Системийн зэрэглэл. Матрицын зэрэглэл ба суурь минор

Матрицын зэрэглэл нь чухал тоон шинж чанар юм. Матрицын зэрэглэлийг олох шаардлагатай хамгийн онцлог асуудал бол шугаман системийн нийцтэй байдлыг шалгах явдал юм. алгебрийн тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд бид матрицын зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өгч, түүнийг олох аргуудыг авч үзэх болно. Материалыг илүү сайн шингээхийн тулд бид хэд хэдэн жишээний шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Матрицын зэрэглэл, шаардлагатай нэмэлт ойлголтуудыг тодорхойлох.

Матрицын зэрэглэлийн тодорхойлолтыг хэлэхээсээ өмнө бага насны ойлголтын талаар сайн ойлголттой байх ёстой бөгөөд матрицын миноруудыг олох нь тодорхойлогчийг тооцоолох чадварыг илэрхийлдэг. Тиймээс бид шаардлагатай бол өгүүллийн онол, матрицын тодорхойлогчийг олох аргууд, тодорхойлогчийн шинж чанаруудыг эргэн санахыг зөвлөж байна.

А эрэмбийн матрицыг ав. k зарим байг натурал тоо, m ба n тоонуудын хамгийн багааас хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл, .

Тодорхойлолт.

Бага k-р захиалгаА матриц нь урьдчилан сонгосон k мөр, k баганад байрлах А матрицын элементүүдээс бүрдэх, А матрицын элементүүдийн байрлалыг хадгалсан дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогч юм.

Өөрөөр хэлбэл, А матрицын (p–k) мөр, (n–k) баганыг устгаад, А матрицын элементүүдийн зохион байгуулалтыг хадгалан үлдсэн элементүүдээс матриц үүсгэвэл үүссэн матрицын тодорхойлогч нь ​А матрицын k эрэмбийн минор.

Минор матрицын тодорхойлолтыг жишээгээр авч үзье.

Матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын эхний эрэмбийн хэд хэдэн жижиг хэсгүүдийг бичье. Жишээлбэл, хэрэв бид А матрицын гурав дахь мөр ба хоёр дахь баганыг сонговол бидний сонголт нэгдүгээр зэрэглэлийн минортой тохирно. . Өөрөөр хэлбэл, энэ минорыг авахын тулд бид А матрицаас эхний ба хоёр дахь мөр, мөн нэг, гурав, дөрөв дэх баганыг зурж, үлдсэн элементээс тодорхойлогчийг бүрдүүлсэн. Хэрэв бид А матрицын эхний мөр ба гурав дахь баганыг сонговол бид минорыг авна .

Нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг олж авах журмыг жишээгээр үзүүлье
болон .

Иймд матрицын эхний эрэмбийн минорууд нь матрицын элементүүд нь өөрөө юм.

Хоёр дахь зэрэглэлийн хэд хэдэн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үзүүлье. Хоёр мөр, хоёр багана сонгоно уу. Жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь мөр, гурав, дөрөв дэх баганыг ав. Энэ сонголтоор бид хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэдтэй болсон . А матрицаас гурав дахь мөр, нэг, хоёр дахь баганыг устгаснаар энэ минорыг үүсгэж болно.

А матрицын өөр нэг хоёрдугаар эрэмбийн минор нь .

Эдгээр хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн бүтээн байгуулалтыг үзүүлье
болон .

А матрицын гурав дахь эрэмбийн миноруудыг мөн адил олж болно. А матрицад зөвхөн гурван мөр байгаа тул бид бүгдийг нь сонгоно. Хэрэв бид эдгээр мөрүүдийн эхний гурван баганыг сонговол гурав дахь эрэмбийн бага хэсгийг авна

Үүнийг мөн А матрицын сүүлчийн баганыг устгаснаар байгуулж болно.

Өөр нэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэд

матрицын гурав дахь баганыг устгаснаар олж авсан.

Эдгээр гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн бүтээн байгуулалтыг харуулсан зураг энд байна
болон .

Өгөгдсөн А матрицын хувьд 3-аас дээш эрэмбийн багачууд байхгүй, учир нь .

А эрэмбийн матрицын хэдэн к-р зэрэглэлийн минор байдаг вэ?

Бага насны k эрэмбийн тоог , хаана гэж тооцож болно болон - p-ээс k, n-ээс k хүртэлх хослолын тоо.

p зэрэглэлийн А матрицын k зэрэглэлийн бүх миноруудыг n дээр хэрхэн байгуулах вэ?

Бидэнд матрицын мөрийн дугаар болон баганын дугаарын багц хэрэгтэй. Бүх зүйлийг бичиж байна p элементийн хослолууд k(тэдгээр нь k эрэмбийн минорыг барихад А матрицын сонгосон мөрүүдтэй тохирно). Мөрийн дугааруудын хослол бүрт бид n элементийн бүх хослолыг k баганын дугаараар дараалан нэмнэ. Эдгээр А матрицын мөр болон баганын дугааруудын хослолууд нь k эрэмбийн бүх жижиг хэсгүүдийг бүрдүүлэхэд тусална.

Нэг жишээ татъя.

Жишээ.

Матрицын бүх хоёр дахь эрэмбийн багануудыг ол.

Шийдэл.

Анхны матрицын дараалал нь 3-аас 3 байх тул хоёр дахь эрэмбийн нийт насанд хүрээгүй хүмүүс байна .

А матрицын 3-2 эгнээний бүх хослолыг бичье: 1, 2; 1, 3 ба 2, 3. 3-аас 2 баганын дугаар бүхий бүх хослолууд нь 1, 2; 1, 3 ба 2, 3.

А матрицын эхний ба хоёр дахь мөрийг ав. Эдгээр мөрүүдийн эхний ба хоёр дахь багана, эхний ба гурав дахь багана, хоёр, гурав дахь багануудыг сонгосноор бид насанд хүрээгүй хүмүүсийг тус тус авна.

Эхний болон гурав дахь эгнээний хувьд ижил төстэй сонголт бүхий багана бидэнд байна

Хоёр, гурав дахь эгнээнд эхний болон хоёр дахь, нэг ба гурав дахь, хоёр, гурав дахь баганыг нэмэх хэвээр байна.

Ингээд А матрицын хоёрдугаар эрэмбийн есөн минор бүгд олдлоо.

Одоо бид матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох руу шилжиж болно.

Тодорхойлолт.

Матрицын зэрэглэлнь тэг биш матрицын минорын хамгийн дээд эрэмбэ юм.

А матрицын зэрэглэлийг Rank(A) гэж тэмдэглэнэ. Та мөн Rg(A) эсвэл Rang(A) гэсэн тэмдэглэгээг харж болно.

Матрицын зэрэглэл ба матрицын минорын тодорхойлолтоос бид тэг матрицын зэрэглэл нь тэгтэй тэнцүү, тэгээс өөр матрицын зэрэглэл дор хаяж нэг байна гэж дүгнэж болно.

Тодорхойлолтоор матрицын зэрэглэлийг олох.

Тиймээс матрицын зэрэглэлийг олох эхний арга бол бага зэрэг тоолох арга. Энэ арга нь матрицын зэрэглэлийг тодорхойлоход суурилдаг.

А эрэмбийн матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй.

Товчхон тайлбарлая алгоритмнасанд хүрээгүй хүмүүсийг тоолох аргаар энэ асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв дор хаяж нэг матрицын элемент тэг биш байвал матрицын зэрэглэл дор хаяж нэгтэй тэнцүү байна (учир нь тэгтэй тэнцүү биш нэгдүгээр эрэмбийн минор байдаг).

Дараа нь бид хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг давтдаг. Хэрэв бүх хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв дор хаяж нэг тэгээс өөр хоёр дахь эрэмбийн минор байгаа бол бид гурав дахь эрэмбийн багачуудын тоололд шилжих ба матрицын зэрэглэл дор хаяж хоёртой тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил, хэрэв гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэг байвал матрицын зэрэглэл хоёр байна. Хэрэв дор хаяж нэг тэгээс өөр гуравдагч эрэмбийн минор байгаа бол матрицын зэрэглэл дор хаяж гурваас доошгүй байх ба бид дөрөв дэх зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн тооллогыг үргэлжлүүлнэ.

Матрицын зэрэглэл нь p ба n-ийн хамгийн багаас хэтэрч болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ.

Матрицын зэрэглэлийг ол .

Шийдэл.

Матриц нь тэг биш тул түүний зэрэглэл нэгээс багагүй байна.

Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай тул А матрицын зэрэглэл дор хаяж хоёр байна. Бид гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн тооллого руу шилждэг. Тэд бүгд зүйлс.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь хоёр байна.

Хариулт:

Зэрэг(A) = 2.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хагалах аргаар матрицын зэрэглэлийг олох.

Матрицын зэрэглэлийг олох өөр аргууд байдаг бөгөөд энэ нь танд бага тооцооллын үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог.

Эдгээр аргуудын нэг нь минорын арга.

Харьцъя хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдийн тухай ойлголт.

А матрицын (k+1)-р эрэмбийн минор M ok нь А матрицын k эрэмбийн минор М-ийг тойрон хүрээлж байгаа бол бага M ok-д харгалзах матриц нь бага матрицад харгалзах матрицыг "агуулбал" гэсэн. М .

Өөрөөр хэлбэл, нэг мөр, нэг баганын элементүүдийг устгаснаар хүрээтэй минор М ok-д харгалзах матрицаас хилийн минор М-д тохирох матриц гарна.

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье мөн хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүнийг авна. Бүх хилийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бичье:

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг дараах теоремоор зөвтгөдөг (бид түүний томъёоллыг нотлох баримтгүйгээр толилуулж байна).

Теорем.

Хэрэв p зэрэглэлийн А матрицын k-р зэрэглэлийн минорыг n-ээр хиллэдэг бүх багачууд тэгтэй тэнцүү бол А матрицын бүх минор (k + 1) тэгтэй тэнцүү байна.

Тиймээс матрицын зэрэглэлийг олохын тулд хангалттай хиллэдэг бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тоолох шаардлагагүй юм. А эрэмбийн матрицын k-р зэргийн минортой хиллэх насанд хүрээгүй хүмүүсийн тоог томъёогоор олно . А матрицын (k + 1)-р зэрэглэлийн миноруудаас илүү А матрицын k-р зэрэглэлийн минортой хиллэдэг багачууд байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс ихэнх тохиолдолд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглах нь бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийг зүгээр л тоолохоос илүү ашигтай байдаг.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хагалах аргаар матрицын зэрэглэлийг олохыг үргэлжлүүлье. Товчхон тайлбарлая алгоритмэнэ арга.

Хэрэв А матриц тэг биш бол тэгээс ялгаатай А матрицын аль ч элементийг нэгдүгээр эрэмбийн минор гэж авна. Бид түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үздэг. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв дор хаяж нэг тэгээс ялгаатай насанд хүрээгүй (түүний дараалал нь хоёртой тэнцүү) байвал бид түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзэх болно. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэг байвал Rank(A) = 2 байна. Хэрэв наад зах нь нэг хилийн насанд хүрээгүй хүүхэд тэгээс өөр байвал (түүний дараалал гуравтай тэнцүү) байвал бид түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзнэ. гэх мэт. Үүний үр дүнд, хэрэв А матрицын (k + 1)-р зэрэглэлийн бүх хил залгаа багачууд тэгтэй тэнцүү бол Rank(A) = k, хэрэв тэг биш байвал Rank(A) = min(p, n) болно. минор нь бага зэрэгтэй хиллэдэг (min( p, n) – 1) .

Матрицын зэрэглэлийг олохын тулд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг зааглах аргыг жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Матрицын зэрэглэлийг ол хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн аргаар.

Шийдэл.

А матрицын a 1 1 элемент нь тэг биш тул бид үүнийг нэгдүгээр эрэмбийн минор гэж авна. Тэгээс өөр хил залгаа насанд хүрээгүй хүнийг хайж эхэлцгээе:

Хоёр дахь эрэмбийн минорыг тэгээс өөр заагладаг. Түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг (тэдний зүйлс):

Хоёрдугаар эрэмбийн минортой хиллэдэг бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул А матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.

Хариулт:

Зэрэг(A) = 2.

Жишээ.

Матрицын зэрэглэлийг ол хил залгаа насанд хүрээгүй хүмүүсийн тусламжтайгаар.

Шийдэл.

Эхний эрэмбийн тэг биш минорын хувьд бид А матрицын a 1 1 = 1 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн бага зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ насанд хүрээгүй нь гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэдтэй хиллэдэг
. Энэ нь тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд түүнд зааглах минор байхгүй тул А матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү байна.

Хариулт:

Зэрэг(A) = 3.

Матрицын элементар хувиргалтыг ашиглан зэрэглэлийг олох (Гауссын аргаар).

Матрицын зэрэглэлийг олох өөр аргыг авч үзье.

Дараахь матрицын хувиргалтыг энгийн гэж нэрлэдэг.

• матрицын мөрүүдийг (эсвэл багана) солих;
• матрицын аль ч мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай дурын k тоогоор үржүүлэх;
• дурын мөрийн (баганын) элементүүдэд матрицын өөр мөрийн (баганын) харгалзах элементүүдийг дурын k тоогоор үржүүлэх.

В матрицыг А матрицтай эквивалент гэж нэрлэдэг, хэрэв В-г А-аас хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтын тусламжтайгаар авсан бол. Матрицуудын эквивалентыг "~" тэмдгээр тэмдэглэнэ, өөрөөр хэлбэл A ~ B гэж бичнэ.

Элементар матрицын хувиргалтыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олох нь: Хэрэв В матрицыг А матрицаас хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтыг ашиглан авсан бол Rank(A) = Rank(B) .

Энэхүү мэдэгдлийн хүчинтэй байдал нь матриц тодорхойлогчийн шинж чанараас хамаарна.

• Матрицын мөрүүдийг (эсвэл багана) солих үед түүний тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг. Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү бол мөр (багана) солих үед энэ нь тэгтэй тэнцүү хэвээр байна.
• Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай k тоогоор үржүүлэхэд үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү бөгөөд k-ээр үржүүлнэ. Хэрэв анхны матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол аливаа мөр, баганын бүх элементүүдийг k тоогоор үржүүлсний дараа үүссэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх болно.
• Матрицын тодорхой эгнээний (баганын) элементүүдэд матрицын өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг тодорхой k тоогоор үржүүлсэнээр нэмэх нь тодорхойлогчийг өөрчлөхгүй.

Анхан шатны хувиргалтын аргын мөн чанарЭнэ нь энгийн хувиргалтыг ашиглан эрэмбийг нь олох шаардлагатай матрицыг трапец хэлбэрээр (тодорхой тохиолдолд дээд гурвалжин руу) авчрах явдал юм.

Энэ юунд зориулагдсан бэ? Энэ төрлийн матрицын зэрэглэлийг олоход маш хялбар байдаг. Энэ нь дор хаяж нэг хоосон элемент агуулсан мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна. Мөн энгийн хувиргалтуудын үед матрицын зэрэглэл өөрчлөгддөггүй тул үүссэн утга нь анхны матрицын зэрэг болно.

Бид матрицуудын дүрслэлийг өгдөг бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь хувиргасны дараа авах ёстой. Тэдний хэлбэр нь матрицын дарааллаас хамаарна.

Эдгээр зургууд нь бид А матрицыг хувиргах загварууд юм.

Тодорхойлъё аргын алгоритм.

Тэг биш А эрэмбийн матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) гэж бодъё.

Тиймээс, . А матрицын эхний эгнээний бүх элементүүдийг үржүүлье. Энэ тохиолдолд бид эквивалент матрицыг олж авна, үүнийг A (1) гэж тэмдэглэнэ:

Үүссэн A (1) матрицын хоёр дахь эгнээний элементүүдэд бид эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. Гурав дахь эгнээний элементүүдэд эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. Гэх мэтээр p-р мөр хүртэл. Бид эквивалент матрицыг авч, үүнийг A (2) гэж тэмдэглэнэ:

Хэрэв үүссэн матрицын хоёр дахь хэсгээс p-р хүртэлх эгнээний бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол энэ матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү бөгөөд улмаар анхны матрицын зэрэг нь нэгтэй тэнцүү байна. .

Хэрэв хоёр дахь хэсгээс p-р хүртэлх эгнээнд дор хаяж нэг тэг биш элемент байвал бид хувиргалтыг үргэлжлүүлнэ. Түүнээс гадна, бид яг ижил аргаар ажилладаг, гэхдээ зөвхөн зураг (2) дээр тэмдэглэгдсэн А матрицын хэсгийг ашиглана.

Хэрэв , дараа нь бид A (2) матрицын мөр ба (эсвэл) багануудыг "шинэ" элемент нь тэг биш байхаар өөрчлөнө.

А нь m\times n хэмжээтэй матриц, k нь m ба n-ээс ихгүй натурал тоо байг: k\leqslant\min\(m;n\). Бага k-р захиалгаА матриц нь А матрицын дур мэдэн сонгосон k мөр ба k баганын огтлолцол дээрх элементүүдээс үүссэн k-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогч юм. Насанд хүрээгүй хүмүүсийг тэмдэглэснээр сонгосон мөрүүдийн тоог дээд индексээр, сонгосон баганын тоог доод индексээр, өсөх дарааллаар байрлуулна.

Жишээ 3.4.Өөр өөр матрицын эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг бичнэ үү

A=\эхлэх(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\төгсгөх(pmatrix)\!.

Шийдэл.А матриц нь 3\time4 хэмжээтэй байна. Үүнд: 1-р зэргийн насанд хүрээгүй 12 хүүхэд, жишээлбэл, насанд хүрээгүй M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 2-р зэрэглэлийн 18 насанд хүрээгүй хүүхэд, жишээлбэл, M_(()_(23))^(()^(12))=\эхлэх(vmatrix)2&1\\2&2\төгсгөл(vmatrix)=2; 3-р зэрэглэлийн 4 насанд хүрээгүй хүүхэд, жишээлбэл,

M_(()_(134))^(()^(123))= \эхлэх(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

m\times n матриц А-д r-р эрэмбийн минор гэж нэрлэдэг үндсэн, хэрэв энэ нь тэг биш бөгөөд дарааллын бүх насанд хүрээгүй (r + 1)-ro нь тэгтэй тэнцүү эсвэл огт байхгүй бол.

Матрицын зэрэглэлсуурь минорын дараалал гэж нэрлэдэг. Тэг матрицад суурь минор байхгүй. Тиймээс тэг матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор тэг гэж үздэг. А матрицын зэрэглэлийг тэмдэглэв \operatorname(rg)A.

Жишээ 3.5.Матрицын бүх суурь бага ба зэрэглэлийг ол

A=\эхлэх(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\төгсгөл(pmatrix)\!.

Шийдэл.Эдгээр тодорхойлогчдын гурав дахь эгнээ нь тэг учраас энэ матрицын бүх гуравдугаар эрэмбийн минорууд тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс матрицын эхний хоёр мөрөнд байрлах хоёр дахь эрэмбийн минор л үндсэн байж болно. Насанд хүрээгүй 6 хүүхэд дамжиж, бид тэгээс өөр зүйлийг сонгоно

M_(()_(12))^(()^(12))= М_(()_(13))^(()^(12))= \эхлэх(vmatrix)1&2\\0&2 \төгсгөл( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \эхлэх(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Эдгээр таван насанд хүрээгүй хүүхэд бүр үндсэн юм. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь 2 байна.

Тайлбар 3.2

1. Хэрэв матрицад k-р зэрэглэлийн бүх минорууд тэгтэй тэнцүү бол дээд эрэмбийн минорууд мөн тэгтэй тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ, (k + 1)-ro минорыг аль ч мөрөнд өргөтгөхөд бид энэ эгнээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэрийг k-р эрэмбийн минороор олж авах бөгөөд тэдгээр нь тэгтэй тэнцүү байна.

2. Матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын тэг биш минорын хамгийн том дараалалтай тэнцүү байна.

3. Хэрэв квадрат матрицдоройтдоггүй бол зэрэглэл нь дараалалтайгаа тэнцүү байна. Хэрэв квадрат матриц доройтсон бол түүний зэрэглэл нь дарааллаас бага байна.

4. Тэмдэглэлийг мөн зэрэглэлд ашигладаг \операторын нэр(Rg)A,~ \операторын нэр(зэрэг)A,~ \операторын нэр(зэрэг)A.

5. Блок матрицын зэрэглэлнь энгийн (тоон) матрицын зэрэглэлээр тодорхойлогддог, i.e. блокийн бүтцээс үл хамааран . Энэ тохиолдолд блок матрицын зэрэглэл нь түүний блокуудын зэрэглэлээс багагүй байна. \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Aболон \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, учир нь А матрицын бүх минорууд (эсвэл В ) нь мөн блок матрицын (A\mid B) минорууд юм.

Минор ба матрицын зэрэглэл дээрх теоремууд

Матрицын багана (мөр)-ийн шугаман хамаарал ба шугаман хамааралгүй байдлын шинж чанарыг илэрхийлсэн үндсэн теоремуудыг авч үзье.

Үндсэн минорын тухай теорем 3.1.Дурын А матрицын багана (мөр) бүр нь үндсэн минор байрладаг багана (мөр) -ийн шугаман хослол юм.

Үнэн хэрэгтээ ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр m\times n матриц А-д суурь минор нь эхний r мөр, эхний r баганад байрлана гэж бид үзэж байна. Тодорхойлогчийг авч үзье

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

А матрицын минорын суурьт харгалзах утгыг оноож гарган авна элементүүд s-thмөр ба k-р багана. Аль ч тохиолдолд үүнийг анхаарна уу 1\leqslant s\leqslant mбөгөөд энэ тодорхойлогч нь тэг байна. Хэрэв s\leqslant r эсвэл k\leqslant r бол тодорхойлогч D нь хоёр ижил мөр эсвэл хоёр ижил багана агуулна. Хэрэв s>r ба k>r байвал тодорхойлогч D нь (r+l)-ro эрэмбийн минор учраас тэгтэй тэнцүү байна. Сүүлийн эгнээний тодорхойлогчийг өргөжүүлбэл бид олж авна

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

Энд D_(r+1\,j) - алгебрийн нэмэлтүүдсүүлчийн мөрний элементүүд. Энэ нь үндсэн минор учраас D_(r+1\,r+1)\ne0 гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), хаана \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

s=1,2,\ldots,m -ийн сүүлчийн тэгшитгэлийг бичвэл бид гарна

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

тэдгээр. k --р багана (ямар ч 1\leqslant k\leqslant n) нь нотлох ёстой байсан үндсэн минорын баганын шугаман хослол юм.

Үндсэн минор теорем нь дараах чухал теоремуудыг батлахад үйлчилдэг.

Тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөл

Теорем 3.2 (шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлтодорхойлогчийн алга болох).Тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байхын тулд түүний нэг багана (түүний нэг мөр) нь үлдсэн багана (мөр)-ийн шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Үнэн хэрэгтээ хэрэгцээ нь үндсэн минор теоремоос үүсдэг. Хэрэв n-р эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол түүний зэрэглэл нь n-ээс бага, өөрөөр хэлбэл. наад зах нь нэг баганыг үндсэн минорд оруулаагүй болно. Дараа нь теорем 3.1-ээр сонгосон энэ багана нь үндсэн минорыг агуулсан баганын шугаман хослол юм. Шаардлагатай бол энэ хослол дээр тэг коэффициент бүхий бусад багануудыг нэмбэл сонгосон багана нь матрицын үлдсэн баганын шугаман хослол болохыг олж авна. Тодорхойлогчийн шинж чанараас хангалттай байдал үүсдэг. Жишээлбэл, тодорхойлогчийн сүүлчийн багана A_n байвал \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)үлдсэнээр нь шугаман байдлаар илэрхийлнэ

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

дараа нь A_n дээр нэмж A_1 баганыг (-\lambda_1) үржүүлж, дараа нь A_2 баганыг (-\lambda_2) үржүүлнэ гэх мэт. багана A_(n-1) (-\lambda_(n-1)) -ээр үржүүлснээр тодорхойлогчийг авна. \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)тэгтэй тэнцүү тэг баганатай (тодорхойлогчийн 2-р шинж чанар).

Матрицын инвариант байдлыг элементар хувиргалтаар эрэмбэлдэг

Теорем 3.3 (элементар хувиргалт дахь зэрэглэлийн инвариантын тухай). Матрицын багана (мөр)-ийн анхан шатны өөрчлөлтийн үед түүний зэрэглэл өөрчлөгддөггүй.

Нээрээ л байя. А матрицын багануудыг нэг элементар хувиргасны үр дүнд бид А матрицыг олж авлаа гэж бодъё. Хэрэв I төрлийн хувиргалт (хоёр баганыг солих) хийгдсэн бол ямар ч жижиг (r + l)-ro байна. матрицын дараалал A" буюу А матрицын эрэмбийн харгалзах минор (r + l )-ro-той тэнцүү буюу тэмдгээр түүнээс ялгаатай (тодорхойлогчийн 3-р өмч). Хэрэв II төрлийн хувиргалт хийгдсэн бол (баганыг \lambda\ne0 тоогоор үржүүлэх) A" матрицын дарааллын минор (r+l)-ro нь харгалзах минор (r+l)-тай тэнцүү байна. A матрицын дарааллын ro , эсвэл түүнээс ялгаатай үржүүлэгч \lambda\ne0 (тодорхойлогчийн 6-р шинж чанар).Хэрэв III төрлийн хувиргалт хийгдсэн бол (өөр баганын нэг баганад нэмж \Lambda тоогоор үржүүлсэн) дараа нь А" матрицын (r + 1)-р эрэмбийн аль ч минор нь А матрицын харгалзах минор (r + 1) -р зэрэгтэй тэнцүү (тодорхойлогчийн 9-р шинж чанар), эсвэл нийлбэртэй тэнцүү байнаА матрицын эрэмбийн хоёр минор (r+l)-ro (тодорхойлогчийн 8-р шинж чанар). Тиймээс ямар ч төрлийн энгийн хувиргалтаар А матрицын дарааллын бүх насанд хүрээгүй (r + l) - ro нь тэгтэй тэнцүү байна, учир нь А матрицын дарааллын бүх насанд хүрээгүй (r + l) - ro нь тэгтэй тэнцүү байна. тэгтэй тэнцүү.Иймээс баганын элементар хувиргалтаар зэрэглэлийн матрицууд өсөх боломжгүй болох нь батлагдсан.Элементар руу урвуу хувиргалт нь элементар байдаг тул баганын элементар хувиргалтанд матрицын зэрэглэл буурах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл өөрчлөгдөхгүй. Матрицын зэрэглэл нь эгнээний элементар хувиргалтаар өөрчлөгддөггүй нь мөн адил батлагдсан.

Үр дагавар 1. Хэрэв матрицын нэг мөр (багана) нь түүний бусад мөрүүдийн (багануудын) шугаман хослол юм бол энэ мөрийг (багана) зэрэглэлийг нь өөрчлөхгүйгээр матрицаас устгаж болно.

Үнэн хэрэгтээ ийм мөрийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан null болгож болох бөгөөд тэг мөрийг үндсэн минорд оруулах боломжгүй.

Үр дагавар 2. Хэрэв матрицыг хамгийн энгийн хэлбэр (1.7) болгон бууруулсан бол

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Үнэн хэрэгтээ хамгийн энгийн хэлбэрийн матриц (1.7) нь r-р эрэмбийн минор суурьтай байна.

Үр дагавар 3. Аливаа ганц бус квадрат матриц нь энгийн, өөрөөр хэлбэл ямар ч ганц биш квадрат матриц нь ижил эрэмбийн таних матрицтай тэнцүү байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв А нь n эрэмбийн ганц биш квадрат матриц юм бол \operatorname(rg)A=n(3.2-р тайлбарын 3-р хэсгийг үзнэ үү). Иймд А матрицыг энгийн хувиргалтаар (1.7) хамгийн энгийн хэлбэрт оруулснаар бид \Lambda=E_n таних матрицыг олж авна. \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(Үндэслэл 2-ыг үзнэ үү). Иймд А матриц нь E_n адилтгалын матрицтай тэнцэх бөгөөд хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтын үр дүнд үүнээс гаргаж авч болно. Энэ нь А матриц нь элементар гэсэн үг.

Теорем 3.4 (матрицын зэрэглэл дээр). Матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоотой тэнцүү байна.

Нээрээ л байя \operatorname(rg)A=r. Тэгвэл А матриц нь r шугаман бие даасан мөртэй байна. Эдгээр нь үндсэн насанд хүрээгүй байгаа шугамууд юм. Хэрэв тэдгээр нь шугаман хамааралтай байсан бол энэ минор нь теорем 3.2-оор тэгтэй тэнцүү байх ба А матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү биш байх байсан. r нь шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо гэдгийг харуулъя, i.e. ямар ч p мөр нь p>r-ээс шугаман хамааралтай байна. Үнэн хэрэгтээ бид эдгээр p мөрүүдээс В матрицыг үүсгэдэг. В матриц нь А матрицын нэг хэсэг учраас \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Энэ нь В матрицын ядаж нэг мөрийг энэ матрицын суурь минорд оруулаагүй гэсэн үг. Дараа нь суурь минор теоремоор энэ нь суурь минор байрласан мөрүүдийн шугаман хослолтой тэнцүү байна. Тиймээс В матрицын мөрүүд шугаман хамааралтай байна. Тиймээс А матриц нь хамгийн ихдээ r шугаман бие даасан мөртэй байна.

Үр дагавар 1. Матриц дахь шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо нь шугаман бие даасан баганын хамгийн их тоотой тэнцүү байна.

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Хэрэв хөрвүүлэгдсэн матрицын эгнээнд хэрэглэвэл энэ нь 3.4-р теоремоос үүсэлтэй бөгөөд шилжүүлэн суулгах үед багачууд өөрчлөгддөггүй (тодорхойлогчийн 1-р шинж чанар).

Үр дагавар 2. Матрицын эгнээний элементар хувиргалтуудын дор шугаман хамаарал(эсвэл шугаман бие даасан байдал) энэ матрицын аль ч баганын систем хадгалагдана.

Үнэн хэрэгтээ бид өгөгдсөн А матрицын дурын k баганыг сонгож, тэдгээрээс В матрицыг үүсгэдэг. А матрицын эгнээний элементар хувиргалтын үр дүнд А матрицыг, В матрицын эгнээний ижил хувиргалтуудын үр дүнд В матрицыг авъя. Теорем 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Тиймээс, хэрэв В матрицын баганууд шугаман бие даасан байсан бол, i.e. k=\операторын нэр(rg)B(Үндэслэл 1-ийг үзнэ үү), тэгвэл B" матрицын баганууд нь мөн шугаман бие даасан байна, учир нь k=\операторын нэр(rg)B". Хэрэв В матрицын баганууд шугаман хамааралтай байсан бол (k>\операторын нэр(rg)B), тэгвэл B" матрицын баганууд мөн шугаман хамааралтай байна (k>\операторын нэр(rg)B"). Тиймээс А матрицын аль ч баганын хувьд шугаман хамаарал эсвэл шугаман бие даасан байдал нь энгийн эгнээний хувиргалтаар хадгалагдана.

Тайлбар 3.3

1. Теоремын 3.4-ийн 1-р үр дүнд үндэслэн 2-р зүйлд заасан баганын шинж чанар нь зөвхөн түүний баганууд дээр элементар хувиргалт хийсэн тохиолдолд матрицын мөрийн аль ч системд мөн хүчинтэй байна.

2. 3.3 теоремын 3-р үр дүнг дараах байдлаар сайжруулж болно. Зөвхөн мөрүүдийн (эсвэл зөвхөн баганын) энгийн хувиргалтыг ашиглан ямар ч ганц биш квадрат матрицыг ижил эрэмбийн таних матриц болгон бууруулж болно.

Үнэн хэрэгтээ зөвхөн энгийн эгнээний хувиргалтыг ашиглан дурын матрицыг \Lambda (Зураг 1.5) хялбаршуулсан хэлбэр болгон бууруулж болно (Теорем 1.1-ийг үз). А матриц нь дан бус (\det(A)\ne0) тул баганууд нь шугаман бие даасан байна. Тиймээс \Lambda матрицын баганууд нь мөн шугаман хамааралгүй байдаг (Теорем 3.4-ийн үр дүн 2). Иймд ганц биш матрицын хялбаршуулсан \Ламбда хэлбэр нь түүний хамгийн энгийн хэлбэртэй (Зураг 1.6) давхцаж байгаа бөгөөд \Lambda=E адилтгалын матриц болно (Теорем 3.3-ын 3-р үр дүнг үз). Тиймээс, зөвхөн ганц биш матрицын мөрүүдийг хувиргаснаар үүнийг ижил төстэй нэг болгон бууруулж болно. Үүнтэй төстэй үндэслэл нь дан бус матрицын баганын элементар хувиргалтанд бас хүчинтэй.

Бүтээгдэхүүний зэрэглэл ба матрицын нийлбэр

Теорем 3.5 (матрицын үржвэрийн зэрэглэл дээр). Матрицын үржвэрийн зэрэглэл нь хүчин зүйлийн зэрэглэлээс хэтрэхгүй байна.

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Үнэхээр А ба В матрицууд m\time p, p\times n хэмжээтэй байг. А матрицад матрицыг оноож өгье C = AB \ хоёр цэг \, (A \ дунд C). Үүнийг хэлэх шаардлагагүй \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), учир нь C нь матрицын нэг хэсэг (A\mid C) (Тайлбар 3.2-ын 5-р зүйлийг үзнэ үү). Матрицыг үржүүлэх үйлдлийн дагуу C_j багана бүр нь баганын шугаман хослол гэдгийг анхаарна уу. A_1,A_2,\ldots,A_pматрицууд A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Ийм баганыг зэрэглэлийг өөрчлөхгүйгээр матрицаас (A\mid C) устгаж болно (Теорем 3.3-ын үр дүн 1). C матрицын бүх баганыг гаталж үзвэл бид дараахь зүйлийг авна. \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Эндээс, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Үүний нэгэн адил нөхцөл байдал байгааг нотолж болно \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, мөн теоремын хүчинтэй байдлын талаар дүгнэлт гарга.

Үр дагавар. Хэрвээ Тэгэхээр А нь доройтдоггүй квадрат матриц юм \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)Bболон \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, өөрөөр хэлбэл матрицын зэрэглэлийг зүүн эсвэл баруун талд нь ганц биш квадрат матрицаар үржүүлэхэд өөрчлөгдөхгүй.

Матрицын нийлбэрийн зэрэглэлийн тухай теорем 3.6. Матрицын нийлбэрийн зэрэглэл нь нэр томъёоны зэрэглэлийн нийлбэрээс хэтрэхгүй байна.

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Үнэхээр матриц бүтээцгээе (A+B\дунд A\дунд В). A+B матрицын багана бүр нь А ба В матрицын баганын шугаман хослол гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Матриц дахь шугаман бие даасан баганын тоо (A\mid B) хэтрээгүйг харгалзан үзвэл \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(3.2 Тайлбарын 5-р зүйлийг үз), бид шаардлагатай тэгш бус байдлыг олж авна.

Бага ангиДараахь матрицын хувиргалтыг нэрлэдэг.

1) дурын хоёр мөр (эсвэл баганын) солих,

2) мөр (эсвэл баганыг) тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх,

3) нэг мөрөнд (эсвэл баганад) өөр нэг мөр (эсвэл багана) нэмэх зарим тоогоор үржүүлсэн.

Хоёр матрицыг дуудна тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөөгөөсөө төгсгөлтэй олонлогийн элементар хувиргалтын тусламжтайгаар олж авсан бол.

Эквивалент матрицууд нь ерөнхийдөө тэнцүү биш боловч тэдгээрийн зэрэглэлүүд тэнцүү байна. Хэрэв A ба B матрицууд тэнцүү бол үүнийг дараах байдлаар бичнэ: A ~ B.

КаноникМатриц гэдэг нь үндсэн диагональын эхэнд хэд хэдэн 1-тэй (тоо нь тэг байж болно) байгаа матриц бөгөөд бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү, жишээлбэл,

Мөр, баганын энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар аливаа матрицыг каноник болгон бууруулж болно. Каноник матрицын зэрэглэл нь түүний үндсэн диагональ дээрх тоотой тэнцүү байна.

Жишээ 2Матрицын зэрэглэлийг ол

A=

мөн үүнийг каноник хэлбэрт оруулах.

Шийдэл.Хоёр дахь эгнээнээс эхний мөрийг хасаад эдгээр мөрүүдийг дахин цэгцлээрэй.

.

Одоо хоёр ба гурав дахь эгнээнээс эхнийхийг хасч, 2 ба 5-аар үржүүлнэ.

;

гурав дахь эгнээнээс эхнийхийг хасах; Бид матрицыг авдаг

B = ,

Энэ нь А матрицтай тэнцүү, учир нь энэ нь энгийн хувиргалтуудын хязгаарлагдмал олонлогийг ашиглан түүнээс гаргаж авдаг. Мэдээжийн хэрэг, В матрицын зэрэглэл 2, иймээс r(A)=2. В матрицыг каноник болгон хялбархан багасгаж болно. Тохиромжтой тоонуудаар үржүүлсэн эхний баганыг дараагийн бүх тооноос хасаад эхний эгнээнээс бусад бүх элементүүдийг тэг болгож, үлдсэн эгнээний элементүүд өөрчлөгдөхгүй. Дараа нь дараагийн бүх тооноос зохих тоогоор үржүүлсэн хоёр дахь баганыг хасаад хоёр дахь эгнээнээс бусад хоёр дахь эгнээний бүх элементүүдийг тэг болгож, каноник матрицыг авна.

.

Кронекер - Капелли теорем- шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлын шалгуур:

руу шугаман системнийцэж байгаа бол энэ системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь түүний үндсэн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Баталгаажуулалт (системийн нийцтэй байдлын нөхцөл)

Хэрэгцээтэй

Болъё системхамтарсан. Дараа нь байдаг тоонууд байна, юу . Тиймээс багана нь матрицын баганын шугаман хослол юм. Матрицын эгнээний (баганын) системийг устгасан эсвэл бусад мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол болох мөр (багана) оноогдсон тохиолдолд матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй гэсэн баримтаас үзэхэд .

Хангалттай байдал

Let . Матрицын үндсэн минорыг авч үзье. Үүнээс хойш энэ нь мөн матрицын суурь минор болно. Дараа нь суурь теоремын дагуу бага, матрицын сүүлчийн багана нь үндсэн багануудын шугаман хослол, өөрөөр хэлбэл матрицын баганууд байх болно. Тиймээс системийн чөлөөт гишүүдийн багана нь матрицын баганын шугаман хослол юм.

Үр дагавар

Үндсэн хувьсагчийн тоо системүүдсистемийн зэрэгтэй тэнцүү байна.

Хамтарсан системСистемийн зэрэглэл нь түүний бүх хувьсагчийн тоотой тэнцүү бол тодорхойлогдоно (түүний шийдэл нь өвөрмөц).

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн систем

Өгүүлбэр15 . 2 Нэг төрлийн тэгшитгэлийн систем

үргэлж хамтран ажилладаг.

Баталгаа. Энэ системийн хувьд , , , тоонуудын багц шийдэл болно.

Энэ хэсэгт бид системийн матриц тэмдэглэгээг ашиглана: .

Өгүүлбэр15 . 3 Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдүүдийн нийлбэр нь энэ системийн шийдэл юм. Тооноор үржүүлсэн шийдэл нь мөн шийдэл юм.

Баталгаа. Системийн шийдэл болж үйлчил. Дараа нь ба . Let . Дараа нь

, дараа нь шийдэл юм.

Дурын тоо байг, . Дараа нь

, дараа нь шийдэл юм.

Үр дагавар15 . 1 Хэрвээ нэгэн төрлийн систем шугаман тэгшитгэлтэгээс өөр шийдэлтэй бол хязгааргүй олон янзын шийдэлтэй байна.

Үнэн хэрэгтээ, тэг биш шийдлийг өөр өөр тоогоор үржүүлснээр бид өөр өөр шийдлүүдийг авах болно.

Тодорхойлолт15 . 5 Бид шийдлүүд гэж хэлэх болно системийн хэлбэр үндсэн шийдвэрийн систембаганууд бол шугаман хэлбэрээр үүсдэг бие даасан системсистемийн аливаа шийдэл нь эдгээр баганын шугаман хослол юм.

Дараах тохиолдолд r тоог А матрицын зэрэглэл гэнэ.
1) А матриц нь r зэрэглэлийн тэгээс ялгаатай минорыг агуулна;
2) бүх насанд хүрээгүй (r + 1) ба түүнээс дээш, хэрэв байгаа бол тэгтэй тэнцүү байна.
Үгүй бол матрицын зэрэглэл нь 0-ээс бага насны хамгийн дээд зэрэглэл юм.
Тэмдэглэгээ: rangA , r A эсвэл r .
Тодорхойлолтоос харахад r нь бүхэл тоо юм эерэг тоо. Тэг матрицын хувьд зэрэглэлийг тэг гэж үзнэ.

Үйлчилгээний даалгавар. Онлайн тооцоолуур нь олоход зориулагдсан матрицын зэрэглэл. Шийдэл нь Word болон Excel форматаар хадгалагдана. см. шийдлийн жишээ.

Заавар. Матрицын хэмжээг сонгоод "Дараах" дээр дарна уу.

Матрицын хэмжээг сонгоно уу 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Тодорхойлолт. r зэрэглэлийн матрицыг өгье. Тэг болон r эрэмбээс өөр ямар ч минор матрицыг үндсэн, түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн мөр, багануудыг үндсэн мөр, багана гэж нэрлэдэг.
Энэ тодорхойлолтын дагуу А матриц нь хэд хэдэн суурь багатай байж болно.

Зэрэглэл таних матриц E нь n (мөрний тоо) -тай тэнцүү байна.

Жишээ 1. Хоёр матриц өгөгдсөн, болон тэдний насанд хүрээгүй хүүхдүүд , . Тэдгээрийн алийг нь үндэс болгон авч болох вэ?
Шийдэл. Минор M 1 =0, тиймээс энэ нь аль ч матрицын суурь болж чадахгүй. Minor M 2 =-9≠0 ба 2-р эрэмбтэй тул 2-той тэнцүү зэрэглэлтэй байх тохиолдолд үүнийг A эсвэл / ба B-ийн суурь матрицууд болгон авч болно. detB=0 (хоёр пропорциональ баганатай тодорхойлогчийн хувьд) тул rangB=2 ба M 2-ийг B матрицын суурь минор болгон авч болно. detA=-27≠ учир А матрицын ранг нь 3 байна. 0, тиймээс энэ матрицын суурь минорын дараалал нь 3 байх ёстой, өөрөөр хэлбэл M 2 нь А матрицын суурь биш юм. А матриц нь А матрицын тодорхойлогчтой тэнцэх өвөрмөц минор суурьтай болохыг анхаарна уу.

Теорем (үндсэн минор дээр). Матрицын аливаа мөр (багана) нь түүний үндсэн мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол юм.
Теоремоос гарах үр дагавар.

1. r зэрэглэлийн матрицын дурын (r+1) багана (мөр) нь шугаман хамааралтай байна.
2. Хэрэв матрицын зэрэглэл тооноос багатүүний мөрүүд (баганууд), дараа нь түүний мөрүүд (баганууд) нь шугаман хамааралтай байдаг. Хэрэв rangA нь түүний мөрүүдийн (баганын) тоотой тэнцүү бол мөрүүд (баганууд) шугаман бие даасан байна.
3. А матрицын тодорхойлогч нь түүний мөрүүд (баганууд) шугаман хамааралтай тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү байна.
4. Хэрэв матрицын мөр (багана) дээр тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн өөр мөр (багана) нэмбэл матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.
5. Хэрэв та бусад мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол болох матрицын мөрийг (багана) таславал матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.
6. Матрицын зэрэглэл нь түүний шугаман бие даасан мөрүүдийн (баганын) хамгийн их тоотой тэнцүү байна.
7. Шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо нь шугаман бие даасан баганын хамгийн их тоотой ижил байна.

Жишээ 2. Матрицын зэрэглэлийг ол .
Шийдэл. Матрицын зэрэглэлийн тодорхойлолт дээр үндэслэн бид насанд хүрээгүй хэсгийг хайх болно хамгийн дээд тушаал, тэгээс ялгаатай. Нэгдүгээрт, бид матрицыг илүү их болгож хувиргадаг энгийн харагдах байдал. Үүнийг хийхийн тулд матрицын эхний мөрийг (-2) үржүүлж, хоёр дахь дээр нэмээд дараа нь (-1) -ээр үржүүлж, гурав дахь дээр нэмнэ.