матрицын арга. Шугаман тэгшитгэл. Шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх

Энэ нь матрицаар гүйцэтгэх боломжтой бүх үйлдлүүдийг нэгтгэсэн ойлголт юм. Математик матриц - элементүүдийн хүснэгт. Хаана байгаа ширээний тухай мшугам ба nбагана, тэд энэ матриц нь хэмжээстэй гэж хэлдэг мдээр n.

Матрицын ерөнхий дүр төрх:

Учир нь матрицын шийдлүүдТа матриц гэж юу болохыг ойлгож, түүний үндсэн параметрүүдийг мэдэх хэрэгтэй. Матрицын үндсэн элементүүд:

• Элементүүдээс бүрдэх үндсэн диагональ a 11, a 22 ..... a mn.
• Элементүүдээс бүрдсэн хажуугийн диагональ а 1n ,а 2n-1 …..а м1.

Матрицын үндсэн төрлүүд:

• Квадрат - ийм матриц, энд мөрийн тоо = баганын тоо ( m=n).
• Тэг - энд матрицын бүх элементүүд = 0 байна.
• Хөрвүүлсэн матриц - Матриц AT, үүнийг анхны матрицаас олж авсан Амөрүүдийг баганаар солих замаар.
• Ганц - үндсэн диагональ бүх элементүүд = 1, бусад бүх = 0.
• Урвуу матриц нь анхны матрицаар үржүүлснээр таних матрицыг үүсгэдэг матриц юм.

Матриц нь үндсэн ба хоёрдогч диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байж болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, дараа нь матриц нь үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Зөвхөн квадрат матрицууд тэгш хэмтэй байж болно.

Матрицыг шийдвэрлэх аргууд.

Бараг бүх матрицын шийдлийн аргуудтодорхойлогчийг олох хэрэгтэй nр дараалал ба тэдгээрийн ихэнх нь нэлээд төвөгтэй байдаг. 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олохын тулд өөр илүү оновчтой аргууд байдаг.

2-р эрэмбийн тодорхойлогчдыг олох.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох ГЭХДЭЭ 2-р дарааллын хувьд хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэрийг үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэрээс хасах шаардлагатай.

3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох арга.

3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох дүрмийг доор харуулав.

Гурвалжны дүрмийг нэг болгон хялбаршуулсан матрицын шийдлийн аргууд, дараах байдлаар төлөөлж болно.

Өөрөөр хэлбэл, шугамаар холбогдсон эхний тодорхойлогч дахь элементүүдийн үржвэрийг "+" тэмдгээр авна; мөн 2-р тодорхойлогчийн хувьд харгалзах бүтээгдэхүүнийг "-" тэмдгээр, өөрөөр хэлбэл дараахь схемийн дагуу авна.

At матрицыг Саррусын дүрмээр шийдвэрлэх, тодорхойлогчийн баруун талд эхний 2 баганыг нэмж, үндсэн диагональ ба түүнтэй параллель диагональ дээрх харгалзах элементүүдийн үржвэрийг "+" тэмдгээр авна; "-" тэмдгээр хоёрдогч диагональ ба түүнтэй параллель диагональуудын харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүнүүд:

Матрицыг шийдвэрлэх үед тодорхойлогчийн мөр эсвэл баганын өргөтгөл.

Тодорхойлогч нийлбэртэй тэнцүү байнатодорхойлогч эгнээний элементүүдийн бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд. Ихэвчлэн тэг байгаа мөр/баганыг сонгоно. Задаргаа хийх мөр эсвэл баганыг сумаар зааж өгнө.

Матрицыг шийдвэрлэхдээ тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах.

At матрицуудыг шийдвэрлэхтодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэр болгон бууруулснаар тэд дараах байдлаар ажиллана: мөр, багана дээрх хамгийн энгийн хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогч гурвалжин болж, тодорхойлогчийн шинж чанарын дагуу түүний утга нь элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байх болно. Энэ нь үндсэн диагональ дээр байрладаг.

Матрицыг шийдвэрлэх Лапласын теорем.

Лапласын теоремыг ашиглан матрицыг шийдвэрлэхдээ теоремыг өөрөө шууд мэдэх шаардлагатай. Лапласын теорем: Болъё Δ тодорхойлогч юм n--р захиалга. Бид аль нэгийг нь сонгодог кмөр (эсвэл багана) өгөгдсөн к≤ n - 1. Энэ тохиолдолд бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийн бүтээгдэхүүний нийлбэр кСонгогдсон зүйлд агуулагдсан th дараалал кмөр (багана), тэдгээрийн алгебрийн нэмэгдлүүд нь тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Урвуу матрицын шийдэл.

Үйлдлийн дараалал урвуу матрицын шийдлүүд:

1. Энэ нь дөрвөлжин эсэхийг олж мэдээрэй өгөгдсөн матриц. Сөрөг хариултын хувьд урвуу матриц байж болохгүй нь тодорхой болно.
2. Бид алгебрийн нэмэлтийг тооцоолно.
3. Бид холбоот (харилцан, хавсаргасан) матрицыг бүрдүүлдэг C.
4. Бид урвуу матрицыг хийдэг алгебрийн нэмэлтүүд: холбогдох матрицын бүх элементүүд Cанхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Үүссэн матриц нь өгөгдсөнтэй харьцуулахад хүссэн урвуу матриц байх болно.
5. Бид гүйцэтгэсэн ажлыг шалгана: бид эхний болон үр дүнгийн матрицын матрицыг үржүүлснээр үр дүн нь таних матриц байх ёстой.

Матрицын системийн шийдэл.

Учир нь матрицын системийн шийдлүүдХамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг арга бол Гауссын арга юм.

Гауссын арга нь шугаман системийг шийдэх стандарт арга юм алгебрийн тэгшитгэл(SLAE) бөгөөд энэ нь хувьсагчдыг дараалан хасдаг, өөрөөр хэлбэл энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар тэгшитгэлийн системийг гурвалжин хэлбэрийн эквивалент системд авчирч, хамгийн сүүлчийнхээс ( тоогоор), системийн элемент бүр олддог.

Гауссын аргахамгийн уян хатан бөгөөд хамгийн сайн хэрэгсэлматрицын шийдийг олох. Хэрэв систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй эсвэл систем нь таарахгүй бол Крамерын дүрэм болон матрицын аргыг ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй юм.

Гауссын арга нь мөн шууд (өргөтгөсөн матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ доор тэг авах) болон урвуу (өргөтгөсөн матрицын үндсэн диагональ дээр тэг авах) хөдөлгөөнийг агуулдаг. Урагшлах арга нь Гауссын арга, урвуу нь Гаусс-Жорданы арга юм. Гаусс-Жорданы арга нь Гауссын аргаас зөвхөн хувьсагчдыг арилгах дарааллаар ялгаатай.

Ерөнхий тэгшитгэл, шугаман алгебрийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн систем, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь математикт онолын болон хэрэглээний аль алинд нь онцгой байр суурь эзэлдэг.

Энэ нь дийлэнх нь физик, эдийн засаг, техник, тэр ч байтугай сурган хүмүүжүүлэх даалгаварянз бүрийн тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг ашиглан тодорхойлж, шийдэж болно. AT сүүлийн үедМатематик загварчлал нь бараг бүх сэдвээр судлаачид, эрдэмтэд, практикчдийн дунд түгээмэл болсон бөгөөд энэ нь объектыг судлах бусад алдартай, батлагдсан аргуудаас илт давуу талтай гэдгээрээ тайлбарлагддаг. өөр мөн чанар, ялангуяа гэж нэрлэгддэг нарийн төвөгтэй системүүд. Маш олон янз байдаг янз бүрийн тодорхойлолтуудонд эрдэмтдийн гаргасан математик загвар өөр өөр цаг хугацаа, гэхдээ бидний бодлоор хамгийн амжилттай нь дараах мэдэгдэл. Математик загварсанаа юм тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. Тиймээс тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг зохиох, шийдвэрлэх чадвар нь орчин үеийн мэргэжилтний салшгүй шинж чанар юм.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхийн тулд Крамер, Жордан-Гаусс, матрицын арга зэрэг хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг аргууд байдаг.

Матрицын шийдлийн арга - урвуу матриц ашиглан тэг биш тодорхойлогчтой шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийг шийдэх арга.

Хэрэв бид үл мэдэгдэх xi утгуудын коэффициентийг А матрицад бичиж, үл мэдэгдэх утгуудыг X векторт, чөлөөт гишүүдийг В багана векторт цуглуулвал шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар бичиж болно. А матрицын тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш үед л цорын ганц шийдэлтэй дараах A X = B матрицын тэгшитгэлийн хэлбэр. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн системийн шийдийг дараах байдлаар олж болно X = А-нэг · Б, хаана А -1 - урвуу матриц.

Матрицын шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна.

Системийг зөвшөөр шугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх:

Үүнийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно: AX = Б, хаана А- системийн үндсэн матриц, Бболон X- чөлөөт гишүүдийн багана ба системийн шийдлүүд:

Үүнийг үржүүлье матрицын тэгшитгэлхүртэл үлдсэн А-1 - матрицын урвуу матриц А: А -1 (AX) = А -1 Б

Учир нь А -1 А = Э, бид авдаг X= А -1 Б. Баруун хэсэгЭнэ тэгшитгэл нь анхны системийн шийдлүүдийн баганыг өгнө. Хэрэглэх нөхцөл энэ арга(мөн ерөнхийдөө шийдэл байгаа эсэх нь тийм биш юм нэгэн төрлийн системҮл мэдэгдэх тоотой тэнцүү тэгшитгэлийн тоо бүхий шугаман тэгшитгэл) нь матрицын доройтолгүй байдал юм. А. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлэнэ нь матрицын тодорхойлогчийн тэгш бус байдлын тэг юм А: det А≠ 0.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн хувьд, өөрөөр хэлбэл вектор байх үед Б = 0 , үнэхээр урвуу дүрэм: систем AX = 0 нь зөвхөн det бол өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл, тэг биш) шийдэлтэй байна А= 0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн шийдүүдийн хоорондын ийм холболтыг Фредхолмын хувилбар гэнэ.

Жишээ Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүд.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш эсэхийг шалгацгаая.

Дараагийн алхам бол үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоолох явдал юм. Тэд урвуу матрицыг олоход хэрэгтэй болно.

Санаж үз шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем(УДАМ) талаар nүл мэдэгдэх x 1 , x 2 , ..., x n :

Энэ системийг "атираат" хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

С n i=1 а ij x j = б би , i=1,2, ..., n.

Матрицыг үржүүлэх дүрмийн дагуу шугаман тэгшитгэлийн авч үзсэн системийг бичиж болно матриц хэлбэр ax=b, хаана

, ,.

Матриц А, баганууд нь харгалзах үл мэдэгдэхийн коэффициентууд, мөрүүд нь харгалзах тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. системийн матриц. баганын матриц б, элементүүд нь системийн тэгшитгэлийн зөв хэсгүүдийг зөв хэсгийн матриц гэж нэрлэдэг. системийн баруун тал. баганын матриц x , элементүүд нь үл мэдэгдэх үл мэдэгдэх, гэж нэрлэдэг системийн шийдэл.

гэж бичсэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем ax=b, байна матрицын тэгшитгэл.

Хэрэв системийн матриц доройтдоггүй, дараа нь урвуу матрицтай, дараа нь системийн шийдэлтэй байна ax=bтомъёогоор өгөгдсөн:

x=A -1 б.

ЖишээСистемийг шийд матрицын арга.

Шийдэлсистемийн коэффициент матрицын урвуу матрицыг ол

Тодорхойлогчийг эхний мөрөнд тэлэх замаар тооцоол.

Учир нь Δ ≠ 0 , дараа нь А -1 байдаг.

Урвуу матриц зөв олдсон.

Системийн шийдлийг олцгооё

Үүний үр дүнд, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Шалгалт:

7. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлын тухай Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системхарагдаж байна:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Энд a i j ба b i (i = ; j = ) өгөгдсөн ба x j нь үл мэдэгдэх бодит тоо юм. Матрицын үржвэрийн тухай ойлголтыг ашиглан бид (5.1) системийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Энд A = (a i j) нь системийн (5.1) үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матриц бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. системийн матриц, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - баганын векторууд тус тусад нь үл мэдэгдэх x j ба чөлөөт нөхцлөөс бүрдэх b i .

Захиалсан цуглуулга nбодит тоонууд (c 1 , c 2 ,..., c n) гэж нэрлэдэг системийн шийдэл(5.1) хэрэв эдгээр тоонуудыг харгалзах x 1 , x 2 ,..., x n хувьсагчийн оронд орлуулсны үр дүнд системийн тэгшитгэл бүр арифметик ижилсэл болж хувирвал; өөрөөр хэлбэл AC  B байх C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T вектор байгаа бол.

Систем (5.1) гэж нэрлэдэг хамтарсан,эсвэл шийдвэрлэх боломжтойХэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. систем гэж нэрлэдэг нийцэхгүй,эсвэл уусдаггүйХэрэв шийдэл байхгүй бол.

,

баруун талд байгаа А матрицад чөлөөт нэр томъёоны багана оноож үүсгэсэн, гэж нэрлэдэг Өргөтгөсөн матрицын систем.

(5.1) системийн нийцтэй байдлын асуудлыг дараах теоремоор шийднэ.

Кронекер-Капелли теорем . Шугаман тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн A ба A матрицуудын зэрэглэлүүд давхцаж байвал нийцнэ, өөрөөр хэлбэл. r(A) = r(A) = r.

Системийн (5.1) шийдлийн M багцын хувьд гурван боломж байна:

1) M =  (энэ тохиолдолд систем нь нийцэхгүй байна);

2) M нь нэг элементээс бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг (энэ тохиолдолд системийг дуудна тодорхой);

3) M нь нэгээс олон элементээс бүрддэг (дараа нь системийг дууддаг тодорхойгүй). Гурав дахь тохиолдолд (5.1) систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна.

Зөвхөн r(A) = n тохиолдолд л систем өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн тоо байхгүй байна тооноос багаүл мэдэгдэх (mn); хэрэв m>n бол дараа нь m-n тэгшитгэлбусдын үр дагавар юм. Хэрэв 0

Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцэх системийг шийдэх чадвартай байх ёстой. Крамер төрлийн системүүд:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системийг (5.3) дараахь аргуудын аль нэгээр шийддэг: 1) Гауссын аргаар, эсвэл үл мэдэгдэхийг арилгах аргаар; 2) Крамерын томъёоны дагуу; 3) матрицын аргаар.

Жишээ 2.12. Тэгшитгэлийн системийг судалж, тохирох бол үүнийг шийд:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Шийдэл.Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.

 .

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоолъё. Жишээ нь зүүн дээд буланд байгаа хоёрдугаар эрэмбийн минор = 7  0 байх нь ойлгомжтой. түүнийг агуулсан гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү байна:

Тиймээс системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2, i.e. r(A) = 2. Өргөтгөсөн A матрицын зэрэглэлийг тооцоолохын тулд хилийн минорыг авч үзье.

Иймээс өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь r(A) = 3. r(A)  r(A) тул систем нь нийцэхгүй байна.

Матрицын арга SLAU шийдэлтэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тохирч байгаа тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Энэ аргыг бага эрэмбийн системийг шийдвэрлэхэд хамгийн сайн ашигладаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга нь матрицын үржүүлэх шинж чанарыг ашиглахад суурилдаг.

Энэ замаар, өөрөөр хэлбэл урвуу матрицын арга,гэж нэрлэдэг, учир нь шийдлийг ердийн матрицын тэгшитгэл болгон бууруулсан тул үүнийг шийдвэрлэхийн тулд урвуу матрицыг олох хэрэгтэй.

Матрицын шийдлийн аргаТэгээс их буюу түүнээс бага тодорхойлогчтой SLAE нь дараах байдалтай байна.

-тэй SLE (шугаман тэгшитгэлийн систем) байна гэж бодъё nүл мэдэгдэх (дурын талбар дээр):

Тиймээс үүнийг матриц хэлбэрт хөрвүүлэхэд хялбар байдаг:

AX=B, хаана Асистемийн гол матриц, Бболон X- чөлөөт гишүүдийн багана ба системийн шийдлүүд:

Зүүн талд байгаа энэ матрицын тэгшитгэлийг үржүүл A -1- урвуу матрицаас матриц A: A −1 (AX)=A −1 B.

Учир нь A −1 A=E, гэсэн үг, X=A −1 B. Тэгшитгэлийн баруун тал нь анхны системийн шийдлүүдийн баганыг өгдөг. Матрицын аргыг хэрэглэх нөхцөл нь матрицын доройтолгүй байдал юм А. Үүний зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь матрицын тодорхойлогч байх явдал юм А:

detA≠0.

Учир нь шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем, өөрөөр хэлбэл Хэрэв вектор B=0, эсрэг дүрэм баримталдаг: систем AX=0үед л өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл, тэгтэй тэнцүү биш) шийдэл юм detA=0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэг төрлийн бус системийн шийдлүүдийн хоорондох энэхүү холболтыг нэрлэдэг Фредхолмын өөр хувилбар.

Тиймээс матрицын аргаар SLAE-ийн шийдлийг томъёоны дагуу хийнэ . Эсвэл SLAE шийдлийг ашиглан олдог урвуу матриц A -1.

Квадрат матриц гэдгийг мэддэг ГЭХДЭЭзахиалга nдээр nурвуу матриц байдаг A -1зөвхөн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байвал. Тиймээс систем nшугаман алгебрийн тэгшитгэлүүд nсистемийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд л үл мэдэгдэх зүйлсийг матрицын аргаар шийддэг.

Ийм аргыг ашиглах боломж хязгаарлагдмал байгаа бөгөөд коэффициент болон өндөр эрэмбийн системүүдийн том утгыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг ч энэ аргыг компьютер дээр хялбархан хэрэгжүүлэх боломжтой.

Нэг төрлийн бус SLAE-ийг шийдэх жишээ.

Эхлээд үл мэдэгдэх SLAE-ийн коэффициентийн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгая.

Одоо бид олдог эвслийн матриц, түүнийг шилжүүлж, урвуу матрицыг тодорхойлох томъёонд орлуулна.

Бид хувьсагчдыг томъёонд орлуулна:

Одоо бид урвуу матриц болон чөлөөт нэр томъёоны баганыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэхийг олно.

Тэгэхээр, x=2; y=1; z=4.

SLAE-ийн ердийн хэлбэрээс матриц хэлбэр рүү шилжихдээ системийн тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх хувьсагчдын дарааллыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээлбэл:

Дараах байдлаар бичиж болохгүй.

Юуны өмнө системийн тэгшитгэл бүрт үл мэдэгдэх хувьсагчдыг эрэмблэх шаардлагатай бөгөөд үүний дараа л матрицын тэмдэглэгээ рүү орно.

Үүнээс гадна, та оронд нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тэмдэглэгээнд болгоомжтой хандах хэрэгтэй x 1, x 2 , …, x nөөр үсэг байж болно. Жишээлбэл:

матриц хэлбэрээр бид бичнэ:

Матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцаж, системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь дээр. Системд 3-аас дээш тэгшитгэл байгаа тохиолдолд урвуу матрицыг олохын тулд илүү их тооцоолол хийх шаардлагатай тул энэ тохиолдолд Гауссын аргыг ашиглахыг зөвлөж байна.

(заримдаа энэ аргыг матрицын арга эсвэл урвуу матрицын арга гэж нэрлэдэг) SLAE бичих матриц хэлбэр гэх мэт ойлголттой урьдчилан танилцахыг шаарддаг. Урвуу матрицын арга нь матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь системийн матриц нь квадрат гэсэн үг юм (тодорхойлогч гэсэн ойлголт зөвхөн квадрат матрицад л байдаг). Урвуу матрицын аргын мөн чанарыг гурван цэгээр илэрхийлж болно.

1. Системийн матриц $A$, үл мэдэгдэх матриц $X$, чөлөөт нөхцлийн матриц $B$ гэсэн гурван матрицыг бич.
2. $A^(-1)$ урвуу матрицыг ол.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлийг ашиглан өгөгдсөн SLAE-ийн шийдийг ол.

Аливаа SLAE нь матриц хэлбэрээр $A\cdot X=B$ хэлбэрээр бичигдэж болох бөгөөд энд $A$ нь системийн матриц, $B$ нь чөлөөт нөхцлийн матриц, $X$ нь үл мэдэгдэх матриц юм. $A^(-1)$ матриц байг. $A\cdot X=B$ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талд байгаа $A^(-1)$ матрицаар үржүүл.

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ нь таних матриц) тул дээр бичигдсэн тэгш байдал дараах болно.

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ тул:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Жишээ №1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$-г урвуу матриц ашиглан шийд.

$$ A=\left(\эхлэх(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Системийн матрицын урвуу матрицыг олъё, өөрөөр хэлбэл. $A^(-1)$ тооцоол. Жишээ №2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун) . $$

Одоо бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлъё. Дараа нь бид матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) 29\\ -11 \төгсгөл(массив)\баруун)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(массив)\баруун)=\left( \эхлэх(массив) (в) -3\\ 2\төгсгөх(массив)\баруун). $$

Тиймээс бид $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(массив)\ баруун) $. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Хариулт: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Жишээ №2

SLAE $ \left\(\begin(зэрэгцүүлсэн) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(зэрэгцүүлсэн)\баруун)-г шийднэ үү. .$ урвуу матрицын аргаар.

$A$ системийн матриц, $B$ чөлөөт гишүүний матриц, $X$ үл мэдэгдэх матрицыг бичье.

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) -1\\0\\6\төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Одоо системийн матрицын урвуу матрицыг олох цаг болжээ, i.e. $A^(-1)$ олох. Урвуу матрицыг олоход зориулагдсан хуудасны №3 жишээн дээр урвуу матрицыг аль хэдийн олсон байна. Дууссан үр дүнг ашиглаад $A^(-1)$ гэж бичье:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\төгсгөл(массив)\баруун). $$

Одоо бид бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлуулсны дараа баруун талд матрицын үржүүлгийг хийнэ. энэ тэгш байдлын тал.

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\баруун)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\төгсгөл(массив) \баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) -1\\0\ \6\төгсгөл(массив)\баруун)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(массив)\баруун)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 0\\-104\\234\end(массив)\баруун)=\left( \эхлэх(массив) (c) 0\\-4\\9\төгсгөл(массив)\баруун) $$

Тиймээс бид $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(массив) (c) 0\\-4\ \9 болсон. \төгсгөл(массив)\баруун)$. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.