын асуудлыг шийдвэрлэхэд бие даасан байдлын боловсрол;
• эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, тууштай байдлын боловсрол.

Хичээлийн төрөл: хичээл - шинэ материалын тайлбар.

Хичээлийн үеэр

1. Зохион байгуулалтын мөч.

Сайн уу залуусаа! Тэгшитгэлийг самбар дээр бичсэн байгаа тул анхааралтай ажиглаарай. Та эдгээр бүх тэгшитгэлийг шийдэж чадах уу? Аль нь биш, яагаад?

Зүүн ба баруун тал нь бутархай рационал илэрхийлэл байх тэгшитгэлийг бутархай рационал тэгшитгэл гэнэ. Өнөөдөр бид хичээл дээр юу судална гэж бодож байна вэ? Хичээлийн сэдвийг томъёол. Тиймээс бид дэвтэр нээж, "Бутархай рационал тэгшитгэлийн шийдэл" хичээлийн сэдвийг бичнэ.

2. Мэдлэгийг бодит болгох. Урд талын судалгаа, ангитай аман ажил.

Одоо бид судлах шаардлагатай гол онолын материалыг давтах болно шинэ сэдэв. Дараах асуултуудад хариулна уу.

1. Тэгшитгэл гэж юу вэ? ( Хувьсагч эсвэл хувьсагчтай тэгш байдал.)
2. №1 тэгшитгэлийг юу гэж нэрлэдэг вэ? ( Шугаман.) Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. ( Үл мэдэгдэх бүх зүйлийг тэгшитгэлийн зүүн тал руу, бүх тоог баруун тийш шилжүүл. Ижил нөхцөлийг авчир. Үл мэдэгдэх үржүүлэгчийг ол).
3. 3-р тэгшитгэлийг юу гэж нэрлэдэг вэ? ( Дөрвөлжин.) Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. ( Вьета теорем ба түүний үр дагаврыг ашиглан бүтэн квадратыг томьёогоор сонгох.)
4. Пропорц гэж юу вэ? ( Хоёр харилцааны тэгш байдал.) Пропорцын үндсэн шинж чанар. ( Хэрэв пропорц нь үнэн бол түүний туйлын нөхцлийн үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.)
5. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ямар шинж чанаруудыг ашигладаг вэ? ( 1. Хэрэв тэгшитгэлд бид тэмдгийг нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилвөл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна. 2. Тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг ижил тэг биш тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна..)
6. Хэзээ бутархай нь тэгтэй тэнцүү вэ? ( Тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш байх үед бутархай нь тэг болно.)

3. Шинэ материалын тайлбар.

2-р тэгшитгэлийг дэвтэр болон самбар дээр шийд.

Хариулт: 10.

Пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглан ямар бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэж чадах вэ? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

4-р тэгшитгэлийг дэвтэр болон самбар дээр гарга.

Хариулт: 1,5.

Та тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваагчаар үржүүлээд ямар бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэж болох вэ? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Хариулт: 3;4.

Одоо 7-р тэгшитгэлийг аль нэг аргаар шийдэж үзээрэй.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Хариулт: 0;5;-2.			Хариулт: 5;-2.

Яагаад ийм зүйл болсныг тайлбарлана уу? Яагаад нэг тохиолдолд гурван үндэс, нөгөө тохиолдолд хоёр үндэс байдаг вэ? Энэ бутархай рационал тэгшитгэлийн үндэс нь ямар тоо вэ?

Өнөөг хүртэл оюутнууд гадны үндэс гэсэн ойлголттой танилцаагүй байгаа тул яагаад ийм зүйл болсныг ойлгоход үнэхээр хэцүү байна. Хэрэв ангид хэн ч энэ нөхцөл байдлын талаар тодорхой тайлбар өгч чадахгүй бол багш тэргүүлэх асуултуудыг асууна.

• 2 ба 4-р тэгшитгэл нь 5,6,7-р тэгшитгэлээс юугаараа ялгаатай вэ? ( 2 ба 4-р тэгшитгэлд тооны хуваагч, №5-7 - хувьсагчтай илэрхийллүүд..)
• Тэгшитгэлийн үндэс нь юу вэ? ( Тэгшитгэл жинхэнэ тэгшитгэл болох хувьсагчийн утга.)
• Тоо нь тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг яаж мэдэх вэ? ( Чек хийх.)

Тест хийхдээ зарим оюутнууд тэгээр хуваах ёстойг анзаардаг. Тэд 0 ба 5 тоонууд нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш гэж дүгнэжээ. Асуулт гарч ирнэ: бутархай рационал тэгшитгэлийг арилгах арга бий юу? алдаа өгсөн? Тиймээ, энэ арга нь бутархай нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөл дээр суурилдаг.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Хэрэв x=5 бол x(x-5)=0 бол 5 нь гадны язгуур болно.

Хэрэв x=-2 бол x(x-5)≠0.

Хариулт: -2.

Ингэж бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг томъёолохыг хичээцгээе. Хүүхдүүд өөрсдөө алгоритмыг боловсруулдаг.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм:

1. Бүгдийг зүүн тийш шилжүүл.
2. Бутархайг нийтлэг хуваагч руу ав.
3. Системийг бүрдүүлэх: тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш байх үед бутархай нь тэг болно.
4. Тэгшитгэлийг шийд.
5. Гадны үндэсийг оруулахгүйн тулд тэгш бус байдлыг шалгана уу.
6. Хариултаа бичнэ үү.

Хэлэлцүүлэг: пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, тэгшитгэлийн хоёр талыг нийтлэг хуваагчаар үржүүлбэл шийдлийг хэрхэн албан ёсны болгох вэ. (Шийдвэрийг нэмэх: нийтлэг хуваагчийг тэг болгон хувиргах үндсийг нь хасах).

4. Шинэ материалын анхан шатны ойлголт.

Хоёр хоёроороо ажиллах; хосоор ажиллах. Оюутнууд тэгшитгэлийн төрлөөс хамааран тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг өөрсдөө сонгодог. "Алгебр 8" сурах бичгийн даалгавар, Ю.Н. Макарычев, 2007: No 600 (b, c, i); № 601(a, e, g). Багш нь даалгаврын гүйцэтгэлийг хянаж, үүссэн асуултуудад хариулж, муу суралцагчдад тусламж үзүүлдэг. Өөрийгөө шалгах: Хариултуудыг самбар дээр бичнэ.

б) 2 нь гадны үндэс юм. Хариулт: 3.

в) 2 нь гадны үндэс юм. Хариулт: 1.5.

a) Хариулт: -12.5.

g) Хариулт: 1; 1.5.

5. Гэрийн даалгаврын мэдэгдэл.

1. Сурах бичгийн 25-р зүйлийг уншиж, жишээ 1-3-т дүн шинжилгээ хий.
2. Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмд суралцах.
3. 600 тоот дэвтэрт (а, г, д) шийдвэрлэх; № 601 (г, h).
4. №696(a) (заавал биш)-ийг шийдэхийг хичээ.

6. Судалсан сэдвээр хяналтын даалгаврын биелэлт.

Ажил нь хуудсан дээр хийгддэг.

Ажлын жишээ:

A) Аль тэгшитгэл нь бутархай рациональ вэ?

B) Тоологч нь ______________________, хуваагч нь _______________________ байвал бутархай нь тэг болно.

А) -3 тоо нь 6-р тэгшитгэлийн үндэс мөн үү?

D) 7-р тэгшитгэлийг шийд.

Даалгаврын үнэлгээний шалгуурууд:

• Оюутан даалгаврын 90-ээс дээш хувийг зөв гүйцэтгэсэн тохиолдолд "5" оноо өгнө.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• Даалгаврын 50% -иас бага гүйцэтгэсэн оюутанд "2" өгнө.
• 2-р ангийг дэвтэрт оруулдаггүй, 3-ыг сонгох боломжтой.

7. Тусгал.

Бие даасан ажилтай ухуулах хуудас дээр дараахь зүйлийг бичнэ үү.

• 1 - хэрэв хичээл танд сонирхолтой, ойлгомжтой байсан бол;
• 2 - сонирхолтой, гэхдээ тодорхой бус;
• 3 - сонирхолтой биш, гэхдээ ойлгомжтой;
• 4 - сонирхолтой биш, тодорхойгүй.

8. Хичээлийг дүгнэх.

Тиймээс өнөөдөр хичээлээр бид бутархай рационал тэгшитгэлтэй танилцаж, эдгээр тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдсэн. янз бүрийн арга замууд, сургалтын тусламжтайгаар мэдлэгээ сорьсон бие даасан ажил. Та дараагийн хичээл дээр бие даасан ажлын үр дүнг сурах болно, гэртээ олж авсан мэдлэгээ нэгтгэх боломжтой болно.

Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх ямар арга нь таны бодлоор илүү хялбар, илүү хүртээмжтэй, илүү оновчтой вэ? Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх аргаас үл хамааран юуг мартаж болохгүй вэ? Бутархай рационал тэгшитгэлийн "заль" нь юу вэ?

Бүгдэд нь баярлалаа, хичээл дууслаа.

Бутархайтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхжишээнүүдийг харцгаая. Жишээ нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та хамгийн ойлгомжтой байдлаар ойлгож чадна.
Жишээлбэл, та энгийн x/b + c = d тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Ийм төрлийн тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг, учир нь хуваагч нь зөвхөн тоонуудыг агуулна.

Уг шийдлийг тэгшитгэлийн хоёр талыг b-ээр үржүүлэх замаар гүйцэтгэнэ, дараа нь тэгшитгэл нь x = b*(d – c) хэлбэрийг авна, i.e. зүүн талд байгаа бутархайн хуваагч багасна.

Жишээлбэл, бутархай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ:
x/5+4=9
Бид хоёр хэсгийг 5-аар үржүүлнэ. Бид дараахь зүйлийг авна.
x+20=45
x=45-20=25

Үл мэдэгдэх нь хуваарьт байгаа өөр нэг жишээ:

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг бутархай рационал эсвэл зүгээр л бутархай гэж нэрлэдэг.

Бид бутархайн тэгшитгэлийг бутархай хэсгүүдээс салгах замаар шийддэг бөгөөд үүний дараа энэ тэгшитгэл нь ихэвчлэн шугаман эсвэл квадрат болж хувирдаг бөгөөд үүнийг ердийн аргаар шийддэг. Та зөвхөн дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

• хуваагчийг 0 болгож хувиргах хувьсагчийн утга язгуур байж болохгүй;
• тэгшитгэлийг =0 илэрхийллээр хувааж эсвэл үржүүлэх боломжгүй.

Зөвшөөрөгдсөн утгын талбай (ODZ) гэх мэт ойлголт энд хүчин төгөлдөр болж байна - эдгээр нь тэгшитгэлийн утга учиртай тэгшитгэлийн язгууруудын утгууд юм.

Тиймээс тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үндсийг нь олж, дараа нь ODZ-тай нийцэж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай. Манай DHS-д тохирохгүй эдгээр үндэс нь хариултаас хасагдсан болно.

Жишээлбэл, та бутархай тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Дээрх дүрэмд үндэслэн x нь = 0 байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл. ODZ in Энэ тохиолдолд: x - тэгээс бусад бүх утга.

Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг х-ээр үржүүлснээр бид хуваагчаас сална

Мөн ердийн тэгшитгэлийг шийд

5х - 2х = 1
3х=1
x = 1/3

Хариулт: x = 1/3

Илүү төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдье:

ODZ энд бас байна: x -2.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид бүгдийг нэг чиглэлд шилжүүлж, бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрахгүй. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг нэн даруй бүх хуваагчдыг нэг дор багасгах илэрхийллээр үржүүлнэ.

Хусагчийг багасгахын тулд та зүүн талыг x + 2, баруун талыг 2-оор үржүүлэх хэрэгтэй. Тэгэхээр тэгшитгэлийн хоёр талыг 2 (x + 2) -аар үржүүлэх шаардлагатай:

Яг энэ энгийн үржүүлэхБид дээр дурдсан фракцууд

Бид ижил тэгшитгэлийг бичдэг, гэхдээ арай өөр аргаар.

Зүүн тал нь (x + 2), баруун тал нь 2-оор багассан. Буурсны дараа бид ердийн шугаман тэгшитгэлийг авна.

x \u003d 4 - 2 \u003d 2 нь манай ODZ-тай тохирч байна.

Хариулт: x = 2.

Бутархайтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхсанагдах шиг хэцүү биш. Энэ нийтлэлд бид үүнийг жишээгээр харуулав. Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал Бутархайтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх, дараа нь сэтгэгдэл дээр бүртгэлээ цуцална уу.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Та сайт дээр өргөдөл гаргахад бид цуглуулж магадгүй янз бүрийн мэдээлэлтаны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлтантай холбоо барьж, танд мэдэгдэх боломжийг бидэнд олгоно өвөрмөц саналууд, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээ.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтэд ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой. чухал тохиолдлууд.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.