Шугаман алгебр тэгшитгэлийн систем шийдвэрлэх арга, жишээ. §5 n үл мэдэгдэхээс n тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Энэхүү математикийн программын тусламжтайгаар та хоёрын системийг шийдэж чадна шугаман тэгшитгэлхоёртой хувьсах аргаом орлуулах ба нэмэх арга.

Хөтөлбөр нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна удирдан чиглүүлдэг нарийвчилсан шийдэлОрлуулах арга ба нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар шийдлийн алхамуудын тайлбартай.

Энэ програмахлах ангийн сурагчдад бэлтгэхэд хэрэг болно хяналтын ажилболон шалгалт, шалгалтын өмнө мэдлэг шалгах үед эцэг эхчүүд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан дуусгахыг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварматематик эсвэл алгебр? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрөө болон/эсвэл дүү нарынхаа сургалтыг явуулах боломжтой болохын зэрэгцээ шийдвэрлэх ёстой ажлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) гэх мэт.

Тэгшитгэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно. Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай.
Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2

Тэгшитгэлд та бүхэл тоо төдийгүй бас ашиглаж болно бутархай тооаравтын бутархай ба энгийн бутархай.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Бүхэл ба бутархай хэсэг аравтын бутархайцэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.
Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.
Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл тоо нь бутархай хэсгээс тэмдэгт тэмдэгээр тусгаарлагдана: &

Жишээ.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс их байна, таны хүсэлт дараалалд орчихлоо.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга

Шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;
2) гарсан илэрхийллийг системийн өөр тэгшитгэлд энэ хувьсагчийн оронд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлээс y-ээс x хүртэл илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараах системийг авна.
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$

y=7-3x тэгшитгэлд х-ийн оронд 1-ийн тоог орлуулснаар y-ийн харгалзах утгыг олно.
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчийн тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр аргыг авч үзье - нэмэх арга. Системийг ийм байдлаар шийдвэрлэх, мөн орлуулах аргаар шийдвэрлэх үед бид өгөгдсөн системээс үүнтэй тэнцэх өөр систем рүү шилждэг бөгөөд тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай байдаг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томьёоны тэгшитгэлийг нэр томъёогоор үржүүлж, аль нэг хувьсагчийн коэффициентүүд нь эсрэг тоо болохын тулд хүчин зүйлийг сонгох;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг гишүүнээр нэмбэл 3х=33 гэсэн нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольъё. Системээ авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38 \) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38 \). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олсон: \(x=11; y=-9 \) эсвэл \((11; -9) \)

Системийн тэгшитгэл дэх y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон (эх симмемийн тэгшитгэл бүрийн хоёр хэсгийг нэгтгэн) багасгасан. тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй ба OGE тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Функцийн график байгуулах Орос хэлний залуучуудын хэл ярианы зөв бичгийн толь бичиг Орос сургуулиудын лавлах Орос дахь ерөнхий боловсролын сургуулиудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталоги Даалгавруудын жагсаалт

Хүлээн авсан тэгшитгэлийн системүүд өргөн хэрэглэээдийн засгийн салбарт математик загварчлал янз бүрийн процессууд. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикийн салбарт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. нийтлэг шийдвэр. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. X, y тэмдэглэгээ нь тодорхойгүй, утгыг нь олох ёстой, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг графикийг нь зурах замаар шийдэх нь бүх цэг нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн нь X ба Y хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээнүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийд - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болох ийм утгуудыг (x, y) олох, эсвэл x ба y-ийн тохирох утга байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв "тэнцүү" тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь нэгэн төрлийн биш юм.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарсан сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй, тэдгээрийн тоо дур зоргоороо олон байж болно.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдэх ерөнхий аналитик арга байхгүй, бүх аргууд дээр суурилдаг тоон шийдлүүд. Сургуулийн математикийн хичээл нь орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах, график болон график гэх мэт аргуудыг дэлгэрэнгүй тайлбарладаг. матрицын арга, Гауссын аргаар уусмал.

Шийдвэрлэх аргыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм журам, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг хэрэглэх зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Хөтөлбөрийн 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх дунд сургуульмаш энгийн бөгөөд дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Математикийн аливаа сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргаар шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээнүүдийн шийдлийг дээд боловсролын байгууллагуудын эхний курсуудад илүү нарийвчлан судалж үздэг.

Орлуулах аргаар системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсах замаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсах хэлбэр болгон бууруулна. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргаар 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь X-ийн оронд системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээний шийдэл нь хүндрэл учруулахгүй бөгөөд Y утгыг авах боломжийг танд олгоно. Сүүлийн алхамЭнэ нь хүлээн авсан утгыг шалгах тест юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь нарийн төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх утгаараа илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байгаа тохиолдолд орлуулах шийдэл нь бас боломжгүй юм.

Шугаман системийн жишээний шийдэл нэгэн төрлийн тэгшитгэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Системийн шийдлийг нэмэх аргаар хайхдаа томъёог нөхөх, үржүүлэх янз бүрийн тоо. эцсийн зорилго математик үйлдлүүднь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Хэрэглээний хувьд энэ аргаЭнэ нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. 3 ба түүнээс дээш тооны хувьсагчтай нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэлд бутархай болон аравтын бутархай тоо орсон тохиолдолд алгебрийн нэмэх хэрэгтэй.

Шийдлийн үйлдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүл. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийллийн гишүүнийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулж, үлдсэн хувьсагчийг ол.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олох шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж болно, үл мэдэгдэх тоо нь хоёроос илүүгүй байх ёстой.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Оруулсан үл мэдэгдэх зүйлтэй холбоотойгоор шинэ тэгшитгэлийг шийдэж, гарсан утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

t шинэ хувьсагчийг оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгож бууруулах боломжтой байсныг жишээнээс харж болно. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Энэ нь ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай сайн мэддэг томъёо: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c олон гишүүнтийн үржүүлэгч юм. AT per энэ жишээ a=1, b=16, c=39, иймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч тэгээс бага бол зөвхөн нэг шийдэл байна: x= -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлтэй системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг зурахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэг байгуулж, x хувьсагчийн утгуудыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээг олох хэрэгтэй график шийдэлшугаман тэгшитгэлийн систем: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг хэлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг тул график байгуулах шаардлагатай байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Хүснэгтийг матриц гэж нэрлэдэг. онцгой төрөлтоогоор дүүргэсэн. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед матриц нь квадрат юм. Матриц - вектор нь хязгааргүй нэг баганын матриц юм боломжит тоошугамууд. Диагональ ба бусад тэг элементийн дагуух нэгж бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь ийм матриц бөгөөд анхных нь нэгж болж хувирах үед ийм матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц болгон хувиргах дүрэм

Тэгшитгэлийн системийн хувьд коэффициент ба тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүдийг матрицын тоогоор бичдэг бөгөөд нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ юм.

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент нь тэгтэй тэнцүү биш байвал матрицын мөрийг тэг биш гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх y-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг дараалан тоогоор үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Томъёо олох урвуу матрицмаш энгийн: K -1 = 1 / |K|, энд K -1 нь урвуу матриц ба |K| - матриц тодорхойлогч. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог тул элементүүдийг бие биенээсээ диагональаар үржүүлэхэд л хангалттай. "Гурав гурваар" гэсэн сонголтын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c гэсэн томъёо байна. 3 + a 3 b 2 c 1 . Та томъёог ашиглаж болно, эсвэл элементийн багана, мөрийн дугаарууд бүтээгдэхүүнд давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг матрицын аргаар шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэх үед төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор х n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргаар системийн шийдэл

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдвэрлэх арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олоход ашигладаг системийн хувьсагчмаш олон шугаман тэгшитгэлтэй.

Гауссын арга нь орлуулах болон алгебрийн нэмэх шийдэлтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапецын хэлбэрт оруулах явдал юм. Алгебрийн хувиргалт ба орлуулалтаар нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх, 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай илэрхийлэл юм.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

Сургуулийн 7-р ангийн сурах бичигт Гауссын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг авсан. Аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг танд олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын арга нь дунд ангийн сурагчдад ойлгоход хэцүү боловч хамгийн түгээмэл аргуудын нэг юм сонирхолтой арга замуудхөтөлбөрт хамрагдсан хүүхдүүдийн авъяас чадварыг хөгжүүлэх гүнзгийрүүлсэн судалгааматематик, физикийн ангиудад.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд дараахь зүйлийг хийх нь заншилтай байдаг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичдэг бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ром тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог илэрхийлдэг.

Эхлээд тэд ажиллах матрицыг бичиж, дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлүүдийг бичнэ. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үүний үр дүнд диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэг хэлбэр болгон бууруулсан матрицыг авах ёстой. Бид тэгшитгэлийн хоёр талын тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэ тэмдэглэгээ нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй хэрэглэх нь анхаарал халамж, тодорхой хэмжээний туршлага шаарддаг. Бүх аргыг хэрэглэдэггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь суралцах зорилгоор байдаг.

• Системүүд мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
  Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхийм тооны багц юм ( x 1 , x 2 , …, x n), системийн тэгшитгэл тус бүрд алийг нь орлуулах нь зөв тэгшитгэлийг олж авна.
  хаана a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, nсистемийн коэффициентүүд;
  b i , i = 1, …, m- чөлөөт гишүүд;
  x j , j = 1, …, n- үл мэдэгдэх.
  Дээрх системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно: A X = B,
  
  
  
  
  хаана ( А|Б) нь системийн үндсэн матриц;
  А- системийн өргөтгөсөн матриц;
  X- үл мэдэгдэх багана;
  Бчөлөөт гишүүдийн багана юм.
  Хэрэв матриц Бтэг матриц ∅ биш бол энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг.
  Хэрэв матриц Б= ∅ бол энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Нэг төрлийн системд үргэлж тэг (жижиг) шийдэл байдаг: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системшийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
  Шугаман тэгшитгэлийн үл нийцэх системшийдэлгүй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
  Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой системөвөрмөц шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
  Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой бус системнь хязгааргүй олон шийдтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
• n үл мэдэгдэх n шугаман тэгшитгэлийн системүүд
  Хэрэв үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү бол матриц нь квадрат болно. Матрицын тодорхойлогчийг шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн тодорхойлогч гэж нэрлэх ба Δ тэмдгээр тэмдэглэнэ.
  Крамер аргасистемийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
  Крамерын дүрэм.
  Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн системийн гол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол систем нь тууштай, тодорхойлогддог бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын томъёогоор тооцоолно.
  Энд Δ i нь системийн үндсэн тодорхойлогчоос Δ солих замаар олж авсан тодорхойлогч юм. би th баганаас чөлөөт гишүүдийн баганад. .
• n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системүүд
  Кронекер-Каппелли теорем.
  
  
  Энэхүү шугаман тэгшитгэлийн систем тогтвортой байхын тулд системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. зэрэглэл(Α) = зэрэглэл(Α|В).
  Хэрвээ дуугарав(Α) ≠ дуугарав(Α|B), тэгвэл системд шийдэл байхгүй нь ойлгомжтой.
  Хэрэв зэрэглэл(Α) = зэрэглэл(Α|В), дараа нь хоёр тохиолдол боломжтой:
  1) rang(Α) = n(үл мэдэгдэх тоогоор) - шийдэл нь өвөрмөц бөгөөд Крамерын томъёогоор олж авах боломжтой;
  2) зэрэглэл(Α)< n - Хязгааргүй олон шийдэл байдаг.
• Гауссын аргашугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан
  
  
  Өргөтгөсөн матрицыг зохиоё ( А|Б) тодорхойгүй ба баруун талд байгаа коэффициентүүдийн өгөгдсөн системийн.
  Гауссын арга буюу үл мэдэгдэхийг арилгах арга нь нэмэгдүүлсэн матрицыг багасгахад оршино. А|Б) эгнээний дээгүүр диагональ хэлбэрт (дээд гурвалжин хэлбэрт) энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар. Тэгшитгэлийн систем рүү буцаж ирэхэд бүх үл мэдэгдэх зүйл тодорхойлогддог.
  Мөр дээрх анхан шатны хувиргалтуудад дараахь зүйлс орно.
  1) хоёр мөрийг солих;
  2) мөрийг 0-ээс өөр тоогоор үржүүлэх;
  3) дурын тоогоор үржүүлсэн өөр мөрийг мөрөнд нэмэх;
  4) хоосон мөрийг хаях.
  Диагональ хэлбэрт буулгасан өргөтгөсөн матриц тохирно шугаман систем, өгөгдсөнтэй тэнцэх, шийдэл нь хүндрэл учруулахгүй. .
• Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем.
  Нэг төрлийн систем нь дараахь хэлбэртэй байна.
  
  энэ нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна A X = 0.
  1) Нэг төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг, учир нь r(A) = r(A|B), үргэлж тэг шийдэл байдаг (0, 0, …, 0).
  2) Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм r = r(A)< n Δ = 0-тэй тэнцүү байна.
  3) Хэрэв r< n , дараа нь Δ = 0, тэгвэл чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлүүд байна c 1 , c 2 , …, c n-r, системд байна энгийн бус шийдлүүд, мөн тэдгээр нь хязгааргүй олон байдаг.
  4) Ерөнхий шийдэл Xцагт r< n матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  шийдэл хаана байна X 1 , X 2 , …, X n-rшийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.
  5) Үндсэн системерөнхий шийдлээс шийдлийг авч болно нэгэн төрлийн систем:
  
  ,
  Хэрэв бид параметрүүдийн утгыг дарааллаар нь (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) гэж үзвэл.
  Уусмалын үндсэн системийн хувьд ерөнхий шийдлийн задралүндсэн системд хамаарах шийдлүүдийн шугаман хослол хэлбэрээр ерөнхий шийдлийн бүртгэл юм.
  Теорем. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд Δ ≠ 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
  Тэгэхээр тодорхойлогч нь Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
  Хэрэв Δ ≠ 0 бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна.
  Теорем. Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм r(A)< n .
  Баталгаа:
  1) rилүү байж болохгүй n(матрицын зэрэглэл нь багана, мөрийн тооноос хэтрэхгүй);
  2) r< n , учир нь хэрэв r=n, дараа нь системийн гол тодорхойлогч Δ ≠ 0 байх ба Крамерын томъёоны дагуу өвөрмөц өчүүхэн шийдэл байна. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. гэсэн үг, r(A)< n .
  Үр дагавар. Нэг төрлийн системийг бий болгохын тулд nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь тэгээс өөр шийдэлтэй тул Δ = 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Шугаман системийн шийдэл алгебрийн тэгшитгэл(SLAE) бол шугаман алгебрийн хичээлийн хамгийн чухал сэдэв нь гарцаагүй. Математикийн бүх салбараас асар олон тооны асуудлыг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд багасгасан. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийг бий болгох шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно

• шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх оновчтой аргыг сонгох;
• сонгосон аргын онолыг судлах,
• ердийн жишээ, асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзсэний үндсэн дээр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй.

Өгүүллийн материалын товч тайлбар.

Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай бүх тодорхойлолт, ойлголтыг өгч, зарим тэмдэглэгээг нэвтрүүлдэг.

Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх аргуудыг авч үзье. Нэгдүгээрт, Крамерын аргад анхаарлаа хандуулъя, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжинэ ерөнхий үзэл, тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой давхцахгүй эсвэл системийн үндсэн матриц доройтсон байна. Бид Kronecker-Capelli теоремыг томъёолдог бөгөөд энэ нь SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог. Системийн шийдлийг (тэдгээрийн нийцтэй байдлын хувьд) концепцийг ашиглан дүн шинжилгээ хийцгээе үндсэн багаматрицууд. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн бүтцэд анхаарлаа хандуулахаа мартуузай. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан SLAE-ийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичихийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулсан тэгшитгэлийн системүүд, түүнчлэн шийдвэрлэхэд нь SLAE үүсдэг янз бүрийн асуудлуудыг авч үздэг.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.

Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Үл мэдэгдэх хувьсагч, - коэффициент (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт гишүүд (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE-ийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

AT матриц хэлбэрЭнэ тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын матриц-багана, - чөлөөт гишүүдийн матриц-багана.

Хэрэв бид А матрицад (n + 1)-р баганад чөлөөт нэр томъёоны матриц баганыг нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. Өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн нэмэгдүүлсэн матрицыг T үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт гишүүдийн баганыг бусад баганаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл,

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаарсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Матрицын тэгшитгэлҮл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын хувьд мөн адил таних тэмдэг болж хувирдаг.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол түүнийг дуудна нийцэхгүй.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - гетероген.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийн шийдэл.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол бид ийм SLAE гэж нэрлэнэ. анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ба нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бид ийм SLAE-г судалж эхэлсэн ахлах сургууль. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэл авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь дараагийн тэгшитгэлийг авч, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй

тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч юм 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад:

Ийм тэмдэглэгээгээр үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёогоор тооцоолно . Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг Крамерын аргаар ингэж олдог.

Жишээ.

Крамер арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна . Түүний тодорхойлогчийг тооцоол (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоол (тодорхойлогчийг А матрицын эхний баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар, тодорхойлогчийг - хоёрдугаар баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор, - А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор тодорхойлогчийг авна. ):

Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) системийн тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

, тэгвэл А матриц урвуу, өөрөөр хэлбэл урвуу матриц байна. Хэрэв бид тэгш байдлын хоёр хэсгийг зүүн талд үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матрицыг олох томьёо гарна. Тиймээс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг матрицын аргаар олж авсан.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

дараа нь SLAE-ийг матрицын аргаар шийдэж болно. Урвуу матрицыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно .

-аас матрицыг ашиглан урвуу матрицыг байгуулъя алгебрийн нэмэлтүүдА матрицын элементүүд (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчийн матрицыг тооцоолоход л үлддэг чөлөөт гишүүдийн матриц багана дээр (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргаар шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох гол асуудал бол урвуу матрицыг олоход төвөгтэй байдаг, ялангуяа квадрат матрицуудгурав дахь хэмжээнээс өндөр захиалга.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх.

Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан хасахаас бүрдэнэ: нэгдүгээрт, x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасна, зөвхөн үл мэдэгдэх хувьсагч хүртэл. Сүүлийн тэгшитгэлд x n хэвээр байна. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах ийм үйл явц гэж нэрлэгддэг. шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш гүйлт дууссаны дараа хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс х n, энэ утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс х n-1, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. урвуу Гауссын арга.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Бид үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгээс нь хасдаг. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэл дээр эхний үржүүлсэн тэгшитгэлийг нэмэх, гурав дахь тэгшитгэл дээр эхний үржвэрийг нэмэх гэх мэт эхний үржвэрийг n-р тэгшитгэлд нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийлэлийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулбал ижил үр дүнд хүрнэ. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй үйлдэл хийдэг, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үүссэн системийн нэг хэсэгтэй л ажиллана

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмэх, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмэх гэх мэт хоёр дахь үржвэрийг n-р тэгшитгэлд нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй ажиллахын зэрэгцээ үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд чиглэлийг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу чиглэлийг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, олж авсан x n утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхнийхээс x 1-ийг олно. тэгшитгэл.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч х 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тусад нь үржүүлж нэмнэ.

Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг хасч, түүний зүүн ба баруун хэсэгт хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлэв.

Үүн дээр Гауссын аргын урагшлах курс дуусч, бид урвуу чиглэлийг эхлүүлнэ.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.

Эхний тэгшитгэлээс бид үл мэдэгдэх хувьсагчийг олох бөгөөд энэ нь Гауссын аргын урвуу чиглэлийг гүйцээнэ.

Хариулт:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

AT ерөнхий тохиолдолСистемийн тэгшитгэлийн тоо p нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой таарахгүй байна:

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь квадрат ба доройтсон тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. Хэзээ SLAE нийцэж байна, хэзээ таарахгүй байна гэсэн асуултын хариултыг өгнө Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай, өөрөөр хэлбэл, Rank( A)=Зэрэглэл(T) .

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлох Кронекер-Каппелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд шийдлүүд.

Шийдэл.

. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг хэрэглэцгээе. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай. Үүнийг тойрсон гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн талаар ярилцъя:

Бүх хил залгаа гуравдагч зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёр байна.

Хариуд нь нэмэгдүүлсэн матрицын зэрэглэл гурав дахь эрэмбийн бага учраас гуравтай тэнцүү байна

тэгээс ялгаатай.

Энэ замаар, Rang(A) тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Шийдвэрлэх систем алга.

Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.

Гэхдээ нийцтэй байдал нь тогтоогдсон тохиолдолд SLAE-ийн шийдлийг хэрхэн олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн теорем хэрэгтэй.

Бага хамгийн дээд тушаалТэг биш А матрицыг дуудна үндсэн.

Минорын суурь тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн үндсэн минор байж болно; үргэлж нэг үндсэн минор байдаг.

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүд нь эхний болон хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.

Хоёрдахь зэрэглэлийн дараах насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэгээс ялгаатай тул үндсэн юм

Насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r бол сонгосон минорыг үүсгэдэггүй матрицын мөрийн (ба баганын) бүх элементүүдийг мөрийн (ба баганын) харгалзах элементүүдээр шугаман байдлаар илэрхийлнэ. ) энэ нь минорын суурийг бүрдүүлдэг.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу өгдөг вэ?

Хэрэв Кронекер-Капелли теоремоор бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч үндсэн минорыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, системээс хамааралгүй бүх тэгшитгэлийг хасна. сонгосон үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг бүрдүүлнэ. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн хэт их тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.

Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.

Жишээ.

.

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл хоёр дахь эрэмбийн минор учраас хоёртой тэнцүү байна тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь эрэмбийн цорын ганц минор нь тэгтэй тэнцүү тул хоёртой тэнцүү байна

мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Kronecker-Capelli теорем дээр үндэслэн Rank(A)=Rank(T)=2 байх тул шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж болно.

Бага үндэс болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг.


Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн минорыг үүсгэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн үүнийг системээс хасна.


Тиймээс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн энгийн системийг олж авлаа. Үүнийг Крамерын аргаар шийдье.


Хариулт:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Хэрэв үүссэн SLAE дахь тэгшитгэлийн тоо r бол тооноос багаүл мэдэгдэх хувьсагч n, дараа нь тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн минорыг бүрдүүлж буй гишүүдийг үлдээж, үлдсэн гишүүдийг эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r байгаа) гэж нэрлэдэг. гол.

Баруун талд төгссөн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн n - r байдаг) гэж нэрлэдэг. үнэгүй.

Одоо бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчид дурын утгыг авч болно гэж таамаглаж байна, харин r үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагч нь чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдаас өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно. Тэдний илэрхийлэл нь үүссэн SLAE-ийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар шийдвэрлэх замаар олж болно.

Нэг жишээ татъя.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг ол хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн аргаар. 1 1 = 1-ийг тэг биш эхний эрэмбийн минор гэж авцгаая. Энэ насанд хүрээгүй хүүхдийг тойрсон тэгээс өөр хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүнийг хайж эхэлцгээе.


Тиймээс бид 2-р зэрэглэлийн 0 биш минорыг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хил хязгаарыг хайж эхэлцгээе.


Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.

Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс багагүй олдсон минорыг үндсэн гэж авна.

Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав.


Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн минорд оролцож буй нэр томъёог үлдээж, үлдсэнийг нь эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлнэ.


Бид x 2 ба x 5 үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дурын утгыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл бид авдаг , дурын тоо хаана байна. Энэ тохиолдолд SLAE хэлбэрийг авна


Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн олж авсан энгийн системийг Крамерын аргаар шийддэг.


Улмаар, .

Хариултанд үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Хариулт:

Дурын тоонууд хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг олж мэднэ. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид үндсэн минорыг сонгож, сонгосон үндсэн минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олж болно.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг онооно. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олдог.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Гауссын аргыг ашиглан ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг тэдгээрийн нийцтэй байдлын урьдчилсан судалгаагүйгээр шийдэж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.

Тооцооллын ажлын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Энийг үз Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтНийтлэг хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын тухай өгүүлэл дэх жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн.

Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бүртгэх.

Энэ хэсэгт бид хязгааргүй олон шийдтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлүүдийн нэг төрлийн ба нэг төрлийн бус системд анхаарлаа хандуулах болно.

Эхлээд нэгэн төрлийн системүүдийг авч үзье.

Шийдвэр гаргах үндсэн системҮл мэдэгдэх n хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн шугаман бие даасан шийдлүүдийн багц (n – r) бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.

Хэрэв бид нэгэн төрлийн SLAE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) гэж нэрлэвэл n хэмжээсийн матрицын баганууд болно. 1-ээр) , дараа нь энэхүү нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийг дурын шийдлүүдийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлнэ. тогтмол коэффициентүүдС 1 , С 2 , …, С (n-r) , өөрөөр хэлбэл, .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?

Утга нь энгийн: томъёо нь бүх зүйлийг тогтоодог боломжит шийдлүүданхны SLAE, өөрөөр хэлбэл дурын тогтмолуудын С 1 , С 2 , …, С (n-r) утгуудын багцыг авч томъёоны дагуу бид анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг авна.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тохируулж болно.

Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан бүх гишүүнийг эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 1,0,0,…,0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх утгыг тооцоолж, шугаман тэгшитгэлийн үндсэн системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргаар шийдэж үзье. Тиймээс үндсэн системийн анхны шийдэл болох X (1) -ийг олж авна. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0,0,…,0,1 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) болно. Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг ингэж байгуулж, түүний ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн хувьд ерөнхий шийдийг дараах байдлаар илэрхийлнэ

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Гол матрицын зэрэглэлийг насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хүрээний аргаар олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгээс өөр минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын a 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг ол:

Хоёр дахь эрэмбийн минор буюу тэгээс ялгаатай нь олддог. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь хоёр байна. Бага насны үндсэн хичээлийг авч үзье. Тодорхой болгохын тулд бид үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэв.

Анхны SLAE-ийн гуравдахь тэгшитгэл нь үндсэн минорыг үүсгэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нөхцлүүдийг үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун гар талд шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Энэхүү SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн систем нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний үндсэн минорын дараалал нь хоёр байдаг. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 утгыг өгч, тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.

Хичээлийн агуулга

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл

Оюутан сургуульд үдийн хоол идэхэд 200 рубльтэй. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. 200 рублиэр хэдэн бялуу, аяга кофе авах боломжтой вэ?

Бялууны тоог тэмдэглэ x, мөн аяга кофе уух тоо y. Дараа нь бялууны үнийг 25 гэсэн илэрхийллээр тэмдэглэнэ x, мөн аяга кофены үнэ 10 y .

25х-Үнэ xбялуу
10у-Үнэ yаяга кофе

Нийт дүн нь 200 рубль байх ёстой. Дараа нь бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг авна xболон y

25x+ 10y= 200

Энэ тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

Энэ бүхэн оюутны хоолны дуршилаас хамаарна. Хэрэв тэр 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авбал тэгшитгэлийн үндэс нь 6 ба 5 тоо байх болно.

6 ба 5-ын хос утгыг 25-р тэгшитгэлийн үндэс гэнэ x+ 10y= 200. Эхний тоо нь хувьсагчийн утга байхаар (6; 5) гэж бичнэ x, хоёр дахь нь - хувьсагчийн утга y .

6 ба 5 нь 25-р тэгшитгэлийг буцаах цорын ганц үндэс биш юм x+ 10y= 200 нь таних. Хэрэв хүсвэл ижил 200 рубльд оюутан 4 бялуу, 10 аяга кофе худалдаж авах боломжтой.

Энэ тохиолдолд 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь хос утгууд (4; 10) юм.

Түүгээр ч барахгүй оюутан кофе огт авахгүй байж болох ч 200 рублийн бялуу худалдаж авдаг. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь 8 ба 0 утгууд болно

Эсвэл эсрэгээр нь бялуу худалдаж авахгүй, харин бүх 200 рубльд кофе худалдаж аваарай. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь 0 ба 20 утгууд байх болно

25-р тэгшитгэлийн бүх боломжит язгууруудыг жагсаахыг хичээцгээе x+ 10y= 200. Үнэт зүйл гэдэгтэй санал нийлэе xболон yбүхэл тоонуудын багцад хамаарна. Мөн эдгээр утгууд нь тэгээс их буюу тэнцүү байна:

x∈З, у∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Тиймээс энэ нь оюутан өөрөө тохиромжтой байх болно. Бялуу нь жишээлбэл, хэд хэдэн бүтэн бялуу, хагас бялууг бодвол бүхэлд нь худалдан авахад илүү тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүтэн аяга, хагас аягатай харьцуулахад кофег бүхэлд нь аяганд хийхэд илүү тохиромжтой байдаг.

Хачирхалтай гэдгийг анхаарна уу xямар ч үед тэгш байдлыг хангах боломжгүй юм y. Дараа нь үнэт зүйлс xдараах тоонууд байх болно 0, 2, 4, 6, 8. Мөн мэдэх xамархан тодорхойлж болно y

Тиймээс бид дараах хос утгыг олж авлаа (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эдгээр хосууд нь 25-р тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс юм x+ 10y= 200. Тэд энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Төрөл тэгшитгэл сүх + by = cдуудсан хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл үндэс нь хос утгууд юм ( x; y), энэ нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичихийг анхаарна уу ax + b y = c ,тэгээд дотор нь бичигдсэн гэж хэлдэг каноник(хэвийн) хэлбэр.

Хоёр хувьсагчийн зарим шугаман тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, тэгшитгэл 2(16x+ 3у- 4) = 2(12 + 8x − y) санаанд оруулж болно сүх + by = c. Энэ тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт байгаа хаалтуудыг нээцгээе 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Үл мэдэгдэх нэр томъёог тэгшитгэлийн зүүн талд, үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун талд нь бүлэглэв. Дараа нь бид авна 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Бид хоёр хэсэгт ижил төстэй нэр томъёог авчирч, 16-р тэгшитгэлийг авна x+ 8y= 32. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав сүх + by = cба каноник юм.

25-р тэгшитгэлийг өмнө нь авч үзсэн x+ 10y= 200 нь мөн канон хэлбэрийн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлд параметрүүд а , бболон в 25, 10, 200 гэсэн утгатай тэнцүү байна.

Үнэндээ тэгшитгэл сүх + by = cхязгааргүй олон шийдэлтэй. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 25x+ 10y= 200, бид түүний үндсийг зөвхөн бүхэл тооны олонлогоос хайсан. Үүний үр дүнд бид энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргасан хэд хэдэн хос утгыг олж авлаа. Харин рационал тооны олонлог дээр 25-р тэгшитгэл x+ 10y= 200 нь хязгааргүй олон шийдтэй байх болно.

Шинэ хос утгыг авахын тулд та дурын утгыг авах хэрэгтэй x, дараа нь илэрхийлнэ үү y. Жишээлбэл, хувьсагчийг авч үзье xутга 7. Дараа нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна 25×7 + 10y= 200 Үүнд илэрхийлэх y

Болъё x= 15. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × 15 болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −17,5

Болъё x= −3. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × (−3) болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −27,5

Хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем

Тэгшитгэлийн хувьд сүх + by = cта дурын утгыг хэдэн ч удаа авч болно xболон утгыг олох y. Тус тусад нь авч үзвэл ийм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байх болно.

Гэхдээ энэ нь бас хувьсагчид тохиолддог xболон yнэг биш, хоёр тэгшитгэлээр холбогдсон. Энэ тохиолдолд тэд гэж нэрлэгддэг зүйлийг бүрдүүлдэг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем. Ийм тэгшитгэлийн систем нь нэг хос утгатай байж болно (эсвэл өөрөөр хэлбэл: "нэг шийдэл").

Мөн системд ямар ч шийдэл байхгүй байж магадгүй юм. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ховор, онцгой тохиолдолд хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно.

Хоёр шугаман тэгшитгэл нь утгууд нь системийг үүсгэдэг xболон yЭдгээр тэгшитгэл тус бүрт багтсан болно.

Эхний тэгшитгэл 25 руу буцаж орцгооё x+ 10y= 200. Энэ тэгшитгэлийн хос утгуудын нэг нь хос (6; 5) байв. Энэ нь 200 рубльд 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авах боломжтой байсан тохиолдол юм.

Бид (6; 5) хос нь 25-р тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл болохын тулд асуудлыг зохиодог. x+ 10y= 200. Үүнийг хийхийн тулд бид ижил зүйлийг холбох өөр нэг тэгшитгэл зохио xбялуу болон yаяга кофе.

Даалгаврын текстийг дараах байдлаар оруулъя.

“Сургуулийн хүүхэд 200 рублиэр хэд хэдэн бялуу, хэдэн аяга кофе худалдаж авсан. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэгээр илүү байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол оюутан хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсан бэ?

Бидэнд эхний тэгшитгэл аль хэдийн байна. Энэ бол тэгшитгэл 25 x+ 10y= 200. Одоо нөхцөлийн тэгшитгэлийг бичье "Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэг нэгжээр их байна" .

Бялууны тоо x, мөн аяга кофены тоо байна y. Та тэгшитгэлийг ашиглан энэ хэллэгийг бичиж болно x − y= 1. Энэ тэгшитгэл нь бялуу, кофе хоёрын ялгаа 1 гэсэн үг юм.

x=y+ 1. Энэ тэгшитгэл нь бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэгээр илүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс тэгш байдлыг хангахын тулд аяга кофены тоонд нэгийг нэмнэ. Хэрэв бид хамгийн энгийн асуудлыг судлахдаа авч үзсэн жингийн загварыг ашиглавал үүнийг хялбархан ойлгож болно.

Хоёр тэгшитгэлтэй байна: 25 x+ 10y= 200 ба x=y+ 1. утгуудаас хойш xболон y, тухайлбал 6 ба 5 нь эдгээр тэгшитгэл тус бүрт багтсан бөгөөд дараа нь тэд хамтдаа систем үүсгэдэг. Энэ системийг бичье. Хэрэв тэгшитгэлүүд нь системийг бүрдүүлдэг бол тэдгээр нь системийн тэмдгээр хүрээлэгдсэн байдаг. Системийн тэмдэг нь буржгар хаалт юм:

Ингээд шийдье энэ систем. Энэ нь 6 ба 5 гэсэн утгуудад хэрхэн хүрч байгааг харах боломжийг бидэнд олгоно. Ийм системийг шийдэх олон арга байдаг. Тэдгээрийн хамгийн алдартайг нь авч үзье.

Орлуулах арга

Энэ аргын нэр нь өөрөө ярьдаг. Үүний мөн чанар нь хувьсагчийн аль нэгийг өмнө нь илэрхийлсэн нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулах явдал юм.

Манай системд юу ч илэрхийлэх шаардлагагүй. Хоёр дахь тэгшитгэлд x = y+ 1 хувьсагч xаль хэдийн илэрхийлсэн. Энэ хувьсагч нь илэрхийлэлтэй тэнцүү байна y+ 1. Дараа нь та энэ илэрхийллийг эхний тэгшитгэлд хувьсагчийн оронд орлуулж болно x

Илэрхийллийг орлуулсны дараа yОронд нь эхний тэгшитгэлд + 1 x, бид тэгшитгэлийг авна 25(y+ 1) + 10y= 200 . Энэ бол нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш хялбар:

Бид хувьсагчийн утгыг олсон y. Одоо бид энэ утгыг тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулж утгыг олно x. Үүний тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x = y+ 1. Үүний үнэ цэнийг оруулъя y

Тэгэхээр (6; 5) хос нь бидний бодож байсанчлан тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм. Бид (6; 5) хос системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгаж, шалгана.

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийг орлуулна уу x= 2 + yХоёр дахь тэгшитгэлд 3 x - 2y= 9 . Эхний тэгшитгэлд хувьсагч x 2 + илэрхийлэлтэй тэнцүү байна y. Бид энэ илэрхийллийг оронд нь хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна x

Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд утгыг орлуулна уу yэхний тэгшитгэлд оруулна x= 2 + y

Системийн шийдэл нь хос утга юм (5; 3)

Жишээ 3. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Энд өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь хувьсагчийн аль нэг нь тодорхой илэрхийлэгдээгүй байна.

Нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулахын тулд эхлээд .

Нэг коэффициенттэй хувьсагчийг илэрхийлэх нь зүйтэй. Коэффициент нэгж нь хувьсагчтай x, энэ нь эхний тэгшитгэлд агуулагддаг x+ 2y= 11. Энэ хувьсагчийг илэрхийлье.

Хувьсагчийн илэрхийллийн дараа x, манай систем иймэрхүү харагдах болно:

Одоо бид эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж утгыг олно y

Орлуулах y x

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (3; 4)

Мэдээжийн хэрэг та хувьсагчийг бас илэрхийлж болно y. Үндэс нь өөрчлөгдөхгүй. Гэхдээ илэрхийлбэл у,үр дүн нь тийм ч энгийн тэгшитгэл биш бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү их цаг хугацаа шаардагдана. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Үүнийг илэрхийлэхийн тулд бид энэ жишээнээс харж байна xилэрхийлэхээс хамаагүй илүү тохиромжтой y .

Жишээ 4. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Эхний тэгшитгэлд илэрхийл x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

y

Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x. Та анхны тэгшитгэл 7-г ашиглаж болно x+ 9y= 8 , эсвэл хувьсагчийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг ашиглана уу x. Энэ нь тохиромжтой тул бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно.

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (5; -3)

Нэмэх арга

Нэмэх арга нь системд орсон тэгшитгэлүүдийг гишүүнээр нь нэмэх явдал юм. Энэ нэмэлт нь нэг хувьсагчтай шинэ тэгшитгэлийг бий болгодог. Мөн энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь маш хялбар юм.

Дараахь тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмнэ. ГЭХДЭЭ баруун тал-тэй эхний тэгшитгэл баруун талхоёр дахь тэгшитгэл. Бид дараахь тэгш байдлыг олж авна.

Энд ижил төстэй нэр томъёо байна:

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 3-р тэгшитгэлийг олж авлаа x= 27 язгуур нь 9. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулах xхоёр дахь тэгшитгэлд оруулна x − y= 3 . Бид 9-ийг авна y= 3 . Эндээс y= 6 .

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (9; 6)

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмнэ. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Үүссэн тэгш байдлын хувьд бид дараах нэр томъёог гаргаж байна.

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 5-р тэгшитгэлийг авсан x= 20, язгуур нь 4. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулах xэхний тэгшитгэлд 2 x+y= 11. 8+ авцгаая y= 11. Эндээс y= 3 .

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (4;3)

Нэмэх үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлаагүй болно. Үүнийг оюун ухаандаа хийх ёстой. Нэмэхдээ хоёр тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах ёстой. Энэ нь оюун ухаанд ac+by=c .

Үзсэн жишээнүүдээс харахад тэгшитгэл нэмэх гол зорилго нь аль нэг хувьсагчаас салах явдал юм. Гэхдээ тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй байдаг. Ихэнх тохиолдолд системийг энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэмэх боломжтой хэлбэрт оруулдаг.

Жишээлбэл, систем нэмэх аргаар шууд шийдэж болно. Хоёр тэгшитгэлийг нэмэхдээ нөхцөл yболон −yТэдний нийлбэр тэг учраас алга болно. Үүний үр дүнд хамгийн энгийн тэгшитгэл 11 үүснэ x= 22 , язгуур нь 2. Дараа нь тодорхойлох боломжтой болно y 5-тай тэнцүү.

Мөн тэгшитгэлийн систем нэмэх аргыг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй, учир нь энэ нь нэг хувьсагчийн алга болоход хүргэхгүй. Нэмэлт хийснээр 8-р тэгшитгэл гарч ирнэ x+ y= 28 , энэ нь хязгааргүй олон шийдтэй.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна. Энэ дүрэм нь хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд мөн хүчинтэй. Тэгшитгэлийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) тодорхой тоогоор үржүүлж болно. Үр дүн нь ижил төстэй систем бөгөөд үндэс нь өмнөхтэй давхцах болно.

Оюутан хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсныг тодорхойлсон хамгийн эхний систем рүү буцъя. Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд (6; 5) байв.

Бид энэ системд багтсан тэгшитгэлийг хоёуланг нь хэд хэдэн тоогоор үржүүлдэг. Эхний тэгшитгэлийг 2, хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье гэж бодъё

Үр дүн нь систем юм
Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд хэвээр байна (6; 5)

Энэ нь системд орсон тэгшитгэлийг нэмэх аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг юм.

Систем рүү буцах , үүнийг бид нэмэх аргаар шийдэж чадаагүй.

Эхний тэгшитгэлийг 6-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлнэ

Дараа нь бид дараах системийг авна.

Бид энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэмнэ. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэмэлт 12 xба -12 xүр дүнд нь 0, нэмэх 18 болно yболон 4 y 22 өгнө y, мөн 108 ба −20-ыг нэмбэл 88 болно. Дараа нь та 22 тэгшитгэлийг авна. y= 88, тиймээс y = 4 .

Хэрэв таны толгойд тэгшитгэл нэмэхэд эхэндээ хэцүү байвал энэ нь хэрхэн нэмэгдэж байгааг бичиж болно зүүн талЭхний тэгшитгэлийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талтай, эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай:

Хувьсагчийн утгыг мэдэх нь y 4 бол та утгыг олох боломжтой x. Орлуулах yтэгшитгэлийн аль нэгэнд, жишээлбэл, эхний тэгшитгэл 2 руу x+ 3y= 18. Дараа нь бид нэг хувьсагч 2-той тэгшитгэлийг авна x+ 12 = 18. Бид 12-ыг баруун тийш шилжүүлж, тэмдгийг өөрчилснөөр бид 2-ыг авна x= 6, тиймээс x = 3 .

Жишээ 4. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлнэ. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэмэлт xболон −x 0, нэмэх 5 гарна yба 3 y 8 өгнө y, 7 ба 1-ийг нэмбэл 8 гарна. Үр дүн нь тэгшитгэл 8 болно y= 8 , язгуур нь 1. Утга гэдгийг мэдэх y 1 бол та утгыг олох боломжтой x .

Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд бид олж авна x+ 5 = 7, тиймээс x= 2

Жишээ 5. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Ижил хувьсагчдыг агуулсан нэр томьёо нэг дор байрлах нь зүйтэй юм. Тиймээс хоёр дахь тэгшитгэлд 5-р нөхцлүүд yба -2 xгазруудыг солих. Үүний үр дүнд систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүл. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд бид 8-р тэгшитгэлийг авна y= 16, үндэс нь 2.

Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд бид 6-г авна x− 14 = 40. Бид −14 гэсэн нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг өөрчилснөөр бид 6-г авна x= 54. Эндээс x= 9.

Жишээ 6. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Бутархай хэсгүүдээс салцгаая. Эхний тэгшитгэлийг 36, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүл

Үүссэн системд Эхний тэгшитгэлийг -5, хоёр дахь тэгшитгэлийг 8-аар үржүүлж болно

Гарсан систем дэх тэгшитгэлүүдийг нэмье. Дараа нь бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авна -13 y= -156. Эндээс y= 12. Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x

Жишээ 7. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Бид хоёр тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулдаг. Энд хоёр тэгшитгэлд пропорциональ дүрмийг хэрэглэх нь тохиромжтой. Хэрэв эхний тэгшитгэлд баруун тал нь , хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун тал нь -ээр дүрслэгдсэн бол систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Бидэнд хувь хэмжээ бий. Бид түүний хэт ба дунд гишүүнийг үржүүлдэг. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Бид эхний тэгшитгэлийг −3-аар үржүүлж, хоёр дахь хэсэгт хаалтуудыг нээнэ.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Эдгээр тэгшитгэлийг нэмсний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд хоёр хэсэгт нь тэг байх болно.

Энэ системд хязгааргүй олон тооны шийдэл байдаг.

Гэхдээ бид зүгээр л тэнгэрээс дур зоргоороо үнэ цэнийг авч чадахгүй xболон y. Бид утгуудын аль нэгийг нь зааж өгч болох бөгөөд нөгөөг нь бидний заасан утгаас хамааран тодорхойлно. Жишээлбэл, үзье x= 2 . Энэ утгыг системд орлуулна уу:

Тэгшитгэлийн аль нэгийг шийдсэний үр дүнд утгыг y, энэ нь хоёр тэгшитгэлийг хангана:

Үр дүнгийн хос утгууд (2; -2) нь системийг хангана:

Өөр нэг хос утгыг олъё. Болъё x= 4. Энэ утгыг системд орлуулна уу:

Үүнийг нүдээр тодорхойлж болно yтэгтэй тэнцүү. Дараа нь бид системд нийцсэн хос утгыг (4; 0) авна.

Жишээ 8. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Эхний тэгшитгэлийг 6, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ

Үлдсэн зүйлийг дахин бичье:

Эхний тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлнэ. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд 6-р тэгшитгэл үүснэ б= 48 , үндэс нь 8. Орлуулах бЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол а

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд коэффициент бүхий гурван хувьсагч, түүнчлэн огтлолцол орно. Каноник хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

ax + by + cz = d

Энэ тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй. Хоёр хувьсагч өгөх янз бүрийн утгатай, та гурав дахь утгыг олох боломжтой. Энэ тохиолдолд шийдэл нь утгын гурав дахин юм ( x; y; z) нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Хэрэв хувьсагч x, y, zгурван тэгшитгэлээр хоорондоо холбогдож, гурван хувьсагчтай гурван шугаман тэгшитгэлийн систем үүснэ. Ийм системийг шийдэхийн тулд орлуулах арга ба нэмэх арга гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд хамаарах ижил аргыг хэрэглэж болно.

Жишээ 1. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Бид гурав дахь тэгшитгэлээр илэрхийлнэ x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо орлуулалт хийцгээе. Хувьсагч xилэрхийлэлтэй тэнцүү байна 3 − 2y − 2z . Энэ илэрхийллийг эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

Хоёр тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, ижил нөхцөлийг өгье.

Бид хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд хүрлээ. AT Энэ тохиолдолднэмэх аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой. Үүний үр дүнд хувьсагч yалга болох ба бид хувьсагчийн утгыг олж чадна z

Одоо утгыг нь олъё y. Үүний тулд - тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой y+ z= 4. Утгыг орлуулна z

Одоо утгыг нь олъё x. Үүний тулд тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x= 3 − 2y − 2z . Үүн дээр утгыг орлуулна уу yболон z

Тиймээс гурвалсан утгууд (3; -2; 2) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Жишээ 2. Системийг нэмэх аргаар шийднэ үү

Эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь нь -2-оор үржүүлсэнээр нэмье.

Хэрэв хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −6x+ 6у- 4z = −4 . Одоо үүнийг эхний тэгшитгэлд нэмнэ үү:

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд хувьсагчийн утгыг тодорхойлсон болохыг бид харж байна x. Энэ нь нэгтэй тэнцүү байна.

Буцах үндсэн систем. Гурав дахь нь -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмье. Гурав дахь тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −4x + 5y − 2z = −1 . Одоо үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд нэмнэ үү:

Тэгшитгэлийг авлаа x - 2y= −1. Түүнд утгыг орлуулна уу xБидний өмнө нь олж мэдсэн. Дараа нь бид утгыг тодорхойлж болно y

Одоо бид үнэ цэнийг мэддэг болсон xболон y. Энэ нь үнэ цэнийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно z. Бид системд багтсан тэгшитгэлүүдийн аль нэгийг ашигладаг.

Тиймээс гурвалсан утгууд (1; 1; 1) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх даалгавар

Тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх ажлыг хэд хэдэн хувьсагчийг оруулах замаар шийддэг. Дараа нь асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн тэгшитгэлийг эмхэтгэдэг. Эмхэтгэсэн тэгшитгэлээс тэд систем үүсгэж, үүнийг шийддэг. Системийг шийдсэний дараа түүний шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Даалгавар 1. Волга машин хотоос нэгдэл рүү явав. Тэр эхнийхээсээ 5 км богино байсан өөр замаар буцаж ирэв. Нийтдээ машин хоёр талдаа 35 км явсан. Зам тус бүр хэдэн км урттай вэ?

Шийдэл

Болъё х-эхний замын урт, y- секундын урт. Хэрэв машин хоёр талдаа 35 км явсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+ y= 35. Энэ тэгшитгэл нь хоёр замын уртын нийлбэрийг тодорхойлдог.

Эхнийхээсээ 5 км-ээр богино байсан зам дагуу машин буцаж байсан гэдэг. Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно x− y= 5. Энэ тэгшитгэлээс харахад замын уртын зөрүү 5 км байна.

Эсвэл хоёр дахь тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x= y+ 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно.

Хувьсагчдаас хойш xболон yХоёр тэгшитгэлд ижил тоог зааж өгсөн бол бид тэдгээрээс систем үүсгэж болно.

Өмнө нь судалж байсан аргуудын аль нэгийг ашиглан энэ системийг шийдье. Энэ тохиолдолд хоёр дахь тэгшитгэлд хувьсагч байгаа тул орлуулах аргыг ашиглах нь тохиромжтой xаль хэдийн илэрхийлсэн.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь орлуулан ол y

Олдсон утгыг орлуулна уу yхоёр дахь тэгшитгэлд оруулна x= y+ 5 ба олох x

Эхний замын уртыг хувьсагчаар тэмдэглэв x. Одоо бид түүний утгыг олсон. Хувьсагч xнь 20. Тэгэхээр эхний замын урт 20 км.

Мөн хоёр дахь замын уртыг зааж өгсөн y. Энэ хувьсагчийн утга 15. Тэгэхээр хоёр дахь замын урт 15 км байна.

Шалгалт хийцгээе. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгацгаая:

Одоо (20; 15) шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Нийтдээ машин хоёр тийшээ 35 км явсан гэсэн. Бид хоёр замын уртыг нэмж, шийдэл (20; 15) хангасан эсэхийг шалгана энэ нөхцөл: 20 км + 15 км = 35 км

Дараагийн нөхцөл: машин өөр замаар буцаж буцаж ирсэн нь эхнийхээсээ 5 км богино байв . 15 км нь 20 км-ээс 5 км-ээс богино тул (20; 15) шийдэл нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 20 км - 15 км = 5 км

Системийг эмхэтгэхдээ энэ системд багтсан бүх тэгшитгэлд хувьсагч нь ижил тоогоор илэрхийлэгдэх нь чухал.

Тэгэхээр манай систем хоёр тэгшитгэлтэй. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь эргээд хувьсагчдыг агуулдаг xболон y, энэ нь хоёр тэгшитгэлд ижил тоонуудыг, тухайлбал 20 км ба 15 км-тэй тэнцүү замын уртыг илэрхийлдэг.

Даалгавар 2. Платформ дээр царс, нарс мод, нийт 300 дэр ачиж байв. Бүх царс моднууд нь бүх нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байсан нь мэдэгдэж байна. Царс мод дэр тус бүр 46 кг, нарс дэр тус бүр 28 кг жинтэй байсан бол тус тусад нь хэдэн царс, нарс дэр байсныг тодорхойл.

Шийдэл

Болъё xцарс ба yнарс дэрнүүд тавцан дээр ачигдсан. Хэрэв нийт 300 унтагч байсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+y = 300 .

Бүх царс мод 46 жинтэй байв xкг, нарс 28 жинтэй байв yкг. Царс моднууд нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй тул хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно 28у- 46x= 1000 . Энэ тэгшитгэлээс харахад царс ба нарс модны хоорондох массын зөрүү 1000 кг байна.

Царс, нарс модны жинг килограммаар хэмждэг тул тонныг килограмм болгон хувиргасан.

Үүний үр дүнд бид системийг бүрдүүлдэг хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг

Энэ системийг шийдье. Эхний тэгшитгэлээр илэрхийл x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж ол y

Орлуулах yтэгшитгэлд оруулна x= 300 − yтэгээд юу болохыг олж мэд x

Энэ нь тавцан дээр 100 царс, 200 нарс дэр ачсан гэсэн үг юм.

Шийдэл (100; 200) асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгацгаая:

Нийтдээ 300 унтдаг гэж байсан. Бид царс, нарс дэрний тоог нэмж, уусмал (100; 200) энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. 100 + 200 = 300.

Дараагийн нөхцөл: бүх царс моднууд бүх нарснаас 1 тонноор бага жинтэй байв . 46х100 кг царс мод нь 28х200 кг нарс модноос хөнгөн тул шийдэл (100; 200) нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 5600 кг - 4600 кг = 1000 кг.

Даалгавар 3. Бид жингээр 2: 1, 3: 1, 5: 1 харьцаатай зэс, никель хайлшаас гурван ширхэг авсан. Эдгээрээс 12 кг жинтэй хэсгийг зэс, никелийн 4: 1 харьцаатай хайлуулсан. Эхнийх нь масс нь хоёр дахь массаас хоёр дахин их байвал анхны хэсэг бүрийн массыг ол.